Matriz inversa

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Notas de aula: 6_Matriz Inversa 
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Profa. Angelita Minetto Araújo 
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1 
 
Aula n. 6 – MATRIZ INVERSA 
 
Modo 1: utilizando a matriz identidade 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é 
matriz invertível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I. 
(I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do 
Rn). 
 
 𝑰 = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
 
Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. 
 
Para a existência da matriz inversa o determinante deve 
ser diferente de zero: det A ≠ 0 
 
Relembrando: 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o 
nome de determinante. 
Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz 
quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. 
Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que 
não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversa
 
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2 
 
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 𝐴−1, 
logo: 
 𝐴 . 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 
Se A não é invertível dizemos que A é singular. 
 
Exemplo – Sejam as matrizes: 
 
A = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] , B = [
𝑎11
′ 𝑎12
′
 𝑎21
′ 𝑎22
′
] , In= [
1 0
0 1
] 
 
A . B = In 
 
 [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] . [
𝑎11
′ 𝑎12
′
 𝑎21
′ 𝑎22
′
] = [
1 0
0 1
] 
 
 
[
𝑎11. 𝑎11
′ + 𝑎12. 𝑎21
′ 𝑎11. 𝑎12
′ + 𝑎12. 𝑎22
′
𝑎21. 𝑎11
′ + 𝑎22. 𝑎21
′ 𝑎21. 𝑎12
′ + 𝑎22. 𝑎22
′
] = [
1 0
0 1
] 
 
Logo, 1) 𝑎11. 𝑎11
′ + 𝑎12. 𝑎21
′ = 1 
 2) 𝑎11. 𝑎12
′ + 𝑎12. 𝑎22
′ = 0 
 3) 𝑎21. 𝑎11
′ + 𝑎22. 𝑎21
′ = 0 
 4) 𝑎21. 𝑎12
′ + 𝑎22. 𝑎22
′ = 1 
 
Exemplo: 
 
 
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3 
 
A-1 = [
1 1
2 3
] 
 
Exemplo: 
 
1) Seja A = [
3 4
2 3
] encontre A-1. 
A . B = In 
 
Seja B = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] e B = A-1 (B é a matriz inversa de A), logo, 
 
[
3 4
2 3
] . [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
3𝑎 + 4𝑏 3𝑐 + 4𝑑 
2𝑎 + 3𝑏 2𝑐 + 3𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
 {
3 𝑎 + 4𝑏 = 1
3𝑐 + 4𝑑 = 0
2𝑎 + 3𝑏 = 0
2𝑐 + 3𝑑 = 1
 
 
Logo, a = 3 b = - 2 c = - 4 d = 3 
 
Portanto, 𝐵 = 𝐴−1 = [
3 −4
−2 3
] 
 
 
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4 
 
 
Modo 2: Inversão de matrizes 2×2 
 
No caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2: 
 
 
 
 
Apenas para matrizes quadradas de ordem 2 x 2 podemos 
calcular a inversa da seguinte forma: 
1. Primeiro calculamos o determinante: 
 𝐴 = [
2 3
1 4
]  det A = 8 – 3  det A = 5 
 
2. Invertemos a ordem dos elementos da diagonal principal: 
[
4 3
1 2
] 
 
3. Trocamos o sinal dos elementos da diagonal secundária: 
[
4 −3
−1 2
] 
 
4. Dividimos cada um dos elementos da matriz pelo determinante 
e a matriz resultante será a matriz inversa. 
 
 
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5 
 
𝐴−1 =
[
 
 
 
 
4
5
−3
5
−1
5
2
5 ]
 
 
 
 
 
Teorema: Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é 
única. 
 
 
Fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/funcoes6.php. 
 
 
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6 
 
Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto 
(representado pela variável x) a um único elemento de outro conjunto 
(representado pela variável y) 
 
 
 
Modo 3: calculando a matriz inversa pela matriz adjunta �̅� 
 
𝑀−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝑀
 . �̅� 
�̅� = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 
𝑀, = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 
Matriz Adjunta: �̅� 
 
 É a matriz transposta da matriz dos cofatores. 
Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma 
matriz quadrada. 
 
 Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas. 
 
Encontrando a matriz cofator: M’ 
 
Seja M a matriz original, tal que: M = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
 
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7 
 
E, seja M’ a matriz dos cofatores, tal que: M’ = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] 
 
Para encontrar a matriz cofator fazemos: 
 
 
A11 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| A12 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| A13 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A21 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| A22 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| A23 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A31 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
| A32 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| A33 = (−1)𝑖+𝑗 |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| 
Logo, 
 
 
A11 = (−1)1+1 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| A12 = (−1)1+2 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| A13 = (−1)1+3 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A21 = (−1)2+1 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| A22 = (−1)2+2 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| A23 = (−1)2+3 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A31 = (−1)3+1 |
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
| A32 = (−1)3+2 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| A33 = (−1)3+3 |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| 
 
 
Assim, 
 
 
Determinante Determinante 
Determinante 
Determinante Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante Determinante 
Determinante 
Determinante Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante Determinante Determinante 
 
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8 
 
A11 = (−1)2 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| A12 = (−1)3 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| A13 = (−1)4 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A21 = (−1)3 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| A22 = (−1)4 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| A23 = (−1)5 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| 
 
 
A31 = (−1)4 |
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
| A32 = (−1)5 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| A33 = (−1)6 |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| 
 
 
Sobre a matriz cofator: M’ = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] 
 
 Aplicamos à transposta e obtemos a matriz adjunta: �̅� 
 
 Para encontrarmos a inversa fazemos: 𝑴−𝟏 =
𝟏
𝒅𝒆𝒕𝑴
 . �̅�Exemplos: 
1. Se 𝑀 = [
1 2
3 4
] , encontre 𝑀−1 pela matriz adjunta. 
 
 
1º verificar se det M ≠ 0: det M = 4 – 6 = - 2 
 
2º encontrando a matriz cofator: 
 
A11 = (-1)2. |4| = 1 . 4 = 4 A12 = (-1)3 . |3| = - 1 . 3 = - 3 
 
Determinante 
Determinante Determinante 
Determinante 
Determinante 
Determinante 
 
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9 
 
A21 = (-1)3 . |2| = - 1 . 2 = - 2 A22 = (-1)4 . |1| = 1 . 1 = 1 
 
Matriz cofator: 𝑀′ = [
4 − 3
− 2 1
] 
 
Matriz adjunta: �̅� = (𝑀′)𝑡 = [
4 − 2
− 3 1
] 
 
Encontrando a matriz inversa: 
 
𝑀−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝑀
 .𝑀 ̅̅ ̅ → 𝑀−1 =
 1
− 2
 . [
4 − 2
− 3 1
] 
 
 
𝑀−1 = [
−
 1
2
. 4 −
1
2
. (− 2)
−
1
2
. (− 3) −
1
2
. 1
] → 𝑀−1 = [
−2 1
3
2
− 
1
2
] 
 
2. Se 𝑀 = [
1 0 2
2 1 3
3 1 0
] , encontre 𝑀−1 de duas maneiras 
diferentes. 
 
1º modo: Encontrando a inversa pela matriz adjunta: 
 
1º verificar se det M ≠ 0: det M = – 5 
 
 
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10 
 
2º encontrando a matriz cofator: 
 
 
A11 = (-1)2 |
1 3
1 0
| = 1 . (−3) = −3 A12 = (-1)3 |
2 3
3 0
| = −1 . (−9) = 9 A13 = (-1)4 |
2 1
3 1
| = 1. (−1) = −1 
 
 
A21 = (-1)3 |
0 2
1 0
| = −1. (−2) = 2 A22 = (-1)4 |
1 2
3 0
| = 1. (−6) = −6 A23 = (-1)5 |
1 0
3 1
| = −1. (1) = −1 
 
 
A31 = (-1)4 |
0 2
1 3
| = 1. (−2) = −2 A32 = (-1)5 |
1 2
2 3
| = −1. (−1) = 1 A33 = (-1)6 |
1 0
2 1
| = 1. (1) = 1 
 
 
Matriz cofator: 𝑀′ = [
−3 9 −1
2 −6 −1
−2 1 1
] 
 
Matriz adjunta: �̅� = [
−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
] 
 
Encontrando a matriz inversa: 𝑀−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝑀
 . �̅� 
 𝑀−1 =
1
−5
 . [
−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
] → 𝑀−1 = −
1
5
 . [
−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
] 
 
 
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11 
 
𝑀−1 = 
[
 
 
 
 
 
 − 
1
5
 (−3) − 
1
5
(2) − 
1
5
(−2)
− 
1
5
(9) − 
1
5
(−6) − 
1
5
(1)
− 
1
5
(−1) − 
1
5
(−1) − 
1
5
(1) ]
 
 
 
 
 
 
 = 
[
 
 
 
 
 
 
3
5
 − 
2
5
 
2
5
− 
9
5
 
6
5
− 
1
5
 
1
5
1
5
− 
1
5]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º modo: Encontrando a inversa pela matriz identidade. 
 
𝑀.𝑀−1 = 𝐼 
 
[
1 0 2
2 1 3
3 1 0
] . [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
 [
1𝑎 + 0𝑑 + 2𝑔 1𝑏 + 0𝑒 + 2ℎ 1𝑐 + 0𝑓 + 2𝑖
2𝑎 + 1𝑑 + 3𝑔 2𝑏 + 1𝑒 + 3ℎ 2𝑐 + 1𝑓 + 3𝑖
3𝑎 + 1𝑑 + 0𝑔 3𝑏 + 1𝑒 + 0ℎ 3𝑐 + 1𝑓 + 0𝑖
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
[
1𝑎 + 2𝑔 1𝑏 + 2ℎ 1𝑐 + 2𝑖
2𝑎 + 1𝑑 + 3𝑔 2𝑏 + 1𝑒 + 3ℎ 2𝑐 + 1𝑓 + 3𝑖
3𝑎 + 1𝑑 3𝑏 + 1𝑒 3𝑐 + 1𝑓
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
{
𝑎 + 2𝑔 = 1 (1)
2𝑎 + 𝑑 + 3𝑔 = 0 (2)
3𝑎 + 𝑑 = 0 (3)
 
 
 
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12 
 
De (1): 𝑎 + 2𝑔 = 1 → 𝑎 = 1 − 2𝑔 (4) 
De (2): 2𝑎 + 𝑑 + 3𝑔 = 0 → 𝑑 = −3𝑔 − 2𝑎 (5) 
De (3): 3𝑎 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = −3𝑎 (6) 
 
Logo, de (5) e (6): −3𝑔 − 2𝑎 = − 3𝑎 → 𝑎 = 3 𝑔 (7) 
 
De (4) e (7): 3𝑔 = 1 − 2𝑔 → 𝑔 = 
1
5
 (8) 
 
Portanto, de (8) em (4): 𝑎 = 1 − 2(
1
5
) → 𝑎 = 
3
5
 (9) 
 
Portanto, de (9) em (6): 𝑑 = −3(
3
5
) → 𝑑 = −
9
5
 (10) 
 
𝑎 = 
3
5
 , 𝑑 = −
9
5
 , 𝑔 = 
1
5
 
 
{
𝑏 + 2ℎ = 0
2𝑏 + 𝑒 + 3ℎ = 1
3𝑏 + 𝑒 = 0
 𝑏 = −
2
5
 , 𝑒 = 
6
5
 , ℎ = 
1
5
 
 
{
𝑐 + 2𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 + 3𝑖 = 0
3𝑐 + 𝑓 = 1
 𝑐 = 
2
5
 , 𝑓 = −
1
5
 , 𝑖 = − 
1
5
 
𝑀−1 = 
[
 
 
 
 
 
 
 
3
5
 − 
2
5
 
2
5
− 
9
5
 
6
5
− 
1
5
 
1
5
1
5
− 
1
5]
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
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13 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 3 2
4 7 5
] 
Det = ? 
𝑑𝑒𝑡 = [
1 1 1 1 1
2 3 2 2 3
4 7 5 4 7
] = 15 + 8 + 14 − 12 − 14 − 10 = 37 − 36 = 1 
Como determinante é diferente de zero a matriz admite inversa. 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
 
[
1 1 1
2 3 2
4 7 5
] . [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
 [
1𝑎 + 1𝑑 + 1𝑔 1𝑏 + 1𝑒 + 1ℎ 1𝑐 + 1𝑓 + 1𝑖
2𝑎 + 3𝑑 + 2𝑔 2𝑏 + 3𝑒 + 2ℎ 2𝑐 + 3𝑓 + 2𝑖
4𝑎 + 7𝑑 + 5𝑔 4𝑏 + 7𝑒 + 5ℎ 4𝑐 + 7𝑓 + 5𝑖
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
 Primeiro sistema de equações: 
 
{
𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 (1)
2𝑎 + 3𝑑 + 2𝑔 = 0 (2)
4𝑎 + 7𝑑 + 5𝑔 = 0 (3)
 
 
𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (1) 𝑒 (2): {
𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 (−2)
2𝑎 + 3𝑑 + 2𝑔 = 0 
 → {
−2𝑎 − 2𝑑 − 2𝑔 = −2 
2𝑎 + 3𝑑 + 2𝑔 = 0 
 
 
 
 
 → 𝑑 = −2 (4) 
 
𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (2) 𝑒 (3): {
2𝑎 + 3𝑑 + 2𝑔 = 0 (−2)
4𝑎 + 7𝑑 + 5𝑔 = 0 
 → {
−4𝑎 − 6𝑑 − 4𝑔 = 0
4𝑎 + 7𝑑 + 5𝑔 = 0 
 → 𝑑 + 𝑔 = 0 
 
∴ 𝑔 = −𝑑 (5) 
 
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14 
 
 
 (4) 𝑒𝑚 (5): 𝑔 = −(−2) ∴ 𝑔 = 2 (6) 
(4) 𝑒 (6) 𝑒𝑚 (1): 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 
 𝑎 + (−2) + 2 = 1 ∴ 𝑎 = 1 
 
 Segundo sistema de equações: 
 
 {
𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 (1)
2𝑏 + 3𝑒 + 2ℎ = 1 (2)
4𝑏 + 7𝑒 + 5ℎ = 0 (3)
 
𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (1) 𝑒 (2): {
𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 (−2)
2𝑏 + 3𝑒 + 2ℎ = 1 
 → {
−2𝑏 − 2𝑒 − 2ℎ = 0
2𝑏 + 3𝑒 + 2ℎ = 1
 
 
 
 
 → 𝑒 = 1 (4) 
𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (2) 𝑒 (3): {
2𝑏 + 3𝑒 + 2ℎ = 1 (−2)
4𝑏 + 7𝑒 + 5ℎ = 0 
 → {
−4𝑏 − 6𝑒 − 4ℎ = −2
4𝑏 + 7𝑒 + 5ℎ = 0 
 
 
→ 𝑒 + ℎ = −2 → ℎ = −𝑒 − 2 (5) 
 
 (4) 𝑒𝑚 (5): ℎ = −1 − 2 ∴ ℎ = −3 (6) 
(4) 𝑒 (6) 𝑒𝑚 (1): 𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 
 𝑏 + 1 + (−3) = 0 ∴ 𝑏 = 2 
 Terceiro sistema de equações: 
 
{
𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 (1)
2𝑐 + 3𝑓 + 2𝑖 = 1 (2)
4𝑐 + 7𝑓 + 5𝑖 = 1 (3)
 
 𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (1) 𝑒 (2): {
𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 (−2)
2𝑐 + 3𝑓 + 2𝑖 = 1 
 → {
−2𝑐 − 2𝑓 − 2𝑖 = 0
2𝑐 + 3𝑓 + 2𝑖 = 1
 
 
 
 
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15 
 
 → 𝑓 = 1 (4) 
𝐷𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 (2) 𝑒 (3): {
2𝑐 + 3𝑓 + 2𝑖 = 1 (−2)
4𝑐 + 7𝑓 + 5𝑖 = 1 
 → {
−4𝑐 − 6𝑓 − 4𝑖 = −2
4𝑐 + 7𝑓 + 5𝑖 = 1 
 
 
→ 𝑓 + 𝑖 = −1 → 𝑖 = −𝑓 − 1 (5) 
 
 (4) 𝑒𝑚 (5): 𝑖 = −1 − 1 ∴ 𝑖 = −2 (6) 
(4) 𝑒 (6) 𝑒𝑚 (1): 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 
 𝑐 + 1 + (−2) = 0 ∴ 𝑐 = 1 
 
Logo, a matriz inversa de A pela identidade é: 
𝐴−1 = [
1 2 −1
−2 1 1
2 −3 −2
] 
Exemplo: Ache a inversa da matriz 𝐴 = [
2 3
1 4
] dos três modos 
vistos. 
 
Modo 1: Pela Identidade 
 
[
2 3
1 4
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 3𝑏 2𝑏 + 3𝑑 
𝑎 + 4𝑐 𝑏 + 4𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
{
2𝑎 + 3𝑐 = 1
𝑎 + 4𝑐 = 0
2𝑏 + 3𝑑 = 0
𝑏 + 4𝑑 = 1
 
 
 
 
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16 
 
{
2𝑎 + 3𝑐 = 1
𝑎 + 4𝑐 = 0
 → 𝑎 =
4
5
 𝑒 𝑐 = −
1
5
 
 
 
{
2𝑏 + 3𝑑 = 0
𝑏 + 4𝑑 = 1
 → 𝑏 = −
3
5
 𝑒 𝑑 =
2
5
 
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝐴−1 = [
4
5
−
3
5
−
1
5
2
5
] 
 
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 
 
[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] . [
2 3
1 4
] = [
1 0
0 1
] 
 
Modo 2: Pela Matriz Adjunta 
1º verificar se det A ≠ 0: det A = 8 – 3 = 5 
 
2º encontrando a matriz cofator: 
 
A11 = (-1)2. |4| = 1 . 4 = 4 A12 = (-1)3 . |1| = - 1 . 1 = - 1 
 
A21 = (-1)3 . |3| = - 1 . 3 = - 3 A22 = (-1)4 . |2| = 1 . 2 = 2 
 
Matriz cofator: 𝐴′ = [
4 − 1
− 3 2
] 
 
 
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17 
 
Matriz adjunta: �̅� = (𝐴′)𝑡 = [
4 − 3
− 1 2
] 
 
Encontrando a matriz inversa: 
 
𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 . 𝐴 ̅ → 𝐴−1 =
 1
5
 . [
4 − 3
− 1 2
] 
 
𝐴−1 = [
 4
5
−
3
5
−
1
5
2
5
] 
 
Modo 3: Pela Inversão de Matrizes 2x2 
 
𝐴 = [
2 3
1 4
] 
𝐴−1 = [
2 3
1 4
]
−1
 
 𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 [
4 −3
−1 2
] 
𝐴−1 = 
[
 
 
 
 4
5
−
3
5
−
1
5
2
5 ]
 
 
 
 
 
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18 
 
Exercícios: 
 
1. Dadas as matrizes, encontre as inversas: 
a. 𝐶 = [
1 3
2 5
] encontre C-1. 
 
b. 𝐷 = [
−1 −2
2 1
] encontre D-1. 
 
c. 𝐸 = [
3 8
2 5
] encontre E-1. 
 
d. A = [
1 4 7
2 5 8
3 6 9
] encontre A-1. 
 
e. B = [
2 3 1
5 2 2
3 1 3
] encontre B-1. 
 
f. C = [
−3 −1 0
2 0 1
4 3 1
] encontre C-1. 
2. Verifique se a matriz 𝐶 = [
2 −5
−3 8
] é a inversa da matriz 
 𝐺 = [
8 5
3 2
] . 
 
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19 
 
3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz 
A: 
a. 𝐴 = [
𝑚 −22
−2 𝑛
] 𝑒 𝐵 = [
5 22
2 9
] 
 
b. 𝐴 = [
2 5
3 8
] 𝑒 𝐵 = [
8 𝑚
𝑛 2
] 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Dadas as matrizes, encontre as inversas: 
a. 𝐶 = [
1 3
2 5
] encontre C-1. R: 𝐶−1 = [
−5 3
2 −1
] 
 
b. 𝐷 = [
−1 −2
2 1
] encontre D-1. R: 𝐶−1 = [
1
3
2
3
−
2
3
−
1
3
] 
 
c. 𝐸 = [
3 8
2 5
] encontre E-1. R: 𝐶−1 = [
−5 8
2 −3
] 
 
d. A = [
1 4 7
2 5 8
3 6 9
] encontre A-1. 
 
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20 
 
 
Encontrando a inversa pela matriz adjunta: 
 
1º verificar se det M ≠ 0: 
- repetir as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas: 
[
1 4 7 1 4
2 5 8 2 5
3 6 9 3 6
] 
 
Multiplicar os números e adicionar os resultados de: 
(1).(5).(9) + (4).(8).(3) + (7).(2).(6) 
45 + 96 + 84 = 225 
 
Multiplicar os números e subtrair os resultados de: 
– (7).(5).(3) – (1).(8).(6) – (4).(2).(9) 
– 105 – 48 – 72 = - 225 
 
Logo, det M = 0 
 
Portanto, M não é invertível. 
 
e. B = [
2 3 1
5 2 2
3 1 3
] encontre B-1. 
 
 
1º modo: Encontrando a inversa pela matriz adjunta: 
 
1º verificar se det M ≠ 0: 
 
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21 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
2 3 1
5 2 2
3 1 3
2 3 1
5 2 2]
 
 
 
 
 
 
= 12 + 5 + 18 − 6 − 4 − 45 = 35 − 55 = −20 
 
∴ 𝑑𝑒𝑡 = −20, portanto existe a inversa. 
 
2º encontrando a matriz cofator: [
2 3 1
5 2 2
3 1 3
] 
 
 
A11 = (-1)2 |
2 2
1 3
| = 1 . (4) = 4 A12 = (-1)3 |
5 2
3 3
| = −1 . (9) = −9 A13 = (-1)4 |
5 2
3 1
| = 1. (−1) = −1 
 
 
A21 = (-1)3 |
3 1
1 3
| = −1. (8) = −8 A22 = (-1)4 |
2 1
3 3
| = 1. (3) = 3 A23 = (-1)5 |
2 3
3 1
| = −1. (−7) = 7 
 
 
A31 = (-1)4 |
3 1
2 2
| = 1. (4) = 4 A32 = (-1)5 |
2 1
5 2
| = −1. (−1) = 1 A33 = (-1)6 |
2 3
5 2
| = 1. (−11) = −11 
 
 
Matriz cofator: 𝑀′ = [
4 −9 −1
−8 3 7
4 1 −11
] 
 
 
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22 
 
Matriz adjunta: �̅� = [
4 −8 4
−9 3 1
−1 7 −11
] 
 
Encontrando a matriz inversa: 𝑀−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝑀
 . �̅� 
 
 𝑀−1 =
1
−20
 . [
4 −8 4
−9 3 1
−1 7 −11
] → 𝑀−1 = −
1
20
 . [
4 −8 4
−9 3 1
−1 7 −11
] 
 
𝑀−1 = 
[
 
 
 
 
 
 
 − 
1
20
 (4) − 
1
20
(−8) − 
1
20
(4)
− 
1
20
(−9) − 
1
20
(3) − 
1
20
(1)
− 
1
20
(−1) − 
1
20
(7) − 
1
20
(−11)]
 
 
 
 
 
 
 
 = 
[
 
 
 
 
 
 
 −
1
5
 
2
5
−
1
5
9
20
− 
3
20
− 
1
20
 
1
20
−
7
20
 
11
20 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f. C = [
−3 −1 0
2 0 1
4 3 1
] encontre C-1. 
 
 
𝐶 −1 = 
[
 
 
 
 
 
 
 −
3
7
1
7
−
1
7
2
7
−
3
7
3
7
6
7
5
7
 
2
7
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
2. Verifique se a matriz 𝐶 = [
2 −5
−3 8
] é a inversa da matriz 
 𝐴 = [
8 5
3 2
] . 
 
Para ser a inversa, preciso que: 𝐶. 𝐴 = 𝐼 𝑜𝑢 𝐴. 𝐶 = 𝐼 
 
Logo, para 𝐶. 𝐴 = 𝐼  [
2 −5
−3 8
] . [
8 5
3 2
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
2(8) + (−5)3 2(5) + (−5)2 
(−3)8 + 8(3) −3(5) + 8(2)
] = [
1 0
0 1
] 
 
{
16 − 15 = 1
10 − 10 = 0
−24 + 24 = 0
−15 + 16 = 1
 
 
Da mesma forma para 𝐴. 𝐶 = 𝐼  [
8 5
3 2
] . [
2 −5
−3 8
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
8(2) + 5(−3) 8(−5) + 5(8) 
3(2) + 2(−3) 3(−5) + 2(8)
] = [
1 0
0 1
] 
 
{
16 − 15 =1
−40 + 40 = 0
6 − 6 = 0
−15 + 16 = 1
 
 
Como 𝐶. 𝐴 = 𝐼 𝑜𝑢 𝐴. 𝐶 = 𝐼 , então, a matriz C é a inversa da matriz A. 
 
 
3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A: 
 
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24 
 
a. 𝐴 = [
𝑚 −22
−2 𝑛
] 𝑒 𝐵 = [
5 22
2 9
] 
 
[
𝑚 −22
−2 𝑛
] . [
5 22
2 9
] = [
5 22
2 9
] . [
𝑚 −22
−2 𝑛
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
𝑚(5) + (−22)2 𝑚(22) + (−22)9
−2(5) + 𝑛(2) −2(22) + 𝑛(9)
] = [
5(𝑚) + 22(−2) 5(−22) + 22(𝑛)
2(𝑚) + 9(−2) 2(−22) + 9(𝑛)
] = [
1 0
0 1
] 
 
5(𝑚) + 22(−2) = 1 
2(𝑚) + 9(−2) = 0 
Portanto, 𝑚 = 9 
 
5(−22) + 22(𝑛) = 0 
2(−22) + 9(𝑛) = 1 
E, portanto, 𝑛 = 5 
 
R: m =9 e n = 5 
 
b. 𝐴 = [
2 5
3 8
] 𝑒 𝐵 = [
8 𝑚
𝑛 2
] R: m = - 5 e n = - 3 
 
Referências 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall, 1998. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.