Qual é a integral dupla de f(x,y) = x^2 + y^2 sobre o quadrado [0, 1] × [0, 1]? A) \frac{1}{3} B) \frac{2}{3} C) 1 D) \frac{1}{2}

Para calcular a integral dupla da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre o quadrado \([0, 1] \times [0, 1]\), precisamos calcular: \[ \iint_{[0,1] \times [0,1]} (x^2 + y^2) \, dx \, dy \] Podemos separar a integral em duas partes: \[ \iint_{[0,1] \times [0,1]} x^2 \, dx \, dy + \iint_{[0,1] \times [0,1]} y^2 \, dx \, dy \] Calculando a primeira parte: \[ \iint_{[0,1] \times [0,1]} x^2 \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 x^2 \, dx \, dy \] A integral interna em relação a \(x\) é: \[ \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] Agora, a integral em relação a \(y\): \[ \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3} \cdot [y]_0^1 = \frac{1}{3} \] Agora, para a segunda parte: \[ \iint_{[0,1] \times [0,1]} y^2 \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 y^2 \, dx \, dy \] A integral interna em relação a \(y\) é: \[ \int_0^1 y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] E a integral em relação a \(x\): \[ \int_0^1 \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot [x]_0^1 = \frac{1}{3} \] Agora, somando as duas partes: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Portanto, a integral dupla de \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre o quadrado \([0, 1] \times [0, 1]\) é: B) \(\frac{2}{3}\).