Rufino - Elementos da Física Vol 2 (2)

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MARCELO RUFINO DE OLIVEIRA
i-
T
das provas discursivas de física do IME de 1980 a 2015. Na verdade, o autor deste livro sempre ouviu 
que seus alunos gostavam mais de suas aulas de física do que de matemática. Sabe quando você tem 
paiXào por uma coisa, mas seu dom é pra outra coisa? É mais ou menos por aí.
I.
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Apenas em duas livrarias virtuais: 
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Marcelo Rufino
Abril de 2018
J )
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índice
11. Vetores 
1
2
132.
13
13
15
15
17
17
18
19Unidades de Velocidade 
20Velocidade Instantânea 
22Velocidade Relativa 
25
26
27
29Exercícios Resolvidos 
35Exercícios Propostos
50Cinemática: Movimento Acelerado 3.
50Movimento Uniformemente Acelerado 
61Movimento Não Uniforme
66Exercícios Resolvidos 
68Exercícios Propostos
864.
86
86Queda Livre 
87
87
89
C
Segmentos Orientados 
Vetores
Posição
Vetor Posição
Vetor Deslocamento e Deslocamento Escalar 
Distância Percorrida ou Espaço Percorrido 
Unidades de Espaço 
Velocidade Média
Introdução à Cinemática 
Conceitos Fundamentais 
Composição de Movimentos
Classificação do Movimento Quanto à Velocidade 
Movimento Uniforme
Cinemática: Lançamentos 
Conceitos Fundamentais . .
Lançamento Vertical Descendente 
Lançamento Vertical Ascendente .
Lançamento Horizontal
110Exercícios Propostos
127Cinemática: Movimento Circular5.
127
127
132
134
135
136
138
140Exercícios Resolvidos
146Exercícios Propostos
161Estática6.
161
163
165
171
172
173
175
177
191Exercícios Propostos
223
223
223
226Modelo Heliocêntrico
231
Lançamento Oblíquo . . 
Parábola de Segurança 
Exercícios Resolvidos .
Introdução................................................................
Grandezas Angulares............................................
Aceleração Centrípeta..........................................
Movimento Circular Uniforme...............................
Movimento Circular Uniformemente Variado . . . 
Acoplamento de discos, polias e rodas dentadas 
Movimento Circular Não Uniforme........................
Conceito de Equilíbrio.............
Equilíbrio de Translação.........
Equilíbrio de Rotação...............
Condições Gerais de Equilíbrio
Tombamento.............................
Treliças Planas..........................
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Exercícios Resolvidos.............
Leis de Kepler .
Lei da Atração Universal
Momento Angular...........
Aceleração Gravitacional
91
96
102
232
234
236
7. Gravitação.............
Introdução...............
Modelo Geocêntrico
239
243
244
247
248
251
254
259
261Exercícios Resolvidos
269Exercícios Propostos
2968. Hidrostática
296
296
297
298
299
307
310
313
331Exercícios Propostos
3649. Hidrodinâmica
364Fluxo de Fluido
364
365
370
37510. Gabaritos
Movimento das Marés....................
Energia Potencial Gravitacional . . .
Casca Esférica.................................
Conservação da Energia Mecânica
Órbita Circular.................................
Efeito Estilingue Gravitacional
Órbita Elíptica..........................
Coordenadas Polares...........
Equação da Continuidade 
Equação de Bernoulli . . . . 
Exercícios Resolvidos . . .
Introdução................................................................................
Densidade e Massa Específica............................................
Pressão ....................................................................................
Variação da Pressão com a Profundidade em um Líquido 
Princípio de Pascal................................................................
O Princípio de Arquimedes...................................................
Translação de Fluidos..........................................................
Exercícios Resolvidos .
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETORES
SEGMENTOS ORIENTADOS
A
A A
B
A D
c
A D
B C
1
Afirma-se que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (A 
= B). Dado um segmento AB, segue que o segmento BA é o seu oposto.
Dizemos que dois segmentos sâo equipolentes quando eles possuem 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura seguinte, 
dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou 
coincidentes. Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo 
sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a 
orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos.
Denomina-se de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em 
um ponto e sua extremidade em outro. Na figura abaixo está ilustrado um exemplo de segmento 
orientado, com sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.
o mesmo
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETORES
A
AB, o vetor BA é chamado de oposto de AB e se indica por -AB ou
A A
B
ADIÇÃO DE VETORES (FORMA GEOMÉTRICA)
C
U +V
Vu
A Bu
V
U +Vu ü
V
2
Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e 
extremidade em outro. Na figura, o segmento AB é chamado de vetor AB e indicado por AB .
Assim fica evidente que ü + v = v + ü.
Vejamos agora algumas definições:
(i) Existe um só vetor nulo 0 tal que, v + 0 = 0 + v = v. O vetor nulo tem módulo zero e direção e 
sentido indeterminados.
(ii) Qualquer que seja o vetor v , existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que v + (-v) = 0.
(iii) A diferença dos vetores ü e v é o vetor ü + (-v).
Dado um vetor v 
por —v.
A soma coincide com a diagonal do paralelogramo determinado por ü e v, quando estes 
vetores são posicionados com o mesmo ponto inicial. Veja:
Sejam ü e v dois vetores quaisquer. A soma de ü com v é o vetor ü + v que pode ser 
determinado da seguinte maneira: escolhemos representantes AB e BC dos vetores ü e v . O 
vetor soma é representado pela flecha que possui origem no ponto A e extremidade no ponto C, 
como mostra a figura:
ELEMENTOS DA FÍSICA
-V
V
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR (FORMA GEOMÉTRICA)
A figura abaixo apresenta o vetor v e alguns produtos kv:
V
-2v
-1,5v -*
AS COMPONENTES DE UM VETOR (FORMA ALGÉBRICA)
Py
v i
+ xV o x
3
I
Dado um vetor v * Õ (vetor nulo) e um número k e IR*, define-se produto de um número 
real k pelo vetor v , o vetor k. v tal que:
a) módulo: | k. v | =| k| | v |, ou seja, o comprimento de k.v é igual ao comprimento de v 
multiplicado por | k|.
b) direção: k. v e v possuem a mesma direção.
c) sentido: k. v e v têm o mesmo sentido se k > 0 e k.v ev têm sentidos contrários se k < 0.
Obs. Se k = 0 ou v = Õ (vetor nulo), então k.v =Õ .
n + (-v) / 
\ / u
Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano possui sempre uma 
representação (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem. Inicialmente, serão 
considerados os vetores com origem na origem do sistema. Neste caso, o vetor é determinado 
pelo ponto extremo do segmento. Assim, ligando a origem ao ponto P(x, y) tem-se o vetor v =OP 
e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são identificadas como as componentes do vetor.
Y
z
V = (X, y, z)
y ?/
IGUALDADE DE VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
O MÓDULO DE UM VETOR (FORMA ALGÉBRICA)
y
y
I v | = y/x2 + y2 .
XO
A
V
I v 1= 7x2 + y2 + z2X L
Dois vetores são iguais se as respectivas componentes são iguais. Assim, se os vetores 
ü= (x,, y,, z,)e v = (x2, y2, z2) são iguais se e somente se x, = x2, y, = y2 e z, = z2.
Caso o vetor v = (x, y) seja dado em um plano, pode-se 
determinar seu módulo pelo teorema de Pitágoras:
Também é possível representar um vetor no espaço. 
Para tanto, é necessário trabalhar nas três dimensões, 
normalmente denominadas de x, y e z, como indicado na 
figura ao lado. Se O é a origem do sistema de eixos 
tridimensionais e P = (x, y, z) a extremidade de um vetor 
ÕP, o vetor v = OP é representado por
Caso o vetor v = (x, y, z) seja dado no 
espaço, seu módulo é calculado observando que 
|v| é a diagonal de um paralelepípedo de 
dimensões x, y e z, conformeilustrado na figura 
ao lado. Desta forma, o módulo de v=(x, y, z) 
vale:
9^7
/
XZ
z.
4
V = (x;x,z)/
'"?|P 
/ I
I 
I
I 
I
I
I
1
I 
4— 
I ,
r~TELEMENTOS DA FÍSICA
I V I 2 = x2 + y2
Por exemplo, se v = (- 4,3): | v | = 7(-4)2 + (3)2 = V16 + 9 = v25 = 5 .
£ ELEMENTOS DA FÍSICA
SOMA DE VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
Sendo u = (x1f y,) e v = (x2, y2), define-se a soma entre os vetores u e v como:
u + v = (xi + x2, yi + y2).
y
p p
y2 D
u+v
V
B LG*1 Vi
u
o o
Por exemplo, se u = (-3, 5,1) e v = (2, - 8, 0) então:
ü + v = (-3 + 2, 5 + (-8), 1 + 0) ü + v = (-1,-3,1)
MÓDULO DA SOMA DE DOIS VETORES (FORMA GEOMÉTRICA)
onde 0 é o ângulo formado entre os vetores u e v.
Por exemplo, se | u |= 2 , | v |= 3 e o ângulo entre os ü e v é 60°:
Considere a figura anterior, onde 0 = ZAÔB é o ângulo formado pelos vetores v = OAe 
ü = OB . Como AOBP é um paralelogramo, sabe-se que ZOÂP = 180° - 0. Aplicando o lei dos 
cossenos em AOAP:
Como OAPB é paralelogramo, tem-se que os triângulos OAF e BPG, da figura 1, são 
congruentes, por LAA0. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é Xi + x2. Analogamente, tem- 
se que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são congruentes, por LAAO e assim, PD = BE e 
então a ordenada de P é y2 + y-i. Assim, as coordenadas de P são (x2 + Xi, y2 + yi).
Tudo que foi apresentado para a soma de dois vetores em um plano é válido para a soma 
de dois vetores no espaço. Isto ocorre pois dois vetores não paralelos determinam um único plano. 
A demonstração deste fato é bem simples. Faça coincidir a origem O dos vetores com a origem 
dos sistema de eixos tridimensionais. O ponto O e os extremos A e B dos vetores v e ü 
determinam um único plano, que é o plano que contém o triângulo OAB. Assim, somando os 
vetores u= (x1f y,, z-i) e v = (x2, y2, z2) encontra-se u + v= (x4 + x2, y! + y2, z-, + z2)
+x
Vx2
5
SÜKitaMii
Verifique como a definição algébrica da soma de vetores concorda com a definição 
geométrica apresentada anteriormente.
| Ü + v |2=| Ü |2 +1 v |2 +2.101. | v |,cos0 = 22 + 32 + 2.2.3.cos60°= 4 + 9 + 12.0,5 = 13 + 6 = 18
|ü + v|=3>/2
———^e****—mw—mui m -r---
x2F
------ 2 -------2 ------2--------------
OP =OA +AP -2.AO.AP.cos(18O°-0)
_i----------- x
Xi xd + x2
=> | + v |2=| |2 -+1 v |2 +2. | u |. | v |. cos0,
ELEMENTOS DA FÍSICA
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR (FORMA ALGÉBRICA)
Sendo u = (xn, yi, z,)ek e IR, a multiplicação de um vetor por um escalar é definido por:
k.u = (k.X!, k.yi, k.z^
z
•►yo
X,
tT
ü = x.i + y.j
6
->
X
É possível associar um vetor de módulo unitário a cada eixo. O vetor unitário 7 será 
associado ao eixo x e o vetor unitário j ao eixo unitário ao eixo y, conforme figura abaixo:
O par ordenado de vetores unitários (i, j) constitui uma base do plano R2, ou seja, base do 
plano cartesiano Oxy. Verifica-se que um vetor ü = (x, y), pode ser escrito univocamente como:
Considere o vetor AB de origem em A(xa, ya, 
za) e extremidade em B(xb, yb, zb). Da figura:
Observação: Sempre que v = ABouv = B- A 
pode-se concluir também que B = A + vouB = A + 
ÃB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para 
o ponto extremo B.
Analogamente, no espaço R3, pode-se considerar os vetores unitários 7 , j e k , 
respectivamente, associados aos eixos Ox, Oy e Oz, conforme figura abaixo, e a representação 
do vetor 0 = x.7 + y.j + z.k , no espaço é:
Suponha que os pontos A e B são dados por A(2, - 7, 5) e B(0, 4, - 6). Assim, o vetor AB 
édado por ÃB = B-A = (0, 4, -6)-(2, -7, 5) = (0 -2, 4 - (-7), -6 - 5) = (-2, 11, - 11).
VETOR DEFINIDO PELOS VETORES UNITÁRIOS (FORMA ALGÉBRICA)
1..
j
O"
A definição algébrica do produto por escalar dada acima concorda com a definição 
geométrica vista anteriormente. O módulo de v = (k.x,, k.yi, k.z,) é dado por:
| v | = >/(k-x1)2 + (k.y1)2+(k.z1)2 = 7k2(x,2 + y,2 + z2) = |k|7x,2 + y/ + zf = | k || ü|
Logo, o módulo de k.u é igual ao módulo de u multiplicado por |k|.
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS (FORMA ALGÉBRICA)
OA +AB = OB => AB=OB—OA
ÃB = (xb, yb, zb) - (xa, ya, za) => 
AB = (xb - xa, yb - ya, zb - za).
r ELEMENTOS DA FÍSICA
Zf
z
P(x.y.z)
PzZ
U
j Y
X
| ü |= 7x2 + y2 + z2
PRODUTO ESCALAR (FORMA ALGÉBRICA)
Ü.V =| Ü I. I V I .COS©
i.i = j.j =k.k = 1.1.cos0°=1.1.1 = 1
Escrevendo os vetores ü e v em termos dos unitários, o produto ü.v fica:
(xj + y1 j + z-JíHxJ + y2 j + z2k) =
7
Caso sejam conhecidas todas as componentes de dois vetores ü(xv y^ z^ e v(x2, y2, z2), 
é mais eficiente calcular produto escalar pela expressão ü.v = x,x2 + y,y2 + z,z2 do que pela 
definição ü.v =|ü|.| v|.cos0, que é mais utilizada para determinar o valor de cos 0. A propósito,
Observe que esse produto é simbolizado por um ponto. Não é permitido utilizar o sinal x, 
pois este será utilizado para outro tipo de produto. Para obter o produto escalar em função das 
coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os vetores unitários:
Para demonstração esta fórmula basta verificar que | ü | é a diagonal de um paralelepípedo 
de dimensões x, y e z.
Sejam ü = (xi, y1f e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo 0. Define-se o 
produto escalar de ü por v , que é simbolizado por ü.v como sendo o escalar (número real)
O terno de vetores unitários (i , j , k), será a base do espaço R3. O módulo do vetor 
ü = x.i + y.j +z.k será dado por:
r— 
I 
i 
I 
l 
i 
l 
l 
I 
i
5<
k 
i
“71 
Z I
I
I
I
I
I 
1
I
I
I
I 
—k
= x1x2i.i +x1y2i.j + x1z2i.k + y1x2j.i +yiy2j j + y1z2j.k + z1x2k.i 4-z^k.j 4-z^k.k 
= x1x2.1 + x1y2.0 + x1z2.0 + y1x2.0 + y^.1 + y^.O + z1x2.0 + z1y2.0 + ztz2.1 = 
= + y^ + z^2
i.j = i.k = j.k = 1.1.cos90° = 1.1.0 = 0 e
ELEMENTOS DA FÍSICA
(1).(-3) + (-2).k + (7).(-5) = 0 => -3-2k-35 = 0 => 2k = -38 => k = -19ü.v=0
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
COS0 =
Note que cos 9 = 0 se e somente se os vetores u e v são perpendiculares.
um
=> cos 60° =COS0 =
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
8
pela definição ü.v =| u |. | v | .cos0, é fácil verificar que se ü e v são dois vetores perpendiculares, 
o produto escalar é nulo, pois cos 90° = 0.
Por exemplo, considere os vetores ü(2, -4, 3) e v(-1, -2,-4). O produto escalar destes 
vetores vale:
Os casos de perpendicularismo também podem ser analisados por meio do produto 
escalar. Por exemplo, pode-se determinar o valor de k de modo que os vetores 0(1, -2, 7) e 
v(-3, k, -5) sejam perpendiculares. Basta impor que o produto escalar seja igual a zero:
Como - 1 < cos 0 < 1 segue que -1 u |. | v |< ü.v <| ü |. | v |. A igualdade ocorre apenas 
quando 0 = 0, caso em que ü.v =| ü |. | v |, ou 0 = 180°, situação em que ü.v = -1 ü |. | v |.
O ângulo entre dois vetores pode ser calculado a partir do produto escalar entre estes dois 
vetores. Isolando cos 0 na expressão do produto escalar segue que:
Por exemplo, pode-se determinar o valor de k de modo que o vetor v = (-1, -1,-2) forme 
ângulo de 60° com o vetor ü = (k, - 4, - 2):
2
2
Para o produto escalar são válidas as propriedades:
(1) ü.v = v.ü (comutatividade)
(2) ü.v = 0 <=> ü±v .
(3) (ü.v).w é um vetor, pois (ü.v) é um escalar e (ü.v).w é o produto de um escalar por um vetor.
(4) (ü.v).w ^ü.(v.w) pois (ü.v).w é um vetor com a mesma direção de w e ü.(v.w) é um vetor 
com a direção de ü.
(5) k.(ü.v) = (k.ü).v,k e IR
ü.v 
|ü|.|v|
ü.v = (2). (-1) + (—4).(-2) + (3).(—4) = -2 + 8 -12 = -6
-k + 4 + 4ü.v (k)-(-1) + (-4).(-1) + (-2),(-2)
I ü I • I v | 7k2 + (~4)2 + (-2)2 .V(-1)2 + (-1)2 + (-2)2 2 Vk2 +20.V6
Vôk2 +120 =2(8-k) => 6k2 + 120 = 4(64 - 18k + k2) => 3k2 + 60 = 128 - 32k + 2k2 = 
k2 + 32k - 68 = 0 => (k + 34)(k -2) = 0 => k = -34ouk = 2
ELEMENTOS DA FÍSICA
PRODUTO VETORIAL
Üx V
Assim, tem-se que:
ixj k. j -j, jxk
Multiplicando u = xj + y, j + zdk por v = x27 + y2 j + z2k tem-se:
Os dedos indicador, médio e polegar devem estar esticados como indicado na figura, com 
o dedo médio perpendicular à palma da mão e o polegar apontado para cima. O primeiro vetor ü 
do produto vetorial é apontado com o dedo indicador e o segundo vetor v é apontado com o dedomédio. O produto ü x v é apontado com o polegar.
O Produto vetorial üxv é definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes 
características:
(x1T + y1j+z1k)x(x2T + y2j+z2k) =
= xdx2i x i +x1y2i x j +x1z2i xk + y1x2j x i +y1y2j x j +y1z2j xk + z1x2kx i + z1y2kx j + z1z2kxk =
= x1x2.0 + x1y2.k+ x1z2.j-y1x2.k + y1y2.0 + y1z2.i -z^.j-z1y2.i +z1z2.0 =
= (Yiz2 - y2zi)i + (x2Zi - x,z2)j + (x1y2 - x2y1 )k
9
O produto vetorial é uma multiplicação entre dois vetores, onde o resultado será também 
um vetor. A simbolização do produto vetorial de 0 por v é üx v ou ü a v.
Os sinais x ou a são usados para o produto vetorial e não podem ser substituído pelo ponto 
(.) que é usado apenas para o produto escalar.
x I = -k, i xk= j, kx i
MÓDULO: üx v =| ü |.| v |.sen0, onde 0 é o ângulo formado pelos dois vetores.
DIREÇÃO: perpendicular ao plano formado por u e v.
SENTIDO: determinado pela REGRA DA MÃO DIREITA, conforme mostra a figura abaixo:
O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos. Para isso, 
inicialmente deve-se determinar os produtos de todos os pares de vetores unitários T, j e k, 
utilizando a expressão üxv=|ü|.|v|.senO e lembrando que o ângulo formado entre 7 e j, j e 
k e i e k é 90° e o ângulo entre i e 7, j em j e k e k é 0o.
i, kx j =-i, i x i = jx j =kxk = 0
Dados os vetores u= -i +3j+2k
üxv =
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
Para o produto escalar são válidas as seguintes propriedades:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL
CD
S = basexaltura => S =| AB | .h
h
e
BA M
S =| AB |. | AD |. sen 0 =| AB x AD |
üxv =
Como S=|üxv| segue que:
10
Considere o paralelogramo ABCD, abaixo. 
Sabe-se que a área S desse paralelogramo é:
Do triângulo AMD, segue que h=|AD|.senO . 
Deste modo, tem-se que:
T
2
1
j
1
T j 
-1 3 
1
k
-1 = aT-j-2k-k —T-2aj =(a-1)T-(2a + 1)j-3k
a
k
Z1
Z2
O resultado encontrado para üxv, em função das componentes dos vetores pode ser 
interpretado como o determinante de uma matriz 3x3 onde os elementos da 1a linha são os 
vetores unitários em cada eixo, os elementos da 2a linha são as componentes de ü e os 
elementos da 3a linha são as componentes de v :
k
2 =-67 + 2j-5k-3k-10T-2j =-16T + 0j-8k
5 -2
Por exemplo, dados os vetores ü =(2,1,—1) e v =(1,-1,a), é possível calcular o valor de a 
para que a área do paralelogramo determinado por ü e v seja igual a Vô2 unidades de área.
V62 = V(a -1)2 + (2a +1)2 + (-3)2
62 = 5a2 + 2a + 11
=> 62 = a2 - 2a + 1 + 4a2 + 4a + 1 + 9 => 
5a2 + 2a-51=0 => (5a + 17)(a —3) = 0 => a = — 17/5 ou a = 3
(1) üxv=—vxü (anti-comutativa)
(2) k.(üxv) = (k.ü)xv = üx(k.v), k e IR
(3) üxv = 0 <=> ü e v são paralelos
(4) (üxv)xw = üx(vxw) (associativa)
(5) Qx(v + w) = üxv + üxw (distributiva)
e v = T + 5 j - 2k, o produto vetorial ü x v é dado por:
ELEMENTOS DA FÍSICA
í j
üxv = (y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k= x, y,
x2 y2
ELEMENTOS DA FÍSICA
PRODUTO MISTO
Se ü = x,T + y1 j + z,k, v = x2I + y2 j + z2k
que é um escalar igual ao determinante da matriz
ü.(vxw) =
ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O PRODUTO MISTO
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Calculando o módulo do produto misto segue que:
|Ü.(VXW)|=|Ü|.|VXW|.COS0,
V x W
9 l h /
11
Z1
z2
Z3
X! 
x2 
X3
Yi 
y2 
y3
Pela propriedade u.(vxw) = v.(wxu) = w.(üxv), o volume do paralelepípedo independe 
dos vetores que são tomados como base e do vetor que é tomado como altura.
O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais na 
forma ü.(vxw). O resultado vxw será um vetor que multiplicado escalarmente por ü resultará 
em um escalar.
I. ü.(vxw)í(ü.v)xw o primeiro um escalar e o segundo um vetor.
II. ü.(vxw) = (üxv).w
III. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto:
ü.(vxw) = v.(wxü) = w.(üxv)
IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto:
ü.(v x w) = v.(w x ü) = w.(ü x v) = -ü.(w x v) = -v.(ü x w) = -w.(v x ü)
W/í
• __Gj
V
e w = x3 i + y3 j + z3k tem-se:
onde 0 é o ângulo formado pelos vetores 
ü e vxw. Lembre que vxw é um vetor 
perpendicular ao plano formado pelos 
vetores v e w . Logo, a expressão 
|ü|cos0 pode ser interpretada como o 
módulo da projeção de ü sobre vxw . 
Como |vxw| é igual à área do 
paralelogramo formado pelos vetores ü e 
v, o produto | vxw|(|ü|cos0) pode ser 
interpretado como o volume do 
paralelepípedo formado por ü , v e w , 
como ilustrado na figura ao lado.
Ü
0/
^paralelepípedo | U. (V X W ) |
v x w = (y2z3 - y3z2)i + (x3z2 - x2z3)j + (x2y3 - x3y2 )k => 
ü.(v x w) = x1y2z3 - x1y3z2 + y1x3z2 - y1x2z3 + z^y., - z1x3y2,
ELEMENTOS DA FÍSICA
V ^tetraedro
-2= 0 + 0 - 3 +1 + 0 + 0
Portanto, o volume do tetraedro ABCD vale:
12
-7
0
ÃB.(ÃCxÃD) = 1
1 
0
|ü.(vx w)|
6
Tome três vetores ü, v e w no espaço 
de modo que as origens coincidem no mesmo 
ponto. Repare que esta configuração sempre é 
possível. A origem comum e as três 
extremidades dos vetores formam um tetraedro, 
conforme indicado na figura. O volume deste 
tetraedro é igual à um sexto do volume do 
paralelepípedo formado pelos vetores ü, v e w . 
Assim:
6
1
-3 0
|AB.(ACxAD)| |-2|_1
vtetraedro g 6 3
Por exemplo, considere no espaço os pontos A(2,1, 3), B(2, 7, 4), C(3, 2, 3) e D(1, - 2, 3). 
Deseja-se calcular o volume do tetraedro que possui A, B, C e D como vértices. Tomando A como 
origem, os vetores definidos pelos pontos são AB = (0, 6,1), AC = (1,1, 0) e AD = (-1, -3, 0). O
IAB (AC x AD) Ivolume do tetraedro ABCD é dado por Vtetraedro =------------------- — . Calculando o produto misto:
6
ELEMENTOS DA FÍSICA
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
POSIÇÃO
Referencial Unidimensional
|sada| |chegada|
x 100 m
Referencial Bidimensional
13
+ 
o
O referencial unidimensional é o mais adequado para determinar as coordenadas de um 
corpo cujo movimento for ao longo de uma reta. Por exemplo, considere que um atleta está 
treinando para uma corrida de 100 metros, cuja trajetória é retilínea. Assim, basta um referencial 
unidimensional para determinar a posição do atleta em qualquer instante de seu movimento. A 
origem pode estar posicionada em qualquer ponto do eixo x, contudo, por simplicidade, é 
interessante posicionar a origem no ponto de largada do atleta. A direção do eixo x deve ser 
paralela à trajetória do atleta, porém o sentido do eixo x pode ser da largada para a chegada ou 
da chegada para a largada, entretanto, também por simplicidade, é mais adequado adotar o 
sentido do eixo x como sendo da largada para a chegada. Desta forma, o eixo x medirá apenas 
valores não negativos para a coordenada da posição do atleta, sendo a posição inicial dada por Xo 
= 0 e a posição final xf = 100 m.
No estudo do movimento de um corpo é necessário determinar a posição deste corpo. 
Determinar a posição significa determinar as coordenadas deste corpo em determinado instante 
de seu movimento. Porém, para determinar coordenadas é necessário definir sobre qual 
referencial estas coordenadas são medidas. Dependendo da trajetória do corpo, pose-se usar 
referenciais de uma, duas ou três dimensões.
A cinemática é a área da Física que estuda o movimento dos corpos, sem interesse nas 
causas que levaram ao movimento dos corpos. Existe um especial interesse em determinar o que 
será futuramente definida como função horária do espaço, que nada mais é do que a dependência 
que existe entre a posição do elemento e a grandeza tempo.
O referencial bidimensional deve ser adotado quando a trajetória do corpo está contida 
totalmente em um plano. O referencial bidimensional é formado por dois eixos orientados 
perpendiculares, tradicionalmente denominados de eixo x e eixo y. . Assim, as coordenadas de 
cada elemento, em um instante qualquer do movimento, é dado por um par ordenado da forma 
P(a, b), onde a é a coordenada x do ponto P e b é a coordenada y do ponto P. A origem do 
referencial é a interseção destes dois eixos. Apesar de não ser obrigatório, é normal adotar a 
origem do referencial como sendo o único ponto do plano que possui coordenadassimultaneamente nulas, ou seja, o ponto 0(0, 0).
No exemplo seguinte, um corpo está preso a uma corda, cuja outra extremidade está presa 
em um ponto do plano. O corpo então movimenta-se ao longo de uma trajetória circular. Como 
toda circunferência está contida em um plano, pode-se adotar um sistema bidimensional xy para 
determinar as coordenadas do corpo em qualquer instante de seu movimento. Por simplicidade, a 
origem do referencial, ponto 0(0, 0) deve ser colocada no centro da circunferência que é a 
trajetória do corpo.
y-1
,'"b
o a x
Referencial Tridimensional
I P(xP, yp, 4p)
O xP X
zP;
z
14
Note que, para o exemplo citado, a orientação de cada eixo é irrelevante, uma vez que o 
corpo percorrerá coordenadas positivas, negativas e nulas, nos dois eixos, ao percorrer toda a 
circunferência. Quando a orientação é irrelevante, o padrão é adotar o eixo x horizontal com 
valores crescentes da esquerda para a direita e o eixo y vertical com valores crescentes de baixo 
para cima.
Quando a trajetória do corpo não está contida em uma reta ou em um plano é necessário 
utilizar um referencial tridimensional para identificar a posição do corpo. São adotados três eixos, 
normalmente denominados x, y e z, perpendiculares entre si, conforme a figura abaixo. As 
coordenadas de cada ponto P são determinadas pelas projeções de P sobre os planos xy, xz e yz. 
Assim, cada ponto P é identificado da forma P(xP, yP, zP), onde Xp é a coordenada x do ponto P, yP 
é a coordenada y do ponto P e zP é a coordenada z do ponto P.
. P
y-
yp
Analogamente ao caso do referencial bidimensional, a interseção dos eixos é a origem do 
referencial e essa interseção ocorre, de forma geral (mas não obrigatória), nos pontos de cada 
eixo que possuem coordenada nula.
Um exemplo de movimento tridimensional é a trajetória do voo de um avião entre duas 
cidades, onde são feitas curvas em todas as direções, onde não existe nenhum plano que 
contenha a trajetória do avião.
Perceba que os casos de movimento unidimensional e bidimensional são casos 
particulares do movimento tridimensional, onde a posição do objeto em um ou dois dos eixos é 
constante.
ELEMENTOS DA FÍSICA
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETOR POSIÇÃO
Zf
c _
P(a, b, c)
P/
r
+-T
J
a
X
VETOR DESLOCAMENTO E DESLOCAMENTO ESCALAR
As = sf - s0
15
Y
Para entender melhor a diferença entre vetor deslocamento (ou deslocamento vetorial) e 
deslocamento escalar, considere o movimento de um automóvel ao longo de uma estrada não 
retilinea, conforme a figura abaixo.
Em cada instante a posição de uma partícula pode ser dada pelas suas coordenadas 
cartesianas a, b e c, ou através do vetor posição, r , cuja origem coincide com a origem do 
referencial e cuja extremidade coincide com a posição da partícula. O vetor posição de um ponto 
P(a, b, c) pode ser escrito em função das componentes escalares e dos respectivos versores 
segundo os eixos x, y e z da forma f = a.T + b. j + c.k . Neste caso, afirma-se que a é a componente 
de r no eixo x, b é a componente de r no eixo y e c é a componente de f no eixo z.
(■---------------------------
I
i
I
I
i
I
I
I
I
k 
üj'
i
“71
' I
I
I
1
I
I
I
I
I
I
I
z^bi
i
Considere que uma partícula inicia seu movimento em um ponto A e termina em um ponto 
B. O vetor deslocamento Ar da partícula é o vetor que liga a posição inicial A à posição final B: 
Ar = fAB. Como vetor, o deslocamento admite módulo, direção e sentido. O vetor deslocamento 
independe da trajetória da partícula. Espaço é uma grandeza que define a posição do móvel sobre 
a trajetória. O deslocamento escalar é medido ao longo da trajetória, sendo igual à subtração 
entre o espaço final e o espaço inicial de um móvel.
A distância entre a posição da partícula e a origem do referencial é determinada a partir do 
módulo do vetor posição r = a.i +b.j + c.k , o que é dado pela expressão | r |= Va2 + b2 + c2 .
r ELEMENTOS DA FÍSICA
20 km30 km *
0BA
li
//
íA
i
16
-4— 
Sf So
Como o deslocamento escalar é medido ao longo da trajetória, sendo o espaço inicial 0 km 
e o final 5 km, o seu valor é As = sf-s0 = 5- 0 = 5 km.
Com relação ao deslocamento escalar é necessário destacar o que ocorre quando o móvel 
inverte o sentido de seu movimento.
Considere quatro trajetos de um móveL Primeiro saindo de A e parando em C, designado 
por A->C. No segundo trajeto o móvel sai de A, passa por C e depois retorna para B, designado 
por A-»C->B. No terceiro trajeto o móvel sai de C e para em B, designado por C->B. No quarto 
trajeto o móvel vai de A para B e depois retorna para A, designado por A->B->A. O deslocamento 
escalar de A->C é sc - sA = 30 + 20 = 50 km. O deslocamento escalar do trajeto A—>C—>B vale 30 
km, uma vez que neste trajeto sB - sA = 30 km. No terceiro trajeto, observe que o móvel se 
deslocou no sentido oposto ao da orientação do eixo. Desta forma, o deslocamento escalar no 
trajeto C-»B vale sB - sc = - 20 km. No trajeto A->B-»A o deslocamento escalar é nulo, uma vez 
que o espaço inicial e o final coincidem, ocorrendo inversão do sentido do movimento ao longo da 
trajetória
Note, pelo exemplo anterior, que o deslocamento escalar pode assumir valor positivo 
(quando sf > s0), negativo (quando Sf < s0) ou nulo (quando sf = s0). Com relação ao deslocamento 
escalar nulo, é necessário destacar que ele ocorre somente quando a posição inicial coincide com 
a posição final e, em algum momento, o móvel inverte o sentido de seu movimento. Caso um 
móvel percorra um circuito fechado, ao passar novamente pela posição inicial o deslocamento 
escalar será igual ao comprimento da trajetória, como pode ser evidenciado na figura abaixo.
Este tipo de situação é bastante comum em corridas de automóveis ou provas de atletismo 
de 400 m a 10.000 m.
O automóvel sai de um ponto A, no km 0 da estrada, e para no ponto B, no km 5. O vetor 
deslocamento é o vetor Ar que liga a posição A à posição B. Perceba que Ar independe da 
origem do referencial. Se rA = xA i + yA j + zAk e rB = xB i + yB j + zBk então:
| Ar |=| rB - rA |= 7(xB - xA )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
F ELEMENTOS DA FÍSICA
DISTÂNCIA PERCORRIDA OU ESPAÇO PERCORRIDO
1 m
Asb_j_>g = XG-xB = 3-(-2) = 5m
UNIDADES DE ESPAÇO
17
T 
c
Nos Estados Unidos uma unidade muito utilizada é a a milha. Tem-se que 1 milha 
corresponde a, aproximadamente, 1,609 metros. A polegada é uma unidade de comprimento 
muito usada em países como a Inglaterra, e sua medição possui uma relação com o centímetro, 
de forma que 1 polegada corresponde a 2,54 centímetros. Na aviação verifica-se uma unidade 
usada na determinação de altura, o pé. Quando um avião precisa informar a sua altura ele utiliza 
essa unidade comunicando aos passageiros e informando a torre de comando a sua altitude 
correta. Por exemplo, um avião que se encontra a 10.000 pés de altitude está a 304.800 cm, que 
corresponde a 3048 metros. Dizemos que 1 pé corresponde a 30,48 centímetros.
No sistema internacional de unidades (SI) o espaço é medido em metros, cujo símbolo é m. 
Assim, se um móvel percorreu um espaço d de dezessete metros, simbolicamente, deve-se 
escrever que d = 17 m.
Em alguns casos medir o espaço em metros não é prático. Por exemplo, a distância em 
linha reta entre Belém e Brasília é 1.469.960 m. Neste caso, é adequado adotar um múltiplo do 
metro, que é quilômetro, onde 1 km = 1000 m. Deste modo, a distância entre Belém e Brasília 
pode ser escrita como sendo 1.469,96 km.
Perceba que existe uma sensível diferença entre a distância percorrida e o deslocamento 
escalar para este movimento. O deslocamento escalar leva em consideração apenas o espaço 
inicial e final:
Tome como exemplo o movimento unidimensional abaixo, onde a partícula inicia o 
movimento no ponto B, de posição - 2 m, vai em direção ao ponto J, de posição 6 m, e depois 
finaliza o movimento no ponto G, de posição 3 m.
Quando um corpo descreve um movimento retilíneo, sem inversão de sentido, a distância 
percorrida coincide com o valor do deslocamento.
Enquanto que no deslocamento(escalar ou vetorial) consideramos apenas a posição (ou 
espaço) final e a inicial, para calcularmos a distância percorrida nos preocupamos com a trajetória 
do móvel. Na verdade, a distância percorrida é igual ao comprimento da trajetória da partícula.
T
D
O
E 
1
T 
I 
5
I
A
-3
T
F
2
I
G
3
1 
H 
4
I
J
6
T
K
7
I
L
8
Por outro lado, distâncias muito menores que um metro devem ser descritas usando os 
submúltiplos centímetro (cm) ou milímetro (mm). Por exemplo, é mais prático afirmar que a largura 
de um celular é 5 cm do que 0,05 m. Para feitos de conversão, tem-se que 1 cm = 0,01 m e 1 mm 
= 0,001 m.
I
B 
-2
Deste modo, a distância percorrida pela partícula neste movimento de ir de B ao ponto J e 
depois de J ao ponto G vale:
^percorrida = BJ + JG =| Xj - XB | + | XG - Xj |=| 6 - (-2) | + |3-6|=8 + 3 = 11m
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE MÉDIA
GOIÁS
MINAS GERAISRio Verde
f
Ribeirí Pretl
SÃO PAULO
Ca\npii
>ARANÁ
deste movimento é definido como sendo:
18
ESPÍRITO 
SANTO
Ilhéus
Goiânia 
o
*AB
At
A) 
(j/aulo
intos
Porto Segur-
Vitória
Belo Horizonte 
o o 
Belim
São José do 
Rio Preto
Maringá o
° Londrina
Assim, se rA = xA i + yA j + z
Suponha que um carro se desloca de São Paulo a Brasília em 12 horas, utilizando 
estradas que tornem a viagem mais rápida. Suponha que o odômetro do carro indique que o 
mesmo percorreu uma distância de 1005 km. Sabe-se que a distância em linha reta entre São 
Paulo e Brasília é 873 km, como indicado no mapa abaixo.
Suponha que em um determinado referencial, São Paulo seja representada pela posição 
inicial A e Brasília pela posição final B. Assim, rAB é o vetor que liga as posições A e B, também 
denominado de vetor deslocamento. Pelo mapa, fica bem claro que o módulo do deslocamento 
vetorial é de | rAB | = 873 km, enquanto que o deslocamento escalar (que neste caso coincide com 
a distância percorrida) é de As = 1005 km.
RIO DE 
JANEIRO
Rio de Janeiro
o
Vitória da 
Conquista
e rB = xB i + yB j + zBk então::Ak
vm
O vetor velocidade média vm
(B)
Brà/ília
O módulo do vetor velocidade média é | vm |= ' L Desta forma, o módulo da velocidade 
vetorial média da viagem de São Paulo a Brasília é | vm |= =
070
= 72,75 km/h.
vm
Uberlândia
Pres. Prudente
(xB-xA) j , (Ys-Ya)] +
At At J
Sal 
° c, 
Sorocaba sar
(zb ~za) p 
At
ELEMENTOS DA FÍSICA
UNIDADES DE VELOCIDADE
Esquematicamente:
dividir por 3,6
km/h m/s
multiplicar por 3,6
1 mph = 1,609 km/h.
Na navegação a velocidade é normalmente medida em nós, cuja conversão para km/h é
1 nó = 1,852 km/h.
19
As
At
O resultado vm >| vm | já era esperado, uma vez que em qualquer movimento o espaço 
escalar apresenta módulo maior ou igual à variação do vetor posição.
Outras unidades de velocidade, não pertencentes ao SI, são utilizadas em alguns países 
ou áreas específicas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra a indicação da velocidade nos 
velocímetros dos automóveis é em milhas por hora (mph), cuja equivalência para km/h é:
No sistema internacional de unidades a velocidade é medida em m/s. Outra unidade muito 
utilizada, principalmente em automóveis, é km/h. Para efeito de conversão:
3600 km
103 ”h~
. m .1 — = 1 
s
A velocidade escalar média é definida como a razão entre o deslocamento escalar e o 
tempo total gasto para percorrer tal espaço. A equação a seguir define essa grandeza:
Deste modo, para a viagem de São Paulo a Brasília, a velocidade média escalar foi de 
As 1005 ..— =-------= 83,75 km / h .
At 12
vm
vm
„ „ km= 3,6— 
h
10'3km
-U 
3600
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Vinst(t)
20
É bastante comum estarmos no interior de um veículo e observarmos um instrumento 
localizado no painel de instrumentos denominado velocímetro. Este instrumento indica a 
velocidade instantânea do veículo. A figura abaixo representa um velocímetro analógico, comum 
em carros, onde a o ponteiro está apontando a velocidade instantânea do veículo. No caso da 
imagem abaixo, o velocímetro está indicando a velocidade de 10 km/h.
Utilizando o operador matemático denominado limite, pode-se escrever a definição de 
velocidade instantânea de outra maneira:
Este tipo de limite é a definição de derivada da função que está no numerador em função 
da variável que está no denominador. Logo, pode-se afirmar que a velocidade instantânea é 
derivada do espaço s(t) no tempo t:
d[s(t)]
dt
Considere agora uma situação problema em que se deseja determinar a velocidade 
instantânea de um móvel em que não se tem acesso ao velocímetro do mesmo. Esta velocidade 
instantânea deve ser determinada usando apenas dados do movimento do móvel, como espaço
As percorrido e tempo. Para tanto, pode-se utilizar a definição de velocidade média:
Suponha que o móvel se movimenta com velocidade variável em um intervalo de tempo At. 
Considere apenas o movimento do móvel desde instante t até o instante t + At' (com t + At' < At), 
quando At' é muito pequeno. Como At' é infinitesimal, a velocidade praticamente não varia no 
intervalo considerado, permitindo que se considere que a velocidade instantânea no instante t é 
igual à velocidade média no intervalo At'. Desta forma, se s(t) é a equação horária do espaça, ou 
seja, como o espaço varia em função do tempo, pode-se escrever que a velocidade no instante t 
vale:
vlnst(t) -
... .. s(t + At)-s(t) 
vinst(t) = Ijm —---- t;---- —At—>0 At
— * 4?)—qUancj0 At é infinitesimal
ELEMENTOS DA FÍSICA
v(t)
v(t) = 3t2 — 4t (SI)v(t) =
v(2) = 3.22 - 4.2 = 12 - 8 = 4 m/s
v(t)
Assim.se r(t) = x.i + y.j+z.k a velocidade vetorial é dada por
v(t) = vx.i + vy.j +vz.k
A velocidade vetorial instantânea vale:
v(t)
Deste modo, o vetor velocidade instantânea para t = 1 s vale:
v(1) = 4.I+ 8.j-1O.k m/s
■MM
21
A expressão da velocidade instantânea, que até agora foi escrita apenas na forma escalar, 
também pode ser escrita de forma vetorial:
Para determinar a velocidade, por exemplo, no instante t = 2 s, basta substituir na 
expressão da velocidade t = 2:
A partir de agora, neste livro, a velocidade instantânea será designada apenas por v, 
bastando apenas indicar o instante em que a velocidade deve ser calculada.
Por exemplo, suponha que o vetor posição é dado em função do tempo t pela expressão: 
r(t) = (2t2 -1)7 + (5t4 - 2t3 +12 - 8t +10)j + (-6t3 -12 +10t + 9).k (SI)
d[r(t)] 
dt
d[s(t)]
dt
d(t3 - 2t2 +1) 
dt
v(t)==d(xT+yi++éz ]+—k
1 ' dt dt dt dt J dt
Por exemplo, suponha que a função horária do espaço, de um movimento unidimensional, 
seja s(t) = t3 - 2t2 + 1 (com todas as unidades no SI). A velocidade, em função do tempo, é 
determinada derivando a expressão do espaço no tempo t:
As parcelas —, — e — são iguais às componentes da velocidade em cada eixo: 
dt dt dt
= d[r(t)] = d(2t2 -1) r + d(5t4 - 2t3 +12 - 8t +10) -r + d(-6t3-t2+10t + 9) 
dt dt '+ dt J + dt
v(t) = (4t)T + (20t3 - 6t2 + 2t - 8)j + (-18t2 - 2t +10)k m/s
Assim.se
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE RELATIVA
Movimento Unidimensional
A
C
B
=1 vB | + | vc |
22
Portanto, a velocidade relativa entre dois móveis que se movem ao longo de uma mesma 
reta em sentidos contrários é igual à soma dos módulos das velocidades.
Note que o mesmo resultado seria encontrado se fosse adotado um eixo x" que tivesse 
como origem o carro C, com orientação da esquerda para a direita e se movimentasse com 
velocidade vc. A velocidade que x" mediria de B seria:
O sinal negativo é devido à orientação do eixo x', que é da esquerda para a direita, 
enquanto que o carro C se desloca em sentido dos valores negativos de x'.
É assim que se determina a velocidade relativa entre dois móveis que não estão em 
repouso. Adota-se a posição de um dos móveis, digamos B, como origem e a velocidade do 
referencial x' sendo igual à velocidade do móvel B. A velocidade relativa entre B e C é igual ao 
módulo da velocidade v'c que o referencial x' mede de C.
I Asbc | _ | vB 1 -At+1 vc | .At
At At
Como o observador A está sentado, afirma-se que A é solidário ao solo, ou seja, não se 
movimenta com relaçãoao solo. Deste modo, a pessoa A e o solo medem as mesmas 
velocidades de qualquer móvel, incluindo os carros na estrada. Portanto, um referencial x solidário 
ao solo e com origem em A mede velocidade vB para B e velocidade vc para C, as mesmas 
velocidades indicadas pelos velocímetros dos carros, que é a velocidade dos carros em relação 
ao solo no instante considerado. Devido ao movimento de aproximação, B tem a impressão que a 
velocidade de C possui módulo maior que | vc |. Isso ocorre porque os referenciais x e x' medem 
velocidades diferentes de qualquer móvel.
No item sobre velocidade instantânea verificou-se que se At tende a zero pode-se 
considerar que a velocidade é constante nesse pequeno intervalo de tempo. Desta forma, em um 
certo intervalo de tempo At infinitesimal, o carro B percorre uma distância | vB | .At e o carro C 
percorre uma distância | vc | .At. Como os carros se movimentam em sentidos contrários, a 
distância entre B e C diminuiu em AsBC =| vB |.At+|vc |.At. É exatamente essa distância que o 
carro B mede que o carro C andou no intervalo At. Assim, o referencial x', orientado conforme a 
figura, que se movimenta ao longo da estrada com velocidade vB , medirá que a velocidade de C 
vale:
vc
vB
v"b
Vc
Considere a situação em que uma pessoa A está sentada a beira de uma estrada, em um 
trecho retilíneo, observando os carros se movimentando. A observa o movimento de dois carros, B 
e C, que se movimentam nessa estrada em sentidos contrários.
I x
, | Asbc | | vB | .At+ | vc | .At .._ . ._ ..v c =-k-7e-1 = ---- = -(I vB | +| vc |)
At At
Vbc =|v’c 1=1 VB | + |vc I
vbc=|v"b H vb | + | vc I
c
 VBC =1 VB I + I vc I
B
A
B C
O módulo desta velocidade é a velocidade relativa entre os carros B e C:
v,
23
x’—►
X 
—►
Em resumo, se dois móveis se movem ao longo de uma mesma reta em sentidos 
contrários, a velocidade relativa entre eles é igual à soma dos módulos das velocidades, enquanto 
que se dois móveis se movem ao longo de uma mesma reta no mesmo sentido, a velocidade 
relativa entre eles é igual ao módulo da subtração dos módulos das velocidades
Analogamente ao caso anterior, em um certo intervalo de tempo At infinitesimal, o carro B 
percorre uma distância | vB | .At e o carro C percorre uma distância | vc | .At. Porém a similaridade 
acaba por aí, pois como os carros agora se movimentam no mesmo sentido, a distância entre B e 
C diminuiu em AsBC =| vc | .At-1 vB | .At. É exatamente essa distância que o carro B mede para o 
deslocamento do carro C em um intervalo At. Perceba que se | vc |>| vB | então a distância entre 
os carros aumenta. Se | vc |<| vB | a distância entre os carros diminui. Se | vc |=| vB | a distância 
entre os carros se mantém constante.
Um referencial x' com origem em B, orientado conforme a figura, que se movimenta ao 
longo da estrada com velocidade vB , medirá que a velocidade de C vale:
Assim, a velocidade relativa entre dois móveis que se movem ao longo de uma mesma 
reta no mesmo sentido é igual ao módulo da subtração dos módulos das velocidades.
Suponha agora que os móveis B e C estão se movimentando na estrada em um mesmo 
sentido. A pessoa A continua sentada na beira da estrada.
A velocidade relativa entre os móveis B e C também pode ser definida como o módulo da 
velocidade que o eixo x" mede do móvel B:
Exatamente o mesmo resultado é encontrado caso os móveis estejam com velocidades em 
sentidos contrários, porém se afastando, conforme a figura abaixo.
vB
Vc
vB
bc =|v’c |=|| vB |-| vc ||
vc
vB
. Asnr I Vr I .At-1 Vo I .At , , , , V'c=-C' B' =|VC|-|VB|
87~............. . -......
ELEMENTOS DA FÍSICA
ELEMENTOS DA FÍSICA
Movimentos em mais de uma dimensão
P
f
?z‘ \
r' ' o O
X
y’
0
cDerivando essa expressão no tempo obtém-se:
24
O'
Considere os móveis O e P, que se movimentam no espaço. O referencial O'x'y'z' é 
considerado estático em relação ao solo. Neste referencial, no instante considerado, o vetor 
posição de O é r’0 e o vetor posição de P é r1, conforme indicado na figura.
Como os eixos não possuem movimento de rotação, as derivadas acima são interpretadas 
como as velocidades de translação:
Desta forma, a velocidade relativa entre dois móveis, medida por um referencial estático, é 
a subtração vetorial de suas velocidades. Portanto, se os móveis A e B se movimentam no espaço, 
com posições medidas em relação a um referencial estático Oxyz, a velocidade relativa entre os 
móveis A e B é dada por:
Note que este resultado concorda com a análise realizada sobre a velocidade relativa em 
movimento unidimensional, uma vez que se dois vetores possuem mesma direção e sentido (caso 
de móveis se aproximando) o módulo do vetor subtração é a subtração dos módulo, enquanto se 
os vetores possuem mesma direção e sentidos opostos (caso de móveis se afastando) o módulo 
da subtração dos vetores é a soma dos módulos.
\
Deseja-se determinar a velocidade relativa entre os móveis O e P. Para tanto, suponha 
que o referencial Oxyz possui o ponto O como origem e se desloca no espaço com a mesma 
velocidade v'o do ponto O, medida por O'x’y'z'. Adote também que os eixos Ox, Oy e Oz não 
possuem movimento de rotação em torno de O. Observando os vetores, conclui-se que:
^AB
d(f’) =d(r) t d(f'o) 
dt dt dt
-vB= vA
v = v'-v'ov' = v + v'o
ELEMENTOS DA FÍSICA
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
em relação ao vento
9/
Lembrando da regra do módulo da soma vetorial, tem-se que:
|.COS0
25
Outras aplicações da composição de movimentos são a travessia de um rio por uma 
pessoa a nado ou sobre um barco motor ou o movimento de uma pessoa dentro de um meio de 
transporte em movimento, como um barco ou um ônibus.
Em determinadas situações um móvel pode estar se movimentando imerso ou apoiado em 
um meio que também esteja se movimentando, ambos os movimentos medidos em relação a 
mesmo referencial. Por exemplo, considere o vôo de um avião entre duas cidades. O avião possui 
uma velocidade em relação ao vento, que por sua vez também está se movimentando em relação 
ao solo. A figura abaixo mostra a vista superior de uma possível configuração das velocidades do 
avião em relação ao vento e do vento em relação ao solo.
Neste tipo de situação, a velocidade resultante do móvel em relação a um referencial 
solidário ao solo é o resultado da soma vetorial da velocidade do móvel em relação ao meio e da 
velocidade do meio em relação ao solo. Desta forma, para determinar a velocidade resultante vR 
é necessário utilizar a regra do paralelogramo, conforme a figura abaixo.
I Vr l-l ^avião I2 + I Vvento
V M v avião
^avião
l -l Vvent0|2 +2| Vaviâo
9" V ventoVr - Vavião
ELEMENTOS DA FÍSICA
CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO QUANTO À VELOCIDADE
No movimento progressivo tem-se a velocidade escalar positiva: v > 0
No movimento retrógrado a velocidade escalar é sempre negativa: v < 0
Vvy
4
Vx
26
>
X
Movimento Retrógrado
Um movimento é classificado como retrógrado quando o móvel se movimenta no sentido 
contrário da orientação da trajetória. No exemplo abaixo, a motocicleta percorre a estrada no 
sentido inverso ao do crescimento da quilometragem.
Os conceitos de movimentos progressivos ou retrógrados também podem ser transferidos 
para os movimentos bi ou tridimensionais.
Por exemplo, no movimento bidimensional da figura acima o móvel se movimenta de modo 
que a componente x de sua velocidade está na mesma orientação do eixo x, enquanto que a 
componente y está no sentido inverso da orientação do eixo y. Assim, para o instante considerado, 
a projeção do movimento no eixo é classificada como progressiva, porém a projeção do 
movimento no eixo y é classificada como retrógrada.
km 
20
km
33
km 
21
km
34
Movimento Progressivo
Um movimento é classificado como progressivo quando o móvel se movimenta no mesmo 
sentido da orientação da trajetória. No exemplo abaixo, a motocicleta percorre a estrada no 
mesmo sentido do crescimento da quilometragem.
ELEMENTOS DA FÍSICA
MOVIMENTO UNIFORME
Equação Horária do Espaço da MU
V VSSo
s = s0 + v.tV =
MU bi ou tridimensional
r = r0 + v.t
27
A equação horária do espaço do movimento uniforme também é válida quando as 
grandezas espaço e velocidade são dadas de forma vetorial. Neste caso, é necessário que o 
movimento seja retilíneo. Essa condição é necessária para garantir que o vetor velocidade se 
mantenha constante, além do módulo, em direção e sentido. Assim, se r0 é a posição inicial do 
móvel e v seu vetor velocidade (assumido constante devido ao movimento ser uniforme) segue 
que o vetor posição r em um instante qualquer t é dado por:
Um movimento é classificado como uniforme quando a velocidade escalar é constante 
durante toda a trajetória. É importante ressaltar que o movimento uniforme independe da trajetória. 
Assim, é possível que um movimento em trajetória retilínea seja uniforme, do mesmo modo que 
um movimento circular também pode ser uniforme, bastando que a velocidade escalar seja 
constante.
As
ÃF
s-s0
t
Determinar uma equação horária é expressar uma variável em função do tempo. Podem 
até surgir outras grandezas físicas na expressão, desde que sejam constantes. No caso da 
equação horária do espaço, a posição s do móvel será determinada em função da variável tempo t.
Suponha que o móvel parta da posição inicial s0 com uma velocidade escalar constante v. 
Pelo fato da velocidade escalar ser constante, então a velocidade média é igual à velocidade 
escalar:
Observações:
1) A grandeza velocidade escalar deve ser substituída na equação horária do espaço levando em 
consideração seu sinal. No exemplo da figura acima o móvel está se movimentando no mesmo 
sentido da orientação do eixo, ou seja, o movimento é progressivo e portanto v > 0. Entretanto, 
caso o móvel estivesse se movimentando no sentido contrário ao da orientação do eixo o 
movimento seria classificado de retrógrado e v < 0.
2) Se o móvel iniciar seu movimento a partir da origem tem-se s0 = 0.
3) As unidades de todas as grandezas devem substituídas da equação dentro de um mesmo 
sistema de unidades. Assim, se a velocidade for dada em metros por segundo, o espaço será 
medido em metros e o tempo em segundos. Caso a velocidade seja medida em quilômetros por 
hora o espaço será medido em quilômetros e o tempo em horas.
4) A equação s = s0 + v.t é válida para qualquer trajetória, bastando que o movimento seja 
uniforme.
vm
Gráficos do MU
s s
So So
e
So
*t *t0 00
Gráfico s x t do MU para v < 0 Gráfico s x t para v = 0Gráfico s x t do MU para v > 0
v
v
*t0
Gráfico v x t do MU
v
velocidade
V
*t0 ti t2
A = As
28
Na cinemática dois gráficos possuem especial importância, que são os gráficos da 
dependência do espaço pelo tempo e o gráfico da dependência da velocidade pelo tempo.
Caso os eixos sejam feitos na mesma escala, ou seja, uma unidade de comprimento 
possua a mesma medida no gráfico que uma unidade de tempo, a tangente da inclinação 0 da 
reta com a horizontal (explicitado no 1a gráfico) é igual à velocidade escalar v: tg 0 = v.
Gráfico v x t
Como a velocidade escalar é constante no MU, o gráfico da dependência da velocidade 
pelo tempo é uma reta horizontal.
numericamente igual ao deslocamento do móvel, 
informação será demonstrada no próximo capítulo, 
especificamente no item sobre movimentos não uniformes.
Gráfico s x t:
Como s = s0 + vt segue que o gráfico de s x t é uma reta, cuja inclinação depende do sinal 
de v. Além disso, o ponto onde a reta intercepta o eixo s é a posição inicial s0 do móvel.
s
ELEMENTOS DA FÍSICA
Em um gráfico velocidade versus tempo, 
independentemente se o movimento é uniforme ou não, a área 
compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo é 
Essa 
mais
ELEMENTOS DA FÍSICA
c) 800 m e)1100 m
ii) t2 ^2
c) 08h30 min e 510 km.
x2 = x2
29
X ->
V, 
—►
L
0, para 0 < t < 5h 
720-60(t-5), para 5h<t<12h
b) 15h30 mine 220 km. 
e) 15h30 min e 498 km.
x
40
1 1 1
60 + 40 + 20
Curitiba
720 km
150 + L
50
3
2 + 3 + 6
120
ER1) (Espcex-16) Um trem de 150 m de comprimento se desloca com velocidade escalar 
constante de 16 m/s. Esse trem atravessa um túnel e leva 50 s desde a entrada até a saída 
completa de dentro dele. O comprimento do túnel é de: 
a) 500 m b) 650 m c) 800 m d) 950 m
Solução: Alternativa B
De modo a atravessar todo o túnel, o trem deve percorrer uma distância igual à soma do 
comprimento do trem e do túnel.
v = — => 16 = 150 + L => 800= 150+L => L = 650 m
At
Vm
t3 = —
3 20
— = 32,72 km/h 
11
iii) t3= —
V3
ER3) (ITA-85) Um ônibus parte do Rio de Janeiro para Curitiba às 7 horas da manhã; às 12 horas 
parte outro ônibus de Curitiba para o Rio. Percorrem os 720 km entre as duas cidades em 12 
horas. A hora e a distância do Rio de Janeiro que os ônibus se encontram, são, respectivamente: 
a) 08h30 min e 220 km. 
d) 15h30 min e 510 km.
Solução: Alternativa D
Rio de 
Janeiro 
GMV
A velocidade média de cada ônibus vale vm = — = = 60 km/h
m At 12
Assim, a velocidade escalar de cada ônibus, em função da orientação do eixo da figura, vale Vt = 
60 km/k e v2 = - 60 km/h
A equação horária do espaço do ônibus que vai do Rio de Janeiro à Curitiba é
Xi = X01 + v,t = 0 + 60t = 60t, para 0 < t < 12 h, t contado a partir das 7 h
Como o ônibus que vai de Curitiba ao Rio de Janeiro sai 5 horas depois, sua posição vale:
0, para 0<t<5h
xo2 +v2(t-At), para At<t<12h
No ponto de encontro as posições das partículas são iguais:
Xi = x2 => 60t = 720 - 60(t - 5) => 60t = 720 - 60t + 300 => 120t= 1020 => t = 8,5h => 
t = 8 h 30 min
Desta forma, o ponto de encontro ocorre às 7 h + 8h 30 min = 15 h 30 min
ER2) (Fuvest-16) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a 
primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60 km/h, a terça parte seguinte a 40 km/h e o 
restante do percurso a 20 km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo 
nessa viagem, em km/h, é 
a) 32,5 b) 35 c) 37,5 d) 40 e) 42,5
Solução: Alternativa A
Suponha que a distância entre os dois povoados é 3x. Assim, o tempo decorrido para preencher 
cada terço do trajeto vale:
.. . x . x .... x
"'■-í; ’ *’-6õ
Logo, a velocidade média nessa viagem vale: 
3x 3/ _____ 3
ti + t2+t3 X + X + 2Í 1 • 1 
60 40 20 40
r ELEMENTOS DA FÍSICA
Correnteza
Trajetória do Bote
[E] 14 m/s[C] 8 m/s
30
formam um triângulo 
| = 10 m/s
2
4
A distância do ponto de encontro ao Rio de Janeiro: 
x, = 60.(8,5) = 510 km
ER6) (ITA-09) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar média de 
22,5km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00km de extensão. No retorno, ao passar em B, verifica 
ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, 
ele chega em A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00h, com velocidade escalar 
média de 24,0km/h. Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB.
1
10
2 
^3
margem
Desenho Ilustrativo
[D] 10 m/s
2 
^3t2 t.
ER5) (Espcex-10) Um bote de assalto deve atravessar um rio de largura igual a 800m, numa 
trajetória perpendicular à sua margem, num intervalo de tempo de 1 minuto e 40 segundos, com 
velocidade constante. Considerando o bote como uma partícula, desprezando a resistência do ar 
e sendo constante e igual a 6 m/s a velocidade da correnteza do rio em relação à sua margem, o 
módulo da velocidade do bote em relação à água do rio deverá ser de: 
margem
retângulo: |vbote
800 o , ----- = 8 m/s 
100 
e vri0
I ^bote=> I Vbote
[A] 4 m/s [B] 6 m/s
Solução: Alternativa D
ER4) (ITA-09) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio 
Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação à água. Quanto tempo o 
barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?
a) 14 horas e 30 minutos.
b) 13 horas e 20 minutos.
c) 7 horas e 20 minutos.
d) 10 horas.
a) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.
Solução: Alternativa B
Sejam vb a velocidade do barco em relação a água e v,a velocidade da correnteza do rio.
Assim,pode-se afirmar que:
Subida: L = (vb — vr).t.
Descida: L = (vb + vr).t2
Motor desligado: L = vr.t3
L L _ 2LLogo: -—- = vb + vr - vb+vr = 2vr = — 
l2 T1 l3
t3= 13,33 h => t3=13he20min
Para determinar a direção em que o bote vai se deslocar em relação à 
margem é necessário fazer a soma vetorial da velocidade do 
correnteza com a velocidade do bote em relação à água, como 
□te indicado na figura ao lado. Inicialmente, vamos calcular o módulo da 
\ velocidade resultante do bote: | vR |= =
Como os módulos dos vetores vR, vbote 
t2=|vR|2+|vri0|2 => | vbote |2=64 + 36 = 100 =>
ELEMENTOS DA FÍSICA
c
A B
c) v= 20,0km/h. d) v= 20,00km/h. e) v = 36,0km/h.
I) No trecho ABCBA: vm = 24 =
II) No trecho ABCB: vm = => AtABCB = 0,75 h20 =
•ABCB
28v,
(!)
(2)
31
A
Considere inicialmente um referencial x'y' que se desloca de A para B com a mesma velocidade 
dos trens. Neste referencial, a velocidade dos trens que estão indo de A para B é zero, fazendo 
com que a distância que o pedestre percorre de A para B, medido por x'y', é 28x (lembre que 
existe um trem em A e outro em B).
ER7) (Escola Naval-87) Duas estações A e B, que distam entre si 6 km, estão ligadas por uma 
estrada de ferro de linha dupla. De cada uma das estações partem trens de 3 em 3 minutos. Os 
trens trafegam uniformemente com velocidade iguais. Um pedestre percorre, com velocidade 
constante a estrada. No momento em que ele passa por A. vê um trem que parte para B e outro 
que chega de B. No momento em que o pedestre passa por B, vê um trem que parte para A e 
outro que chega de A. Contando com esses quatro trens com os quais se encontrou nas duas 
estações, o pedestre passou por 29 trens que seguiram no mesmo sentido que ele e por 33 que 
iam em sentido contrário. A velocidade dos trens, em km/h, era: 
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
Solução: Alternativa A
Como as velocidades de todos os trens são iguais e os mesmos partem a cada 3 minutos = 1/20 h, 
a distância x entre cada trem é igual e vale x = vt.At = km / h .
32x
Como a velocidade do pedestre em x"y" vale vp + vt: vp + vt =
Como a velocidade do pedestre em x'y’ vale vt - vp: vt - vp =
32vt
20 8v.vp
6 30
vp
28x 2Q 7vtvp
6 30
vp
Suponha agora um outro referencial x"y" que se desloca de B para A com velocidade vt. Neste 
referencial, a velocidade dos trens que estão indo de B para A é zero, fazendo com que a 
distância que o pedestre percorre de A para B, medido por x''y", é 32x (lembre que existe um trem 
em A e outro em B).
a) v= 12,0km/h. b) v = 12,00km/h.
Solução: Alternativa A
ABCBA 2(AB + BC)
At " 1 “■
AB + BC =12 km, que implica que a distância AB vale 9 km.
ÃB + 2.BC 2Q = 15
A1abcb AtABCB
III) Quando se trata do módulo do vetor velocidade média, o que interessa é o deslocamento:
|vm|= - AB = 9 - = 12km/h
AtARCR 0,75
Dividindo (1) e (2): 8vt - 8vp = 7vt + 7vp vt = 15vp (3)
=> vt = 60 km/hvt-vp =
c) 390 m/s
4000 m I
AÍ 3000 m
At + Íqb — tpB + tpQ =>
= 7,125 => vA = 421,05 m/s=> 4,0 + 12,5 = 15,625 +4,0 +
h = 160 mC
h|A
1360 m
BA
t =>x
680x
P
32
T“
I*
B 
i 
*!
7
8
◄--------- ►<
680-x
a) 5,00
b) 4,00
c) 17,5
d) 18,0
e) 14,4
!h^Vv
5000
320
4000
320
7v?
30.15
v.~vp
Vt+Vp
Substituindo (3) em (1): 
7v,vp 
30
ER9) (ITA-91) A figura representa uma vista aérea de um trecho retilíneo de ferrovia. Duas 
locomotivas a vapor, A e B, deslocam-se em sentidos contrários com velocidades constantes de 
50,4 km/h e 72,0 km/h, respectivamente. Uma vez que AC corresponde ao rastro da fumaça do 
trem A, BC ao rastro da fumaça de B e que AC = BC, determine a velocidade (em m/s) do vento. 
Despreze as distâncias entre os trilhos de A e B.
Pelo Teorema de Pitágoras segue que PB = 5000 m 
Sejam:
tpB = tempo que o som percorre a distância PB 
tpQ = tempo que o avião percorre a distância PQ 
íqB = tempo que o som percorre a distância QB 
At = diferença de tempo que B percebe entre os sons 
emitidos em P e Q.
Deste modo, tem-se:
Solução: Alternativa A
vt-A = 
' 15
ER8) (ITA-94) Um avião voando horizontalmente a 4000 m de altura numa trajetória retilínea com 
velocidade constante passou por um ponto A e depois por um ponto B situado a 3000 m do 
primeiro. Um observador no solo, parado no ponto verticalmente abaixo de B, começou a ouvir o 
som do avião, emitido em A, 4,00 segundos antes de ouvir o som proveniente de B. Se a 
velocidade do som no ar era de 320 m/s, a velocidade do avião era de: 
a) 960 m/s b) 750 m/s c) 390 m/s d) 421 m/s e) 292 m/s
Solução: Alternativa D
I) Convertendo de km/h para m/s:
vA = 50,4 Km/h = 14,0 m/s
vB = 72,0 km/h = 20,0 m/s
II) No mesmo tempo em que o trem B percorre a 
distância de 680 + x, o trem A percorre 680 - x:
680-x_680 + x
vA " vB
20,0(680 - x) = 14,0(680 + x) =>
3000 
vA
r ... - .
ELEMENTOS DA FÍSICA
13600 - 20,Ox = 14,Ox + 9520 => x = 120 m
III) Teorema de Pitágoras em ACPM: CP = Vx2 +h2 =Vl202 +1602 = 200,0 m
14v, _ 7v2
15 ”30.15
3000 
+--------
vA
A, QB PB PQ
Vs Vs VA 
3000
VA
ELEMENTOS DA FÍSICA»•
vv = 5,00 m/s=> vv
v
c) V (V — Vs) / (V2S — V2).
(1)
■J4k2v2+(v-vs)2 = 2kvs + (v - vs)
L-x-yyX
33
a) Vs (V - Vs) / (V2 - V2S).
d) Vs (V + Vs) / (V2 - V2S).
Solução: ALTERNATIVA: A
ER11) (ITA-88) Três turistas, reunidos num mesmo local e dispondo de uma bicicleta que pode 
levar somente duas pessoas de cada vez, precisam chegar ao centro turístico o mais rápido 
possível. O turista A leva o turista B, de bicicleta, até um ponto x do percurso e retorna para 
apanhar o turista C que vinha caminhando ao seu encontro. O turista B, a partir de x continua a pé 
sua viagem rumo ao centro turístico. Os três chegam simultaneamente ao centro turístico. A 
velocidade média como pedestre é v-i, enquanto que como ciclista é v2. Com que velocidade 
média os turistas farão o percurso total ?
Solução:
 
1 + —
vs
Z + X 
y
Vs
Z + X 
y
V
2
I +1 4k2v2
vs
IV) Note que a direção da velocidade do vento coincide com direção do segmento que liga o ponto 
P de encontro dos trens ao ponto C. Perceba também que o triângulo CPB é semelhante ao 
triângulo formado por vv e vB : 
vv CP 20,0.200— = = => vv =------------
vB PB 800
ER10) (ITA-07) Considere que um tiro de revólver, a bala percorre trajetória retilínea com 
velocidade V constante, desde o ponto inicial P até o alvo Q. Mostrados na figura, o aparelho M, 
registra simultaneamente o sinal sonoro do disparo e c do impacto da bala no alvo, o mesmo 
ocorrendo com o aparelho M2. Sendo Vs a velocidade do som no ar, então a razão entre as 
respectivas distâncias dos aparelhos M, e M2 em relação ao alvo Q é 
T M2 
i 
I
_ _ jx9°°_
P Ml Q
b) Vs (Vs - V) / (V2 - V2S).
e) Vs (V - Vs) / (V2 + V2S).
A linha pontilhada representa a trajetória do ciclista. Deseja-se determinar vm = —
+ y2
Sejam: x = QM, , y = PM, e z = QM2 . . . xDeseja-se encontrar k = — .
y
Segundo o enunciado, o tempo que o som percorre a distância z é igual à soma do tempo que a
bala percorre z + x e do tempo que o som percorre a distância x:
z z + x x 2xv z + x . 2v ...— =------ + — => z + x =--------- => ------ = k--------- (1)
vs v vs v-vs y v-v5
Também segundo o enunciado, o tempo que o som percorre a distância PM2 é igual à soma do 
tempo que a bala percorre a distância z + x e do tempo que o som percorre a distância y:
___ V~Vs , 1
V Vs
vs(v —vs) 
v2-v2
7(z + x)2 + y" z + x + y 
vs v vs
74k2v2 +(v-vs)2 2k 1
vs(v-vs) ~v-vs vs
Elevando ao quadrado essa última expressão: 
k2v2 + (v - vs)2 = 4k2vs2 + 4kvs(v - vs) + (v - vs)2
ELEMENTOS DA FÍSICA
(3)
=> Lv2 - xv2 - yv2 = Lv, - xv, + yv, =>Isolando y na equação (3):
v.
(4)y(v, + v2) = L(v2 - v,) - x(v2 - v,) => y
(5)
=> 2Lv, - 2xv, = xv, + xv2
(7)(6) => L-x=L-2Lv, = 3xv, + xv2 =>
2 +
v2
34
X 
2^
L
At
L(v,+v2) 
3vi+v2
v, + v2 ] _ L(vi +3v2) 
v2(3v1+v2)
2y =
v2
x(v2-v,) 
v,X
2Lv, 
3v, + v2
Vm
X(V2-V,) 
2v,
Isolando y na equação (1):
L + 2y x L-x L/ [ 2y x !
v2 “ v, + v2 X + vz ~ vi +
Igualando as expressões (4) e (5): 
(L-x)jyy^-<) L-x 
v, + v2 2v, v1 + v2
Assim, no mesmo intervalo de tempo At:
i)o ciclista (turista A) percorreu a distância L + 2y, sempre com velocidade v2;
ii) o turista B percorreu a distância L, sendo x + y com velocidade v2 e L - x - y com velocidade v,;
iii) o turista C percorreu a distância L, sendo x com velocidade v, e L - x com velocidade v2.
 . , , L + 2y x + y L-(x + y) x L-x ...Desta forma: At =------ - =------ +---- ------— = — +------ (1)
v2 v2 v, v, v2
Supondo que os turistas A e B seguem juntos de bicicleta em um tempo At, e o turista B segue a 
pé em um tempo At2 (de modo que At, + At2 = At) tem-se que: 
 Ati=2S±y (2) e At2 = L^±y)=^2£±y 
” V, v2
x + y 
v2
L-(x + y) L-x + y 
v2 
(L-x)(v2-v,) 
Vi+V2
x=-*^- 
3v, + v2
Substituindo (6) e (7) em (1):
At = A + L~x = 2L + Uvi +v2) = L 
vn v2 3v1+v2 v2(3v1+v2) 3v1+v2 
v2(3v,+v2) v v2(3vi+v2) 
v1 + 3v2 m v,+3v2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Ccr"alArcoverce
Bosquu
C) 30 min
b
c) 10,8 min.
a
e)18000
35
Terminal
rebcidade
E3) (UFMS-04) Uma viagem é realizada em 
duas etapas. Na primeira, a velocidade média 
é de 80km/h; na segunda é de 60km/h. Sendo 
a distância percorrida, na segunda etapa, o 
triplo daquela percorrida na primeira, é correto
A
a) 100 b) 220 c) 300 d) 10000
I ' 
i 
i 
I 
i 
i 
I 
i 
i 
I 
i 
i 
l tl
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
l 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I
A) 20 min
D) 35 min
E4) (Fuvest-07) Um passageiro, viajando de 
metrô, fez o registro de tempo entre duas 
estações e obteve os valores indicados na 
tabela.
afirmar que
01) a distância percorrida na primeira etapa foi 
de 80km.
02) a duração da viagem foi de 4 horas.
04) a distância total percorrida foi de 260km.
08) a velocidade média na viagem toda foi de 
64km/h.
16) a velocidade média na viagem toda foi de 
70km/h.
V ia Mana
B) 25 min
E) 40 min
Chegada 
0:00 min 
5:00 min
Partida 
1:00 min 
6:00 min
Vila Maria 
Felicidade
Supondo que a velocidade média entre duas 
estações consecutivas seja sempre a mesma e 
que o trem pare o mesmo tempo em qualquer 
estação da linha, de 15 km de extensão, é 
possível estimar que um trem, desde a partida 
da Estação Bosque até a chegada à Estação 
Terminal, leva aproximadamente:
S5o José
E1) (UFV-00) Um aluno, sentado na carteira da 
sala, observa os colegas, também sentados 
nas respectivas carteiras, bem como um 
mosquito que voa perseguindo o professor que 
fiscaliza a prova da turma. Das alternativas 
abaixo, a única que retrata uma análise correta 
do aluno é:
a) A velocidade de todos os meus colegas é 
nula para todo observador na superfície da 
Terra.
b) Eu estou em repouso em relação aos meus 
colegas, mas nós estamos em movimento em 
relação a todo observador na superfície da 
Terra.
c) Como não há repouso absoluto, não há 
nenhum referencial em relação ao qual nós, 
estudantes, estejamos em repouso.
d) A velocidade do mosquito é a mesma, tanto 
em relação ao meus colegas, quanto em 
relação ao professor.
e) Mesmo para o professor, que não pára de 
andar pela sala, seria possível achar um 
referencial em relação ao qual ele estivesse 
em repouso.
E6) (UFPR-16) Um sistema amplamente 
utilizado para determinar a velocidade de 
veículos - muitas vezes, chamado 
erroneamente de “radar” - possui dois 
sensores constituídos por laços de fios 
condutores embutidos no asfalto. Cada um dos 
laços corresponde a uma bobina. Quando o 
veículo passa pelo primeiro laço, a indutância 
da bobina é alterada e é detectada a 
passagem do veículo por essa bobina. Nesse 
momento, é acionada a contagem de tempo, 
que é interrompida quando da passagem do 
veículo pela segunda bobina. Com base nesse 
sistema, considere a seguinte situação: em 
uma determinada via, cuja velocidade limite é
E2) (Unisinos-RS) Numa pista atlética 
retangular de lados a = 160 m e b = 60 m, um 
atleta corre com velocidade de módulo 
constante v = 5 m/s, no sentido horário, 
conforme mostrado na figura. Em t = 0 s, o 
atleta encontra-se no ponto A. O módulo do 
deslocamento do atleta, após 60 s de corrida, 
em metros, é:
E5) (UFPR-10) A distância média da Terra ao 
Sol é de 150 milhões de km ou 1 UA (unidade 
astronômica). Supondo que fosse possível se 
desligar a luz proveniente do Sol, ligando-se 
em seguida e considerando-se a velocidade da 
luz como 300 mil km por segundo, o tempo 
que esta luz atingiría a Terra seria 
aproximadamente de: 
a) 12,7 min. b) 6,5 min. 
d) 20 min. e) 8,4 min.
ELEMENTOS DA FÍSICA
C) 0,04 h
e >
L
rio
Dois carros, A e B,E10) (UFPE-09) de
36
B) quarto andar. 
D) sexto andar.
E13) (UFGRS-05) Um caminhão percorre três 
vezes o mesmo trajeto. Na primeira, sua 
velocidade média é de 15 m/s e o tempo de 
viagem é t,. Na segunda, sua velocidade 
média é de 20 m/s e o tempo de viagem t2. Se,
B) 0,02 h
E) 0,0005 h
E8) (UFPE-07) Um barco de comprimento L = 
80 m, navegando no sentido da correnteza de 
um rio, passa sob uma ponte de largura D = 25 
m, como indicado na figura.
D
E12) (ENEM-12) Uma empresa de transporte 
precisa efetuar a entrega de uma encomenda 
o mais breve possível. Para tanto, a equipe de 
logística analisa o trajeto desde a empresa até 
o local da entrega. Ela verifica que o trajeto 
apresenta dois trechos de distâncias diferentes 
e velocidades máximas permitidas diferentes. 
No primeiro trecho, a velocidade máxima 
permitida é de 80 km/h e a distância a ser 
percorrida é de 80 km. No segundo trecho, 
cujo comprimento vale 60 km, a velocidade 
máxima permitida é 120 km/h.
Supondo que as condições de trânsito sejam 
favoráveis para que o veículo da empresa 
ande continuamente na velocidade máxima 
permitida, qual será o tempo necessário, em 
horas, para a realização da entrega?
a) 0,7 b)1,4 c) 1,5 d) 2,0 e) 3,0
<DI
E9) (UFPE-09) Num edifício alto com vários 
pavimentos, um elevador sobe com velocidade 
constante de 0,4 m/s. Sabe-se que cada 
pavimento possui 2,5 metros de altura. No 
instante t = 0, o piso do elevador em 
movimento se encontra a 2,2 m do solo. 
Portanto, em tal altura, o piso do elevador 
passa pelo andar térreo do prédio. No instante 
t = 20 s, o piso do elevador passará pelo: 
A) terceiro andar. 
C) quinto andar. 
E) sétimo andar.
E11) (UFPE-12) Um barco passa sob uma 
ponte no momento em que um carro atravessa 
a ponte, como mostrado na figura a seguir. O 
barco e o carro se movem com velocidades 
constantes, de módulos vB = 30 km/h e vc = 40 
km/h, respectivamente, ambas medidas em 
relação ao solo. Calcule a distância entre eles, 
em km, decorridos 6,0 minutos após o 
cruzamento. Suponha que ambos continuaram 
nas mesmas trajetórias depois do cruzamento.
comprimento 3 m, cada, movem-se com 
velocidades constantes no mesmo sentido de 
uma estrada retilínea, em faixas paralelas. 
Num dado instante, a dianteira do carro A, de 
velocidade 80 km/h, está alinhada com a 
traseira do carro B, de velocidade 68 km/h. A 
partir desse instante, quanto tempo o carro A 
levará para ultrapassar completamente o carro 
B?
A) 0,1 h
D) 0,001 h
Sabendo-se que a velocidade do barco em 
relação ao rio é vB = 14 km/h, e a velocidade 
do rio em relação às margens é vR = 4 km/h, 
determine em quanto tempo o barco passa 
completamente por baixo da ponte, em 
segundos.
E7) (UFPR-17) A utilização de receptores GPS 
é cada vez mais frequente em veículos. O 
princípio de funcionamento desse instrumento 
é baseado no intervalo de tempo de 
propagação de sinais, por meio de ondas 
eletromagnéticas, desde os satélites até os 
receptores GPS. Considerando a velocidade 
de propagação da onda eletromagnética como 
sendo de 300.000 km/s e que, em determinado 
instante, um dos satélites encontra-se a 30.000 
km de distância do receptor, qual é o tempo de 
propagação da onda eletromagnética emitida 
por esse satélite GPS até o receptor?
a) 10 s. b) 1 s. c) 0,1 s.
d) 0,01 ms. e) 1 ms.
60 km/h, a distância entre as bobinas é de 3,0 
m. Ao passar um veículo por esse “radar", foi 
registrado um intervalo de tempo de passagem 
entre as duas bobinas de 200 ms. Assinale a 
alternativa que apresenta a velocidade 
determinada pelo sistema quando da 
passagem do veículo.
a) 15 km/h. b) 23,7 km/h.c) 54 km/h.
d) 58,2 km/h. e) 66,6 km/h.
ELEMENTOS DA FÍSICA
do
E14) (UESPI-12) seu
é progressivo e
o
(C) 8723
E15) (Ciaba-07)
60
40
0
-40
15
E19) (Unicamp-14) O passeio completo no
37
O gráfico acima 
velocidade
B) 12,24 m/s
D) 15,38 m/s
da 
uma
(b) 14,7 
(e)19,4
■S e 
•1
£
-60 L 
0
E18) (Unicamp-92) Um escoteiro está perdido 
no topo de uma montanha em uma floresta. De 
repente ele escuta os rojões da policia florestal 
em sua busca. Com um cronômetro de 
centésimo de segundos ele mede 6 s entre a 
visão do clarão e a chegada do barulho em 
seus ouvidos. A velocidade do som no ar vale 
vs = 340 m/s. Como escoteiro, ele usa a regra 
prática de dividir por 3 o tempo em segundos 
decorrente entre a visão e a escuta, para obter 
a distância em quilômetro que o separe da 
policia florestal.
a) qual a distância entre o escoteiro e a polícia 
florestal, de acordo com a regra prática?
b) qual o erro percentual que o escoteiro 
cometeu ao usar regra prática?
c) sabendo que a velocidade da luz vale 3,0 x 
108 m/s, qual será o erro maior: considerar a 
velocidade da luz infinita ou o erro na 
cronometragem do tempo? Justifique.
E17) (Ciaba-06) Um navegador solitário 
completa certo percurso com velocidade média 
de 9 nós (1 nó = 1 milha/hora = 
aproximadamente 1,852 km/h) em 24 dias; a 
distância percorrida, em km, foi de 
(A) 5401 (B) 6507
(D) 9601 (E) 10202
E16) (Ciaba-05) Um iatista solitário completa 
certa travessia de 4600 milhas náuticas, em 22 
dias. Sua velocidade média, em Km/h, foi de 
(Dado: 1 milha náutica = 1852 m) 
(a) 12,9 ( b ) 14,7 (c)16,1
(d) 17,6
20
I 
~~-20
partícula no tempo que em t = 0 encontrava-se 
na posição x = 20 km. Sobre a descrição do 
movimento da partícula no instante tp, 
referente ao ponto P marcado na curva, 
analise as afirmativas abaixo.
I - A partícula se dirige para a origem das 
posições.
II - A partícula se afasta da origem das 
posições.
III - A aceleração é nula.
IV - O movimento 
desacelerado.
V - O movimento é retrógrado e desacelerado. 
Assinale a alternativa correta.
a) As afirmativas I e II são verdadeiras.
b) As afirmativas I e V são verdadeiras.
c) As afirmativas II e III são verdadeiras.
d) As afirmativas III e IV são verdadeiras.
e) As afirmativas IV e V são verdadeiras.
5 10
Tempo
(min)
mostra a evolução 
escalar instantânea de
C
A) chegará 20 min mais cedo se for pelo 
caminho direto AB.
B) chegará 10 min mais cedo se for pelo 
caminho direto AB.
C) gastará o mesmo tempo para ir pelo 
percurso AB ou pelo percurso ACB.
D) chegará 10 min mais cedo se for pelo 
caminho ACB.
E) chegará 20 min mais cedo se for pelo 
caminho ACB.
Um motorista em 
automóvel deseja ir do ponto A ao ponto B de 
uma grande cidade (ver figura). O triângulo 
ABC é retângulo, com os catetos AC e CB de 
comprimentos 3 km e 4 km, respectivamente. 
O Departamento de Trânsito da cidade informa 
que as respectivas velocidades médias nos 
trechos AB e ACB valem 15 km/h e 21 km/h. 
Nessa situação, podemos concluir que 
motorista:
na terceira, o tempo de viagem for igual a (h + 
t2)/2, qual será a velocidade média 
caminhão nessa vez?
A) 11,12 m/s
C) 13,56 m/s
E) 17,14 m/s
ELEMENTOS DA FÍSICA
50 km/h 40 kmlh
ir.. •— 38
{WJ/A^
E21) (Unicamp-13) Para fins de registros de 
recordes mundiais, nas provas de 100 metros 
rasos não são consideradas as marcas em 
competições em que houver vento favorável 
(mesmo sentido do corredor) com velocidade 
superior a 2m/s. Sabe-se que, com vento 
favorável de 2m/s, o tempo necessário para a 
conclusão da prova é reduzido em 0,1s. Se um 
velocista realiza a prova em 10s sem vento, 
qual seria sua velocidade se o vento fosse 
favorável com velocidade de 2m/s?
a) 8,0m/s . b) 9,9m/s .
c) 10,1 m/s. d)12,0m/s.
b) 300.000 anos.
d) 20.000.000 anos.
complexo do Pão de Açúcar inclui um trecho 
de bondinho de aproximadamente 540 m, da 
Praia Vermelha ao Morro da Urca, uma 
caminhada até a segunda estação no Morro da 
Urca, e um segundo trecho de bondinho de 
cerca de 720 m, do Morro da Urca ao Pão de 
Açúcar. A velocidade escalar média do 
bondinho no primeiro trecho é v, = 10,8 km/h e, 
no segundo, é v2 = 14,4 km/h. Supondo que, 
em certo dia, o tempo gasto na caminhada no 
Morro da Urca somado ao tempo de espera 
nas estações é de 30 minutos, o tempo total do 
passeio completo da Praia Vermelha até o Pão 
de Açúcar será igual a
a) 33 min. b) 36 min.
c) 42 min. d) 50 min.
E20) (Unicamp-12) O transporte fluvial de 
cargas é pouco explorado no Brasil, 
considerando-se nosso vasto conjunto de rios 
navegáveis. Uma embarcação navega a uma 
velocidade de 26nós, medida em relação à 
água do rio (use 1nó = 0,5m/s). A correnteza 
do rio, por sua vez, tem velocidade 
aproximadamente constante de 5,0m/s em 
relação às margens. Qual é o tempo 
aproximado de viagem entre duas cidades 
separadas por uma extensão de 40km de rio, 
se o barco navega rio acima, ou seja, contra a 
correnteza?
a) 2 horas e 13 minutos.
b) 1 hora e 23 minutos.
c) 51 minutos.
d) 37 minutos.
E24) (Fuvest-03) Uma jovem viaja de uma 
cidade A para uma cidade B, dirigindo um 
automóvel por uma estrada muito estreita. Em 
um trecho, em que a estrada é reta e 
horizontal, ela percebe que seu carro está 
entre dois caminhões-tanque bidirecionais e 
iguais, como mostra a figura. A jovem observa 
que os dois camonhões, um visto através do 
espelho retrovisor plano, e o outro, através do 
pará-brisa, parecem aproximar-se dela com a 
mesma velocidade. Como o automóvel e o 
caminhão de trás estão viajando no mesmo 
sentido, com velocidade de 40 km/h e 50 
km/h, respectivamente, pode-se concluir que a 
velocidade do caminhão que está à frente é:
[no km]
E22) (Unicamp-15) Recentemente, uma equipe 
de astrônomos afirmou ter identificado uma 
estrela com dimensões comparáveis às da 
Terra, composta predominantemente de 
diamante. Por ser muito frio, o astro, 
possivelmente uma estrela anã branca, teria 
tido o carbono de sua composição cristalizado 
em forma de um diamante praticamente do
tamanho da Terra. Os astrônomos estimam 
que a estrela estaria situada a uma distância d 
= 9,0 x 1018 m da Terra. Considerando um 
foguete que se desloca a uma velocidade v = 
1,5 x 104 m/s, o tempo de viagem do foguete 
da Terra até essa estrela seria de (1 ano = 3,0 
x 107 s) 
a) 2.000 anos.
c) 6.000.000 anos.
E25) (Fuvest-08) Dirigindo-se a uma cidade 
próxima, por uma auto-estrada plana, um 
motorista estima seu tempo de viagem, 
considerando que consiga manter uma 
velocidade média de 90km/h. Ao ser 
surpreendido pela chuva, decide reduzir sua 
velocidade média para 60km/h, permanecendo 
assim até a chuva parar, quinze minutos mais 
tarde, quando retoma sua velocidade média
E23) (Unicamp-16) Drones são veículos 
voadores não tripulados, controlados 
remotamente e guiados por GPS. Uma de 
suas potenciais aplicações é reduzir o tempo 
da prestação de primeiros socorros, levando 
pequenos equipamentos e instruções ao local 
do socorro, para que qualquer pessoa 
administre os primeiros cuidados até a 
chegada de uma ambulância. Considere um 
caso em que o drone ambulância se deslocou 
9 km em 5 minutos. Nesse caso, o módulo de 
sua velocidade média é de aproximadamente 
a) 1,4 m/s. b) 30 m/s. c) 45 m/s. d) 140 m/s.
??
[l*o km]
a) 50 km/h com sentido de A para B.
b) 50 km/h com sentido de B para A.
c) 40 km/h com sentido de A para B.
d) 30 km/h com sentido de B para A.
e) 30 km/h com sentido de A para B.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Sentido da correntezay(km)
e) 80 km/h.
4-
8 103
39
t (min)
0 
-2-
b) 7,5 minutos.
d) 15 minutos.
em 
duas
Gráfico Fora de Escala
Da análise do gráfico, pode-se afirmar que o 
automóvel
[A] está em repouso, no instante 1 min.
a) (1,0; 4,0) e 1,0 
c) (2,0 ; 4,0) e 4,0 
e) (16; 4,0) e 8,0
[B] 110 m
[E] 210 m
( b ) 0,6 km. ( c ) 1 km.
( e ) 5 km.
Margem do rio
b) (1,0 ; 4,0) e 2,0 
d) (16; 4,0) e 4,0
inicial. Essa redução temporária aumenta seu 
tempo de viagem, com relação à estimativa 
inicial, em 
a) 5 minutos.
c) 10 minutos.
e) 30 minutos.
E30)(Ciaba-14) Considere a velocidade da luz 
no ar 3 x 108 m/s e a velocidade do som no ar 
340 m/s. Um observador vê um relâmpago e, 3 
segundos depois, ele escuta o trovão 
correspondente. A distância que o observador 
está do ponto em que caiu o raio é de 
aproximadamente 
( a ) 0,3 km. 
( d ) 3 km.E27) (UFC-96) O sistema solar tem 4,5 x 109 
anos de idade. Os primeiros hominídeos 
surgiram na Terra há cerca de 4,5 milhões de 
anos. Imagine uma escala em que o tempo 
transcorrido entre o surgimento do sistema 
solar e a época atual corresponda a um ano de 
365 dias. De acordo com tal escala, há 
quantas horas os hominídeos surgiram na 
Terra? Aproxime sua resposta para um 
número inteiro apropriado.
E29) (Ciaba-12) Um barco atravessa um rio de 
margens paralelas e largura de 4,0 km. Devido 
à correnteza, as componentes da velocidade 
do barco são Vx = 0,50 km/h e Vy = 2,0 km/h. 
Considerando que, em t = 0, o barco parte da 
origem do sistema cartesiano xy (indicado na 
figura), as coordenadas de posições, em 
quilômetros, e o instante, em horas, de 
chegada do barco à outra margem são
E31) (Espcex-05) Um caminhão de 10 m de 
comprimento, descrevendo um movimento 
retilíneo e uniforme, ingressa em uma ponte 
com uma velocidade de 36 km/h. Passados 20 
s, o caminhão conclui a travessia da ponte. O 
comprimento da ponte é de:
[A]100m [B]110m [C]190m
[D] 200 m
E28) (Ciaba-00) “As ondas eletromagnéticas 
viajam no vácuo à velocidade da luz, cerca de 
3x108 m/s. Assim, como os primeiros testes 
com transmissões de rádio datam 
provavelmente de 1908, o raio máximo 
atingido por tais emissões, ditas “inteligentes”, 
seria de aproximadamente 92 anos-luz (muito 
pouco, em termos astronômicos), ou seja, 
qualquer inteligência extraterrestre, originária 
de sistema planetário além deste limite, por 
mais sensíveis e sofisticados que fossem seus 
radiotelescópios, não conseguiría nos 
detectar.” A ordem de grandeza da distância 
de 92 anos-luz, convertida para metros, é 
(considerar ano terrestre com 365 dias): 
(A) 1022 (B) 102° (C) 1018
(D) 1016 (E) 1014
E32) (Espcex-10) O gráfico abaixo indica a 
posição (S) em função do tempo (t) para um 
automóvel em movimento num trecho 
horizontal e retilíneo de uma rodovia.
S (km) À
E26) (FGV-00) Um guarda rodoviário munido 
de um binóculo e um cronômetro verifica o 
tráfego de veículos em uma rodovia de mão 
dupla. Para autuar motoristas infratores, o 
policial cronometra o tempo em que os 
veículos passam entre duas marcas 
horizontais na pista, distantes 400m entre si. 
Um motorista imprudente passa pela primeira 
marca a 100km/h. Exatamente a 200m da 
primeira marca, e ainda na mesma velocidade, 
ele recebe um sinal de luz alta de um veículo 
que vem em sentido oposto, na outra pista, 
alertando-o sobre a presença do policial. 
Sabendo-se que a velocidade máxima 
permitida em pista de mão dupla é de 80km/h, 
qual será a velocidade média com que o 
motorista deverá percorrer os próximos 200m 
para não ser multado?
a) 30,4 km/h c) 10 m/s.
b) 66,6 km/h. d) 79,9 km/h.
ELEMENTOS DA FÍSICA
câmera
Sp
n í(s)
S2
'(s)
0,20
C
40
[B] 14 m/s
[E] 32 m/s
[B] 8 h e 30 min 
[D] 9 h e 50 min
Os sensores Si e S2 e a câmera estão ligados a 
um computador. Os sensores enviam um sinal ao 
computador sempre que são pressionados pelas 
rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo 
está acima da permitida, o computador envia um 
sinal para que a câmera fotografe sua placa 
traseira no momento em que esta estiver sobre a 
linha tracejada. Para um certo veículo, os sinais 
dos sensores foram os seguintes:
a) Determine a velocidade do veículo em km/h.
b) Calcule a distância entre os eixos do veículo.
computador
“T C
Si_________
1
0,1
</ = 2 m
0,3
[B] possui velocidade escalar nula, entre os 
instantes 3 min e 8 min.
[C] sofreu deslocamento de 4 km, entre os 
instantes 0 min e 3 min.
[D] descreve movimento progressivo, entre os 
instantes 1 min e 10 min.
[E] tem a sua posição inicial coincidente com a 
origem da trajetória.
E33) (Espcex-11) Um automóvel percorre a 
metade de uma distância D com uma 
velocidade média de 24 m/s e a outra metade 
com uma velocidade média de 8 m/s. Nesta 
situação, a velocidade média do automóvel, ao 
percorrer toda a distância D, é de: 
[A] 12 m/s [B] 14 m/s [C] 16 m/s 
[D] 18 m/s
E34) (Espcex-11) Um avião bombardeiro deve 
interceptar um comboio que transporta 
armamentos inimigos quando este atingir um 
ponto A, onde as trajetórias do avião e do 
comboio se cruzarão. O comboio partirá de um 
ponto B, às 8 h, com uma velocidade 
constante igual a 40 km/h, e percorrerá uma 
distância de 60 km para atingir o ponto A. O 
avião partirá de um ponto C, com velocidade 
constante igual a 400 km/h, e percorrerá uma 
distância de 300 km até atingir o ponto A. 
Consideramos o avião e o comboio como 
partículas descrevendo trajetórias retilíneas. 
Os pontos A, B e C estão representados no 
desenho abaixo.
A
F3) (Fuvest-09) Marta e Pedro combinaram 
encontrar-se em um certo ponto de uma auto- 
estrada plana, para seguirem viagem juntos. 
Marta, ao passar pelo marco zero da estrada, 
constatou que, mantendo uma velocidade 
média de 80km/h, chegaria na hora certa ao 
ponto de encontro combinado. No entanto, 
quando ela já estava no marco do quilômetro 
10, ficou sabendo que Pedro tinha se atrasado 
e, só então, estava passando pelo marco zero, 
pretendendo continuar sua viagem a uma 
velocidade média de 100km/h. Mantendo 
essas velocidades, seria previsível que os dois 
amigos se encontrassem próximos a um marco
q
Bi
Para conseguir interceptar o comboio no ponto 
A, o avião deverá iniciar o seu voo a partir do 
ponto C às:
[A] 8 h e 15 min
[C] 8 h e 45 min
[E]9he15min
F2) (Fuvest-92) Em um prédio de 20 andares 
(além do térreo) o elevador leva 36 s para ir do 
térreo ao 20° andar. Uma pessoa no andar x 
chama o elevador, que está inicialmente no 
térreo, e 39,6 s após a chamada a pessoa 
atinge o andar térreo. Se não houve paradas 
intermediárias, e os tempos de abertura e 
fechamento da porta do elevador e de entrada 
e saída do passageiro são desprezíveis, 
podemos dizer que o andar x é o: 
a) 9o b)11° c) 16° d) 18° e) 19°
F1) (Unicamp-99) A figura abaixo mostra o 
esquema simplificado de um dispositivo colocado 
em uma rua para controle de velocidade de 
automóveis (dispositivo popularmente chamado 
de radar).
ELEMENTOS DA FÍSICA
a) d) 1S0
b) e)
c)
A M
N
Le
C) 96 min.
20
10--
t(s)
41
0
O instante em que a posição do móvel é - 30
F8) (Unifor-OO) Um móvel se desloca, em 
movimento uniforme, sobre o eixo x durante o 
intervalo de tempo de to = 0 a t = 30 s. O 
gráfico representa a posição x, em função do 
tempo t, para o intervalo de t = 0 a t = 5,0 s.
x (m)
F6) (Mackenzie-05) Um casal de namorados 
passeia, de braços dados, com velocidade 
escalar constante de 80 cm/s. O passo da 
menina mede 40 cm e o do rapaz, 60 cm. Se, 
em verto instante, ambos tocam o pé direito no 
solo, o tempo decorrido para que isso ocorra 
novamente será de: 
a)1,5s b)1,8s c) 2,0 s d) 2,2 s e) 3,0 s
B) 48 min.
E) 288 min.
km 
20
km 
30
km 
60
km 
40
I
I
I 
I +
5
F5) (Mackenzie-00) Dois amigos resolvem 
disputar uma corrida diferente, entre os pontos 
A e B de uma região plana do bairro onde 
moram, partindo simultaneamente de A e 
deslocando-se rigorosamente sobre as linhas 
tracejadas das alamedas. Enquanto Pedro 
segue a pé, com velocidade escalar constante 
de 3,6 km/h, pela Alameda das Amoreiras, 
João segue de bicicleta pela trajetória indicada 
pelas setas (Al. das Pitangueiras, Al. das 
Laranjeiras e Al. dos Limoeiros), com 
velocidade escalar constante de 18,0 km/h.
Trajetória vista por Ana
a) de Pedro em relação à água?
b) de Pedro em relação à margem?
c) da água em relação à margem?
ISOm /// /// ///
| AJamada daTT''**''S ■ /'// —// 7*''^. | AJameda das I
Pltangaalraa Z. 2S0m - aí- -250 m -TZ l ------■■ ■— I Larani’™' !
F7) (Cesgranrio-90) Um trem sai da estação de 
uma cidade, em percurso retilíneo, com 
velocidade constantede 50 km/h. Quanto 
tempo depois de sua partida deverá sair, da 
mesma estação, um segundo trem com 
velocidade de 75 km/h para alcançá-lo a 120 
km da cidade?
A) 24 min.
D) 144 min.
Trajetória vista por Marta
F4) (Fuvest-10) Pedro atravessa a nado, com 
velocidade constante, um rio de 60m de 
largura e margens paralelas, em 2 minutos. 
Ana, que boia no rio e está parada em relação 
à água, observa Pedro, nadando no sentido 
sul-norte, em uma trajetória retilínea, 
perpendicular às margens. Marta, sentada na 
margem do rio, vê que Pedro se move no 
sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória 
que forma um ângulo 0 com a linha 
perpendicular às margens. As trajetórias, como 
observadas por Ana e por Marta, estão 
indicadas nas figuras abaixo, respectivamente 
por PA e PM. Se o ângulo 6 for tal que cos9 = 
3/5 (sen6 = 4/5), qual o valor do módulo da 
velocidade
Alameda doe I ' 
Limoeiro» |
Assinale a alternativa correta.
a) João chega a B, 4,0 minutos e 40 segundos 
antes que Pedro.
b) Pedro chega a B, 4,0 minutos e 40 
segundos antes que João.
c) João chega a B, 5,0 minutos e 40 segundos 
antes que Pedro.
d) Pedro chega a B, 5,0 minutos e 40 
segundos antes que João.
e) Pedro e João chegam juntos a B.
ffi J Alanwdadaa
Y /*\ Amoreiras
*-jg. .. (. g—
da estrada com indicação de
km 
50
rr."
ELEMENTOS DA FÍSICA
c) 22,5 km
8,0 X 10z-
6,0 X 102-
4,0 X 102- —r
___ l—2,0 X 102
t (min)0
Fonteles Pistorlus
Altura
21,45 s 21,52 s
(C) 0,10
42
b) 2 000 m 
e) 2 250 m
(B) 0,07
(E) 0,35
m, em segundos, é
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
F9) (UEL-87) Um barco, com o motor a toda 
potência, percorre 60 km em 2 h descendo um 
rio. Em sentido contrário, percorre 40 km em 
igual intervalo de tempo. A velocidade do 
barco em relação às águas e a velocidade das 
águas em relação às margens do rio são, 
respectivamente, em km/h, iguais a: 
a) 30 e 20 
d) 30 e 5
a) 18 km
d) 24 km
b) 10,8 km 
e) 35 km
b) 25 e 5 c) 25 e 20 
e) 12,5 e 7,5
1,82 m
1,85 m
2,04 m
98
1,86 m
1,93 m
2,17 m
92
F13) (Unimep-SP) Um carro A, viajando a uma 
velocidade constante de 80 km/h, é 
ultrapassado por um carro B. Decorridos 12 
minutos, o carro A passa por um posto 
rodoviário e o seu motorista vê o carro B 
parado e sendo multado. Decorridos mais 6 
minutos, o carro B novamente ultrapassa o 
carro A. A distância que o carro A percorreu 
entre as duas ultrapassagens foi de:
F16) (FEI-08) Um automóvel A passa por um 
posto com movimento progressivo uniforme 
com velocidade de 54 km/h. Após 10 minutos, 
um outro automóvel B, que está parado, parte 
do mesmo posto com movimento progressivo 
uniforme com velocidade de 72 km/h. Após
Altura máxima permitida
Amplitude média da passada
Número de passadas
Tempo
Considere que Fonteles consiga aumentar a 
amplitude média de sua passada em 1,0 cm, 
mantendo a mesma frequência de passadas. 
Nessas circunstâncias, quantos segundos, 
aproximadamente, será a nova vantagem de 
Fonteles?
(A) 0,05
(D) 0,17
F14) (UFPE) O gráfico representa a posição de 
uma partícula em função do tempo. Qual a 
velocidade média da partícula, em metros por 
segundo, entre os instantes t = 2,0 min e t = 
6,0 min?
x (m) .
Tsãlo <5 ê!o
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5
F10) (UESPI-10) Um estudante parado sobre 
uma escada rolante em movimento percorre os 
20 metros de comprimento da escada em 40 
segundos. Se ele se movimentar sobre a 
escada com uma velocidade de módulo 0,5 
m/s (em relação à escada) e sentido idêntico 
ao desta, o estudante percorrerá os mesmos 
20 metros da escada em:
A)10s B) 20 s C) 40 s D) 60 s E) 80 s
F11) (Furg-RS) Dois trens A e B movem-se 
com velocidades constantes de 36 km/h, em 
direções perpendiculares, aproximando-se do 
ponto de cruzamento das linhas. Em t = 0 s, a 
frente do trem A está a uma distância de 2 km 
do cruzamento. Os comprimentos dos trens A 
e B são, respectivamente, 150 m e 100 m. Se 
o trem B passa depois pelo cruzamento e não 
ocorre colisão, então a distância de sua frente 
até o cruzamento, no instante t = 0 s, é, 
necessariamente, maior que
a) 250 m b) 2 000 m c) 2 050 m 
d) 2 150 m
F15) (UFG-13) Nos jogos paraolímpicos de 
Londres, o sul-africano biamputado Oscar 
Pistorius, após perder a medalha de ouro para 
o brasileiro Alan Fonteles, indignado, reclamou 
do tamanho das próteses de Fonteles. Antes 
dos jogos, elas foram trocadas por um par 5,0 
cm maior que, no entanto, estavam dentro do 
limite estabelecido pelo regulamento. Porém, 
mesmo com próteses mais longas, as 
amplitudes de passada de Fonteles foram 
menores do que as de Pistorius, conforme o 
quadro da prova de 200 metros rasos 
apresentado a seguir.
Dados da corrida
F12) (Uniube-MG) Um caminhão, de 
comprimento igual a 20 m, e um homem 
percorrem, em movimento uniforme, um trecho 
de uma estrada retilínea no mesmo sentido. Se 
a velocidade do caminhão é 5 vezes maior que 
a do homem, a distância percorrida pelo 
caminhão desde o instante em que alcança o 
homem até o momento em que o ultrapassa é, 
em metros, igual a:
a) 20 b) 25 c) 30 d) 32 e) 35
ELEMENTOS DA FÍSICA
C) 30 min
B) 6,25 C) 6,50
Um automóvel,
Para
e) 20
C) 6m/s.
b) 10,0 e 10,2
43
A) 6,00
A) 10 min
D) 40 min
B) 4 m/s.
E) 10 m/s.
b) 17 km/h e 3 km/h. 
d) 15 km/h e 5 km/h.
4 m e a 10 m dessa linha. No instante em que 
o corredor 2 cruzar a linha de chegada Y, o 
corredor 3 estará a uma distância dessa linha, 
em metros, igual a:
V;.... ......-\ -----
D) 6,75
F20) (UFPR-10) Segundo o grande cientista 
Galileu Galilei, todos os movimentos descritos 
na cinemática são observados na natureza na 
forma de composição desses movimentos. 
Assim, se um pequeno barco sobe o rio 
Guaraguaçu, em Pontal do Paraná, com 
velocidade de 12 km/h e desce o mesmo rio 
com velocidade de 20 km/h, a velocidade 
própria do barco e a velocidade da correnteza 
serão, respectivamente: 
a) 18 km/h e 2 km/h. 
c) 16 km/h e 4 km/h. 
e) 19 km/h e 1 km/h.
F23) (AFA-00) Desde que a cronometragem 
eletrônica começou a ser utilizada, os tempos 
dos recordes na prova de 100 metros rasos 
baixaram de 9,95 segundos (1968) para 9,79 
segundos (obtido por Maurice Greene em 
1999), ou seja, apenas 16 centésimos de 
segundo em 31 anos. As velocidades médias, 
em km/h, dos recordes citados foram, 
aproximadamente, 
a) 2,8 e 2,9
F22) (Espcex-03) Uma lancha atravessa um rio, 
deslocando-se segundo uma trajetória 
perpendicular à margem. Sua velocidade em 
relação à água é constante e tem módulo igual 
a 2>/l3 m/s. A velocidade da correnteza do rio 
em relação a um observador parado na sua 
margem é constante e vale 4 m/s. O módulo 
da velocidade da lancha em relação a este 
observador é 
A) 2 m/s. 
D) 8 m/s.
F17) (Ufscar-07) O submarino navegava com 
velocidade constante, nivelado a 150m de 
profundidade, quando seu capitão decide levar 
lentamente a embarcação à tona, sem, 
contudo abandonar o movimento à frente. 
Comunica a intenção ao timoneiro, que 
procede ao esvaziamento dos tanques de 
lastro, controlando-os de tal modo que a 
velocidade de subida da nave fosse constante.
4L
F19) (UERJ-07) O esquema abaixo representa 
uma pista de corrida na qual os competidores 
1, 2 e 3, em um determinado instante, 
encontravam-se alinhados, na reta X, a 100 m 
da linha de chegada Y. A partir dessa reta X, 
as velocidades de cada um permaneceram 
constantes. Quando o corredor 1 cruzou, em 
primeiro lugar, a linha de chegada, os 
corredores 2 e 3 estavam, respectivamente, a
Se a velocidade horizontal antes da manobra 
era de 18,0km/h e foi mantida, supondo que a 
subida tenha se dado com velocidade 
constante de 0,9km/h, determine o 
deslocamento horizontal, em metros, que a 
nave realizou, do momento em que o timoneiro 
iniciou a operação até o instante em que a nau 
chegou à superfície.
F21) (Espcex-02) 
desenvolvendo uma velocidade constante de 
60 km/h, faz, diariamente, uma viagem entre 
duas cidades vizinhas em um tempo habitual T. 
Se ele fizesse esta viagem com uma 
velocidade, também constante, de 90 km/h, o 
tempo de duração,em relação ao habitual, 
seria 10 minutos menor. Podemos dizer que o 
valor de T, em minutos, é: 
a) 60 b) 50 c) 40 d) 30
quanto tempo depois da passagem do 
automóvel A pelo posto, os dois se encontram?
B) 20 min
E) 50 min
F18) (Unifesp-06) Para testar o seu 
equipamento de som, um artista dá um toque 
no microfone ligado a uma caixa de som 
localizada a 330m de distância, em um local 
em que a velocidade do som é 330m/s. Pode- 
se afirmar que o intervalo de tempo entre o 
toque do artista no microfone e o instante em 
que o artista ouve o barulho do toque 
reproduzido pela caixa é, aproximadamente, 
de
A) 1,0s, independentemente de o microfone ter 
ou não fio.
B) 1,5s, independentemente de o microfone ter 
ou não fio.
C) 2,Os, independentemente de o microfone ter 
ou não fio.
D) 2,Os com microfone sem fio e 1,0s com 
microfone com fio.
E) 2,Os com microfone sem fio e um valor entre 
1,0s e 2,0 s com microfone com fio.
c) 36,2 e 36,8 d) 41,2 e 41,6
72,0 -
55,5
t(h)
e) 60
,45o
Naval-15) Analise o gráficoF29) (Escola 0 t(s)
í-----
t+6
I 
e
c) 170 km/h
d) 185 km/h
F31) (ITA-66) Um motorista deseja perfazer a 
distância de 20 km com a velocidade média de 
80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 
minutos com a velocidade de 40 km/h, com 
que velocidade média deverá fazer o percurso 
restante?
a) 120 km/h;
b) 160 km/h;
c) é impossível estabelecer a velocidade média 
desejada nas circunstâncias apresentadas;
d) Nula;
e) nda.
44
abaixo.
vB(km/h)
F25) (AFA-01) Uma estrada de ferro retilínea 
liga duas cidades A e B separadas por uma 
distância de 440 km. Um trem percorre esta 
distância com movimento uniforme em 8h. 
Após 6h de viagem, por problemas técnicos, o 
trem fica parado 30 minutos. Para que a 
viagem transcorresse sem atraso, a velocidade 
constante, em km/h, que o trem deveria 
percorrer o restante do percurso seria de 
aproximadamente 
a) 55,0 b)61,2 c) 73,3 d) 100,0
F28) (AFA-07) Um avião voa na direção leste a 
120 km/h para ir da cidade A à cidade B. 
Havendo vento para o sul com velocidade de 
50 km/h, para que o tempo de viagem seja o 
mesmo, a velocidade do avião deverá ser
a) 145 km/h
b) 130 km/h
F26) (AFA-03) Dois aeroportos, A e B, estão 
no mesmo meridiano, com B 600 km ao sul de 
A. Um avião P decola de A para B ao mesmo 
tempo que um avião Q, idêntico a P, decola de 
B para A. Um vento de 30 km/h sopra na 
direção sul-norte. O avião Q chega ao 
aeroporto A 1 hora antes do avião P chegar ao 
aeroporto B. A velocidade dos dois aviões em 
relação ao ar (admitindo que sejam iguais) é, 
aproximadamente, em km/h, 
a) 690. b) 390. c) 190. d) 90.
F32) (ITA-79) Um estudante observou o 
movimento de um móvel durante um certo 
tempo. Verificou que o móvel descrevia um 
movimento retilíneo e anotou os valores de 
espaço (e) e de tempo (t) correspondentes, 
construindo o gráfico da figura ao lado.
e
(m) /
F27) (AFA-07) Uma pessoa está observando 
uma corrida a 170 m do ponto de largada. Em 
dado instante, dispara-se a pistola que dá 
início à competição. Sabe-se que o tempo de 
reação de um determinado corredor é 0,2 s, 
sua velocidade é 7,2 km/h e a velocidade do 
som no ar é 340 m/s. A distância desse atleta 
em relação à linha de largada, quando o som 
do disparo chegar ao ouvido do espectador, é 
a) 0,5 m b) 0,7 m c) 0,6 m d) 0,8 m
ELEMENTOS DA FÍSICA
F24) (AFA-01) Uma esteira rolante com 
velocidade Ve. transporta uma pessoa de A 
para B em 15 s. Essa mesma distância é 
percorrida em 30 s se a esteira estiver parada 
e a velocidade da pessoa for constante e igual 
a vp. Se a pessoa caminhar de A para B, com 
a velocidade Vp, sobre a esteira em movimento, 
cuja velocidade é Ve, o tempo gasto no 
percurso, em segundos, será 
a) 5 b)10 c) 15 d) 30
F30) (ITA-55) Um trem e um automóvel 
caminham paralelamente e num mesmo 
sentido, num trecho retilíneo. Os seus 
movimentos são uniformes e a velocidade do 
automóvel é o dobro da velocidade do trem. 
Desprezando-se o comprimento do automóvel 
e sabendo que o trem tem 100 m de 
comprimento, pergunta-se qual o espaço que o 
automóvel percorre desde que alcança o trem 
até o instante em que ultrapassa.
t+2
rclopa 2*oupa 3‘«*p*
O trajeto entre duas cidades é de 510 km. 
Considere um veiculo executando esse trajeto. 
No gráfico acima, temos a velocidade média 
do veículo em três etapas. Com base dos 
dados apresentados no gráfico, qual a 
velocidade média, em km/h, estabelecida pelo 
veículo no trajeto todo?
a) 48 b) 51 c) 54 d) 57
ELEMENTOS DA FÍSICA
d) 25. e) 15.
45
UI'—IIMII II I UM > «« w
A1) (Concurso PRF-09) Ao longo de uma 
estrada retilínea, um carro passa pelo posto 
policial da cidade A, no km 223, às 9h30 min e 
20 s, conforme registra o relógio da cabine de 
vigilância. Ao chegar à cidade B, no km 379, o 
relógio do posto policial daquela cidade 
registra 10h20 min e 40 s. O chefe do 
policiamento da cidade A verifica junto ao 
chefe do posto da cidade B que o seu relógio 
está adiantado em relação àquele em 3min e 
10 s. Admitindo-se que o veículo, ao passar no 
ponto exato de cada posto policial, apresenta 
velocidade dentro dos limites permitidos pela 
rodovia, o que se pode afirmar com relação à 
transposição do percurso pelo veículo, entre os 
postos, sabendo-se que neste trecho o limite 
de velocidade permitida é de 110 km/h?
A) Trafegou com velocidade média ACIMA do 
limite de velocidade.
B) Trafegou com velocidade sempre ABAIXO 
do limite de velocidade.
C) Trafegou com velocidade sempre ACIMA do 
limite de velocidade
D) Trafegou com velocidade média ABAIXO do 
limite de velocidade.
E) Trafegou com aceleração média DENTRO 
do limite permitido para o trecho.
A5) (CIABA-91) Um atirador de elite, usando 
um rifle com mira laser, mira exatamente no 
centro do coração de um seqüestrador, situado 
a 60 m de distância. Sabendo que a bala é 
disparada 1440 km/h, que o eixo horizontal 
maior do coração vale 10cm (largura maior) e 
que, 0,15 segundos antes do disparo o 
seqüestrador se move para a sua direita, 
horizontalmente, a 25 cm/s, pede-se marcar a 
opção correta:
a) O seqüestrador escapa do tiro, passando o 
mesmo a 1,35 cm da sua axila esquerda.
b) O seqüestrador morrerá, pegando o tiro 3,75
A2) (Fepecs-11) Uma abelha comum voa a 
uma velocidade de aproximadamente v-, = 25,0 
km/h quando parte para coletar néctar, e a v2 = 
15,0 km/h quando volta para a colméia, 
carregada de néctar. Suponha que uma abelha 
nessas condições parte da colméia voando em 
linha reta até uma flor, que se encontra a uma 
distância D, gasta 2 minutos na flor, e volta 
para a colméia, também em linha reta. 
Sabendo-se que o tempo total que a abelha 
gastou indo até a flor, coletando néctar e 
voltando para a colméia, foi de 34 minutos,
então a distância D é, em km, igual a: 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A4) (UFPR-10) João viaja semanalmente de 
ônibus e a esposa costuma ir de automóvel a 
seu encontro na estação rodoviária de 
Matinhos, onde ele chega pontualmente, e 
ambos se encontram exatamente às 18 h. Um 
dia, João chega às 17h30 min e resolve andar 
em direção a sua casa pelo caminho que 
costuma seguir com a sua mulher, mas sem 
avisá-la. Encontram-se no caminho, ele sobe 
no carro e os dois voltam para casa, chegando 
10 min antes do horário de costume. Supondo 
que sua esposa viajou com velocidade 
constante e que saiu de casa no tempo exato 
para encontrar o marido às 18 h na estação 
rodoviária, assinale a alternativa que apresenta 
o tempo, em minutos, que João andou antes 
de encontrar-se com ela. 
a) 10. b) 20. c) 30.
Pode-se, então afirmar que:
( ) A - a velocidade do móvel é constante e 
vale 1,0 m.s'1, tendo em vista que o ângulo que 
a reta faz com o eixo dos tempo é 45°.
( ) B - a velocidade do móvel é constante e
, 1 -ivale m.s .
1/2
( ) C - a velocidade do móvel é constante e 
vale aproximadamente 1,4m.s'1.
( ) D - faltam dados para calcular a velocidade 
do móvel.
( ) E - a aceleração e a velocidade do móvel 
estão indeterminadas.
A3) (Furg-10) A onda verde, ou sincronização 
de semáforos, é umamedida adotada em 
diversas cidades de modo a melhorar o tráfego 
de veículos por ruas e avenidas muito 
movimentadas. Numa determinada rua da 
cidade, existem três semáforos sincronizados: 
o primeiro, localizado na esquina da rua A, é 
temporizado para que o sinal dure 1 minuto 
(tanto o verde quanto o vermelho); o segundo, 
localizado 200 m adiante, tem mesma 
temporização, mas um atraso de 8 s em 
relação ao primeiro; e o terceiro, localizado 
400 m além do segundo semáforo, tem uma 
temporização de 42 s e um atraso de 48 s em 
relação ao primeiro. Considerando que um 
carro passa pelo primeiro semáforo quando 
este ativa o sinal verde, a velocidade mínima, 
em km/h, que se pode desenvolver para 
aproveitar uma onda verde, isto é, os três 
sinais verdes, em sequência, vale: 
A) 51 B) 24 C)45 D)22 E) 40
ELEMENTOS DA FÍSICA
B
lâmpada
LZZZZZZ, Ve
0
b) 3/5 c) 5/7 d) 7/9
A) arc sen
E) arc sen
46
seguir de Leste para Oeste, retornando ao 
ponto P. A velocidade do avião, no ar, é igual a 
v e a velocidade do ar em relação ao solo é 
igual a u. A distância entre P e Q vale D e a 
velocidade do avião no ar v é constante. 
Suponha que a velocidade do vento esteja 
dirigida para Leste. Calcule o tempo da viagem.
C) Zero graus
V3(V33 +1) 
2
A7) (AFA-08) Considere um pequeno avião 
voando em trajetória retilínea com velocidade 
constante nas situações a seguir.
(1) A favor do vento.
(2) Perpendicularmente ao vento.
Sabe-se que a velocidade do vento é 75% da 
velocidade do avião. Para uma mesma 
distância percorrida, a razão At1/At2, entre os 
intervalos de tempo nas situações (1) e (2), 
vale 
a) 1/3
A12) Dois trens, cada um com velocidade 
escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro 
na mesma linha. Um pássaro que pode voar a 
58 km/h parte de um dos trens quando eles 
estão distantes de 102 km e dirige-se 
diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro 
retorna diretamente para o primeiro trem e 
assim sucessivamente. Qual a distância total
A9) Um piloto deseja voar de Oeste para Leste, 
de um ponto P a um ponto Q e, em seguida,
cm á direita do ponto mirado inicialmente, 
observado pelo atirador
c) O sequestrador morrerá com seu coração 
trespassado 2,325 cm à esquerda do ponto 
inicial, observado pelo atirador.
d) O seqüestrador morrerá com seu coração 
trespassado no ponto inicial, pois não há 
tempo hábil para o deslocamento.
e) O seqüestrador levará o tiro a 2,125 cm à 
esquerda do ponto inicial.
D
a) quando a lâmpada atingir a base da escada, 
sabendo que s0 = 3 m;
b) quando t = 4 s, sabendo que s0 = 
0,4x(V3-1) m.
A11) Um móvel animado de movimento 
uniforme percorre uma reta AB, partindo do 
ponto A e seguindo rumo a B no mesmo 
instante em que outro móvel parte do ponto B 
rumo a A também com movimento uniforme. 
Sabe-se que o primeiro móvel atinge o ponto B 
25 s após o instante em que cruza com o 
segundo e que este atinge o ponto A 9 s após 
o mesmo instante. Calcular a relação entre as 
velocidades do primeiro e do segundo.
I
A8) (ITA-82) Um nadador que pode 
desenvolver uma velocidade de 0,900 m/s na 
água parada atravessa um rio de largura D 
metros, cuja correnteza tem uma velocidade 
de 1,08 Km/. Nadando em linha reta, ele quer 
alcançar um ponto da outra margem situado 
D
—— metros abaixo do ponto de partida. Para 
isso, sua velocidade em relação ao rio deve 
formar com a correnteza o ângulo:
V3(V33+1)
12
V3B) arc sen —
D) arc sen— 
' 12
A6) (Epcar-11) Dois automóveis A e 
encontram-se estacionados paralelamente ao 
marco zero de uma estrada. Em um dado 
instante, o automóvel A parte, movimentando- 
se com velocidade escalar constante VA = 80 
km/h. Depois de certo intervalo de tempo, At, o 
automóvel B parte no encalço de A com 
velocidade escalar constante VB = 100 km/h. 
Após 2 h de viagem, o motorista de A verifica 
que B se encontra 10 km atrás e conclui que o 
intervalo At, em que o motorista B ainda 
permaneceu estacionado, em horas, é igual a 
A) 0,25 B) 0,50 C)1,00 D) 4,00
A10) (OBF-01) Uma escada rolante tem 
comprimento L = 10 m, velocidade
descendente de módulo constante ve = 0,5 m/s 
e inclinação 0 = 30° com a horizontal. A base 
da escada encontra-se a uma distância 
horizontal D = 30 m de uma parede vertical 
bastante alta. No instante t = 0, uma lâmpada 
acesa de dimensões desprezíveis é colocada 
no degrau mais alto da escada, como ilustrado 
na figura a seguir. Nesse mesmo instante, um 
menino de altura H = 1 m, a uma distância 
horizontal s0 da parede, caminha em direção à 
base da escada com velocidade de módulo 
constante vm = 0,85 m/s. Calcule o 
comprimento vertical da sombra do menino 
na parede:
t,JL, • /zzzzzzz/fzzzzzzzzzz.
*0
ELEMENTOS DA FÍSICA
é
mesmas
em
em
A
N10 m/s /
Wc :E
a) t2/ti =S
~v
b) t2/t, = d -■
A
e) t2/ti -
em
duas
d) 4,0 e) 4,5
47
+- 
B
■................................................................
c) t2/ti = v/c
d) t2/ti = 1
(18 m/s
b «Z
v i
1.732m , 
|30°/
Considerando que o avião que vem por trás 
voa com uma velocidade vA = 100m/s, que a 
velocidade do da frente é vB = 120 m/s, e que 
essas velocidades são constantes, calcule:
a) o tempo que o primeiro projétil disparado 
leva para atingir o avião que vai à frente.
b) a distância entre dois projéteis lançados 
consecutivamente.
c) o número de projéteis, por segundo, que 
atinge a aeronave da frente.
A16) (ITA-93) Uma ventania extremamente 
forte está soprando com uma velocidade v na 
direção da seta mostrada na figura. Dois 
aviões saem simultaneamente do ponto A e 
ambos voarão com uma velocidade constante 
c em relação ao ar. O primeiro avião voa 
contra o vento até o ponto B e retorna logo em 
seguida ao ponto A, demorando para efetuar o 
percurso total um tempo t-i. O outro voa 
perpendicularmente ao vento até o ponto D e 
retorna ao ponto A, num tempo total t2. As 
distâncias AB e AD são iguais a L. Qual é a 
razão entre os tempos de vôo dos dois aviões?
A13) (OBF-06) Dois aviões de combate A e B 
voam em trajetória retilínea e horizontal e 
estão alinhados. Estando distanciados 600 m 
um do outro, o que vem atrás inicia uma 
seqüência de disparos contra o outro, à razão 
de 1 projétil a cada um quarto de segundo. A 
velocidade dos projéteis vP/A, relativamente ao 
avião A, é constante e igual a 500 m/s e, como 
o tempo de seu percurso é muito curto, o efeito 
de queda do projétil pela gravidade 
irrelevante na análise desta situação.
A14) (Escola Naval-86) Dois navios (A e B) 
navegam respectivamente nos rumos 090° e 
030° com velocidades de 10,0 m/s e 18,0 m/s, 
quando se avistam nas posições mostradas na 
figura abaixo, a uma distância de 1.732 m.
■\90° /
A17) (ITA-94) Um barco, com motor 
regime constante, desce um trecho de um rio 
em 2,0 horas e sobe o mesmo trecho em 4,0 
horas. Quanto tempo, em horas, levará o barco 
para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, 
com o motor desligado? 
a) 3,5 b) 6,0 c) 8,0
que o pássaro percorre até os trens se 
chocarem?
Pode-se afirmar que, mantidos os mesmos 
rumos e velocidades:
a) haverá abalroamento (colisão), 1 minuto e 
40 segundos após se avistarem;
b) não haverá abalroamento e o navio A 
cortará (cruzará) a proa do navio B;
c) não haverá abalroamento e o navio B 
cortará a proa do navio A;
d) a velocidade relativa entre as 
embarcações é decrescente em módulo;
e) são corretas as afirmativas C e D.
A15) (UFSCar-02) Três amigos, Antônio, 
Bernardo e Carlos, saíram de suas casas para 
se encontrarem numa lanchonete. Antônio 
realizou metade do percurso com velocidade 
média de 4 km/h e a outra metade com 
velocidade média de 6 km/h. Bernardo 
percorreu o trajeto com velocidade média de 4 
km/h durante metade do tempo que levou para 
chegar à lanchonete e a outra metade do 
tempo fez com velocidade média de 6 km/h. 
Carlos fez todo o percurso com velocidade 
média de 5 km/h. Sabendo que os três saíram 
no mesmo instante de suas casas e 
percorreram exatamente as 
distâncias, pode-se concluir que
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos 
segundo e Antônio em terceiro.
b) Carlos chegouprimeiro, Antônio 
segundo e Bernardo em terceiro.
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em 
segundo e Carlos em terceiro.
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e 
Antônio chegou em terceiro.
e) os três chegaram juntos à lanchonete
r ELEMENTOS DA FÍSICA
h
48
a) 5,8 s e 11,5 m 
c) 10,0 s e 20,0 m 
e) 20,0 s e 40,0 m
b) 11,5 s e 5,8 m 
d) 20,0 s e 10,0 m
b) 280 m c) 240 m 
e)160 m
A18) (ITA-11) Um problema clássico da 
cinemática considera objetos que, a partir de 
certo instante, se movem conjuntamente com 
velocidade de módulo constante a partir dos 
vértices de um polígono regular, cada qual 
apontando à posição instantânea do objeto 
vizinho em movimento.A figura mostra a 
configuração desse movimento múltiplo no 
caso de um hexágono regular. Considere que 
o hexágono tinha 10,Om de lado no instante 
inicial e que os objetos se movimentam com 
velocidade de módulo constante de 2,00 m/s. 
Após quanto tempo estes se encontrarão e 
qual deverá ser a distância percorrida por cada 
um dos seis objetos?
A20) Dois trens estão se movimentando em 
sentidos opostos ao longo de dois trilhos 
paralelos. Um deles move-se com 90 km/h e o 
outro com 10 m/s. Um passageiro situado em 
um dos trens observa que o outro trem passa 
em 8 segundos. Qual é o comprimento do 
outro trem?
a) 320 m 
d) 190 m
A21) (OBF-16) Ao passar por uma cidade, 
viajando por uma BR a 80 km/h, o motorista 
percebeu que o indicador de combustível de 
seu veículo mostrava 3/4 de tanque. Ao passar 
pela cidade seguinte, notou que o indicador 
registrava 1/4 de tanque. O manual do veículo 
afirma que o tanque tem uma capacidade de 
48 litros e que o veículo faz 10 km/l 
(quilômetros por litro) à velocidade padrão de 
80 km/h. Admitindo que o manual do veículo 
esteja correto e que o motorista mantenha a 
velocidade constante, determine em horas, o 
tempo gasto entre as duas cidades.
I
A24) Duas partículas, 1 e 2, se movem no 
espaço com velocidades constantes v, e v2, 
de modo que no momento inicial os vetores 
posições são q e f2 , respectivamente. 
Determine a condição que deve existir entre 
esses quatro vetores de modo que as duas 
partículas colidam.
A19) (IME-91) Um jogador de futebol do 
Flamengo (F) conduz a bola aos pés, por uma 
reta junto à lateral do campo, com uma 
velocidade constante V,, em direção à linha 
divisória do gramado. Um atleta do Botafogo 
(B), situado na linha divisória, avalia estar 
distante d metros do adversário e t_ metros da 
lateral e parte com velocidade constante V2 > 
\A em busca do adversário, para interceptá-lo. 
Determine em que direção deve decidir correr 
o jogador botafoguense.
A23) Em um momento inicial, duas velas eram 
iguais e tinham altura h, encontrando-se a uma 
distância a. A distância entre cada uma das 
velas e a parede mais próxima é também igual 
a a. Com que velocidade movem-se as 
sombras das velas nas paredes, se uma vela 
queima durante o tempo ti e a outra durante o 
tempo Í2?
X I
A22) Pancho Villa viaja de Acapulco a 
Guadalajara, viajando por uma estrada a uma 
velocidade constante. Passa por um marco 
(marcador de distância, a partir de Acapulco) 
que contém dois algarismos. Uma hora depois, 
passa por outro marco, contendo os mesmos 
dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma 
hora depois, passa por um terceiro marco, 
contendo os mesmos algarismos, na ordem 
que os viu no primeiro marco, mas separados 
por um zero. Com que velocidade Pancho Villa 
viaja?
◄— a —— a —----- a------ ►
b)e e
c) d)e e
e) e
Vi
Í2
49
---------- ►
A28) São dadas duas localidades A e B 
interligadas por rodovia sensivelmente reta e a
‘‘TfflnmTWHUMmww. u-^rrirtr.
dv1 
2d-Xv,
d-Xv,
dvi 
d-Xv, 
2dvi ( 
d-Xv, 
2dv1 
d - 2Xv,
A25) Um rio de margens retilíneas e largura 
constante igual a 5,0 km tem águas que 
correm paralelamente às margens, com 
velocidade de intensidade 30 km/h. Um barco, 
cujo motor lhe imprime velocidade de 
intensidade sempre igual a 50 km/h em relação 
ás águas, faz a travessia do rio.
a) Qual mínimo intervalo de tempo possível 
para que o barco atravesse o rio?
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo 
de tempo mínimo, que distância o barco 
percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para 
que o barco atravesse o rio percorrendo a 
menor distância possível?
ELEMENTOS DA FÍSICA
casas no
de um
mesmo percurso.
num
d-Xv, 
2
2d-Xv1
2
A26) Duas partículas se movem com 
velocidades constantes iguais a Vt e v2, ao 
longo de trajetórias retilíneas perpendiculares, 
de modo que suas distâncias iniciais ao ponto 
O, interseção das trajetórias, são iguais a e
i2, respectivamente. Determine em quanto 
tempo a distância entre as partículas será 
mínima e qual o valor desta menor distância. A29) Geraldinho e Magrão saíram de suas 
mesmo instante com a intenção 
visitar o outro, caminhando pelo 
Geraldinho ia pensando 
problema de olimpíada e Magrão ia 
refletindo sobre questões filosóficas e nem 
perceberam quando se cruzaram. Dez 
minutos depois, Geraldinho chegava à casa 
de Magrão e meia hora mais tarde, Magrão 
chegava à casa de Geraldinho. Quanto tempo 
cada um deles andou?
Observação: Cada um 
velocidade constante.
distância entre as duas cidades é d. O 
transporte de passageiros de uma localidade à 
outra pode ser feito por automóvel (velocidade 
média v,) ou por avião (velocidade média v2 
desconhecida). Junto à rodovia há, entre A e 
B, uma localidade C à distância x (incógnita) 
de A. Um automóvel e um avião partem 
simultaneamente de A com destino a B. No 
mesmo instante em que o automóvel passa 
por C, o avião atinge B. Mais tarde, ambos os 
móveis partem simultaneamente de B com 
destino a cidade A. O avião atinge a cidade A 
com antecedência X em relação ao instante em 
que o carro passa por C. Os valores de v2 e x 
são respectivamente: 
a)_ jXi_e d^vi
d-Xv1 
2
d-Xvd 
2
A27) (ITA-16) No sistema de sinalização de 
trânsito urbano chamado de “onda verde" há 
semáforos com dispositivos eletrônicos que 
indicam a velocidade a ser mantida pelo 
motorista para alcançar o próximo sinal ainda 
aberto. Considere que de inicio o painel 
indique uma velocidade de 45 km/h. Alguns 
segundo depois ela passa para 50 km/h e, 
finalmente para 60 km/h., Sabendo que a 
indicação de 50 km/h no painel demora 8,0 s 
antes de mudar para 60 km/h, então a 
distância entre os semáforos é de 
a) 1,0 x 10'1km. b) 2,0 x 10'1km.
c) 4,0 x 10’1km. d) 1,0 km
e) 1,2 km.
deles anda com
ELEMENTOS DA FÍSICA
CINEMÁTICA - MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Aceleração Escalar
42 km/h36 km/h24 km/h
to = 1.4 h to» 1.6 hto= 1.0 h
No exemplo apresentado, a aceleração do automóvel vale
50
Como At > 0, a aceleração escalar possui o mesmo sinal da variação da velocidade 
escalar. Assim, se Av > 0, ou seja, se a velocidade escalar aumentou, tem-se a > 0, entretanto, se 
Av < 0, ou seja, se a velocidade escalar diminuiu, segue que a < 0. Se Av = 0 então o movimento 
é uniforme, que já foi estudado no capítulo anterior.
Neste caso, a expressão “aceleração escalar média” é substituída apenas por “aceleração 
escalar” do MUV.
Neste movimento é possível identificar que a cada 0,2 h a velocidade aumenta 6 km/h. 
Assim, a velocidade do móvel é incrementada de forma uniforme em relação ao tempo. Isto 
caracteriza um movimento uniformemente acelerado (MUV). A essa taxa temporal da variação da 
velocidade escalar dá-se o nome de aceleração escalar, normalmente simbolizada por a. Deste 
modo, a expressão da aceleração escalar média é:
No capítulo anterior foram apresentadas as bases da cinemática, bem como o estudo do 
movimento uniforme. Agora serão estudados os movimentos em que ocorre variação da 
velocidade escalar, que representa a quase totalidade dos casos práticos de movimento. Qualquer 
movimento em que a velocidade escalar não se mantém constante é denominado de movimento 
acelerado. Se a variação da velocidade escalar ocorre de forma uniforme, ou seja, variar sempre 
do mesmo valor na mesma unidade de tempo, denominamoso movimento de uniformemente 
acelerado.
Suponha que um móvel está se deslocando ao longo de uma trajetória. A figura abaixo 
mostra como a velocidade escalar do móvel varia de acordo com o tempo de movimento.
Av
ÃT
Vf~V0
At
a= Av, Av2 AV3 Avn
At, At2 At3 ■" At„
Av
Caso o movimento seja uniformemente variado, a razão — se mantém constante 
independentemente do intervalo de tempo tomado para calcular tal razão.
am
No Sistema Internacional de Unidades aceleração é medida em , porém uma unidade 
também utilizada é . A aceleração de 1 m/s2 significa que a velocidade da partícula aumenta 
em 1 m/s a cada segundo de movimento.
am m
30 km/h
to» 1.2 h
í'
ELEMENTOS DA FÍSICA
ou seja, a velocidade aumenta de 30 km/h a cada hora de movimento.
Para converter de m/s para km/h basta verificar que:
Convertendo em m/s2 a aceleração de 30 km/h2 da situação problema apresentada:
Classificação do Movimento com Relação à Aceleração Escalar
VelocidadeAceleração
Aceleração Vetorial Média
sst-
51
Posteriormente, no item sobre Cinemática Vetorial, será explorado melhor o conceito de 
aceleração vetorial.
No capítulo anterior, foi definido que, quando o móvel possui velocidade no mesmo sentido 
da orientação d trajetória, ela é positiva (v > 0) e o movimento é denominado de progressivo. Por 
outro lado, quando o móvel possui velocidade contrária ao sentido da trajetória ela é negativa (v < 
0) e o movimento é denominado de retrógrado. Por isso, no estudo da aceleração somos 
incorretamente levados a dizer que sempre que a aceleração é positiva a > 0 o movimento é 
acelerado e sempre que a aceleração é negativa a < 0 o movimento é retardado. O correto é 
afirmar que um movimento é acelerado quando aceleração escalar e velocidade escalar possuem 
o mesmo sinal, enquanto que um movimento é retardado quando aceleração escalar e 
velocidade escalar possuem sinais contrários.
Suponha que um móvel se movimenta no espaço de uma posição A para uma posição B 
em um tempo At, em uma trajetória qualquer. A expressão da aceleração vetorial média deste 
movimento é análoga à expressão da aceleração escalar média:
km/h2
30 
12960
x
7
Av 
a =■— 
At
m/s 
x 
1
30
12960
a > 0 
a < 0 
a > 0 
a < 0
v > 0 
v < 0 
v < 0 
v > 0
Classificação quanto 
à velocidade_______
Progressivo_________
Retrógrado_________
Progressivo_________
Retrógrado
Classificação quanto 
à aceleração_______
Acelerado__________
Acelerado__________
Retardado__________
Retardado
Avab
At ãm =im =
(3600)2 km
1000 h2
x = —— m/s2
432
V — V VB VA
At
. m .
1F = 1 
-°-=3o*m, 
0,2 h2
= 12960 ^1
—-—km 
1000
----- ------h2 
(3600)2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Equação Horária da Velocidade do MUV
v = v0 + at
v(t) = Vo + at
modo, se a velocidade for medida em km/h, a aceleração será medida em km/h2 e o tempo em h.
v(t) = v0 + at => v(t) = -6 + 5.t (SI)
Assim, a velocidade escalar no instante t = 8 s vale:
v(8) = - 6 + 5.8 = - 6 + 40 = 34 m/s
movimento for dada por v(t) = 4 - 7t, em unidades do SI, segue que v0 = 4 m/s e a = - 7 m/s2.
Gráfico v x t do MUV
v ' ‘V ‘ 1
tg e = a tg 0 = aVo
e
0Vo
*t *t0 0
a > 0 a < 0
W*Ml
52te.—
Do estudo das funções, sabe-se que o gráfico de uma função do 1o grau é uma reta. Deste 
modo, a linha que representa o gráfico de velocidade versus o tempo no MUV é uma reta cujo 
coeficiente angular é a aceleração escalar e cujo coeficiente linear é a velocidade inicial. Se a > 0 
a reta é crescente e se a < 0 a reta é decrescente.
Determinar a equação horária de uma grandeza significa exprimir esta grandeza em 
função da variável tempo e de outras grandezas constantes. Deste modo, a equação horária da 
velocidade do MUV representa a dependência da velocidade pelo tempo.
Admita que um móvel parte com velocidade inicial v0 com uma aceleração escalar 
constante a. Após um tempo t de movimento deseja-se determinar como a velocidade do móvel 
varia com o tempo. A demonstração da equação horária da velocidade do MUV é a partir da 
expressão da aceleração escalar:
Também possível identificar imediatamente os valores da velocidade inicial v0 e da 
aceleração a dada a equação horária de um MUV. Por exemplo, se a equação horária de um
Esta expressão deve ser homogênea com relação às unidades das grandezas. Assim, se a 
aceleração for medida em m/s a aceleração será medida em m/s2 e o tempo em s. Do mesmo
Ava = —
At
Por exemplo, admita que em um MUV a velocidade inicial seja igual a v0 = - 6 m/s e a 
aceleração escalar seja a = 5 m/s2. A equação horária da velocidade é:
Como v = Vo + at é uma expressão de 1 
simbologismo de função:
=> v - Vo = at =>
t-0
a grau em t, pode-se também utilizar o
ELEMENTOS DA FÍSICA
V j LV Á k
Vo
As AsVo
1*t 00
a < 0a > 0
Área = As
v ‘‘V ‘ ‘
!
Ai! A:
*t*t 00 totzt. tz
As = - A, + A2As = A, — A2
WM
53
Geometricamente falando, a tangente do ângulo 0 será igual a aceleração escalar somente 
se os dois eixos forem construídos com a mesma escala, ou seja, se 1 m/s no eixo da velocidade 
possuir a mesma dimensão de 1 s no eixo do tempo.
Se alguma parte do gráfico estiver abaixo do eixo do tempo (caso de velocidades 
negativas) a área correspondente deve ser considerada como negativa no cálculo do 
deslocamento escalar.
Gráfico 1 
a < 0
Gráfico 2 
a > 0
ti
I Ai
Observando o gráfico 1 pode-se concluir que no instante t2 ocorre a inversão do sentido do 
movimento. O móvel do gráfico 1 partiu com uma determinada velocidade escalar inicial positiva e, 
devido à aceleração escalar negativa, a velocidade escalar foi diminuindo, até atingir o valor nulo 
em t2. A partir de t2 a velocidade escalar do móvel apresentou valores negativos. Como a 
inclinação da reta do gráfico 1 não foi alterada, a aceleração se manteve a mesma durante todo o 
movimento. Com relação ao sentido do movimento representado pelo gráfico 1, até o instante t2 o 
móvel se movimentou no mesmo sentido da orientação do trajetória, enquanto que a partir de t2 o 
móvel se movimentou no sentido contrário da orientação do trajetória.
No item sobre aceleração não uniforme será demonstrado que no gráfico da velocidade 
versus o tempo, independentemente do tipo de movimento, a área compreendida entre a linha do 
gráfico e o eixo do tempo é numericamente igual ao deslocamento escalar. No caso particular do 
movimento uniformemente variado a região representada será um trapézio retângulo ou um ou 
dois triângulos retângulos
ELEMENTOS DA FÍSICA
Equação Horária do Espaço do MUV
V i k
V
Vo
*t0 t
=> s(t) = — 8 + 4t + 3Í2 (SI)
54
Por exemplo, suponha que uma partícula executa um MUV de espaço inicial - 8 m, 
velocidade inicial 4 m/s e aceleração 6 m/s2. Na equação horária do espaço desse movimento é:
Como toda equação física, as grandezas devem ser medidas em unidades do mesmo 
sistema. Portanto, se a aceleração for dada em m/s2, o espaço será dado em m, o tempo em s e a 
velocidade inicial em m/s. Caso a velocidade inicial seja dada em km/h, o espaço será medido em 
km, o tempo em h e a aceleração em km/h2.
Sendo uma expressão de 2o grau em t, pode-se adotar a simbologia de função para 
representar o espaço:
A dependência do espaço em função do tempo, em um movimento uniformemente variado, 
é determinada utilizando o fato que a área do gráfico v x t é o deslocamento escalar. A 
demonstração será feita para o caso em que a aceleração escalar é positiva, porém é válida para 
qualquer situação de MUV. Para tanto, considere um móvel que parte do velocidade v0 em um 
MUV de aceleração a. Sabe-se que no instante t a velocidade escalar vale v = v0 + at.
Se for afirmado que uma determinada expressão de 2° grau em t é uma equação horária 
do espaço do MUV, é possível identificar os valores do espaço inicial, da velocidade escalar inicial 
e da aceleração escalar do movimento. Por exemplo, se s(t) = 5 - 2t - õt2 representar uma 
at2 equação horária do espaço do MUV, comparando com a expressão geral s(t) = s0+vot + —, 
concluiu-se que s0 = 5 m, v0 = - 2 m/s e a = - 10 m/s2.
s(t) = so+vot + -y- => s(t) = -8+ 4t + -^-
... . at2s(t) = so+vot + —
ÁS — Airapézio => s s - (V + V°}t=> S - So - -—--------
at2=> s = so+vot + —_(2v0+at)t- 2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Gráfico da Equação Horária do Espaço do MUV
s j k s
So
so
Velocidade Média de um MUV
n ■WJR-.V 55
> 
t
> 
t
■bssmk-.
As
At
Assim, em um MUV, a velocidade escalar média é a média aritmética da velocidade inicial 
e da final. Portanto, se uma partícula em MUV apresentou um deslocamento As durante um 
intervalo de tempo At, partindo de uma velocidade inicia v0 e finalizando com uma velocidade final 
v(, pode-se afirmar que:
Independentemente do tipo de movimento, a velocidade escalar média sempre será a 
razão entre o deslocamento escalar e o tempo. No caso de MUV é possível encontrar um 
resultado importante para a velocidade média escalar:
instante 
onde s = 0
■"* instante 
onde s = 0 instante ’ 
onde s = 0
a > 0 
concavidade 
voltada pra cima
a < 0 
concavidade 
voltada pra baixo
SfS0 _ 
t
As
At
As
“Ãt
Vp+Vf
2
Vp+Vf
2
J inversão do 
i sentido do 
J /movimento
J inversão do
• sentido do
{ / movimento
Devido a ser uma expressão polinomial do 2o grau na variável tempo, o gráfico do espaço 
pelo tempo é uma parábola. A concavidade da parábola depende do sinal da aceleração, fazendo 
com que existam duas possibilidades.
vm
Algumas observações são importantes:
1) O gráfico deve ser traçado apenas para t > 0, uma vez que todo movimento inicia de to = 0;
2) É possível que o vértice da parábola esteja na região em que t < 0 e assim não aparecerá no 
traçado do gráfico. Neste caso, o gráfico será estritamente crescente se a > 0 ou estritamente 
decrescente se a < 0.
3) Não é obrigatório que o gráfico cruze o eixo do tempo. Quando isso ocorre o móvel nunca 
passa pelo espaço s = 0.
região -4------ [------► região
onde v > 0 onde v < 0
região ------•------- ► região
onde v < 0 onde v > 0
Vm
at2
V°t + ~T 2v0 + at v0+(v0+at) 
t 2 2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Equação de Torricelli
At
Isolando At na equação horária da velocidade e substituindo o valor acima:
=> (vf - v0)(vf + vo) = 2aAs =>=>
Gráfico a x t no MUV
‘ • a a
tjOa *t
A = Avi
Ia*ttiO
56
No caso de a < 0, a área deve ser contabilizada como negativa, uma vez que está abaixo 
do eixo do tempo. Assim, toda vez que a < 0 tem-se A = Av < 0.
Sabe-se que, em um movimento uniformemente variado, a velocidade escalar média é a 
média aritmética da velocidade inicial e da final:
Note que todas as equações anteriormente demonstradas do MUV (equação horária da 
velocidade, equação horária do espaço e velocidade média) tem a variável tempo em suas 
expressões. A equação de Torricelli é muito útil quando não é conhecido o tempo de movimento.
I
i 
í
No próximo item desse capítulo, sobre movimento não uniforme, será demonstrado que em 
qualquer tipo de movimento a área compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo é 
numericamente igual à variação da velocidade escalar Av.
2As 
vo+vf
I 
t2
ti
v0 +V, As
2 At
A = Av
Como a aceleração escalar de um MUV é constante, o gráfico da aceleração pelo tempo é 
uma reta horizontal. Dependendo do sinal da aceleração, esta reta horizontal pode estar acima (se 
a > 0) ou abaixo (se a < 0) do eixo do tempo. Além disso, a área compreendida entre a linha do 
gráfico e o eixo do tempo é numericamente igual à variação da velocidade escalar Av.
vf = Vo + a.At => Vf-Vpa
v, = v„ + 2aAs
2 AsAt = ^^ 
a v0+v(
v,-v„=2aAs =>
30
0 ,t(s)
10
-10
B
-30
b) 425 m c) 375 m d) 275 m e) 200 m
I I
500
T
0
-500
40 80 120 160 200
Solução:
57
i~ií—i
ER2) (UFPE-01) O gráfico da figura abaixo representa a velocidade de um foguete lançado 
verticalmente. Qual a altitude máxima, em km, atingida pelo foguete?
v (m/s)
t(s)
ER1) (Mackenzie-10) Dois automóveis A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória retilínea, 
com suas velocidades variando com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Sabe-se que esses 
móveis se encontram no instante 10 s. A distância entre eles, no instante inicial (t = 0 s), era de 
v (m/s) A 
45-----------
-1000 4 
0
A
1000 ...
ELEMENTOS DA FÍSICA
a) 575 m
Solução:
Pelo gráfico pode-se determinar a velocidade inicial e a aceleração de cada automóvel:
__ , Av. 45-30 . ,vOi = 30 m/s e a, = —1 =----------- = 1,5 m/s
1 At 10
v02 = - 10 m/s e a2 = = ———= -2,0 m/s
2 At 10
Assim, a equação horária do espaço de cada automóvel vale:
a t2
x1(t) = x01 +v01t + -^- = x01 +30.t + 0,75.t2
x2(t) = x02 + v02t + = x02 -10.t -12
Como os automóveis se encontram para t = 10 s:
X1(10) = X2(10) => xOi + 30.10 + 0,75(100) = x02- 10.10- 100 => Xq, + 375 = X02 - 200 => 
x02 -X01 = 575 m
ELEMENTOS DA FÍSICA
'0stS120
vf s 10,8 m/s
c) 5,0x10'
=> At = 1,3.10v,
(d)40 (e ) 55
=> t-i = 15 sLogo: x,
=> = 10 s
58
d)1,3x10‘2
x => 150=^-
2 2 2
Portanto: tT = t, + t2 = 15 + 10 = 25 s
ER3) (PUC/RJ-10) Os vencedores da prova de 100 m rasos são chamados de homem/mulher 
mais rápidos do mundo. Em geral, após o disparo e acelerando de maneira constante, um bom 
corredor atinge a velocidade máxima de 12,0 m/s a 36,0 m do ponto de partida. Esta 
velocidade é mantida por 3,0 s. A partir deste ponto o corredor desacelera também de maneira 
constante com a = - 0,5 m/s2 completando a prova em aproximadamente 10 s. É correto afirmar 
que a aceleração nos primeiros 36,0 m, a distância percorrida nos 3,0 s seguintes e a velocidade 
final do corredor ao cruzar a linha de chegada são, respectivamente: 
a) 2,0 m/s2; 36,0 m; 10,8 m/s. b) 2,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s.
c) 2,0 m/s2; 72,0 m; 32,4 m/s. d) 4,0 m/s2; 36,0 m; 10,8 m/s.
e) 4,0 m/s2; 38,0 m; 21,6 m/s
Solução: Alternativa A
Pela equação de Torricelli: v2=vjj+2a1Ax1 => (12)2
Nos 3 segundos seguintes: Ax2 = v^tj = 12.3 = 36 m 
AXt + Ax2 + Ax3 = Axt => 36 + 36 + Ax3 =100 => Ax3 = 28 m 
Por Torricelli: v2 = v2 + 2a3Ax3 = 122 + 2(-0,5)(28) = 144 - 28 = 116
ai = 2,0 m/s2
Sabe-se que a área compreendida entre a linha do gráfico v x t e o eixo do tempo é 
numericamente igual ao espaço percorrido. Pelo gráfico, a velocidade do foguete é não negativa 
para 0 < t < 120 s. Neste intervalo o foguete está subindo. Para t > 120 s o foguete está descendo. 
Deste modo, a altura máxima é numericamente igual a área do gráfico para 0 < t < 120 s:
hmax = S0sts120 = = 60000 m = 60 km
= O2 + 2.a,.36 =>
ER5) (Ciaba-16) Um automóvel, partindo do repouso, pode acelerar a 2,0 m/s2 e desacelerar a 3,0 
m/s2. O intervalo de tempo mínimo, em segundos, que ele leva para percorrer uma distância de 
375 m, retornando ao repouso, é de 
( a ) 20 ( b ) 25 ( c ) 30
Solução: Alternativa B
O tempo mínimo ocorrerá quando o automóvel se movimenta da seguinte forma:
i) partindo do repouso, o automóvel acelera com 2 m/s2 até atingir uma velocidade máxima vn 
percorrendo uma distância Xj em um tempo tj.
ii) após a distância x1t o automóvel deve desacelerar com - 3 m/s2, desde a velocidade Ví até o 
repouso, percorrendo uma distância x2 em um tempo t2, de modo que Xi + x2 = 375 m (1) 
Equação de Torricelli para o primeiro percurso:
V12 = v02 + 2aiXi = 0 + 2.2x, => v,2 = 4xi (2)
Equação de Torricelli para o segundo percurso:
v2 = Vj2 + 2a2x2 => 0 = v,2 - 2.3x2 => v/ = 6x2 (3)
Igualando as expressões (2) e (3): 4x-i = 6x2 => 2x, = 3x2 (4)
Substituindo (1) em (4): 2x1 = 3(375 - x,) = 1125 - 3x, => x, = 225 m => x2=150m
=> 225 = ^-
2 2
ER4) (AFA-01) Ao ultrapassar uma viga de madeira, uma bala tem sua velocidade escalar variada 
de 850 m/s para 650 m/s. A espessura da viga é 10 cm. Admitindo o movimento como sendo 
uniformemente variado, o intervalo de tempo, em segundos, em que a bala permaneceu no 
interior da viga foi aproximadamente 
a) 5,0 xW4 b) 1,3x10 ' 
Solução: Alternativa B
Como o movimento é admitido como uniformemente variado, a velocidade média é a média 
.. ... , . .. . v0+Vf Ax 850 + 650 0,10 A. . „ ,__4aritmética das velocidades: v_= —12------ = — => --------------- =------- => At =1,3.10 s
m 2 At 2 At
ELEMENTOS DA FÍSICA...
A
Como C B A = 45° => AB = CA = 12km
Vista do plano no instante dado:
12 kmPor Pitágoras, d = 13 km
59
2^ avião
B
C r
ER6) (ITA-96) Um automóvel a 90 km/h passa por um guarda num local em que a velocidade 
máxima é de 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator com sua motocicleta, mantendo 
aceleração constante até que atinge 108 km/h em 10 s e continua com essa velocidade até 
alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. Pode-se afirmar que:
a) O guarda levou 15 s para alcançar o carro.
b) O guarda levou 60 s para alcançar o carro.
c) A velocidade do guarda ao alcançar o carro era de 25 m/s.
d) O guarda percorreu 750 m desde que saiu em perseguição até alcançar o motorista infrator.
e) Nenhuma das respostas acima é correta.
Solução: Alternativa D
Equação horária do espaço do automóvel:
x-, = xOi + v,t = 0 + 90t = 90t
Equação horária do espaço do guarda:
x2 = x02 + v2t = v2AtV2 + v2t = (108)(10/3600)/2 + 108t = 0,15 + 108t
Quando o guarda alcança o carro:
x, = x2 => 90t = 0,15 + 108t => 18t = 0,15 => t= (1/120) h => t = 30 s
Velocidade do guarda ao alcançar o carro:
v2 = 108 km/h = 30 m/s
Espaço percorrido pelo guarda até alcançar o carro:
x, = 90t = 90(1/120) = 0,750 km => x, = 750 m
ER7) (ITA-05) Um aviao de vigilância aérea está voando a uma altura de 5,0 km, com velocidade 
de 5OVÍÕ m/s no rumo norte, e capta no radiogoniômetro um sinal de socorro vindo da direção 
noroeste, de um ponto fixo no solo. O piloto então liga o sistema de pós-combustão da turbina, 
imprimindo uma aceleração constante de 6,0 m/s2. Após 40VTÕ/3 s, mantendo a mesma direção, 
ele agora constata que o sinal está chegando da direção oeste. Neste instante, em relação ao 
avião, o transmissor do sinal se encontra a uma distância de 
a) 5,2 km. b) 6,7 km. c) 12 km. d) 13 km. e) 28 km.
Solução: Alternativa: D
1 i
fx distância percorrida pelo avião no intervalo de tempo dado é: AS = vot + — at => AS = 12km
Vista de cima:
r.;: ELEMENTOS DA FÍSICA
(E) 66,7
vtx, = x2
<320Logo: t2sL =>
60
ER9) As cidades A e B se encontram a uma distância L = 4 km uma da outra. De A sai um 
automóvel em direção a B, que mantém uma velocidade constante v. Ao mesmo tempo, de B sai 
um outro automóvel em direção de A com velocidade inicial v0 = 32 m/s, que apresenta uma 
aceleração a = 0,2 m/s2 com o mesmo sentido da velocidade do primeiro automóvel, sabe-se que 
os dois se encontram duas vezes no trajeto AB. Dentro de que limites se encontra a velocidade v 
do primeiro automóvel?
Solução:
Equação horária do automóvel que vai de A para B: x-, = vt
=> vt = 4000-32t+0,112 =>
v + 32 + Vv2 +64V-576 < 64 =>
ER8) (IME-13) Um automóvel percorre uma estrada reta de um ponto A para um ponto B. Um 
radar detecta que o automóvel passou pelo ponto A a 72 km/h. Se esta velocidade fosse mantida 
constante, o automóvel chegaria ao ponto B em 10 min. Entretanto, devido a uma eventualidade 
ocorrida na metade do caminho entre A e B, o motorista foi obrigado a reduzir uniformemente a 
velocidade até 36 km/h, levando para isso, 20 s. Restando 1 min para alcançar o tempo total 
inicialmente previsto para o percurso, o veículo é acelerado uniformemente até 108 km/h, levando 
para isso, 22 s, permanecendo nesta velocidade até chegar ao ponto B. O tempo de atraso, em 
segundos, em relação à previsão inicial, é:
(A) 46,3 (B) 60,0 (C) 63,0 (D) 64,0
Solução: Alternativa D
A distância entre A e B vale: AxT = v^ = 20.600 = 12000 m
Como o problema ocorreu na metade do caminho: Ax, = 6000 m e ti = 5 min = 300 s 
.. . , - vl+v2 Ax2 20 + 10 Ax2 a „„
Na desaceleraçao: vm = -- => —-— = => Ax2 = 300 m
Tempo com velocidade de 36 km/h = 10 m/s: t3 = t0 — At — t-i —12 = 600 - 60 - 300 - 20 = 220 s 
Espaço percorrido com 36 km/h: Ax3 = v2.t3 = 10.220 = 2200 m 
Espaço que falta para B quando do início da aceleração:
Ax< = Axt - AXi - Ax2 - Ax3 = 12000 - 6000 - 300 - 2200 = 3500 m
i - v2 + v, Ax5 10 + 30 Axs A
Na aceleraçao: vm = - J => —-— = => Ax5 = 440 m
Espaço percorrido até B com velocidade de 108 km/h: Axg = Ax^ - Axs = 3500 - 440 = 3060 m
Tempo com velocidade de 108 km/h: t5 = —— = = 102 s
Tempo total: tT = t, + t2 + t3 + t, + t5 = 300 + 20 + 220 + 22 + 102 = 664 s 
Logo, o tempo de atraso foi de AtA = tT -10 = 664 - 600 = 64 s
a t2
Equação horária do automóvel que vai de B para A: x2 = L - vot + —
Nos instantes do encontro:
L-v2t + ^- => vt = 4000-32t+0,112 => t2- 10(v + 32)t + 40000 = 0 (1)
Como os automóveis se encontram duas vezes, essa equação de segundo grau deve possui duas 
raízes distintas, que ocorre quando seu discriminante é maior que zero:
A>0 => 100(v + 32)2 - 4.40000 > 0 => 100[(v + 32)2 - 1600] > 0 => v2 + 64v - 576 > 0 => 
(v - 8)(v + 72) = 0 => v < - 72 m/s (não convém pois v > 0) ou v > 8 m/s
Entretanto, perceba que o automóvel que vai de A para B for muito rápido, haverá apenas um 
cruzamento. Assim, é necessário impor que a maio raiz da equação (1) seja inferior ao tempo que 
o automóvel que sai de B demora para retornar para B:
x2 = L => L = L-vot + yy => -32t + 0,1t2 = 0 => t = 0 s (n]ao convém) ou t = 320 s
10(v + 32) + aJi00(v2 + 64v-576)
_ 2
Vv2 +64V-576 < 32-v => v2 + 64v- 576 < 1024 - 64v + v2 => 128v < 1600 => v < 12,5 m/s 
Assim, segue diretamente que 8 m/s < v < 12,5 m/s
ELEMENTOS DA FÍSICA
MOVIMENTO NÃO UNIFORME
v(t) =
s(t) = jv(t)dt.
Mas, e quanto à aceleração? Sabe-se que a aceleração média escalar é definida por:
Assim, fazendo At tender a zero, obtém-se a aceleração instantânea do movimento:
Esta última expressão é a definição da derivada da velocidade no tempo. Assim:
a(t) =
v(t) = ja(t)dt.
Grandezas Vetoriais
v(t) =
Do mesmo modo, o vetor posição é a integral no tempo, o vetor velocidade:
r(t) = fv(t)dt
61
Av
ÃT
Todas as definições, a partir de derivadas e integrais, das grandezas cinemáticas também 
são válidas quando essas grandezas são dadas nas suas formas vetoriais. Assim, a velocidade 
vetoriais é a derivada de vetor posição no tempo:
Para determinar a velocidade em função da derivada é necessário usar o conceito de 
integral:
Esta expressão permite determinar a velocidade a partir de uma equação que relacione o 
espaço ao tempo. Caso seja dada uma equação que relacione a velocidade ao tempo, basta 
utilizar a operação inversa da derivada, que é a integral. Deste modo, o espaço é a integral da 
velocidade no tempo:
Até este momento este livro apresentou estudos detalhados de dois tipos de movimento: 
Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado. Em cada um deles uma das 
grandezas que caracterizam o movimento se mantém constantes: velocidade ou aceleração. Mas 
o que acontece quando nem velocidade nem aceleração se mantém constantes? A única maneira 
de resolver este problema é lançando mão da utilização de derivada e integral. No capítulo sobre 
movimento uniforme foi demonstrado que a velocidade instantânea é igual à derivada do espaço 
no tempo:
d[s(t)]
dt
d[r(t)]
dt
d[v(t)]
dt
am
... v(t + At)-v(t) , A. ... .. v(t + At)-v(t)ainst(t) = —-------J-----quando At-> 0 => ainst(t) = hm
A vetor aceleração é a derivada, no tempo, do vetor velocidade:
ã(t) =
O vetor velocidade é a integral da aceleração vetorial:
r = j(vxi + vyj + v2k)dt, onde x = Jvx dt, y = jvy dtr = jvdt
v = Jãdt
8t3-15t2+6t-1 (SI)v(t) =
24t2-30t + 6 (SI)a(t) =
s(t) = jv(t)dt = j(24t3 -6t2 + 10t + k1)dt = 6t4 -2t3 +5t2 +k,t + k2 (SI), onde k2 é uma constante
62
Do mesmo modo, a partir da aceleração escalar, pode-se determinar a velocidade escalar 
e o espaço, bastando integrar duas vezes, sempre lembrando-se da constante de integração. 
Assim, se a(t) = 72Í2- 12t + 10 (SI) segue que:
Perceba que k-i e k2 não são duas constantes quaisquer. Fazendo t = 0 em v(t) conclui-se 
que k4 = v(0), ou seja, kí é a velocidade inicial da partícula. Analogamente, substituindo t = 0 em 
s(t) segue que k2 = s(0), fazendo com que k2 seja o espaço inicial da partícula.
,dvx
dt '
v(t) = Jã(t)dt
d[s(t)J 
dt
d[v(t)J d(8t3 -15t2 + 6t-1) 
dt " dt
d(2t4 - 5t3 + 3t2 - t + 6) 
dt
d[v(t)] 
dt
e z = Jv2dt
= fa2dt
Em função das componentes retangulares, pode-se escrever que, se f = xi+yj+zk é o 
vetor posição da partícula em determinado momento:
v = j(axi + ayj + a2k)dt, onde vx =Jaxdt, vy = jaydt e v2
dy dz v„ = — e v =— 
y dt z dt
Por exemplo, suponha que um móvel realiza um movimento retilíneo de modo que o 
espaço escalar varie com o tempo de acordo com a expressão s(t) = 2t4 - 5t3 + 3t2 -1 + 6 (SI). As 
expressões da velocidade escalar e da aceleração escalar podem ser obtidas derivando 
sucessivamente s(t):
v(t) = ^ = ^í 
' ' dt dt
ã(t) = — ' dt
I............ .................. ......................... ■
ELEMENTOS DA FÍSICA
dy dz, dx
+ —i+ — k, onde v =—, 
dt dt x dt
ij+^^-k, onde ax
dt dt dt
v(t) = Ja(t)dt = J(72t2 -12t + 10)dt = 24t3 -6t2 +10t+ k, (SI), onde ki é uma constante
dv dv
a„ =-—- e a, =—- 
v dt z dt
ELEMENTOS DA FÍSICA
Direção do Vetor Velocidade
y “
trajetória
onde vx e vy são as componentes da velocidade na mesma posição especificada.
Outra maneira de caracterizar 0 é determinando seno ou cosseno de 0, da forma:
COS0y
r 63
A.
I v| ‘
r.
>
X
Como o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória na posição da partícula, segue que 
a inclinação 0, com relação à horizontal, da reta tangente à trajetória em uma posição específica é 
tal que:
No caso extremo da trajetória da partícula ser retilínea, o vetor velocidade possuirá direção 
paralela à trajetória.
Uma das consequências do fato de vetor velocidade v ser a derivada do vetor posição r 
no tempo é que o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória na posição da partícula. 
Suponha, por exemplo, um movimento bidimensional, medido por meio de um referencial xOy, 
como indicado na figura abaixo. Em determinado instante a partícula encontra-se em um ponto de 
sua trajetória definido pelo vetor posição r = xi + yj . O vetor velocidade é dado pela derivada no 
tempo do vetor posição:
O que acabou de ser exposto para o movimento bidimensional também vale para o 
tridimensional, com o vetor velocidade sempre sendo tangente à trajetória na posição especificada. 
Assim, se v = vxT + vy j + vzk então os ângulos 0X que v faz com o plano yz, 0y que v faz com o 
plano xze 0Z que v faz com o plano xy são tais que:
cos 0X = ——
 dr dxr dy- -?
v = — = — i + — J = v„i + v„j. dt dt dt J y
tg0 = —
Vx
Vv ~ V,
= ~ e cos0z=-^- 
V V
n Vv 
ou sen 0 = ^-
|v|
cos 0 =
|v|
ELEMENTOS DA FÍSICA■MB*
Direção do Vetor Aceleração
Sabe-se que a aceleração é a derivada da velocidade no tempo:
ã
normalnormal
v
tangente
a
a
Figura 2
64
Deste modo, a aceleração é responsável pela variação do vetor velocidade no tempo. Essa 
variação pode se manifestar no módulo e/ou na direção do vetor velocidade. Todo vetor 
aceleração pode ser escrito como a soma de dois vetores perpendiculares: vetor aceleração 
tangencial (ãT) e vetor aceleração normal (ãN).
-*
aT
taN
aN\
Figura 1
A
tangente
O vetor aceleração tangencial é responsável pela variação do módulo do vetor velocidade. 
Por isso, ãT sempre possui direção paralela a v, ou seja, ãT sempre é tangente à trajetória na 
posição da partícula. Se o módulo de v estiver aumentando no tempo, ãT terá mesmo sentido de 
v (ver figura 1). Se o módulo de v estiver diminuindo no tempo, ãT terá sentido contrário de 
v (ver figura 2). Se o módulo de v se mantém constante em um determinado intervalo de tempo, 
para esse intervalo segue que ãT = 0.
ã= — 
dt
ãT+ãN
Perceba, pelas figuras 1 e 2, que se aT #0 e ãN #0a aceleração resultante sempre será 
um vetor orientado para a parte interna da concavidade da curva.
O vetor aceleração normal é responsável pela mudança da direção do vetor velocidade. A 
direção de ãN é sempre perpendicular a de v , ou seja, ãN sempre é perpendicular à reta tangente 
à trajetória na posição da partícula. O sentido de ãN é sempre dirigido da partícula para o ponto 
onde, instantaneamente, a partícula está rotacionando sobre. Caso a trajetória (ou parte dela) seja 
retilínea ou se em determinado instante v = 0, tem-se ãN = 0.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Gráficos v x t e a x t
A = As = s2 - s-i
o ti t2 t
Analogamente, como v
a, k
A = Av = v2 - v-i
t.o
65
> t
r ^2 adt, a variação da velocidade escalar, no intervalo < t á t2, é
igual à área, no gráfico a x t, compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo.
Lembre que este resultado já havia sido enunciado para os casos do movimento uniforme 
e do movimento uniformemente variado, porém é válido para qualquer tipo de movimento. Cabe 
também ressaltar que todas as partes da área que estiverem abaixo do eixo do tempo 
(velocidades escalares negativas) devem ser contadas como negativas no cálculo da área total.
Partes da área que estejam abaixo do eixo do tempo (acelerações escalares negativas) 
devem ser contadas como negativas no cálculo da área total.
Toda variável que é definida a partir de uma integral pode ter sua variação calculada 
através da área de um gráfico. A justificativa desse resultado está no capítulo 1 do volume 
Mecânica 1 dessa coleção. Por exemplo, sabe-se que o espaço é definido como a integral da 
velocidade no tempo s = vdt. Assim, a variação do espaço no intervalo L < t < t2 é igual a área, 
Jti
no gráfico v x t, compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo.
ELEMENTOS DA FÍSICA
—. Eliminando dt nestas duas equações obtém-se v dv = a ds.
s
v = 2s m/s
o
Assim, para s = 2 m tem-se v = 4 m/s
*t(s)2
Derivando z(t) no tempo: z'(t) = v(t) = — => v(t) = - , 0 < t < 2.
74 -12 -
t = 73 s12 —3t2 = t2
66
Solução:
‘ • z(m) 
5
2 0
5t2 
274-t2
5t
2^4-t2
4-t2 = t2
15-74-t2
2
5
74 — t2
5t
274-t2
t2 '
V4-t2
4-t2
5 1 -2t
^t2 =t
V = 2s2
ER2) Um ponto material move-se ao longo de uma trajetória horizontal com velocidade v = 3t2 - 6t 
m/s, onde t é o tempo em segundos. Supondo que no instante inicial o ponto se localizava na 
origem O, determine a distância percorrida e, 4 s.
Solução:
s(t) = Jv(t)dt => s(t) = J^(3t2-6t)dt => s(t) = t3-3t2
Para determinar a distância percorrida é necessário investigar a trajetória do ponto material. 
Perceba que a velocidade escalar é negativa para 0 < t < 2 seé positiva para t > 2 s.
Portanto, o ponto material se deslocou para um sentido em 0 < t < 2 s e para outro sentido em 
2 < t á 4 s. Como s(0) = 0, s(2) = - 4 m e s(4) = 16 m, a distância percorrida vale: 
dpercomda = |s(2) - s(0)| + |s(4) - s(2)| = 4 + 20 = 24 m
=> v2 = 4s2
ER1) Uma partícula, inicialmente em repouso, parte da origem com aceleração a = 4s m/s2, onde 
s é o espaço, dado em metros. Determine a velocidade da partícula na posição s = 2 m.
Solução:
„ , ds
Sabe-se que v = — e a
ER3) (IME-87) Uma partícula desloca-se verticalmente, com velocidade crescente, de uma altura 
5 m até o solo em 2 s. A representação gráfica do diagrama altura (z) vs tempo (t), relativa ao seu 
deslocamento, é o quadrante de uma elipse. Determine:
a) o tempo necessário, a partir do início do deslocamento, para que a velocidade da partícula seja 
2,5 m/s;
5 ?b) a altura que estará a partícula quando sua aceleração for de . m/s .
V4-t2
com 0<z<5e0<t<2
Isolando z obtém-se: z(t) = — 74 -12 , para 0 < t < 2.
Fazendo v(t) = -2,5: -^ =
a) Como a inclinação da reta tangente ao gráfico z x t no ponto t = 0 
é paralela ao eixo do tempo conclui-se que a velocidade inicial do 
z2 t2
corpo é v0 = 0 m/s. A equação deste quarto de elipse é — + — = 1, 
25 4
5
b) v’(t) = a(t) = ——
2 274—7
=> t2 = 2 => t = 72 s
=> t2 = 3 =>=> 3(4 — t2) = t2 =>
Assim: v dv = 4s ds => fv vdv = [S4sds
Jo Jo
dv
dt
Substituindo na equação: z
,-0.4t
VB VB =
L-Vt
2
2v
67
V
J3
dy 
dt
V
I
O
vL-v2t 
V2vLt-v2t2
vt = -
2
V2vLt - v2t2
L 
: = — =>
2
vL-v2 —
2v
f2vL —-v2f—
2v
t = — 
2v
- 0,4t = In v - In 30 => -0,4t = ln — => — = e
30 30
c) Note que v tende a zero apenas quando t tende a infinito
-V4-t2 = -y/4-3 = 2,5 m 
2 2
ELEMENTOS DA FÍSICA
. x L
Logo, para t = ^: vb =
ER5) Dois objetos, A e B, se conectam mediante uma barra rígida que tem comprimento L. Os 
objetos deslizam ao longo de guias perpendiculares como é mostrado na figura. Suponha que A 
deslizapara a esquerda com uma velocidade constante v. Encontre a velocidade de B quando 0 = 
60°.
ER4) A aceleração tangencial de um objeto ao longo de uma trajetória fixa é at = - 0,4v, onde a é 
medida em mm/s2 e v em mm/s. Sabendo que em t = 0 a velocidade é 30 mm/s, calcule:
a) A distância que o objeto percorrerá antes de parar.
b) A dependência da velocidade pelo tempo.
c) O tempo necessário para o objeto parar.
Solução:
ds dva) Sabe-se que v = — e a = —. Eliminando dt nestas duas equações obtém-se v dv = a ds.
Assim: v dv = - 0,4v ds => dv = -0,4ds => [v dv=fs-0,4ds => (v - v0) = - 0,4(s - s0)
Jvq Jso
No instante em que o objeto parar tem-se v = 0: (0 - 30) = - 0,4As => As = 30/0,4 => As = 75 mm
b) a=— => -0,4v = — => -0,4dt = —dv => í*-0,4dt = í* —dv
' dt dt v Jo jm v
v = 3Oe’0'4'
Solução:
A equação horária do movimento do objeto A é x = L - vt.
Para determinar a equação horária de B basta observar que x2 + y2 = L2: 
(L - vt)2 + y2 = L2 => L2 - 2vLt + vV + y2 = L2 => y = V2vLt-v2t2 
A velocidade de B é determinada derivando y no tempo: 
2vL-2v2t . .. vL-v2t 
2>/2vLt-v2t2
Quando 0 = 60° segue que x = t =>
ELEMENTOS DA FÍSICA
15h00 16h00
7Õ
a
um
68
b) 10 s e 120 m. 
d) 10 s e 200 m.
B) 64000 km/h2
D) 146000 km/h2
E7) (UFPE-12) Uma partícula executa um 
movimento ao longo do eixo x. O gráfico a 
seguir apresenta a sua velocidade em função 
do tempo. Quando t = 0, a posição da partícula 
é x = 57 m. Calcule a posição da partícula, em 
metros, no instante t = 15 s.
freando seu veículo, depois de 0,50 s. Qual 
deve ser a aceleração
mínima do veículo de trás para não colidir com 
o da frente?
Velocidade
(km/h)
I
| 40 , 
f
0,0-1-
0,0 *70 zõ
Tempo (s) 
distância percorrida entre o 
que os freios foram
E1) (UFPR-11) O gráfico ao lado representa a 
velocidade de um veículo durante um passeio 
de três horas, iniciado às 13h00.
E6) (UFPE-12) Dois veículos partem
simultaneamente do repouso e se movem ao 
longo da mesma reta, um ao encontro do outro, 
em sentidos opostos. O veículo A parte com 
aceleração constante igual a aA = 2,0 m/s2. O 
veículo B, distando d = 19,2 km do veículo A, 
parte com aceleração constante igual a aB = 
4,0 m/s2. Calcule o intervalo de tempo até o 
encontro dos veículos, em segundos.
E5) (UFPE-10) Um motorista dirige um carro 
com velocidade constante de 80 km/h, em 
linha reta, quando percebe uma “lombada” 
eletrônica indicando a velocidade máxima 
permitida de 40 km/h. O motorista aciona os 
freios, imprimindo uma desaceleração 
constante, para obedecer à sinalização e 
passar pela “lombada” com a velocidade 
máxima permitida. Observando-se a 
velocidade do carro em função do tempo, 
desde o instante em que os freios foram 
acionados até o instante de passagem pela 
“lombada”, podemos traçar o gráfico abaixo.
80-^
E3) (UESPI-12) Uma propaganda de 
automóvel informa que, numa reta, ele vai de 
zero a 100 km/h em 10 segundos. Qual deve 
ser a sua aceleração, supondo que ela seja 
constante?
A) 36000 km/h2
C) 100000 km/h2
E) 164000 km/h2
14h00
tempo
De acordo com o gráfico, o percentual de 
tempo nesse passeio em que o veículo esteve 
a uma velocidade igual ou superior a 50 
quilômetros por hora foi de:
a) 20%. b) 25%. c) 30%.
d) 45%. e) 50%.
E2) (UFPR-10) Um motorista conduz seu 
automóvel pela BR-277 a uma velocidade de 
108 km/h quando avista uma barreira na 
estrada, sendo obrigado a frear 
(desaceleração de 5 m/s2) e parar o veículo 
após certo tempo. Pode-se afirmar que o 
tempo e a distância de frenagem serão, 
respectivamente: 
a) 6 s e 90 m. 
c) 6 se 80 m. 
e) 6 s e 120 m. Determine 
instante t = 0, em 
acionados, e o instante t = 3,0 s, em que o 
carro ultrapassa a “lombada”. Dê sua resposta 
em metros.
65------------
60------------
55------------
50--------------
45--------------
40-------- 7
35 V/
I 13600
E4) (Unesp-01) Uma norma de segurança 
sugerida pela concessionária de uma auto- 
estrada recomenda que os motoristas que nela 
trafegam mantenham seus veículos separados 
por uma “distância" de 2,0 segundos.
a) Qual é essa distância, expressa 
adequadamente em metros, para veículos que 
percorrem a estrada com a velocidade 
constante de 90 km/h?
b) Suponha que, nessas condições, um 
motorista freie bruscamente seu veículo até 
parar, com aceleração constante de módulo 
5,0 m/s2, e o motorista de trás só reaja,
ELEMENTOS DA FÍSICA
v (m/s) ‘'
+ 5,0
0 5,'
-5,0 --
v(m/s)
7,0
0 6,0 t(s)
69
t(s)
E10) (Unicamp-09) Os avanços tecnológicos 
nos meios de transporte reduziram de forma 
significativa o tempo de viagem ao redor do 
mundo. Em 2008 foram comemorados os 100 
anos da chegada em Santos do navio Kasato
E13) (Unicamp-16) A demanda por trens de 
alta velocidade tem crescido em todo o mundo.
+-
10
E8) (UFPE-00) Dois carros, A e B, percorrem 
uma estrada plana e reta no mesmo sentido. 
No instante t=0 os dois carros estão alinhados. 
O gráfico representa as velocidades dos dois 
carros em função do tempo Depois de 
quantos segundos o carro B alcançará o carro 
A?
Maru, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil 
os primeiros imigrantes japoneses. A viagem 
durou cerca de 50 dias. Atualmente, uma 
viagem de avião entre São Paulo e Tóquio 
dura em média 24 horas. A velocidade escalar 
média de um avião comercial no trecho São 
Paulo-Tóquio é de 800km/h.
a) O comprimento da trajetória realizada pelo 
Kasato Maru é igual a aproximadamente duas 
vezes o comprimento da trajetória do avião no 
trecho São Paulo-Tóquio. Calcule a velocidade 
escalar média do navio em sua viagem ao 
Brasil.
b) A conquista espacial possibilitou uma 
viagem do homem à Lua realizada em poucos 
dias e proporcionou a máxima velocidade de 
deslocamento que um ser humano já 
experimentou. Considere um foguete subindo 
com uma aceleração resultante constante de 
módulo aR = 10m/s2 e calcule o tempo que o 
foguete leva para percorrer uma distância de 
800km, a partir do repouso.
E9) (Unicamp-08) Uma possível solução para 
a crise do tráfego aéreo no Brasil envolve o 
emprego de um sistema de trens de alta 
velocidade conectando grandes cidades. Há 
um projeto de uma ferrovia de 400km de 
extensão que interligará as cidades de São 
Paulo e Rio de Janeiro por trens que podem 
atingir até 300km/h.
a) Para ser competitiva com o transporte aéreo, 
estima-se que a viagem de trem entre essas 
duas cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 
40 minutos. Qual é a velocidade média de um 
trem que faz o percurso de 400km nesse 
tempo?
b) Considere um trem viajando em linha reta 
com velocidade constante. A uma distância de 
30km do final do percurso, o trem inicia uma 
desaceleração uniforme de 0,06m/s2, para 
chegar com velocidade nula a seu destino.
Calcule a velocidade do trem no início da 
desaceleração.
E11) (Unicamp-15) Considerando que a massa 
e as dimensões de uma estrela são 
comparáveis às da Terra, espera-se que a 
aceleração da gravidade que atua em corpos 
próximos à superfície de ambos os astros seja 
constante e de valor não muito diferente. 
Suponha que um corpo abandonado, a partir 
do repouso, de uma altura h = 54 m da 
superfície da estrela, apresente um tempo de 
queda t = 3,0 s. Desta forma, pode-se afirmar 
que a aceleração da gravidade na estrela é de 
a) 8,0 m/s2. b) 10 m/s2.
c) 12 m/s2. d) 18 m/s2.
E12) (Unicamp-15) A Agência Espacial 
Brasileira está desenvolvendo um veículo 
lançador de satélites (VLS) com a finalidade de 
colocar satélites em órbita ao redor da Terra. A 
agência pretende lançar o VLS em 2016, a 
partir do Centro de Lançamento de Alcântara, 
no Maranhão.
a) Considere que, durante um lançamento, o 
VLS percorre uma distância de 1200 km em 
800 s. Qual é a velocidade média do VLS 
nesse trecho?
b) Suponha que no primeiro estágio do 
lançamento o VLS suba a partir do repouso 
com aceleração resultante constante de 
módulo aR. Considerando que o primeiro 
estágio dura 80 s, e que o VLS percorre uma 
distância de 32 km, calcule aR.
ELEMENTOS DA FÍSICA
v (m/s)^ L
4
0
7 84 5 G2 3d
-4 -
Gráfico fora de escala
[CJOm
C)11 m/s
e)1,0
e) 4
70
-►
t (s)
E17) (Espcex-11) gráfico abaixo representa a 
velocidade(v) de uma partícula que se desloca 
sobre uma reta em função do tempo(t). O 
deslocamento da partícula, no intervalo de 0 s 
a 8 s, foi de:
B) -5 m/s
E) 14,5 m/s
[A] - 32 m
[D] 16 m
[B] 24 m/s
[E] 42 m/s
[B]-16m
[E] 32 m
E15) (EsPCEx-96) Na maratona de São Paulo , 
um atleta deslocou-se em movimento uniforme 
variado. Às 2h, 29min e 55s, a sua velocidade 
era de 1m/s, e logo a seguir, às 2h, 30min e 
25s, está com 10m/s. A sua aceleração, em 
m/s2, foi de : 
a) 0,03 b) 0,3 c) 3,0 d) 0,1
E14) (UESPI-09) A posição de um móvel que 
executa um movimento unidimensional ao 
longo de uma linha reta é dada em função do 
tempo por x(t) = 7t - St2. O tempo t é dado em 
segundos, e a posição x, em metros. Nestas 
circunstâncias, qual é a velocidade média 
deste móvel entre os instantes de tempo t = 0 
s e t = 4 s?
A) 5 m/s
D) -11 m/s
E16) (Espcex-04) Um móvel movimenta-se 
sobre uma trajetória retilínea obedecendo à 
função horária da posição s = - 4 + 5t - t2, 
onde s é a posição do móvel e t o tempo 
(todas as grandezas estão no SI). O instante, 
em segundos, em que o móvel inverte o 
sentido de seu movimento é: 
a) 0 b) 1 c)1,5 d) 2,5
E20) (Ciaba-07) Uma lancha da guarda- 
costeira, atracada à costa, recebe a denúncia 
de que um navio, carregado de contrabando, a 
50 milhas afastado da costa, vem avançando a 
uma velocidade constante de 12 nós. A 
distância mínima que qualquer navio estranho 
deve estar da costa é de 20 milhas. A 
aceleração constante mínima que a lancha 
deverá ter, em milhas/h2, para que o navio não 
adentre o perímetro da costa é 
a) 0,8 b) 1,6 c) 3,2 
d) 6,4 e) 16
Uma preocupação importante no projeto 
desses trens é o conforto dos passageiros 
durante a aceleração. Sendo assim, considere 
que, em uma viagem de trem de alta 
velocidade, a aceleração experimentada pelos 
passageiros foi limitada a amax = 0,09g, onde g 
= 10 m/s2 é a aceleração da gravidade. Se o 
trem acelera a partir do repouso com 
aceleração constante igual a amax, a distância 
mínima percorrida pelo trem para atingir uma 
velocidade de 1080 km/h corresponde a 
a) 10 km. b)20km.
c) 50 km. d) 100 km.
19) (Espcex-15) Um móvel descreve um 
movimento retilíneo uniformemente acelerado. 
Ele parte da posição inicial igual a 40 m com 
uma velocidade de 30 m/s, no sentido contrário 
à orientação positiva da trajetória, e a sua 
aceleração é de 10 m/s2 no sentido positivo da 
trajetória. A posição do móvel no instante 4s é 
[A] 0 m [B] 40 m [C] 80 m 
[D]100m [E] 240 m
E18) (Espcex-12) Um carro está 
desenvolvendo uma velocidade constante de 
72 km/h em uma rodovia federal. Ele passa por 
um trecho da rodovia que está em obras, onde 
a velocidade máxima permitida é de 60 km/h. 
Após 5 s da passagem do carro, uma viatura 
policial inicia uma perseguição, partindo do 
repouso e desenvolvendo uma aceleração 
constante. A viatura se desloca 2,1 km até 
alcançar o carro do infrator. Nesse momento, a 
viatura policial atinge a velocidade de 
[A] 20 m/s [B] 24 m/s [C] 30 m/s 
[D] 38 m/s
Va
2
e = 37ó--
30
x(m)
c)1,5
C) 100 d) 50
a) .espaço
tempo
b) d)espaço
tempo
tempo
E26) (AFA-12) Um
71
tempo 
aceleração
0
a) Vã / 3
d) Vã
E21) (Ciaba-14)
V C B
( b ) 2,0 
(e)3,4
A 8 C
Sua velocidade v em função do tempo t, ao
A
1
E23) (Ciaba-13) Dois navios A e B podem 
mover-se apenas ao longo de um plano XY. O 
navio B estava em repouso na origem quando, 
em t = 0, parte com vetor aceleração constante 
fazendo um ângulo a com o eixo Y. No mesmo 
instante (t = 0), o navio A passa pela posição 
mostrada na figura com vetor velocidade 
constante de módulo 5,0 m/s e fazendo um 
ângulo 0 com o eixo Y. Considerando que no 
instante t, = 20 s, sendo yA^) = yB(t2) = 30 m, 
ocorre uma colisão entre os navios, o valor de 
tga é
Dados: sen(0)=O,6O ; cos(0)= 0,80.
No circuito da figura dada, a distância entre as 
linhas A e B, é de 512 m. O carro número 1, 
que estava parado na linha A, como indicado 
na figura, parte com aceleração de 4 m/s2, que 
mantém constante até cruzar a linha B. No 
mesmo instante em que o carro número 1 
parte (podemos considerar t = Os), o carro 
número 2 passa em MRU (Movimento 
Retilíneo Uniforme) com velocidade de 120 
km/h, que mantém até cruzar a linha B. A 
velocidade, aproximada, do carro número 1 ao 
cruzar a linha B e o carro que a cruza primeiro 
são, respectivamente,
( a ) 230 km/h e carro número 2.
( b ) 230 km/h e carro número 1.
( c ) 120 km/h e carro número 1.
( d ) 120 km/h e carro número 2.
( e ) 180 km/h e carro número 1.
B
b) 1,0
e) 2,0
bloco se movimenta 
retilineamente, do ponto A até o ponto C, 
conforme figjjra abaixo.
---------- Vo
y(m)Ji
Jk. A
E22) (Ciaba-17) Um trem deve partir de uma 
estação A e parar na estação B, distante 4 km 
de A. A aceleração e a desaceleração podem 
ser, no máximo, de 5,0 m/s2, e a maior 
velocidade que o trem atinge é de 72 km/h. O 
tempo mínimo para o trem completar o 
percurso de A a B é, em minutos, de: 
(a) 1,7 (b)2,0 (c) 2,5
(d ) 3,0
E24) (AFA-08) Uma partícula move-se com 
velocidade de 50 m/s. Sob a ação de uma 
aceleração de módulo 0,2 m/s2 , ela chega a 
atingir a mesma velocidade em sentido 
contrário. O tempo gasto, em segundos, para 
ocorrer essa mudança no sentido da 
velocidade é 
a) 500 b) 250
ELEMENTOS DA FÍSICA
E25) (AFA-12) Considere um móvel
deslocando-se numa trajetória horizontal e 
descrevendo um movimento retilíneo 
uniformemente acelerado e retrógrado. A 
alternativa que contém o gráfico que melhor 
representa o movimento descrito pelo móvel é 
c) .velocidade
ELEMENTOS DA FÍSICA
^0
a) b) c) d)
■i
■c,4,0
.c22,4
15,0
1Â
I
I
■> 
í
t(s)
I 
I
I 
I
E27) (AFA-16) Dois móveis, A e B, partindo 
juntos de uma mesma posição, porém com 
velocidades diferentes, que variam conforme o 
gráfico abaixo, irão se encontrar novamente 
em um determinado instante.
■f v
I 
I
t-(s)
100.
100.
' I .
Zi
i 
i
i 
i
i
5,0
—t—
I
I
I
I
I
I
I
I
10,0
t(s) 
b) 2,5 
d) 25
c) t2
d) t3
t'(s)
7,5.
75.
longo da trajetória, é descrita pelo diagrama v 
x t mostrado abaixo.
4 v
72
I ■
F1) (Unicamp-87) Na figura são moscados os 
gráficos da velocidade de dois ciclistas C-i e C2 
em função do tempo. Ambos partem da origem 
dos espaços em t = 0 e descrevem trajetórias 
retilíneas com movimentos no mesmo sentido. 
Com base nos dados da figura, determine:
a) O valor da aceleração do ciclista C-i no 
instante t = 5,0 s.
b) A distância entre os dois ciclistas no instante 
em que eles têm a mesma velocidade.
v (m/s)j k
*2__ *1
2t,
F2) (Unicamp-00) Um automóvel trafega com 
velocidade constante de 12 m/s por uma 
avenida e se aproxima de um cruzamento 
onde há um semáforo com fiscalização 
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a 
uma distância de 30 m do cruzamento, o sinal 
muda de verde para amarelo. O motorista deve 
decidir entre parar o carro antes de chegar ao 
cruzamento ou acelerar o carro e passar pelo 
cruzamento antes do sinal mudar para 
vermelho. Este sinal permanece amarelo por
i 
-!b 
i i i i i
i i i i i
i i i i i
t i i i i
-i----------- 1----------- 1------------ 1-------------------------- 1->
G h l4 (5 t
Considerando que os intervalos de tempo ti - 
to, t2 ~ tf, t3 — t2, t» — t3 e t5 — Í4 são todos iguais, 
os móveis A e B novamente se encontrarão no 
instante
a) Í4
b) t5
E29) (Escola Naval-09) Um carro de testes 
parte do repouso com uma aceleração 
constante de 6,00 m/s2 em uma pista retilínea. 
Ao atingir a velocidade de 216 km/h, é 
submetido a uma desaceleração constante até
t2+ti 
2t2
parar. Qual foi o módulo da desaceleração, em 
m/s2, considerando que a distância total 
percorrida pelo carro foi de 750 m?
a) 3,50 b)4,00 c)4,50 d) 5,00 e) 5,50
----- r
i \ i 
'r—X 
I 
I 
I
E28) (Escola Naval-00) Um carro de combate 
parte do repouso e percorre 4 km, com 
aceleração constante, até atingir sua 
velocidade máxima de 72 km/h, continuando a 
seguir com essa mesma velocidade. Calcule:
a) o valor da aceleração(em m/s2) do carro de 
combate, logo após a partida; e
b) a distância (em km) percorrida pelo carro de 
combate nos primeiros 20 minutos de 
deslocamento.
0
Considerando que o bloco passa pelos pontos 
A e B nos instantes 0 e t1t respectivamente, e 
para no ponto C no instante t2, a razão entre 
as distâncias percorridas pelo bloco nos 
trechos BC e AB , vale
*2 +ti b) ~
t, t2
E30) (ITA-92) Dois automóveis que correm em 
estradas retas e paralelas têm posições a 
partir de uma origem comum, dadas por: 
X, = (30t) m X2 = (1,0 . 103 + 0,2t2) m 
Calcule o(s) instante(s) t (t’) em que os dois 
automóveis devem estar lado a lado. ( Na 
resposta você deverá fazer um esboço dos 
gráficos X1 (t) e X2 (t).) 
t(s) 
a) 100 
c) 50 
e) Nunca ficaram lado a lado.
ELEMENTOS DA FÍSICA
c) 100 m
□ 00 0
gol
v(m/s)
B
0
73
2,2 s. O tempo de reação do motorista (tempo 
decorrido entre o momento em que o motorista 
vê a mudança de sinal e o momento em que 
realiza alguma ação) é 0,5 s.
a) Determine a mínima aceleração constante 
que o carro deve ter para parar antes de atingir 
o cruzamento e não ser multado.
b) Calcule a menor aceleração constante que o 
carro deve ter para passar pelo cruzamento 
sem ser multado.
a) 0 m 
d)250 m
b) 50 m 
e) 500 m
12
10
8
« 
4'
2
- r— ,,----- --- , -—--->
2 4 6 8 10 12 t<s)
Com relação aos tempos gastos pelo atleta 
para percorrer os 100 m, podemos afirmar 
que, aproximadamente.
a) no B levou 0,4s a menos que no A.
b) no A levou 0,4s a menos que no B,
c) no B levou 1,0s a menos que no A.
d) no A levou 1,0s a menos que no B.
e) no A e no B levou o mesmo tempo.
»
F6) (Fuvest-99) Na figura, estão representadas 
as velocidades, em função do tempo, 
desenvolvidas por um atleta, em dois treinos A 
e B, para uma corrida de 100 m rasos.
* A
F5) (Fuvest-98) Dois trens A e B fazem 
manobra em uma estação ferroviária 
deslocando-se paralelamente sobre trilhos 
retilíneos. No instante t = Os eles estão lado a 
lado. O gráfico representa as velocidades dos 
dois trens a partir do instante t = Os até t = 
150s, quando termina a manobra. A distância 
entre os dois trens no final da manobra é:
V<n/»>
♦5
F7) (UFRJ-98) No livreto fornecido pelo 
fabricante de um automóvel há a informação 
de que ele vai do repouso a 108 km/h (30m/s) 
em 10s e que a sua velocidade varia em
a) Suponha que a distância entre A e Z seja de 
12m. Se A parte do repouso em direção ao gol 
com aceleração de 3,0m/s2 e Z também parte 
do repouso com a mesma aceleração no 
sentido oposto, quanto tempo o jogador L tem 
para lançar a bola depois da partida de A antes 
que A encontre Z?
b) O árbitro demora 0,1s entre o momento em 
que vê o lançamento de L e o momento em 
que determina as posições dos jogadores A e 
Z. Considere agora que A e Z movem-se a 
velocidades constantes de 6,0m/s, como indica 
a figura. Qual é a distância mínima entre A e Z 
no momento do lançamento para que o árbitro 
decida de forma inequívoca que A não está 
impedido?
F3) (Unicamp-10) A Copa do Mundo é o 
segundo maior evento desportivo do mundo, 
ficando atrás apenas dos Jogos Olímpicos. 
Uma das regras do futebol que gera polêmica 
com certa frequência é a do impedimento. 
Para que o atacante A não esteja em 
impedimento, deve haver ao menos dois 
jogadores adversários a sua frente, G e Z, no 
exato instante em que o jogador L lança a bola 
para A (ver figura). Considere que somente os 
jogadores G e Z estejam à frente de A e que 
somente A e Z se deslocam nas situações 
descritas a seguir.
F4) (Unicamp-14) Correr uma maratona requer 
preparo físico e determinação. A uma pessoa 
comum se recomenda, para o treino de um dia, 
repetir 8 vezes a seguinte sequência: correr a 
distância de 1 km à velocidade de 10,8 km/h e, 
posteriormente, andar rápido a 7,2 km/h 
durante dois minutos.
a) Qual será a distância total percorrida pelo 
atleta ao terminar o treino?
b) Para atingir a velocidade de 10,8 km/h, 
partindo do repouso, o atleta percorre 3 m com 
aceleração constante. Calcule o módulo da 
aceleração a do corredor neste trecho.
r ’ ELEMENTOS DA FÍSICA
100
30
!
0 15
ti t
74
25 rfn
í
!
função do tempo de acordo com o seguinte 
gráfico.
v(rrfs^ ■
A) t < tv retardado; t > tv retrógrado
B) t < t,: acelerado; t > tv progressivo
C) t < t< retardado; t > tv acelerado
D) t < t,: acelerado; t > t< retardado
E) t < tv retardado; t > tv progressivo
—-1 i-
5 1O
tempo (s)
a) Escreva as equações da posição como 
função do tempo: Xi(t), do pedestre e x2(t), do 
ônibus.
b) Escreva as equações da velocidade como 
função do tempo: v^t), do pedestre e v2(t), do 
ônibus.
c) Em que instante de tempo a velocidade do 
pedestre em relação ao ônibus é nula?
x (m) 
15077
75
50 T
F11) (Mackenzie-03) Um automóvel está 
parado junto a um semáforo, quando passa a 
ser acelerado constantemente à razão de 5,0 
m/s2, num trecho retilíneo da avenida. Após 
4,0 s de aceleração, o automóvel passa a se 
deslocar com velocidade constante por mais 
6,0 s. Nesse instante, inicia-se uma frenagem 
uniforme, fazendo-o parar num espaço de 20 
m. A velocidade escalar média do automóvel 
nesse percurso foi de:
a) 20 km/h b) 36 km/h c) 45 km/h
d) 54 km/h e) 72 km/h
10 t (s)
Suponha que você queira fazer esse mesmo 
carro passar do repouso a 30m/s também em 
10s, mas com aceleração escalar constante.
a) Calcule qual deve ser essa aceleração.
b) Compare as distâncias d e d' percorridas 
pelo carro nos dois casos, verificando se a 
distância d' percorrida com aceleração escalar 
constante é maior, menor ou igual à distância d 
percorrida na situação representada pelo 
gráfico. F10) (UESPI-10) Numa pista de testes retilínea, 
o computador de bordo de um automóvel 
registra o seguinte gráfico do produto va da 
velocidade, v, pela aceleração, a, do 
automóvel em função do tempo, t. O analista 
de testes conclui que nos instantes t < ti e t > 
ti o movimento do automóvel era:
va
F9) (UFC-97) No gráfico abaixo estão 
representados os movimentos de um pedestre 
e de um ônibus. No instante de tempo t = 0, o 
ônibus, até então parado na posição x = 25 m, 
parte em linha reta, com aceleração constante. 
Nesse mesmo instante (t = 0), o pedestre se 
encontra na posição x = 0, correndo com 
velocidade constante, na mesma direção e 
sentido em que se desloca o ônibus.
F8) (UCS-11) Um recurso eletrônico que está 
ganhando força nos videogames atuais é o 
sensor de movimento, que torna possível aos 
jogadores, através de seus movimentos 
corporais, comandarem os personagens do 
jogo, muitas vezes considerados como 
avatares do jogador. Contudo, esse processo 
não é instantâneo: ocorre um atraso entre o 
movimento do jogador e o posterior movimento 
do avatar. Supondo que o atraso seja de 0.5 s, 
se num jogo um monstro alienígena está a 18 
m do avatar e parte do repouso em direção a 
ele para atacá-lo, com aceleração constante 
de 1 m/s2 (informação disponibilizada pelo 
próprio jogo), quanto tempo, depois do início 
do ataque, o jogador deve socar o ar para que 
seu avatar golpeie o monstro? Por 
simplificação, despreze em seu cálculo 
detalhes sobre a forma dos personagens.
a) 1.0 s b) 1.8 s c) 4.7 s
d) 5.5 s e) 7.3 s
ELEMENTOS DA FÍSICA
o
36
140 45
t(S)5
c) 700 m.
75
a) 330 m. 
d)715m.
b)480m.
e) 804 m.
8
0
-10
F15) (UFPR-15) Um veiculo está se movendo 
ao longo de uma estrada plana e retilínea. Sua 
velocidade em função do tempo, para um 
trecho do percurso, foi registrada e está 
mostrada no gráfico ao lado. Considerando 
que em t = 0 a posição do veículo s é igual a 
zero, assinale a alternativa correta para a sua 
posição ao final dos 45 s.
V(m/s) j k
F16) (UFPR-16) Um paraquedista salta de um 
avião e cai livremente por uma distância 
vertical de 80 m, antes de abrir o paraquedas. 
Quando este se abre, ele passa a sofrer uma 
desaceleração vertical de 4,0 m/s2, chegando
F17) (UFU-11) Semáforos inteligentes ajudam 
no trânsito de grandes cidades, pois além de 
possuírem regulagem de tempo, também 
informam ao motorista o momento exato emque o cruzamento será liberado ou fechado, 
evitando acidentes. Um desses semáforos 
funciona com cinco lâmpadas verdes e cinco 
vermelhas, dispostas conforme a figura abaixo.
verdes vermelhas
Quando todas as lâmpadas verdes estão 
acesas, o trânsito é liberado, sendo que a cada 
10s uma delas se apaga. Quando a última 
lâmpada verde se apaga, instantaneamente as 
cinco vermelhas se acendem, bloqueando o 
trânsito. A respeito de tal semáforo, considere 
as três situações apresentadas abaixo.
I. Um motorista que trafega à velocidade 
constante de 36 km/h avista o semáforo no 
exato momento em que a primeira lâmpada 
verde se apaga. Se ele estiver a 100 m do 
semáforo, conseguirá ultrapassar o 
cruzamento antes de as lâmpadas vermelhas 
se acenderem.
II. Se um motorista que trafega à velocidade 
constante de 36 km/h, no exato momento em 
que vê a quarta lâmpada verde se apagar, 
imprimir uma aceleração constante de 2m/s2 
ao seu carro, conseguirá passar pelo 
cruzamento antes que a primeira lâmpada 
vermelha se acenda, pois está a 400 m do 
semáforo.
III. Se um motorista que trafega à velocidade 
constante de 36 km/h perceber, a 25 m de 
distância do semáforo, que as lâmpadas 
vermelhas estão acesas, ele terá de imprimir 
uma desaceleração constante mínima de
F12) (Mackenzie-03) Em uma pista retilínea, 
um atleta A com velocidade escalar constante 
de 4,0 m/s passa por outro B, que se encontra 
parado. Após 6,0 s desse instante, o atleta B 
parte em perseguição ao atleta A, com 
aceleração constante e o alcança em 4,0 s. A 
aceleração do corredor B tem o valor de: 
a) 5,0 m/s2 b) 4,0 m/s2 c) 3,5 m/s2 
d) 3,0 m/s2 e) 2,5 m/s2
m/s2, determine:
a) O tempo total que o paraquedista 
permaneceu no ar, desde o salto até atingir o 
solo.
b) A distância vertical total percorrida pelo 
paraquedista.
F14) (UFPR-12) Um míssil é lançado 
verticalmente do solo, partindo do repouso, e 
se desloca com uma aceleração constante de 
50 m/s2. Após um intervalo de tempo, ele 
atinge um avião espião localizado a uma 
altitude de 10 km em relação ao solo e 
exatamente acima do ponto de seu 
lançamento. Supondo que o avião estivesse se 
movimentando em linha reta e com velocidade 
constante de 720 km/h, determine a que 
distância horizontal encontrava-se o avião no 
instante em que o míssil foi lançado.
ao solo com uma velocidade vertical de 
módulo 2,0 m/s. Supondo que, ao saltar do 
avião, a velocidade inicial do paraquedista na 
vertical era igual a zero e considerando g = 10
F13) (UEL-87) Um trem deve partir de uma 
estação A e parar na estação B, distante 4000 
m de A. A aceleração e a desaceleração 
podem ser, no máximo, de 5,0 m/s2, e a maior 
velocidade que o trem atinge é de 20 m/s. O 
tempo mínimo para o trem completar 
percurso de A a B é, em segundos, de: 
a) 98 b) 100 c) 148 d) 196 e) 204
ELEMENTOS DA FÍSICA
s
D
B
C
A
20 r-
143,4 - -
II33.0 - - 5
°o
A do
c) 1,1.
76
I
9,58
F20) (FATEC-11) Um atleta inicia seu treino a 
partir do repouso e começa a cronometrar seu 
desempenho a partir do instante em que está a 
uma velocidade constante. Todo o percurso 
feito pelo atleta pode ser descrito por meio 
de um gráfico da sua posição (s) em função 
do tempo (t), conforme figura a seguir.
F22) (EEAR-00) Durante um ataque pirata a 
um navio cargueiro, os canhões de ambos 
acertaram-se mutualmente. Admitindo que não 
houvesse movimento relativo entre os dois 
navios, ou seja, que estivessem em repouso e 
que a resistência do ar fosse desprezível, qual 
seria o valor aproximado, em graus, do ângulo 
entre cada canhão e a horizontal ( convés ) do
0 9,58 9,70 l(s)
Pode-se afirmar que, quando Usain Bolt 
cruzou a linha de chegada, Tyson Gay estava 
atrás dele, em metros, 
a) 0,5. b) 0,8.
d) 1,5. e) 1,9.
de 
com 
sua
F21) (UFG-12) O gráfico a seguir representa o 
movimento retilíneo de um automóvel que se 
move com aceleração constante durante todo 
o intervalo de tempo.
25 -
F19) (FMJ-10) Considere que o gráfico a 
seguir mostre como variaram, 
aproximadamente, as velocidades, em km/h, 
do vencedor Usain Bolt (gráfico I) e do norte- 
americano Tyson Gay, o segundo colocado 
(gráfico II), a partir dos 60 m da prova até 
cruzarem a linha de chegada.
V (km/h)
F18) (Acafe-12) Para garantir a segurança no 
trânsito, deve-se reduzir a velocidade de um 
veículo em dias de chuva, senão vejamos: um 
veículo em uma pista reta, asfaltada e seca, 
movendo-se com velocidade de módulo 36 
km/h (10 m/s) é freado e desloca-se 5,0 m até 
parar. Nas mesmas circunstâncias, só que 
com a pista molhada sob chuva, necessita de 
1,0 m a mais para parar. Considerando a 
mesma situação (pista seca e molhada) e 
agora a velocidade do veículo de módulo 108 
km/h (30 m/s), a alternativa correta que indica 
a distância a mais para parar, em metros, com 
a pista molhada em relação a pista seca é: 
a) 6 b) 2 c)1,5 d) 9
£ 10
distância 
automóvel 
coordenadas, sua velocidade inicial e sua 
aceleração são, respectivamente,
(A) 3,75 m, -2,5 m/s e 1,25 m/s2.
(B) 3,75 m, -2,5 m/s e 2,50 m/s2.
(C) 3,75 m, -10 m/s e -1,25 m/s2.
(D) 5,00 m, 10 m/s e 1,25 m/s2.
(E) 5,00 m, 2,5 m/s e 2,50 m/s2.
----------------------------------------------------------------------► t
Se marcarmos os pontos A, B, C e D nesse 
gráfico, podemos afirmar que as velocidades 
instantâneas VA, VB, Vc e VD, respectivamente 
nesses pontos, são tais que obedecem à 
seguinte ordem crescente:
a) VA < VB < Vc < Vq.
b) VB < Vc < VA < VD.
c) VD < Vc < VB < VA.
d) Vc < VD < VB < VA.
e) VA < Vc < VD < VB.
Tempo (s) 
maior aproximação 
a origem do sistema de
2m/s2 para que o carro pare até o semáforo. 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) 
afirmativa(s) corretas.
a) Apenas II e III. b) Apenas III.
c) Apenas I e III. d) Apenas II.
ELEMENTOS DA FÍSICA«Bi®
s(m)
B
d) 30
14 A
o 4 7 8 t(s)
100
80
60
40
20
t(min)
0
35 40 45
A Be
77
Dois 
com
automóveis 
movimento
b) 6 e 42 
d) 12e78
( b ) 52,8 km.
( d ) 59,4 km.
32
28
b) 2 e 16
d) 2,57 e 16
F23) (EEAR-02) Um projétil foi disparado em 
um local onde se admite que qualquer tipo de 
atrito seja desprezível e que a aceleração da 
gravidade seja igual a 10 m/s2 (constante). A 
direção do disparo formou um ângulo com a 
superfície horizontal de 30°, e a velocidade 
inicial do projétil valia Vo. A distância horizontal 
percorrida pelo projétil, 2 segundos após o 
disparo, vale, em metros, 
a)73V0 b)iV0 c)-y-Vo d)lv0
trajetória, cujos gráficos horários são dados 
por:
No instante em que A e B se encontram, os 
módulos das velocidades de A e de B valem, 
respectivamente, 
a) 2 e 12 
c) 2,57 e 12
5 10 15 20 25 30
O espaço total percorrido é de 
(a)48,3km.
( c ) 55,7 km.
( e ) 61,5 km.
navio? Considere a distância entre os navios 
de SoVãm , g = l0m/s2 , velocidade inicial do 
projétil (bala) 40m/s e utilize a relação sen a . 
cos a = sen ( 2a ) , em que a é o ângulo 
entre o canhão e o convés, 
a) 90 b) 60 c) 45
F25) (AFA-96) 
deslocam-se com movimento retilíneo 
horizontal uniformemente variado, no mesmo 
sentido e, ao passarem por um sinal de 
trânsito, A ultrapassa B. Neste instante a 
velocidade e a aceleração valem, 
respectivamente; 12m/s e 4m/s2 para o 
automóvel A, e 6 m/s e 6 m/s2 para o 
automóvel B. O tempo, em segundos, 
decorrido até que B ultrapasse A e sua 
velocidade, em m/s, neste instante, valem, 
respectivamente: 
a) 4 e 30 
c) 8 e 54
F26) (AFA-98) Duas partículas A e B 
desenvolvem movimentos sobre uma mesma
F24) (Ciaba-15) Um carro se desloca, partindo 
do repouso, segundo o gráfico dado: 
1201 v(km/h)
F28) (ITA-64) De uma estação parte um trem A 
com velocidade constante VA = 80 km/h. 
Depois de um certo tempo parte dessa mesma 
estação um outro trem B com velocidade 
constante VB = 100 km/h, no mesmo sentido 
de A e sobre os mesmos trilhos. Depois de 
um tempo de percurso o maquinista de B 
verifica que o seu trem se encontra a 3 km de 
A; a partir desse instante ele aciona os freios 
indefinidamente, comunicando ao trem B uma 
aceleração a = - 50 km/h2. Nestas condições:( ) A. não houve encontro dos trens.
( ) B. depois de duas horas o trem B para e 
a distância que o separa de A é de 64 km.
( ) C. houve encontro dos trens depois de 12 
minutos.
( ) D. houve encontro dos trens depois de 36 
minutos.
( ) E. não houve encontro dos trens; eles
continuam caminhando e a distância que os 
separa agora é de 2 km.
(ITA-67) O diagrama representa, 
aproximadamente, a velocidade de um 
pequeno foguete, com um só estágio, lançado 
verticalmente. Aplica-se aos problemas 5, 6, 7 
e 9.
F27) (Ciaba-03) O “tempo médio de 
reação” de um motorista, isto é, o tempo 
considerado entre ele perceber o sinal para 
parar e o momento de apertar os freios é de 
cerca de 0,7 segundos. Se um automóvel 
pode ser desacelerado a 5m/s2, a distância 
total percorrida entre a percepção do sinal e a 
parada do carro que vinha com uma 
velocidade de 30 km/h é, em metros, 
aproximadamente, igual a 
a) 9,7 b) 10,6 c) 11,5 d) 12,8 e) 13,7
ELEMENTOS DA FÍSICA
partir do instante t = 6 s será:
0
-s».
C) 5,0 s.
X
o
78
sa>.
%
uma
em
(B) 390 m
(E) 700 m
b)x = 18 + 3t-2t2 
d) x = - 72 + 27t - 2Í2
F31) O foguete atinge sua altitude máxima no 
instante 
A) 10,0 s.
D) 114,8 s.
B) 2,5.10 m/s2.
C) 50,0 m/s2. D) 9,8 m/s2
E) nenhum dos valores acima.
B) 60,0 s. 
E) nda
B)x = kt2 
D) x = k cos b t
A3) (UFSC-02) Dois ciclistas, A e B, disputam 
uma corrida cuja distância total é de 1200 
metros, do ponto de partida até a faixa de 
chegada. O gráfico abaixo mostra a velocidade 
dos ciclistas A e B em função do tempo.
F29) Enquanto o motor está funcionando a 
aceleração é 
A) 5,00.103 m/s2.
to
A1) (UEM-10) No último campeonato mundial 
de atletismo disputado em Berlim, Usain Bolt, 
atleta jamaicano, quebrou seu próprio recorde 
mundial dos 100 metros rasos. Ele concluiu a 
prova no incrível tempo de 9,58 segundos. 
Uma análise minuciosa dessa façanha mostra 
que os primeiros 5 metros da prova ele 
cumpriu em 0,58 segundos e os outros 95 
metros foram cumpridos com velocidade 
constante. Com base nessas informações, 
analise as alternativas abaixo e assinale o que 
for correto.
01. A velocidade média com que ele executa a 
prova é maior que 36 km/h.
02. A aceleração média nos primeiros 5 metros 
de prova é maior que a aceleração de um 
corpo em queda livre.
04.A velocidade com que ele concluiu a prova 
é de 38 km/h.
08. Qualquer atleta que realizar essa prova 
com uma aceleração constante de 2,5 m/s2 
conseguirá quebrar o recorde de Bolt.
16. Qualquer atleta que realizar essa prova 
com uma velocidade constante de 10 m/s 
conseguirá quebrar o recorde de Bolt
F32) A altitude máxima atingida pelo foguete é
A) 3,00.104m. B)2,50.103m.
C) 1,500.104m. D)5,00.102m.
E) nenhum dos valores acima.
A2) (UFG-08) A pista principal do aeroporto de 
Congonhas em São Paulo media 1.940 m de 
comprimento no dia do acidente aéreo com o 
Airbus 320 da TAM, cuja velocidade tanto para 
pouso quanto para decolagem é 259.2 km/h. 
Após percorrer 1.240 m da pista o piloto 
verificou que a velocidade da aeronave era de 
187.2 km/h. Mantida esta desaceleração, a 
que distância do fim da pista o piloto deveria 
arremeter a aeronave, com aceleração máxima 
de 4 m/s2, para evitar o acidente?
(A) 312 m (B) 390 m (C) 388 m
(D) 648 m
a) x = 3t - 2t2 
c)x = 18 - 2t2 
e)x = 27t-2t2
A) x = k (t - to) 
C) x = k (t +1 o)2 
E) x = k cos bt
F33) (ITA-72) Um móvel descreve 
trajetória retilínea tendo sua posição 
função do tempo descrita pelo gráfico. Essa 
posição poderá ser expressa analiticamente 
por: (k e b constantes)
F30) A altura em que o motor deixa de 
funcionar é 
A)5,00.10m. B)2,50.10m. C) 5,00.103m.
D) 1,00.103m. E) nenhum dos valores acima.
F34) (ITA-83) Um móvel parte da origem do 
eixo x com velocidade constante igual a 3 
m/s. No instante t = 6 s o móvel sofre uma 
aceleração y = - 4 m/s2. A equação horária a
ELEMENTOS DA FÍSICA
16 -
14 -
12 -
10 *
8 -
V
6 -
4 -
V
2 -
SF_MÃFOR(
J , L
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94 m
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//■•••? \ i
M
£
£
£ 
£
A4) (UEG-12) Considere dois anéis com raios 
a e b, sendo b > a. No instante t = 0, os dois 
anéis se encontram com seus centros na 
origem. Sabendo-se que as acelerações dos 
anéis são a! e a2 e que ambos partem do 
repouso, a distância que o centro do anel 
menor percorrerá até que sua extremidade 
toque no anel maior será de: 
a)a1(b-a)/(a1-a2) 
bja^b-a^a,* a2)
c) a,(b + a)/(ai - a2)
d) a,(b + a)/(a! + a2)
o -- 
0
A6) (Unesp-13) Dois automóveis estão 
parados em um semáforo para pedestres 
localizado em uma rua plana e retilínea. 
Considere o eixo x paralelo à rua e orientado 
para direita, que os pontos A e B da figura 
representam esses automóveis e que as 
coordenadas xA(0) = 0 e xs(0) = 3, em metros, 
indicam as posições iniciais dos automóveis.
j
A5) (UFU-98) Uma pessoa está dirigindo seu 
carro ao longo de uma avenida, onde a 
velocidade máxima permitida é de 60 km/h.
Quando se encontra a 94 m da faixa de 
pedestre, o sinal é fechado por 40 segundos, 
fazendo com que o motorista acione os freios 
com aceleração constante, de modo a parar 
em 6 segundos. Despreze o tempo de reação 
do motorista. Sabendo-se que o coeficiente de 
atrito entre os pneus e o asfalto é 0,6 (valor 
típico) e adotando g = 10 m/sz, discuta se a 
pessoa infringiu as Leis do Novo código 
Brasileiro de Trânsito. Em caso afirmativo, 
dizer o mínimo de infrações cometidas, 
considerando que as principais infrações 
previstas no referido código são: avançar sinal 
vermelho; deixar de dar preferência de 
passagem a pedestre que esteja na faixa; 
dirigir embriagado; transitar em rodovias com 
velocidade acima de 20% da máxima permitida 
ou a mais de 50% da máxima permitida em 
vias públicas; participar de rachas ou pegas; 
não usar cinto de segurança; estacionar em fila 
dupla; deixar de reduzir a velocidade do 
veículo próximo a escolas e hospitais etc.. Veja 
figura abaixo.
Stjíi
0 3 x (m)
Os carros partem simultaneamente em 
sentidos opostos e suas velocidades escalares 
variam em função do tempo, conforme 
representado no gráfico.
I ' I ' I ' I ■ I ' I ' I ’ I ■ I ' I 1 I ■ I ' I
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 
Tempo (segundos)
Observando o gráfico apresentado, assinale 
a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. No sexagésimo segundo, o ciclista A está 
150 metros à frente do ciclista B.
02. A aceleração do ciclista A, nos primeiros 
quarenta e cinco segundos, é de 1m/s2.
04. No centésimo trigésimo quinto segundo, o 
ciclista S está 150 metros à frente do ciclista A.
08. O ciclista B nunca alcança o ciclista A.
16. O ciclista A venceu a disputa porque 
percorreu os 1200 metros em 150 segundos, e 
o ciclista B gastou 165 segundos.
32. No centésimo sexagésimo quinto segundo, 
o ciclista B está a apenas 7,5 metros da faixa 
de chegada, e o ciclista A encontra-se a 52,5 
metros da faixa de chegada. Portanto, o 
ciclista B vence a corrida.
64. A corrida termina empatada, pois ambos os 
ciclistas percorrem os 1200 metros em 165 
segundos.
V(m/s)
carro A
10
0 85
X
-10
carro B
(D)(A)
0 t
(E)(B)
0
t
X
(C)
0
0 3 4
V
d) 8,0
80
—►
1 (S)
0 500 x(m)
A figura acima mostra duas partículas A e B se 
movendo em pistas retas e paralelas, no 
sentido positivo do eixo x. A partícula A de
Í(S)
A8) (Escola Naval-16) Analise a figura abaixo.
VB
B0-»_______________________
move com velocidade constante de módulo vA 
= 8,0 m/s. No instante em que A passa pela 
posição x = 500 m, a partícula B passa pela 
origem, x = 0, com velocidade de vB = 45 m/s e 
uma desaceleração constante cujo módulo é 
1,5 m/s2. Qual dos gráficos abaixo pode 
representar cujo módulo é 1,5m/s2. Qual dos 
gráficos abaixo pode representar as posições 
das partícula A e B em função do tempo?
Xa
A9) (ITA-68) Uma escada de pintor escorrega 
e abre-se como vemos na figura. O 
comprimento da escada é AB = 3,0 metros. A 
velocidade dos pés é constante e vale v = 
2m/s. Sabendo-se que no instante inicial a 
escada está fechada, tem-se que :
à
.A 
B B
A) a extremidade A descreve uma trajetóriacurva.
B) o movimento do ponto A é uniformemente 
acelerado.
C) a velocidade do ponto A é constante.
D) o tempo gasto para A chegar ao solo é 2,5 
segundos, independentemente do 
comprimento da escada.
E) Nenhuma das afirmações acima é correta.
Xa
ELEMENTOS DA FÍSICA
A7) (AFA-13) Duas partículas, a e b, que se 
movimentam ao longo de um mesmo trecho 
retilíneo tem as suas posições (S) dadas em 
função do tempo (t), conforme o gráfico abaixo.
ÃS(m) a
Considerando que os automóveis se 
mantenham em trajetórias retilíneas e 
paralelas, calcule o módulo do deslocamento 
sofrido pelo carro A entre os instantes 0 e 15 s 
e o instante t, em segundos, em que a 
diferença entre as coordenadas xA e xB, dos 
pontos A e B, será igual a 332 m.
b
O arco de parábola que representa o 
movimento da partícula b e o segmento de reta 
que representa o movimento de a tangenciam- 
se em t = 3 s. Sendo a velocidade inicial da 
partícula b de 8 m/s, o espaço percorrido pela 
partícula a do instante t = 0 até o instante t = 4 
s, em metros, vale 
a) 3,0 b) 4,0 c) 6,0
ELEMENTOS DA FÍSICA
A2
0
80 (1
B
B alcançará A
( )B.t =( )A.
At
( )E.
5?
48
+ t(s)
a
‘ifloOtQQ
81
«(»)
C) x, = x2
Podemos concluir que:
V (m/í)
B) a-, > a2 
E) nda
c)4, 9, 15, 20, 24. 
e) 3, 7, 9, 10, 13.
a) 3, 11, 13, 20, 30. b) 4, 7, 9, 20, 13.
d) 4, 6, 9, 10, 13.
M’.4
A) a-j — a2 
D) x, < x2
A10) (ITA-76) Duas partículas, A 
deslocam-se ao longo do eixo 0-x 
velocidades dadas pelo gráfico ao lado, sendo 
que no instante t0 = 0 ambas estão na origem 
do sistema de coordenadas. No instante t = 2 s, 
A e B estão, respectivamente, nos pontos de 
abscissas Xi e x2, com acelerações ai e a2.
v(mzs)
A11) (ITA-77) A curva da figura ao lado é a 
representação gráfica da equação horária de 
um movimento retilíneo. Ela é constituída por 
um trecho de um ramo de parábola cujo vértice 
está localizado no eixo s. Neste movimento:
.. S fm}
v(m/s)
6
A12) (ITA-78) Duas partículas, A e B, partem 
do repouso, em movimento retilíneo, segundo 
o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que as 
distâncias, em metros, entre as partículas A e 
B, nos instantes 2s, 3s, 4s, 5s e 7s, têm, 
respectivamente, os valores indicados na 
alternativa:
e B, 
com
( )D.t
í,»o 
il-')
( ) A. tE = 8,00 s e VBA = 4,00 m.s"';
( ) B. tE = 4,00 s e VBA = 0,00 m.s’1;
( ) C. tE = 10,00 s e VBA = 6,00 m.s'1;
( ) D. O problema como foi proposto não tem 
solução;
( ) E. tE = 8,00s e VBA = 4,00 m.s’';
A14) (ITA-81) Dois móveis A e B percorrem 
uma mesma reta, no mesmo sentido, de tal 
maneira que, no instante t = 0,00 s a 
distância entre eles é de 10,0 m. Os gráficos 
de suas velocidades são os da figura ao lado. 
Sabe-se que os móveis passam um pelo outro 
num certo instante tE > 0 , no qual a 
velocidade de B em relação A tem um certo 
valor VBA -
A13) (ITA-80) Um móvel A parte da origem 
0, com velocidade inicial nula, no instante to = 
0 e percorre o eixo Ox com aceleração 
constante 3. Após um intervalo de tempo At, 
contado a partir da saída de A, um segundo 
móvel, B , parte de 0 com uma aceleração 
igual a «3, sendo n > 1 . 
no instante :
Vn-1 t
( )C.t =
:3 . 4
0 4 2 3
A) a velocidade inicial é nula e a aceleração é 
de -6 m.s'2.
B) a velocidade inicial é 48 m.s'1 e 
aceleração de 6 m.s'2.
C) a aceleração é de -39 m.s'2.
D) a velocidade média no intervalo de 0 a 2 
segundos é de 9 m.s'1.
E) Nenhuma destas afirmações é correta.
9 l(s)
1/ 1
i 6 í 7
•wV/A
30
20
A
010
O 2
B) 2 e 3 C) 1 e2
cresce
500
. Pan,cu:a 1
9adicu:a 2«O r-
300
200 \
100
(ITA-90)A17)
3,0
2,0
1,0
t(s)
10,00 2,0 4,0 6,0 8,0
82
ia A
a)
b)
c)
d)
e)
A16) (ITA-86) O gráfico a seguir representa as 
posições das partículas (1), (2) e (3), em 
função do tempo. Calcule a velocidade de 
cada partícula no instante t = 4 s. 
i * m
ELEMENTOS DA FÍSICA
Neste caso pode-se afirmar que:
a) A velocidade média entre t = 4s e t = 8s é 
de 2,0 m/s.
b) A distância percorrida entre t = Os e t = 4s 
é de 10 m.
c) Se a massa do corpo é de 2,0 kg a 
resultante das forças que atuam sobre ele 
entre t = Os e t = 2s é de 0,5N.
d) A sua aceleração média entre t = 0 s e t = 8 
s é de 2,0 m/s2.
e) Todas as afirmativas acima estão erradas.
ts
8 10
v3 (m/s) 
100 
35 
-20 
20 
35
A15) (ITA-68) Três carros percorrem uma 
estrada plana e reta com as velocidades em 
função do tempo representadas pelo gráfico ao 
lado. No instante t = 0 os três carros passam 
por um farol. A 140 m desse farol há outro 
sinal luminoso permanentemente vermelho. 
Quais dos carros ultrapassarão o segundo 
farol ?
A18) (ITA-01) Uma partícula, partindo do 
repouso, percorre no intervalo de tempo t, uma 
distância d. Nos intervalos de tempo seguintes, 
todos iguais a t, as respectivas distâncias 
percorridas são iguais a 3D, 5D, 7D etc. a 
respeito desse movimento pode-se afirmar 
que:
a) a distância da partícula desde o ponto em 
que inicia seu movimento cresce 
exponencialmente com o tempo.
b) a velocidade da partícula 
exponencialmente com o tempo.
c) a distância da partícula desde o ponto em 
que inicia seu movimento é diretamente 
proporcional ao tempo elevado ao quadrado.
d) a velocidade da partícula é diretamente 
proporcional ao tempo elevado ao quadrado.
e) nenhuma das opções acima é correta.
A19) (ITA-02) Billy sonha que embarcou em 
uma nave espacial para viajar até o distante 
planeta Gama, situado a 10,0 anos-luz da 
Terra. Metade do percurso é percorrido com 
aceleração de 15 m/s2, e o restante com 
desaceleração de mesma magnitude. 
Desprezando a atração gravitacional e efeitos 
relativistas, estime o tempo total em meses de 
ida e volta da viagem do sonho de Billy. 
Justifique detalhadamente.
A) Nenhum dos três
D) 1 e 3 E)1,2e3
4 6
v2 (m/s)
25
zero
25 
zero
25
>3rticj'a 3I I l~~l~
2
v, (m/s)
50
-75
-75
-50
+75
A20) (IME-78) O trem I desloca-se em linha 
reta, com velocidade constante de 54 km/h, 
aproximando-se do ponto B, como mostra a 
figura. Determine quanto tempo após a 
locomotiva do trem I atingir o ponto A, deve o 
trem II partir do repouso em C, com aceleração 
constante de 0,2 m/s2 de forma que, 10 
segundos após terminar a sua passagem pelo 
ponto B, o trem inicie pelo mesmo ponto.
NOTAS:
1) Ambos os trens medem 100 metros de 
comprimento, incluindo suas locomotivas, que 
viajam à frente.
2) As distâncias ao ponto B são:
I 10
Um corpo em movimento 
retilíneo tem a sua velocidade em função do 
tempo dada pelo gráfico abaixo:
v(m/s)
5 í
ELEMENTOS DA FÍSICA
Trem I
■BA
V|
*t
ti
83
ti..
AB = 3.000 m
CB = 710m
A29) (ITA-74) Na questão anterior qual a 
velocidade da partícula P no ponto de encontro? 
a) - 8 m/s. b) -16 m/s. c) 32 m/s.
d) 16 m/s.
b) - 0,2 m/s2. c) 2 m/s2. 
e) - 1 m/s2.
b) -16 m/s. 
e) - 32 m/s.
h
b) t = /j + (r2 — /,)
d) t = t2 + -Jt|(/2 —/,)
a) / = í, + r2
c)r = r, +V/2(r2-r,)
e) t = r2 + (r2 — /,)
A22) A figura abaixo representa o gráfico 
velocidade-tempo de dois pontos que se 
movem sobre a mesma reta e que partem da 
mesma posição inicial. São conhecidos os 
tempos ti e t2. Depois de quanto tempo os 
pontos se reencontrarão?
A25) Um corpo, em movimento retilíneo 
uniformemente acelerado, percorre 55m em 2s. 
Durante os 2s seguintes, ele percorre 77m. 
Calcular a velocidade inicial e a aceleração do 
corpo. Que distância ele percorre nos 4s 
seguintes?
A21) São dados dois eixos OX e OY 
retangulares que se cortam num ponto O. A e 
B são dois pontos situados respectivamente 
sobre OX e OY a 10 m e 20 m do ponto O. 
Num dado instante partem do repouso de A e 
B dois móveis dirigindo-se para o ponto O com 
movimentos uniformemente acelerados com 
aceleração igual a 1 m/s2. Pede-se determinar:
a) Quanto após o referido instante a distância 
entre os dois móveis é mínima;
b) A distância mínima;
c) A distância ao ponto O dos dois móveis no 
instante em que é mínima a distância entre 
eles.
A23) Um carro percorre a linha OX com 
movimento uniformemente acelerado. Nos 
instantes t, e t2, suas posições Xi e x2, 
respectivamente. Mostre que a aceleração do 
carro éa = .
M2O2 ~ M
uniformes ai e a2 respectivamente. Se eles 
alcançam o ponto final no mesmo instante, 
mostre que a distância percorrida até esse
, ... 2(v, -v2)(v1a2 - v2a,)ponto e dada por ——!z 1 ,———.
(3,-32/
A24) Dois carros passam por um mesmo ponto 
com velocidade v, e o outro com velocidade v2, 
em movimento retilíneo e acelerações
■■MaaMMMKMM»«aMMKMMNfrUIMMl '-vdaMMBNWMr
A28) (ITA-74) Duas partículas (P e Q) 
deslocam-se sobre o eixo x com as respectivas 
posições dadas por:
P) x = 16 + 40/ e
Q) x = bct3, para x em metros, t em segundos e 
c = 1 s -1. Qual deve ser o valor de b para que 
uma partícula alcance a outra em 2 s?
a) 4 m/s2.
d) - 2 m/s2.
A27) Um trem leva quatro minutos para ir se 
movimentar da estão A para a estação B, 
distante 4 quilômetros uma da outra na 
primeira parte do trajeto possui aceleração 
constate ai e na parte final freia com 
1 1aceleração a2. Mostre que — + —= 2, onde 
a, a2
ai e a2 são dados em km/min2.
Trem 11 [_ i
^3 ■
1
A26) Um carro inicialmente em repouso 
começa a se mover com aceleração a 
constante, em seguida começa a parar com 
aceleração b, até chegar ao repouso. Se t é o 
tempo gasto desde o inicio do movimento, até 
o fim, Determine a distância percorrida pelo 
carro e a velocidade máxima alcançada por ele.
A30) (ITA-75) Uma partícula move-se ao longo 
do eixo x de tal modo que sua posição é dada 
por: x = 5 t3 + 1 (SI). Assinale a resposta 
correta:
a) A velocidade no instante t = 3,0 s é 135 m/s.
b) A velocidade no instante t = 3,0 s é 136 m/s.
c) A velocidade média entre os instantes t = 
2,0 s e t = 4,0 s é igual à velocidade 
instantânea no instante t = 3,0 s.
d) A velocidade média e a velocidade 
instantânea são iguais ao longo de qualquer
B
A vA
84
a) 3 m/s
d) 2^3 m/s
intervalo de tempo.
e) A aceleração da partícula é nula.
A37) Considere uma partícula movendo-se na 
direção vertical, em movimento retilíneo, de tal 
forma que a equação horária é dada por: 
y = t3-7,5t2+ 12t
Considerando-se todos os dados no sistema SI, 
determine o intervalo de tempo para o qual o 
movimento é retrógrado
60°/
A41) Dados experimentais indicam que em 
uma região da corrente de ar que sai por uma 
janela de ventilação, a velocidade do ar 
emitido está definido por v = 0,18vq/x, onde v e 
x são expressos em m/s e metros, 
respectivamente, e v0 é a velocidade de saída 
inicial do ar.
A33) (Seletiva Brasileira IPhO-02) Uma barra 
rígida, de comprimento t, está apoiada no 
canto de uma sala (vide figura abaixo). O 
extremo A desliza pela parede enquanto o 
extremo B desliza pelo solo. Encontre a 
aceleração do ponto C (centro da barra) em 
função do ângulo a, se a velocidade do ponto 
B for constante. Despreze todas as forças de 
atrito.
A40) Uma partícula parte desde o repouso na 
origem e recebe uma aceleração a = k(x + 4)2, 
onde a e x se expressam em m/s2 e m, 
respectivamente, e k é uma constante. Sabe- 
se que a velocidade da partícula é de 4 m/s 
quando x = 8 m, determine
a) o valor de k,
b) a posição da partícula quando v = 4.5 m/s,
c) a velocidade máxima da partícula.
A39) A aceleração de uma partícula está 
definida pela relação a = - k/x. Sabe-se que v 
= 15 m/s quando x = 0,6 m e que v = 9 m/s 
quando x = 1,2 m. Determine
a) a velocidade da partícula quando x = 1.5 m,
b) a posição da partícula quando sua 
velocidade é zero.
A38) A aceleração de uma partícula é 
diretamente proporcional ao quadrado do 
tempo t. Quando t = 0, a partícula está em x = 
24 m. Se para t = 6 s tem-se x = 96 m e v = 18 
m/s, expresse x e v em termos de t.
A36) O movimento de uma partícula está 
definido pela relação x = 6t4 - 2t3 - 12t2 + 3t + 
3, onde x e t se expressam em metros e 
segundos, respectivamente. Determine o 
tempo, a posição e a velocidade quando a = 0.
A34) O movimento de uma partícula está 
definido pela relação x(t) = 1,5f* - SOt2 + 5t +
ELEMENTOS DA FÍSICA
A31) (ITA-87) Uma gota d’água cai 
verticalmente através do ar, de tal forma que 
sua altura h medida em metros a partir do 
solo varia com o tempo (em s) de acordo 
com a equação
h = 0,90 - 0,30t - 9,3 x 10’2 e "3-2* 
Podemos afirmar que sua velocidade em 
cm.s"’ obedece à lei: 
a) v = -9,8 x 10^ 
c) v = -30 + 30 e -3 2t 
e) v = 30 -9,3 e -3'2‘
A35) O movimento de uma partícula está 
definido pela relação x = 6Í2 - 8 + 40.cos7tt, 
onde x e t se expressam em metros e 
segundos, respectivamente. Determine a 
posição, a velocidade e a aceleração da 
partícula quando t = 6 s.
10, onde x e t são expressos em metros e 
segundos, respectivamente. Determine a 
posição, a velocidade e a aceleração da 
partícula quando t = 4 s.
A32) (IME-71) Na figura abaixo, a barra AB se 
move de modo que sua extremidade inferior se 
desloca horizontalmente para a direita, com 
velocidade constante vA = 3 m/s. A outra 
extremidade se desloca sempre apoiada no 
plano vertical. Quando a barra estiver 
formando um ângulo de 60° com a horizontal, 
a velocidade da extremidade superior será de:
I
■Ji
b)— m/s c) 6 m/s
e)V3 m/s
b) v =-30 + 28,83 e ■3,2t 
d) v = 30 e'3,21
ELEMENTOS DA FÍSICA
3 a
N
0-4- L
S
150 160
ocorre
quando
85
»B 
I I
as 420
A43) O movimento de uma partícula é definido 
pelo vetor posição
r = A(cos t +1.sen t)i + A(sent -1.cost)j, 
no qual t é expresso em segundos. Determine 
os valores de t para os quais os vetores 
posição e de aceleração são:
a) perpendiculares;
b) paralelos.
Para v0 = 3,6 m/s, determine
a) a aceleração do ar quando x = 2 m,
b) o tempo requerido para que o ar flua de x =
1 m a x = 3 m.
4-r-r 
60 90 120
A42) A velocidade de uma partícula é 
v = v0[1 - sen(7tt/T)]. Sabe-se que a partícula 
parte desde a origem com uma velocidade 
inicial Vo, determine:
a) sua posição e sua aceleração em t = 3T;
b) sua velocidade média durante o intervalo de 
t = 0 a t = T.
A45) (OBF-15) Uma 
automóvel movem-se 
aproximando-se de um cruzamento. No 
instante inicial, apresentado na figura a seguir,
> ■ \\\\\\W
ii i r
270 33 330 360
A46) (OBF-14) Um veículo, viajando em linha 
reta do ponto A ao ponto B, está com um 
problema no motor o que causa vazamento de 
óleo. Uma gota de óleo cai do motor a cada 3 s 
e a figura abaixo mostra o padrão das marcas 
de óleo no asfalto da rodovia.
AM-i—T-r i*i i i«i
0 30 cO 90 120 150 160 210 240
Tetros
a) Qual a velocidade média do carro entre 0 e 
18 segundos?
b) Qual a aceleração média entre 0 e 6 
segundos?
c) Qual a aceleração média entre 12 e 18 
segundos?
a locomotiva está a 120 m ao sul da passagem, 
viajando na direção norte-sul, sentido norte, 
com velocidade constante de 72 km/h. e o 
automóvel está 60 m a oeste da passagem, 
viajando na direção leste-oeste, sentido leste 
com velocidade de 36 km/h e aceleração de 
4,0 m/s2. No instante t = 2 s, determine a:
a) distância entre a locomotiva e o automóvel.
b) velocidade da locomotiva em relação ao 
automóvel. Despreze as dimensões do 
automóvel e da locomotiva.
i
: :■h
locomotiva e um 
perpendicularmente, 
i cruzamento.
A44) A velocidade de um corredor é definida 
mediante a relação v = v’sen(a>nt + <t>). A 
velocidade e a posição para t = O são dadas 
por v0 e x0, respectivamente. Sabe-se que o 
deslocamento máximo do corredor é 2x0. 
Demonstre que:
a) v' = l+xfcn.
b) o valor máximo da velocidade
X Í3— °r «X =-----
2
CINEMÁTICA - LANÇAMENTOS
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
QUEDA LIVRE
g
v, = Vq + 2aAs 0-2.g(0-h) => v2 = 2gh
Pela equação horária da velocidade no MUV:
v = o - gt => v = - gtvf = v0 + at
Pela equação horária do espaço do MUV:
y
Logo, o tempo que a partícula demora para atingir o solo vale:
86
Situações em que a partícula, ao ser lançada, alcança altitudes consideráveis em relação 
ao raio da Terra serão estudadas no capítulo sobre Gravitação Universal. Neste capítulo serão 
estudados lançamento em que os corpos atingem altitudes próximas da superfície terrestre.
Considere que a partícula, após percorrer a altura h, atinja o solo após um 
tempo t e com velocidade v. Como o movimento é uniformemente variado, pela 
equação de Torricelli:=> (-v)2 =
A queda livre ocorre quando uma partícula é abandonada de uma altura h, sem velocidade 
inicial, a uma determinada altura do solo. Note que a partícula está sujeita apenas à aceleração da 
gravidade, motivo pelo qual toda queda livre é um movimento uniformemente variado. Deste modo, 
a partícula se moverá em uma trajetória perfeitamente vertical até atingir o solo. Será adotado um 
referencial unidimensional vertical y, cuja origem coincide com a posição do solo. Como o eixo 
está orientado de baixo para cima e a aceleração da gravidade é um vetor orientado de cima para 
baixo, neste eixo, a aceleração escalar resultante vale a = - g. Além disso, devido ao movimento 
sempre descendente, esse eixo sempre mede velocidades menores ou iguais a zero da partícula.
f :
h^
2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Neste capítulo será estudado o movimento resultante do arremesso ou abandono de uma 
partícula no campo gravitacional terrestre de modo que, em toda a trajetória, a altura da partícula 
em relação à superfície terrestre seja muito menor que o raio da Terra. Neste caso, a partícula 
estará sujeita apenas a uma única aceleração, que é a aceleração da gravidade, suposta 
constante, com direção vertical e sentido de cima para baixo. Ao nível do mar a aceleração da 
gravidade é aproximadamente 9,81 m/s2. Por amor à simplicidade, neste livro será adotado o valor 
da gravidade ao nível do mar como 10 m/s2. Além disso, suponha que a altura de uma partícula 
sempre é medida em relação à superfície da Terra.
at2
yo + vot+—
=> O = h + O.t--^
2
ELEMENTOS DA FÍSICA
LANÇAMENTO VERTICAL DESCENDENTE
♦y
v2 =Vg+2gh=> (-v)2 =(-v0)2+2(-g)(0-h)
Pela equação horária da velocidade no MUV:
- v = - v0 - gt => v = v0 + gtvf = v0 + at
Pela equação horária do espaço do MUV:
LANÇAMENTO VERTICAL ASCENDENTE
Aplicando a equação de Torricelli no movimento de subida:
v2 = Vq + 2aAs -h0) -h0)
Aplicando agora a equação de Torricelli no movimento de descida:
v2 = Vq + 2aAs
Equação horária da velocidade no MUV para o movimento de subida:
v( = Vo + at => - v = 0 - gtd => v = gtd
87
Considere que a partícula, após percorrer a altura h, atinja o solo após 
um tempo t e com velocidade v. Como o movimento é uniformemente variado, 
pela equação de Torricelli:
vf = Vo + at => 0 = v0 - gts
■' hmax
Em um lançamento vertical descendente a partícula é lançada para baixo, com velocidade 
inicial na direção vertical e diferente de zero. Mais uma vez será adotado um referencial 
unidimensional y, com direção vertical e orientado de baixo para cima, com a origem coincidindo 
com o solo. Este eixo mede aceleração escalar negativa (a = - g) e velocidades escalares 
também negativas em qualquer ponto da trajetória.
Escrevendo agora a equação horária da velocidade no MUV para o 
movimento de descida:
Um lançamento é classificado como vertical ascendente quando a partícula é lançada com 
velocidade vetorial vertical, com orientação de baixo para cima. Mais uma vez será adotado um 
eixo vertical y, orientado de baixo para cima e com origem no solo. Esse eixo mede que a 
aceleração escalar da partícula vale a = - g. A partícula, que é lançada com uma velocidade v0 
desde uma altura inicial h0, vai subir até atingir uma altura hma)I e depois descer até atingir o solo. 
Pode-se dividir o movimento em dois, um de subida (desde o instante do lançamento até atingir a 
altura máxima) e outro de descida (desde a altura máxima até atingir o solo). Sejam ts o tempo de 
subida e td o tempo de descida da partícula. O tempo total tT que a partícula leva, desde o instante 
do lançamento, para atingir o solo vale tT = ts + U
O = h-vo.t-^-
f y
Ô
h = vot + ^-
0 = Vq+2(-g)(hmax
v2 = v§ + 2aAs
at2 
y = yo + vot+—
V0 =2g(hmax
=> v0 = gts
=> v2=2ghmax(-v)2 =0 + 2(-g)(0-hmax)
Pode-se escrever a equação horária da velocidade para todo o movimento:
Pela equação horária do espaço do MUV para o movimento de subida:
Pela equação horária do espaço do MUV para o movimento de descida:
0
Escrevendo a equação horária do espaço para todo o movimento:
Observações:
1) Se h0 = 0 (lançamento do solo) tem-se automaticamente que ts = td = tT/2.
MMM
88
Perceba que essa última expressão poderia ser obtida somando as equações horárias da 
velocidade na subida e na descida.
4) Como a aceleração do movimento é sempre a mesma, nas mesmas alturas a partícula 
apresenta os mesmos módulos de velocidade. Assim, se durante o movimento de subida a 
velocidade da partícula seja v4 para uma determinada altura h, (h0 < h! < hmax), no movimento de 
descida, na mesma altura h1t a velocidade será -vt. Deste modo, a velocidade da partícula no 
instante em que passa, na descida, pela altura h0, vale -v0.
3) No movimento de descida, o tempo que a partícula demora para atingir a altura h0, em relação 
ao solo, é igual a ts.
2) Como a velocidade no instante de altura máxima é nula, o movimento de descida é uma queda 
livre.
gtd
2
hmax
hmax = h0+v0.ts-^
-■ • • ... 
ELEMENTOS DA FÍSICA
hmax
at2
y = yo+vot+^-
at2 
y = yo + vot+—
at2 
y = yo + vot+—
vf = v0 + at => - v = v0 - gtT => v = - v0 + gtT
gt?=> O = ho+vo.tT-Y
ELEMENTOS DA FÍSICA
LANÇAMENTO HORIZONTAL
y “
Vx = V0ho
X = votX =
g
ay = - g
0
h0A = V0td
Eliminando a variável tempo nas equações horárias do espaço nos eixos x e y:
X 
—►
Esta última expressão é a equação da trajetória executada pela partícula, que é um arco 
de parábola, restrito aos instantes em que a partícula está no ar, por isso a restrição 0 < x < A.
Quando a partícula atinge o solo tem-se t = td, x = Aey = 0. Assim, o alcance e a altura do 
movimento valem:
Como a projeção do movimento no eixo 
x é um movimento uniformemente variado:
Como a projeção do movimento no eixo 
x é um movimento uniforme:
gtd 
2
89
+ ayt => vy = -gt
✓o
>y
t = A 
vo
Vy=>
Um lançamento é denominado de horizontal quando uma partícula é lançada com 
velocidade horizontal a uma altura h do solo. A partícula executará um movimento bidimensional 
até atingir o solo. Portanto, é necessário lançar mão de um referencial bidimensional para medir 
as posições da trajetória da partícula. Serão adotados dois eixos, um horizontal x e outro vertical y. 
O ponto de lançamento pertencerá ao eixo y, em um ponto de ordenada y = h0. A origem do 
referencial estará no solo, exatamente na interseção do eixo y com o solo. Como a única 
aceleração existente é a aceleração da gravidade, que é um vetor com direção vertical e sentido 
de cima para baixo, tem-se ax = 0 e ay = - g. Assim, a projeção do movimento no eixo x é um 
movimento uniforme, enquanto que a projeção do movimento no eixo y é um movimento 
uniformemente variado. Devido à ausência de aceleração no eixo x, a componente da velocidade 
no eixo x é constante e igual à velocidade de lançamento: vx = v0.
Para efeito de cálculo, adote que a partícula é lançada desde uma altura h0 com uma 
velocidade, suposta horizontal, v0 e demore um tempo de descida t^ até atingir o solo. A distância 
entre a projeção no solo do ponto de lançamento (no nosso referencial coincide com a origem) e o 
ponto onde a partícula encontra o solo é denominada de alcance do lançamento, sendo 
simbolizada por A.
't.ül
2
Vo
z >.2
_9 2L2UJ
y=ho-^-
y = h0 y = h0 _^23(2 > Para 0 < x < A
/O
y = yOy+><< 1
/O
6 +vxt
ELEMENTOS DA FÍSICA
Velocidade em um Lançamento Horizontal
y “
ho
g
X
1) 0 = 0 se e somente t = 0. Em qualquer outro instante 0 não é nulo;
2) O valor máximo de 0 ocorre para o instante em que a partícula choca-se com o solo.
90
Como tg 0 é diretamente proporcional a t, pode-se tecer as seguintes observações sobre o 
ângulo 0 que vR forma com a horizontal:
Como já foi exposto, a componente horizontal da velocidade de uma partícula durante um 
lançamento horizontal é constante e igual à velocidade v0 de lançamento, enquanto que a 
componente vertical vale vy = - gt. Assim, o módulo da velocidade resultante, em um instante 
qualquer t do movimento vale:
Observando a expressão da velocidade resultante pode-seconcluir que vR é crescente 
com relação ao tempo, ou seja, o menor valor de vR ocorre para t = 0 e o maior valor de vR ocorre 
para t = U O ângulo que vR e a horizontal é variável e pode ser calculado pela relação:
gt
vo
V^ =
Vo
Vx+V^
|V„ |
tge = ^ => tg0
vR = vo+(~gt)2
Como ocorre em todo movimento não retilíneo, a velocidade resultante, que é tangente à 
trajetória na posição da partícula, pode ser decomposta em duas componente retangulares, aqui 
designadas de vx e vy. Portanto, segue que vR = vx + vy.
ELEMENTOS DA FÍSICA
LANÇAMENTO OBLÍQUO
y “
g
o
ts=td
Vx = Vq.COS 0
A equação horária do espaço no eixo x vale:
X = Vo-COS 0.t
91
í .
x —>
Para uma melhor análise do movimento, é interessante estudar separadamente as 
projeções dos movimentos nos eixos x e y.
i) eixo x:
Desde que a única aceleração existente é a aceleração da gravidade, que é um vetor com 
direção vertical, tem-se ax = 0. Portanto, a projeção do movimento no eixo x é um movimento 
uniforme, cuja velocidade é constante e igual à componente x da velocidade de lançamento:
Um lançamento é classificado como oblíquo quando uma partícula é arremessada com um 
vetor velocidade que forma um ângulo 0 com a horizontal tal que 0 < 0 < 90°. Como será 
demonstrado posteriormente, a partícula executará uma trajetória parabólica até atingir o solo.
= *T
2
vx r 
hmaxy
Analogamente ao caso do lançamento horizontal, é necessário adotar um referencial 
bidimensional para medir as posições da trajetória da partícula, formado por um eixo horizontal x e 
outro eixo vertical y. É padrão coincidir o ponto de lançamento com a origem do referencial. 
Considere que a partícula é lançada com uma velocidade v0, que forma um ângulo 0 com a 
horizontal, e demora um tempo total tT até atingir o solo. A distância entre o ponto de lançamento 
e o ponto onde a partícula reencontra o solo é denominada de alcance do lançamento, sendo 
simbolizada por A. A altura máxima, em relação ao solo, da trajetória é denominada de hmax e 
ocorre para um x que é ponto médio entre as posições de lançamento e de choque no solo. Por 
simetria, desde o lançamento, a partícula atingirá a altura máxima em um certo tempo de subida t, 
que é igual ao tempo de descida ta que a partícula leva para ir desde a altura máxima até colidir 
com o solo:
Vy
•f
A equação horária da velocidade é:
Vy = vOy + ayt => vy = vosen 6 - gt
A equação horária do espaço no eixo y vale:
y =
Tempo total de movimento de um lançamento oblíquo
=> t. =
td=ts
Altura máxima de um lançamento oblíquo
v0 sen0
9
92
ii) eixo y:
Como a única aceleração atuante na partícula é a gravidade, segue que ay = - g. Logo, a 
projeção do movimento no eixo y é um movimento uniformemente variado, mais especificamente 
um lançamento vertical ascendente, com velocidade de lançamento igual a vOy = vosen 0.
Assim, o tempo total de movimento (tempo que a partícula demora para atingir o solo) é 
igual a soma do tempo de subida com o tempo de descida:
Sabe-se que a partícula atinge a altura máxima quando vy = 0. Assim, o tempo de subida 
(tempo que leva a partícula desde o lançamento até o ponto de altura máxima) vale:
Como a trajetória da partícula é simétrica em relação a um eixo vertical que passa pelo 
ponto de altura máxima, segue que o tempo de descida é igual ao tempo de subida:
v0 sen0 
g
v0 sen0 
g
vosen0 gívosen0
~1 2
✓0
>y
vy = vosen 0 - gt => 0 = vosen 0 - gts => vosen 0 = gts
hmax hmax
ELEMENTOS DA FÍSICA
hmax
Além disso, a partícula apresentará o mesmo módulo de velocidade vertical quando passa 
na mesma altura na subida e na descida. Assim, se ao passar por um altura h (0 < h < hmax) na 
subido a componente y da velocidade é vy , ao passar pela mesma altura na descida a 
componente y da velocidade é -vy.
♦ avt2
+ vOyt + -^~
,T.td + t..5^
= vosen0t8-^-
A altura máxima de um lançamento oblíquo é a coordenada y da trajetória quando o tempo 
. . . . . . , , vosen0de movimento e igual ao tempo subida t = ------ - :
g
v2 sen2 0 Vq sen2 0 
g 2g
a2 v2 sen2 0
29
hmax _
gt2=> y = vosen0t-^-
ELEMENTOS DA FÍSICA
Alcance de um lançamento oblíquo
A =A = VqCOS 0tT => A = v0 cos 6
Alcance Máximo
, fixando v0, tem-se que o alcance máximo ocorre para o maior valorComo A =
20 = 90° => 0 = 45°sen 20 = 1
Ângulos de lançamento para alcances iguais
y-
g
,a XO
A >♦
A! = A2 =>
Como a * p, a única possibilidade é que a soma dos arcos seja igual a 180°:
2a + 2p = 180° => a+P = 90°
93
■MK -
O alcance A de um lançamento oblíquo é a distância horizontal entre o ponto de 
lançamento e o ponto onde a partícula atinge o solo. Caso a partícula seja lançada do solo, que 
ocorre na maioria dos casos, o alcance é igual à posição x no instante do tempo total do 
movimento, t = tT.
Suponha que uma partícula vai ser lançada em diversos ângulos de lançamento, sempre 
com a mesma velocidade de lançamento v0. O objetivo é encontrar a relação entre dois destes 
ângulos de lançamento (digamos a e p, com a * P), de modo que os respectivos alcances sejam 
iguais.
Assim, caso a velocidade de lançamento seja a mesma, sempre que a soma dos ângulos 
de lançamento seja 90°, o alcance destes dois lançamentos será o mesmo.
y?
g
v§ sen2a _ Vp sen2p 
g ~ g
2v0 sen0 
g
Vp sen 20 
g
Pela expressão do alcance, pode-se concluir que fixando v0 e variando 0 obtém-se valores 
distintos do alcance. Um problema clássico consiste em determinar o valor de 0 de modo que o 
alcance seja máximo. Este problema possui muitas aplicações práticas, como o lançamento de 
um artefato militar ou o salto de um atleta de salto em distância.
Vp sen 20
g
possível de sen 20, que é 1:
Neste caso, o alcance máximo vale Amax
*0 Z 
=> sen 2a = sen 2p
A Vp(2.sen0.cos0) 
g
ELEMENTOS DA FÍSICA
T
Velocidade em um lançamento oblíquo
vx = Vq.cos 0 e vy = v0.sen 0 - g.t
y “
g >•
ÍLO
O módulo do vetor velocidade da partícula é dado por:
|vxl’
Em outros termos:
tga
sena =
94
x 
—►
Do que já foi exposto sobre o lançamento oblíquo abe-se que a projeção do movimento no 
eixo x é um MU e no eixo y é um MUV. Assim, as equações horárias das velocidades em cada 
eixo são:
A figura abaixo apresenta algumas configurações do vetor velocidade da partícula ao longo 
de sua trajetória. Note que a componente x da velocidade é constante: vx = v0.cos 9. Por outro 
lado, a componente y da velocidade varia com o tempo, de modo que para 0 < t < ts o sentido de 
vy é de baixo para cima e seu módulo vai linearmente diminuindo. Para ts < t < t-r o sentido de vy é 
de cima para baixo e seu módulo aumenta linearmente. Para t = ts o valor de vy é nulo. Nesse 
instante ocorre a mudança do sinal de vy.
r
hmax
V
v.
t |Vy|
tga = -JÍ-
|vy|sena =——
|vR I
IVR 1= 7(vo.cos0)2 +(vo.sen0-gt)2
I Vx I e cosa=J—
|vRl
Sabe-se que o vetor velocidade resultante é tangente à curva na posição da partícula, 
conforme pode ser observado na figura. Assim, se a é o ângulo formado por vR e a direção 
horizontal, segue que:
|vo.senO-gt| 
vo.cos0
| vo.sen0-gt|______
■^(Vq.cosO)2 +(vo.sen0-gt)2
vn.cos0
cos a = ----- ■ M -
^(Vq.cosO)2 +(vo.sen0-gt)2
Observações:
1) Somente no ponto de altura máxima tem-se vy = 0. Neste ponto vR = vx = v0.cos 0;
Equação da trajetória de um lançamento oblíquo
X = Vq.COS O.t =>
Substituindo essa expressão na equação horária do espaço no eixo y:
2
g
x2, para 0 < x < Ay = (tgO)x-
restrição 0 < x <
95
Perceba que as equações horárias, nos eixos x e y, relacionam as coordenadas da 
partícula com o tempo t. Porém, nenhuma dessas expressões horárias representam exatamente a 
trajetória da partícula. A trajetória de uma partícula é caracterizada quando determina-se uma 
expressão que relacione as coordenadas x e y, sendo que nesta expressão, além de x e y, 
apareçam apenas constantes, como a velocidade de lançamento v0, o ângulo de lançamento 0 ou 
a aceleração da gravidade g.
Isolando a variável tempo na equação horária do espaço no eixo x:
3) Como vx é constante, uma consequência da propriedade anterioré que a partícula apresenta 
mesmo módulo de velocidade nas mesmas alturas. Assim, se na subida a partícula tiver um 
módulo de velocidade | vR | em uma altura h, na descida, na mesma altura h, o módulo da 
velocidade também valerá | vR |;
2) Como a trajetória parabólica da partícula é simétrica em relação ao um eixo vertical que passa 
pela posição de altura máxima, a partícula apresenta mesmo módulo de vy para a mesma altura h 
na subida e da descida. Assim, se em um altura h na subida a velocidade em y é vy, na mesma 
altura h na descida a velocidade no eixo y será - vy;
x 
vo COS 0
2
x
COS0,
Note que esta última expressão relaciona as coordenadas x e y da partícula em função 
apenas de constantes relacionas ao lançamento. Assim, pode-se afirmar que esta última 
expressão é a equação da trajetória executada pela partícula. Do ponto de vista matemático, esta 
trajetória é um arco de parábola, limitada aos instantes em que a partícula está no ar, por isso a
Vg sen 20
g
g
2Vq cos2 0
4) No instante em que a partícula choca-se com o solo o ângulo formado entre vR e a direção 
horizontal é igual ao ângulo de lançamento 0. Isto é mais um consequência da trajetória 
parabólica da partícula ser simétrica em relação ao um eixo vertical que passa pela posição de 
altura máxima;
5) Desde o instante do lançamento até o ponto de altura máxima o ângulo a formado entre vR e a 
direção horizontal vai diminuindo, desde 0 (ângulo de lançamento) até 0. A partir do ponto de 
altura máxima o ângulo a vai aumentando desde 0 até 0;
ELEMENTOS DA FÍSICA
t = —-— 
vo COS 0
y = v0 sen 0t - => y = ^sen0
ELEMENTOS DA FÍSICA
PARÁBOLA DE SEGURANÇA
Y
<
A equação da trajetória pode ser escrita como uma equação de segundo grau em tg 0:
X2y = (tg0)x- y = (tg0)x-
96
x>
2) 2a caso: A = 0
Se A = 0, a equação fornecerá um único ângulo de lançamento sob o qual o ponto (x, y) 
será atingido pela partícula. Graficamente, o ponto está sobre a curva que delimita a zona de risco, 
como por exemplo o ponto P3 na figura anterior.
Esta última expressão determina o ângulo 0 que a partícula deve ser lançada para atingir o 
ponto (x, y). Como toda equação de segundo grau, deve-se analisar seu discriminante.
3) 3° caso: A < 0
Se A < 0, a equação não possui solução, ou seja, não existe ângulo de lançamento 0 que 
faça a trajetória da partícula passar pelo ponto (x, y). Para atingi-lo, seria necessário aumentar a 
velocidade de lançamento v0. Graficamente, A < 0 significa que o ponto é externo à zona de risco, 
como por exemplo o ponto Pi da figura. Esta região formada pelos pontos que não podem ser 
atingidos pela partícula denomina-se zona de segurança.
g 
2Vq cos2 0
tg20_í±Yo\g0 + 1 + ^^- = O 
l gx ) gx
Considere que uma partícula pode ser lançada, sempre com a mesma velocidade v0, com 
um ângulo 0 de lançamento variável, de modo que 0 < 0 < 180°. Deste modo, a partícula passará 
por uma infinidade de pontos do plano xy. Por exemplo, ao longo do eixo x todos os pontos tais
Vn Vnque x < lAmaxI, equivalente a —-<x<— , podem ser atingidos. No eixo y todos os pontos 
g g
inferiores ao ponto de altura máxima de um lançamento com 0 = 90° também podem ser atingidos 
Vnpela partícula: 0 < y < —. O objetivo agora é determinar todos os pontos do plano xy que podem 
2g
ser atingidos pela partícula. Essa região é delimitada pelo eixo x e por uma curva que é tangente a 
todas parábolas obtidas variando o ângulo de lançamento desde 0 até 180°, mantendo constante 
a velocidade de lançamento v0. A figura abaixo mostra um esboço da região que reúne todos os 
pontos do plano xy que podem ser atingidos pela partícula.
g(1 + tg2x)x2 
2Vq
1) 1° caso: A > 0
Se A > 0 a equação terá duas soluções distintas, digamos tg a e tg p (a # p). Assim, 
existem dois ângulos distintos para os quais o ponto (x, y) será atingido pela partícula. 
Graficamente, o ponto é interno à região dos pontos que podem ser atingidos pela partícula, como 
o ponto P2 na figura anterior. Essa região recebe o nome de zona de risco.
2v§y =
gx2
ELEMENTOS DA FÍSICA
0 seja igual a zero:
gx2
A = 0 => b2 - 4ac = 0 => = 0
4y
zona de segurança
zona de risco
Propriedade
trajetória da partícula é y = (tg0)x-
e cos20 = 1-sen20
que é a
X x(m'
97
2Vp 
gx
->
X
Uma propriedade interessante da parábola de segurança consiste no lugar geométrico dos 
vértices de todas as parábolas obtidas ao lançar uma partícula com velocidade constante v0 e 
fazendo variar o ângulo de lançamento 0 de modo que 0 < 0 < 180°. Sabe-se que a equação da
x2 , cujo vértice é o ponto V de coordenadas xv =
Esta equação representa um arco de parábola, limitada aos valores de x positivos, que 
recebe o nome de parábola de segurança, exatamente por delimitar a região de segurança do 
plano, formada pelos pontos que não podem ser atingidos pela partícula, independentemente do 
ângulo 0 de lançamento.
Desta forma, para determinar a equação da curva que delimita a divisão dos pontos do 
plano entre zona de risco e zona de segurança deve-se impor que o discriminante da equação
tg2 0 - tg 0 +1 + =
l gx J gx2
 2g.xv
' v2
2vg.y 
g.x2
2 z
-4 1 +
g 
2v§ cos2 0
4g-yv 
V?
x2 (yv -k):
4k2 b2
equação de uma elipse centrada em (0, 0) e com semi-eixos iguais a 2b e b.
y(m)
v2 v2
— sen20 ey,= —sen2 0. Como 2sen2 0 = 1- cos 20 segue que 
2g 2g
parábola de segurança 
v_y°—g_x2X“2g 2vf
)2 Vn
— = 1, onde k = — , 
4g
v2 a
y = —--s-x2, para x> 0
2g 2v2
Como sen2 20 + cos2 20 = 1 tem-se que —^- +
1 Al. Z
ELEMENTOS DA FÍSICA
r
Ângulo para alcance máximo (lançamento e colisão em alturas diferentes)
y “
imagem fora de escala
,V0
O X
H
solo
-H
X =
98
Como a origem do sistema foi admitido no ponto de lançamento, o alcance máximo 
coincide com a posição x calculada acima. Assim:
Ainda falta determinar o ângulo de lançamento da partícula para esse alcance máximo. 
Uma possibilidade é substituir na equação da trajetória (em função de tg 0) as coordenadas do 
ponto onde a parábola de segurança encontra o solo e observar que, neste caso, o discriminante
A parábola de segurança é muito útil para resolver problemas de máximos e mínimos 
envolvendo lançamentos. Por exemplo, pode-se determinar o ângulo de lançamento para um 
alcance máximo quando a partícula é lançada de uma altura H acima do solo, com uma 
velocidade v0, como ilustrado na figura abaixo.
yi 
2g
/\0
\y?
. \9
X
Amax
Pela própria definição de parábola de segurança, o alcance máximo ocorre exatamente na 
interseção da parábola de segurança com o chão. Existe uma parábola (que é a trajetória da 
partícula) que é tangente à parábola de segurança no ponto de interseção da parábola de 
segurança com o solo. O desafio agora é encontrar esse ponto. Para tanto, basta substituir na 
fórmula da parábola de segurança y = - H:
_h = 2Í_JLx* 
2g 2Vq
Amax =
Calculando o valor de tg 20:
tg20 =
Vo+2gH
Deste modo, segue que:
tg 20 = tg (90° - a) => 20 = 90° - a
Definindo o ângulo p como sendo p = 0 + a, tem-se que:
y“
* o
90°-a
H
r 99
vo 
•7vo+2gH
da equação é nulo (pois o ponto pertence à parábola de segurança), ou seja, a equação possui 
raiz dupla, cujo valor coincide com a ordenada do vértice da parábola, na variável tg 0.
Note, na figura, o ângulo a, formado, com a horizontal, pelo segmento que liga a origem ao 
ponto de colisão da partícula com o chão. A cotangente deste ângulo vale:
b
2a
Vqa/vq +2gH 
gH
vq g
g v0>/vã+2gH
tg2 0 - í tg 0 +1 + 2v°y
l gx ) gx2
45°+—
2
Observe que este é o mesmo ângulo formado pelo vetor velocidade e a direção vertical. 
Assim, para fazer um lançamento com alcance máximo, de um ponto acima do solo, basta lançar 
a partícula na direção da bissetriz do ângulo formado entre o eixo y e o segmento de reta que liga 
a origem O ao ponto onde a parábola de segurança intersecta o solo.
2yj
gx Vp 1
2 g x
0 = 45°--
2
ELEMENTOS DA FÍSICA
P = 45°-- + a2
cotg a = tg (90° - a) = A™x =
H
Logo, para um alcance máximo, o ângulo de lançamento deve ser arc tg ■ ■. V° .
Vvo+2gH
2 v0 2v0
2tgO7vg+2gH = 7vo + 2gH = Vp^vg +2gH 
1-tg20” Vp 2gH gH
’ - " vp + 2gH
0 => tg 0 = -
2v2y
gx2
ELEMENTOS DA FÍSICA
y "
a
O
Observações:
100
—► 
X
A demonstração desse resultado fica como exercício, mas é praticamente idêntica à 
demonstração do alcance máximo para lançamentos de uma altura acima do solo. É suficiente 
determinar o ponto de interseção da parábola de segurança com o plano inclinado e depois 
substituir as coordenadas deste ponto na equação da trajetória em função de tg 0, determinando 
assim o valor de tg 0 e depois encontrando a relação de tg 20 com o ângulo a.
trajetória da 
partícula,-''
plano 
inclinado
parábola de 
-..segurança
Vo / 
tf/ 
Xp
1) A expressão do ângulo de lançamento encontrado para alcance máximo, tanto para lançamento 
de uma altura acima do solo quanto para lançamento sobre um plano inclinado, 0 = 45°—^, 
concorda com o resultado encontrado para ângulo de lançamento para alcance máximo com 
lançamento no solo, uma vez que para a = 0 tem-se 0 = 45°.
2) Caso a partícula seja lançada para baixo do plano inclinado em vez de lançar para cima, como 
foi apresentado anteriormente, o ângulo de lançamento, com relação à horizontal, para alcance 
máximo é o mesmo, ou seja, 0 = 45°--^, onde a é o ângulo de inclinação do plano inclinado.
Uma outra situação análoga a esta é o lançamento de uma partícula sobre um plano 
inclinado, de inclinação a com relação à direção horizontal. Pela definição de parábola de 
segurança, o alcance máximo ocorre quando a partícula se choca com o plano inclinado no 
mesmo ponto onde a parábola de segurança intersecta o plano inclinado. Neste ponto, a trajetória 
parabólica da partícula é tangente à parábola de segurança. A partícula seguirá essa trajetória 
que resulta em um alcance máximo quando for lançado de modo que v0 esteja sobre a bissetriz 
do ângulo formado pelo plano inclinado e a direção vertical, no ponto de lançamento, como 
indicado na figura abaixo:
0 = 45°--.2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Velocidade Mínima de Lançamento
parábola de segurança y
4y
V3 > V2 > V1V3
V2
V1
P(xp, yP):
-y
P(xr, yP)
X
101
—► 
X
Como Vo > 0 e yp < 7yP + xP , deve-se escolher + nos dois sinais ±. Assim, a menor 
velocidade de lançamento para que a partícula passe por um determinado ponto P(xP, yP) do 
plano é v0=A/g(yp+7yP+xP).
Outra aplicação clássica de parábola de segurança consiste em determinar a velocidade 
mínima de lançamento para atingir determinado ponto do plano. Observando a expressão da 
-°-—^~-x2 , é possível concluir que para cada velocidade de 
2g 2v2
lançamento v0 tem-se uma diferente parábola e para cada parábola de segurança existe uma 
diferente velocidade de lançamento. Quanto maior o valor de v0, mais abrangente será a parábola 
de segurança.
V -íl—S-x2 
yp 2g
parábola de segurança para 
\vo = 7g(yp+7yp + x?)
Desta forma, a menor velocidade de lançamento v0 para atingir um determinado ponto
P(xP, yP) é o valor de v0 de modo que a parábola de segurança y = ^-—=Çx2 passe pelo ponto
v0 = ±7g(yP ±7yp+xp )Vo-2gyPv2-g2x2 =0 =>
Ji 
á ' I
H
h
instante de lançamento. Mostre que g = —
Solução:
: ■
‘4
2
h
2 2
8
g
nmmmmmmm
102
H
^-t2
Dado: g = 9,8 m/s2 
Solução:
ER2) Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma 
bolinha para cima em um tubo onde se fez vácuo e medir, com precisão, os instantes tí e t2 de 
passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura h conhecida, a partir do 
 .... 2h
ttt2
ER1) Um balão sobe verticalmente com movimento uniforme e 5 s após ele abandonar o solo, seu 
piloto abandona uma pedra que atinge o solo 7 s após a partida do balão. Determinar:
a) a altura onde foi abandonada a pedra;
b) a velocidade de ascensão do balão;
c) a altura em que se encontra o balão no instante em que a pedra atinge o solo.
f(t2+2t1t2+t2-t2+2t1t2-t2) = h 
O
H gfti + t2
2
Analisando agora o movimento da bolinha desde o ponto de altura máxima 
até passar pela altura H - h: 
x2
^ ELEMENTOS DA FÍSICA
H-h = ^fi—Í1 
2
Pela simetria que existe em todo lançamento vertical, o tempo que a bolinha 
demora para percorrer a distância h na subida é igual ao tempo que demora 
para a bolinha percorrer a mesma altura h na descida. Assim, pode-se 
afirmar que o tempo total que a bolinha leva para voltar à posição de 
lançamento é h + t2. Logo, analisando o movimento de descida (queda livre),
o tempo de descida da bolinha é .
a) Suponha que a pedra é abandonada a uma altura h do solo. Além disso, 
seja v0 a velocidade do balão, suposta constante, que é a mesma 
velocidade com que a pedra é lançada.
A equação horária do balão é: yb = v0.t => h = 5v0 
A equação horária do movimento da pedra é: 
yP = yo + vot-^- => yp = h+v0t-4,9t2 
Quando a pedra atinge o solo, yp = 0 e t = 2 s:
0 = h +—2-(4,9)(4) => — = 19,6 => h = 14m 
5 5
b) 5v0 = h = 14 => v0 = 2,8 m/s
c) Contando o tempo a partir do instante em que a pedra é abandonada, a equação horária da 
posição do balão é: yb(t) = h + vot => yb(t) = 14 + 2,8t
Para t = 2 s, a altura do balão é: yb(2) = 14 + (2,8)(2) = 14 + 5,6 = 19,6 m
H_h=9|k^ 
2
Substituindo uma equação da outra: 
| (t? + 2t,t2 +t2) - h = | (t2 - 2t,t2 +t2) 
o o
^ = h => g = -^
2 ttt2
2
=> H-h = J(t2-2t1t2+t2) 
I o
2
=> H = f(t?+2t1t2+t2)
I o
♦ o
2,16 m
( )C.t =( ) B. t = s
( )E.t =s s
3h/4t-1< !
t{
(D
h =
t =
s
103
! h/4
ó +
2
2 -X
2 
2-Vã
( ) d. t =
ER4) (ITA-80) Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de 
queda ele percorre 1/4 da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade 
inicial do corpo.
( )A.t =
ER3) (IME-88) Um elevador parte do repouso e sobe com aceleração constante igual a 2 m/s2 em 
relação a um observador fixo, localizado fora do elevador. Quando sua velocidade atinge o valor v 
= 6 m/s, uma pessoa que está dentro do elevador larga um pacote de uma altura h = 2,16 m, em 
relação ao piso do elevador. Considerando que o elevador continue em seu movimento acelerado 
ascendente, determine para o observador fixo e para o localizado no interior do elevador:
a) o tempo de queda;
b) o espaço total percorrido pelo pacote até que este encontre o piso do elevador.
Obs: considere g = 10 m/s2.
Solução:
ILi
t2 = 0,36 => t = 0,6s
b) Em relação ao referencial y (observador parado):
Ayp(t) = 6t - õt2 => Ayp(0,6) = 6.0,6 - 5.0,36 = 1,8 m
Em relação ao observador localizado no interior do elevador, o pacote percorre a altura em que é 
abandonado:
Ay'p = 2,16 m
2g(t-1)2
3
3t3 = 4Í2 - 8t + 4
= 4 ±2^3 s
ELEMENTOS DA FÍSICA.....
== S
3
a) Será adotado um referencial unidimensional y, com direção 
vertical, sentido de baixo para cima e origem na posição do piso 
quando o pacote é solto. Este referencial é considerado um 
observador fixo, ou seja, está parado com relação ao prédio onde 
está localizado o elevador.
Equação horária do espaço do piso do elevador: 
ye(t) = v0t + -^- = 6t + t2
Equação horária do espaço do pacote: 
yP(t) = yop+vot + ^- = 2,16 + 6t-5t2 
ye(t) = yP(t) => 6t + t2 = 2,16 + 6t — õt2 6^ = 2,16 =>
1 
---------7= S 2-V3 
3
2 - VT
Solução: Alternativa C
Sejam h a altura total da queda livre e t o tempo total de queda. Logo:
h=— (1) 2
Como o corpo percorre a distância h/4 no último segundo de movimento, 
segue que a distância 3h/4 (contada desde o instante em que o corpo é 
abandonado) é percorrida em um tempo t - 1 s.
3h _ g(t —1)2 h 2g(t -1)2 gt2 =2g(t-1)2
4 2 3 2 3
3t2 = 4(t2-2t+1) => 3t3 = 4t2-8t + 4 => ^-81 + 4 = 0 =>
8 ± 764-4.1.4 8 ± 748 
2 “ 2
A única solução conveniente é a o do sinal +, uma que 4 - 273 < 1, que é um absurdo, pois o 
tempo total de movimento é maior que 1.
Desta forma: t = 4 + 273 =2(2 + 73) =
hI
H
b) H c) H =a) H =
e) H =
85 m
I 8
1
(c)20 (e)28(b)17(a)15
104
10 m 
(d)25
2t2 
ti
ER6) (Ciaba-16) Uma bola é lançada do topo de uma torre de 85 m de altura com uma velocidade 
horizontal de 5,0 m/s (ver figura). A distancia horizontal D, em metros, entre a torre e o ponto onde 
a bola atinge o barranco(plano inclinado), vale Dado: g = 10m/s2
X 5 m/s ' '
£ tl-tf t? 4t?t^h (tf-tf)
2 tf t2 h 
(ti-tf)2
ER5) (ITA-06) À borda de um precipício de um certo planeta, no qual se pode desprezar a 
resistência do ar, um astronauta mede o tempo t, que uma pedra leva para atingir o solo, após 
deixada cair de uma altura H. A seguir, ele mede o tempo t2 que uma pedra também leva para 
atingir o solo, após ser lançada para cima até uma altura h, como mostra a figura. Assinale a 
expressão que dá a altura H.
*2
ti
tj 2t2
tf t.
2 h
W^fT
Solução: Alternativa E
H + h = onde t2 = t3 +14
K
t
^ELEMENTOS DA FÍSICA
= t, t2 h 
41-t?)
4tf tf h
(ti-‘f)2
tf tf h 
2^-tf)2
d) H = 4
tg__
Jl 
h . h 
+ — = 1 +------ >
H H
tj 1 _ 2t2 
tf ’ ’ t.
Analisando as quedas livres: H = h =
Portanto- t>= V2h+J2(H+h) t,(V^ + j2(H+h)
v g v g -Jg
£
gtf
2
h
H
gtf
2
ELEMENTOS DA FÍSICA
85
Eixo y: y = y0 -
,9
(3)
O 10 D
Ü
5,0 m
3
xVx
105
■» 
X
->
X
9Ü 
2
ER7) (AFA-09) Uma bola de basquete descreve a trajetória mostrada na figura após ser 
arremessada por um jovem atleta que tenta bater um recorde de arremesso.
' I
2.0 m
Solução: Alternativa A 
vt
5 m/s
A origem dos sistema de coordenadas será colocado 
no ponto de lançamento da bola.
Sabe-se que a componente horizontal da velocidade é 
constante. Logo, na posição de lançamento: 
vo=vx+voy => 1OO = 36+Voy => Voy = 8m/s 
Componente y da equação horária do espaço: 
y = v0yt-^- = 8t-5t2
Na posição da cesta tem-se y = 3 m:
8t - 5t2 = 3 => 5t2 — 8t + 3 = 0 => (t - 1)(5t—3) = 0 => 
t = 1 s (descida) ou t = 3/5 s (subida)
Componente x da equação horária do espaço: x = vxt => x = 6t 
Para t=1s: x = 6.1 = 6 m
Para resolver esta questão, é necessário transformá-la 
em uma questão de geometria analítica, onde será 
determinada a interseção de uma parábola (trajetória da 
bola) com uma reta (superfície do barranco).
Com relação à trajetória da bola:
x
Eixo x: x = vot => x = 5t => t = — (1)
À i- - 
-, ■ - ■ • - - —rvr—rw
I-----------7----------
A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, ao cair na cesta, sua componente horizontal 
vale 6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Pode-se afirmar que avale 6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Pode-se afirmar que 
distância horizontal (x) percorrida pela bola desde o lançamento até cair na cesta, em metros, vale 
a) 3,0 b) 3,6 c) 4,8 d) 6,0 
Solução: Alternativa D 
y “
=> y = 85-5t2 (2)
Substituindo (1) em (2):
r x V x2y = 85-5 £ => y = 85- —
Reta que define a inclinação do barranco:
y = mx + n, onde m é a inclinação da reta (m = tg 0 = 8) => y = 8x + n 
Para determinar n basta substituir o ponto (10, 0) na equação da reta: 
0 = 8.10 + n => n=-80 => y = 8x-80 (4)
x2 x2
Fazendo a interseção de (3) e (4): 85------ = 8x-80 => —+ 8x-165 = 0 =>5 5
x2 + 40x-825 = 0 => (x - 15)(x + 55) = 0 => x = 15 m ou x = - 55 m (não convém) 
Logo, D = 15 m
x
5
ELEMENTOS DA FÍSICA
v0(sena.t, -senp.t2)ii) y, = y2 =>
vot, sena -
a + P
Vo4,
2
2v0sen(a - P)cos p = gtisen(a - p)sen(a + p) => = => t2
sen< cosa
t-|Ti + t2T2 -
480-3 m
I 200
77777
SOLO
106
1 '
✓////
sena.cosp-senp.cosa') gt2 
cosp
ER9) (IME-94) Um míssil viajando paralelamente à superfície da terra com uma velocidade de 180 
m/s, passa sobre um canhão à altura de 4800 m no exato momento em que seu combustível 
acaba. Neste instante, o canhão dispara a 45° e atinge o míssil. O canhão está no topo de uma 
colina de 300 m de altura. Sabendo-se que a aceleração local da gravidade g = 10 m/s2, 
determine a altura da posição de encontro do míssil com a bala do canhão, em relação ao solo. 
Despreze a resistência do ar.
4
i
I
I zZ
l Z. 4S°
'i
senp. cos a 
cosp
2v0 cosa 
gsen(a + P)
g(tT -12 )(t, +12) 
2
_o. 
g2
2v2 
g2
Deste modo:
2v0cosp vosena 2v0cosa vosenp 
gsen(a + p) g gsen(a + p) g
Solução:
A componente horizontal da velocidade da bala deve ser igual à velocidade do míssil.
/2
Vm = vbaia.cos 45° => 180 = vbala.— => vbala = 180>/2 m/s
Equação horária da componente vertical da posição do míssil:
ym(t) = yOm - gtz/2 => ym(t) = 4800 - st2
Equação horária da componente vertical da posição da bala:
b) 2^^
e) 2^0 (sena + senp)/g2
c) 4v20 sena /g2
ER8) (ITA-11) Duas partículas idênticas, de mesma massa m, são projetadas de uma origem O 
comum, num plano vertical, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0 e ângulos de 
lançamento respectivamente a e p em relação á horizontal.Considere T, e T2 os respectivos 
tempos de alcance do ponto mais alto de cada trajetória e t, e t2 os respectivos tempos para as 
partículas alcançar um ponto comum de ambas as trajetórias.Assinale a opção com o valor da 
expressão hT, + t2T2. 
a) 2^0 (tga + tgp)/g2 
d) 4^0 senp /g2
Solução: Alternativa B
Como a projeção na vertical de um lançamento oblíquo é um lançamento vertical: 
T = vosena e T = vosenp
1 g 2 g
Como a projeção na horizontal de um lançamento oblíquo é um MU: 
x, = (vocos a)t e x2 = (v0cos p)t 
No ponto comum:
i) x, = x2 => cos a.t, = cos p.t2
(vosena)t, = (v0senp)t2
gt2 (cosp-cosa)(cosp + cosa)
2 cos2 p
 a-p a + P a + P a~p2 cos----- - cos------- ,2sen----- - sen----- -
2_______ 2_________2_______ 2
COS2 P
2v0 cosp
gsen(a + p)
e
água
Na vertical: y
-H = D.tgO- => H + D.tg0 =
Carrinho
|«|
2 m
107
1
Solução:
Na horizontal tem-se: D = vA.cos 0.t => t
Li
X 
►I
X
i
gD2
2vA cos2 0
2 cos2 0(H + D.tg0) 
gõ2
ER11) (IME-98) Um pequeno cesto é preso em uma haste que o faz girar no sentido horário com 
velocidade constante. Um carrinho, com velocidade de 1,5 m/s, traz consigo um brinquedo que 
arremessa bolinhas na vertical para cima com velocidade de 5,5 m/s. Quando o carrinho está a 
uma distância de 2 m do eixo onde a haste é presa, uma bolinha é lançada. Nesse instante, o 
cesto está na posição mais baixa da trajetória (posição A), que é a altura do chão e a do 
lançamento da bolinha. A bolinha é arremessada e entra, por cima, no cesto quando este está na 
posição B indicada na figura. Determine o vetor velocidade da bolinha ao entrar no cesto;
Dado: g = 10 m/s2.
vA.sen0.t- —A 2
ybaia(t) = yOb + Vba,a.cos 45°t - gt2^ => ybaia(t) = 300 + 180t - St2
Mo momento do encontro: ym(t) = ybaia(t) => 4800 - õt2 = 300 + 180t - õt2 => t = 25 s 
Logo: y(25) = 4800 - 5(25)2 = 1675 m
ELEMENTOS DA FÍSICA 
k-..............
D
Va " cos0^2(H + D.tg0)
ER10) (IME-82) Um motociclista movimenta sua motocicleta e sobe a rampa de inclinação 0 da 
figura. Determine em função de g, 0, H e D, o menor valor da velocidade que o motociclista deve 
ter em A para chegar à superfície plana em B. Considere o conjunto motociclista-motocicleta 
como uma única partícula e despreze a resistência do ar.
m----- d------ >i
i i
A.
B -------------
gD2 1
2cos20 v2
g
Cesto
B LI
D
vA COS0
,, vA.sen0.D-H = —- -----------
VA.COS0
gp2 1
2cos20 vA
Solução:
Sejam r o comprimento da haste e t o tempo que o cesto leva para ir de A para B.
Considere que a origem dos sistema está no ponto de lançamento da bolinha, com o eixo x na 
horizontal e o eixo y na vertical.
A equação horária da posição x da bolinha é: x = vx.t = 1,5t
Quando a bolinha entre no sexto tem-se x = 2 - r: 2 - r = 1,5t (1)
qt2 2
A equação horária da posição y da bolinha é: y = vOyt-^~ => y = 5,5t-5r
Quando a bolinha entra no cesto, tem-se que y = r: r = 5,5t - St2 (2)
Somando as equações (1) e (2):
H
D
H
1
v<-2gHv§-g2D2=0D
=> tge
108
7*
Logo, para um alcance máximo, o ângulo de lançamento deve ser arc tg 
Calculando o valor de tg 20:
parábola de 
\ segurança
v0 = +Jg(H ± 7d2 + H2)
Como v0 > 0 e H < ^D2 + H2 , deve-se escolher + nos dois sinais ±. Assim, a menor velocidade de 
lançamento para que a partícula passe pelo ponto P(D, H) é v0 = AJg(H + A/D2 + H2 ) •
b) Para determinar o ângulo de lançamento da partícula basta substituir na equação da trajetória 
(em função de tg 0) as coordenadas do ponto P(D, H) e a velocidade v0 determinada no item 
anterior. Será determinada uma equação do 2o grau de tg 0 que possui raiz dupla, uma vez queP 
pertence à parábola de segurança. Neste caso, o valor da raiz coincide com a ordenada do vértice 
da parábola, na variável tg 0:
h + Vd2 + h2
D
ER12) É necessário lançar uma partícula sobre uma parede vertical de altura H que se encontra a 
uma distância D do ponto de lançamento, em um local onde a aceleração da gravidade é g.
i9 n t
a) Qual a velocidade inicial mínima para que isto seja possível?
b) Sob qual ângulo 0 a partícula deve ser lançada com a velocidade do item anterior? 
Solução:
yf Considere um referencial xOy com origem no ponto 
de lançamento. Neste referencial, o ponto superior 
da parede é P(D, H). Pela definição de parábola de 
segurança, a menor velocidade de lançamento v0 
para atingir o ponto P(D, H) é o valor de v0 de modo 
y2
que a parábola de segurança y = ~'-'^2x2 Passe
pelo ponto P(D, H):
H = -^_—D2 
2g 2v2
ELEMENTOS DA FÍSICA
+ H2
_2yi
gx Vp 1
2 g x
2 = 7t—5t2 => õt2 — 7t + 2 = 0 => (t- 1)(5t —2) = 0 => t = 1 s ou t = 0,4 s
Para t = 0,4 s a bolinha está subindo e para t = 1 s a bolinha está descendo, logo, para a situação 
proposta, tem-se que t = 1 s.
A equação horária da componente y da velocidade vale:
Vy(t) = vOy-gt => vy(1) = 5,5 - 10.1 =- 4,5 m/s
Assim, o vetor velocidade no instante t = 1 s vale:
v<1)'(v,0).vy<1)> =• v(1) = (1,5, -4,5) m/s
=> tge.-7
V gx J gx2 2a
g(H + ^D2 + H2) H + Td2
t96 =-------- gõ-------- =-------- 5”
2v§
gx
ELEMENTOS DA FÍSICA
tg2e =
H
>D
Solução:
y Jk
H
Portanto:D/2 X
2D
y=
109
BL...
D
H
parábola de 
\segurança
-9-1-1 = 
2v^2j
Vo-2gH
2g
2tge 
1-tg2 9
Para cumprir os critérios de segurança, as 
trajetórias de todos os estilhaços devem estar 
dentro da zona de segurança, que ocorre 
somente se a parábola de segurança passa 
pelas extremidades superiores do poço. 
Assim, a parábola de segurança deve passar 
pelo ponto (D/2, H), que caracteriza um dos 
pontos da extremidade superior do poço, 
como indicado na figura ao lado.
vo 9 „2
2g"2v§
vg(vg-2gH) 
g2
Deste modo, segue que:
tg 29 = - tg (90° - a) => 29 = 180° - (90° - a) => 9 = 45°+^
 
H + Vd2 + H2
________ D 
2(H2 +FK/d2+H2)
D2 D2
Note, na figura, o ângulo a, formado, com a horizontal, pelo segmento que liga a origem ao ponto 
superior da parede. A cotangente deste ângulo vale:
cotg a = tg (90° - a) =
n
2g 2v2U.
„ 2v0A/v2-2gH
=»> —
g
ER13) Um engenheiro deverá projetar um poço onde serão realizados testes de explosão com 
granadas. Para efeitos de segurança, os estilhaços das granadas não podem atingir a superfície 
da Terra. Admita que a profundidade do poço é H, que a granada está localizada no centro do 
poço e que todos os estilhaços são lançados com a mesma velocidade v0. Determine qual o valor 
que o engenheiro vai projetar para o diâmetro D do poço de modo a satisfazer as condições de 
segurança.
2(H + Vd2 +H2) 
___________ D ________ 
1 H2 + 2HVD2 +H2 + D2 + H2
2
-T 
2j
ELEMENTOS DA FÍSICA
a
a
e a
e a
e a
Lança-se, da superfície
30 cm
50 cm
c) 20 cm
E10) Um projétil de brinquedo é arremessado
110
a) 50 cm
d) 80 cm
E8) Um ponto material, lançado verticalmente 
para cima, atinge a altura de 20 m. Qual a 
velocidade de lançamento? Adote g = 10m/s2
E5) Um corpo é abandonado a 80 m do solo. 
Sendo g = 10m/s2 e o corpo estando livre de 
forças dissipativas, determine o instante e a 
velocidade que o móvel possui ao atingir o solo.
t
1
b) 70 cm
e) 40 cm
b) 6,0 m/s. 
e) 9,0 m/s
E7) Um gato consegue sair ileso de muitas 
quedas. Suponha que a maior velocidade com 
a qual ele possa atingir o solo sem se 
machucar seja de 8 m/s. Desprezando a 
resistência do ar, calcule a altura máxima de 
queda, para que o gato nada sofra.
E3) (Mackenzie-98) Estando a certa altura do 
solo, um estudante lança uma esfera A 
verticalmente para cima e outra, B, 
verticalmente para baixo, com velocidade de 
mesmo módulo. Desprezando a resistência 
do ar, ao chegar no solo:
a) a esfera A tem velocidade de módulo maior 
que a de B
b) a esfera B tem velocidade de módulo maior 
que a de A.
c) as velocidades das duas esferas são 
diferentes e dependem da altura
d) as velocidades das duas esferas são iguais
e) a esfera de maior massa tem maior 
velocidade. E9) De um helicóptero que desce 
verticalmente é abandonada uma pedra 
quando o mesmo se encontra a 100 m do solo. 
Sabendo-se que a pedra leva 4 s para atingir 
o solo, calcule a velocidade do helicóptero no 
momento em que a pedra foi abandonada.
E6) (Cesgranrio) A laje do teto de uma sala 
deixa gotejar água da chuva, caindo as gotas 
com freqüência constante. Uma fotografia 
instantânea mostra que as distâncias entre 
três gotas consecutivas são, 
respectivamente, 30 cm e 50 cm. Concluímos 
que, desde que a resistência do ar seja 
desprezível, a gota que caiu antes da gota (1) 
se encontra abaixo desta, a uma distância de:
(3)4 T
I 
I
I 
(2)Ô4-
E4) (Unesp-06) Para deslocar tijolos, é comum 
vermos em obras de construção civil um 
operário no solo, lançando tijolos para outro 
que se encontra postado no piso superior. 
Considerando o lançamento vertical, a 
resistência do ar nula, a aceleração da
E2) (Mackenzie) 
terrestre, um corpo verticalmente para cima, 
com certa velocidade inicial. Desprezando-se 
as forças passivas atuantes sobre ele, 
podemos afirmar que:
a) A altura máxima atingida será sempre a 
mesma, independentemente da velocidade de 
lançamento.
b) a altura máxima atingida pelo corpo 
dependerá de sua massa.
c) o tempo de subida é diretamente 
proporcional ao quadrado da velocidade inicial 
do corpo
d) em qualquer ponto de sua trajetória, a 
velocidade de subida é igual, em módulo, à de 
queda.
e) na altura máxima, a velocidade é não nula.
gravidade igual a 10 m/s2 e a distância entre a 
mão do lançador e a do receptor 3,2m, a 
velocidade com que cada tijolo deve ser 
lançado para que chegue às mãos do 
receptor com velocidade nula deve ser de 
a) 5,2 m/s. b) 6,0 m/s. c) 7,2 m/s.
d) 8,0 m/s.
E1) (PUC/SP-09) Uma bola é lançada 
verticalmente para cima. Podemos dizer que 
no ponto mais alto de sua trajetória:
a) a velocidade da bola é máxima, e
aceleração da bola é vertical e para baixo.
b) a velocidade da bola é máxima, e
aceleração da bola é vertical e para cima.
c) a velocidade da bola é mínima,
aceleração da bola é nula.
d) a velocidade da bola é mínima, 
aceleração da bola é vertical e para baixo
e) a velocidade da bola é mínima, 
aceleração da bola é vertical e para cima.
ELEMENTOS DA FÍSICA
E13) (UFPR-10)
c) 30 m.
c) 25 m/s
111
verticalmente para cima, da beira da sacada 
de um prédio, com uma velocidade inicial de 
10m/s. O projétil sobe livremente e, ao cair, 
atinge a calçada do prédio com velocidade 
igual a 30m/s. Determine quanto tempo o 
projétil permaneceu no ar. Adote g = 10m/s2 e 
despreze as forças dissipativas.
b) 50 m e 150 m 
d) 100 m e 100 m
E15) Um canhão, em solo plano e horizontal, 
dispara uma bala, com ângulo de tiro de 30°. A 
velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo g = 
10 m/s2 o valor da aceleração da gravidade no 
local, qual a altura máxima da bala em relação 
ao solo, em km?
E19) (Mackenzie-05) Num local cujo módulo 
da aceleração gravitacional é desconhecido, 
um pequeno corpo é abandonado, do repouso, 
a uma altura de 6,40m em relação ao solo,
d) 7m/s.
e) 9m/s.
b) 20 m/s 
e) 35 m/s
b) 150 m.
e) 100 m.
E16) Um corpo é lançado para cima, com 
velocidade inicial de 50m/s, numa direção 
que forma um ângulo de 60° com a horizontal. 
Desprezando a resistência do ar, calcule, no 
ponto mais alto da trajetória a velocidade 
do corpo: (Dados: sen 60° = 0,87 e cos 60° 
= 0,5)
E18) (Ciaba-03) Um navio se desloca para 
frente com velocidade vetorial constante. Do 
alto do seu mastro deixa-se cair uma pedra 
sobre o seu convés (piso onde está fixada a 
base do mastro). Pode-se afirmar, com relação 
a um ponto fixo na beira do cais, que
(a) a trajetória de queda da pedra é retilínea e 
vertical.
(b) a pedra cairá sobre o convés, em um ponto 
situado atrás da base do mastro.
(c) a pedra cairá, segundo trajetória retilínea, 
emum ponto do convés situado à frente da 
base do mastro.
(d) a trajetória da pedra é parabólica e ela 
cairá em um ponto do convés à frente da base 
do mastro.
(e) a trajetória da pedra é parabólica e ela 
cairá na base do mastro.
E12) Deixa-se cair livremente de uma altura de 
200 metros, um objeto pesado. Desejando-se 
dividir em duas partes esta altura, de maneira 
que os tempos percorridos sejam iguais e 
considerando a aceleração da gravidade igual 
a 10 m/s2 teremos, medindo de cima para 
baixo: 
a) 40 m e 160 m 
c) 75 m e 125 m 
e) 160 m e 40 m
17) (Fuvest-10) Numa filmagem, no exato 
instante em que um caminhão passa por uma 
marca no chão, um dublê se larga de um 
viaduto para cair dentro de sua caçamba. A 
velocidade v do caminhão é constante e o 
dublê inicia sua queda a partir do repouso, de 
uma altura de 5m da caçamba, que tem 6 m de 
comprimento. A velocidade ideal do caminhão 
é aquela em que o dublê cai bem no centro da 
caçamba, mas a velocidade real v do 
caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais 
à frente ou mais atrás do centro da caçamba. 
Para que o dublê caia dentro da caçamba, v 
pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no 
máximo:
a) 1 m/s.
b) 3m/s.
c) 5m/s.
Cecília e Rita querem 
descobrir a altura de um mirante em relação ao 
nível do mar. Para isso, lembram-se de suas 
aulas de física básica e resolvem soltar uma 
moeda do alto do mirante e cronometrar o 
tempo de queda até a água do mar. Cecília 
solta a moeda e Rita lá embaixo cronometra 6 
s. Considerando-se g = 10 m/s2, é correto 
afirmar que a altura desse mirante será de 
aproximadamente:
a) 180 m.
d) 80 m.
E11) Um corpo em queda livre, a partir do 
repouso, percorre uma distância d no primeiro 
segundo de movimento. Qual a distância 
percorrida por ele no quarto segundo de 
movimento? Despreze o efeito do ar.
a) d b) 4 d c) 5 d d) 6 d e) 7 d
E14) (UCS-12) Em um famoso desenho 
animado da década de oitenta, uma gatinha 
era sempre perseguida por um apaixonado 
gambá. Os episódios basicamente consistiam 
nas maneiras que a gatinha encontrava para 
fugir. Imaginemos que ela, prestes a ser 
alcançada e em desespero, se atirasse em um 
precipício. Ao pular, ela estaria com 
velocidade vertical inicial nula. Qual a 
velocidade vertical inicial que o gambá deveria 
ter para, ao se lançar também pelo precipício 
2 segundos depois, conseguir alcançar a 
gatinha exatamente 4 segundos após ela ter 
saltado? Considere a aceleração da gravidade 
como 10 m/s2.
a) 15 m/s 
d) 30 m/s
ELEMENTOS DA FÍSICA
A) vx (m/s)
8 15
D)C) vx (m/s) Vx (m/s)
5
t(s)
-5
vx (m/s)E)
t(s)
-10-
vencer
112
E23) (UFPE-02) Numa partida de futebol, uma 
falta é cobrada de modo que a bola é lançada 
segundo um ângulo de 30° com o gramado. A 
bola alcança uma altura máxima de 5,0m. 
Qual é o módulo da velocidade inicial da bola 
em km/h? Despreze a resistência do ar.
b) 6,40m.
c) 4,80m.
jj(s)
3
E22) (PUC/SP-03)
TURMA DA MONICA/Mauricio de Sousa J(s) 
Í2
plano e horizontal. Imediatamente após o 
impacto com o solo, esse pequeno corpo 
ascende verticalmente, com uma velocidade 
inicial de módulo igual a 75% do módulo de 
sua velocidade no instante do impacto. A altura 
máxima atingida nessa ascensão será:
a) impossível de se saber, pelo fato de 
o módulo da aceleração
E25) (Unesp-12)
O gol que Pelé não fez
Na copa de 1970, na partida entre Brasil e 
Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco 
antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco 
adiantado, e arrisca um chute que entrou para 
a história do futebol brasileiro. No início do 
lance, a bola parte do solo com velocidade de 
108 km/h (30 m/s), e três segundos depois 
toca novamente o solo atrás da linha de fundo, 
depois de descrever uma parábola no ar e 
passar rente à trave, para alívio do assustado 
goleiro. Na figura vemos um a simulação do 
chute de Pelé.
desconhecermos
gravitacional local.
d) 3,60m.
e) 3,20m.
E21) (UFPE-11) Uma bola cai em queda livre a 
partir do repouso. Quando a distância 
percorrida for h, a velocidade será Vi. Quando 
a distância percorrida for 16h a velocidade 
será V2. Calcule a razão V2/V1. Considere 
desprezível a resistência do ar.
E24) (UESPI-09) Num planeta em que a 
aceleração da gravidade tem módulo 5 m/s2, 
uma partícula cai em queda livre a partir do 
repouso no instante t = 0. Denotando o eixo 
perpendicular à superfície do planeta como 
eixo x, e considerando o seu sentido positivo 
para cima, assinale o gráfico que ilustra a 
velocidade vx desta partícula, em m/s, em 
função do tempo t, em segundos.
vx (m/s) B)
Suponha que Cebolinha, para vencer a 
distância que o separa da outra margem e 
livrar-se da ira da Mônica, tenha conseguido 
que sua velocidade de lançamento, de valor 10 
m/s, fizesse com a horizontal um ângulo a, 
cujo sen a = 0,6 e cos a = 0,8. Desprezando- 
se a resistência do ar, o intervalo de tempo 
decorrido entre o instante em que Cebolinha 
salta e o instante em que atinge o outro lado é: 
a) 2,0 s b)1,8s c)1,6s 
d)1,2s e) 0,8 s
Us)
4
E20) (UFPE-01) O salto (parabólico) de um 
gafanhoto tem um alcance de 0,9 m. 
Considere que o ângulo de inclinação do vetor 
velocidade inicial do gafanhoto seja de 45° em 
relação ao solo. Qual o módulo dessa 
velocidade inicial em m/s?
d) 16
E31) (Ciaba-14)
TREM
ESTAÇAO
113
(B) 64,5.
(E) 86,6.
0,5 s para atingir o solo. As distâncias s™ e Sb 
percorridas, respectivamente, pela menina e pela 
bola, na direção horizontal, entre o instante em 
que a menina soltou a bola (t = 0 s) e o instante t 
= 0,5 s, valem:
a) sm = 1,25 m e Sb = 0 m.
b) sm = 1,25 m e sb = 1,50 m.
c) Sm = 1,50 m e Sb = 0 m.
d) sm = 1,50 m e Sb = 1,25 m.
e) sm = 1,50 m e Sb = 1,50 m.Considerando que o vetor velocidade inicial da 
bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 
30° com a horizontal (sen 30° = 0,50 e cos 
30° = 0,85) e desconsiderando a resistência 
do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que 
a distância horizontal entre o ponto de onde a 
bola partiu do solo depois do chute e o ponto 
onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo 
era, em metros, um valor mais próximo de: 
(A) 52,0. (B) 64,5. (C) 76,5.
(D) 80,4.
Um observador X está parado em uma estação 
quando vê um trem passar em MRU 
(Movimento Retilíneo Uniforme) a 20 km/h, da 
esquerda para a direita, conforme a figura 
dada. Nesse momento o passageiro Y joga 
uma bola para cima do ponto A ao ponto B, 
pegando-a de volta. Simultaneamente, um 
passageiro Z se desloca no trem, da esquerda 
para a direita, com velocidade de 5 km/h. 
Podemos afirmar que a trajetória da bola vista
CALCULE quantos litros de água estarão no 
ar na situação em que o jato d'água é 
contínuo, do cano ao solo.
E26) (UFMG-98) Um cano de irrigação, 
enterrado no solo, ejeta água a uma taxa de 
15 litros por minuto com uma velocidade de 10 
m/s. A saída do cano é apontada para cima 
fazendo um ângulo de 30° com o solo, como 
mostra a figura. Despreze a resistência do ar e 
considere g = 10 m/s2, sen 30° = 0,50 e cos 
30° = 0,87.
E29) (Mackenzie-03) No interior de um ônibus 
que trafega em uma estrada retilínea e 
horizontal, com velocidade constante de 90 
km/h, um passageiro sentado lança 
verticalmente para cima um pequeno objeto 
com velocidade de 4 m/s, que retorna a sua 
mão. As posições inicial e final do objeto estão 
no mesmo plano paralelo ao deslocamento do 
ônibus, o referencial adotado é a estrada e a 
aceleração gravitacional é g = 10m/s2. Durante 
o movimento de subida e descida desse objeto, 
o ônibus percorre a distância de: 
a)10m b) 12 m c)15m d)18m e) 20 m
E30) (EEAR-02) Um corpo em queda livre 
percorre, a partir do repouso, uma certa 
distância h, nos dois primeiros segundos de 
queda. A distância h2 percorrida do início do 
terceiro ao final do sexto segundo, será 
quantas vezes maior que h]? 
a) 4 b) 6 c) 8
ELEMENTOS DA FÍSICA
E27) (Unicamp-98) Um objeto é lançado 
horizontalmente de um avião a 2420 m de altura.
a) Considerando a queda livre, ou seja, 
desprezando o atrito com o ar, calcule quanto 
tempo duraria a queda.b) Devido ao atrito com o ar, após percorrer 
200 m em 7,0 s, o objeto atinge a velocidade 
terminal constante de 60 m/s. Neste caso, quanto 
tempo dura a queda?
E28) (Fuvest-11) Uma menina, segurando uma 
bola de tênis, corre com velocidade constante, de 
módulo igual a 10,8 km/h, em trajetória retilínea, 
numa quadra plana e horizontal. Num certo 
instante, a menina, com o braço esticado 
horizontalmente ao lado do corpo, sem alterar o 
seu estado de movimento, solta a bola, que leva
ELEMENTOS DA FÍSICA
25km/h 5km/h
(a)
20km/h Skm/h(b)
AA
20km/h(C) 5km/h
i
25km/h 5km/h
(d)
(e)
da
[C] 19,4 m
v(m/s)
12
sua
E37)
sua
114
f(s)
bajetória de /A
_____ _ trajetória de B
I
Ao passar pelo ponto P, ponto comum de suas 
trajetórias, os projéteis possuíam a mesma
a) aceleração resultante.
b) velocidade horizontal.
c) aceleração centrípeta.
d) velocidade tangencial.
[A] 11,7 m
[D] 23,4 m
velocidade é nula.
c) quanto maior o valor de 0 maior será o seu 
alcance.
d) ela descreve um movimento uniforme ao 
longo da direção vertical.
e) a direção e o sentido da sua aceleração são 
constantes.
c) 4 s
d) 3 s
E32) (AFA-07) A figura abaixo representa as 
trajetórias de dois projéteis A e B lançados no 
mesmo instante num local onde o campo 
gravitacional é constante e a resistência do ar 
é desprezível.
pelo observador X, a trajetória da bola vista 
pelo passageiro Y, a velocidade do passageiro 
Z em relação ao observador X e a velocidade 
do passageiro Z, em relação ao passageiro Y, 
são, respectivamente, 
B
E36) (AFA-07) O gráfico abaixo representa o 
movimento de subida de um protótipo de 
foguete em dois estágios lançado a partir do 
solo.
2 3 4 5
Após ter atingido a altura máxima, pode-se 
afirmar que o tempo de queda livre desse 
protótipo será de
a) 1 s
b) 2s
E35) (Espcex-15) Um projétil é lançado 
obliquamente, a partir de um solo plano e 
horizontal, com uma velocidade que forma com 
a horizontal um ângulo a e atinge a altura 
máxima de 8,45 m. Sabendo que, no ponto 
mais alto da trajetória, a velocidade escalar do 
projétil é 9,0 m/s, pode-se afirmar que o 
alcance horizontal do lançamento é: 
Dados: intensidade da aceleração 
gravidade g = 10 m/s2 
[B]17,5m 
[E] 30,4 m
25km/h j Skm/h ;
E34) (Espcex-05) Um menino abandona uma 
pedra de um ponto situado a 125 m do solo. 
Um segundo mais tarde, ele arremessa 
verticalmente para baixo, do mesmo ponto, 
uma segunda pedra. Ambas as pedras 
chegam ao solo ao mesmo tempo. 
Desprezando a resistência do ar e 
considerando a aceleração da gravidade igual 
a 10 m/s2, pode-se afirmar que a velocidade 
com que o menino arremessou a segunda 
pedra foi de:
[A] 10,30 m/s [B] 10,50 m/s [C] 11,25 m/s
[D] 12,50 m/s [E] 13,45 m/s
E33) (Espcex-04) Uma bola é lançada do solo, 
com uma velocidade de módulo v que faz um 
ângulo 0 com a superfície do terreno, que é 
plana e horizontal. Desprezando a resistência 
do ar, considerando a aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s2 e 0 < 0 < 90°, podemos afirmar, 
em relação à bola, que
a) no ponto mais alto da trajetória, a 
aceleração é nula.
b) no ponto mais alto da trajetória, a
(AFA-07) Duas esteiras mantêm 
movimentos uniformes e sincronizados de
ELEMENTOS DA FÍSICA
€ r
h
o
A
B
V
O
115
E40) Um avião precisa soltar um saco com 
mantimentos a um grupo de sobreviventes que 
está numa balsa. A velocidade horizontal do 
avião é constante e igual a 100 m/s com
bolinhas 
em
F3) (Fuvest-04) Durante um jogo de futebol, 
um chute forte, a partir do chão, lança a bola 
contra uma parede próxima. Com auxílio de 
uma câmera digital, foi possível reconstituir a 
trajetória da bola, desde o ponto em que ela 
atingiu sua altura máxima (ponto A) até o 
ponto em que bateu na parede (ponto B). As 
posições de A e B estão representadas na 
figura. Após o choque, que é elástico, a bola 
retorna ao chão e o jogo prossegue.
relação à balsa e sua altitude é 2000 m. Qual a 
distância horizontal que separa o avião dos 
sobreviventes, no instante do lançamento ? (g 
= 10 m/s2).
7
F2) (Unicamp-92) Um malabarista de cinco 
bolas deseja ter três bolas no ar em todos os 
instantes. Ele arremessa uma bola a cada 0,40 
s . g = 10 m/s2.
a) quanto tempo cada bola fica no ar?
b) com que velocidade inicial deve 
malabarista atirar cada bola para cima?
c) a que altura se elevará cada bola acima de 
suas mãos?
E41) Um corpo é lançado obliquamente para 
cima, formando um ângulo de 30° com a 
horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura 
máxima hmàx = 15 m e que sua velocidade no 
ponto de altura máxima é v = 10 m/s. 
Determine a sua velocidade inicial. Adotar g = 
10 m/s2.
E39) (IME-95) De dois pontos A e B situados 
sobre a mesma vertical, respectivamente, a 45 
metros e 20 metros do solo, deixa-se cair no 
mesmo instante duas esferas, conforme 
mostra a figura abaixo. Uma prancha se 
desloca no solo, horizontalmente, com 
movimento uniforme. As esferas atingem a 
prancha em postos que distam 2,0 metros.
Supondo a aceleração local da gravidade igual 
a 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, 
determine a velocidade da prancha .
F1) (Unícamp-89) De um ponto PM, a uma 
altura de 1,8 m, lançou-se horizontalmente 
uma bomba de gás lacrimogêneo que atingiu 
os pés de um professor universitário a 20 m de 
distância, como indica a figura.
a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o 
professor?
b) com que velocidade Vo (em km/h) foi 
lançada a bomba?
jz pm vo r r i
I PJJ
*7^77777777777777777777777777
I (J
E38) (ITA-01) Uma bola é lançada 
horizontalmente do alto de um edifício, tocando 
o solo decorridos aproximadamente 2 s. Sendo 
2,5 m a altura de cada andar, o número de 
andares do edifício é: (g = 10 m/s2 ) 
a) 5. b) 6. c) 8. d) 9.
e) Indeterminado pois a velocidade horizontal 
de arremesso da bola não foi fornecida.
forma que bolinhas sucessivamente 
abandonadas em uma delas atingem 
ordenadamente recipientes conduzidos pela 
outra. Cada bolinha atinge o recipiente no 
instante em que a seguinte é abandonada. 
Sabe-se que a velocidade da esteira superior é 
v e que o espaçamento das bolinhas é a 
metade da distância d, entre os recipientes. 
Sendo g a aceleração da gravidade local, a 
altura h, entre as esteiras, pode ser calculada 
por
b)^
8l v d) 2 v
l----- d ----- 1
|2 x d
c) g—
I V
ELEMENTOS DA FÍSICA
g
5,0 m ■
FotoVo
em
intervalo de tempo t2,
H, =3,2m
h2 = 1,8 m
F D = ?A
CM-—.
h*
H
piso térreo
Considerando essas informações, estime:
116
T 
B
A
.. A B 
^4,2 m
1,6m
NOTE E ADOTE
Nos choques, a velocidade horizontal da bola não é alterada. 
Desconsidere a resistência do ar, o atrito e os efeitos de rotação 
da bola.
a) Estime o tempo T, em s, que a bola leva até 
atingir o chão, no ponto A.
b) Calcule a distância D, em metros, entre os 
pontos A e B.
c) Determine o módulo da velocidade vertical 
da bola Va, em m/s, logo após seu impacto 
com o chão no ponto A.
F4) (Fuvest-00) Um elevador, aberto em cima, 
vindo do subsolo de um edifício, sobe 
mantendo sempre uma velocidade constante 
ve = 5,0 m/s. Quando o piso do elevador passa 
pelo piso do térreo, um dispositivo colocado no 
piso do elevador lança verticalmente, para 
cima, uma bolinha, com velocidade inicial vb = 
10,0 m/s, em relação ao elevador. Na figura, h 
e h’ representam, respectivamente, as alturas 
da bolinha em relação aos pisos do elevador e 
do térreo e H representa a altura do piso do 
elevador em relação ao piso do térreo. No 
instante t = 0 do lançamento, H = h = h’ = 0.
a) Construa em um mesmo sistema de 
coordenadas os gráficos H(t), h(t) e h’(t), entre 
o instante t = 0 e o instante em que a bolinha 
retorna ao piso do elevador.
b) Indique no gráfico o instante tmax em que a 
bolinha atinge sua altura máxima, em relação 
ao piso do andar térreo.
If- IO
F5) (Fuvest-07) Uma bola chutada 
horizontalmente de cima de uma laje, com 
velocidade Vo, tem sua trajetória parcialmente 
registrada em uma foto, representada no 
desenho abaixo. A bola bate no chão, no ponto 
A, voltando a atingir o chão em B, em choques 
parcialmenteinelásticos.
F6) (Fuvest-09) O salto que conferiu a 
medalha de ouro a uma atleta brasileira, na 
Olimpíada de 2008, está representado no 
esquema ao lado, reconstruído a partir de 
fotografias múltiplas. Nessa representação, 
está indicada, também, em linha tracejada, a 
trajetória do centro de massa da atleta (CM). 
Utilizando a escala estabelecida pelo 
comprimento do salto, de 7,04m, é possível 
estimar que o centro de massa da atleta 
atingiu uma altura máxima de 1,25m (acima de 
sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma 
distância de 3,0m, na horizontal, a partir do 
início do salto, como indicado na figura.
1.25 m
6,0 m
a) Estime o intervalo de tempo t1, 
segundos, que a bola levou para ir do ponto A 
ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2, em 
segundos, durante o qual a bola permaneceu 
no ar, do instante do chute até atingir o chão 
após o choque.
c) Represente, no sistema de eixos da folha de 
resposta, em função do tempo, as velocidades 
horizontal VX e vertical VY da bola em sua 
trajetória, do instante do chute inicial até o 
instante em que atinge o chão, identificando 
por VX e VY, respectivamente, cada uma das 
curvas.
ELEMENTOS DA FÍSICA
ij^pisc^ *
6“ PISO •
b) 4,0 s c) 3,6 s d) 3,2 s e) 2,8 sa) 8,0 s
P
Vo
o
H7
a) O intervalo de tempo ti, em s, entre o 
instante do início do salto e o instante em que 
o centro de massa da atleta atingiu sua altura 
máxima.
b) A velocidade horizontal média, Vh, em m/s, 
da atleta durante o salto.
c) O intervalo de tempo Í2, em s, entre o 
instante em que a atleta atingiu sua altura 
máxima e o instante final do salto.
F10) (UFPR-11) Na cobrança de uma falta 
durante uma partida de futebol, a bola, antes 
do chute, está a uma distância horizontal de 27 
m da linha do gol. Após o chute, ao cruzar a 
linha do gol, a bola passou a uma altura de 
1,35 m do chão quando estava em movimento 
descendente, e levou 0,9 s neste movimento. 
Despreze a resistência do ar e considere g = 
10 m/s2.
a) Calcule o módulo da velocidade na direção 
vertical no instante em que a bola foi chutada.
b) Calcule o ângulo, em relação ao chão, da 
força que o jogador imprimiu sobre a bola pelo 
seu chute.
c) Calcule a altura máxima atingida pela bola 
em relação ao solo.
 
 
o 
 
 
 
 o
 o
 o
 o
 o
 o
 
 
F7) (UFPE-02) Um projétil é lançado do solo, 
segundo um ângulo de 15° com a horizontal. 
Ele atinge um alvo no solo, que se encontra a 
uma distância igual ao alcance máximo que o 
projétil teria se fosse lançado com uma 
velocidade inicial de 15 m/s e ângulc de 
lançamento de 45°. Qual foi a velocidade de 
lançamento do projétil, em m/s? Despreze a 
resistência do ar.
F11) (UFBA-00) A figura abaixo apresenta um 
arranjo experimental construído para 
determinar o valor da aceleração da gravidade 
g local. Consiste em um cronômetro digital de 
grande precisão, que pode ser acionado com 
incidência do feixe de luz, um tubo de vidro 
transparente, um suporte e duas lanternas, 
uma em cada extremidade, separadas de 1,35 
m. Estando as lanternas acesas, o cronômetro 
é abandonado na parte superior do tubo, 
sendo ligado, ao passar pelo primeiro feixe de 
luz e desligado, marcando 0,5 segundo, ao 
passar pelo segundo feixe. Considerando-se o 
valor da aceleração da gravidade local como 
sendo 10,0m/s2, determine, em %, o desvio 
relativo percentual da medida de g.
TÉRREO^j
F8) (UFPE-02) Uma brincadeira de tiro ao alvo 
consiste em acertar, a partir do ponto O, uma 
pequena esfera de ferro presa por um ímã, em 
P, como mostra a figura. No instante em que é 
feito um disparo, a esfera se desprende, sendo 
eventualmente atingida durante a queda. Se 
um projétil é disparado a 200 m/s e acerta o 
alvo, após quanto tempo, em unidades de 
centésimos de segundos (10'2s), o alvo é 
atingido? Despreze a resistência do ar.
PQ = H = 6m 
OQ = D = 8m
F9) (Mackenzie-03) Da janela de um 
apartamento, situado no 12° piso de um 
edifício, uma pessoa abandona uma pequena 
pedra do repouso. Depois de 2,0 s, essa pedra, 
em queda livre, passa em frente à janela de 
um apartamento do 6° piso. Admitindo que os 
apartamentos possuam mesmas dimensões e 
que os pontos de visão nas janelas estão 
numa mesma vertical, à meia altura de cada 
uma delas, o tempo total gasto pela pedra, 
entre a janela do 12° piso e a do piso térreo, é 
aproximadamente:
u ■
■f;-u a
c)215. d) 250.
ca
50^3
é 4 m
obs.: o desenho está fora de escala.
118
b) 72 km/h. 
d) 50 km/h.
b) 0,80m 
e) 3,20m
Para conseguir o desejado, a velocidade 
mínima da moto no final da rampa deverá ser 
igual a 
a) 144 km/h. 
c) 180 km/h.
outra pedra idêntica é abandonada de uma 
altura de 40 m. Sabendo-se que as duas 
pedras colidem a 20 m de altura e que a 
aceleração da gravidade na Lua é g = 1,6 m/s2, 
a velocidade com que foi lançada a primeira 
pedra, em m/s, é 
a) 2. b)4. c) 6 . d) 8.
I
s
80cm
F14) (AFA-99) Em uma experiência realizada 
na Lua, uma pedra de 200 g é lançada 
verticalmente para cima e, no mesmo instante.
F18) (AFA-07) Um pára-quedista, ao saltar na 
vertical de um avião que se desloca na 
horizontal em relação ao solo, sofre uma 
redução crescente da aceleração até atingir a 
velocidade limite. O gráfico que MELHOR
F17) (AFA-02) Um audacioso motociclista 
deseja saltar de uma rampa de 4 m de altura 
e inclinação 30° e passar sobre um muro 
(altura igual a 34 m) que está localizado a 
50/3 m do final da rampa.
ELEMENTOS DA FÍSICA
sx
“oX1____\r
FIGURA SEM ESCALA
■£--7
F12) (Mackenzie-06) Da aresta superior do 
tampo retangular de uma mesa de 80cm de 
altura, um pequeno corpo é disparado 
obliquamente, com velocidade inicial de 
módulo 5,00m/s, conforme mostra a figura ao 
lado. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o 
plano da trajetória descrita, perpendicular a ele. 
Sabendo que o corpo tangencia a aresta 
oposta, podemos afirmar que a distância d é 
de:
F13) (AFA-98) Uma pequena esfera 
abandonada em queda livre, de uma altura de 
80 m, em relação ao solo. Dois segundos 
após, uma segunda esfera é atirada, 
verticalmente para baixo. Despreze a 
resistência do ar e considere g = 10 m/s2. A 
fim de que as esferas atinjam o solo no mesmo 
instante, a velocidade de lançamento da 
segunda esfera, em m/s, deve ser 
a) 15 b)20 c)25 d)30
; d ;
Despreze a resistência do ar e considere: 
sena = 0,60; cosa = 0,80; g = 10m/s2
a) 0,60m b)0,80m c) 1,20m
d) 1,60m
F15) (AFA-99) Um projétil é disparado com 
velocidade de 250 m/s em uma direção que faz 
um ângulo 0 com a horizontal. Após um 
intervalo de tempo, o projétil choca-se com um 
obstáculo a 5250 m do ponto de disparo. 
Desprezando-se a resistência do ar e 
considerando-se g = 10 m/s2, sen 9 = 0,7, a 
velocidade do projétil, em m/s, no instante do 
choque, é 
a) 125. b) 175.
F16) (AFA-01) Durante um jogo de
basquetebol, um jogador arremessa a bola 
com velocidade inicial de 10 m/s formando um 
ângulo de 30° acima da horizontal. Sabendo- 
se que a altura do cesto é 3,05 m e que o 
lançamento foi feito de uma altura de 2 m, a 
distância horizontal, em metros, do jogador ao 
cesto, para que ele consiga fazer os pontos 
sem o auxílio da tabela, deverá ser 
aproximadamente
a) 2,02 b) 4,00 c) 6,09 d) 7,05
C) V
tt
b) d)V V
tt
A
Sa da
300 m
D
C) d)
F20)
B
Anteparo
10,00 m A
Vo
h
> x
-►
d) 19 e) 23a) 7,0 b) 11
F24) (Escola Naval-15) Analise a figura abaixo.
119
( b ) 45/4 e 5/3
( d ) 50/4 e 5/3
[B] 360 m
[E] 960 m
v
g
F23) (Escola Naval-12) Um projétil é lançado 
contra um anteparo vertical situado a 20 m do 
ponto de lançamento. Despreze a resistência 
do ar. Se esse lançamento é feito com uma 
velocidade inicial de 20 m/s numa direção que 
faz um ângulo de 60° com a horizontal, a altura 
aproximada do ponto onde o projétil se choca 
com o anteparo, em metros, é 
Dados: tg 60° » 1,7; g = 10 m/s2.
y
W Y
Dado: g = 10 m/s2. 
(a ) 45/4 e 5/6 
( c) 50/4 e 5/6 
(e) 15 e 5/3 20 m
C) 14
a) — 
g
F22) (Espcex-11) Um lançador de granad 
deve ser posicionado a uma distância D 
linha vertical que passa porum ponto A. Es 
ponto está localizado em uma montanha a 3 
m de altura em relação à extremidade de saí 
da granada, conforme o desenho abaixo, 
velocidade da granada, ao sair do lançador, 
de 100 m/s e forma um ângulo “a" com 
horizontal; a aceleração da gravidade é igua 
10m/s2 e todos os atritos são desprezíveis.
Unha Vertical
V2 
b)— 
g
^max
Montanha \
Para que a granada atinja o ponto A, somente 
após a sua passagem pelo ponto de maior 
altura possível de ser atingido por ela, a 
distância D deve ser de:
Dados: Cos a = 0,6, Sen a = 0,8
[A] 240 m [B] 360 m [C] 480 m
[D] 600 m
F21) (Espcex-01) Um balão sobe verticalmente, 
em movimento retilíneo e uniforme, com 
velocidade escalar de 10 m/s. Quando ele está 
a 20 m do solo uma pedra é abandonada do 
balão. A altura máxima, em relação ao solo,
\2
V I 
gj
ELEMENTOS DA FÍSICA
(Ciaba-13) Uma bola é lançada 
obliquamente e, quando atinge a altura de 10 
m do solo, seu vetor velocidade faz um ângulo 
de 60° com a horizontal e possui uma 
componente vertical de módulo 5,0 m/s. 
Desprezando a resistência do ar, a altura 
máxima alcançada pela bola, e o raio de 
curvatura nesse mesmo ponto (ponto B), em 
metros, são, respectivamente,
F19) (AFA-08) Um corpo é abandonado do 
repouso de uma altura h acima do solo. No 
mesmo instante, um outro é lançado para cima, 
a partir do solo, segundo a mesma vertical, 
com velocidade v. Sabendo que os corpos se 
encontram na metade da altura da descida do 
primeiro, pode-se afirmar que h vale
/2
representa o módulo da componente vertical 
da velocidade do pára-quedista em função do 
tempo, a partir do instante em que começa a 
cair, é 
a) vf
\ 60°
atingida pela pedra é: Adote g = 10 m/s2 
(desprezar a resistência ao ar)
a) 25,0 m b) 31,25 m c)21,0m d) 22,5 m 
e) 20 m
Lançador 
de 
Granadas^r4-
ELEMENTOS DA FÍSICA
y(m)
t = o c) 6000 m
y»
x(m)
c) 3,6 e 10
d >
h
A2) (PUC/SP-12) Dois amigos, Berstáquio e
120
I-
Xo
F27) (IME) Uma pedra cai de um balão que 
sobe com velocidade constante de 10 m/s. Se 
a pedra demora 10sm para atingir o solo, isto 
significa que, no instante em que se iniciou a
b) 3,6 e 8,0 
e) 5,4 e 10
A1) Uma pedra cai de uma altura H e os 
últimos 196 m são percorridos em 4 s. Calcule 
o valor da altura H. Use g = 10 m/s2.
F31) Um projétil é atirado com velocidade Vo = 
200 m/s fazendo um ângulo de 60° com a 
horizontal. Desprezada a resistência do ar, 
qual será a altura do projétil quando sua 
velocidade fizer um ângulo de 45° com a 
horizontal? (Adote g = 10 m/s2)
b) 600 m 
e) 400 m
F29) Na Lua, onde g = 1,6 m/s2, abandona-se 
uma pedra em repouso a 40 m de altura do 
solo. Na mesma prumada, outra pedra junto 
ao solo é atirada verticalmente para cima 
no mesmo instante. As duas pedras colidem 
na altura de 20 m. Com que velocidade foi 
lançada a 2a pedra?
F30) Um vaso de flores cai livremente do alto 
de um edifício. Após ter percorrido 320 cm, ele 
passa por um andar que mede 2,85 m de 
altura. Quanto tempo ele gasta para passar por 
esse andar? Desprezar a resistência do ar e 
assumir g = 10 m/s2.
queda, o balão estava a uma altura de (use g = 
10 m/s2) 
a) 4000 m 
d)500 m
F32) Dentro de um elevador, você observa um 
prego que cai do teto. Este teto está a 3 m do 
piso.
(a) Se o elevador estiver se movimentando 
para cima com velocidade constante de 2,2 
m/s, quanto tempo leva o prego para atingir 
o piso?
(b) Quanto tempo fica o prego no ar se o 
elevador parte do repouso no instante do 
início da queda e se desloca para cima 
com a aceleração constante de 4 m/s2?
F28) Para bombardear um alvo, um avião em 
vôo horizontal a uma altitude de 2,0 km solta a 
bomba quando a sua distância horizontal até o 
alvo é de 4,0 km. Admite-se que a resistência 
do ar seja desprezível. Para atingir o mesmo 
alvo, se o avião voasse com a mesma 
velocidade, mas agora a uma altitude de 
apenas 0,50 km, ele teria que soltar a bomba a 
que distância horizontal do alvo?
o
Conforme indica a figura acima, no instante t = 
0, uma partícula é lançada no ar, e sua 
posição em função do tempo é descrita pela 
equação f(t) = (6,0t + 2,5) T + (- 5,0t2 + 2,0t + 
8,4) j , com r em metros e t em segundos. 
Após 1,0 segundo, as medidas de sua altura 
do solo, em metros, e do módulo da sua 
velocidade, em m/s, serão respectivamente, 
iguais a 
a) 3,4 e 10 
d) 5,4 e 8,0
F25) (ITA-56) Um corpo de pequenas 
dimensões I escorrega sem atrito, a partir de A, 
pela superfície AB, que tem em B, tangente 
horizontal. Em B o corpo aciona um dispositivo 
elétrico, de maneira que, nesse instante, o 
eletroimã desativa. E deixa cair um outro corpo 
II, que está na mesma altura que B. Para que 
distância d haverá encontro entre os corpos?
A?1
Dados: h = 1,52m; g = 9,8 m/s2
F26) (ITA-87) Um avião Xavante está a 8 km 
de altura e voa horizontalmente a 700 km/h, 
patrulhando as costas brasileiras. Em dado 
instante, ele observa um submarino inimigo 
parado na superfície. Desprezando as forças 
de resistência do ar e adotando g = 10 m s'2 
pode-se afirmar que o tempo de que dispõe o 
submarino para deslocar-se após o avião ter 
soltado uma bomba é de: 
a)108s b)20s c) 30 s d)40s 
e) Não é possível determiná-lo se não for 
conhecida a distância inicial entre o avião e o 
submarino.
figura 2 h
P
4 m
de
c) 2,75.
X
0
Vo.
c) 1/4 m/s2
uma
V
A
H
h
figura 1
4 m
c) 10 m
121
I
b) 1/3 m/s2 
e) 1/10 m/s2
a) 1/2 m/s2 
d) 1/5 m/s2
b) 15 m 
e) 5 m
vx = 8 m/s 
r*---------------1 1
p
Após a cortada, a bola percorre uma distância 
horizontal de 4 m, tocando o chão no ponto P.
■ ^1 Imorbfc®
Considerando que durante seu movimento a 
bola ficou sujeita apenas à força gravitacional 
e adotando g = 10 m/s2, a altura h, em m, onde 
ela foi atingida é 
a) 2,25. b) 2,50.
d) 3,00. e) 3,25.
A5) (Fuvest-01) Um motociclista de motocross 
move-se com velocidade v = 10 m/s, sobre 
uma superfície plana, até atinge uma rampa 
(em A) inclinada de 45° com a horizontal, 
como indicado na figura.
vy = 3 m/s
A trajetória do motociclista deverá atingir 
novamente a rampa a uma distância horizontal 
D (D = H), do ponto A, aproximadamente igual 
a: 
a) 20 m 
d) 7,5 m
A4) (UFG-12) Um torcedor sentado na 
arquibancada, a uma altura de 2,2 m em 
relação ao nível do campo, vê um jogador 
fazer um lançamento e percebe que a bola 
permaneceu por 2,0 segundos acima do nível 
em que se encontra. Considerando-se que o 
ângulo de lançamento foi de 30°, calcule:
a) a velocidade de lançamento da bola;
b) o alcance do lançamento da bola.
A3) (UFTM-11) Num jogo de vôlei, 
atacante acerta uma cortada na bola no 
instante em que a bola está parada numa 
altura h acima do solo. Devido à ação da 
atacante, a bola parte com velocidade inicial Vo, 
com componentes horizontal e vertical, 
respectivamente em módulo, Vx = 8 m/s e Vy = 
3 m/s, como mostram as figuras 1 e 2. 
>,lr-------
X
ELEMENTOS DA FÍSICA
A6) (UFPE-00) Um pequeno bloco é 
arremessado do alto de uma escada que tem 
99 degraus, com uma velocidade v=6,0 m/s, 
conforme a figura. Cada degrau da escada 
possui 25cm de altura e 25cm de largura. 
Determine o número do primeiro degrau a ser 
atingido pelo bloco.
Protásio, distam de 25,5 m. Berstáquio lança 
obliquamente uma bola para Protásio que, 
partindo do repouso, desloca-se ao encontro 
da bola para segurá-la. No instante do 
lançamento, a direção da bola lançada por 
Berstáquio formava um ângulo 0 com a 
horizontal, o que permitiu que ela alcançasse, 
em relação ao ponto de lançamento, a altura 
máxima de 11,25 m e uma velocidade de 8 
m/s nessa posição. Desprezando o atrito da 
bola com o ar e adotando g = 10m/s2, 
podemos afirmar que a aceleração 
Protásio, suposta constante, para que ele 
consiga pegar a bola no mesmo nível do 
lançamento deve ser de 
*y
D) 5 s. E) 6 s.
122
' .............................................................................................. ■ - . ................................................................................-
ELEMENTOS DA FÍSICA
A8) (Unicamp-12) Um jogador de futebolchuta 
uma bola a 30 m do gol adversário. A bola 
descreve uma trajetória parabólica, passa por 
cima da trave e cai a uma distância de 40 m de 
sua posição original. Se, ao cruzar a linha do 
gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura 
máxima por ela alcançada esteve entre
A11) (Escola Naval-13) Conforme mostra a 
figura abaixo, em um jogo de futebol, no 
instante que o jogador situado no ponto A faz 
um lançamento, o jogador situado no ponto B, 
que inicialmente estava parado, começa a 
correr com aceleração constante igual a 3,00 
m/s2, deslocando-se até o ponto C. Esse 
jogador chega em C no instante em que a bola 
toca o chão no ponto D. Todo o movimento se 
processa em um plano vertical, e a distância 
inicial entre A e B vale 25,0 m. Sabendo-se 
que a velocidade inicial da bola tem módulo 
igual a 20,0 m/s, e faz um ângulo de 45° com a 
horizontal, o valor da distância, d, entre os C e 
D, em metros, é 
Dado: g = 10,0 m/s2
a) 4,1 e 4,4 m. 
c) 3,2 e 3,5 m.
b) 3,8 e 4,1 m. 
d) 3,5 e 3,8 m.
30 m
40 m\ 98
| 99
A7) (UFC-07) Uma partícula pontual é lançada 
de um plano inclinado conforme 
esquematizado na figura abaixo. O plano tem 
um ângulo de inclinação q em relação à 
horizontal, e a partícula é lançada, com 
velocidade de módulo v, numa direção que 
forma um ângulo de inclinação a em relação 
ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito 
da resistência do ar. Considere que a 
aceleração da gravidade local é constante 
(módulo igual a g , direção vertical, sentido 
para baixo).
A9) (Espcex-03) Num local onde a aceleração 
da gravidade é constante e igual a 10 m/s2, um 
corpo entra em queda livre com velocidade 
inicial nula, caindo de uma altura h. No último 
segundo da queda, o corpo percorre três 
quartas partes do deslocamento total (h). O 
tempo total da queda é de 
A) 2 s. B) 3 s. C) 4 s.
horizontal
A) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo 
y na vertical e a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas no ponto de 
lançamento, determine as equações horárias 
das coordenadas da partícula, assumindo que 
o tempo é contado a partir do instante de 
lançamento.
B) Determine a equação da trajetória da 
partícula no sistema de coordenadas definido 
no item (A).
C) Determine a distância, ao longo do plano 
inclinado, entre o ponto de lançamento (ponto 
A) e o ponto no qual a partícula toca o plano 
inclinado (ponto B). Considere a = rt/12 e 0 = 
n/4 .
A10) (Escola Naval-86) Gotas de água caem, 
partindo do repouso e sob a ação da gravidade 
(g = 10 m/s2), dentro de um poço vertical de 
uma mina , numa razão uniforme de uma gota 
por segundo. Um elevador no poço, movendo- 
se para cima com velocidade constante de 10 
m/s, é atingido por uma gota quando está a 80 
m abaixo do ponto de onde partem as gotas. A 
próxima gota atingirá o elevador após 
decorrido um tempo, em segundos (contados a 
partir da chegada da gota anterior), igual a: 
a) 3 b) 1 c) >/4Í - 6
d) 4-2^3 e)V23-4
ELEMENTOS DA FÍSICA
25 m
c) 5,00
que
40
c) 25 m/s.
o
do encontro
123
; *■
partículas ocorrerá :
A) um décimo de segundo após o lançamento 
da segunda partícula.
B) 1,1 s após o lançamento da segunda 
partícula.
C) a uma altura de 4,95 m acima do ponto de 
lançamento
D) a uma altura de 4,85 m acima do ponto de 
lançamento
E) a uma altura de 4,70 m acima do ponto de 
lançamento
b) 15 m/s.
e) 22 m/s.
b) 49,3 ms 2, 
d) 11,1 ms'2.
A12) (AFA-95) A distância percorrida por um 
objeto abandonado em queda livre, a partir, do 
repouso, durante o i-ésimo segundo, é 
a) gi2/2 b) gi - g/2
c) g/2(i + 1/2) d) g/2(i + i2/2)
a) 1,00
d) 12,0
b) 3,00
e) 15,0
A13) (AFA-01) Um corpo é abandonado do 
topo de um precipício. O ruído produzido pela 
queda do corpo ao atingir o chão é ouvido 10 s 
após o seu abandono. Considerando a 
velocidade do som no ar igual a 340 m/s, 
pode-se afirmar que a altura do precipício, em 
metros, é aproximadamente 
a) 200 b) 288 c) 391 d) 423
A15) (ITA-76) Uma partícula é lançada , no 
vácuo, verticalmente para cima, com uma 
velocidade inicial de 10 m/s. Dois décimos de 
segundo depois, lança-se, do mesmo ponto, 
uma segunda partícula com a mesma 
velocidade inicial. A aceleração da gravidade é 
igual a 10 m / s2. A colisão entre as duas
A14) (ITA-75) Um projétil de massa m é 
lançado com uma velocidade inicial vo que 
forma um ângulo de 60° com a horizontal. Em 
sua volta à Terra ele incide sobre um plano 
inclinado de 30° com a horizontal. O ponto de 
lançamento do projétil e o início do plano 
inclinado coincidem, conforme a figura. O 
choque do projétil com o plano inclinado é 
suposto totalmente inelástico. Após o instante 
de impacto o projétil desliza, sem atrito, em 
direção à origem 0. Despreza-se a resistência 
do ar. Qual a velocidade com que ele chega à 
origem?
y
A16) (ITA-82) Acima de um disco horizontal de 
centro O que gira em torno de seu eixo, no 
vácuo, dando 50,0 voltas por minuto, estão 
duas pequenas esferas M e N. A primeira está 
2,00 m acima do disco e a segunda a 4,50 m 
acima do disco, ambas na mesma vertical. 
Elas são abandonadas simultaneamente e, ao 
chocar-se com o disco, deixam marcas N' e M' 
tais que o ângulo M'ON' é igual a 95,5°. 
Podemos concluir que a aceleração de 
gravidade local vale: 
a) 10,1 ms’2, 
c) 9,86 ms'2, 
e) 3,14 ms-2.
A18) (ITA-89) Do alto de uma torre de 20 m de 
altura, um artilheiro mira um balão que se 
encontra parado sobre um ponto situado a 400 
m do pé da torre. O Ângulo de visada do 
artilheiro em relação à horizontal é de 15° No 
instante exato em que o artilheiro dispara um 
projétil ( P ) os ocupantes do balão deixam cair 
um objeto ( O ) que é atingido pela disparo. A 
velocidade do projétil ao deixar o cano da arma 
é vo = 200 m/s. Despreze a resistência do ar.
A) Faça um esquema indicando a configuração 
do problema.
B) Deduza as equações horárias : x p (t) e y p (t) 
para o projétil e y o (t) para o objeto 
(literalmente).
C) Calcule o instante do encontro projétil- 
objeto (numericamente).
D) Calcule a altura 
(numericamente).
A)Vlv0 B)Jfv0 C)|VO
D) 2 v» E)àv°
A17) (ITA-85) Dois corpos estão sobre a 
mesma vertical, a 40 m um do outro. 
Simultaneamente
deixa-se cair o mais alto e lança-se o outro 
para cima com velocidade inicial v0. A 
velocidade Vo para que ambos se encontrem 
quando o segundo alcança sua altura máxima, 
é: (g = 10 m/s2) 
a) 20 m/s. 
d) 30 m/s.
A24) Uma bola de chumbo é largada de um 
trampolim a 5,5 m acima de uma piscina. Ela 
atinge a superfície da água com uma certa 
velocidade, penetra no seio da água com esta
A23) (IME-81) Em um planeta desconhecido, 
de gravidade também desconhecida, deixam- 
se cair de uma altura de 9,0 metros e a partir 
do repouso, esferas em intervalos de tempo 
iguais. No instante em que a 1a esfera toca o 
chão, a 4a esfera está no ponto de partida. 
Determine nesse instante, as alturas em que 
se encontram a 2a e 3a esferas.
A22) (IME-79) Um elevador, tendo acabado de 
partir de um andar, desce com aceleração de 3 
m/s2. O ascensorista, sentado em seu banco, 
percebe o início da queda do globo de luz, o 
qual está a 3,5 metros acima de seu pé. 
Calcule o tempo de que ele disporá para 
afastar o pé. Use g = 10 m/s2.
b) 7,5 m/s. 
e) 4,5 m/s.
A26) Uma bola de tênis cai do telhado de um 
edifício, sem velocidade inicial, em um local 
onde g = 9,8 m/s2. Um observador, parado na 
frente de uma janela de 1,20 m de altura, nota 
que a bola leva 1/8 de segundo para cair 
desde o alto da janela até sua base. A bola de 
tênis continua a cair, choca-se elasticamente 
com a calçada horizontal e reaparece na parte 
inferior da janela 3 s depois de ter passado 
naquele ponto de descida. Qual é a altura do 
edifício?
A25) Um elevador sem teto está subindo com 
uma velocidade constante v = 10 m/s. Um 
menino no elevador, quando este está a uma 
altura h = 20 m acima do solo, joga direto para 
cima uma bola. A velocidade inicial da bola em 
relação ao elevador é Vo = 20 m/s. a) Calcule a 
altura atingida pela bola em relação ao solo, b) 
Quanto tempo passa para quea bola retorne 
ao elevador? Considere g = 9,8 m/s2.
A20) (ITA-04) Durante as Olimpíadas de 1968, 
na cidade do México, Bob Beamow bateu o 
recorde de salto em distância, cobrindo 8,9 m 
de extensão. Suponha que, durante o salto, o 
centro da gravidade do atleta teve sua altura 
variando de 1,0 m no início, chegando ao 
máximo de 2,0 m e terminando a 0,20 m no fim 
do salto. Desprezando o atrito com o ar, pode- 
se afirmar que a componente horizontal da 
velocidade inicial do salto foi de: (g = 10 m/s2) 
a) 8,5 m/s. b) 7,5 m/s. c) 6,5 m/s.
d) 5,2 m/s.
A27) Um bombardeiro, mergulhando em um 
ângulo de 60° com a vertical, lança uma 
bomba de uma altitude de 700 m. A bomba 
atinge o solo 5,0 s após ser lançada. 
Considerando g = 9,8 m/s2:
a) Qual a velocidade do bombardeiro?
b) Qual a distância que a bomba percorre 
horizontalmente durante seu trajeto?
c) Quais as componentes horizontal e vertical 
de sua velocidade exatamente antes de atingir 
o solo?
A28) Um pequeno corpo desliza com 
velocidade v = 10 m/s por um plano horizontal 
aproximando-se de um buraco. O buraco é 
formado por duas paredes verticais paralelas, 
situadas a d = 5 cm entre si. A velocidade v do 
corpo é perpendicular às paredes. A 
profundidade do buraco é H = 1 m. Quantas 
vezes o corpo se chocará com as paredes 
antes de bater no fundo? Supor que todos os 
choques são perfeitamente elásticos.
mesma velocidade a qual permanece 
constante até atingir o fundo da piscina. A bola 
atinge o fundo da piscina 2 s após o instante 
em que ela é largada.
a) Qual a profundidade da piscina?
b) Suponha que a piscina seja esvaziada. A 
bola deve ser lançada com que velocidade 
inicial de modo a atingir o fundo da piscina 
novamente em 2 s?
Considere g = 9,8 m/s2.
ELEMENTOS DA FÍSICA
A19) (ITA-93) O módulo Vi da velocidade de 
um projétil no seu ponto de altura máxima é
do valor da velocidade V2 no ponto onde 
altura é a metade da altura máxima. Obtenha o 
coseno do ângulo de lançamento com relação 
a horizontal.
a) Os dados fornecidos são insuficientes
b) V3/2 c) 1/2 d) V2/2 e) 73/3
A21) (IME-79) Um projétil é lançado 
verticalmente do solo com velocidade inicial de 
200 m/s. A uma altura H a carga do projétil 
explode; o ruído da explosão é recebido no 
solo 15 segundos após o lançamento. 
Despreze a resistência do ar e use os valores 
de 10 m/s2 para a aceleração da gravidade e 
de 300 m/s para a velocidade do som. Calcule:
a) o intervalo de tempo entre o lançamento e a 
explosão.
b) a altura em que se deu a explosão.
124
ELEMENTOS DA FÍSICA
'd 1
,a
A32) Do ponto A situado
125
K~:.. L
A29) Um corpo é abandonado no vácuo, 
aceleração da gravidade igual a g, a uma 
altura h. Calcular h sabendo que o corpo 
percorre os últimos s metros em T segundos.
A34) Uma bola de vôlei impelida verticalmente 
para cima, a partir de um ponto próximo do 
chão, passa pela altura da rede 0,3 s depois, 
subindo, e volta a passar por ela, descendo,
l, 7 s depois do arremesso. Adote g = 10 m/s2.
I - O tempo de subida é de 0,7 s até a altura 
máxima.
II - A altura máxima atingida pela bola é de 5
m.
III - A altura da rede é de 2,55 m.
IV - A velocidade inicial da bola é de 10 m/s.
Assinale a alternativa que corresponde ao
A41) (OBF-13) Um pulverizador é projetado 
para atuar em terrenos inclinados. Ele pode 
lançar os produtos com velocidades variáveis
A40) Pedras são lançadas com velocidade v0 
de modo a ultrapassarem um muro de altura h 
e distância d do ponto de lançamento. Calcule 
a distância, contada a partir do muro, onde 
nenhuma pedra pode colidir.
A35) É possível lançar uma pedra do topo do 
pirâmide Quéops de tal modo que a pedra nâo 
atinja a pirâmide? A altura da pirâmide é 137,2 
m, o comprimento de cada lado da pirâmide é 
de 227,5 mea velocidade de lançamento da 
pedra é 24 m/s.
A38) Qual a menor velocidade com que um 
corpo deve ser lançado do alto de uma torre de 
altura h de modo que caia a uma distância S 
do pé da torre:
A37) Uma pedra será lançada desde um 
despenhadeiro acima 20 m do leito de um rio. 
Determine o ângulo com respeito à horizontal 
que é necessário lançar uma pedra de modo 
que a mesma alcance uma distância máxima 
da margem do rio? A velocidade inicial de 
lançamento é de 14 m/s. Adote g = 10 m/s2.
A39) Um corpo é lançado obliquamente desde 
uma altura h sobre o solo com uma velocidade 
vo. Demonstre que o maior alcance ocorre para 
um ângulo a de lançamento dado por
1
2
I
H
1
A33) Uma partícula é lançada de um ângulo a 
com a horizontal em um plano de inclinação p. 
Se a partícula atinge o plano sob um ângulo 
reto prove que tg a = cotg p + 2.tg p.
/
A36) Considere a figura abaixo. Um canhão é 
ajustado para lançar projéteis, com velocidade 
inicial vo, diretamente para cima, na rampa de 
uma colina cujo ângulo de inclinação vale a. 
Determine o ângulo formado entre a direção da 
bala do canhão e a horizontal para que se 
obtenha o alcance máximo possível sobre o 
plano inclinado da colina.
rI
atirado o segundo corpo 
encontre aquele no ponto 
máxima atingida.
A30) Um corpo é lançado verticalmente para 
cima e no mesmo instante outro é abandonado 
ao seu encontro. Sabendo-se que no instante 
possuem velocidades iguais em valor absoluto, 
determinar a relação entre as distâncias 
percorridas pelos dois graves até esse instante.
número de afirmativas corretas, 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
_[ . gh 
a = arcsen 2 1 + -^5-
V vo.
sobre um plano 
inclinado de ângulo 0 em relação do horizonte 
é disparado um projétil segundo a direção da 
normal do plano. O projétil sobe e ao cair toca 
o mesmo plano inclinado num ponto B situado 
a uma distância d do ponto A. Calcular a 
velocidade inicial do projétil. Considerar que 
tg 6 = 1/2; d = 400 m e g = 10 m/s2.
A31) Dois corpos são atirados de baixo para 
cima, segundo a vertical, com a mesma 
velocidade inicial vo, em um local onde a 
aceleração da gravidade é g. Calcular quanto 
tempo após a saída do primeiro deve ser 
para que este 
médio da altura
Vo
cos 9
126
k + h 
k -h
A45) Um projétil é lançado obliquamente, 
apresentando um alcance A e uma altura 
máxima H. Despreza a resistência com o ar. 
Determine a velocidade de lançamento, em 
função apenas de A, H e g.
A44) Uma partícula será lançada com uma 
velocidade Vo e com um ângulo de lançamento 
9, com a horizontal, que pode variar desde 0 
até 180°. Determine as coordenadas do ponto 
de tangência de cada equação da trajetória 
com a parábola de segurança, em função 
apenas de vo, g e 0.
A42) Um morteiro é uma arma que lança 
granadas, sempre com a mesma velocidade, 
em um ângulo que é possível ser ajustado de 
acordo com o alvo. Suponha que um morteiro, 
quando localizado no solo, apresenta um 
alcance máximo de 40 m. Determine, em 
função do ângulo a de lançamento com a 
horizontal, o alcance máximo deste morteiro 
quando o mesmo se encontra a 20 m acima do 
solo. Adote g = 10 m/s2.
de acordo com a pressão da bomba e, assim, 
cobrir uma determinada faixa do terreno. Do 
ponto A de um terreno inclinado lança-se um 
jato do produto com velocidade Vo 
perpendicularmente, como mostra a figura. 
Quais os possíveis valores para a velocidade 
de lançamento para que a região pulverizada 
seja todo o plano?
A47) Uma partícula é projetada no instante t = 
0 em um plano vertical a partir de um ponto O 
com velocidade ^/Zgh, onde g é a aceleração 
da gravidade. Suponha que vy é a componente 
vertical da velocidade de lançamento.
a) Calcule o instante t em que a partícula 
passará pelo ponto de tangência da equação 
da trajetória com a parábola de segurança.
b) Calcule, no instante do item anterior, a 
direção do vetor velocidade da partícula.
A= 
d2
A46) Um navio de guerra está equipado com 
vários lança mísseis de longo alcance. 
Considere que um desses lança mísseis está 
localizado na parte traseira do navio, fazendo 
lançamentos com ângulo de inclinação a com
A43) Um objeto está localizado no topo de um 
cone de altura 60 m e diâmetro da base 160 m, 
que está apoiado em um solo horizontal.O 
objeto é lançado com uma velocidade de 25 
m/s. É possível escolher um ângulo de 
lançamento de modo que o objeto atinja o solo? 
Adote g = 10 m/s2.
u + ^u2 +8Vq 
4v0
A48) Em uma batalha, um nayio de guerra 
está se aproximando de um forte, que defende 
uma cidade. O navio e o forte podem lançar 
mísseis com velocidades iguais a ^2gk , onde 
g é a aceleração da gravidade. O forte 
encontra-se a uma altura h acima do nível do 
mar. Considere que di é a projeção horizontal 
do alcance máximo de um míssil lançado pelo 
forte contra o navio, enquanto que d? é a 
projeção horizontal do alcance máximo de um 
míssil lançado pelo navio contra o forte. Prove 
que:
a horizontal, sendo vo a velocidade de 
lançamento dos mísseis em relação ao lança 
mísseis. Supondo que a componente 
horizontal da velocidade dos mísseis é paralela 
à velocidade u do navio (porém em sentido 
contrário), demonstre que:
a) O alcance de cada míssil vale
2v0 , ,—-sena(v0 cosa-u)
g
b) O ângulo de lançamento 0 para um alcance 
máximo é tal que
A49) Um projétil deverá ser lançado do solo. O 
ponto de lançamento, o ângulo com relação à 
horizontal e a velocidade de lançamento 
podem ser escolhidos sem restrições. 
Demonstre que a menor velocidade de 
lançamento de modo que o projétil passe pelos 
pontos P e Q vale:
^(yp+Vo+PQ)
ELEMENTOS DA FÍSICA
ELEMENTOS DA FÍSICA
CINEMÁTICA - MOVIMENTO CIRCULAR
INTRODUÇÃO
O
v
GRANDEZAS ANGULARES
127
E. .
KlüKi
Conforme foi apresentado no item sobre a direção do vetor velocidade, sabe-se que v 
sempre é tangente à trajetória na posição da partícula. No caso de um movimento circular, é 
necessário indicar o sentido, horário ou anti-horário, em que a partícula está se movimentando 
sobre a circunferência.
Até este momento, os conceitos cinemáticos foram apresentados neste livro de modo que 
a trajetória executada pela partícula seja qualquer. Entretanto, existe um formato de trajetória que 
possibilita determinar expressões horárias e grandezas próprias do movimento, que é a trajetória 
circular. Considere como movimento circular o movimento resultante de uma partícula que gira 
com determinada velocidade em torno de uma trajetória circular de raio R e centro O, conforme 
indicado na figura abaixo.
No movimento circular, as expressões horárias do espaço e da velocidade, já 
demonstradas nos capítulos anteriores deste livro, são válidas, com suas equações dependendo 
do tipo de movimento. Assim, se uma partícula executa um movimento uniforme ao longo de uma 
trajetória circular, conhecido como movimento circular uniforme (MCU), pode-se afirmar que s(t) = 
So + vot, onde s0 é o espaço inicial, v0 é a velocidade escalar inicial e t o tempo. Por outro lado, se 
a partícula se move ao longo de uma circunferência com um movimento uniformemente variado, 
conhecido como movimento circular uniformemente variado (MCUV), segue que v(t) = v0 + at e 
at2s(t) = s0 + vot + —, onde a é a aceleração do movimento.
Deste modo, as grandezas clássicas da cinemática podem ser usadas para caracterizar 
qualquer tipo de movimento, inclusive o circular. Contudo, a informação que uma partícula 
percorreu, por exemplo, 50 km ao longo de uma circunferência não permite determinar a posição 
exata da partícula, pois esta depende do raio da circunferência. Logo, a utilização de outras 
grandezas associadas ao formato circular da trajetória, mais especificamente ao raio da 
circunferência, tornam as expressões horárias mais simplificadas e mais exatas. Estas grandezas, 
utilizadas primordialmente no movimento circular, serão apresentadas a seguir.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Deslocamento Angular
As = R.A0
A = B
A6 = 2ji
128
360° 
y
2n 
x
Considere uma partícula que se desloca ao longo de uma circunferência de raio R e centro 
O. Suponha que a partícula começa seu movimento a partir de uma posição inicial A ao longo da 
circunferência e termina em um ponto B, se deslocando em sentido horário. A trajetória da 
partícula é o arco de circunferência AB. O deslocamento angular A0 é definido como a variação 
do ângulo central varrido pela partícula em seu movimento, que nada mais é que o ângulo central 
A0 correspondente ao arco de circunferência AB .
No sistema internacional de unidades o deslocamento angular é medido em radianos. O 
ângulo central correspondente ao comprimento da circunferência é igual a 2rt radianos. Deste 
modo, se uma partícula percorre uma volta completa em torno de uma trajetória circular, seu 
deslocamento angular foi 2rt radianos.
Da matemática, sabe-se que AB = R.A0. Logo, a relação entre deslocamento angular e 
deslocamento escalar é:
Radianos
2n
x
Graus 
360° 
y
180° 
y=—x 
7t
Por outro lado, se uma partícula se movimenta sobre uma trajetória circular de forma que 
seu deslocamento escalar é equivalente a um quarto de circunferência, seu deslocamento angular 
. . , 2n 7t .. foi de — = — radianos.
4 2
Uma outra unidade muito adotada é o grau. Um grau é equivalente ao ângulo central 
1
correspondente a um arco de comprimento da circunferência. Assim, uma circunferência 
completa corresponde a um deslocamento angular de 360°. Para converter um arco de x radianos 
para y graus (e vice-versa), basta aplicar uma regra de 3:
ELEMENTOS DA FÍSICA
Velocidade Angular
Utilizando a notação de derivada:
Como As =A0.R, onde R é o raio da circunferência, tem-se que:
As
onde vm é a velocidade escalar média da partícula.
0), tem-se os valores instantâneos de cada
v = co.R,
onde v é a velocidade escalar instantânea e a> é a velocidade angular instantânea da partícula.
129
A0
At
As
ÃtR
A9
At
■sat L
Trabalhando em um tempo infinitesimal (At 
velocidade:
Se o raio R da trajetória circular é igual a 30 m, a velocidade escalar média desse 
movimento vale:
A velocidade angular média é definida pela taxa temporal como o deslocamento angular é 
percorrido. Simbolicamente usa-se a letra grega co para designar a velocidade angular. Em termos 
matemáticos segue que:
At JR
dO
co = —
dt
v
R
A6 
co = Iim —. 
At-»O At
= —.30
15
No sistema internacional de unidades a unidades de velocidade angular é radianos por 
segundo. Desta maneira, se uma partícula percorre um deslocamento angular de radianos em 
10 segundos, a velocidade angular média vale:
(D„ m
“m
“m
vm
“m
2tt
A6 q 7t ,,— = -á- = — rad/s
At 10 15
A0
A velocidade angular instantânea é igual à razão — quando At tende a zero. Em termos 
de limite pode-se afirmar que:
vm = com.R => vm = 2n m/s
vm = com.R,
ELEMENTOS DA FÍSICA
T
Sentido da Velocidade Angular
sentido anti horáriosentido horário
Aceleração Angular
Fazendo At -> 0, os valores médios das grandezas tendem aos seus valores instantâneos:
a = a.R
Se o raio da circunferência é de 2 m:
130
v
Aco
"ÃT
Aco.R
At.R
Ao>
*Ãt”
Aco 1
ÃFr
Existem dois possíveis sentidos para a velocidade angular instantânea: sentido horário ou 
sentido anti-horário.
O sentido horário também é conhecido por destro ou dextrógiro. O sentido anti horário 
também conhecido por sinistro ou levógiro.
Como Av = Aco.R, pode-se determinar uma relação entre a aceleração tangencial escalar 
média e a aceleração angular média:
A aceleração angular média é definida como a taxa temporal da variação da velocidade 
angular. Simbolicamente, adota-se a letra grega a para caracterizar a aceleração angular. Assim, 
a expressão da aceleração angular é:
dco
R
COf - COp
At
No sistema internacional de unidades, a aceleração angular é medida em rad/s2. Assim, se 
a velocidade angular varia em 20n rad/s em 5 s, segue que:
Aco 
a = -—,
At
“m
am
Caso a>f > wo tem-se am > 0, enquanto que se cof < co0 tem-se am < 0. Se cof = coo tem-se am 
= 0, porém isso não significa que a velocidade angular não variou durante algum momento do 
movimento, significa apenas que os valores da velocidade angular para t = 0 e para t = tf são 
iguais. Por exemplo, a velocidade angular pode aumentar até um determinado instante 
intermediário para depois diminuir até o valor inicial.
Para definir aceleraçãoangular instantânea basta fazer o intervalo de tempo tender a zero. 
Assim, pode-se afirmar que:
«m
“m
am = am.R
am = am.R => am = 4n.2 =>
20;r . ,2
= — = —— = 4?t rad/s
5
am = 8n m/s2
i- Acopara t -> 0 => a = lim — 
At—>o At
Aco
At
Período
A = B a
A0 = 2n
O. R
Frequência
f
131
Outra unidade muito utilizada, mas não pertencente ao SI, é o rpm (rotações por minuto). 
Um rpm é a frequência de uma partícula que executa uma volta em um minuto. Para efeito de 
conversão de unidades:
O período de um movimento circular é definido com o tempo necessário para que a 
partícula execute uma volta completa ao longo da circunferência.
n
Ãt
1 volta
1 minuto
1 Hz =
1 rpm =
É muito comum encontrar na literatura física que a definição de período está atrelado ao 
fato da velocidade angular ser constante. Entretanto, essa condição não é necessária, bastando 
que a partícula apresente, em cada ciclo, as mesmas velocidades angulares para a mesma 
posição angular. Se isto ocorrer, o tempo que a partícula leva para percorrer cada volta é o 
mesmo, podendo o movimento ser classificado como periódico. Por exemplo, suponha que um 
carro parte do repouso de um ponto A sobre uma circunferência, acelerando até o ponto 
diametralmente oposto com aceleração escalar a e depois desacelerando com aceleração escalar 
- a até retornar ao ponto A, com velocidade nula, sempre no sentido horário. Se a cada volta o 
corpo executar movimentos idênticos a este, classifica-se este movimento de periódico, com o 
tempo para percorrer cada volta constante. Este tempo é denominado de período do movimento 
circular.
Como toda grandeza equivalente ao tempo, no sistema internacional de unidades o 
período é medido em segundos.
1 volta 1 1 volta
60 segundos 60 1 segundo
ELEMENTOS DA FÍSICA
1
=> 1 rpm = — Hz ou 1 Hz = 60 rpm
A frequência é definida como o número de voltas que a partícula executa em um 
determinado intervalo de tempo.
De forma semelhante à definição de período, existe a necessidade do movimento ser 
periódico para que tenha sentido determinar a frequência de um movimento circular.
A unidade de medida de frequência no SI é Hertz, simbolizada por Hz. 1 Hertz é a 
frequência de uma partícula ao executar uma volta em um segundo. Assim:
1 — = 1 s 
s
Relação Entre Período e Frequência
f
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
v.
0/2
2
132
n 
nT
O vetor Av = v2 - v, é determinado pela regra do paralelogramo, que na verdade é um 
losango, desde que | v, |=| v21= v . Como em um losango as diagonais são perpendiculares, 
conclui-se que os ângulos formados entre o segmento que liga as posições final e inicial e os 
vetores v1 e v2 é igual a 0/2.
A 2a figura abaixo mostra como se comporta a variação do vetor velocidade em um 
pequeno trecho da trajetória do corpo, ou seja, em um arco de circunferência de ângulo central 0.
Suponha que uma partícula execute um movimento periódico ao longo de uma 
circunferência de raio R. Como o movimento é periódico, o tempo que a partícula leva para 
percorrer cada ciclo é o mesmo, que nada mais é do que o período T do movimento. Assim, após 
executar a n-ésima volta, o tempo decorrido foi At = n.T. Logo, a frequência do movimento foi:
n
Ãt
ELEMENTOS DA FÍSICA
Uma partícula está executando um movimento circular, de centro O e raio R, com 
velocidade escalar constante v. O fato de não existir variação no módulo da velocidade implica 
que a aceleração tangencial (ou linear) do corpo é nula. Porém, perceba que o vetor velocidade 
varia com o tempo, uma vez que sua direção é sempre tangente à trajetória circular. Esta variação 
do vetor velocidade provoca o aparecimento de uma aceleração, denominada “aceleração 
centrípeta”. A aceleração tangencial é responsável pela variação do módulo do vetor velocidade, 
enquanto que a aceleração centrípeta é responsável pela variação da direção do vetor velocidade.
O estudo na aceleração centrípeta já foi apresentado no volume 1 desta coleção, mais 
especificamente no capítulo sobre Força Centrípeta. Abaixo o leitor poderá verificar uma 
reprodução do conteúdo já apresentado.
x 1 -r 1f = — ou T =-
T f
A A A|Av|=| v4 |sen—+|v2 |sen—= 2vsen^
0 0Como o ângulo 0/2 é pequeno pode-se usar a aproximação sen— = -. Assim:
A A| Av |= 2v sen— = 2v = v0
O módulo da aceleração centrípeta é dado por:
133
As duas expressões encontradas para a aceleração centrípeta permitem calcular seu valor 
instantâneo, sendo apenas necessário saber o valor do raio da circunferência e da velocidade 
escalar da partícula em determinado instante. Como toda aceleração, a unidade de medida da 
aceleração centrípeta no SI é m/s2.
Do exposto neste capítulo, pode-se concluir que a aceleração de uma partícula executando 
um movimento circular sempre pode ser decomposta, a cada instante do movimento, em duas 
componentes: uma tangencial ãt, responsável pela variação do módulo do vetor velocidade, e 
outra radial ãcp, responsável pela alteração da direção do vetor velocidade.
Em um movimento circular, a aceleração centrípeta será nula apenas quando a velocidade 
instantânea for nula. Como já estudado no capítulo sobre movimento não uniforme, a aceleração 
tangencial será nula quando o módulo do vetor velocidade se mantiver constante.
A cada instante do movimento, a aceleração resultante da partícula será a soma vetorial da 
aceleração centrípeta com a aceleração tangencial.
Além disso, a direção do vetor Av = v2 -v1 é sempre radial, ou seja, ao longo de uma reta 
que passa pelo centro da circunferência, com sentido para o centro da trajetória circular, como 
indicado na figura.
- Av
Quando o módulo de v é constante, a aceleração centrípeta é dada ãcp =— ■ Como At é 
sempre maior que zero, segue que os vetores ãcp e Av possuem mesma direção e mesmo 
sentido. Deste modo, a aceleração centrípeta possui direção radial, sempre com sentido do corpo 
ao centro da trajetória circular.
ãR=ã,
^ELEMENTOS DA FÍSICA
lãcpl=-^- 0U lacpl=®2R
IX
. . | Av I V0 A0 varn = ------ 1 = — = v— = vco = v —cpl At At At R
icp+ãt => |ãR |=7|ãcp |2 +|ãt |2
ELEMENTOS DA FÍSICA
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
co > 0
co < 0
Como a velocidade angular média é igual ao valor instantâneo da velocidade angular:
=> 0(t) = 0o + cot
'‘9 Jk0co = tg a co = tg a
O O
Caso: co > 0 (sentido anti horário) Caso co < 0 (sentido horário)
Desde que a frequência é o inverso do período:
co = 2rtf
134
t> t
No MCU é possível determinar relações envolvendo período e frequência com a 
velocidade angular. Como em uma volta o deslocamento angular é 2tr radianos e o tempo 
decorrido é igual ao período:
2?r
co = —•
T
Um movimento circular é classificado como uniforme quando a velocidade angular co é 
constante. Para determinar a equação horária angular do MCU deve-se adotar um ponto como 
sendo a origem dos espaços angulares e definir os sinais das velocidades angulares de acordo 
com o sentido de giro. Por convenção, será adotado que no sentido anti-horário a velocidade 
angular é positiva e no sentido horário a velocidade angular é negativa. Essa convenção de sinais 
será adotada não apenas no MCU, mas em todos os movimentos circulares.
O gráfico da posição angular em função do tempo é uma reta e, caso os eixos possuam a 
mesma escala, a inclinação da reta é igual à velocidade angular.
A0 0 - 0O co =----=---------
At t-0
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
=> a>(t) = ©o + at
to ‘ ‘ CO a = tgcca = tga
O O
Caso a < 0Caso: a > 0
x
0“
6o
9o
*t*t Oo
caso a < 0caso a > 0
135
► 
t
Como a aceleração escalar a é relacionada com a aceleração angular a de acordo com a 
expressão a = a.R (R raio da circunferência) então se a é constante a também é constante, ou 
seja, todo MCUV corresponde a MUV:
Um movimento circular é classificado como uniformemente variado se a aceleração 
angular é constante. Mais uma vez será adotado a convenção de sinais da velocidade angular, 
com o > 0 se o sentido do movimento é anti horário e co < 0 se o sentido é horário. Como a 
aceleração angular é constante,seu valor médio é igual ao instantâneo:
Ato a =----=
At
t
t-0
Assim, em um MCUV a equação horária da velocidade angular é uma expressão de 
segundo grau em t, implicando que o gráfico 0 x t é uma parábola.
Esta é a expressão horária da velocidade angular de um MCUV, que é uma expressão de 
1° grau no tempo, fazendo com que o gráfico a> x t seja uma reta. A inclinação da reta é igual à 
aceleração angular do movimento, caso os eixos possuam a mesma escala.
( t2'X-0 = X % + “o * + a
t t2 xo+vot + a —
ELEMENTOS DA FÍSICA
t2
0.R = 0o.R + a>o.R.t + a.R— =:
t2
6(t) = 0o +<oo.t + a—
ELEMENTOS DA FÍSICA
A equação de Torricelli também é válida para o movimento angular:
v2 = Vg + 2aAs m2R2 = <o2R2 + 2a.R.A0.R
MUV MCUV
v(t) = v0 + at <o(t) = coo + at
x
v2 = Vq + 2aAs
ACOPLAMENTO DE DISCOS, POLIAS E RODAS DENTADAS
coroa
Í-.pedal
correnfe
136
■
A0
At
As
Ãt
A0
At
O estudo da transmissão de movimentos circulares pode ser dividido em três casos: 
transmissão por correia (ou corrente), transmissão por contato e transmissão por eixo.
Como a aceleração angular é constante, a velocidade angular média é a média aritmética 
das velocidades angulares:
Note que todas as expressões do MUV são válidas para o MCUV, bastando converter as 
equações para as respectivas grandezas angulares.
Observe que os conceitos de período e frequência, definidos para o MCU, não são válidos 
para o MCUV, uma vez que, sendo a aceleração angular diferente de zero, o tempo que a 
partícula leva para percorrer cada volta é diferente, caracterizando um movimento não periódico.
W’ 
calroca
COq + CDf
2
Vo+Vf
2
coo + a>f _ A0
2 “ÃT
É muito comum, principalmente na engenharia, a transmissão de movimento circular de um 
disco, uma polia, uma engrenagem ou uma roda dentada para outro(a). Um exemplo muito 
conhecido é o movimento de uma bicicleta, onde os 
pedais são movimentados pelos pés do ciclista, fazendo 
girar a coroa, que está acoplada à coroa. Por meio de 
uma corrente é feita girar a catraca, que está acoplada à 
roda traseira da bicicleta, movimentando a bicicleta.
a>2 + 2aA0
t t2 
xo+vot + a —
t2
0(t) = 0O + coo.t + a—
to2
Note que no exemplo da bicicleta existem três 
transmissões de movimento. O pedal transmite 
movimento à coroa, que por sua vez movimenta a catraca, 
que transmite movimento à roda traseira. É importante, também, que os discos, polias ou rodas 
dentadas possuam raios diferentes, de modo que seja possível transmitir velocidades diferentes.
<ü2 = a>o + 2cxA0
B
A
transmissão por contato
R, -i
R,
Motor
J- 
A
Este tipo de acoplamento faz com que os dois discos apresentem o mesmo deslocamento 
angular no mesmo intervalo de tempo, implicando que as velocidades angulares dos dois discos 
são iguais:
1) Transmissão por corrente, correia ou contato
Supondo que não ocorra deslizamento da correia ou corrente nas polias ou rodas dentadas, 
conclui-se que a correia ou corrente transmite a mesma velocidade linear para todos os pontos de 
seu comprimento, fazendo com que as velocidades lineares das duas polias ou rodas dentadas 
sejam iguais:
2) Transmissão por mesmo eixo
Uma outra maneira de transmissão entre movimentos circulares ocorre quando dois ou 
mais discos possuem o mesmo eixo. No exemplo abaixo, um motor faz girar um eixo onde estão 
acoplados, a partir dos seus respectivos centros, dois discos.
137
Ra
Perceba que, apesar da mesma expressão, na transmissão por corrente ou correia dos 
dois movimentos circulares possuem o mesmo sentido, enquanto que na transmissão por contato 
os dois movimentos circulares possuem sentidos contrários. A transmissão por correia é muito 
comum em motores de combustão, de modo a transmitir movimento da polia motriz à polia movida. 
A transmissão por corrente é muito comum em motocicletas, consistindo em um método leve e 
fácil para transmitir o movimento da caixa de câmbio até a toda traseira. A transmissão por 
contato é bastante utilizada em engrenagens, como, por exemplo, no funcionamento dos relógios 
analógicos.
VA 
transmissão por corrente ou correia
VA
o>2
<OA
r8
vB
U)B
ELEMENTOS DA FÍSICA
VB
vA = VB — ®bRb®ara
2a =
R, r2
\
\RA
R5-
B
<üi = a>2 =>
MOVIMENTO CIRCULAR NÃO UNIFORME
co j i
A = A0 = 0f - 0o
*to
Também é conhecido o fato que a aceleração é a derivada, no tempo, da velocidade:
aR =
í' adt 
Jtfl=>
138
Deste modo, a aceleração angular é derivada da velocidade angular na unidade de tempo. 
Escrevendo esta relação a partir do operador integral:
Logo, a velocidade angular é a derivada do espaço angular no tempo. Pode-se estabelecer 
esta relação em função da integral:
dv
a-d?
dcoa = —
dt
d0 
to = — 
dt
dsv = —
dt
d(coR)
dt
A0 = 6, -60 = f''codt
Jt0
Conclui-se, portanto, que a variação do espaço angular é igual a integral da velocidade 
angular no tempo. Uma consequência direta desta definição a partir de uma integral é que, no 
gráfico co x t, a área compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo é numericamente 
igual à variação do espaço angular, independentemente do tipo de movimento.
p
Je0
O fato das grandezas lineares e angulares estarem relacionadas por um constante, que é o 
raio do movimento circular, permite generalizar para as grandezas angulares as definições a partir 
de derivada e integral. Iniciemos pela relação entre espaço e velocidade. Sabe-se que a 
velocidade é a derivada do espaço no tempo:
coX = X — 
dt
ELEMENTOS DA FÍSICA
Neste capítulo, já foram apresentados os estudos dos movimentos circulares em que a 
velocidade angular o ou a aceleração angular a se mantém constantes. Contudo, não é 
obrigatório que co ou a se mantenham constantes em um movimento circular. Quando uma destas 
grandezas não se mantém constantes, é necessário lançar mão da utilização da definição clássica 
das grandezas a partir de derivada e/ou integral, bem como a consequente interpretação da área 
do gráfico associado. Para entender melhor os conceitos de derivada e integral leia o capítulo 1 do 
volume Mecânica 1 desta coleção.
Aco = cof - co0 = í1 adt
Jt0
pdco
dO = í'f codt 
J<o
de
=> co = — 
dt
=> dco = adt
dO = codt =>
coR = ^2 
dt
„R'_O'dc0 -s „_d<0 
CC = K — => a =------
dt dt
a m
A = Aro = ®f - a>o
o
2.3t2 - 5.2t + 7 = 6t2 - 10t rad/sco(t) =
a(t)
<o(t) = Ja(t)dt = J(-24t2 + 18t + 6)dt -8t3 + 9t2 + 6t + k, rad/s
0(t) = j"co(t)dt = J(-8t3 +9t2 + 6t + k1)dt=-^t4
139
> 
t
Por exemplo, suponha que, em um determinado movimento circular, o espaço angular em 
função do tempo seja dado por 0(t) = 2t3 - 5t2 + 7t — 1, com t dado em segundos e 0 medido em 
radianos. A grandeza velocidade angular pode-se ser obtida derivando, no tempo, a expressão do 
espaço angular:
Analogamente, a aceleração angular pode ser obtida derivando a expressão da velocidade 
angular no tempo:
A partir da expressão da aceleração angular é possível determinar a velocidade angular, 
bastando integral a no tempo. Por exemplo, supondo que a(t) = - 24Í2 + 18t + 6, com t medido em 
segundos e a em rad/s2.
O valor de k-i pode ser obtido a partir de um valor conhecido da velocidade angular, por 
exemplo, do valor da velocidade angular inicial <b(0). Para tanto, é suficiente substituir t = 0 na 
expressão é calcular o valor de ki.
Integrando a expressão da velocidade angular no tempo encontra-se a expressão do 
espaço angular:
Os valores de ki e k2 podem ser obtidos a partir de, pelos menos, dois valores conhecidos 
do espaço angular, digamos 0(h) e 0(t2). Substituindo h e t2 na expressão de 0(t) determinam-se 
duas equações lineares em k-i e k2 que, manipuladas corretamente, levam aos valores de kí e k2.
^t3
3
d[0(t)] d(2t3-5t2+7t-1) 
dt dt
d[tü(t)] d(6t2-10t) 
dt " dt
Segue, então, que a variação da velocidade angular é igual à integral da aceleração 
angular na variável tempo. Como toda definição de grandezas físicas a partir de uma integral, 
existe uma área associada a esta definição. Portanto, pode-se enunciar que, no gráfico a x t, a 
área compreendida entre a linha do gráfico e o eixodo tempo é numericamente igual ]á variação 
da velocidade angular, independentemente do tipo de movimento.
ELEMENTOS DA FÍSICA
+—t2+6t + k1
2 1
+ —t3 + —t2 -i-k^ + kj =-2t4 +3t3 +3t2 +k1t + k2 rad
3 2
= 6.2t-10 = 12t-10 rad/s2
ELEMENTOS DA FÍSICA
■r
(D) 30 rpm
O '• O
III
D) 10,0 Hz. E) 12,5 Hz.C) 7,5 Hz.
140
ER1) (Ciaba-00) No sistema de transmissão de movimento da figura abaixo, a polia motora “A” 
tem 500 mm de diâmetro e gira a 120 rpm. As polias intermediárias “B” e “C”, solidárias entre si 
(soldadas uma na outra), têm, respectivamente, 1000 mm e 200 mm. A rotação da polia “D”, de 
diâmetro 400 mm, é de:
ER2) (Espcex-03) A figura abaixo representa uma associação das engrenagens I, II e III, de raios 
iguais a 4 cm, 48 cm e 12 cm, respectivamente, que giram em torno de eixos fixos.
FIGURA FORA DE
ESCALA
I
ER3) (AFA-99) Duas partículas partem da mesma posição, no mesmo instante, e descrevem a 
mesma trajetória circular de raio R. Supondo que elas girem no mesmo sentido a 0,25 rps e 0,2 
rps, após quantos segundos estarão juntas novamente na posição de partida?
a) 5 b)10 c) 15 d) 20
Solução: Alternativa D
Sabe-se que rps = Hz. Assim: f.
(A) 120 rpm (B) 80 rpm (C) 60 rpm
Solução: Alternativa D
Sabe-se que os sistema de transmissão por correias faz com que as polias ligadas por uma 
mesma correia possuam a mesma velocidade:
Va= Vb 2nfARA = 27rfgRB fARA = IbRb —120.250 = Íb-500 fB = 60 rpm
Como as polias B e C possuem o mesmo eixo: a>B = a>c => 2nfB = 2nfc => fB = fc = 60 rpm 
vc = vD => fcRc = ÍdRd => 60.100 = fD.200 => fD = 30 rpm
1
Analogamente: f2=—= 0,2 T2-5s
~2
Assim, a partícula I passa pela posição inicial a cada 4 s, enquanto que a partícula B passa pela 
posição inicial a cada 5 s. As duas partículas vão passar simultaneamente pela posição inicial 
após um tempo mínimo que é o máximo divisor comum entre os períodos das partículas: 
At = mdc (Tí, T2) = mdc (4, 5) = 20 s
y- = 0,25 => T|=4s.
II
Se a engrenagem III girar com velocidade angular de 5it rad/s, a freqüência de rotação da 
engrenagem I valerá
A) 2,5 Hz. B) 5,0 Hz.
Solução: Alternativa C
A transmissão por contato faz com que a periferia de todas as engrenagens possuam a mesma 
velocidade linear:
V| = Vii = Viu => ffl|R| = coiiiRiii => 27tf|R| = coniRm => 2na>|.4 = 5n.12 => coi = 7,5 Hz
ELEMENTOS DA FÍSICA
6
C) 0(t) = ít/6 + rtt/12
at
3r
141
ER6) (OBF-13) Uma vitrola era usada para tocar discos (LP -long-play) de vinil. O prato da vitrola - 
disco giratório onde se posicionava o LP - gira a 33 rpm (rotações por minuto). Quando se desliga 
o aparelho o disco pára após executar 3 rotações. Determine aceleração angular do disco e o 
tempo que o disco leva para parar.
Solução:
0 aparelho ainda executa 3 rotações até parar: AS = 3.2n = 6n rad
B) 0(t) = nt/12
E) 0(t) = zt/6 + rct/21600
&\2
) 3 
X4 > 
5
CO =---------------
12.3600
<b2R = aR => to2 = a
ER4) (UESPI-11) No instante t = 0, um relógio de ponteiros marca duas horas da tarde. O ângulo 
0 entre o ponteiro pequeno e a direção vertical para cima aumenta no sentido horário, de acordo 
com a figura a seguir. Assinale a equação horária que descreve, até a meia-noite, o ângulo 0, em 
radianos, em função de t, em segundos.
a2/t’2 = a
2cp
—-—t 
21600
A) 0(t) = n/3 + nt/21600
D) 0(t) = n/3 + nt/3600
Solução: Alternativa A
Como o relógio é dividido em 12 h e uma volta completa do ponteiro das horas percorre 2n 
radianos, a cada hora o ponteiro das horas percorre um ângulo igual a ~ =12 6
A posição inicial do ponteiro das horas ocorre para t = 2 h, ou seja, a posição angular inicial do 
ponteiro das horas vale 00 = 2 — = —.
6 3
Como o ponteiro das horas percorre 2n radianos em 12 horas e cada hora possui 2600 s:
2n 7t ,,--------- rad/s
21600
Assim: 0(t) = 0O + cot = — +
3
ER5) (ITA-91) Uma partícula move-se em uma órbita circular com aceleração tangencial constante. 
Considere que a velocidade angular era nula no instante t = 0. Em um dado instante t’, o ângulo 
entre o vetor aceleração a e a direção ao longo do raio é —. Indique qual das alternativas exibe
4
um valor de aceleração angular (a) adequado à partícula no instante t’.
a) a = — b) a = 2t’ c) a = — d) a = ----- e) a = —t' ' t'2 2t'2 t'
Solução: Alternativa C
Como ãR = ãt + ãcp:
; I) Se o ângulo entre a aceleração centrípeta e a aceleração resultante é 45°,
; então |acp| = |at|
[ II) acp = at => <b2R = aR => ©2 = a => a2/t’2 = a => a = 1/t’2
ELEMENTOS DA FÍSICA
■■
rad/s20 + 2a.6n
Solução:
cos (wt + 0O) = + 1 x = + 2r
142
ER8) (IME-87) Duas circunferências A e B de raios iguais (r) giram, em sentidos opostos, no plano 
da figura, em torno de um de seus pontos de interseção O, fixo, com velocidade angular constante 
(w). Determine:
a) a velocidade (v) e a aceleração (a), em intensidade e direção, do outro ponto de interseção M 
em seu movimento sobre a circunferência;
b) Em que posição sobre o segmento OM (OM 
observador situado em O.
Justifique suas respostas.
Aco 
a = —-
At
121n
1200
-27tf0
At
.. 120 At =----- S
11
> 0) a velocidade do ponto M é nula para um
ER9) (IME-98) Um pequeno cesto é preso em uma haste que o faz girar no sentido horário com 
velocidade constante. Um carrinho, com velocidade de 1,5 m/s, traz consigo um brinquedo que 
arremessa bolinhas na vertical para cima com velocidade de 5,5 m/s.
Quando o carrinho está a uma distância de 2 m do eixo onde a haste é presa, uma bolinha é 
lançada. Nesse instante, o cesto está na posição mais baixa da trajetória (posição A), que é a
33 11Convertendo de rpm para Hz: f0 = 33 rpm = — =— Hz
Pela equação de Toricelli angular: <o2 = co§ + 2aA0 = (27tf0)2 + 2aA0
X 2
O 11| R 12171
2n— +2a.6n => a =---------
20} 1200
11 2jt—
___20
At
a engrenagem maior,
a) Note que o ponto P, diametralmente oposto ao ponto O, executa uma 
circunferência de raio 2r. Além disso, como o triângulo OPM é retângulo, o 
ponto M é a projeção de P sobre a reta que passa pelos pontos de interseção 
das duas circunferências. Assim: x(t) = 2r.cos (wt + 60) 
Derivando em t: v(t) = - 2wr.sen (wt + 0O) 
Derivando em t novamente: a(t) = - 2w2r.cos (wt + 0O)
b) v = 0 => sen (wt + 0O) = 0 => cos (wt + 0O) = ± 1 => 
Como OM > 0 segue que x = 2r
ER7) (OBF-06) Um ciclista pedala sua bicicleta fazendo com que 
concêntrica ao eixo do pedal e tendo um raio RA igual a 10,0 cm, gire com uma frequência fA igual 
a 2,0 Hz e transmita esse movimento à engrenagem menor por meio de uma corrente. A 
engrenagem menor, por sua vez, tem raio RB de 4,0 cm e é solidária e concêntrica ao eixo da roda 
traseira, que tem raio R de 30,0 cm. Dadas essas condições, determine:
a) a freqüência de rotação fB da engrenagem menor;
b) a velocidade de translação v da bicicleta.
Solução:
A velocidade escalar da corrente é a mesma nas duas engrenagens:
vA = vB => waRa = wbRb => 2n.fA.RA = 2n.fB.RB => 2.10 = fB.4 => fB = 5 Hz
b) A velocidade de translação da bicicleta é igual à velocidade de um ponto da periferia da roda, 
que gira com freq. fB = 5 Hz (A roda é concêntrica e solidária à engrenagem menor)
v = 2nRfB = 2.3.0,30.5 = 9 m/s => v = 32,4 km / h
Carrinho
2 m
r = 5,5t - 5Í2
b) co =
/ / / / / / / ///
Solução:
v,
ac =ac sena = acp =
0
143
u2
L/2
|«|
!*•
íi
V2
2Lsen2 a
v2
2L sen3 a
ER10) (Seletiva IPhO-02) Uma barra rígida está apoiada no canto de uma sala (vide figura abaixo). 
O extremo A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza pelo solo. Encontre a aceleração 
do ponto C (centro da barra) em função do ângulo a, se a velocidade do ponto B for constante. 
Despreze todas as forças de atrito.
altura do chão e a do lançamento da bolinha. A bolinha é arremessada e entra, por cima, no 
cesto quando este está na posição B indicada na figura. Determine:
a) o vetor velocidade da bolinha ao entrar no cesto;
b) a menor velocidade angular do cesto para que a bolinha entre no cesto.
Dado: g = 10 m/s2.
Como OC = AB/2 = L/2, o ponto C descreve uma circunferência 
de centro O e raio L/2. Seja u a velocidade de C, que é tangente 
à trajetória circular. Além disso,como AOCB é isósceles com O 
fixo, o deslocamento horizontal de C sempre é metade do 
deslocamento horizontal de B, para o mesmo intervalo de tempo: 
v v v
’r_ = — => u. sen a = — => u =-----------Cx 2 2 2sena
Como v é constante, a componente horizontal da velocidade de C 
é constante, fazendo com que aCx = 0. Assim, a aceleração de C 
é vertical:
ELEMENTOS DA FÍSICA
Solução:
a) Sejam r o comprimento da haste e t o tempo que o cesto leva para ir de A para B. Assim temos 
as seguintes relações:
x = vx.t=1,5t => 2 —r= 1,5t 
y = voyt-^- => y = 5,5t-5t2 
Somando as duas equações: 
2 = 7t-5t2 => 5t2-7t + 2 = 0 => (t - 1)(5t - 2) = 0 => t = 1 s ou t = 0,4 s 
Para t = 0,4 s a bolinha está subindo e para t = 1 s a bolinha está descendo, logo, para a situação 
proposta, tem-se que t = 1 s.
Vy = Voy-gt => vy = 5,5 - 10.1 =-4,5 m/s => v = (1,5 , -4,5) m/s
A0 7t
— = — rad/s
t 2
Cesto
B LÁ
ELEMENTOS DA FÍSICA
a:
.... CÍ_ã B
cLZç BIRa<
\VB
r;
o
A
ã’,bcpIRc:
aot = a’ot-a=a-a=0 e
Em um referencial inercial:
aAt = a’At + a = a + a = 2a e = a',
Analisando B no referencial x’y’:
Em um referencial inercial:
,2
aB - >/aBt + aBcp - Ja2
144
a2t2
R
a2t2
R
ER11) Um disco de raio R rola sem deslizar sobre um plano horizontal. O disco inicia seu 
movimento do repouso e seu centro C se desloca com aceleração constante ã .
a2t2 
-a = —-a
a2t2--------a
R
■
ACP R lAt aAcp
Determine, após um tempo t:
a) as velocidades dos pontos A, B e O;
b) a aceleração destes pontos.
Solução:
A
aA
vi
R
ã'BI
R2
ã'At
v’A = vc = at, a’At
agcp
“ Acp
aocPã'ot O
Analisando A no referencial x’y’:
VA
ã’ocP
V12 a2t2
v’o = vc = at, a’ot = a e a'Ocp=-^- =-----
Em um referencial inercial:
aAcP
- a 'Bcp
a ocp
v’B = vc = at, a'Bt = a e a’Bcp
aBt ~ a’Bt — a e
a) Essa resolução é totalmente baseada no fato do ponto O, por estar 
em contato com o solo, estar parado em relação a um observador 
solidário ao solo: v0 = 0. Neste caso, todos os demais pontos do disco 
estão girando em torno do ponto O com uma velocidade angular dada 
v atpor <x> = —— =—. Repare que o ponto A, por estar diametralmente 
R R
oposto ao ponto O, possui velocidade horizontal. Assim:
at
= wRA =— 2R = 2at
A R
Analogamente: vB = <bRb = —-V2R = V2at
R
b) Considere um referencial x’y’ que se move, no instante t, com 
aceleração ã e velocidade vc. Neste referencial, o ponto C está 
parado, fazendo com que todos os pontos da periferia do disco 
giram em torno de C com aceleração tangencial de módulo | ã |. 
Logo, analisando O no referencial x’y’:
v'2 a2t2
= a e a acp = -=-------
a2t2
=> a0= —
a2t2
R
a2t2
R
X
O
u
145
v 
u =-----
tg0
v 
tg60°
v
U=—7=
J3
y_ 
~*x-
Solução:
Essa questão foi resolvida no capitulo sobre movimentos acelerados, utilizando ferramentas de 
cálculo. Porém, essa questão pode ser resolvida apenas usando conceitos do movimento circular.
No referencial xy da figura, que está parado em relação ao 
sistema, ü é a velocidade da esfera B no momento indicado. 
Como a esfera B pode se mover apenas na barra vertical, 
então ü é um vetor vertical.
Considere agora um outro referencial x’y’, que se move 
horizontalmente com velocidade v , a mesma velocidade da 
esfera A no referencial parado xy. Em relação ao referencial 
x’y', a esfera A está parada. Neste caso, como a distância 
entre as esferas é fixa, a única possibilidade é que a esfera B 
se movimente ao longo de uma circunferência com centro em 
A. Como x’y’ se move apenas horizontalmente, este referencial 
mede que a componente vertical da velocidade de B é ü e a componente horizontal da velocidade 
de B é v. Como em um movimento circular o vetor velocidade é tangente à trajetória, segue que 
v'B (velocidade de B em relação a x’y’) sempre é perpendicular à haste. Logo, o ângulo 0 formado 
pela haste e o eixo horizontal é igual ao ângulo formado entre v'B e ü. Assim:
ELEMENTOS DA FÍSICA
tg0 = —= — 
x u
Observação: Pode parecer estranho a esfera B percorrer uma trajetória circular em relação ao 
referencial x’y’. Porém, neste referencial as guias não estão em repouso. Na verdade, x’y’ mede 
que o sistema formado pelas duas guias está se movendo para a direita com velocidade v. A 
figura abaixo exemplifica melhor como ocorre o movimento em relação a x’y’.
1 AI ' ) <
ER12) Dois objetos, A e B, se conectam mediante uma barra rígida que tem comprimento L. Os 
objetos deslizam ao longo de guias perpendiculares como é mostrado na figura. Suponha que A 
desliza para a esquerda com uma velocidade constante v. Encontre a velocidade de B quando 0 = 
60°.
Motor
I-......Pota 1-Correta
Correia 2
Montagem Q
a) Va = Vb
a) 9 m/s. b) 15 m/s. c) 18 m/s. d) 60 m/s.
e) 2 sc) 1 s c) 59 d) 24 e)1,0
(Unicamp-16)E6) Anemômetros são
l
146
Pota 3
Pota 2
Polia 3
Polia 2
E2) (Fuvest-98) Uma criança montada em um 
velocípede se desloca em trajetória retilínea, 
com velocidade constante em relação ao chão. 
A roda dianteira descreve uma volta completa 
em um segundo. O raio da roda dianteira vale 
24 cm e o das traseiras 16 cm. Podemos 
afirmar que as rodas traseiras do velocípede 
completam uma volta em, aproximadamente:
Serra 
de fita
Ra
Rb
gf
E3) (Fuvest-02) Em uma estrada, dois carros, 
A e B, entram simultaneamente em curvas 
paralelas, com raios RA e RB- Os velocímetros 
de ambos os carros indicam, ao longo de todo 
o trecho curvo, valores constantes VA e VB. Se 
os carros saem das curvas ao mesmo tempo, 
a relação entre VA e VB é:
a;«^es8»——........
------------
E4) (Unicamp-14) As máquinas cortadeiras e 
colheitadeiras de cana-de-açúcar podem 
substituir dezenas de trabalhadores rurais, o 
que pode alterar de forma signicativa a relação 
de trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A 
pá cortadeira da máquina ilustrada na gura 
abaixo gira em movimento circular uniforme a 
uma frequência de 300 rpm. A velocidade de 
um ponto extremo P da pá vale (Considere n = 
3.)
Motor
Pota 1-kCQ
Rb
Ra
E5) (PUC/RJ-13) A Lua leva 28 dias para dar 
uma volta completa ao redor da Terra. 
Aproximando a órbita como circular, sua 
distância ao centro da Terra é de cerca de 380 
mil quilômetros. A velocidade aproximada da 
Lua, em km/s, é: 
a) 13 b) 0,16b) — s ' 3 d) -s ' 2
a) |s
ELEMENTOS DA FÍSICA
., VA Rb . VA d) —= —-e) —=- =
VB Ra Vb
K ' A /'. ' : . ' ' -
E1) (ENEM-13) Para serrar os ossos e carnes 
congeladas, um açougueiro utiliza uma serra 
de fita que possui três polias e um motor. O 
equipamento pode ser montado de duas 
formas diferentes, P e Q. Por questão de 
segurança, é necessário que a serra possua 
menor velocidade linear.
Serra 
de fita
Montagem P
Por qual montagem o açougueiro deve optar e 
qual a justificativa desta opção?
A) Q, pois as polias 1 e 3 giram com 
velocidades lineares iguais em pontos 
periféricos e a que tiver maior raio terá menor 
frequência.
B) Q, pois as polias 1 e 3 giram com 
frequências iguais e a que tiver maior raio terá 
menor velocidade linear em um ponto 
periférico.
C) P, pois as polias 2 e 3 giram com 
frequências diferentes e a que tiver maior raio 
terá menor velocidade linear em um ponto 
periférico.
D) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes 
velocidades lineares em pontos periféricos e a 
que tiver menor raio terá maior frequência.
E) Q, pois as polias 2 e 3 giram com 
diferentes velocidades lineares em pontos 
periféricos e a que tiver maior raio terá menor 
frequência.
, . Va Ra \ VAb) —=- = —c) —- =
VB Rb Vb
,2
catracas coroa
THI- kOislN.M»X VXF.MOMHIKK.
147
E7) (UFPE-01) Um ciclista desce uma ladeira 
a partir do topo, descrevendo um movimento 
retilíneo. Os pneus da bicicleta rodam sem 
deslizar. Cada pneu tem raio igual a 0,5 m, e 
um deles tem um chiclete grudado. Se a 
ladeira tem comprimento igual a 157 metros, 
quantas voltas em torno do eixo do pneu terá 
dado o chiclete no fim da ladeira?
instrumentos usados para medir a velocidade 
do vento. A sua construção mais conhecida é a 
proposta por Robinson em 1846, que consiste 
em um rotor com quatro conchas hemisféricas 
presas por hastes,conforme figura abaixo. Em 
um anemômetro de Robinson ideal, a 
velocidade do vento é dada pela velocidade 
linear das conchas. Um anemômetro em que a 
distância entre as conchas e o centro de 
rotação é r = 25 cm, em um dia cuja 
velocidade do vento é v = 18 km/h, teria uma 
frequência de rotação de
E9) (UFPE-10) Uma bicicleta possui duas 
catracas, uma de raio 6,0 cm, e outra de raio 
4,5 cm. Um ciclista move-se com velocidade 
uniforme de 12 km/h usando a catraca de 6,0 
cm. Com o objetivo de aumentar a sua 
velocidade, o ciclista muda para a catraca de 
4,5 cm mantendo a mesma velocidade angular 
dos pedais. Determine a velocidade final da 
bicicleta, em km/h.
a) 3 rpm. b) 200 rpm.
c) 720 rpm. d) 1200 rpm.
Se necessário, considere n = 3.
E8) (UFPE-02) Dois atletas percorrem uma 
pista circular, com períodos iguais a 1,0 min e 
1,1 min. Supondo que eles mantenham suas 
velocidades constantes, após quanto tempo, 
em minutos, o atleta mais rápido terá dado 
uma volta a mais que o outro?
ELEMENTOS DA FÍSICA
Não há deslizamento entre a corrente e as 
rodas dentadas. Supondo que o ciclista 
imprima aos pedais um movimento circular 
uniforme, assinale a alternativa correta para o 
número de voltas por minuto que ele impõe 
aos pedais durante esse movimento. Nesta 
questão, considere n = 3.
a) 0,25 rpm. b) 2,50 rpm. c) 5,00 rpm.
d) 25,0 rpm. e) 50,0 rpm.
E10) (UFPR-12) Um ciclista movimenta-se 
com sua bicicleta em linha reta a uma 
velocidade constante de 18 km/h. O pneu, 
devidamente montado na roda, possui 
diâmetro igual a 70 cm. No centro da roda 
traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada 
de diâmetro 7,0 cm. Junto ao pedal e preso ao 
seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 20 
cm. As duas rodas dentadas estão unidas por 
uma corrente, conforme mostra a figura.
ELEMENTOS DA FÍSICA
C) (n/2) s
correia
c)1
— oz/
148
a) Em módulo, a aceleração centrípeta de A é 
maior do que a aceleração centrípeta de B.
b) Em módulo, as velocidades angulares de A 
e B são iguais.
c) A poderia acompanhar B se a velocidade 
angular de A fosse maior do que a de B, em 
módulo.
d) Se as massas dos corredores são iguais, a
força centrípeta sobre B é maior do que a força 
centrípeta sobre A, em módulo.
e) Se A e B estivessem correndo na mesma 
raia, as forças centrípetas teriam módulos 
iguais, independentemente das massas.
?i
B) (tt2/2) s 
E)(2/n)s
E11) (UESPI-09) Um corpo move-se numa 
trajetória circular de raio r = n m, com uma 
velocidade de módulo constante, v = 4 m/s. 
Para tal situação, quanto tempo tal objeto leva 
para dar uma volta completa ao longo desta 
trajetória? 
A) (2/n2) s 
D) (tt2/4) s
E14) (UESPI-12) A engrenagem da figura a 
seguir é parte do motor de um automóvel. Os 
discos 1 e 2, de diâmetros 40 cm e 60 cm, 
respectivamente, são conectados por uma 
correia inextensível e giram em movimento 
circular uniforme. Se a correia não desliza 
sobre os discos, a razão 0)702 entre as 
velocidades angulares dos discos vale
E13) (UFSM-12) A figura representa dois 
atletas numa corrida, percorrendo uma curva 
circular, cada um em uma raia. Eles 
desenvolvem velocidades lineares com 
módulos iguais e constantes, num referencial 
fixo no solo. Atendendo à informação dada, 
assinale a resposta correta.
III'
«-■ 
cm
E15) (Unicamp-10) A experimentação é parte 
essencial do método científico, e muitas 
vezes podemos fazer medidas de 
grandezas físicas usando instrumentos 
extremamente simples. Usando o relógio e a 
régua graduada em centímetros da figura no 
espaço de resposta, determine o módulo da 
velocidade que a extremidade do ponteiro 
dos segundos (o mais fino) possui no seu 
movimento circular uniforme.
E16) (UECE-15) Durante uma hora o ponteiro 
dos minutos de um relógio de parede executa 
um determinado deslocamento angular.
disco 1 
a) 1/3 b) 2/3
E12) (UESPI-10) Sobre uma partícula em 
movimento ao longo de uma circunferência, é 
correto afirmar que:
A) a sua aceleração tem direção radial e 
sentido para dentro, isto é, apontando da 
posição partícula para o centro da 
circunferência.
B) a sua aceleração tem direção radial e 
sentido para fora, isto é, apontando do centro 
da circunferência para a posição da partícula.
C) a sua aceleração é nula.
D) a sua velocidade tem direção tangente à 
trajetória circular.
E) a sua velocidade pode possuir uma 
componente na direção radial.
disco 2 
d) 3/2 e) 3
''a
^B
E20) (Ciaba-08) c)a)
\R
d)b)
de
CZ2 149
os discos A e C estão ligados ao mesmo eixo 
central.
Analise as afirmativas abaixo.
I. A velocidade angular do disco C é metade do 
disco B.
II - A velocidade escalar de um ponto do 
perímetro do disco A é o dobro da velocidade 
escalar de um ponto do perímetro do disco C.
III. Os discos B e C têm a mesma velocidade 
escalar em pontos de seus perímetros.
IV. O período do disco C é o dobro do período 
do disco B.
V. As frequências dos discos A e B são iguais.
Com base nessas informações, assinale a 
alternativa correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) As afirmativas II e I são verdadeiras.
(C) As afirmativas III e IV são verdadeiras.
(D) As afirmativas I, II, IV são verdadeiras.
(E) As afirmativas I e IV são verdadeiras.
E18) (Ciaba-05) Uma bomba centrífuga gira a 
1800 rpm. A velocidade tangencial de um 
volume de fluído impelido pelo seu rotor, de 
raio igual a 12 cm, é em m/s de 
(a)6,1n (b)7,2n (c) 8,6rc
(d) 9,3n
( b ) 7,27t 
(e) 10,47t
E22) (Ciaba-12) Devido à resistência do ar, 
após algum tempo descendo sem pedalar um 
longo plano inclinado de 30°, o ciclista da 
figura atingiu uma velocidade escalar máxima 
constante v, com as rodas de raio igual a 
25,0cm girando, sem deslizar, com frequência 
angular de 10 rad/s. Nessa velocidade, 
considerando uma altura inicial h igual a 75,Om, 
a roda dianteira tocará o plano horizontal num 
intervalo de tempo, em segundos, igual a
E19) (Ciaba-06) Uma bomba centrífuga de 
bordo gira a 1800 rpm, impelindo água salgada 
para o sistema de resfria-mento do motor 
principal. Sendo o diâmetro externo do rotor 
impelidor de 7,5 cm, a velocidade tangencial 
imposta à partícula fluida (em m/s), no contato 
com o impelidor, é, aproximadamente 
(A)1 (B)3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
E17) (UFG-10) A Lua sempre apresenta a 
mesma face quando observada de um ponto 
qualquer da superfície da Terra. Esse fato, 
conhecido como acoplamento de maré, ocorre 
porque
a) a Lua tem período de rotação igual ao seu 
período de revolução.
b) a Lua não tem movimento de rotação em 
torno do seu eixo.
c) o período de rotação da Lua é igual ao 
período de rotação da Terra.
d) o período de revolução da Lua é igual ao 
período de rotação da Terra.
e) o período de revolução da Lua é igual ao 
período de revolução da Terra.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Nesse intervalo de tempo, sua velocidade 
angular, em graus minuto, é dada por 
a) 360. b) 36. c) 6. d)1.
Na figura acima, temos um sistema 
transmissão de movimento de um dos motores 
auxiliares de um navio, formado por três discos 
A, B e C. Os raios dos discos B e C são iguais 
e correspondem à metade do raio do disco A. 
Sabe-se que o disco A move-se solidariamente 
com o disco B através de uma correia, e que
E21) (AFA-07) Uma partícula descreve 
movimento circular passando pelos pontos A e 
B com velocidades vA e vB , conforme a figura 
abaixo. A opção que representa o vetor 
aceleração média entre A e B é
ELEMENTOS DA FÍSICAMt.
«
v
h
c) 800 m.
«r
A
gotejador
150
a) 375
d) 60,0
F4) (FGV-10) Fazendo parte da tecnologia 
hospitalar, o aparelho representado na figura é 
capaz de controlar a administração
b)430 m.
e) 6.400 m.
b) 240
e) 33,3
b) 25,12 m 
e) 100,48 m
T
de medicamentos em um paciente. Regulando-
30(>f^■
c) 150
Acoplamento das engrenagens 
(lado da alavanca)
Ao produzir caldo de cana, uma pessoa gira a 
manivela fazendo-a completar uma volta a 
cada meio minuto. Supondo que a vara de 
cana colocada entre os cilindros seja 
esmagada sem escorregamento, a velocidade 
escalar com que a máquina puxa a cana para 
seu interior, em cm/s,é, aproximadamente, 
Dado: Se necessário use n = 3
A) 0,20. B) 0,35. C) 0,70.
D) 1,25. E)1,50.
F2) (UEL-11) Uma pista de corrida de 400 m é 
constituída por trechos retos e semicirculares, 
conforme a figura a seguir:
F3) (FGV-09) Uma grande manivela, quatro 
engrenagens pequenas de 10 dentes e outra 
de 24 dentes, tudo associado a três cilindros 
de 8 cm de diâmetro, constituem este pequeno 
moedor manual de cana.
interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos 
percorram 400 m, quantos metros o atleta da 
raia mais externa deve partir à frente do atleta 
da raia mais interna? Dado: n = 3, 14 
a) 10,00 m b) 25,12 m c) 32,46 m 
d) 50,24 m
,,------------------------------------...... ; - - - - - -■ - .
y ...... ........... .<-■
F1) (ENEM-09)O Brasil pode se tranoiOrmar no 
primeiro país das Américas a entrar no seleto 
grupo das nações que dispõem de trens-bala. 
O Ministério dos Transportes prevê o 
lançamento do edital de licitação internacional 
para a construção da ferrovia de alta 
velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os 
403 quilômetros entre a Central do Brasil, no 
Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital 
paulista, em uma hora e 25 minutos.
Disponível em: http://oglobo.globo.com.
Acesso em: 14 jul. 2009.
Devido à alta velocidade, um dos problemas a 
ser enfrentado na escolha do trajeto que será 
percorrido pelo trem é o dimensionamento das 
curvas. Considerando-se que uma aceleração 
lateral confortável para os passageiros e 
segura para o trem seja de 0,1 g, em que g é a 
aceleração da gravidade (considerada igual a 
10 m/s5), e que a velocidade do trem se 
mantenha constante em todo o percurso, seria 
correto prever que as curvas existentes no 
trajeto deveríam ter raio de curvatura mínimo 
de, aproximadamente, 
a) 80 m.
d) 1.600 m.
anteparo 
rígido
Figura 10: Pista de atletismo
Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre 
se mantenham na parte mais interna de suas 
raias, de modo a percorrerem a menor 
distância nas curvas, e que a distância medida 
a partir da parte interna da raia 1 até a parte
l n.as 
1111°° 
[dose certa 
í---- 1--------
6 cm j
http://oglobo.globo.com
pintadas de cor diferente, como ilustra a figura.
i—:
c) 5,0.10’2.
E) 9 s
A
B
5 ‘
151
A) 2 m/s e 2 m/s 
C) 4 m/s e 2 m/s 
E) 4 m/s e zero
F8) (UESPI-11) A figura a seguir ilustra uma 
ciclista pedalando em sua bicicleta em um 
movimento retilíneo uniforme, com velocidade 
de módulo 2 m/s, em relação a um observador 
em repouso no solo. Os pneus giram sem 
deslizar. Os módulos das velocidades dos 
pontos mais alto (A) e mais baixo (B) do pneu 
dianteiro, em relação a esse observador, são 
respectivamente iguais a:
B) zero e 2 m/s
D) 2 m/s e 4 m/s
b) 4,2.10'2.
e) 9,3.10'2.
o que nos dá a sensação de que as pás estão 
girando no sentido anti-horário. Calcule 
quantas rotações por segundo, no mínimo, as 
pás devem estar efetuando para que isto 
ocorra.
se o aparelho para girar com frequência de 
0,25 Hz, pequenos roletes das pontas da 
estrela, distantes 6 cm do centro desta, 
esmagam a mangueira flexível contra um 
anteparo curvo e rígido, fazendo com que o 
líquido seja obrigado a se mover em direção 
ao gotejador. Sob essas condições, a 
velocidade escalar média imposta ao líquido 
em uma volta completa da estrela é, em m/s, 
Dado: n= 3,1 
a) 2,5.10’2, 
d) 6,6.10’2.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Ao projetarmos o filme, os fotogramas 
aparecem na tela na seguinte seqüência
F6) (UFRJ-98) O olho humano retém durante 
1/24 de segundo as imagens que se formam 
na retina. Essa memória visual permitiu a 
invenção do cinema. A filmadora bate 24 
fotografias (fotogramas) por segundo. Uma vez 
revelado, o filme é projetado à razão de 24 
fotogramas por segundo. Assim, o fotograma 
seguinte é projetado no exato instante em que 
o fotograma anterior está desaparecendo de 
nossa memória visual, o que nos dá a 
sensação de continuidade.
Filma-se um ventilador cujas pás estão girando 
no sentido horário. O ventilador possui quatro 
pás simetricamente dispostas, uma das quais
F7) (UESPI-10) Numa corrida de automóveis, 
realizada num circuito circular de raio 2 km, o 
líder e o segundo colocado movem-se, 
respectivamente, com velocidades angulares 
constantes e iguais a 60 rad/h e 80 rad/h. Num 
certo instante, a distância entre eles, medida 
ao longo da pista, é de 100 m. Após quanto 
tempo o segundo colocado irá empatar com o 
líder? (Para efeito de cálculo, considere os 
automóveis como partículas.) 
A) 2 s B) 4 s C) 6 s D)8s
F9) (UFJF-02) Na figura abaixo, quando o 
ponteiro dos segundos do relógio está 
apontando para B, uma formiga parte do ponto 
A e se desloca com velocidade angular
F5) (UFJF-05) Na leitura de um CD (Compact 
Disk), a superfície do CD passa por cima de 
um dispositivo de leitura com uma certa 
velocidade linear. Essa velocidade linear deve 
ser mantida constante durante toda a leitura. 
MM
Quando o dispositivo de leitura está lendo os 
dados na região próxima do centro do CD, ele 
está a uma distância de r = 20mm do centro do 
disco. Já para leituras na beirada, esta 
distância é maior e vale r = 60mm. Se a 
velocidade linear é 1,26m/s, podemos dizer 
que o número de rotações por minuto (rpm) é 
(considere 2rr = 6,3):
a) 600 rpm próximo ao centro e 200 rpm 
próximo à beirada
b) 200 rpm próximo ao centro e 600 rpm 
próximo à beirada
c) 300 rpm próximo ao centro e 500 rpm 
próximo à beirada
d) 500 rpm próximo ao centro e 300 rpm 
próximo à beirada
e) 300 rpm próximo ao centro e 300 rpm 
próximo à beirada
ELEMENTOS DA FÍSICA
F13) (UERJ-11)
c) Duas.
30 roda traseira
P
A
“A
R
152
a) cüa < u>b = wR. 
c) O)A = CÜB = tÜR. 
e) (jüa > <job = wR.
a) Zero.
d) Três.
F11) (UFPE-02) O ponteiro de segundos de 
um relógio defeituoso completa uma volta em 
1,02 min. Após quantos minutos, marcados 
em um relógio que trabalha corretamente, o 
relógio defeituoso estará marcando um minuto 
a menos? Suponha que o período do relógio 
defeituoso é constante.
b) Uma.
e) ti.
F14) (Mackenzie-01) Num relógio convencional, 
às 3h pontualmente, vemos que o ângulo 
formado entre o ponteiro dos minutos e o das 
horas mede 90°. A partir desse instante, o 
menor intervalo de tempo, necessário para que 
esses ponteiros fiquem exatamente um sobre 
o outro, é:
a) 15 minutos
b) 16 minutos
c) 180/11 minutos
d) 360/21 minutos
e) 17,5 minutos
b) CÜA = tüB < CÜR. 
d) IOA < <JÜB < (jür.
< ®R
Admita que, para uma volta completa da 
bicicleta, Nt é o número de voltas dadas pela 
roda traseira e N2 o número de voltas dadas 
pela roda dianteira em torno de seus 
respectivos eixos de rotação. A razão NVN2 é 
igual a:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 D) 4
constante w = 2tt rad/min, no sentido anti- 
horário. Ao completar uma volta, quantas 
vezes a formiga terá cruzado com o ponteiro 
dos segundos?
§
Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B 
através da correia P. Por sua vez, B é ligada à 
roda traseira R, girando com ela quando o 
ciclista está pedalando. Nesta situação, 
supondo que a bicicleta se move sem deslizar, 
as magnitudes das velocidades angulares, toA, 
coB e cür, são tais que
Um ciclista pedala uma 
bicicleta em trajetória circular de modo que as 
direções dos deslocamentos das rodas 
mantêm sempre um ângulo de 60°. O diâmetro 
da roda traseira dessa bicicleta é igual à 
metade do diâmetro de sua roda dianteira.O 
esquema a seguir mostra a bicicleta vista de 
cima em um dado instante do percurso.
roda dianteira
F12) (UFRGS-13) A figura apresenta 
esquematicamente o sistema de transmissão 
de uma bicicleta convencional.
F15) (UFPA-13) O escalpelamento é um grave 
acidente que ocorre nas pequenas 
embarcações que fazem transporte de 
ribeirinhos nos rios da Amazônia. O acidente 
ocorre quando fios de cabelos longos são 
presos ao eixo desprotegido do motor. As 
vitimas são mulheres e crianças que acabam
F10) (UFPE-00) Uma arma dispara 
balas/minuto. Estas balas atingem um disco 
girante sempre no mesmo ponto atravessando 
um orifício. Qual a velocidade angular do disco, 
em rotações por minuto?^2£b
D
Posição 2
roda
4R©
correntecoroa c
E) 2,2.
153
b) 4 m/s 
e) 16 m/s
eixo ligado 
ao motor
eixo ligado 
ao motor
b) 96,0 m 
e) 10,0 m
A
__ _C3
A
B
Hl1
n
Hl1
B
i- I
c
F18) (Unicamp-15) Considere um computador 
que armazena informações em um disco rígido 
que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada 
unidade de informação ocupa um comprimento 
físico de 0,2 pm na direção do movimento de 
rotação do disco. Quantas informações 
magnéticas passam, por segundo, pela cabeça 
de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do 
centro de seu eixo, como mostra o esquema 
simplificado apresentado abaixo?
(Considere n = 3.)
horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. 
Na posição 1, a engrenagem B acopla-se à 
engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem 
A acopla-se à engrenagem D. Com as 
engrenagens B e C acopladas, a hélice H-i gira 
com velocidade angular constante w, e, com 
as engrenagens A e D acopladas, a hélice H2 
gira com velocidade angular constante co2.
Posição 1
tendo o couro cabeludo arrancado. Um barco 
típico que trafega nos rios da Amazônia, 
conhecido como “rabeta”, possui um motor 
com um eixo de 80 mm de diâmetro, e este 
motor, quando em operação, executa 3000 
rpm. Considerando que, nesta situação de 
escalpeamento, há um fio ideal que não estica 
e não desliza preso ao eixo do motor e que o 
tempo médio da reação humana seja de 0,8 s 
(necessário para um condutor desligar o 
motor), é correto afirmar que o comprimento 
deste fio que se enrola sobre o eixo do motor, 
neste intervalo de tempo, é de:
a) 602,8 m b) 96,0 m c) 30,0 m 
d) 20,0 m
F16) (UFPB-12) Em uma bicicleta, a 
transmissão do movimento das pedaladas se 
faz através de uma corrente, acoplando um 
disco dentado dianteiro (coroa) a um disco 
dentado traseiro (catraca), sem que haja 
deslizamento entre a corrente e os discos. A 
catraca, por sua vez, é acoplada à roda 
traseira de modo que as velocidades angulares 
da catraca e da roda sejam as mesmas (ver a 
seguir figura representativa de uma bicicleta)
H2
Adaptado de: < http J/revistaescola abril.com.br/ensino-medio/equilibriorodas- 
532002.shtml >. Acesso em: 12 ago. 2011.
Em uma corrida de bicicleta, o ciclista desloca 
-se com velocidade escalar constante, 
mantendo um ritmo estável de pedala das, 
capaz de imprimir no disco dianteiro uma 
velocidade angular de 4 rad/s, para uma 
configuração em que o raio da coroa é 4R, o 
raio da catraca é R e o raio da roda é 0,5 m. 
Com base no exposto, conclui-se que a 
velocidade escalar do ciclista é:
a) 2 m/s b) 4 m/s c) 8 m/s 
d) 12 m/s
/T 
0.5 m
_L
catraca
F17) (Unesp-15) A figura representa, de forma 
simplificada, parte de um sistema de 
engrenagens que tem a função de fazer girar 
duas hélices, H, e H2. Um eixo ligado a um 
motor gira com velocidade angular constante e 
nele estão presas duas engrenagens, A e B. 
Esse eixo pode se movimentar
(http://carros.hsw.uol com.br. Adaptado.) 
Considere rA , rB , rc e rD os raios das 
engrenagens A, B, C e D, respectivamente. 
Sabendo que rB = 2rA e que rc = rD , é correto 
afirmar que a relação Wi/w2 é igual a 
A) 1,0. B) 0,2. C) 0,5. D) 2,0.
^ELEMENTOS DA FÍSICA
http://carros.hsw.uol
ELEMENTOS DA FÍSICA
Disco rígido
.Cabeça de leitura
L
33 cm27 cm
direções dasentre
154
F22) (Fuvest-16) Em janeiro de 2006, a nave 
espacial New Horizons foi lançada da Terra 
com destino a Plutão, astro descoberto em 
1930. Em julho de 2015, após uma jornada de 
aproximadamente 9,5 anos e 5 bilhões de km, 
a nave atinge a distância de 12,5 mil km da
A B
a)1,98rr b)2,977t c) 5,94n d) 8,91n e) 17,82n
Roda dentada Roda dentada 
vista frontal vista de perfil
Ez
* Fonte de luz F
Nesta condição, a roda, com N dentes, gira 
com velocidade angular constante e dá V 
voltas por segundo.______________________
Note e adote:
No experimento de Fizeau, os dentes da roda estão 
igualmente espaçados e têm a mesma largura dos 
espaços vazios;
L = 8600 m;
N = 750;
V = 12 voltas por segundo.__________________________
a) Escreva a expressão literal para o intervalo 
de tempo At em que a luz se desloca da roda 
até E2 e retorna à roda, em função de L e da 
velocidade da luz c.
b) Considerando o movimento de rotação da 
roda, escreva, em função de N e V, a 
expressão literal para o intervalo de tempo At 
decorrido entre o instante em que a luz passa 
pelo ponto central entre os dentes A e B da 
roda e o instante em que, depois de refletida 
por E2, é bloqueada no centro do dente B.
c) Determine o valor numérico da velocidade 
da luz, utilizando os dados abaixo.
F19) (PASUSP-10) Uma bicicleta tem a roda 
dianteira com raio 27 cm e a roda traseira com 
raio 33 cm. Estando a bicicleta parada, dois 
pontos A e B são marcados, nas rodas 
dianteira e traseira, nos respectivos pontos de 
contato com o solo, conforme a figura. Depois 
de a bicicleta percorrer uma distância d, os 
pontos A e B voltam a ficar, simultaneamente, 
em contato com o solo. Assumindo que não há 
escorregamento das rodas da bicicleta, o 
menor valor de d, em metros, para o qual essa 
situação acontece, é
F21) (Fuvest-15) Uma criança com uma bola 
nas mãos está sentada em um "gira-gira" que 
roda com velocidade angular constante e 
frequência / = 0,25 Hz. Adote n = 3.
a) Considerando que a distância da bola ao 
centro do "gira-gira" é 2 m, determine os 
módulos da velocidade VT e da aceleração a 
da bola, em relação ao chão.
Num certo instante, a criança arremessa a bola 
horizontalmente em direção ao centro do "gira- 
gira", com velocidade VR de módulo 4 m/s, em 
relação a si. Determine, para um instante 
imediatamente após o lançamento,
b) o módulo da velocidade U da bola em 
relação ao chão;
c) o ângulo 6 entre as 
velocidades U e VR da bola.
F20) (Fuvest-14) A primeira medida da 
velocidade da luz, sem o uso de métodos 
astronômicos, foi realizada por Hippolyte 
Fizeau, em 1849. A figura abaixo mostra um 
esquema simplificado da montagem 
experimental por ele utilizada. Um feixe fino de 
luz, emitido pela fonte F, incide no espelho 
plano semitransparente E,. A luz refletida por 
E, passa entre dois dentes da roda dentada R, 
incide perpendicularmente no espelho plano E2 
que está a uma distância L da roda, é refletida 
e chega ao olho do observador. A roda é então 
colocada a girar em uma velocidade angular tal 
que a luz que atravessa o espaço entre dois 
dentes da roda e é refletida pelo espelho E2, 
não alcance o olho do observador, por atingir o 
dente seguinte da roda.
0,2 fim
a) 1,62x10®. b) 1,8x10®.
c) 64,8x10®. d) 1,08x10®.
Velocidade da luz = 3 x 103 m/s
Velocidade média de Plutão = 4,7 km/s
1 ano = 3 x 107 s
C) 10 m/s
d) 6,28.c) 3,14.
a)
d)c)
e
155
V
a) 5 m/s
d) 10n m/s
Determine
a) a velocidade média v da nave durante a 
viagem;
b) o intervalo de tempo A t que as informações 
enviadas pela nave, a 5 bilhões de km da 
Terra, na menor distância de aproximação 
entre a nave e Plutão,
levaram para chegar em nosso planeta;
c) o ano em que Plutão completará uma volta 
em torno do Sol, a partir de quando foi 
descoberto.
Figura ilustrativa 
b) 5n m/s 
e) 20 m/s
superfície de Plutão, a mais próxima do astro, 
e começa a enviar informações para a Terra, 
por ondas de rádio.
Note e adote:
A2) (AFA-10) Um carro percorre uma curva 
circular com velocidade linear constante de 15 
m/s completando-a em 5V2s, conforme figura
superfície plana e horizontal. A velocidade v 
do centro O do disco em relação à Terra é 
constante e seu módulo vale 10 m/s. O módulo 
da velocidade do ponto A da periferia do disco, 
em relação à Terra, no instante mostrado na 
figura abaixo é de:
F24) (Ciaba-17) Considere uma polia girando 
em torno de seu eixo central, conforme figura 
abaixo. A velocidade dos pontos A e B são, 
respectivamente, 60 cm/s e 0,3 m/s. A 
distância AB vale 10 cm. O diâmetro e a 
velocidade angular da polia, respectivamente, 
valem:
ELEMENTOS DA FÍSICA
Perímetro da órbita elíptica de Plutão = 35,4 x 109 km
F23) (EEAR-02) Dois móveis A e B percorrem 
a mesma pista circular com movimentosuniformes, partindo do mesmo ponto e 
caminhando no mesmo sentido. A velocidade 
angular de A é o triplo da velocidade angular 
de B e 0,5 s após a partida eles se encontram 
pela primeira vez. A velocidade angular de B, 
em rad/s, vale 
Dado: n = 3,14 
a) 2,00. b) 3,00.
F25) (Espcex-04) Um disco uniforme 
homogêneo rola sem deslizar sobre uma
a) 10 cm e 1,0 rad/s b) 20 cm e 1,5 rad/s 
c) 40 cm e 3,0 rad/s d) 50 cm e 0,5 rad/s 
e) 60 cm e 2,0 rad/s
A1) (AFA-09) Dispõe-se de quatro polias ideais 
de raios RA = R, Rb = 3R, Rc = R/2 e RD = R/10 
que podem ser combinadas e acopladas a um 
motor cuja frequência de funcionamento tem 
valor f. As polias podem ser ligadas por 
correias ideais ou unidas por eixos rígidos e, 
nos acoplamentos, não ocorre escorregamento. 
Considere que a combinação dessas polias 
com o motor deve acionar uma serra circular 
(S) para que ela tenha uma frequência de 
rotação igual a 5/3 da frequência do motor. 
Sendo assim, marque a alternativa que 
representa essa combinação de polias.
b)
abaixo.
1Ott
v
c) 3,0 d) 5,3
no instante t = 0 e a aceleração
I
156
t(s)
Pode-se, então, afirmar que 
a) as componente tangencial e centrípeta de ã,
I
í
É correto afirmar que o módulo da aceleração 
média experimentada pelo carro nesse trecho, 
em m/s2, é 
a) 0 b) 1,8
( )A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
CO (rad/s) 
2n
a I rad / s2 ]
- 0,5
- 0,5
0,5
- 2,5
2,58
Figura 2
Num dado momento, a partir do repouso, o fio 
é puxado pela ponta P, por uma força F 
constante que imprime uma aceleração linear 
a, também constante, na periferia da polia A, 
até que o fio se solte por completo desta polia. 
A partir desse momento, a polia C gira até 
parar após n voltas, sob a ação de uma 
aceleração angular constante de tal forma que 
o gráfico da velocidade angular da polia D em 
função do tempo é apresentado na figura 3.
A4) (Ciaba-08) Um satélite meteorológico 
envia para os computadores de bordo de um 
navio conteneiro informações sobre um 
tornado que se forma na rota desse navio a 
54,0 milhas a boreste (direita). Segundo as 
informações, o tornado tem forma cônica de 
252 m de altura e 84 m de raio. A velocidade 
angular é aproximadamente 45 rad/s. O 
módulo da velocidade vetorial de rotação do 
tornado, em km/h, num ponto situado a 3 m do 
plano de sua base, vale 
(A)162 (B)242 (C) 308 (D)476 (E)588
A3) (AFA-13) A figura 1 abaixo apresenta um 
sistema formado por dois pares de polias 
coaxiais, AB e CD, acoplados por meio de uma 
correia ideal e inextensível e que não desliza 
sobre as polias C e B, tendo respectivamente 
raios RA = 1 m, RB = 2 m , RC = 10 m e RD = 
0,5 m.
Figura 1
A polia A tem a forma de um cilindro no qual 
está enrolado um fio ideal e inextensível de 
comprimento L = 10n m em uma única camada, 
como mostra a figura 2.
F 
nk ■Q
ELEMENTOS DA FÍSICA
A6) (ITA-79) Um ponto P de uma roda é 
obrigado a descrever uma trajetória circular de 
raio R, com aceleração a de modo constante. 
Num dado instante, a direção e o sentido dos 
vetores aceleração e velocidade são os 
indicados na Fig.í abaixo: 
_
A5) (ITA-88) Um disco gira, em torno do seu 
eixo, sujeito a um torque constante. 
Determinando-se a velocidade angular média 
entre os instantes t = 2,0 s e t = 6,0 s, 
obteve-se 10 rad/s. Calcular a velocidade 
angular 
angular a.
a>0 rad (s)
12 
15 
20 
20 
35
Figura 3
Nessas condições, o número total de voltas 
dadas pela polia A até parar e o módulo da 
aceleração a, em m/s2, são, respectivamente,
a) 5n, 7t c) 2(n — 1), 3tt
b) 5n, 5n d)5(n+1), 5n
rd/s
7
5
3
1 t
157
a) 2 n r co
b) 2<o/7tr
c) 2rco/n
d) rco/n
e) nro
A11) (ITA-73) Um flutuador em colchão de ar, 
de massa m, desloca-se num círculo horizontal, 
sobre uma mesa e preso à extremidade de um 
fio inextensível, de comprimento igual a 0,8 m, 
com velocidade angular mostrada no gráfico (a 
propulsão é dada pelos gases expelidos pelo 
aparelho). Suponha a massa do aparelho 
constante. Calcule as acelerações angular (a), 
tangencial(a) e centrípeta(ac ) e assinale a 
resposta correta abaixo.
0)
0
a(rd/s2)
A) 0,25
B) 0,20
C) 0,25
D) 0,20
E) 0,25
5 10
a(m/s2)
0,20
0,16
0,20
0,16
0,16
A7) (ITA-68) Num relógio, o ponteiro dos 
minutos se superpõe ao ponteiro das horas 
exatamente às
a) 6 horas e 355/11 minutos
b) 6 horas e 358/11 minutos
c) 6 horas e 360/11 minutos
d) 6 horas e 365/11 minutos
e) Nenhuma das respostas acima.
ELEMENTOS DA FÍSICA
A8) (ITA-85) Uma roda de bicicleta tem raio de 
25 cm. Em 5 s o ciclista alcança a velocidade 
de 10 m/s. A aceleração angular da roda, 
suposta constante, é:
a) 20 rad/s2. b) 0,08 rad/s2. c) 2 rad/s2.
d) 8 rad/s2. e) 0,5 rad/s2.
. V3 e) —
2
A9) (ITA-74) Uma partícula descreve um 
movimento circular de raio R, partindo do 
repouso e com uma aceleração tangencial aT = 
const. A relação entre a aceleração centrípeta, 
ac, e a aceleração tangencial ac/aT é: 
a)aT2t/R bJR/a,!2 c)v2/R 
d) aT t / R e) aT t2 / R
C) 9,86 m s'2B) 49,3 m s'2 
E) 3,14 ms'2
A10) (ITA-82) Acima de um disco horizontal de 
centro 0 que gira em torno do seu eixo, no 
vácuo, dando 50,0 voltas por minuto, estão 
suspensas duas pequenas esferas M e N. A 
primeira está 2,00m acima do disco e a 
segunda 4,50m acima do disco, ambas numa 
mesma vertical. Elas são abandonadas 
simultaneamente e, ao chocar-se com o disco, 
deixam sobre ele pequenas marcas M’ e N' 
tais que o ângulo M'ON' é igual a 95,5°. 
Podemos concluir que a aceleração de 
gravidade local vale 
A) 10,1 ms2 
D) 11,1 ms’2
A12) (ITA-89) Num plano horizontal, sem atrito, 
uma partícula m, move-se com movimento 
circular uniforme de velocidade angular co. Ao 
passar pelo ponto P , outra partícula, m 2, é 
lançada do ponto 0 com velocidade v0. Qual o 
valor de v0 para que rri! e m2 colidam em Q ?
A13) (ITA-01) Uma partícula move-se ao longo 
de uma circunferência circunscrita em um 
quadrado de lado L com velocidade angular 
constante. Na circunferência inscrita nesse 
mesmo quadrado, outra partícula move-se com 
a mesma velocidade angular. A razão entre os 
módulos das respectivas velocidades
tangenciais dessas partículas é: 
a)>/2 b) 2>/2 c)^ d)^|
respectivamente, ãT e ac são constantes em 
módulo.
b) sendo periódico o movimento, decorrido um 
período após o instante correspondente à 
situação da Fig.1 acima, a_ nova configuração 
dos vetores velocidades v' e aceleração ã , 
com v' > v é ilustrada na Fig.2 acima. _
c) 0 módulo da aceleração tangencial aT', em
v2
cada instante, é dado por aT = —.
d) A força que atua na partícula é constante.
e) na primeira vez a partícula torna a passar 
pela posiçãojnicial, a configuração dos vetores 
velocidades v' e aceleração ã , com v' > v, é 
ilustrada na Fig.3 acima.
15 20 25 (s)
ac(m/s2 ) 
0,8 + 0,32t + 0,32t2 
0,8 + 0,4t + O.Oõt2 
0,8 + 0,4t + O.Oõt2 
0,8 + 0,32t + 0,032^ 
0,8 + 0,32t + 0.03212
* farol
R
L L
a -C V
158
a) A aceleração angular;
b) O tempo decorrido durante as 50 revoluções.
a) arctg (L/R)T/(2n)
b) arctg (2L7R)T/(2rt)
c) arctg (L/R)T/7t
d) arctg (L/2R)T/(2n)
e) arctg (L/R)T/n
A18) (ITA-91) Considere dois carros que 
estejam participando de uma corrida. O carro A 
consegue realizar cada volta em 80 s enquanto 
o carro B é 5,0% mais lento. O carro A é 
forçado a uma parada nos boxes ao completar 
a volta de número 06. Incluindo aceleração, 
desaceleração e reparos, o carro A perde 135 
s. Qual deve ser o número mínimo de voltas 
completas da corrida para que o carro A possa 
vencer?
a) 28 b) 27 c) 33 d) 34
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
A17) (IME-77) A velocidade angular de um 
volante decresce uniformemente de 900 rpm 
até 300 rpm, efetuando para isto 50 revoluções. 
Calcular:
A16) (IME-75) Calcular a velocidade e a 
aceleração absolutas do ponto A, figura abaixo, 
situado na periferia da roda de um trem que se 
desloca no plano horizontal, com movimento 
retilíneo uniforme.
Dados: Diâmetro da roda = 1 m
Velocidade do trem = 72 km/hora
A20) (ITA-13) Um dispositivo é usado para 
determinar a distribuição de velocidades de um 
gás. Em t = 0,com os orifícios O’ e O 
alinhados no eixo z, moléculas ejetadas de O’, 
após passar por um colimador, penetram no 
orifício O do tambor de raio interno R, que gira 
com velocidade angular constante <o. 
Considere, por simplificação, que neste 
instante inicial (t = 0) as moléculas em 
movimento encontram-se agrupadas em torno 
do centro do orifício O. Enquanto o tambor gira, 
conforme mostra a figura, tais moléculas 
movem-se horizontalmente no interior deste ao 
longo da direção do eixo z, cada qual com sua 
própria velocidade, sendo paulatinamente 
depositadas na superfície interna do tambor no 
final de seus percursos. Nestas condições, 
obtenha em função do ângulo 0 a expressão 
para v - vmm, em que v é a velocidade da 
molécula depositada correspondente ao giro 0 
do tambor e vmin é a menor velocidade possível 
para que as moléculas sejam depositadas 
durante a primeira volta deste.
A14) (ITA-01) No sistema convencional de 
tração de bicicletas, o ciclista impele os pedais, 
cujo eixo movimenta a roda dentada (coroa) e 
a ele solidária. Esta, por sua vez, aciona a 
corrente responsável pela transmissão do 
movimento a outra roda dentada (catraca), 
acoplada ao eixo traseiro da bicicleta. 
Considere agora um sistema duplo de tração, 
com 2 coroas, de raios R1 e R2 (R1 < R2) e 2 
catracas R3 e R4 (R3 < R4), respectivamente. 
Obviamente, a corrente só toca uma coroa e 
uma catraca de cada vez, conforme o 
comando da alavanca de câmbio. A 
combinação que permite máxima velocidade 
da bicicleta, para uma velocidade angular dos 
pedais fixa, é
a) coroa R1 e catraca R3.
b) coroa R1 e catraca R4.
c) coroa R2 e catraca R3.
d) coroa R2 e catraca R4
e) é indeterminada já que não se conhece o 
diâmetro da roda traseira da bicicleta.
A15) (ITA-01) Em um farol de sinalização, o 
feixe de luz está acoplado a um mecanismo 
rotativo que realiza uma volta completa a cada 
T segundos. O farol se encontra a uma 
distância R do centro de uma praia de 
comprimento 2L, conforme a figura. O tempo 
necessário para o feixe de luz “varrer” a praia, 
em cada volta, é:
A19) (ITA-95) Um avião voa numa altitude e 
velocidade de módulo constantes, numa 
trajetória circular de raio R, cujo centro 
coincide com o pico de uma montanha onde 
está instalado um canhão. A velocidade 
tangencial do avião é de 200 m/s e a 
componente horizontal da velocidade da bala 
do canhão é de 800 m/s. Desprezando-se os 
efeitos de atrito e movimento da Terra e 
admitindo que o canhão está direcionado de 
forma a compensar o efeito da atração 
gravitacional, para atingir o avião, no instante 
do disparo o canhão deverá estar apontando 
para um ponto à frente do mesmo situado a: 
a) 4,0 rad b) 4,0n rad c) 0,25R rad 
d) 0,25tt rad e) 0,25 rad
ELEMENTOS DA FÍSICA
a>Colimador
RO'.. z
O
B
das
159
D-
de celulares anunciou recentemente que seu 
produto podería produzir vídeos em full HD 
equivalente a uma taxa de 60 quadros por 
segundo.
A24) (OBF-15) Duas partículas A e B partem 
da origem O e viajam em direções opostas ao 
longo do caminho circular de raio 5 m com 
velocidades de módulos constantes vA = 0,7 
m/s e vB = 1,5 m/s.
Qual deveria ser a velocidade angular que um 
cinematógrafo com 15 fendas deveria girar 
para obter a taxa de 60 quadros por segundo?
A21) Uma partícula está se movendo em uma 
trajetória circular com o módulo constante da 
aceleração tangencial. Depois de um certo 
tempo t de movimento, o ângulo entre a 
aceleração total e o vetor velocidade é igual a 
45°. Qual é o valor da aceleração angular da 
partícula?
ajn/t2 b) 1/t2 c)2n/t2 d) Vã/t2 e) V2 / 2t2
A23) (OBF-13) O cinematógrafo é um projetor 
de imagens representando cenas em 
movimento. Fendas verticais são posicionadas 
na periferia de um tambor. Na parte interna 
são colocadas, nos intervalos entre as fendas, 
imagens sucessivas de uma cena em 
movimento. Enquanto o tambor gira com certa 
velocidade, o observador tem a ilusão de que o 
objeto está se movendo. Um famoso fabricante
ELEMENTOS DA FÍSICA
A22) (OBF-13) Considere uma pista de 
atletismo composta de duas partes retilíneas 
de 80 m de comprimento e duas partes 
semicirculares de 40 m de raio, como mostra a 
figura ao lado. Os pontos A e B estão 
posicionados no encontro entre as duas partes 
retilíneas e uma parte circular. Um corredor 
cuja massa é de 50 kg completa uma volta 
com velocidade constante no sentido anti- 
horário em 50 s. A rosa dos ventos no interior 
do circuito indica as direções Norte-Sul e 
Leste-Oeste. Use rt = 3.
A25) (OBF-15) A primeira medida da 
velocidade da luz a partir de dados não 
astronômicos foi realizada pelo físico francês 
Armand H. L. Fizeau em 1849. A figura mostra 
um diagrama simplificado do aparato montado 
por Fizeau. Uma fonte luminosa emite um raio 
de luz que passa por um divisor de feixe - 
espelho semitransparente. Parte da luz é 
perdida e a outra parte passa entre os dentes 
de um disco dentado sendo refletida num 
espelho plano posicionado a uma distância L 
da engrenagem. O feixe refletido no espelho 
plano retorna pelo mesmo caminho e é 
observado em O. O disco, que tem N dentes é,
a) Determine a distância percorrida pelas 
partículas no instante t = 2,0 s.
b) Calcule o instante do encontro 
partículas.
A
a) Qual é a velocidade média do corredor 
durante o percurso?
b) Qual a freqüência do movimento (em Hertz 
-Hz)?
c) Qual(is) a(s) direção(ões) em que a 
aceleração do corredor é maior?
LO
220 mm
C
160 mm
divisor de feixe
B A
A
L
800 mm
B
600 mm
160
Luz incidente e 
refletida no 
espelho
A27) (OBF-16) A figura apresenta parte do 
funcionamento de uma máquina. O círculo 
representa uma roda que rola sem escorregar 
em um trilho fixo horizontal. A biela BC está 
articulada à roda no ponto B e a um colar C 
que desliza ao longo de um eixo fixo vertical. 
No instante em que o centro da roda A se 
desloca com velocidade de 200 mm/s para a 
direita, qual a velocidade do colar C?
60 mm ,
■>
X
A26) (OBF-16) Uma barra de comprimento L 
tem suas extremidades A e B presas a anéis 
que deslizam em trilhos que coincidem com os 
eixos cartesianos, conforme a figura abaixo. 
No instante ilustrado, a barra encontra-se com 
velocidade nula e sabe-se que a aceleração do 
ponto A é constante, aponta para a origem do 
sistema de referência e tem módulo 4,00 m/s2.
y I
Fonte de luz
80 mm 
!
luz perdida
(a) Determine a expressão para a velocidade 
da luz em termos das varáveis fornecidas no 
texto.
(b) No experimento realizado por Fizeau a 
engrenagem tinha 720 dentes, a distância L foi 
de 8600 mea velocidade angular em que o 
efeito foi observado era de 12,5 rotações por 
segundo. Neste caso, determine a velocidade 
da luz encontrada por Fizeau.
A29) Uma partícula se movimenta ao longo de 
um plano com velocidade de módulo constante 
v. A trajetória da partícula é dada por y(x) = kx2, 
onde k é uma constante não nula. Determine a 
aceleração e o raio de curvatura da partícula 
no ponto (0, 0).
A28) Um ponto se movimenta ao longo de uma 
circunferência de raio R. Sua velocidade 
depende da distância percorrida s como 
v = kVs , onde k é uma constante. Determine o 
ângulo a entre os vetores aceleração 
resultante e velocidade como função de s.
então, posto a girar e o observador vê a 
imagem intermitente. A medida que a 
velocidade angular aumenta as interrupções 
diminuem. Para certa velocidade angular w a 
luz refletida é completamente obstruída, ou 
seja, nenhuma luz chega ao observador.
Espelho
—-e—T--- • . . .
ELEMENTOS DA FÍSICA
Determine:
(a) a equação horária da extremidade B e
(b) a velocidade média de B entre a 
configuração inicial e o instante em que a 
extremidade A chega ao ponto onde os trilhos 
se cruzam.
ESTÁTICA
e Frb , respectivamente, segue que:
Fb,
3
e
z j
a
161
Afirma-se que as partículas A e B encontram-se em equilíbrio relativo quando a aceleração 
relativa entre A e B é nula. A aceleração relativa nada mais é do que a diferença vetorial entre as 
acelerações das partículas:
Desta maneira,pode-se concluir que o conceito de equilíbrio está ligado diretamente ao 
referencial adotado para medir a velocidade e a aceleração da partícula. Uma partícula pode estar 
em equilíbrio relativamente a um referencial e não estar em equilíbrio em relação a outro 
referencial, bastando para isso que exista uma aceleração relativa não nula entre os dois 
referenciais.
Deve-se ressaltar que, até este momento, estamos tratando do equilíbrio de uma partícula, 
ou seja, de corpos cujas dimensões são desprezíveis. O estudo do equilíbrio de corpos extensos 
será apresentado mais adiante neste mesmo capítulo.
Por fim, pode-se enunciar que uma partícula está em equilíbrio relativamente a um 
referencial se este referencial mede uma aceleração nula desta partícula.
CONCEITO DE EQUILÍBRIO 
Equilíbrio Relativo
ãA =
mAaA
AãR
Considere duas partículas A e B, de massas mA e mB, respectivamente, que se 
movimentam no espaço sob a ação das forças representadas na figura abaixo. Se ã, e ã2 são as 
acelerações dos corpos A e B, respectivamente, medidas por um mesmo referencial, e as forças 
resultantes em A e B são
Considere agora um sistema de eixos Oxyz que se 
movimenta no espaço com as mesmas velocidade e aceleração da 
partícula A, que está localizada na origem do sistema. Este sistema 
mede que A está em repouso. Consequentemente, a aceleração 
que este sistema Oxyz mede de B é igual a aceleração relativa 
entre as partículas A e B:
ãB
ELEMENTOS DA FÍSICA
ã8
ãA=ãB
= mBãB
= ãB - ãA = 0
ãB -ãA =ãB-0
Assim, o equilíbrio relativo entre as partículas A e B ocorre quando as acelerações das 
duas partículas são iguais, acelerações estas medidas pelo mesmo referencial.
e ^RB — FB, + FB2 + FB3 + FB4 + FBB + FB6 
FBi + Fb2 + FB3 + FB4 + FB5 + FB6 
mB
’ :ía - FAi + Fa2 + FA3 + FA4
FAi + FA2 + FA3 + FA4 
mA
ELEMENTOS DA FÍSICA
Tipos de Equilíbrio
As figuras abaixo exemplificam os tipos de equilíbrio com relação à estabilidade.
Equilíbrio instável Equilíbrio indiferenteEquilíbrio estável
fõl
O
O
Equilíbrio InstávelEquilíbrio Estável Equilíbrio Indiferente
162
Pode-se classificar o equilíbrio com relação ao movimento da partícula. Uma partícula A 
está em equilíbrio estático relativamente a um referencial Oxyz quando este referencial mede 
que a velocidade de A é nula a todo instante. Neste caso, afirma-se que a situação da partícula A 
em relação ao referencial é de repouso. Por outro lado, afirma-se que uma partícula A está em 
equilíbrio dinâmico em relação a um referencial Oxyz quando este referencial mede que a 
velocidade v da partícula é constante. Perceba que essa classificação depende do referencial 
adotado. Uma partícula A pode estar em equilíbrio estático com relação a um referencial O e em 
equilíbrio dinâmico em relação ao referencial O’.
Outra classificação de equilíbrio é quanto à estabilidade. Como premissa, admita que a 
partícula encontra-se em situação de equilíbrio relativamente a um referencial. Classifica-se de 
equilíbrio estável a situação em que a partícula tende a retornar à posição de equilíbrio quando 
alguma pequena perturbação é realizada sobre sua situação de equilíbrio original. Partículas em 
equilíbrio estável, após serem retiradas de sua posição original, têm seu centro de gravidade 
ocupando posições superiores. A situação de equilíbrio instável ocorre quando, após a partícula 
ser levemente afastado de sua posição de equilíbrio, a partícula não retorna mais é posição inicial 
de equilíbrio. Partículas em equilíbrio instável, após serem retiradas de sua posição original, têm 
seu centro de gravidade ocupando posições inferiores. Denomina-se de equilíbrio indiferente a 
situação em que uma partícula mantém sua posição de equilíbrio quando sua posição ou rotação 
são alteradas. Partículas em equilíbrio indiferente, após serem retiradas de sua posição original, 
têm seu centro de gravidade ocupando posições de mesma altura.
Barra pivotada em um 
parede a partir de um 
ponto acima do seu CM
Barra pivotada em um 
parede a partir de um 
ponto abaixo do seu CM
Barra pivotada em um 
parede a partir de um ponto 
coincidente com seu CM
EQUILÍBRIO DE TRANSLAÇÃO
F„
Pode-se decompor a soma das forças nos eixos x, y e z:
0nx
0
F1z +F2z +- + Fnz =°
163
Como já foi enunciado, um corpo está em equilíbrio relativamente a um referencial quando 
este referencial mede que a aceleração do corpo é nula. Se a aceleração resultante é nula, então 
a força resultante no corpo também é nula. Desta forma, a condição necessária e suficiente para 
que um corpo esteja em equilíbrio de translação é que a soma vetorial das forças atuantes no 
corpo é nula:
A maioria absoluta das situações problemas apresentadas em vestibulares militares, que é 
foco desta coleção, engloba forças distribuídas em um plano. É muito raro uma situação de ter de 
decompor o cálculo da força resultante em três dimensões, o mais comum é a decomposição em 
duas dimensões e, alguns casos, basta analisar uma dimensão mesmo. Decompor em duas 
dimensões significa obter duas equações, que são lineares em relação às componentes da força 
resultante. Deste modo, se as forças atuantes em um corpo em equilíbrio de translação estão 
distribuídas ao longo de um plano, pode-se determinar duas equações envolvendo as forças, uma 
para cada eixo, digamos x e y. Pela teoria das equações lineares, com duas equações 
linearmente independente, pode-se, por meio de manipulação algébrica, determinar o valor de 
duas variáveis desconhecidas na configuração proposta, como duas componentes de forças que 
atuam no corpo e cujo valor não seja fornecido. Analogamente, se as forças estiverem distribuídas 
ao longo do espaço (caso mais raro mais possível de ocorre) pode-se obter três equações 
lineares envolvendo as componentes das forças, uma para cada eixo, sendo possível determinar, 
no máximo, o valor de três componentes de forças cujos valores sejam desconhecidos.
Considere que, em determinado instante, n forças estão atuando sobre um corpo de 
massa m no espaço.
FR=F1+F2+... + Fn=mãR
F1x + F2x
F1y F2y + •■• + Fny
*F3
A força resultante em um corpo é igual a soma vetorial de todas as forças que atuam no 
corpo. Pela 2a Lei de Newton, sabe-se que a força resultante é o produto da massa do corpo pela 
aceleração resultante.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Fr=0 o ^+^+... + ^=0
5Fi
-f3
f2F,
1
f3
p
164
Deste modo, se Ê, e F2 não forem paralelos, necessariamente os vetores F,, F2 e F3 
formam um triângulo fechado, conhecido como triângulo de forças do corpo em equilíbrio de 
translação. Note que para as três forças formarem um triângulo fechado é necessário que o corpo 
esteja em equilíbrio de translação.
Na figura abaixo está um exemplo clássico da teorema das três forças para o caso de 
forças paralelas. Uma barra, em equilíbrio de translação, está apoiada por um suporte e possui 
dois corpos apoiados em suas extremidades. Observe que todas as forças são verticais. Para que 
ocorra equilíbrio é necessário que F, + F2 + F3 = 0.
Teorema das Três Forças
Se um corpo está em equilíbrio de translação sob a atuação de exatamente três forças, 
essas três forças são paralelas entre si ou formam um triângulo fechado.
Demonstração:
Suponha que uma corpo de massa m, em equilíbrio de translação, esteja sujeito à ação de 
exatamente três forças, F,, F2 e F3 . Desde que existe equilíbrio de translação, F, + F2 + F3 = 0, ou 
seja: F, + F2 = -F3. Se F, e F2 forem vetores paralelos, sua soma é paralela a F, e F2 . Assim, -F3 
é paralelo aF,eF2 e como F3 possui mesma direção de -F3, segue que os vetores F,, F2 e F3 
são paralelos. Caso F, e F2 não sejam paralelos, a expressão F|+F2=-F3 implica em uma 
configuração do tipo.
r1 a 1
Uma possível situação prática de três forças formando um triângulo fechado se encontra 
na figura abaixo. Um corpo, de peso P , está preso ao teto por duas cordas. Denominando de fj e 
f2 as trações nas cordas, para que ocorra o equilíbrio, as forças devem formar um triângulo 
fechado. Note que nem sempre as forçasvão formar o triângulo diretamente na decomposição de 
forças da figura original. Em algumas situações, como a exemplificada abaixo, é necessário 
deslizar os vetores para que o triângulo seja formado.
ELEMENTOS DA FÍSICA
EQUILÍBRIO DE ROTAÇÃO
P
b\%
Torque ou Momento de uma Força
eixo de rotação
165
braço maior => menor força necessária 
braço menor => maior força necessária
Uma aplicação prática deste resultado é o sistema de abertura de uma porta, onde a 
maçaneta encontra-se o mais distante possível do eixo de rotação da porta, de modo que seja 
possível aplicar sobre a maçaneta a menor força possível para fazer a porta abrir. Ainda neste 
capítulo será demonstrado que a menor força necessária para rotacionar um corpo em torno de 
um eixo ocorre quando o braço dessa força, em relação ao eixo de rotação, assume o maior valor 
possível.
Se um corpo de massa m está submetido a uma força 
resultante FR , segue pela segunda lei de Newton que FR =mã, 
onde ã é a aceleração resultante do corpo. Deste modo, é 
muito claro como a atuação de uma força pode alterar o 
movimento de translação de um corpo. Entretanto, como a 
ação de uma força provoca a alteração do movimento rotação 
de um corpo? Por exemplo, observe a figura ao lado, onde 
será utilizada uma chave de boca para girar um parafuso. 
Suponha que três forças, Fa , Fb e Fc , atuam no cabo da 
chave, com Fa e Fb sempre perpendiculares à chave e Fc 
paralelo à chave. Perceba que as únicas forças que provocam 
o movimento de rotação da chave de boca são Fa e Fb. A 
força Fc não possui participação na tendência da chave de 
bocas girar em qualquer sentido, seja horário ou anti horário. Outra observação que pode ser feita 
(e que será demonstrada posteriormente) é que a força Fb influencia mais na rotação da chave 
que a força Fa, exatamente pelo fato da distância de Fb ao ponto O, eixo de rotação do parafuso, 
ser maior que a distância de Fa ao ponto O.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Braço de uma Força em Relação a um Ponto
Braço de uma força F em relação a um ponto P é definido como a distância entre a linha 
de ação de F e o ponto P. Normalmente usa-se a letra b para designar o braço de uma força. A 
figura abaixo exemplifica o braço b de F em relação a um ponto P.
É importante ressaltar que a distância é em relação à linha de ação da força F, uma vez 
que o ponto de aplicação da força faça com que a menor distância de F até o ponto P seja obtida 
em um prolongamento de F, como ocorre no exemplo da figura anterior.
T = r x F
y
Aplicando módulo, encontra-se que:
tf,o — r x F
onde <|> é o ângulo formado pelos vetores f e F.
F
= F sen </>,
= F cos <!>rad
7®
linha de ação de F
r
I?f,o 1= Ftan.r = (F.sen<j>).r
|íF.o| = F.b,
Colocando em uma única expressão: F.b
166
2) Calculando o braço da força:
Como |tfo| = F.r.sen<|> e b = r.sen<|> então:
onde b é o braço da força F com relação ao ponto O. Deste modo, o módulo do torque é igual 
ao produto do módulo da força pelo braço de F em relação ao ponto O.
o
I TF,0 I- Ffcn
</>
r
b = r sen ó
= braço da força F
A tendência que um corpo possui de girar em torno 
de um eixo é estudado por uma grandeza denominada de 
torque ou momento da força.
Considere uma força F que está aplicada a um 
corpo, em um determinado ponto P de sua superfície. O 
ponto O é um ponto do espaço por onde o corpo pode 
girar em torno. Um sistema cartesiano, com centro em 0, 
Oxyz é adotado. Neste sistema Oxyz o vetor posição do 
ponto Péf =OP. O torque ou momento da força F em 
relação ao ponto O é definido como o produto vetorial de 
r por F:
1) Decompondo F:
F pode ser decomposta nas 
direções radial e tangencial em 
relação ao vetor r. Como a linha 
de ação de Frad passa por O, o 
torque gerado por Frad em O é 
nulo. Assim, a única componente 
que provoca torque não nulo em 
O é Ftan, que, por ser 
perpendicular a r, faz com que o 
torque seja igual a:
tF,o = r x F
Para simbolizar torque ou momento de uma força F 
em relação ao ponto O usa-se tfo ou Mf.o. De maneira 
geral, os físicos preferem chamar de torque, enquanto que 
os engenheiros têm preferência de chamar de momento.
^tan
-T—> — — . ............................................. .. .
ELEMENTOS DA FÍSICA
Existem duas maneiras de 
calcular o módulo do torque, 
ambas exemplificadas na figura:
=> Itf,o| = |F||r|sen4>,=> |vo| = |r*F|
Ír.o = r, x F, + r2 x F2 +... + rn x Fn
O item seguinte mostrará como calcular o torque resultante.
Torque como Vetor
?R.o=(|íil-|í2l)k^r.o - x F, + r2 x F2 +
z“
F3
y
X
*2
167
Torque Resultante
Considere um corpo que está sujeito à ação de n forças Fv F2 Fn. O torque resultante 
tR em relação a um ponto O do espaço é definido como a soma vetorial dos torques de cada 
força em relação ao ponto O:
3
A figura abaixo mostra um corpo que está sujeito a três forças F,, F2 e F3 , todas 
pertencentes ao plano xy. Suponha que o corpo possa girar em torno de um eixo que passa pelo 
ponto O. A atuação da força F, provoca uma tendência do corpo girar no sentido anti horário em 
torno de O, enquanto que a atuação da força F2 provoca uma tendência do corpo girar no sentido 
horário em torno de O. A linha de ação da força F3 passa pelo ponto O (torque nulo), não 
provocando tendência de rotação em torno de O. Apesar do corpo estar sujeito à ação de apenas 
três forças, a análise desta situação permite generalizar para uma quantidade qualquer de forças, 
uma vez que todas as forças, em relação a tendência de rotação do corpo, podem ser agrupadas 
em três categorias: sentido anti horário, sentido horário e nenhuma tendência de rotação.
Como tfo=FxF, da teoria dos vetores, sabe-se que tfo é um vetor perpendicular ao 
plano formado por f e F. Neste livro, serão estudados apenas os casos em que todas as 
forças são coplanares, que são as típicas situações problemas de ensino médio. Para as 
situações de forças não coplanares, o leitor deve procurar um bom livro de Mecânica Técnica.
Como t, = p x F,, pela regra da mão direita, a orientação de é no sentido positivo do 
eixo z. Por outro lado, também pela regra da mão direita, a orientação de f2 é no sentido negativo 
do eixo z. Neste caso, o cálculo do torque resultante em O fica da forma:
ELEMENTOS DA FÍSICA
=> tr o -| t, | k | t2 | k
ELEMENTOS DA FÍSICA
Condição para Equilíbrio de Rotação
equilíbrio de rotação tr = 0 <=> ± F^b! ± F2.b2 ± ... ± Fn-bn = 0
168
O leitor já deve ter percebido que sempre é citado que o torque deve ser calculado em 
relação a um determinado ponto. Certamente, o mesmo leitor já deve ter se perguntado se, para a 
análise do equilíbrio de rotação, a escolha desse ponto onde o torque será calculado é aleatória? 
A resposta é sim, pode-se escolher qualquer ponto para calcular o torque. Se o corpo está em 
equilíbrio de translação e o torque for nulo em relação a um ponto O do plano, o torque será nulo 
em relação a qualquer ponto. Este importante resultado será demonstrado no teorema seguinte.
A observação deste último resultado nos permite chegar a algumas conclusões, válidas 
somente se todas as forças atuantes no corpo sejam coplanares:
1) Todos os torques são vetores perpendiculares ao plano que contém as forças atuantes no 
corpo. Assim, os torques são vetores paralelos ao eixo (que na figura anterior denominamos de 
eixo z) que é perpendicular ao plano definido pelas forças.
2) Para calcular o torque resultante, basta determinar a componente do torque no eixo z, uma vez 
que as componentes do torque em x e y são nulas.
3) Esta componente do torque no eixo z, que nada mais é do que o torque resultante, é obtida a 
partir de um cálculo da seguinte maneira:
onde o sinal + em x, é escolhido caso a tendência de rotação, sobre um ponto O, devido à ação da 
força F|, seja no sentido anti horário e o sinal - é escolhido caso a tendência de rotação seja no 
sentido horário.
tendência de rotação no sentido anti horário -> sinal positivo: + 
tendência de rotação no sentido horário -> sinal positivo: -
4) Apesar do torque ser uma grandeza