Sabendo que uma propriedade extremamente importante do máximo divisor comum (mdc) entre dois números inteiros é o Teorema de Bézout, que diz: “sejam �

Question

Sabendo que uma propriedade extremamente importante do máximo divisor comum (mdc) entre dois números inteiros é o Teorema de Bézout, que diz: “sejam ? a e ? b inteiros não ambos nulos, então existem inteiros ? r e ? s tais que ? ⋅ ? + ? ⋅ ? = mdc ( ? , ? ) r⋅a+s⋅b=mdc(a,b)”. Agora, dados ? = 120 a=120, ? = 56 b=56 e mdc ( 120 , 56 ) = ? mdc(120,56)=d, calcule os valores de ? d, ? r e ? s, conforme o Teorema de Bézout: ? ⋅ ? + ? ⋅ ? = mdc ( ? , ? ) = ? r⋅a+s⋅b=mdc(a,b)=d, e assinale a alternativa correta. Alternativas: A) ? = 1 , ? = 8 , ? = − 2 d=1, r=8, s=−2 B) ? = 8 , ? = − 1 , ? = 2 d=8, r=−1, s=2 C) ? = 8 , ? = 1 , ? = − 2 d=8, r=1, s=−2 D) ? = − 8 , ? = 1 , ? = 2 d=−8, r=1, s=2 E) ? = 8 , ? = 2 , ? = − 1 d=8, r=2, s=−1

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos primeiro calcular o máximo divisor comum (mdc) entre 120 e 56.

Usando o algoritmo de Euclides:
1. 120 dividido por 56 dá quociente 2 e resto 8 (120 = 2 * 56 + 8).
2. 56 dividido por 8 dá quociente 7 e resto 0 (56 = 7 * 8 + 0).

Portanto, o mdc(120, 56) é 8.

Agora, precisamos encontrar inteiros $ r $ e $ s $ que satisfaçam a equação $ 120r + 56s = 8 $.

Podemos usar a forma do algoritmo de Euclides para encontrar $ r $ e $ s $:
1. A partir da primeira equação, temos $ 8 = 120 - 2 \cdot 56 $.
2. Isso nos dá $ r = -2 $ e $ s = 1 $.

Assim, temos:
- $ d = 8 $
- $ r = -2 $
- $ s = 1 $

Agora, vamos analisar as alternativas:
A) $ d = 1, r = 8, s = -2 $ - Incorreto.
B) $ d = 8, r = -1, s = 2 $ - Incorreto.
C) $ d = 8, r = 1, s = -2 $ - Incorreto.
D) $ d = -8, r = 1, s = 2 $ - Incorreto.
E) $ d = 8, r = 2, s = -1 $ - Incorreto.

Nenhuma das alternativas está correta com os valores que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as opções apresentadas. Você pode precisar revisar as alternativas ou a formulação da questão.

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