Cinemática 1

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EsPCEx 2024 
CINEMÁTICA (I) 
Prof. Vinícius Fulconi 
AULA 02 
Grandezas cinemáticas 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Sumário 
Apresentação do Professor 4 
1. Introdução aos vetores Erro! Indicador não definido. 
1.1 Definição de vetor Erro! Indicador não definido. 
1.2 Representação gráfica de um vetor Erro! Indicador não definido. 
1.3 Representação textual do vetor que liga dois pontos. Erro! Indicador não definido. 
1.4 Representação textual geral de um vetor Erro! Indicador não definido. 
4.1 Vetores com sentidos opostos Erro! Indicador não definido. 
5.1 Grandezas escalares Erro! Indicador não definido. 
5.2 Grandezas vetoriais Erro! Indicador não definido. 
2. Multiplicação de um vetor por um escalar Erro! Indicador não definido. 
Multiplicação por um número positivo 𝜶 maior que 1 (𝜶 > 𝟏) Erro! Indicador não definido. 
Multiplicação por um número positivo 𝜶 menor que 1 (𝟎 < 𝜶 < 𝟏) Erro! Indicador não definido. 
Multiplicação por um número negativo 𝜶 menor que -1 (𝜶 < −𝟏) Erro! Indicador não definido. 
Multiplicação por um número 𝜶 negativo entre zero e -1 (−𝟏 < 𝜶 < 𝟎) Erro! Indicador não definido. 
Resumindo... Erro! Indicador não definido. 
3. Soma entre vetores Erro! Indicador não definido. 
Regra da poligonal Erro! Indicador não definido. 
1º Passo. Erro! Indicador não definido. 
2º Passo. Erro! Indicador não definido. 
3º Passo. Erro! Indicador não definido. 
4º Passo. Erro! Indicador não definido. 
5º Passo. Erro! Indicador não definido. 
Observações do método da poligonal: Erro! Indicador não definido. 
Método do paralelogramo Erro! Indicador não definido. 
1º Passo. Erro! Indicador não definido. 
2º Passo. Erro! Indicador não definido. 
3° Passo. Erro! Indicador não definido. 
Módulo do vetor soma Erro! Indicador não definido. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
4. Relações complementares para o módulo de um vetor Erro! Indicador não definido. 
o Erro! Indicador não definido. 
5. Decomposição de vetores Erro! Indicador não definido. 
4° Passo: Erro! Indicador não definido. 
Lista de questões Erro! Indicador não definido. 
Gabarito Erro! Indicador não definido. 
Questões comentadas Erro! Indicador não definido. 
Considerações finais Erro! Indicador não definido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Apresentação do Professor 
Querido aluno(a), seja bem-vindo(a) à nossa primeira aula! 
Sou o professor Vinícius Fulconi, tenho vinte e seis anos e estou cursando Engenharia Aeroespacial 
no Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Irei contar um pouco sobre minha trajetória pessoal, 
passando pelo mundo dos vestibulares com minhas principias aprovações, até fazer parte da equipe de 
física do Estratégia Militares. 
No ensino médio, eu me comportava como um aluno mediano. No final do segundo ano do ensino 
médio, um professor me desafiou com a seguinte declaração: Você nunca vai passar no ITA! Essa fala do 
professor poderia ter sido internalizada como algo desestimulador e, assim como muitos, eu poderia ter 
me apegado apenas ao que negritei anteriormente. Muitos desistiriam! Entretanto, eu preferi negritar e 
gravar “Você vai passar no ITA! 
Querido aluno(a), a primeira lição que desejo te mostrar não é nenhum conteúdo de física. Quero 
que transforme seu sonho em vontade de vencer. Transforme seus medos e incapacidades em desafios a 
serem vencidos. Haverá muitos que duvidarão de você. O mais importante é você acreditar! Nós do 
Estratégia Militares acreditamos no seu potencial e ajudaremos você a realizar seu sonho! 
 
 
 
Após alguns anos estudando para o ITA, usando muitos livros estrangeiros, estudando sem 
planejamento e frequentando diversos cursinhos do segmento, realizei meu sonho e entrei em umas das 
melhores faculdades de engenharia do mundo. Além de passar no ITA, ao longo da minha preparação, 
fui aprovado no IME, UNICAMP, Medicina (pelo ENEM) e fui medalhista na Olimpíada Brasileira de Física. 
Minha resiliência e grande experiência em física, que obtive estudando por diversas plataformas 
e livros, fez com que eu me tornasse professor de física do Estratégia Militares. Tenho muito orgulho em 
fazer parte da família Estratégia e hoje, se você está lendo esse texto, também já é parte dela. Como 
professor, irei te guiar por toda física, alertando sobre os erros que cometi na minha preparação, 
mostrando os pontos em que obtive êxito e, assim, conseguirei identificar quais são seus pontos fortes e 
fracos, maximizando seu rendimento e te guiando até à faculdade dos seus sonhos. 
Você deve estar se perguntando: O que é necessário para começar esse curso? 
 
= 
 
 
Sonhos
Perseverânça e 
trabalho duro Realizações
 
 
 
 
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1.0 Grandezas cinemáticas 
 
Há vários tipos de grandezas cinemáticas. Detalharemos todas essas grandezas. 
• Referencial. 
• Posição. 
• Deslocamento. 
 
1.1 Referencial 
Um sistema de coordenadas de referência ou referencial é utilizado para se medir e as 
grandezas na física. Em geral, você pode adotar o referencial que mais lhe convir. Na cinemática, 
adotaremos, quase sempre, o sistema cartesiano de coordenadas 𝑥𝑂𝑦. 
 
Figura 1: Sistema cartesiano de coordenadas. 
 
1.2 Posição 
A posição de um corpo é um ponto do espaço no qual foi determinado um certo valor de 
comprimento. A posição de um corpo pode se modificar de acordo com o referencial adotado. 
Veja a posição do corpo em relação a dois referencias distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2: Posições em dois referencias distintos. 
 
Para o referencial S, a posição do corpo é 3. Já, para o referencial S’, a posição do corpo é 
7. Vemos que a posição de um corpo muda de acordo com o referencial adotado. 
 
1.3 Deslocamento escalar “d” 
O deslocamento de um corpo é o tamanho da trajetória que o corpo percorreu. Considere o 
corpo percorrendo a trajetória não retilínea abaixo, indo de A até B. 
 
 
Figura 3: Carro indo de A até B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 4: Esticando a trajetória de A até B. 
 
Se pudéssemos esticar essa trajetória e medir seu comprimento, esse comprimento seria 
o deslocamento do corpo. 
O deslocamento é designado por 𝑑. 
No caso da figura 4, o deslocamento é de aproximadamente 9 cm. 
 
Observação: Se o móvel for de A até B e depois voltar, fazendo a trajetória de B até A. O 
deslocamento é a soma da trajetória de ida mais a trajetória de volta. 
 
1.4 Tempo “t” 
 
Para a física clássica, que é a que estamos estudando, o tempo é uma grandeza que não 
depende do referencial adotado. O tempo para a ocorrência de um evento em um referencial é o 
mesmo tempo da ocorrência de um evento em outro referencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5 Deslocamento vetorial 
 
Considere um corpo que sai de uma posição inicial e chega em uma posição final. O vetor 
deslocamento vetorial é um vetor que tem origem coincidente com a posição inicial e tem 
extremidade na posição do vetor final. 
Considere o desenho da figura abaixo. 
 
 
 
𝑟0⃗⃗⃗ + ∆𝑆 = 𝑟𝑓⃗⃗⃗ 
∆𝑆 = 𝑟𝑓⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗ 
Representação por pontos: 
Considerando a representação da posição pela definição de pontos em vetores, temos: 
∆𝑆 = (𝑥𝐹 , 𝑦𝐹) − (𝑥0, 𝑦0) = (𝑥𝐹 − 𝑥0, 𝑦𝐹 − 𝑦0) 
 
Propriedades: 
I) O vetor deslocamento vetorial é o vetor que liga diretamente o ponto inicial ao ponto final. 
II) O módulo do vetor deslocamento vetorial é a menor distância entre os pontos inicial e final da 
trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5.2 Diferença entre o deslocamento vetorial eo 
deslocamento escalar 
 
Considere a trajetória seguida pelo corpo mostrada em pontilhado. 
 
 
O deslocamento escalar é o comprimento da linha pontilhada. Já o deslocamento vetorial 
é o comprimento do vetor amarelo que liga o ponto inicial ao ponto final desejado. 
 
1.6 Velocidade escalar média 
 
A velocidade escalar média é a razão entre o deslocamento escalar e o tempo total do percurso. 
 
𝑉𝑒𝑚 =
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
∆𝑡
=
"𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑒𝑡ó𝑟𝑖𝑎"
∆𝑡
 
𝑉𝑒𝑚 =
𝑑
∆𝑡
 
 
O tempo total é o tempo de movimento acrescido dos tempos de parada (tempo em que 
o corpo não se movimenta. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Um garoto sai do ponto A em direção ao ponto B seguindo a trajetória mostrada abaixo 
e leva 2 horas para completar todo o trajeto. Calcule a sua velocidade escalar média. 
 
Comentários: 
Para encontrar a velocidade escalar média, basta encontrar a distância total 
percorrida. 
𝑉𝑒𝑚 =
𝑑
∆𝑡
 
𝑉𝑒𝑚 =
50+70+20+60
2
= 100 𝑘𝑚/ℎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑨 
𝑩 
∆𝑆 
 
 
 
 
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1.7 Velocidade vetorial média - velocidade média 
 
A velocidade vetorial média ou velocidade média é a razão entre o deslocamento vetorial 
e o tempo total do percurso. 
 
𝑣 𝑚 =
∆𝑆 
∆𝑡
=
𝑟𝑓⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗ 
∆𝑡
 
 
Podemos utilizar a notação de pontos também: 
𝑣 𝑚 =
𝑟𝑓⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗ 
∆𝑡
=
1
∆𝑡
⋅ (𝑥𝐹 − 𝑥0, 𝑦𝐹 − 𝑦0) 
 
𝑣 𝑚 = (
𝑥𝐹 − 𝑥0
∆𝑡
,
𝑦𝐹 − 𝑦0
∆𝑡
) 
Podemos chamar esse vetor velocidade por suas componentes: 
𝑣𝑚,𝑥 =
𝑥𝐹 − 𝑥0
∆𝑡
 
𝑣𝑚,𝑥 =
𝑦𝐹 − 𝑦0
∆𝑡
 
Exemplo: 
Um corpo sai do ponto A e chega até o ponto B. Ele gasta 2 horas para realizar o trajeto. 
Calcule sua velocidade vetorial média. O lado de cada quadrado vale 10 km. 
 
Comentários: 
 
 
 
 
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Para calcular a velocidade vetorial média, devemos calcular o módulo do vetor 
deslocamento. Veja ele na figura. 
 
Veja que para encontrar seu módulo basta encontrar as os catetos do triângulo 
retângulo destacado em amarelo. Como o lado dos quadrados vale 10 km, os catetos 
desse triângulo valem 40 km e 30 km. Dessa forma, temos: 
|∆𝑆 |
2
= 402 + 30² 
|∆𝑆 |
2
= 2500 
|∆𝑆 | = 50 𝑘𝑚 
Dessa maneira, 
|𝑣 𝑚| = |
∆𝑆 
∆𝑡
| 
 
|𝑣 𝑚| =
50
2
= 25 𝑘𝑚/ℎ 
Observação: Outra solução é proposta em vídeo! Não deixe de assistir :) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Relação entre a velocidade escalar média e a velocidade 
vetorial média. 
Considere um corpo que saia do ponto A e vá até um ponto B. Ele realiza a trajetória 
mostrada em pontilhado. 
 
Lembre-se que a distância total percorrida ou deslocamento escalar é o comprimento 
dessa trajetória. Já o deslocamento vetorial é o comprimento do vetor representado em verde. 
Vamos representar a velocidade escalar média e a velocidade média. 
|𝑣 𝑚| =
|∆𝑆 |
∆𝑡
 
𝑉𝑒𝑚 =
𝑑
∆𝑡
 
 Note que o comprimento da trajetória desse corpo é sempre maior ou igual que o módulo 
do deslocamento vetorial. 
|∆S⃗ | ≤ d 
Dividindo os dois lados pelo tempo, temos: 
|∆S⃗ |
∆𝑡
≤
d
∆𝑡
 
Assim, temos: 
|𝑣 𝑚| ≤ 𝑉𝑒𝑚 
 
O módulo da velocidade vetorial média é sempre menor que a velocidade escalar média. 
Observação: 
Teremos a igualdade entre as duas quando a trajetória do corpo for uma linha reta que liga os 
pontos A e B. 
 
 
 
 
 
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1.8 Velocidade instantânea (𝑣 ) 
 
É a velocidade de um corpo em um instante específico de tempo. 
 
Podemos entender a velocidade instantânea como sendo a marcação do velocímetro de 
um carro em movimento. 
 
 
 Ou seja, de acordo com as atitudes do motorista (frear ou acelerar) essa velocidade pode 
mudar ao longo do tempo. O seu módulo é o indicativo do velocímetro naquele instante. 
 
 
1.9 Aceleração tangencial (𝒂𝑻) 
 
A definição de aceleração tangencial é dada por: 
 
É a aceleração que muda apenas o módulo da velocidade instantânea do corpo. 
 
Podemos entender essa aceleração como: 
• É o "pedal acelerador" do carro. 
Muda a indicação do velocímetro do carro fazendo crescer a velocidade. 
• É o "pedal de freio" do carro. 
Muda a indicação do velocímetro do carro fazendo ele diminuir a velocidade. 
 
Podemos representá-la matematicamente como: 
𝑎𝑇 =
|�⃗� 𝐹| − |�⃗� 0|
∆𝑡
 
 
 
 
 
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Para que a aceleração tangencial seja nula, basta que corpo não mude o módulo de sua 
velocidade. Não importa se o corpo muda a direção o sentido de seu vetor velocidade, mantendo 
o módulo da velocidade igual a aceleração será zero. 
 
 
Veja que a figura mostra os vetores velocidade mudando a direção e o sentido, mas não 
mudando o módulo da velocidade. Isso já basta para que a aceleração tangencial seja nula. 
Outra característica interessante sobre a aceleração tangencial é que ela tem a mesma 
direção da velocidade do corpo. 
 Veja o quadro resumo abaixo: 
Aceleração tangencial e velocidade no 
mesmo sentido (acelerado) 
Aceleração tangencial e velocidade em 
sentidos opostos (Retardado) 
 
• A velocidade do corpo crescerá ao 
longo do tempo. 
• O motorista está pisando no acelerador 
do carro. 
 
 
• A velocidade do corpo diminuirá ao 
longo do tempo. 
• O motorista está pisando no freio do 
carro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.10 Aceleração centrípeta (𝑎 𝑐𝑝𝑡) 
 
A definição de aceleração centrípeta é dada por: 
 
A aceleração centrípeta modifica a direção e o sentido da velocidade. Não modifica o módulo da 
velocidade do corpo. 
 
 
 
 
Direção: 
• Reta que une o centro da trajetória e o corpo. 
Sentido: 
• Aponta para o centro da trajetória. 
Módulo: 
|�⃗⃗� 𝒄𝒑𝒕| =
𝒗𝟐
𝑹
 
 
 
Em que 𝑣 é o modulo da velocidade instantânea do corpo e R é o raio da trajetória. 
Observações importante: 
• A aceleração centrípeta pode ser comparada ao volante de seu carro. Note que o volante 
só é capaz de mudar a direção e o sentido para onde seu carro está indo. 
 
 
 
 
 
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• Note que aceleração centrípeta sempre é perpendicular à velocidade do corpo e, portanto, 
sempre perpendicular à aceleração tangencial (caso o corpo tenha). 
• Para que a aceleração centrípeta seja nula, o corpo deve permanecer em movimento 
retilíneo. 
 
𝑴𝒐𝒗𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒓𝒆𝒕𝒊𝒍í𝒏𝒆𝒐 ⇔ 𝒂𝒄𝒑𝒕 = 𝟎 
 
” Ou seja, se o corpo estiver fazendo curva, a aceleração centrípeta será zero. Caso não esteja 
fazendo curvas (movimento em linhas retas), a aceleração centrípeta será nula." 
 
Relação entre a aceleração tangencial e a centrípeta. 
Caso as duas acelerações estejam atuando sobre um corpo, temos algumas propriedades: 
• As duas acelerações são sempre perpendiculares entre si. 
• Se a aceleração tangencial estiver no mesmo sentido da velocidade do corpo, o corpo 
estará aumentando sua velocidade enquanto faz uma curva. 
• Se a aceleração tangencial estiver no sentido oposto ao da velocidade do corpo, o corpo 
estará diminuindo sua velocidade enquanto faz uma curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.11 Aceleração vetorial total (𝛾 ) 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
É a soma vetorial entre a aceleração tangencial e aceleração centrípeta. 
 
Como as acelerações são perpendiculares, podemos encontrar o módulo da velocidade 
vetorial total aplicando um teorema de Pitágoras no triângulo acima. 
|𝛾 |2 = 𝑎²𝑇 + 𝑎²𝑐𝑝𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.12 Aceleração vetorial média (𝑎 𝑚) 
 
É a razão entre o vetor variação de velocidadee o tempo total para isso ocorrer. 
 
 
 
 
 
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𝑎 𝑚 =
∆�⃗� 
∆𝑡
=
�⃗� 𝐹 − �⃗� 0
∆𝑡
 
 
Diferença entre a aceleração vetorial média e aceleração 
tangencial. 
Considere a situação mostrada abaixo. 
 
Note que a aceleração tangencial é nula pois o módulo da velocidade não alterado. Entretanto, a 
aceleração média mede a variação do vetor velocidade e, portanto, temos: 
 
A Aceleração vetorial média leva em consideração o vetor ∆�⃗� = �⃗� 𝐹 − �⃗� 0 que é uma subtração 
vetorial. 
Veja a operação abaixo. 
 
 
 
 
 
 
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Assim, para encontrar o a velocidade vetorial média, basta pegar o vetor em azul e multiplicar 
pelo escalar 
1
∆𝑡
. Dessa maneira, veja que a aceleração tangencial é nula e a aceleração vetorial 
média não é. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.0 Estudo dos gráficos 
 
Agora, iremos iniciar nosso estudo sobre os gráficos e suas propriedades. Preste muita 
atenção, será necessário um grande entendimento dessa parte da matéria. 
2.1 Gráfico da posição em função do tempo 
 
Para estudar as propriedades gráficas, iremos nos basear no gráfico da figura abaixo. Ele 
foi construído para representar todas as possibilidades de trechos e curvas que podem ser 
cobrados. 
 
 
Propriedade 1: 
• A inclinação da reta tangente ao gráfico é a velocidade instantânea do corpo naquele 
instante de tempo. 
𝑡𝑔(𝛼5) = 𝑣(𝑡5) = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑡5 
𝑡𝑔(𝛼6) = 𝑣(𝑡6) = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑡6 
𝑡𝑔(𝛼1) = 𝑣(𝑡6) = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑡6 
 
 
 
 
 
 
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{
𝑅𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝑣 > 0
𝑅𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑣 < 0
 
 
Propriedade 2: 
• Quando a reta é horizontal, a velocidade do corpo é zero. 
• O corpo está parado nesse instante. 
𝑡𝑔(𝛼1) = 𝑡𝑔(0) = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 0 
• Trecho do gráfico: (0 < 𝑡 < 𝑡1 𝑒 𝑡 = 𝑡3) 
 
Propriedade 3: 
• O ponto em que o gráfico corta o eixo y é a posição inicial do corpo. 
 
Propriedade 4: 
 
• Nos trechos não retos, se as retas tangentes aumentarem sua inclinação, as velocidades 
estão cada vez maiores. Ou seja, a velocidade do corpo está aumentando. 
 
• Nos trechos não retos, se as retas tangentes diminuem sua inclinação, as velocidades estão 
cada vez menores. Ou seja, a velocidade do corpo está diminuindo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 Gráfico da velocidade instantânea em função do tempo 
 
Para estudar as propriedades gráficas, iremos nos basear no gráfico da figura abaixo. Ele 
foi construído para representar todas as possibilidades de trechos e curvas que podem ser 
cobrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade 1: 
 
 
 
 
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• As inclinações das retas tangentes ao gráfico são numericamente iguais a aceleração 
tangencial do corpo. 
 
 
𝑡𝑔(𝛼1) = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎ã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡1 
 
𝑡𝑔(𝛼2) = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎ã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡2 
 
Observação: 
Note que se a reta tangente for decrescente a aceleração tangencial será negativa. 
 
Propriedade 2: 
• Trechos horizontais representam instante de tempo em que a velocidade do corpo é 
constante. 
• Nesses trechos a aceleração tangencial é nula. 
• Trecho do gráfico: (0 < 𝑡 < 𝑡1) 
Propriedade 3: 
• Retas inclinadas indicam que o corpo possui aceleração tangencial constante. 
• Retas crescente - Aceleração tangencial positiva (𝑡3 < 𝑡 < 𝑡5). 
• Retas decrescente - Aceleração tangencial negativa (𝑡1 < 𝑡 < 𝑡3) 
 
Propriedade 4: 
• Retas crescentes que estão acima do eixo horizontal tem velocidade positiva e aceleração 
tangencial positiva - Movimento acelerado progressivo - (𝑡4 < 𝑡 < 𝑡5). 
• Retas crescentes que estão abaixo do eixo horizontal tem velocidade negativa e aceleração 
tangencial positiva - Movimento retardado retrógrado - (𝑡3 < 𝑡 < 𝑡4). 
 
 
 
 
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• Retas decrescentes que estão acima do eixo horizontal tem velocidade positiva e 
aceleração tangencial negativa - Movimento retardado progressivo - (𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2). 
• Retas decrescentes que estão abaixo do eixo horizontal tem velocidade negativa e 
aceleração tangencial negativa - Movimento acelerado regressivo - (𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2). 
 
Propriedade 5: 
• Trechos de curva representam que aceleração tangencial do corpo não é constante. 
• Trecho do gráfico: (𝑡5 < 𝑡 < 𝑡6) 
 
Propriedade 6: 
Considere o gráfico abaixo: 
 
• A área sob o gráfico, dada em módulo, representa o deslocamento escalar (d) do móvel. 
|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 (𝑑) 
• A área sob o gráfico, dada com o respectivo sinal, representa o módulo do deslocamento 
vetorial. 
{
Á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 tempo 𝑠ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠.
Á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 tempo 𝑠ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠.
 
 
|𝐴1| − |𝐴2| + |𝐴3| = |∆S⃗ | 
 
 
 
 
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2.3 Gráfico da aceleração em função do tempo 
 
Para estudar as propriedades gráficas, iremos nos basear no gráfico da figura abaixo. Ele 
foi construído para representar todas as possibilidades de trechos e curvas que podem ser 
cobrados. 
 
Propriedade 1: 
• Retas horizontais representam instantes de tempo em que aceleração tangencial é 
constante. 
• Se a reta horizontal está acima do eixo, a aceleração tangencial é positiva. 
• Se a reta horizontal está abaixo do eixo, a aceleração tangencial é negativa. 
• Trecho do gráfico: (𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2 𝑒 𝑡4 < 𝑡 < 𝑡5) 
 
Propriedade 2: 
• Retas inclinadas indicam que aceleração tangencial não é constante. 
 
Propriedade 3: 
• A área sob o gráfico com respectivo sinal algébrico representa o módulo da variação da 
velocidade. 
 
 
3.0 - Nomenclaturas específicas 
 
 
 
 
 
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Em muitos problemas na física, é utilizada uma nomenclatura específica que exige que você 
compreenda. A tabela abaixo resumirá todas as nomenclaturas iniciais de cinemática. 
 
Nomenclatura Definição 
Movimento • A velocidade do corpo não é zero. 
• Ele não está em repouso. 
Uniforme • O módulo da velocidade não muda. 
• 𝑎𝑇 = 0 
Retilíneo • A trajetória do corpo é uma reta. 
• 𝑎𝑐𝑝𝑡 = 0 
Curvilíneo • A trajetória do corpo não é uma reta 
{Circunferência, elipse, ...} 
• 𝑎𝑐𝑝𝑡 ≠ 0 
Uniformemente variado • Uma das grandezas está variando de 
forma constante (linear - Função do 1° 
grau). 
Exemplo: No caso do MRUV, a velocidade 
que varia de maneira linear. 
𝑉 = 𝑣0 + 𝑎𝑇 ⋅ 𝑡 
Movimento progressivo acelerado {
𝑣 > 0
𝑎𝑇 > 0
 
Movimento progressivo retardado {
𝑣 > 0
𝑎𝑇 < 0
 
Movimento retrógrado retardado 
{
𝑣 < 0
𝑎𝑇 > 0
 
Movimento retrógrado acelerado 
{
𝑣 < 0
𝑎𝑇 < 0
 
 
 
 
 
4.0 Velocidade relativa 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
4.1 Velocidade relativa - corpos com velocidades na mesma 
direção 
 
Considere dois corpos A e B com velocidades 𝑣 𝐴 e 𝑣 𝐵 na mesma direção e medidas em 
relação à terra. 
 
𝑣 𝐴/𝑇 − Velocidade do corpo A medida por um observador parado em relação à terra. 
𝑣 𝐵/𝑇 − Velocidade do corpo B medida por um observador parado em relação à terra. 
 
A Velocidade relativa é dada por: 
𝑣𝐴/𝐵 = 𝑣𝐴/𝑇 − 𝑣𝐵/𝑇 
𝑣𝐵/𝐴 = 𝑣𝐵/𝑇 − 𝑣𝐴/𝑇 
 
 
�⃗� 𝐴/𝐵 − Velocidade do corpo A medida no referencial do corpo B. Ou seja, medida por um observador 
parado ou em MRU em relação à B. 
�⃗� 𝐵/𝐴 − Velocidade do corpo B medida no referencial do corpoA. Ou seja, medida por um observador 
parado ou em MRU em relação à A. 
 
Observação: 
Note que: 
𝑣𝐴/𝐵 = −𝑣𝐵/𝐴 
São vetores opostos! 
 
Na prática, para calcular essa velocidade relativas, devemos colocar as velocidades 
relativas a um eixo adotado. 
Veja os cálculos abaixo. Adotamos o eixo positivo para direita. Assim, as velocidades que 
estiverem para a esquerda são negativas. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Velocidade relativa - Qualquer direção 
A velocidade relativa vetorial revela a composição de movimentos proposta por Galileu. 
Considere dois corpos se movimentando no espaço com determinadas velocidades em relação à 
Terra. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
A velocidade relativa entre os corpos é dada por: 
𝑣 𝐴/𝐵 = 𝑣 𝐴/𝑇 − 𝑣 𝐵/𝑇 
𝑣 𝐵/𝐴 = 𝑣 𝐵/𝑇 − 𝑣 𝐴/𝑇 
 
𝑣 𝐴/𝐵 − Velocidade do corpo A observada pelo referencial de B. 
 
 
𝑣 𝐵/𝐴 − Velocidade do corpo B observada pelo referencial de A. 
 
 
Perceba que temos uma operação vetorial! 
 
4.3 Velocidade relativa entre três corpos - Método das 
bolinhas 
 
Considere três corpos se movimentando no espaço com velocidades aleatórias. 
 
 
 
 
31 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
 
Podemos definir as velocidades relativas um em relação ao outro. Para isso, podemos usar 
a regra das bolinhas abaixo. 
 
As bolinas com as mesmas cores representam a mesma letra. Assim, basta você combinar 
da maneira correta para chegar no resultado desejado. 
 
�⃗⃗� 𝑨/𝑩 = �⃗⃗� 𝑨/𝑪 − �⃗⃗� 𝑩/𝑪 
�⃗⃗� 𝑨/𝑪 = �⃗⃗� 𝑨/𝑩 − �⃗⃗� 𝑪/𝑩 
�⃗⃗� 𝑩/𝑪 = �⃗⃗� 𝑩/𝑨 − �⃗⃗� 𝑪/𝑨 
�⃗⃗� 𝑩/𝑨 = �⃗⃗� 𝑩/𝑪 − �⃗⃗� 𝑨/𝑪 
. 
. 
. 
 
Importante: 
Podemos aplicar esse raciocínio para quaisquer sistemas que quisermos. Os corpos A, B e C podem 
ser qualquer referencial que você queria usar! 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de questões - Grandezas cinemáticas 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Nível 1 
 
Questão 1. 
Qual é a rapidez no impacto de um carro movendo-se a 100 km/h. que bate na traseira de outro 
carro viajando no mesmo sentido a 98 km/h? 
 
Questão 2. 
Vinícius pode remar uma canoa em água parada a 8 km/h. Que sucesso ele terá ao tentar subir 
um rio que flui a 8 km/h ? 
 
Questão 3. 
Um aeroplano dirige-se para o norte a 300 km/h, enquanto outro dirige-se para o sul também a 
300 km/h. Os dois tem a mesma velocidade? 
 
Questão 4. 
A luz viaja em linha reta com módulo da velocidade constante de 300.000 m/s. Qual é a 
aceleração da luz? 
 
Questão 5. 
Um automóvel com velocidade apontando para o norte pode simultaneamente ter uma 
aceleração apontando para o sul? Explique. 
 
Questão 6. 
Um objeto pode inverter seu sentido de movimento mantendo, uma aceleração constante? Se 
sim, dê um exemplo disto. 
 
Questão 7. 
Você está numa autoestrada dirigindo-se para o norte. Então, sem o módulo da velocidade, 
você faz uma curva e dirige-se para o oeste. 
(a) Sua velocidade mudou? 
(b) Você acelerou? Explique. 
Questão 8. 
Corrija seu amigo que afirma, "o carro de corrida fez a curva com uma velocidade constante de 
100 km/h ". 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Questão 9. 
Vinícius afirma que a aceleração tangencial é quão rápido você se move. Leticia afirma que a 
aceleração tangencial é quão rápido você consegue ganhar velocidade. Quem está correto? 
 
Questão 10. 
Cite um exemplo de algo que se mova com módulo da velocidade constante e que também possua 
uma velocidade variável. 
 
Questão 11. 
a) Um objeto pode estar se movendo quando sua aceleração é nula? Se sim, dê um exemplo. 
b) Pode um objeto estar acelerando quando sua velocidade é nula? 
 
Questão 12. 
Você pode citar um exemplo em que a aceleração de um corpo tem o sentido oposto ao de sua 
velocidade? Se sim, qual é o exemplo? 
 
Questão 13. 
Qual é a aceleração de um carro que se move com velocidade constante de módulo 100 km/h 
durante 100 segundos? Explique sua resposta. 
 
Questão 14. 
Qual é maior, uma aceleração tangencial de 25 km/h para 30 km/h ou uma de 96 km/h para 
100 km/h, se ambas ocorrem durante o mesmo tempo? 
 
Questão 15. 
Qual é o módulo da aceleração tangencial de um veículo que altera sua velocidade de 
360 km/h para uma parada total em 10 s ? 
 
Questão 16. 
Galileu foi punido pela Igreja por ensinar que o sol está parado e que a terra se move ao seu redor. 
Seus oponentes mantiveram a visão de que a terra está estacionária e que o sol se move ao seu 
redor. Se o movimento absoluto não tem sentido, os dois pontos de vista não estão igualmente 
corretos ou igualmente errados? 
 
Questão 17. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Quando uma partícula se move com velocidade constante, sua velocidade média, sua velocidade 
instantânea e sua velocidade são todos iguais. Comente esta declaração. 
 
18. 
Um carro viaja a uma velocidade de 60 km/h para o norte e o outro com uma velocidade de 60 
km/h para o leste. As velocidades são iguais? Se não, qual é maior? 
Nível 2 
 
Questão 1. 
Um carro está indo para o norte a uma velocidade de 50 km/h. A aceleração tangencial é nula. Ele 
faz uma curva de 90∘ à esquerda sem mudar a velocidade. A nova velocidade do carro é 
a) 50 km/h em direção ao oeste 
b) 70 km/h em direção ao sudoeste 
c) 70 km/h em direção ao noroeste 
d) Zero. 
 
Questão 2. 
Considere o gráfico da posição em função do tempo. 
 
a) A partícula está continuamente indo na direção x positiva. 
b) A partícula está em repouso. 
c) A velocidade aumenta até um tempo 𝑡0 e, em seguida, torna-se constante. 
d) A partícula se move a uma velocidade constante até um tempo 𝑡0 e, em seguida, para. 
 
Questão 3. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Uma partícula tem uma velocidade u rumo à direção leste em t=0. Sua aceleração é para oeste e 
é constante. Que 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 seja a magnitude dos deslocamentos nos primeiros 10 segundos e nos 
próximos 10 segundos. 
a) 𝑥𝐴 < 𝑥𝐵 
b) 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 
c) 𝑥𝐴 > 𝑥𝐵 
d) Não é possível determinar. 
 
Questão 4. 
Uma pessoa viajando em linha reta se move com uma velocidade uniforme 𝑣1 por algum tempo 
e com velocidade uniforme 𝑣2 pelo mesmo tempo. A velocidade escalar média v é dada por: 
a) 𝑣 =
𝑣1+𝑣2
2
 
b) 𝑣 = √𝑣1𝑣2 
c) 
2
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
d) 
1
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
 
Questão 5. 
Uma pessoa viajando em linha reta se move com uma velocidade uniforme 𝑣1 por uma distância 
x e com uma velocidade uniforme 𝑣2 pela mesma distância x. A velocidade escalar média v é dada 
por: 
a) 𝑣 =
𝑣1+𝑣2
2
 
b) 𝑣 = √𝑣1𝑣2 
c) 
2
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
d) 
1
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
 
Questão 6. 
Considere o movimento da ponta do ponteiro dos minutos de um relógio. Em uma hora, 
a) O deslocamento não é zero. 
b) A distância percorrida é zero. 
c) A velocidade escalar média é zero 
d) A velocidade média é zero 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Questão 7. 
Marque a alternativa falsa para uma partícula movimentando-se em linha reta: 
a) Se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto, o objeto está desacelerando. 
b) Se a posição e a velocidade tiverem sinal oposto, a partícula está se movendo em direção à 
origem. 
c) Se a velocidade for zero em um instante, a aceleração também deve ser zero nesse instante. 
d) Se a velocidade for zero para um intervalo de tempo, a aceleração total é zero em qualquer 
instante dentro do intervalo de tempo. 
 
Questão 8. 
A velocidade de uma partícula é zero em t = 0. 
a) A aceleração em t = 0 deve ser zero. 
b) A aceleraçãoem t = 0 pode ser zero. 
c) Se a aceleração é zero de t = 0 a t = 10 s, a velocidade também é zero neste intervalo. 
d) Se a velocidade é zero de t = 0 a t = 10 s, a aceleração também é zero neste intervalo. 
 
Questão 9. 
Marque a afirmação correta: 
a) A magnitude da velocidade escalar média de uma partícula é igual à sua velocidade média. 
b) A magnitude da velocidade média em um intervalo é igual à sua velocidade escalar média nesse 
intervalo. 
c) É possível ter uma situação em que a velocidade de uma partícula seja sempre zero, mas a 
velocidade média não seja zero. 
d) É possível ter uma situação em que a velocidade da partícula nunca é zero, mas a velocidade 
média em um intervalo é zero. 
 
Questão 10. 
A Figura mostra a posição de uma partícula se movendo no eixo X em função do tempo. 
 
 
 
 
38 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
(a) A partícula parou 6 vezes. 
(b) A velocidade máxima está em t = 6 s. 
(c) A velocidade permanece positiva de t = 0 a t = 6 s. 
(d) A velocidade média para o período total mostrado é negativa. 
 
Questão 11. 
Um homem tem que ir 50 m ao norte, 40 m ao leste e 20 m ao sul para chegar a um campo. 
(a) Que distância (deslocamento escalar) ele tem de andar para chegar ao campo? 
(b) Qual é o seu deslocamento (deslocamento vetorial) de sua casa para o campo? 
 
Questão 12. 
Uma partícula começa na origem, segue ao longo do eixo X até o ponto (20 𝑚, 0) e então retorna 
ao longo da mesma linha até o ponto (−20 𝑚, 0). Encontre a distância percorrida e o 
deslocamento da partícula durante a viagem. 
 
Questão 13. 
São 260 km de Madri até Barcelona por via aérea e 390 km por estrada. Um avião leva 30 minutos 
para ir de Madri até Barcelona em linha reta, enquanto um ônibus leva 13 horas. 
a) Encontre a velocidade média do avião. 
b) Encontre a velocidade média do ônibus. 
 
 
 
 
39 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
c) Encontre a velocidade escalar média do ônibus. 
 
Questão 14. 
Quando uma pessoa sai de casa para passear de carro, o medidor indica 12.352 km. Quando ele 
volta para casa depois de duas horas, a leitura é de 12416 km. 
(a) Qual é a velocidade média do carro durante este período? 
(b) Qual é a velocidade escalar média? 
 
Questão 15. 
A Figura mostra o gráfico da coordenada x de uma partícula indo ao longo do eixo X em função 
do tempo. 
 
Encontre 
a) a velocidade média durante 0 a 10 s, 
b) a velocidade escalar média de 2,5 a 15 s, 
 
 
 
 
 
Nível 3 
Questão 1. 
 
 
 
 
40 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
Um objeto cobre a distância AB da seguinte maneira. Metade da distância AB, AB/2=AC, é coberta 
com velocidade 𝑣0. Da metade restante, a distância CD é percorrida com velocidade 𝑣1 pela 
metade do tempo e DB com velocidade 𝑣2 para a outra metade do tempo. Encontrar a velocidade 
escalar média. 
 
 
Questão 2. (Prof. Vinícius Fulconi) 
Um automóvel percorre um trajeto retilíneo que possui comprimento total 𝑥. O automóvel 
percorre um décimo desse trajeto a uma velocidade 2𝑣, cinco décimos desse trajeto com 
velocidade 3𝑣 e os quatro décimos restantes com velocidade 𝑣. Entre o ponto inicial e final do 
trajeto, o automóvel faz uma parada que dura 𝑥/𝑣 segundos. Qual é a velocidade média do 
automóvel nesse trajeto retilíneo? 
a) 𝑣𝑚 =
60
37
𝑣 
b) 𝑣𝑚 =
60
97
𝑣 
c) 𝑣𝑚 = 2𝑣 
d) 𝑣𝑚 =
60
87
𝑣 
e) 𝑣𝑚 = 2,5𝑣 
 
Questão 3. (EsPCex – 2000) 
O gráfico abaixo representa a velocidade escalar de um ciclista em função do tempo num 
determinado percurso. Nas quatro horas iniciais do percurso, a velocidade média do ciclista, em 
km/h, é de 
 
a) -40 
b) 0 
c) 20/3 
d) 10 
e) 30 
 
 
 
 
41 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução - Grandezas cinemáticas 
 
 
 
 
 
42 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
Nível 1 
 
Questão 1. 
Qual é a rapidez no impacto de um carro movendo-se a 100 km/h. que bate na traseira de outro 
carro viajando no mesmo sentido a 98 km/h? 
Comentários: 
Este é o conceito de velocidade relativa. Como os dois os corpos estão viajando no mesmo 
sentido, a batida será com velocidade de 2 km/h 
 
Questão 2. 
Vinícius pode remar uma canoa em água parada a 8 km/h. Que sucesso ele terá ao tentar subir 
um rio que flui a 8 km/h ? 
Comentários: 
Vamos analisar a situação do ponto de vista da velocidade relativa aprendida. Lembre-se de 
aplicar a regra das bolinhas 
𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/á𝑔𝑢𝑎 + 𝑉á𝑔𝑢𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 
O enunciado fornece para nós: 
𝑉á𝑔𝑢𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = −8 𝑘𝑚/ℎ 
O sinal negativo é para representar que a velocidade da água está contrária ao movimento da 
canoa. Ele diz no enunciado que a canoa tenta subir o rio. Além disso, temos: 
𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/á𝑔𝑢𝑎 = 8 𝑘𝑚/ℎ 
Aplicando na fórmula, temos: 
𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/á𝑔𝑢𝑎 + 𝑉á𝑔𝑢𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 
𝑉𝐶𝑎𝑛𝑜𝑎/𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 8 + (−8) = 0 
Dessa maneira, a canoa não irá se movimentar em relação à terra. Para um observador parado na 
margem, a canoa ficará parada no mesmo ponto. 
 
Questão 3. 
Um aeroplano dirige-se para o norte a 300 km/h, enquanto outro dirige-se para o sul também a 
300 km/h. Os dois tem a mesma velocidade? 
Comentários: 
Os dois corpos não possuem a mesma velocidade, pois velocidade é um vetor. Como um vai para 
o norte e o outro vai para o sul, os vetores têm sentidos distintos. Podemos falar que eles têm o 
mesmo módulo da velocidade. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Questão 4. 
A luz viaja em linha reta com módulo da velocidade constante de 300.000 m/s. Qual é a 
aceleração da luz? 
Comentários: 
• Se a luz viaja em linha reta a aceleração centrípeta dela é nula. 
• Se a luz viaja com módulo da velocidade constante, a aceleração tangencial é nula. 
Dessa maneira, a aceleração total é zero. 
 
Questão 5. 
Um automóvel com velocidade apontando para o norte pode simultaneamente ter uma 
aceleração apontando para o sul? Explique. 
Comentários: 
Sim. Nesse caso, o corpo está freando. Imagine um carro que está se movendo em uma rua e, de 
repente, pisa no freio. Enquanto ele não parar completamente, sua velocidade continuará sendo 
para frente, mas sua aceleração será para trás. 
 
Questão 6. 
Um objeto pode inverter seu sentido de movimento mantendo, uma aceleração constante? Se 
sim, dê um exemplo disto. 
Comentários: 
Sim. Podemos usar a explicação anterior. Imagine um carro que está se movendo em uma rua e, 
de repente, pisa no freio. Enquanto ele não parar completamente, sua velocidade continuará 
sendo para frente, mas sua aceleração será para trás. 
 
Questão 7. 
Você está numa autoestrada dirigindo-se para o norte. Então, sem o módulo da velocidade, 
você faz uma curva e dirige-se para o oeste. 
(a) Sua velocidade mudou? 
(b) Você acelerou? Explique. 
Comentários: 
a) Sua velocidade foi alterada, pois a direção e o sentido mudaram. 
b) Sim. Sempre que há “curva” você tem aceleração centrípeta. 
 
Questão 8. 
 
 
 
 
44 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
Corrija seu amigo que afirma, "o carro de corrida fez a curva com uma velocidade constante de 
100 km/h ". 
Comentários: 
Um carro não pode fazer uma curva com o vetor velocidade se mantendo constante. Se ele faz 
curva, há aceleração centrípeta e, portanto, alguma das características da velocidade (direção, 
módulo ou sentido) deve ser alterada. 
Corrigindo, temos: 
“O carro de corrida fez a curva com o módulo da velocidade constante.” 
 
Questão 9. 
Vinícius afirma que a aceleração tangencial é quão rápido você se move. Leticia afirma que a 
aceleração tangencial é quão rápido você consegue ganhar velocidade. Quem está correto? 
Comentários: 
Leticia está correta. A aceleração tangencialé o quão rápido você ganha ou perde velocidade. 
 
Questão 10. 
Cite um exemplo de algo que se mova com módulo da velocidade constante e que também possua 
uma velocidade variável. 
Comentários: 
• Um corpo em MCU, tem módulo da velocidade constante, mas a direção e o sentido são 
alterados a todo instante. 
 
Questão 11. 
a) Um objeto pode estar se movendo quando sua aceleração é nula? Se sim, dê um exemplo. 
b) Pode um objeto estar acelerando quando sua velocidade é nula? 
Comentários: 
a) Em um movimento retilíneo com módulo da velocidade sendo constante (MRU), todas as 
acelerações são nulas e o corpo continua se movendo. 
b) Quando a velocidade do corpo é nula, ele está parado momentaneamente. 
 
Questão 12. 
Você pode citar um exemplo em que a aceleração de um corpo tem o sentido oposto ao de sua 
velocidade? Se sim, qual é o exemplo? 
Comentários: 
 
 
 
 
45 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
São os casos em que o corpo está “freando”. Um carro que pisa no freio. 
 
Questão 13. 
Qual é a aceleração de um carro que se move com velocidade constante de módulo 100 km/h 
durante 100 segundos? Explique sua resposta. 
Comentários: 
Como a velocidade é constante, não há aceleração. 
 
Questão 14. 
Qual é maior, uma aceleração tangencial de 25 km/h para 30 km/h ou uma de 96 km/h para 
100 km/h, se ambas ocorrem durante o mesmo tempo? 
Comentários: 
Pela definição de aceleração tangencial, temos: 
|𝑎 𝑇| =
|𝑉𝑓⃗⃗ ⃗| − |𝑉0⃗⃗ ⃗|
∆𝑡
 
Dessa maneira, temos: 
 
𝑎𝑇1 =
30 − 25
∆𝑡
=
5
∆𝑡
 
 
𝑎𝑇2 =
100 − 96
∆𝑡
=
4
∆𝑡
 
 
5
∆𝑡
>
4
∆𝑡
 
 
Assim, na primeira situação é maior. 
 
 
Questão 15. 
Qual é o módulo da aceleração tangencial de um veículo que altera sua velocidade de 
360 km/h para uma parada total em 10 s ? 
Comentários: 
Pela definição de aceleração tangencial, temos: 
|𝑎 𝑇| =
|𝑉𝑓⃗⃗ ⃗| − |𝑉0⃗⃗ ⃗|
∆𝑡
 
 
 
 
 
46 
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AULA 01 – Vetores 
 
Antes disso, devemos converter a velocidade para metros por segundo, pois o tempo foi dado em 
segundos. Para fazer a conversão, basta dividir por 3,6. 
|𝑉0⃗⃗ ⃗| =
360
3,6
= 100 𝑚/𝑠 
|𝑎 𝑇| =
0 − 100
10
= −10 𝑚/𝑠² 
O sinal negativo indica que a aceleração está contra a velocidade. Isso faz sentido, já que o carro 
está freando. 
 
Questão 16. 
Galileu foi punido pela Igreja por ensinar que o sol está parado e que a terra se move ao seu redor. 
Seus oponentes mantiveram a visão de que a terra está estacionária e que o sol se move ao seu 
redor. Se o movimento absoluto não tem sentido, os dois pontos de vista não estão igualmente 
corretos ou igualmente errados? 
Comentários: 
As duas visões estão corretas. O movimento absoluto não existe. Um está em movimento em 
relação ao outro. 
 
Questão 17. 
Quando uma partícula se move com velocidade constante, sua velocidade média, sua velocidade 
instantânea e sua velocidade são todos iguais. Comente esta declaração. 
Comentários: 
Essa afirmação é totalmente correta. Como a velocidade é constante, a toda instante será a 
mesma velocidade e, portanto, todas serão iguais. 
 
Questão 18. 
Um carro viaja a uma velocidade de 60 km/h para o norte e o outro com uma velocidade de 60 
km/h para o leste. As velocidades são iguais? Se não, qual é maior? 
Comentários: 
O módulo da velocidade é igual. Mas, os vetores velocidade não são. 
 
Nível 2 
 
 
 
 
 
47 
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AULA 01 – Vetores 
 
Questão 1. 
Um carro está indo para o norte a uma velocidade de 50 km/h. A aceleração tangencial é nula. Ele 
faz uma curva de 90∘ à esquerda sem mudar a velocidade. A nova velocidade do carro é 
a) 50 km/h em direção ao oeste 
b) 70 km/h em direção ao sudoeste 
c) 70 km/h em direção ao noroeste 
d) Zero. 
Comentários: 
Ao virar 90° para esquerda, o carro vai oeste e a velocidade não muda, pois a tangencial é zero. 
Gabarito: A 
Questão 2. 
Considere o gráfico da posição em função do tempo. 
 
a) A partícula está continuamente indo na direção x positiva. 
b) A partícula está em repouso. 
c) A velocidade aumenta até um tempo 𝑡0 e, em seguida, torna-se constante. 
d) A partícula se move a uma velocidade constante até um tempo 𝑡0 e, em seguida, para. 
Comentários: 
Em um gráfico de posição versus tempo: 
• As retas horizontais mostram que o corpo está em repouso. 
• As retas inclinadas mostram que o corpo tem velocidade de módulo constante. 
Gabarito: D 
Questão 3. 
Uma partícula tem uma velocidade u rumo à direção leste em t=0. Sua aceleração é para oeste e 
é constante. Que 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 seja a magnitude dos deslocamentos nos primeiros 10 segundos e nos 
próximos 10 segundos. 
 
 
 
 
48 
Prof. Vinícius Fulconi 
 
 
 
AULA 01 – Vetores 
 
a) 𝑥𝐴 < 𝑥𝐵 
b) 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 
c) 𝑥𝐴 > 𝑥𝐵 
d) Não é possível determinar. 
Comentários: 
Como o corpo está com velocidade para leste e aceleração para oeste. Desta maneira, esse corpo 
está perdendo velocidade ao longo do tempo. Assim, as distâncias percorridas serão cada vez 
menores. 
Gabarito: C 
Questão 4. 
Uma pessoa viajando em linha reta se move com uma velocidade uniforme 𝑣1 por algum tempo 
e com velocidade uniforme 𝑣2 pelo mesmo tempo. A velocidade escalar média v é dada por: 
a) 𝑣 =
𝑣1+𝑣2
2
 
b) 𝑣 = √𝑣1𝑣2 
c) 
2
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
d) 
1
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
Comentários: 
A distância percorrida pela primeira parte do trajeto é x. 
𝑥 = 𝑣1 ⋅ ∆𝑡 
A distância percorrida pela segunda parte é dada por: 
𝑦 = 𝑣2 ⋅ ∆𝑡 
Veja que colocamos o mesmo intervalo de tempo, como é dito no enunciado. 
A velocidade escalar média é a razão entre a distância total e o tempo total. 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑥 + 𝑦
∆𝑡 + ∆𝑡
 
Substituindo x e y, temos: 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑣1 ⋅ ∆𝑡 + 𝑣2 ⋅ ∆𝑡
∆𝑡 + ∆𝑡
=
(𝑣1 + 𝑣2) ⋅ ∆𝑡
2 ⋅ ∆𝑡
 
𝑣𝑒𝑚 =
(𝑣1 + 𝑣2)
2
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Questão 5. 
Uma pessoa viajando em linha reta se move com uma velocidade uniforme 𝑣1 por uma distância 
x e com uma velocidade uniforme 𝑣2 pela mesma distância x. A velocidade escalar média v é dada 
por: 
a) 𝑣 =
𝑣1+𝑣2
2
 
b) 𝑣 = √𝑣1𝑣2 
c) 
2
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
d) 
1
𝑣
=
1
𝑣1
+
1
𝑣2
 
Comentários: 
A distância percorrida pela primeira parte do trajeto é x. 
𝑥 = 𝑣1 ⋅ ∆𝑡1 
A distância percorrida pela segunda parte é dada por: 
𝑥 = 𝑣2 ⋅ ∆𝑡2 
A velocidade escalar média é a razão entre a distância total e o tempo total. 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑥 + 𝑥
∆𝑡1 + ∆𝑡2
 
𝑣𝑒𝑚 =
2𝑥
∆𝑡1 + ∆𝑡2
 
Substituindo ∆𝑡1 e ∆𝑡2, temos: 
𝑣𝑒𝑚 =
2𝑥
𝑥
𝑣1
+
𝑥
𝑣2
 
Cortando o valor “x”: 
𝒗𝒆𝒎 =
𝟐
𝟏
𝒗𝟏
+
𝟏
𝒗𝟐
 
Podemos passar um termo multiplicando: 
𝒗𝒆𝒎 ⋅ (
𝟏
𝒗𝟏
+
𝟏
𝒗𝟐
) = 𝟐 
𝟏
𝒗𝟏
+
𝟏
𝒗𝟐
=
𝟐
𝒗𝒆𝒎
 
Gabarito: C 
Questão 6. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Considere o movimento da ponta do ponteiro dos minutos de um relógio. Em uma hora, 
a) O deslocamento não é zero. 
b) A distância percorrida é zero. 
c) A velocidade escalar média é zero 
d) A velocidade média é zero 
Comentários: 
Em uma hora, o ponteiro dos minutos vai e volta para o mesmo ponto. Dessa maneira, a variação 
do vetor posição é nula. O deslocamento vetorial é nulo. Dessa forma, a velocidade média é zero. 
Gabarito: D 
Questão 7. 
Marque a alternativa falsa para uma partícula movimentando-se em linha reta: 
a) Se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto, o objeto está desacelerando. 
b) Se a posição e a velocidade tiverem sinal oposto, a partícula está se movendo em direção à 
origem. 
c) Se a velocidade for zero em um instante, a aceleração também deve ser zero nesse instante. 
d) Se a velocidade for zero para um intervalo de tempo, a aceleração total é zero emqualquer 
instante dentro do intervalo de tempo. 
Comentários: 
a) Verdadeiro. 
b) Verdadeiro. 
Imagine um objeto que está na posição 𝑥 > 0. Desta maneira, sua velocidade estará para 
apontando para 𝑥 < 0 ou seja para a origem e, portanto, verdadeiro. 
Imagine um objeto que está na posição 𝑥 < 0. Desta maneira, sua velocidade estará para 
apontando para 𝑥 > 0, ou seja, para a origem e, portanto, verdadeiro. 
c) Falso. 
O corpo pode começar a acelerar em um semáforo. 
d) Verdadeiro. 
Para que a velocidade seja nula por um intervalo de tempo, a aceleração tangencial deve ser zero 
e a aceleração centrípeta também. 
Gabarito: C 
Questão 8. 
A velocidade de uma partícula é zero em t = 0. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
a) A aceleração em t = 0 deve ser zero. 
b) A aceleração em t = 0 pode ser zero. 
c) Se a aceleração é zero de t = 0 a t = 10 s, a velocidade também é zero neste intervalo. 
d) Se a velocidade é zero de t = 0 a t = 10 s, a aceleração também é zero neste intervalo. 
Comentários: 
a) Falso. 
Não necessariamente. O carro pode estar acelerando nesse momento. 
b) Verdadeiro. 
Podemos ter aceleração zero nesse momento. 
c) Falso. 
O corpo pode estar em movimento uniforme. 
e) Verdadeiro. 
Se não há velocidade, não há aceleração. O corpo está em repouso. 
Gabarito: B 
Questão 9. 
Marque a afirmação correta: 
a) A magnitude da velocidade escalar média de uma partícula é igual à sua velocidade média. 
b) A magnitude da velocidade média em um intervalo é igual à sua velocidade escalar média nesse 
intervalo. 
c) É possível ter uma situação em que a velocidade de uma partícula seja sempre zero, mas a 
velocidade média não seja zero. 
d) É possível ter uma situação em que a velocidade da partícula nunca é zero, mas a velocidade 
média em um intervalo é zero. 
Comentários: 
a) Falsa. 
Nem sempre as duas velocidades são iguais. 
b) Falsa. 
Nem sempre as duas velocidades são iguais. 
c) Falsa. 
Se a velocidade sempre for nula, a velocidade média sempre será zero. 
d) Verdade. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Para um corpo que sai de um ponto e chega no mesmo ponto, a velocidade média é zero. Lembre-
se que a velocidade escalar média pode não ser zero. 
Gabarito: D 
Questão 10. 
A Figura mostra a posição de uma partícula se movendo no eixo X em função do tempo. 
 
(a) A partícula parou 6 vezes. 
(b) A velocidade máxima está em t = 6 s. 
(c) A velocidade permanece positiva de t = 0 a t = 6 s. 
(d) A velocidade média para o período total mostrado é negativa. 
Comentários: 
a) Verdadeira. 
Sempre que há uma reta tangente horizontal ao gráfico, a velocidade é zero. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
b) Falso. 
A velocidade máxima é dada pela reta tangente ao gráfico com maior inclinação. Não é possível 
saber só vendo o gráfico. 
c) Falso. 
Quando a reta tangente é decrescente, a velocidade torna-se negativa. 
d) Falso. 
A posição final não é igual a posição inicial. Desta maneira, a velocidade média é zero. 
Gabarito: A 
Questão 11. 
Um homem tem que ir 50 m ao norte, 40 m ao leste e 20 m ao sul para chegar a um campo. 
(a) Que distância (deslocamento escalar) ele tem de andar para chegar ao campo? 
(b) Qual é o seu deslocamento (deslocamento vetorial) de sua casa para o campo? 
Comentários: 
Podemos fazer um mapa da trajetória do corpo. 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
a) o deslocamento do corpo é o a distância total percorrida. 
𝑑 = 50 + 40 + 30 = 120 𝑚 
b) o deslocamento do corpo é dado pelo vetor em vermelho. 
|∆𝑠 |2 = 402 + 302 = 2500 
|∆𝑠 | = 50 𝑚 
 
Questão 12. 
Uma partícula começa na origem, segue ao longo do eixo X até o ponto (20 𝑚, 0) e então retorna 
ao longo da mesma linha até o ponto (−20 𝑚, 0). Encontre a distância percorrida e o 
deslocamento da partícula durante a viagem. 
Comentários: 
O deslocamento do corpo é o a distância total percorrida. 
𝑑 = 20 + 20 = 40 𝑚 
O deslocamento do corpo é dado pelo vetor em vermelho. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
∆𝒔 = +𝟐𝟎 − (−𝟐𝟎) = 𝟒𝟎 𝒎 
 
Questão 13. 
São 260 km de Madri até Barcelona por via aérea e 390 km por estrada. Um avião leva 30 minutos 
para ir de Madri até Barcelona em linha reta, enquanto um ônibus leva 13 horas. 
a) Encontre a velocidade média do avião. 
b) Encontre a velocidade média do ônibus. 
c) Encontre a velocidade escalar média do ônibus. 
Comentários: 
a) 
A velocidade média do avião é dada por: 
|𝑣 | =
|∆𝑆 |
∆𝑡
 
|𝑣 | =
260 𝑘𝑚
0,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
= 520
𝑘𝑚
ℎ
 
b) 
A velocidade média do ônibus é dada por: 
|𝑣 | =
|∆𝑆 |
∆𝑡
 
|𝑣 | =
260 𝑘𝑚
13 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
= 20
𝑘𝑚
ℎ
 
Perceba que devemos utilizar o comprimento em linha reta entre as cidades. 
c) 
A velocidade escalar média é dada por: 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑
∆𝑡
 
𝑣𝑒𝑚 =
390
13
= 20
𝑘𝑚
ℎ
 
 
Questão 14. 
Quando uma pessoa sai de casa para passear de carro, o medidor indica 12.352 km. Quando ele 
volta para casa depois de duas horas, a leitura é de 12416 km. 
(a) Qual é a velocidade média do carro durante este período? 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
(b) Qual é a velocidade escalar média? 
Comentários: 
a) 
A velocidade média do avião é dada por: 
|𝑣 | =
|∆𝑆 |
∆𝑡
 
Como o corpo vai e volta para o mesmo ponto, temos: 
|∆𝑆 | = 0 
|𝑣 | = 0 
b) 
A velocidade escalar média é dada por: 
𝑣𝑒𝑚 =
12416 − 12352
2
=
64
2
= 32 𝑘𝑚/ℎ 
 
Questão 15. 
A Figura mostra o gráfico da coordenada x de uma partícula indo ao longo do eixo X em função 
do tempo. 
 
Encontre 
a) a velocidade média durante 0 a 10 s, 
b) a velocidade escalar média de 2,5 a 15 s, 
Comentários: 
a) 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Para encontrar a velocidade média, basta encontrar o deslocamento vetorial do corpo. Como se 
move em linha reta, temos: 
• A posição inicial é x = 0. 
• A posição final é x = 100, pois no instante t = 10 s o gráfico indica essa marcação 
|𝑣 | =
|∆𝑆 |
∆𝑡
 
|𝑣 | =
100 − 0
10
= 10 𝑚/𝑠 
b) 
Para encontrar a velocidade escalar média, devemos encontrar a distância total percorrida. 
Vamos separar em trajetos: 
• Tempo de 2,5 s até 7,5 s 
O corpo permanece na posição 50 m e, portanto, está parado. 
• Tempo de 7,5 s até 10 s 
O corpo saiu de 50 m até 100 m. Ou seja, percorreu 50 metros. 
• Tempo 10 s até 15 s 
O corpo saiu da posição 100 m e voltou para a posição zero. Dessa maneira, a distância 
percorrida foi de 100 metros. 
Portanto, a distância total percorrida é dada por: 
𝑑 = 0 + 50 + 100 = 150 𝑚 
 
Assim, a velocidade escalar média é dada por: 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑
∆𝑡
=
150
15 − 2,5
=
150
12,5
= 12 𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Nível 3 
Questão 1. 
Um objeto cobre a distância AB da seguinte maneira. Metade da distância AB, AB/2=AC, é coberta 
com velocidade 𝑣0. Da metade restante, a distância CD é percorrida com velocidade 𝑣1 pela 
metade do tempo e DB com velocidade 𝑣2 para a outra metade do tempo. Encontrar a velocidade 
escalar média. 
 
Comentários: 
Vamos chamar a distância total AB de x. Dessa maneira AC será igual a 𝑥/2. 
 
Tempo para percorrer 𝐴𝐶 =
𝑥
2𝑣0
 
Tempo para percorrer 𝐶𝐷 =
𝐶𝐷
𝑣1
 
Tempo para percorrer 𝐷𝐵 =
𝐷𝐵
𝑣2
 
Agora, temos: 
𝐶𝐷
𝑣1
=
𝐷𝐵
𝑣2
 and 𝐶𝐷 + 𝐷𝐵 =
𝑥
2
 
 
Distância total = 𝑥 
∴ Velocidade escalar média =
𝑥
𝑥
2𝑣0
+
𝐶𝐷
𝑣1
+
𝐷𝐵
𝑣2
 e 
𝐶𝐷
𝑣1
=
𝐷𝐵
𝑣2
 =
𝑥
𝑥
2𝑣0
+
𝑥𝑣1
𝑣1 + 𝑣2
+ 
1
𝑣1
 
 
Assim, temos: 
𝑣𝑒𝑚 =
2𝑣0𝑣1(𝑣1 + 𝑣2)
(2𝑣0 + 𝑣1) ⋅ (𝑣1 + 𝑣2) + 2𝑣0𝑣1²
 
Gabarito: 
2𝑣0𝑣1(𝑣1+𝑣2)
(2𝑣0+𝑣1)⋅(𝑣1+𝑣2)+2𝑣0𝑣1²
 
Questão 2. (Prof. Vinícius Fulconi) 
Um automóvelpercorre um trajeto retilíneo que possui comprimento total 𝑥. O automóvel 
percorre um décimo desse trajeto a uma velocidade 2𝑣, cinco décimos desse trajeto com 
velocidade 3𝑣 e os quatro décimos restantes com velocidade 𝑣. Entre o ponto inicial e final do 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
trajeto, o automóvel faz uma parada que dura 𝑥/𝑣 segundos. Qual é a velocidade média do 
automóvel nesse trajeto retilíneo? 
a) 𝑣𝑚 =
60
37
𝑣 
b) 𝑣𝑚 =
60
97
𝑣 
c) 𝑣𝑚 = 2𝑣 
d) 𝑣𝑚 =
60
87
𝑣 
e) 𝑣𝑚 = 2,5𝑣 
Comentário: 
O tempo total do trajeto foi de: 
𝑇 = 𝑡𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑡𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑇 =
𝑥
10
2𝑣 
+
5𝑥
10
3𝑣
+
4𝑥
10
𝑣
 + 𝑡𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑇 =
𝑥
10
2𝑣 
+
5𝑥
10
3𝑣
+
4𝑥
10
𝑣
 +
𝑥
𝑣
 
𝑇 =
𝑥
20𝑣 
+
𝑥
6𝑣
+
2𝑥
5𝑣
 +
𝑥
𝑣
 
𝑇 =
3𝑥 + 10𝑥 + 24𝑥 + 60𝑥
60𝑣
=
97𝑥
60𝑣
 
A velocidade média é dada por: 
𝑣𝑚 =
𝑥
𝑇
 
𝑣𝑚 =
60
97
𝑣 
Gabarito: B 
Questão 3. (EsPCex – 2000) 
O gráfico abaixo representa a velocidade escalar de um ciclista em função do tempo num 
determinado percurso. Nas quatro horas iniciais do percurso, a velocidade média do ciclista, 
em km/h, é de 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
 
a) -40 
b) 0 
c) 20/3 
d) 10 
e) 30 
Comentários: 
De acordo com o gráfico, podemos determinar o deslocamento total do corpo: 
∆𝑆 = ∆𝑆1 + ∆𝑆2 
∆𝑆 =
2 + 2,5
2
∙ 40 +
1 + 1,5
2
∙ (−40) 
∆𝑆 = 90 − 50 = 40 𝑘𝑚 
 Você poderia ver também que a simetria no gráfico, a área de 1 h até 2,5 h corresponde 
ao mesmo valor que a área de 2,5 h a 4 h, apenas com sinal contrário. Então, o deslocamento 
é apenas devido à primeira hora de movimento, que corresponde a um deslocamento de 40 
km. 
 Pela definição de velocidade média, temos: 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
 
𝑣𝑚 =
40
4
 
𝑣𝑚 = 10 𝑘𝑚/ℎ 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – Vetores 
 
Considerações finais 
 
Querido aluno(a), 
Se você está com certo receio em algum tópico, reveja toda a teoria e depois refaça os exercícios 
propostos. Uma valiosa dica é fazer a lista inteira e só depois olhar o gabarito com a resolução. 
Com isso, você se forçará a ter uma maior atenção na feitura de questões e, portanto, aumentará 
sua concentração no momento de prova. 
Se as dúvidas persistirem, não se esqueça de acessar o Fórum de Dúvidas! Responderei suas 
dúvidas o mais rápido possível! 
 
 
Você também pode me encontrar nas redes sociais! 
Conte comigo, 
Vinícius Fulconi