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13. Qual é o valor de ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx usando integração por partes?
(A) -e + 2e - 3e + 6e
(B) e - 2
(C) -2e + 2
(D) 2 - e
A) -e + 2e - 3e + 6e
B) e - 2
C) -2e + 2
D) 2 - e
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Desafios Para o Conhecimento

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ESTÁCIO

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Para resolver a integral ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx usando integração por partes, podemos aplicar a fórmula de integração por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du Neste caso, podemos escolher u = x^3 e dv = e^x dx. Então, calculamos du e v: du = 3x^2 dx v = ∫ e^x dx = e^x Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: ∫ x^3 e^x dx = x^3 e^x - ∫ 3x^2 e^x dx Aplicando novamente a integração por partes para o segundo termo, escolhendo u = 3x^2 e dv = e^x dx, obtemos: ∫ 3x^2 e^x dx = 3x^2 e^x - ∫ 6x e^x dx Aplicando uma última vez a integração por partes para o último termo, escolhendo u = 6x e dv = e^x dx, obtemos: ∫ 6x e^x dx = 6x e^x - ∫ 6 e^x dx Agora, substituímos os resultados na expressão original: ∫ x^3 e^x dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - (6x e^x - 6 e^x)) Agora, avaliamos a integral no intervalo de 0 a 1: ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx = (1^3 e^1 - (3*1^2 e^1 - (6*1 e^1 - 6 e^1))) - (0^3 e^0 - (3*0^2 e^0 - (6*0 e^0 - 6 e^0))) Simplificando, obtemos: ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx = (e - (3e - (6e - 6))) - (0 - (0 - (0 - 6))) ∫_{0}^{1} x^3 e^x dx = e - 3e + 6e - 6 - 6 = -2e - 12 Portanto, a resposta correta é (C) -2e + 2.

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6. Qual é o valor da integral de linha ∮C F ⋅ dr onde F = (y, -x) e C é o círculo x^2 + y^2 = 1?
(A) 0
(B) 2π
(C) π
(D) -2π
A) 0
B) 2π
C) π
D) -2π

7. Qual é a raiz quadrada de Δ para a equação quadrática 3x^2 - 4x + 1 = 0?
(A) √2
(B) 1
(C) √3
(D) √4
A) √2
B) 1
C) √3
D) √4

8. Qual é a solução geral da equação diferencial y'' + 3y' + 2y = 0?
(A) c1 e^-x + c2 e^-2x
(B) c1 e^x + c2 e^2x
(C) c1 cos(x) + c2 sin(x)
(D) c1 cosh(x) + c2 sinh(x)
A) c1 e^-x + c2 e^-2x
B) c1 e^x + c2 e^2x
C) c1 cos(x) + c2 sin(x)
D) c1 cosh(x) + c2 sinh(x)

9. Qual é o valor da série ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n+1))?
(A) 1
(B) 2
(C) 1/2
(D) 3/2
A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 3/2

10. Qual é o determinante da matriz [1 2; 3 4]?
(A) -2
(B) 2
(C) -1
(D) 1
A) -2
B) 2
C) -1
D) 1

11. Qual é o valor de ∫_{0}^{π} sin(x) dx?
(A) 2
(B) 1
(C) π
(D) 0
A) 2
B) 1
C) π
D) 0

12. Se A é uma matriz 2x2 com A = [a b; c d], qual é o valor de tr(A^2), onde tr(A) é a soma dos elementos diagonais?
(A) a^2 + b^2 + c^2 + d^2
(B) a^2 + d^2
(C) (a+d)^2 - 2bc
(D) (a+d)^2 + 2bc
A) a^2 + b^2 + c^2 + d^2
B) a^2 + d^2
C) (a+d)^2 - 2bc
D) (a+d)^2 + 2bc

14. Qual é o valor da série ∑_{n=1}^{∞} (-1)^(n-1)/n^2?
(A) π^2/12
(B) π^2/8
(C) π^2/4
(D) π^2/6
A) π^2/12
B) π^2/8
C) π^2/4
D) π^2/6

15. Qual é o valor de ∫_{0}^{1} 1/(x^3 + 1) dx?
(A) π/(6√3)
(B) π/4
(C) π/3
(D) 2π/3
A) π/(6√3)
B) π/4
C) π/3
D) 2π/3

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