Para encontrar o Polinômio de Taylor de ordem 4 da função \( f(x) = \sin(x) \) em torno de 0, precisamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em \( x = 0 \). As derivadas de \( \sin(x) \) são: - \( f(0) = \sin(0) = 0 \) - \( f'(x) = \cos(x) \) e \( f'(0) = \cos(0) = 1 \) - \( f''(x) = -\sin(x) \) e \( f''(0) = -\sin(0) = 0 \) - \( f'''(x) = -\cos(x) \) e \( f'''(0) = -\cos(0) = -1 \) - \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \) e \( f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0 \) Agora, aplicamos a fórmula do polinômio de Taylor: \[ P(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \] Substituindo os valores: \[ P(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 + \frac{-1}{6}x^3 + 0 = x - \frac{x^3}{6} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( P(x) = x - \frac{x^3}{3} \) - Incorreto, o coeficiente do \( x^3 \) está errado. b) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} \) - Incorreto, não corresponde ao polinômio de Taylor de \( \sin(x) \). c) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \) - Correto, corresponde ao polinômio que encontramos. d) \( P(x) = 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) - Incorreto, inclui termos que não estão no polinômio de Taylor de \( \sin(x) \). e) \( P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) - Incorreto, não corresponde ao polinômio de Taylor de \( \sin(x) \). Portanto, a alternativa correta é: c) \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \).