o mundo 3g40

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Resposta: A. O cálculo da derivada \( g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) resulta na solução da 
equação quadrática \( g'(x) = 0 \) e obtemos os pontos críticos. 
 
26. Qual é a integral dupla de \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre o quadrado \( [0, 1] \times [0, 1] 
\)? 
 A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( \frac{2}{3} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 Resposta: B. O cálculo resulta em \( \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx \) que dá \( 
\frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{2}{3} \). 
 
27. Determine a derivada de \( h(x) = \ln(2x + 1) \). 
 A) \( \frac{2}{2x + 1} \) 
 B) \( \frac{1}{2x + 1} \) 
 C) \( \frac{2x}{2x + 1} \) 
 D) \( 2 \cdot \ln(2x + 1) \) 
 Resposta: A. Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \). 
 
28. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(\frac{1}{x})}{x} \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) Não existe 
 D) Infinito 
 Resposta: A. Como \( |\sin(\frac{1}{x})| \leq 1 \), temos \( -x \leq x^2 \sin(\frac{1}{x}) \leq x 
\), fazendo \( \lim_{x \to 0} = 0 \). 
 
29. Qual é a área sob a curva da função \( f(x) = 3x^2 \) no intervalo \( [1, 2] \)? 
 A) \( 5 \) 
 B) \( 3 \) 
 C) \( 4 \) 
 D) \( 6 \) 
 Resposta: D. A integral \( \int_1^2 3x^2 \, dx = [x^3]_1^2 = 8 - 1 = 7 \). 
 
30. Determine a integral \( \int e^{3x} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 B) \( 3e^{3x} + C \) 
 C) \( e^{x} + C \) 
 D) \( e^{3x + C} \) 
 Resposta: A. A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). 
 
31. O que é a integral \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 Resposta: C. A integral de \( \sin(x) \) resulta em \( [-\cos(x)]_0^{\pi} = 2 \). 
 
32. Determine a série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 A) \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) 
 B) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \ldots \) 
 C) \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots \) 
 D) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \) 
 Resposta: A. A função coseno é gerada pelas potências pares e alternadas. 
 
33. Qual é o máximo da função \( f(x) = -2x^2 + 8x + 10 \) para \( x \) em \( [0, 5] \)? 
 A) 20 
 B) 30 
 C) 40 
 D) 10 
 Resposta: A. A função quadrática tem um máximo em \( x = -\frac{b}{2a} = 2 \) e 
avaliando \( f(2) \). 
 
34. Encontre \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 A) 2 
 B) 1 
 C) 0 
 D) Não existe 
 Resposta: A. A indeterminação \( 0 \) é resolvida via fatoração, resultante em \( 2 \) após 
simplificação. 
 
35. Qual o resultado da soma \( \sum_{n=1}^{10} n^2 \)? 
 A) \( 385 \) 
 B) \( 300 \) 
 C) \( 450 \) 
 D) \( 500 \) 
 Resposta: A. A fórmula \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) para \( n = 10 \) fornece \( 385 \). 
 
36. Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 A) 1 
 B) 0 
 C) \( e \) 
 D) Não existe 
 Resposta: A. A aplicação da definição da derivada resulta em 1. 
 
37. O que é a segunda derivada da função \( h(x) = x^3 - 6x + 4 \)? 
 A) \( 6x \) 
 B) \( 3x^2 \) 
 C) \( -6 \) 
 D) \( 0 \) 
 Resposta: B. Derivando duas vezes obtemos \( h''(x) = 6x \). 
 
38. Determine \( \int_0^1 x e^x \, dx \). 
 A) \( 1 - e \)