Problema 46: Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx \), primeiro podemos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que \( x^2 - 2x + 1 \) é um quadrado perfeito, ou seja: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \] Agora, podemos reescrever a integral: \[ \int_{0}^{1} (x - 1)^2 \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Calculemos a primitiva de \( (x - 1)^2 \): \[ \int (x - 1)^2 \, dx = \frac{(x - 1)^3}{3} + C \] 2. Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{(1 - 1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0 - 1)^3}{3} \right) \] Calculando: \[ = \left( \frac{0}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) = 0 - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} \] Portanto, o valor da integral é \( \frac{1}{3} \). Assim, a alternativa correta é: d) \( \frac{1}{3} \).