16. Qual é o valor da série ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n+2))? (A) 1 (B) 3/2 (C) 5/4 A) 1 B) 3/2 C) 5/4

Para encontrar o valor da série ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n+2)), podemos primeiro decompor a expressão em frações parciais. 1/(n(n+2)) = A/n + B/(n+2) Multiplicando ambos os lados por n(n+2), temos: 1 = A(n+2) + Bn Para encontrar os valores de A e B, podemos substituir valores que nos ajudem a encontrar esses coeficientes. Por exemplo, se n = 0, temos: 1 = 2A A = 1/2 E se n = -2, temos: 1 = -2B B = -1/2 Portanto, a decomposição em frações parciais fica: 1/(n(n+2)) = 1/(2n) - 1/(2(n+2)) Agora, podemos reescrever a série original como a soma das duas séries: ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n+2)) = ∑_{n=1}^{∞} 1/(2n) - ∑_{n=1}^{∞} 1/(2(n+2)) Ao simplificar as séries acima, obtemos: 1/2 * (∑_{n=1}^{∞} 1/n - ∑_{n=1}^{∞} 1/(n+2)) Agora, podemos observar que a série ∑_{n=1}^{∞} 1/n é a série harmônica, que é conhecida por divergir. No entanto, ao subtrair 1/(n+2) dessa série, obtemos uma série que converge para ln(2). Portanto, o valor da série original é 1/2 * ln(2), que é aproximadamente 0.3465736. Portanto, a alternativa correta não está presente nas opções fornecidas.