Para encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 4 da função \( f(x) = \sin(x) \) em volta de 0, precisamos usar a série de Taylor, que é dada por: \[ P(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots \] Calculando as derivadas da função \( \sin(x) \): 1. \( f(0) = \sin(0) = 0 \) 2. \( f'(x) = \cos(x) \) então \( f'(0) = \cos(0) = 1 \) 3. \( f''(x) = -\sin(x) \) então \( f''(0) = -\sin(0) = 0 \) 4. \( f'''(x) = -\cos(x) \) então \( f'''(0) = -\cos(0) = -1 \) 5. \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \) então \( f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0 \) Agora, substituindo na fórmula do polinômio de Taylor até a ordem 4: \[ P(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} \] Isso simplifica para: \[ P(x) = x - \frac{x^3}{6} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) - Incorreto. b) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \) - Correto. c) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} \) - Incorreto. d) \( P(x) = x - \frac{x^3}{3} \) - Incorreto. e) \( P(x) = 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: b) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \).