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Problema 49: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).

a) \( \tan^{-1}(x) + C \)
b) \( \ln(x^2 + 1) + C \)
c) \( \frac{1}{x} + C \)
d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \)
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há 11 meses

Para calcular a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \), sabemos que a integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Portanto, a integral é: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Analisando as alternativas: a) \( \tan^{-1}(x) + C \) - Correta. b) \( \ln(x^2 + 1) + C \) - Incorreta. c) \( \frac{1}{x} + C \) - Incorreta. d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. Assim, a alternativa correta é: a) \( \tan^{-1}(x) + C \).

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Problema 40: Determine a integral \( \int \frac{1}{x^4} \, dx \).

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a) \( 4 \)
b) \( 1 \)
c) \( 0 \)
d) \( 2 \)

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a) \( 3x^2 - 4 \)
b) \( 3x^2 - 8x + 6 \)
c) \( 3x^2 - 4x + 6 \)
d) \( 3x^2 + 6 \)

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d) \( \frac{1}{2} \)

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a) \( \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + C \)
b) \( \sec(x) \tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \)
c) \( \sec(x) + C \)
d) \( \tan(x) + C \)

Problema 45: Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).

a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
b) \( e^{x^2} + C \)
c) \( 2e^{x^2} + C \)
d) \( \frac{1}{x} e^{x^2} + C \)

Problema 46: Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx \).

a) \( 0 \)
b) \( 1 \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \frac{1}{3} \)

Problema 47: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

a) \( 1 \)
b) \( 0 \)
c) \( e \)
d) \( \infty \)

Problema 48: Encontre a primitiva de \( f(x) = 5x^4 \).

a) \( x^5 + C \)
b) \( \frac{5}{5}x^5 + C \)
c) \( \frac{5}{4}x^5 + C \)
d) \( 5x^5 + C \)

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