Para encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 4 da função \( f(x) = \sin(x) \) em volta de 0, precisamos usar a série de Taylor. A série de Taylor para \( \sin(x) \) é dada por: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \] Para o polinômio de ordem 4, consideramos apenas os termos até \( x^4 \). Assim, temos: \[ \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} \] Note que o termo \( x^5 \) e os seguintes não são incluídos, pois estamos limitando a ordem a 4. Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) - Não é correto, pois não inclui o termo linear \( x \). b) \( P(x) = x - \frac{x^3}{3} \) - Não é correto, pois o coeficiente do termo cúbico está errado. c) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \) - Esta está correta, pois corresponde ao polinômio de Taylor de ordem 4. d) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} \) - Não é correto, pois não inclui o termo linear \( x \). e) \( P(x) = 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) - Não é correto, pois também não é um polinômio de ordem 4. Portanto, a alternativa correta é: c) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \).