Para resolver a integral \( \int \sec^3(x) \, dx \), podemos usar a seguinte abordagem: 1. Sabemos que a derivada de \( \sec(x) \tan(x) \) é \( \sec^3(x) \). 2. Além disso, podemos usar a identidade \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \) para reescrever a integral, mas a forma mais direta é reconhecer que a integral de \( \sec^3(x) \) é uma integral padrão. A integral \( \int \sec^3(x) \, dx \) resulta em: \[ \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \] Analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + C \) - Incorreta. b) \( \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) - Correta. c) \( \sec(x) + C \) - Incorreta. d) \( \tan(x) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \).