25. **Problema 25:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( \frac{1}{3} \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( 1 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \), primeiro podemos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que \( x^2 - 2x + 1 \) pode ser reescrito como \( (x - 1)^2 \). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \int_0^1 (x - 1)^2 \, dx \] Calculando a integral: 1. A integral de \( (x - 1)^2 \) é: \[ \int (x - 1)^2 \, dx = \frac{(x - 1)^3}{3} + C \] 2. Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{(1 - 1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0 - 1)^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{0}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) = 0 - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} \] Portanto, o valor da integral é \( \frac{1}{3} \). A alternativa correta é: b) \( \frac{1}{3} \).