Determine o número de solucóes de cada uma das congruéncias lineares seguintes: a) 4x = 16 (mod. 8) b) 4x = 15 (mod. 8) c) 3x = 30 (mod. 15)

Vamos analisar cada uma das congruências lineares para determinar o número de soluções. a) \(4x \equiv 16 \mod 8\) Podemos simplificar a congruência: \(4x \equiv 0 \mod 8\) Dividindo ambos os lados por 4: \(x \equiv 0 \mod 2\) Isso significa que \(x\) pode ser 0 ou 1 (mod 2), ou seja, \(x\) tem 2 soluções: \(x = 0\) e \(x = 1\) (mod 2). b) \(4x \equiv 15 \mod 8\) Simplificando: \(4x \equiv 7 \mod 8\) Aqui, não podemos dividir por 4, pois 4 e 8 não são coprimos. Precisamos verificar se existe solução. O que podemos fazer é testar os valores de \(x\) de 0 a 7: - Para \(x = 0\): \(4(0) \equiv 0\) - Para \(x = 1\): \(4(1) \equiv 4\) - Para \(x = 2\): \(4(2) \equiv 0\) - Para \(x = 3\): \(4(3) \equiv 4\) - Para \(x = 4\): \(4(4) \equiv 0\) - Para \(x = 5\): \(4(5) \equiv 4\) - Para \(x = 6\): \(4(6) \equiv 0\) - Para \(x = 7\): \(4(7) \equiv 4\) Nenhum valor de \(x\) satisfaz a congruência, então não há soluções. c) \(3x \equiv 30 \mod 15\) Simplificando: \(3x \equiv 0 \mod 15\) Dividindo ambos os lados por 3: \(x \equiv 0 \mod 5\) Isso significa que \(x\) pode ser 0, 5, 10, etc. Portanto, existem 5 soluções no intervalo de 0 a 14 (0, 5, 10). Resumindo: a) 2 soluções b) 0 soluções c) 5 soluções