Para mostrar que \( \mathbb{R} \) munido da operação \( \Delta \) definida por \( x \Delta y = x + y - 3 \) é um grupo comutativo, precisamos verificar três propriedades: 1. Associatividade: Precisamos mostrar que \( (x \Delta y) \Delta z = x \Delta (y \Delta z) \) para todo \( x, y, z \in \mathbb{R} \). - Calculando \( (x \Delta y) \Delta z \): \[ (x \Delta y) \Delta z = (x + y - 3) \Delta z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6 \] - Agora, calculando \( x \Delta (y \Delta z) \): \[ x \Delta (y \Delta z) = x \Delta (y + z - 3) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6 \] Como \( (x \Delta y) \Delta z = x \Delta (y \Delta z) \), a operação é associativa. 2. Comutatividade: Precisamos mostrar que \( x \Delta y = y \Delta x \) para todo \( x, y \in \mathbb{R} \). - Calculando \( x \Delta y \): \[ x \Delta y = x + y - 3 \] - Calculando \( y \Delta x \): \[ y \Delta x = y + x - 3 \] Como \( x + y - 3 = y + x - 3 \), a operação é comutativa. 3. Existência do elemento neutro: Precisamos encontrar um elemento \( e \in \mathbb{R} \) tal que \( x \Delta e = x \) para todo \( x \). - Vamos resolver \( x \Delta e = x \): \[ x + e - 3 = x \implies e - 3 = 0 \implies e = 3 \] Portanto, o elemento neutro é \( 3 \). 4. Existência do elemento simétrico: Para cada \( x \in \mathbb{R} \), precisamos encontrar um \( y \) tal que \( x \Delta y = e \). - Precisamos resolver \( x \Delta y = 3 \): \[ x + y - 3 = 3 \implies y = 6 - x \] Assim, o elemento simétrico de \( x \) é \( 6 - x \). Com isso, concluímos que \( (\mathbb{R}, \Delta) \) é um grupo comutativo, pois satisfaz todas as propriedades necessárias: associatividade, comutatividade, existência do elemento neutro e existência de elementos simétricos.