Para resolver a integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos definir \( u = x^2 \). Assim, temos: 1. \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 0^2 = 0 \). 3. Quando \( x = 1 \), \( u = 1^2 = 1 \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du. \] Agora, calculamos a integral de \( e^u \): \[ \int e^u \, du = e^u + C. \] Portanto, \[ \int_0^1 e^u \, du = e^1 - e^0 = e - 1. \] Substituindo de volta, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} (e - 1). \] Assim, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \).