Problema 47: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). a) \( 1 \) b) \( 0 \) c) \( e \) d) \( \infty \)

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, que é aplicada em casos de indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \). 1. Quando \( x \) se aproxima de 0, \( e^x \) se aproxima de 1, então \( e^x - 1 \) se aproxima de 0. 2. O denominador \( x \) também se aproxima de 0. Portanto, temos uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \( e^x - 1 \) é \( e^x \). - A derivada de \( x \) é \( 1 \). Assim, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1. \] Portanto, a resposta correta é: a) \( 1 \).