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15. Qual é o valor de ∫_{0}^{1} 1/(x^3 + 1) dx? (A) π/(6√3) (B) π/4 (C) π/3 (D) 2π/3 A) π/(6√3) B) π/4 C) π/3 D) 2π/3

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Desafios Para o Conhecimento

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ESTÁCIO

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Para resolver a integral dada, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos chamar x de tangente de t, então dx será igual a sec^2(t) dt. Substituindo na integral, teremos: ∫ 1/(x^3 + 1) dx = ∫ 1/(tan^3(t) + 1) * sec^2(t) dt = ∫ cos^2(t) dt A integral de cos^2(t) é (1/2) * (t + sen(2t)), e aplicando os limites de integração de 0 a 1, obtemos: (1/2) * (arctan(1) + sen(2) - arctan(0) - sen(0)) = (1/2) * (π/4 + 0 - 0 - 0) = π/8 Portanto, o valor da integral é π/8. No entanto, essa opção não está presente nas alternativas fornecidas. Portanto, você deve revisar a integral ou as opções fornecidas.

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6. Qual é o valor da integral de linha ∮C F ⋅ dr onde F = (y, -x) e C é o círculo x^2 + y^2 = 1?
(A) 0
(B) 2π
(C) π
(D) -2π
A) 0
B) 2π
C) π
D) -2π

7. Qual é a raiz quadrada de Δ para a equação quadrática 3x^2 - 4x + 1 = 0?
(A) √2
(B) 1
(C) √3
(D) √4
A) √2
B) 1
C) √3
D) √4

8. Qual é a solução geral da equação diferencial y'' + 3y' + 2y = 0?
(A) c1 e^-x + c2 e^-2x
(B) c1 e^x + c2 e^2x
(C) c1 cos(x) + c2 sin(x)
(D) c1 cosh(x) + c2 sinh(x)
A) c1 e^-x + c2 e^-2x
B) c1 e^x + c2 e^2x
C) c1 cos(x) + c2 sin(x)
D) c1 cosh(x) + c2 sinh(x)

9. Qual é o valor da série ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n+1))?
(A) 1
(B) 2
(C) 1/2
(D) 3/2
A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 3/2

10. Qual é o determinante da matriz [1 2; 3 4]?
(A) -2
(B) 2
(C) -1
(D) 1
A) -2
B) 2
C) -1
D) 1

11. Qual é o valor de ∫_{0}^{π} sin(x) dx?
(A) 2
(B) 1
(C) π
(D) 0
A) 2
B) 1
C) π
D) 0

12. Se A é uma matriz 2x2 com A = [a b; c d], qual é o valor de tr(A^2), onde tr(A) é a soma dos elementos diagonais?
(A) a^2 + b^2 + c^2 + d^2
(B) a^2 + d^2
(C) (a+d)^2 - 2bc
(D) (a+d)^2 + 2bc
A) a^2 + b^2 + c^2 + d^2
B) a^2 + d^2
C) (a+d)^2 - 2bc
D) (a+d)^2 + 2bc

13. Qual é o valor de ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx usando integração por partes?
(A) -e + 2e - 3e + 6e
(B) e - 2
(C) -2e + 2
(D) 2 - e
A) -e + 2e - 3e + 6e
B) e - 2
C) -2e + 2
D) 2 - e

14. Qual é o valor da série ∑_{n=1}^{∞} (-1)^(n-1)/n^2?
(A) π^2/12
(B) π^2/8
(C) π^2/4
(D) π^2/6
A) π^2/12
B) π^2/8
C) π^2/4
D) π^2/6

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