24. Problema 24: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). a) \( 1 \) b) \( 0 \) c) \( \infty \) d) \( -1 \)

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Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou saber que \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0. Sabemos que: \[ \tan(x) \approx x \quad \text{quando } x \to 0 \] Portanto, podemos afirmar que: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \] Assim, a alternativa correta é: a) \( 1 \)

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21. Problema 21: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \).

a) \( \frac{2}{3} \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{4}{15} \)
d) \( \frac{1}{4} \)

22. Problema 22: Determine a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \).

a) \( \ln(\ln(x)) + C \)
b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \)
c) \( \frac{1}{x} + C \)
d) \( \ln(x) + C \)

23. Problema 23: Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)?

a) \( \tan(x) + C \)
b) \( \sec(x) + C \)
c) \( \sin(x) + C \)
d) \( -\cos(x) + C \)

25. Problema 25: Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \).

a) \( 0 \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( 1 \)

26. Problema 26: Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \).

a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)
b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \)
c) \( \frac{1}{2}(e^{1} - 1) \)
d) \( \frac{1}{2}(e^{0} - 1) \)

27. Problema 27: Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \).

a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)
b) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \)
c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)
d) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)

28. Problema 28: Calcule a integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

a) \( 1 \)
b) \( \ln(e) \)
c) \( \ln(e) - \ln(1) \)
d) \( \ln(2) \)

29. Problema 29: Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)?

a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)
b) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)
c) \( \cos(x^2) + C \)
d) \( \sin(x^2) + C \)

30. Problema 30: Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \).

a) \( 0 \)
b) \( 1 \)
c) \( \frac{1}{5} \)
d) \( \frac{1}{6} \)

31. Problema 31: Determine a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) até o termo de \( x^5 \).

a) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \)
b) \( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{120} \)
c) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{60} \)
d) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{30} \)

Cálculo

24. Problema 24: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). a) \( 1 \) b) \( 0 \) c) \( \infty \) d) \( -1 \)

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a) \( \ln(\ln(x)) + C \)
b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \)
c) \( \frac{1}{x} + C \)
d) \( \ln(x) + C \)

23. Problema 23: Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)?

a) \( \tan(x) + C \)
b) \( \sec(x) + C \)
c) \( \sin(x) + C \)
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a) \( 0 \)
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a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)
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28. Problema 28: Calcule a integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

a) \( 1 \)
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29. Problema 29: Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)?

a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)
b) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)
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d) \( \sin(x^2) + C \)

30. Problema 30: Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \).

a) \( 0 \)
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c) \( \frac{1}{5} \)
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31. Problema 31: Determine a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) até o termo de \( x^5 \).

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21. **Problema 21:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \).a) \( \frac{2}{3} \)b) \( \frac{1}{3} \)c) \( \frac{4}{15} \)d) \( \frac{1}{4} \)

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26. **Problema 26:** Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \).a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \)c) \( \frac{1}{2}(e^{1} - 1) \)d) \( \frac{1}{2}(e^{0} - 1) \)

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29. **Problema 29:** Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)?a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)b) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)c) \( \cos(x^2) + C \)d) \( \sin(x^2) + C \)

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a) \( \ln(\ln(x)) + C \)
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c) \( \frac{1}{x} + C \)
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23. Problema 23: Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)?

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c) \( \frac{1}{2} \)
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26. Problema 26: Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \).

a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)
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c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)
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28. Problema 28: Calcule a integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

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29. Problema 29: Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)?

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31. Problema 31: Determine a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) até o termo de \( x^5 \).

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b) \( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{120} \)
c) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{60} \)
d) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{30} \)