Para determinar a série de Taylor de \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\), precisamos lembrar que a série de Taylor é dada pela fórmula: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] Para a função \(\cos(x)\), temos: - \(f(0) = \cos(0) = 1\) - \(f'(x) = -\sin(x) \Rightarrow f'(0) = 0\) - \(f''(x) = -\cos(x) \Rightarrow f''(0) = -1\) - \(f'''(x) = \sin(x) \Rightarrow f'''(0) = 0\) - \(f^{(4)}(x) = \cos(x) \Rightarrow f^{(4)}(0) = 1\) Seguindo esse padrão, podemos ver que os termos ímpares (como \(x\) e \(x^3\)) têm coeficientes zero, enquanto os termos pares têm a forma: \[ \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \] Assim, a série de Taylor de \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\) é: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) - Esta é a forma correta da série de Taylor. B) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \ldots\) - Esta é uma representação da série, mas não está na forma de soma infinita. C) \(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots\) - Esta é a série de Taylor para \(\sin(x)\), não para \(\cos(x)\). D) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots\) - Esta é a série de Taylor para \(e^x\). Portanto, a alternativa correta é a) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\).