Lista - Integrais_resolvida

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Departamento Acadêmico de Matemática 
Lista 4 
Professora: Angelita Minetto Araújo 
Turma 
S53 
Código 
MAT7T1 
TÓPICOS 1 
 
Obs.: Essa lista não precisa ser entregue, serve apenas para estudo. 
Lembrando que 2 questões da lista serão cobradas na Prova -4. 
 
As questões que estão destacadas em amarelo não serão cobradas, pois exigem fazer a 
substituição de variável... e isso não trabalhamos. 
 
Questão 1. Calcule as integrais indefinidas: 
 
 
𝑎. ∫(√𝑥 + 1) (𝑥 − √𝑥 + 2)𝑑𝑥 𝑅: 
2 √𝑥5
5
+ 
2 √𝑥3
3
+ 2𝑥 + 𝐶 
 
𝑏. ∫ 𝑥 (𝑥2 + 10 )80 𝑑𝑥 𝑅: 
(𝑥2 + 10 )81
162
 + 𝐶 
 
𝑐. ∫ 𝑥 √4 𝑥2 + 15 𝑑𝑥 𝑅:
(4𝑥2+15)
3
2
12
 + 𝐶 
 
 
𝑑. ∫ 𝑦3 (2𝑦2 − 3 ) 𝑑𝑦 𝑅: 
𝑦6
3
 − 
3 𝑦4
4
 + 𝐶 
 
𝑒. ∫
 𝑥2 + 4𝑥 − 4
√𝑥
 𝑑𝑥 𝑅: 
2𝑥
5
2
5
 + 
8𝑥
3
2
3
− 8 𝑥
1
2 + 𝐶 
 
 
Questão 2. Calcule o valor das integrais usando o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
𝑎. ∫ (3𝑥2 + 1)2 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 𝑅:
7
2
 
𝑏. ∫
7
(1 + 𝑤)
3
4
15
0
 𝑑𝑤 𝑅: 28 
𝑐. ∫ (2𝑥 + 3)3
1
−1
 𝑑𝑥 𝑅: 78 
 
Questão 3. Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas: 
 
 𝑎. 𝑦 = 𝑥2 e 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑅: 4,5 𝑢. 𝑎 
 
 𝑏. 𝑦 = 𝑥2 − 2 e 𝑦 = 2 𝑅: 10,67 𝑢. 𝑎. 
 
 
Resolução 
 
Questão 1. Calcule as integrais indefinidas: As que estão destacadas em amarelo não serão 
cobradas pois exigem fazer a substituição de variável... e isso não trabalhamos. 
 
𝑎. ∫(√𝑥 + 1) (𝑥 − √𝑥 + 2)𝑑𝑥 𝑅: 
2 √𝑥5
5
+ 
2 √𝑥3
3
+ 2𝑥 + 𝐶 
 
𝑏. ∫ 𝑥 (𝑥2 + 10 )80 𝑑𝑥 𝑅: 
(𝑥2 + 10 )81
162
 + 𝐶 
 
𝑐. ∫ 𝑥 √4 𝑥2 + 15 𝑑𝑥 𝑅:
(4𝑥2+15)
3
2
12
 + 𝐶 
 
 
𝑑. ∫ 𝑦3 (2𝑦2 − 3 ) 𝑑𝑦 𝑅: 
𝑦6
3
 − 
3 𝑦4
4
 + 𝐶 
 
∫ 2𝑦5 − 3𝑦3 𝑑𝑦 =
2𝑦6
6
−
3𝑦4
4
 + 𝐶 = 
𝑦6
3
 − 
3 𝑦4
4
 + 𝐶 
 
𝑒. ∫
 𝑥2 + 4𝑥 − 4
√𝑥
 𝑑𝑥 𝑅: 
2𝑥
5
2
5
 + 
8𝑥
3
2
3
− 8 𝑥
1
2 + 𝐶 
 
 
∫(𝑥2 + 4𝑥 − 4). 𝑥−
1
2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
3
2 + 4
1
2 − 4𝑥−
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
5
2
5
2
+
4
3
2
3
2
−
4𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶 = 
2𝑥
5
2
5
 + 
8𝑥
3
2
3
− 8 𝑥
1
2 + 𝐶 
 
 
Questão 2. Calcule o valor das integrais usando o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
𝑎. ∫ (3𝑥2 + 1)2 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
∫(3𝑥2 + 1). (3𝑥2 + 1) . 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ∫(9𝑥4 + 3𝑥2 + 3 𝑥2 + 1) . 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= 
 
∫ 9𝑥5 + 3𝑥3 + 3 𝑥3 + 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 9𝑥5 + 6𝑥3 + 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= 
 
 
9𝑥6
6
+
6𝑥4
4
+
𝑥2
2
 |
1
0
= 
3𝑥6
2
+
3𝑥4
2
+
𝑥2
2
 |
1
0
 
 
(
3(1)6
2
+
3(1)4
2
+
(1)2
2
) − (
3(0)6
2
+
3(0)4
2
+
(0)2
2
) = 
 
(
3
2
+
3
2
+
1
2
) − 0 =
7
2
= 3,5 
 
𝑏. ∫
7
(1 + 𝑤)
3
4
15
0
 𝑑𝑤 𝑅: 28 
 
 
𝑐. ∫ (2𝑥 + 3)3
1
−1
 𝑑𝑥 𝑅: 78 
 
 
∫ (2𝑥 + 3)3
1
−1
 𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 + 3). (2𝑥 + 3). (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 
1
−1
 
 
∫ (4𝑥2 + 6𝑥 + 6𝑥 + 9). (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥2 + 12𝑥 + 9). (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 
1
−1
1
−1
 
∫ 8𝑥3 + 24𝑥2 + 18𝑥 + 12𝑥2 + 36𝑥 + 27 𝑑𝑥
1
−1
= ∫ 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27 𝑑𝑥
1
−1
 
 
8𝑥4
4
+
36𝑥3
3
+
54𝑥2
2
+ 27 𝑥 |
1
−1
= 2𝑥4 + 12𝑥3 + 27 𝑥2 + 27 𝑥 |
1
−1
= 
 
(2(1)4 + 12(1)3 + 27 (1)2 + 27 (1) ) − (2(−1)4 + 12(−1)3 + 27 (−1)2 + 27 (−1)) 
 
(2 + 12 + 27 + 27 ) − (2 − 12 + 27 − 27 ) = 68 + 10 = 78 
 
 
Questão 3. Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas: 
 
 
 𝑎. 𝑦 = 𝑥2 e 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑅: 4,5 𝑢. 𝑎 
 
intersecção entre as duas funções resulta no intervalo de integração: 
 
𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = −𝑥 + 2 → 𝑥2 = − 𝑥 + 2 → 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 = 
−(1) ± √(1)2 − 4(1)(−2)
2(1)
=
−1 ± √1 + 8
2
=
−1 ± 3
2
 
 
 𝑥′ = −2 𝑒 𝑥′′ = 1 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ (−𝑥 + 2) − (𝑥2)𝑑𝑥 
1
−2
= ∫ (−𝑥2 − 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
1
−2
= 
 
(
−𝑥3
3
− 
𝑥2
2
+ 2𝑥)|
1
−2
 
 
(
−13
3
− 
12
2
+ 2(1)) − (
−(−2)3
3
− 
(−2)2
2
+ 2(−2)) 
(
−1
3
− 
1
2
+ 2) − (
8
3
− 
4
2
− 4) = (
−1
3
− 
1
2
+ 2) − (
8
3
− 2 − 4) = 
 
(
−1
3
− 
1
2
+ 2) − (
8
3
− 6) = −
1
3
− 
1
2
+ 2 −
8
3
+ 6 = −
9
3
− 
1
2
+ 8 = 
 
−18 − 3 + 48
6
=
27
6
=
9
2
= 4,5 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
 𝑏. 𝑦 = 𝑥2 − 2 e 𝑦 = 2 𝑅: 10,67 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
intersecção entre as duas funções resulta no intervalo de integração: 
 
𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑒 𝑦 = 2 → 𝑥2 − 2 = 2 → 𝑥2 − 4 = 0 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 = 
−(0) ± √(0)2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
±√16
2
=
±4
2
 
 
 𝑥′ = −2 𝑒 𝑥′′ = +2 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ (2) − (𝑥2 − 2)𝑑𝑥 
2
−2
= ∫ (−𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 
2
−2
= 
 
(
−𝑥3
3
+ 4𝑥)|
2
−2
 
 
(
−23
3
+ 4(2)) − (
−(−2)3
3
+ 4(−2)) 
(
−8
3
+ 8) − (
8
3
− 8) = (−
8
3
+ 8) − (
8
3
− 8) = 
 
(−
8
3
+ 8) −
8
3
+ 8 = −
8
3
+ 8 −
8
3
+ 8 
 
= −
16
3
+ 16 =
−16 + 48
3
=
32
3
= 10,67 𝑢. 𝑎.