Fundamentos de algebra

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1.
		Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	m = n
	
	 
		
	
		2.
		Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	 
		
	
		3.
		Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Comutativa.
	
	 
		
	
		5.
		Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4  é:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		
	
	
	
	
	
	
	1
	
	 
		
	
		7.
		
	
	
	
	
	
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	 
		
	
		8.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
 
		
	
		1.
		Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
	
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	5
	
	
	48
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
	
	
	
	c
	
	
	a
	
	
	e
	
	
	d
	
	
	b
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o conjunto (Z8, +).  Marque a alternativa que indica a solução da equação  x + 5 = 3.
	
	
	
	0
	
	
	6
	
	
	-2
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule o produto (27).(45) considerando Z10.
	
	
	
	3
	
	
	35
	
	
	10
	
	
	7
	
	
	5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯  em Z3.
	
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−1-1¯
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−2-2¯
	
	
	e = ¯11¯
	
	
	e = ¯22¯
	
	
	e = ¯33¯
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = f   
	
	
	x = d
 
	
	
	x = c
 
	
	
	x = a
 
	
	
	x = b
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	e = f1
	
 
		
	
		1.
		Seja (Z6, +) um grupo. Verifique  se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de
(Z6, +).
	
	
	
	H não é subgrupo de (Z6, +).
	
	
	H é subgrupo de (Z6, +).
	
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +).
	
	
	H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6.
	
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o grupo (Z*7, .)  e  a = 5. Determine a2 .
	
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	25
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
	
	
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos  h1h2 ∈∈H.  
	
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos  h1h2 ∈∈H   e
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeita  a seguinte propriedade:   
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈∈ H  temos  h1h2 ∈∈ H.
 
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o grupo (Z,+)  e  a = 4. Determine a2.
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	16
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
	
	
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	
	As afirmações III e IV são falsas
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4.
	
	
	
	[4] = {2,4,8,0}
 
	
	
	[4] = {2,4,6,10}
 
	
	
	[4] = {2,4,6,8}
	
	
	[4] = {2,4,6,8,0}
	
	
	[4] = {4,6,8,0}
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
	
	
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	 
		
	
		1.
		
	
	
	
	3 + H
	
	
	H
	
	
	H + H
	
	
	2 + H
	
	
	1 + H
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais.
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	
	H é cíclico
	
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	
	A ordem de H dividea ordem de G.
	
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	
	{i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
	
	
	
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	 
		
	
		1.
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
	
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {2}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z x Z → Z   tal que f(x,y) = x.  f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		  
	
	
	
	(12342413)(12342413)
	
	
	(12344213)(12344213)
	
	
	(12343241)(12343241)
	
	
	(12341432)(12341432)
	
	
	(12343124)(12343124)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	(12342314)(12342314)
	
	
	(12343241)(12343241)
	
	
	(12343124)(12343124)
	
	
	(12341432)(12341432)
	
	
	(12344213)(12344213)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		  
	
	
	
	(12344213)(12344213)
	
	
	(12341432)(12341432)
	
	
	(12342413)(12342413)
	
	
	(12343124)(12343124)
	
	
	(12343241)(12343241)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
	
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + y = 0}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + 5y = 0}
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
	
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:  f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:
f(x + y) = f(x) + f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições:
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	N(f) = {1}
	
 
		
	
		1.
		O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa que indica a existência do elemento simétrico para a adição.
	
	
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel . Então tomemos  - X = [ xij] em (Mn(A)),
então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] =  e. Logo, - X = -[ xij]  é o simétrico
de X = [xij].
	
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então
 tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0].
	
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0.
Então tomemos  - X = .    Logo, - X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	
	
	Existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (+X) = [xij] + [xij] = [xij  + xij] .
Logo, X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] =  e. Logo, - X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
	
	
	
	X= 2 e y=4
	
	
	X= 5 e y=6
	
	
	X= 3 e y=3
	
	
	X= 2 e y=2
	
	
	X= 2 e y=3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	Zn
	
	
	Z
	
	
	Z_
	
	
	nZ
	
	
	Q
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
   O elemento neutro desse anel é
 
	
	
	
	e = -2
	
	
	e = -1
 
	
	
	e = 1
 
	
	
	e = 2
 
	
	
	e = 0
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, ΔΔ) com as operações definidas por:
 
a * b = a + b - 1
 
a ΔΔb = a + b - ab
 
	
	
	
	e = 5
	
	
	e = 1
	
	
	e = 2
	
	
	e = 4
	
	
	e = 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		
	
	
	
	e = -1
	
	
	e = 2
	
	
	e = 1
	
	
	e = 0
	
	
	e = -2
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com asoperações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	nZ
	
	 
		
	
		1.
		Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros.
	
	
	
	¯33¯
	
	
	¯11¯
	
	
	¯44¯
	
	
	¯55¯
	
	
	¯22¯
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado:
Seja A um anel,  a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	
	
	Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	
	Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b  a propriedade é verdadeira.
Agora note que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	
	Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1  temos
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	
	Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
	
	
	Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre n verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x∈Ax∈A  então  - (-x) = x
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que:
	
	
	
	M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma.
	
	
	M_2x2 (R) tem unidade.
	
	
	M_2x2 (R) tem divisores de zero
	
	
	M_2x2 (R) é um anel comutativo.
	
	
	Nenhuma das anteirores
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado:
Seja A um anel,  a∈Aa∈A  e  ∀∈Z∀∈ℤ    temos:
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
	
	
	
	(Q, +, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	(Z, +, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	O anel (Zm,+, .)  é um anel com unidade para m ≥ 2.
	
	
	(R, + , .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	(C,+, .) não é um anel com unidade.
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
	
	
	
	O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
	
	
	Q
	
	
	Z+
	
	
	2Z
	
	
	Z
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
 
		
	
		1.
		Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	2,3,6,8 e 10
	
	
	3,5,9,10 e 12
	
	
	3,5,9,10 e 15
	
	
	5,9,10, e 15
	
	
	3,5,6,10 e 15
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	Somente a I  e II estão corretas.
 
	
	
	Somente a III está correta.
 
	
	
	Somente a I está correta.
 
	
	
	Somente a II e III estão corretas.
	
	
	Somente a II está correta.
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
	
	
	
	S = {0,1,10}
 
	
	
	S = {0,10}
	
	
	S = {0,2,12}
	
	
	S = {1,11}
	
	
	S = {0,1 }
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a única alternativa correta sobre os subanéis.
	
	
	
	(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.).  
	
	
	O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z.
	
	
	Q,+,.)  não é um subanel de (R,+,.)  e (C,+,.).
 
	
	
	O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈∈Z}
	
	
	O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6.
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B:
	
	
	
	A=Z e B=2Z
	
	
	A=Q e B=Z3
	
	
	A=3Z e B=2Z
	
	
	A=Q e B=Zn
	
	
	A=Z e B=Zn
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere as seguintes afirmações:
 
(I)                35 é divisor de zero no anel Z54.
(II)             36 é divisor de zero no anel Z54.
(III)          Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então B é um anel também sem divisores de zero.
(IV)          No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2
 Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
	
	
	Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente a afirmativa III é verdadeira.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.  Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição.  Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos.
	
	
	
	Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que:
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que:
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que:
 ∀x,y∈S∀x,y∈S  e ∀m,n∈S∀m,n∈S,  temos x = 2n + 1  e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S.  Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
	
	
	Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que:
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n  e y = 2m
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n  - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade:
	
	
	
	Z14
	
	
	Z x Z
	
	
	M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2)
	
	
	Z3
	
	
	Q
	
	 
		
	
		1.
		Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	
	U(Z4) = {1,3}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		No  anel Z4 determine Reg(Z4 ).
	
	
	
	Reg(Z4 ) = {1}
	
	
	Reg(Z4 ) = {1,3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {0,3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {0,1,3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {3}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		No  anel Z4 determine Reg(Z4 ).
	
	
	
	Reg(Z4 ) = {0,1,3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {1}
	
	
	Reg(Z4 ) = {0,3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {3}
	
	
	Reg(Z4 ) = {1,3}
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	Todo anel comutativo é um corpo
	
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
	
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,   x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo.
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel  comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo?
	
	
	
	Z
	
	
	Q
	
	
	IR
	
	
	Zp para p primo
	
	
	C
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine U(Z12)  em Z12.
	
	
	
	U(Z12) = {1,5,7,11}
	
	 
		
	
		1.
		Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) :
	
	
	
	I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z
	
	
	I=Z , A=Q
	
	
	I=3Z U 7Z , A=Z
	
	
	I=3Z , A=z
	
	
	I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR   
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível
de A, então I ≠ A.
	
	
	O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2.
	
	
	2Z é um ideal no anel Z.
	
	
	Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0}  e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .).
	
	
	Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis.
	
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	N(f) = {(0,4)}
	
	
	N(f) = {(0,0)}
	
	
	N(f) = {(0,1)}
	
	
	N(f) = {(0,3)}
	
	
	N(f) = {(0,2)}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z x Z → Z   tal que f(x,y) = x.  f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.6.
		Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z.
	
	
	
	Z
	
	
	2Z
	
	
	6Z
	
	
	3Z
	
	
	5Z
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine todos os ideais de Z8.
	
	
	
	{0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8
	
	
	{0}, {0,2,4,6} e {0,4}
	
	
	{0}, {0,4} e Z8
	
	
	{0} e {0,2,4,6}
	
	
	{0,2,4,6}, {0,4} e Z8
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
	
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:
f(x + y) = f(x) + f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:  f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	1a Questão (Ref.:201803167328)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
		
	
	n = k
	
	m < n
	
	m = k
	
	m > n
	 
	m = n
	Respondido em 22/10/2019 21:10:49
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201803167310)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência de  elementos simétrizáveis.
		
	 
	x-1 = 4 - x
	
	x-1 = 2 - x  
	
	x-1 = 1 - x
	 
	x-1 = 4 + x
	
	x-1 = x + 1 
	Respondido em 22/10/2019 21:09:42
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201803074191)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere o conjunto (Z8, +).  Marque a alternativa que indica a solução da equação  x + 5 = 3.
		
	 
	6
	
	2
	 
	-2
	
	0
	
	3
	Respondido em 22/10/2019 21:09:59
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201803074199)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	 
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	
	1, 3 e 4
	 
	1, 2 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	Respondido em 22/10/2019 21:10:37
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201803151442)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4.
		
	
	[4] = {2,4,6,8}
	 
	[4] = {4,6,8,0}
 
	
	[4] = {2,4,6,10}
 
	
	[4] = {2,4,8,0}
 
	 
	[4] = {2,4,6,8,0}
	Respondido em 22/10/2019 21:11:22
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201803167324)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
		
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	Respondido em 22/10/2019 21:13:46
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201803214537)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
		
	 
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
	
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	Respondido em 22/10/2019 21:11:45
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201803214538)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
		
	
	H é cíclico
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	 
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	Respondido em 22/10/2019 21:12:12
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201803074197)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	(12343241)(12343241)
	
	(12342413)(12342413)
	
	(12344213)(12344213)
	 
	(12343124)(12343124)
	
	(12341432)(12341432)
	Respondido em 22/10/2019 21:12:27
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201803167302)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os  grupos S3 e Z6  não são isomorfos.
PORQUE
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano.
		
	 
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
	
	
	1a Questão (Ref.:201803167316)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	
	e = -2
	 
	e = 3
	 
	e = 2
	
	e = 0
	
	e = 1
	Respondido em 23/10/2019 18:15:43
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201803167329)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 4  é um grupo ?
		
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	Respondido em 23/10/2019 18:15:56
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201803074195)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11.
 
		
	
	{(-3,7)}
	 
	{(1,4)}
	
	{(2,3)}
	 
	{(0,6)}
	
	{(-14/13;119/39)}
	Respondido em 23/10/2019 18:16:07
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201803503190)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
		
	 
	4
	
	48
	
	6
	
	5
	 
	8
	Respondido em 23/10/2019 18:16:20
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201803167308)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
		
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	 
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
	 
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	Respondido em 23/10/2019 18:16:23
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201803167286)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	
	x = a
	 
	x = b
	
	x = f
	
	x = d
	 
	x = c
	Respondido em 23/10/2019 18:16:29
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201803167306)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	2 + H
	 
	3 + H
	
	H
	
	1 + H
	
	H + H
	Respondido em 23/10/2019 18:16:32
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201803167348)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
		
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H éo H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	Respondido em 23/10/2019 18:16:37
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201803074188)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
		
	 
	(12342314)(12342314)
	
	(12344213)(12344213)
	 
	(12343241)(12343241)
	
	(12343124)(12343124)
	
	(12341432)(12341432)
	Respondido em 23/10/2019 18:16:40
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201803167344)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  2 1 3 4
	 
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 1 3 2
	
	
	1a Questão (Ref.:201803167332)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
		
	
	Existe elemento neutro e = -1
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Não existe elemento neutro
	 
	Existe elemento neutro e = 1
	Respondido em 23/10/2019 18:20:33
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201803167333)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
		
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	Respondido em 23/10/2019 18:17:32
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201803074200)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
		
	 
	c
	 
	b
	
	d
	
	a
	
	e
	Respondido em 23/10/2019 18:20:24
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201803502729)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Respondido em 23/10/2019 18:20:20
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201803167337)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
		
	
	As afirmações I e III são falsas
	 
	As afirmações III e IV são falsas
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	A afirmação I é verdadeira
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	Respondido em 23/10/2019 18:20:16
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201803151442)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4.
		
	
	[4] = {2,4,6,8}
	
	[4] = {2,4,8,0}
 
	 
	[4] = {4,6,8,0}
 
	
	[4] = {2,4,6,10}
 
	 
	[4] = {2,4,6,8,0}
	Respondido em 23/10/2019 18:20:06
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201803214537)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
		
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
	 
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	 
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	Respondido em 23/10/2019 18:20:00
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201803214538)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
		
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	 
	H é cíclico
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	Respondido em 23/10/2019 18:19:41
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201803151686)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
		
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	 
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:  f(xy) = f(x)f(y).
	 
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições:
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:
f(x + y) = f(x) + f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	Respondido em 23/10/2019 18:19:35
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201803167312)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
		
	
	N(f) = {1}.
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {2}.
	 
	N(f) = {4}.
	 
	N(f) = {0}