Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Vamos integrar cada termo separadamente: 1. \( \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \) 2. \( \int -4x^3 \, dx = -\frac{4x^4}{4} = -x^4 \) 3. \( \int 6x^2 \, dx = 2x^3 \) 4. \( \int -4x \, dx = -2x^2 \) 5. \( \int 1 \, dx = x \) Agora, somando todos os resultados, temos: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \left( \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x \right) + C \] Agora, vamos avaliar essa integral de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^5}{5} - 1^4 + 2(1^3) - 2(1^2) + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - 0^4 + 2(0^3) - 2(0^2) + 0 \right] \] Calculando para \(x = 1\): \[ \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5} \] E para \(x = 0\), todos os termos são zero. Portanto, o valor da integral é \( \frac{1}{5} \). Assim, a alternativa correta é: c) \( \frac{1}{5} \).