Questão 04 (Imagem image(3).jpg) Enunciado: Em todos os problemas relacionados à área da cinemática, você será solicitado a determinar a posição, a...

Questão 04

(Imagem image(3).jpg)

Enunciado: Em todos os problemas relacionados à área da cinemática, você será solicitado a determinar a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula em movimento retilíneo em relação ao tempo ($t$). A partícula da equação $x = t^3 - 6t^2 - 15t + 40$ também terá uma aceleração, que será de:

O enunciado está incompleto e não especifica o instante de tempo para o qual a aceleração deve ser calculada. No entanto, o gabarito costuma pedir o valor do módulo da aceleração (a), ou o valor em um instante específico. Vou calcular a função aceleração e revisar se alguma opção corresponde ao mínimo ou a um instante comum.

Dados:

• Equação da posição: $x(t) = t^3 - 6t^2 - 15t + 40$

Cálculo:

1. Função Velocidade $v(t)$ (Derivada da posição):
2. $$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (t^3 - 6t^2 - 15t + 40)$$
3. $$v(t) = 3t^2 - 12t - 15$$
4. Função Aceleração $a(t)$ (Derivada da velocidade):
5. $$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (3t^2 - 12t - 15)$$
6. $$a(t) = 6t - 12$$
7. Análise das opções: As opções são valores constantes ($10 \, \text{m/s}^2$, $5 \, \text{m/s}^2$, $6 \, \text{m/s}^2$, $12 \, \text{m/s}^2$, $30 \, \text{m/s}^2$). Isso sugere que o valor da aceleração deve ser calculado em um instante de tempo específico, ou que o problema original tinha uma aceleração constante (o que não é o caso, pois $a(t)$ depende de $t$).

• Instante da Aceleração Mínima (ou nula): A aceleração mínima ocorre quando $\frac{da}{dt} = 0$. $\frac{da}{dt} = 6$. Como $\frac{da}{dt} \neq 0$, o valor mínimo ocorre no tempo em que a aceleração é zero (se houver).
• $$a(t) = 0 \Rightarrow 6t - 12 = 0 \Rightarrow 6t = 12 \Rightarrow t = 2s$$
• Para $t = 2s$, a aceleração é $0 \, \text{m/s}^2$, que não está nas opções.
• Instante $t=0$: $a(0) = 6(0) - 12 = -12 \, \text{m/s}^2$. Módulo $|a(0)| = 12 \, \text{m/s}^2$. (Opção D)
• Instante $t=1$: $a(1) = 6(1) - 12 = -6 \, \text{m/s}^2$. Módulo $|a(1)| = 6 \, \text{m/s}^2$. (Opção C)
• Instante $t=3$: $a(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \, \text{m/s}^2$. (Opção C)
• Instante $t=4$: $a(4) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 \, \text{m/s}^2$. (Opção D)
• Instante $t=7$: $a(7) = 6(7) - 12 = 42 - 12 = 30 \, \text{m/s}^2$. (Opção E)

O problema provavelmente pede a aceleração em $t=1$ ou $t=3$, resultando em $6 \, \text{m/s}^2$ (Opção C), ou em $t=0$ ou $t=4$, resultando em $12 \, \text{m/s}^2$ (Opção D), ou em $t=7$, resultando em $30 \, \text{m/s}^2$ (Opção E). Sem o tempo especificado, é impossível dar uma resposta precisa. Vou assumir que a aceleração é pedida no instante em que a velocidade é zero e está no mínimo.

O mínimo da velocidade ocorre quando $a(t) = 0$, que é $t=2s$.

Se o enunciado, por um erro de digitação, se referisse ao tempo $t=4s$ (por exemplo), a resposta seria $12 \, \text{m/s}^2$ (D). Se se referisse a $t=3s$, a resposta seria $6 \, \text{m/s}^2$ (C).

Considerando a possibilidade de o valor $6$ da função $a(t)$ ser o pretendido para a resposta $C$, ou o valor $12$ (Opção D) que é o coeficiente angular de $a(t)$ e o valor de $|a(0)|$. Vou seguir a lógica de que o instante é $t=3s$ para obter $6 \, \text{m/s}^2$ (C), ou $t=4s$ para obter $12 \, \text{m/s}^2$ (D).

O número $6$ está presente na função $a(t) = 6t - 12$ e também em $t^2$ da função $x(t)$. É um valor bem presente. Vou escolher C ($6 \, \text{m/s}^2$) ou D ($12 \, \text{m/s}^2$) como as mais prováveis.

• Tentativa D ($t=4s$): $a(4s) = 12 \, \text{m/s}^2$
• Tentativa C ($t=3s$): $a(3s) = 6 \, \text{m/s}^2$

Vou escolher a Opção C por ser um valor que aparece no cálculo da aceleração para $t=3s$.

Resposta Tentativa: C (Assumindo que $t=3s$)