Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \( 4x^3 \) é \( \frac{4}{4}x^4 = x^4 \). 2. A integral de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A integral de \( x \) é \( \frac{1}{2}x^2 \). Assim, a integral completa é: \[ \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = \left( 1^4 - \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right) \] Calculando: \[ 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 6: \[ 1 = \frac{6}{6}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{4}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] Agora, somando: \[ \frac{6}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6 - 4 + 3}{6} = \frac{5}{6} \] Portanto, a integral \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{5}{6} \). Como essa alternativa não está listada, parece que houve um erro nas opções. No entanto, se considerarmos as opções dadas, a mais próxima seria: c) \( \frac{1}{6} \) (mas não é a resposta correta). A resposta correta é \( \frac{5}{6} \), que não está entre as opções.