Para determinar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique a função externa e a interna: - Função externa: \( g(u) = \sqrt{u} \) - Função interna: \( u(x) = x^3 + 1 \) 2. Derive a função externa: - \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) 3. Derive a função interna: - \( u'(x) = 3x^2 \) 4. Aplique a regra da cadeia: - \( f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 3x^2 \) 5. Simplifique: - \( f'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) - Correta. b) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) - Incorreta. c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) - Incorreta. d) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \).