A03 - Física_merged

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FRENTE MÓDULO FÍSICA A 03 Introdução à Cinemática Vetorial Imagine-se de pé em um ponto da sala em que você está agora faz todo o sentido perguntar: "Para onde?" A pessoa pode dar e obedecendo ao seguinte comando: dê 3 passos a partir do local 5 passos para frente, para trás, para a direita, para a esquerda, em que se encontra; posteriormente, dê mais 4 passos e, por etc. A fotografia a seguir mostra uma bala movendo-se último, mova-se mais 5 passos. Após efetuar esses movimentos, na direção horizontal, cujo sentido é da direita para a é possível responder a quantos passos você estaria da posição esquerda, com velocidade instantânea de 100 m/s. Como já inicial? 12 passos? 2 passos? No mesmo local em que iniciou dito, as grandezas vetoriais só ficam completamente definidas a caminhada? As opções anteriores são apenas três de quando informamos seu módulo, sua direção e seu sentido. inúmeras possíveis respostas para essa situação. Uma resposta Logo, a velocidade da bala está completamente definida. seguramente correta só pode ser dada com o conhecimento de uma informação fundamental: para onde foram dados os Vetor passos? Algumas grandezas físicas, como o deslocamento, somente ficam bem definidas se indicarmos além de seu valor Para representarmos graficamente as grandezas vetoriais, numérico, seguido de sua unidade, sua direção e seu sentido. utilizamos os vetores, que são segmentos de reta orientados. Se tais indicações não são feitas, a informação é incompleta e, Na fotografia da bala furando uma lâmpada, a velocidade da portanto, incorreta. bala seria representada pelo vetor a seguir: Este módulo introduzirá uma ferramenta fundamental o vetor para o estudo de grandezas físicas que, para ficarem completamente definidas, necessitam que sejam especificados seu módulo (valor numérico com unidade de medida), sua direção e seu sentido. Algumas dessas grandezas físicas você já conhece, como a velocidade, o deslocamento, a aceleração e a força. Outras você virá a conhecer, como o campo elétrico e o campo magnético. o vetor carrega consigo todas as informações necessárias GRANDEZAS ESCALARES para definir as grandezas vetoriais: o módulo está associado E GRANDEZAS VETORIAIS ao comprimento do segmento de reta (na figura anterior, cada 1 cm representa 50 m/s), a direção do vetor é a Existem grandezas na Ciência que ficam bem determinadas direção do segmento de reta (direção horizontal) e o sentido apenas com o fornecimento de seu valor numérico e sua é fornecido pela seta (sentido da direita para a esquerda). respectiva unidade, como o volume, a massa, a temperatura Veja a seguir algumas convenções estabelecidas para e os intervalos de tempo. Essas grandezas são denominadas representar um vetor qualquer. grandezas escalares. B Outra classe de grandezas, as grandezas vetoriais, Vetor: AB exige que informemos algo a mais além de seu módulo: Módulo: sua direção e seu sentido. Quando se pede a uma pessoa A para se deslocar 5 passos da posição onde se encontra, Bernoulli Sistema de Ensino 27Frente A Módulo 03 EXERCÍCIO RESOLVIDO Consideremos dois vetores deslocamento, e mostrados na figura a seguir: 01. A figura a seguir representa os vetores velocidade de quatro automóveis em uma esquina. Marcar a(s) alternativa(s) que contém apenas afirmativas corretas. Vejamos, então, os dois processos pelos quais pode ser realizada a soma vetorial dos vetores e 1° método: poligonal Para realizarmos a soma vetorial = + pelo método da poligonal, devemos desenhar a origem do vetor na extremidade do vetor o vetor soma dos deslocamentos e é o segmento de reta cuja origem é a origem de e cuja extremidade é a extremidade de como representado na figura a seguir. Ao mover os vetores e não podemos alterar seus módulos, suas direções, nem seus sentidos. A) e têm mesma direção. B) e têm mesma direção. C) e têm mesma direção e sentidos opostos. D) e têm mesmo sentido. Para determinarmos o módulo de d, devemos utilizar uma E) e têm direção e sentidos opostos. escala anteriormente fornecida para os módulos dos vetores F) têm módulos diferentes. e ou aplicar a Lei dos Cossenos. o vetor é denominado vetor resultante ou vetor soma. Posteriormente, serão dados G) e são iguais. alguns exemplos numéricos. Resolução: Esse método de soma vetorial nos permite somar mais Dois ou mais vetores possuem a mesma direção quando são de dois vetores ao mesmo tempo. Se tivéssemos quatro paralelos. Logo, apenas os vetores velocidade dos carros B, vetores, como os representados na figura seguinte, para C e D possuem a mesma direção. Para que dois ou mais realizarmos a soma vetorial R = a + b + bastaria vetores tenham mesmo sentido, esses devem estar na procedermos de forma análoga, isso é, sempre desenhar a mesma direção e devem estar orientados para o mesmo origem do vetor seguinte na extremidade do vetor anterior, lado. Assim, temos que apenas os vetores e possuem tomando o cuidado de não alterar os módulos, as direções e o mesmo sentido. Sabemos, também, que dois vetores os sentidos dos vetores. o vetor resultante dessa operação possuem módulos diferentes quando os segmentos de reta seria um vetor, cuja origem seria a origem de a e cuja que os representam possuem comprimentos diferentes. extremidade seria a extremidade de d, conforme a figura Como os vetores ev, possuem o mesmo comprimento, a seguir: as velocidades de e possuem também o mesmo módulo. Já o vetor possui módulo menor que os demais. b Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo, direção e sentido. Tendo em vista os comentários anteriores, temos que as afirmativas corretas são A e B. Adição vetorial 2° método: paralelogramo A soma vetorial di = + realizada pelo método Assim como as grandezas escalares, as grandezas vetoriais do paralelogramo é feita desenhando os vetores e também estão submetidas a regras de operações matemáticas, com a mesma origem e traçando um paralelogramo a como adição, subtração, multiplicação, etc. Estudaremos partir desses vetores. o vetor soma terá como origem dois processos para a realização de adições vetoriais: a origem dos vetores e e, como extremidade, a o método da poligonal ou o método do paralelogramo. interseção dos dois segmentos paralelos aos vetores 28 Coleção 6VIntrodução à Cinemática Vetorial Veja a figura a seguir: Operação: Módulo = Várias são as situações físicas nas quais encontramos uma operação vetorial como a mencionada nesse segundo exemplo. Um barco subindo um rio contra a correnteza, um avião movendo-se no sentido oposto ao do vento ou Obviamente, os dois métodos de soma vetorial apresentados uma pessoa andando na "contramão" de uma escada rolante devem conduzir ao mesmo resultado, isso é, o vetor obtido são exemplos de situações cotidianas em que a velocidade pelos dois métodos deve ter o mesmo módulo, a mesma resultante é obtida por meio da soma de dois vetores direção e o mesmo sentido. Quando desejarmos somar mais velocidade com mesma direção e sentidos opostos. de 2 vetores, o método da poligonal deverá ser utilizado, pois o método do paralelogramo somente permite somar Suponha que a velocidade de um barco imprimida pelo seu 2 vetores de cada vez. Vejamos agora três exemplos motor seja de 25 km/h, e que o barco se encontra subindo o rio, cuja correnteza apresenta uma velocidade de valor numéricos associados à soma de vetores. Sejam os igual a 5 km/h. Uma pessoa na margem do rio observará vetores e mostrados a seguir, que representam o barco mover-se a uma velocidade de 20 km/h, uma vez que deslocamento de uma pessoa, com módulos iguais a 4 u e os vetores velocidade do barco e da correnteza apresentam 3 u, respectivamente. A escala utilizada para representar os mesma direção e sentidos opostos. É por isso que em vetores é de 1 cm para cada 2 u (u = unidade arbitrária). uma viagem de barco entre Manaus e Belém gasta-se, 1° exemplo: vetores de mesma direção aproximadamente, 4 dias na ida, enquanto, na volta, gasta-se, aproximadamente, 5 dias de viagem. e de mesmo sentido S2 3° exemplo: vetores perpendiculares entre si Considere agora duas pessoas arrastando um objeto por meio de duas cordas que formam um ângulo de 90° entre si, sendo que uma pessoa exerce uma força de 4 N e outra, uma força de 3 N. Qual o valor da força resultante? Operação: o diagrama a seguir representa a situação descrita. Utilizando os dois métodos de soma de vetores anteriormente Módulo de = = S = S1 + + 3 u = 7 u apresentados, temos: Esse exemplo pode ser aplicado em várias situações físicas. Quando um boxeador aplica um em seu oponente, S Método do ele não move apenas o seu braço, mas também o seu tronco, paralelogramo ou seja, a velocidade do soco aplicado é resultado da soma vetorial da velocidade do tronco com a velocidade do braço. o resultado é... muita dor! S Método da S2 poligonal Tronco Total o mesmo processo ocorre quando andamos em uma escada rolante no mesmo sentido do movimento da escada, Operação: ou quando um barco desce um rio a favor da correnteza. Módulo de = Nesses casos, devemos somar os módulos das velocidades para encontrar o módulo da velocidade resultante. Observe que os dois métodos de soma vetorial conduzem 2° exemplo: vetores de mesma direção à mesma resposta: o vetor resultante possui o mesmo e de sentidos opostos módulo, a mesma direção e mesmo sentido, qualquer que seja o processo utilizado para realizar a soma. A soma de dois vetores perpendiculares entre si é um processo muito útil, por exemplo, quando desejamos determinar a velocidade resultante de um barco em relação à margem de um rio, quando o barco pretende atravessar rio de uma margem a outra. Bernoulli Sistema de Ensino 29Frente A Módulo 03 Considere um barco atravessando um rio, cuja velocidade Existem vários tipos de decomposição de vetores e, neste da correnteza é = 6 km/h. o barco possui um motor que módulo, descreveremos a decomposição ortogonal, na o impulsiona em uma direção perpendicular às margens qual um vetor é decomposto em suas partes constituintes, do rio, com velocidade de módulo = 8 km/h, em relação segundo eixos perpendiculares entre si. à água, como mostra a figura a seguir: y V Vx Os vetores resultantes da decomposição do vetor são denominados componentes ortogonais do vetor ou projeções do vetor nos eixos e y, respectivamente. É importante ressaltar que, ao decompor o vetor este Para determinarmos o módulo da velocidade resultante do deixa de existir. Ou seja, ou temos o vetor ou temos barco em relação à margem, basta realizarmos a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água, com a seus componentes e Os módulos dos componentes do vetor podem ser encontrados utilizando-se as relações velocidade da correnteza em relação à margem, Realizando trigonométricas nos triângulos retângulos: tal soma vetorial, encontramos a velocidade resultante do barco em relação à água, cujo módulo é de 10 km/h. sen = = Quando desejamos somar dois vetores, cujos ângulos são diferentes de 0°, 180° ou 90°, devemos usar a Lei dos Cossenos, cuja utilização não será descrita neste módulo. 0 Decomposição de um vetor EXERCÍCIO RESOLVIDO Considere o vetor representado a seguir e os eixos e y, que se cruzam no ponto o, origem do vetor 02. Um jogador de tênis efetua um saque, imprimindo na bola uma velocidade de 30 m/s, como ilustra a figura. y Calcular a componente da velocidade responsável pelo S deslocamento horizontal da bola. Dados: sen 60° = 0,86 e cos 60° = 0,5. x Tendo em vista método do paralelogramo, podemos supor que o vetor é o resultado da soma vetorial de dois vetores e contidos nos eixos e y, respectivamente. y Resolução: A componente da velocidade responsável pelo deslocamento horizontal da bola é a projeção do vetor velocidade sobre o eixo horizontal. Seu módulo é determinado pela relação: 60 = 30 m/s 60° = 30 m/s 0,5 = 15 m/s Os vetores S, e são denominados componentes do vetor S Vimos que as grandezas deslocamento e velocidade, entre na direção dos eixos e y, respectivamente. Muitas vezes, outras, são grandezas vetoriais. Vamos agora ampliar nosso é útil decompor um vetor em seus vetores componentes. entendimento a respeito dessas grandezas. 30 Coleção 6VIntrodução à Cinemática Vetorial DESLOCAMENTO VETORIAL Direção: tangente à trajetória do ponto P. Sentido: o mesmo sentido do movimento do ponto P. Os conceitos de distância percorrida e de deslocamento Tendo em vista as características anteriores, conclui-se são diferentes. Por exemplo, ao realizarmos uma volta um importante fato: o vetor velocidade de um corpo em completa ao mundo, tendo como ponto de partida e de movimento é sempre tangente à trajetória do corpo. chegada a mesma posição, nosso deslocamento será nulo, em contrapartida à distância percorrida, que não será nula. Denominamos de deslocamento vetorial o vetor cuja EXERCÍCIO RESOLVIDO origem coincide com o ponto de partida do movimento de um corpo, e cuja extremidade coincide com o ponto de chegada 03. (UFMG) do movimento desse. Considere um carro viajando de uma cidade A para outra cidade B, como representado na figura A a seguir, em que representa o deslocamento vetorial e representa a distância percorrida. d D Rodovia Essa figura mostra um carro que, fazendo uma curva, perde a calota da roda traseira direita. A figura indica essa situação, vista de cima, no instante em que a calota se desprende. A B Desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que, imediatamente após a calota se soltar, ela se moverá, aproximadamente, em direção ao ponto Observe que, nessa situação, o módulo do vetor deslocamento é menor que a distância percorrida. Isso A) A. evidencia um fato importante: o módulo do deslocamento B) B. vetorial nem sempre coincide com o valor da distância C) C. percorrida d. Esses só serão coincidentes quando a trajetória for D) D. Resolução: VELOCIDADE VETORIAL Observe que o movimento do carro é um movimento A imagem seguinte mostra um esmeril lançando curvilíneo, como aquele mostrado na figura do esmeril. fagulhas metálicas que se encontram a altas temperaturas. o vetor velocidade do carro é corretamente representado por Essas fagulhas são pedacinhos incandescentes que se um vetor que seja tangente à trajetória desse e no mesmo desprendem tanto do metal lixado quanto do esmeril. sentido de seu movimento, conforme ilustra a figura a seguir: A B Esmeril .D P Observe que o esmeril está girando, e a trajetória das Estando a calota, inicialmente, presa ao carro, temos que fagulhas é tangente à trajetória dos pontos do esmeril, que o vetor velocidade dela será idêntico ao vetor velocidade estão em contato com o metal. Uma fagulha que se solta do carro, até o momento em que essa se desprenda do do esmeril no ponto P apresenta um vetor velocidade com carro. Logo, quando a calota se desprender, seu vetor as seguintes características: velocidade estará orientado na direção mostrada na Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea figura anterior. Assim, a calota se moverá em direção do ponto P. ao ponto A. Bernoulli Sistema de Ensino 31Frente A Módulo 03 MUDANÇAS DE Como esses dois vetores velocidade estão na mesma direção e no mesmo sentido, o módulo dessa soma vetorial é igual REFERENCIAL à soma dos módulos dos vetores, ou seja: Durante um longo tempo da história da humanidade, pensou-se que a Terra fosse o centro do Universo. Era natural As situações anteriormente descritas podem ser associadas tomá-la como referência para classificar os objetos como ao desenho da seguinte maneira: estando em movimento ou em repouso. Hoje, sabemos que a Terra gira ao redor do Sol e que este, por sua vez, arrasta Observador (em R2 Objeto todos os planetas do sistema solar em seu movimento ao redor do centro de nossa galáxia. A nossa galáxia, a Via por sua vez, está em movimento em relação Pessoa na margem Rio com Barco a outras galáxias. Enfim, não existe um local, um sistema de um rio correnteza de referência absoluto, como imaginaram Newton e outros cientistas. No entanto, como usualmente trabalhamos com Pessoa no solo Corrente de ar Avião situações que envolvem pequenos intervalos de tempo (segundos, dias, meses), podemos considerar as estrelas como um sistema de referência inercial. Pessoa no piso de um Pessoa correndo Escada rolante shopping na escada Ao mudarmos de um sistema de referência para outro, devemos tomar alguns cuidados para que não incorramos em erros. Faremos uma descrição simplificada de alguns No próximo tópico, apresentaremos alguns exemplos aspectos dessa mudança, utilizando situações cotidianas: numéricos de situações que envolvem uma mudança de uma pessoa nas margens de um rio e outra pessoa dentro referencial. de um barco medindo a velocidade desse barco; uma pessoa no piso de um shopping e outra pessoa na escada rolante COMPOSIÇÃO DE observando o deslocamento de uma terceira pessoa que sobe correndo a escada rolante; o piloto de um avião e a MOVIMENTOS torre de comando comunicando-se em um voo, diante de uma forte corrente de ar, etc. Existem várias situações cotidianas nas quais um objeto possui uma velocidade resultante, que é a soma vetorial de Situações envolvendo mudanças de referencial, de uma duas velocidades componentes, como um barco se movendo forma geral, podem ser descritas da seguinte maneira: em um rio, uma pessoa se movendo no interior de um ônibus Considere um sistema de referência R, e outro sistema de em movimento, uma pessoa caminhando em uma escada referência que se move com velocidade em relação a rolante, etc. Vejamos um exemplo numérico de um barco e um corpo qualquer, que se desloca com velocidade v" em atravessando um rio. relação ao referencial Qual será a velocidade V do corpo em relação a um observador que se encontra em A figura o barco da figura a seguir, orientado perpendicularmente a seguir representa um exemplo de situações como essa. às margens de um rio, é impulsionado pelos motores, que imprimem ao barco uma velocidade Vb = 4 km/h (velocidade própria do barco). Simultaneamente, as águas arrastam o barco rio abaixo, com velocidade = 3 km/h, em relação às margens (velocidade de arrastamento). o movimento do barco é resultado da superposição de dois movimentos independentes: um, na direção perpendicular às margens (direção de e outro, na direção da correnteza (direção de Nessa figura, o solo representa o referencial o ônibus Sendo o movimento do barco o resultado da combinação de representa o referencial R2 e a pessoa dentro do ônibus é o corpo que se move em relação ao ônibus. A velocidade da dois movimentos retilíneos uniformes perpendiculares entre pessoa em relação ao solo, V, pode ser obtida por meio da soma si, temos que a trajetória resultante é retilínea, já que não vetorial do vetor velocidade da pessoa em relação ao ônibus, há aceleração atuando sobre o barco em nenhuma direção, com o vetor velocidade do ônibus em relação ao solo, v'. e em relação às velocidades componentes. 32 Coleção 6VIntrodução à Cinemática Vetorial A velocidade resultante, tem como componentes = velocidade do barco = velocidade resultante do barco em relação às perpendiculares entre si. Apenas a componente afeta em relação às águas margens o tempo de travessia do rio. A componente determina o deslocamento rio abaixo. V EXERCÍCIO RESOLVIDO Margem Margem 04. Na situação representada na figura anterior, supondo a (a) (c) largura L do rio igual a 2,0km, determinar = velocidade da correnteza em relação às margens A) qual é o tempo de travessia do rio. B) qual é o deslocamento do barco rio abaixo. C) qual é a velocidade resultante do barco em relação V às margens. Resolução: Margem Margem A) Otempo de travessia do rio é determinado apenas por (b) (d) componente da velocidade do barco perpendicular Embora o barco se oriente perpendicularmente às margens, às margens. Na direção perpendicular às margens, a correnteza o arrasta rio abaixo, e a travessia se dará segundo o barco percorrerá uma distância de 2,0 km a uma a direção da velocidade resultante. velocidade de 4 km/h. Como as velocidades são perpendiculares entre si, Assim: o efeito da correnteza é unicamente deslocar (arrastar) barco rio abaixo, não afetando o movimento na direção = = 4 At = 0,5 h perpendicular à correnteza. De forma análoga, a velocidade B) o deslocamento do barco rio abaixo é determinado de propulsão do barco não modifica o movimento deste rio (direção da correnteza). por componente da velocidade do barco paralela às margens. Lembre-se de que as duas velocidades Margem atuam simultaneamente sobre o barco durante o tempo Assim: L At C) A velocidade resultante do barco, em relação às margens, é determinada por meio da soma vetorial da velocidade do barco em relação à correnteza com a Vb: velocidade do barco em relação às águas (velocidade velocidade da correnteza em relação à margem v. própria do barco), Logo: velocidade da correnteza em relação às margens (velocidade de arrastamento), = 3 km/h. velocidade resultante do barco em relação às margens, = km/h Bernoulli Sistema de Ensino 33Frente A Módulo 03 EXERCÍCIOS DE Admitindo-se que a partícula realiza o deslocamento RESOLUÇÕES NO Bernoulli Play um intervalo de tempo de 3min, é pertinente APRENDIZAGEM considerar que o módulo da velocidade vetorial média desenvolvida pela partícula, nesse intervalo de tempo, 01. (PUC Rio) Um avião em voo horizontal voa a favor do vento em km/h, é, aproximadamente, igual a 6IW2 com velocidade de 180 km/h em relação ao solo. Na volta, A) 45. C) 68. E) 82. ao voar contra o vento, o avião voa com velocidade de B) 52. D) 76. 150 km/h em relação ao solo. Sabendo-se que o vento e o módulo da velocidade do avião (em relação ao ar) 05. (UPE) Duas grandezas vetoriais ortogonais a e b, de Q824 permanecem constantes, o módulo da velocidade do avião mesmas dimensões, possuem seus módulos dados pelas e do vento durante o são, respectivamente, relações a = Av e b = Bv, onde A e B têm dimensões de A) 165 km/h e 15 km/h. D) 150 km/h e 30 km/h. massa, e V, dimensões de velocidade. B) 160 km/h e 20 km/h. E) 145 km/h e 35 km/h. Então, o módulo do vetor resultante a + b e suas C) 155 km/h e 25 km/h. dimensões em unidades do sistema internacional são: A) em 02. (Mackenzie-SP) Um passageiro em um trem, que se move B) - em N.s/kg. IC9Z para sua direita em movimento retilíneo e uniforme, C) em N.s. observa a chuya através da janela. Não há ventos e D) as gotas de já atingiram sua velocidade limite. E) kg.m/s. o aspecto da chuva observado pelo passageiro é: A) D) 06. (PUC Minas) Você e um amigo resolvem ao último H2VZ andar de um edifício. Vocês partem juntos do primeiro andar. Entretanto, você vai pelas escadas e seu amigo, Janela Janela pelo elevador. Depois de se encontrarem na porta do B) E) elevador, descem juntos pelo elevador até o primeiro andar. É correto afirmar que A) o seu deslocamento foi maior que o de seu amigo. Janela Janela B) o deslocamento foi igual para você e seu C) C) o deslocamento de seu amigo foi maior que o seu. D) a distância que seu amigo percorreu foi maior que a sua. Janela 07. (UFSM-RS) Um rio de largura é atravessado por um barco NIUD de maneira perpendicular à margem, com velocidade 03. (IFBA) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto A constante F58H em direções perpendiculares, um deles pedalando à razão de 3 metros por segundo e outro à razão de 4 metros por segundo. No instante em que percorrem um sexto de minuto, a distância entre eles, em metros, é igual a A) 40. C) 45. E) 50. B) 42. D) 48. 04. (UNIT-AL) Y(km) b a Considere: = velocidade da água do rio em relação às margens. C = velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio. o tempo que o barco leva para atravessar o rio é 1,0 km A) maior quando a velocidade aumenta. X(km) B) menor quando a velocidade aumenta. C) independente da velocidade o diagrama representa três deslocamentos a, b e C D) maior quando a velocidade diminui. consecutivos, realizados por uma partícula no plano XY. E) menor quando a velocidade diminui. 34 Coleção 6VIntrodução à Cinemática Vetorial 08. (UFMG) Tomás está parado sobre a plataforma de um A) Desenhe a trajetória descrita no mapa, usando um brinquedo, que gira com velocidade angular constante. diagrama de vetores. Ele segura um barbante, que tem uma pedra presa na B) Se um caçador de tesouro caminhasse em linha reta, outra extremidade, como mostrado nesta figura: desde o ponto de partida até o ponto de chegada, quantos passos ele daria? Justifique sua resposta, apresentando os cálculos envolvidos na resolução P deste item. 03. (UFJF-MG) Um homem parado em uma escada rolante 1718 leva 10 S para descê-la em sua totalidade. o mesmo Quando Tomás passa pelo ponto P, indicado na figura, homem leva 15 S para subir toda a escada rolante de a pedra se solta do barbante. Assinale a alternativa em volta, caminhando contra o movimento dela. Quanto tempo que melhor se representa a trajetória descrita pela pedra, o homem levará para descer a mesma escada rolante, logo após se soltar, quando vista de cima. caminhando à mesma velocidade com que subiu? A) C) A) 5,00 S D) 15,00 S B) 3,75 S E) 7,50 S P P C) 10,00 S 04. (UFMG) Um menino flutua em uma boia que está se movimentando, levada pela correnteza de um rio. Uma outra boia, que flutua no mesmo rio a uma certa distância B) D) do menino, também está descendo com a correnteza. A posição das duas boias e o sentido da correnteza estão P P indicados nesta figura. Correnteza EXERCÍCIOS RESOLUÇÕES NO Bernoulli Play M K N PROPOSTOS 01. (FASEH-MG) Em uma brincadeira proposta por uma professora, os alunos são divididos em equipes. São sugeridos três deslocamentos consecutivos para cada equipe e, ao final, uma deverá descobrir o deslocamento resultante da outra. Se uma equipe determina os seguintes deslocamentos: Considere que a velocidade da correnteza é a mesma 0,90 metros, vertical, Norte. em todos os pontos do rio. Nesse caso, para alcançar a 1,20 metros, horizontal, Oeste. segunda boia, o menino deve nadar na direção indicada 2,50 metros, vertical, Sul. pela linha B) L. C) M. D) N. o módulo do deslocamento resultante será de A) 1,50 metros. 05. (EEAR) A adição de dois vetores de mesma direção e B) 2,00 metros. LG95 mesmo sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. C) 4,10 metros. Quando esses vetores são colocados perpendicularmente, D) 6,25 metros. entre si, o módulo do vetor resultante vale 4/2. Portanto, os valores dos módulos desses vetores são 02. (UEL-PR) Em uma brincadeira de caça ao tesouro, o mapa diz que para chegar ao local onde a arca de ouro está A) 1 e 7. C) 3 e 5. enterrada, deve-se, primeiramente, dar dez passos na direção norte, depois doze passos para a direção leste, em seguida, sete passos para o sul, e finalmente oito 06. (UERJ) Dois automóveis, M e N, inicialmente a 50 km 5Y4A passos para oeste. A partir dessas informações, responda de distância um do outro, deslocam-se com velocidades aos itens a seguir. constantes na mesma direção e em sentidos opostos. Sistema de Ensino 35Frente A Módulo 03 o valor da velocidade de M, em relação a um ponto D) A velocidade do avião em relação à sua sombra fixo da estrada, é igual a 60 km/h. Após 30 minutos, projetada no solo é maior que a velocidade de sua os automóveis cruzam uma mesma linha da estrada. sombra em relação ao ponto C. Em relação a um ponto fixo da estrada, a velocidade de N E) A velocidade da sombra em relação ao ponto C tem o seguinte valor, em quilômetros por hora: independe da velocidade do avião. A) 40 km/h C) 60 km/h 09. (UPE) Um robô no formato de pequeno veículo autônomo B) 50 km/h D) 70 km/h GJNQ foi montado durante as aulas de robótica, em uma escola. 07. (UERJ) o objetivo do robô é conseguir completar a trajetória OFHV de um hexágono regular ABCDEF, saindo do vértice A e 75 km/h atingindo o vértice F, passando por todos os vértices sem Pinheirinho Cotovelo usar a marcha à ré. Para que a equipe de estudantes seja 180 km/h aprovada, eles devem responder a duas perguntas do seu Laranjinha 170 km/h professor de física, e o robô deve utilizar as direções de Junção 180 km/h movimento mostradas na figura a seguir: Laranja 220 km/h D 300 km/h E C Descida 310 km/h do Lago S do Senna Reta Oposta F 90 km/h Curva 130 km/h do Sol A o Globo, 31 mar. 2002 (Adaptação). Suponha que você é um participante dessa equipe. As perguntas do professor foram as seguintes: A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1, I. É possível fazer a trajetória completa sempre seguindo em uma volta completa do circuito, corresponde a as direções indicadas? A) 0. C) 191. II. Qual segmento identifica o deslocamento resultante B) 24. D) 240. desse robô? 08. Responda às perguntas e assinale a alternativa correta. (PUCPR) A figura representa um avião, que mergulha 1V8L fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, seguindo A) I - Não; II - AF. uma trajetória retilínea entre os pontos A e B. No solo, B) I - Não; II CB. considerado como plano horizontal, está representada C) I Não; II Nulo. a sombra da aeronave, projetada verticalmente, e um D) I Sim; II - FC. ponto de referência C. E) I Sim; II - AF. 10. (EN-RJ) Dois navios da Marinha de Guerra, as fragatas 6DZ6 Independência e Rademaker, encontram-se próximas a B um farol. A fragata Independência segue em direção ao norte com velocidade 15/2 nós e a fragata Rademaker, Sombra C em direção ao nordeste com velocidade de 20 nós. Considere que ambas as velocidades foram medidas em Considere as afirmativas que se referem ao movimento relação ao farol. Se na região há uma corrente marítima da aeronave no trecho AB e assinale a alternativa correta. de 2,0 nós no sentido norte-sul, qual o módulo da velocidade relativa da fragata Independência, em nós, A) A velocidade do avião em relação ao ponto C é maior em relação à fragata Rademaker? que a velocidade de sua sombra, projetada no solo, em relação ao mesmo ponto. A) 10,0 B) A velocidade do avião é nula em relação à sua sombra B) 12,3 projetada no solo. C) 13,7 C) A velocidade do avião em relação ao ponto é igual à velocidade de sua sombra, projetada no solo em D) 15,8 relação ao mesmo ponto. E) 16,7 36 Coleção 6VIntrodução à Cinemática Vetorial 11. (Unesp) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de Ponto de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado partida Ponto de pesca pelos vetores deslocamento d, e ilustrados na figura. = 10 km d Considerando que a velocidade da correnteza V(CR) é 30° constante, assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01. Quando os pescadores remaram rio acima, a velocidade Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e, para da canoa, em relação à margem, foi igual a 4,00 m/s. a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o 02. Não é possível calcular a velocidade com que os caminhoneiro se encontra do ponto de partida é pescadores retornaram ao ponto de partida, porque a velocidade da correnteza não é conhecida. A) 4 km. 04. Quando os pescadores remaram rio acima, a velocidade B) 8 km. da canoa, em relação ao rio, foi de 1,50 m/s. C) 2/19 km. 08. A velocidade da correnteza do rio é 1,00 m/s. D) 8/3 km. 16. Como a velocidade da canoa foi de 2,0 m/s, quando E) 16 km. os pescadores remaram rio abaixo, então, a distância do ponto de partida ao ponto de pesca é 200 m. 12. (PUC-Campinas-SP) Um barco sai de um ponto P para RPEA 32. Não é possível determinar a distância do ponto de atravessar um rio de 4,0 km de largura. A velocidade da partida até o ponto de pesca correnteza, em relação às margens do rio, é de 6,0 km/h. A travessia é feita segundo a menor distância PQ, como 64. o ponto de pesca fica a 300 metros do ponto de mostra o esquema representado a seguir, e dura 30 minutos. partida. Soma ( ) Q 14. (UEL-PR) Observe as figuras a seguir: CYFY Correnteza P A velocidade do barco em relação à correnteza, em km/h, é de Ponto de fuga A) 4,0. B) 6,0. LH C) 8,0. D) 10. E) 12. 13. (UFSC) Descendo um rio em sua canoa, sem remar, W588 dois pescadores levam 300 segundos para atingir o seu ponto de pesca, na mesma margem do rio e em trajetória Partindo da mesma posição e remando, sendo a velocidade da canoa, em relação ao rio, igual a 2,0 m/s, eles atingem o seu ponto de pesca em 100 segundos. Após a pescaria, remando contra a correnteza do rio, eles Disponível em: http://www.amopintar.com/perspectiva gastam 600 segundos para retornar ao ponto de partida. Acesso em: 20 ago. 2009. Bernoulli Sistema de Ensino 37Frente A Módulo 03 Considere que você esteja assistindo a um filme no qual um A) a diferença do nível de água do rio entre o período caminhão percorre uma estrada, como a da foto, em direção de cheias e o período de seca. ao ponto de fuga. Sabe-se que a traseira desse caminhão B) a menor velocidade da água do rio próximo à margem mede 2 m de largura. Fazendo uma análise quadro a quadro em comparação à posição central. do filme, chega-se às seguintes conclusões: C) o desgaste desigual das margens direita e esquerda Uma boa aproximação para o ângulo formado pelas dos rios devido à rotação da Terra. linhas que partem dos extremos superiores da traseira D) o das diferentes partes do rio no seu curso do caminhão até o ponto de fuga é de superior, intermediário e inferior. Após um segundo de movimento, o tamanho aparente da traseira do caminhão reduziu-se à metade. E) o fato de os rios apresentarem maior profundidade do seu leito na parte central que nas margens. Sabendo que tg 0,045, a velocidade média do caminhão, nesse intervalo de tempo, é de, aproximadamente, A) 12 km/h. C) 40 km/h. E) 80 km/h. SEÇÃO B) 25 km/h. D) 59 km/h. SEÇÃO ENEM 01. A figura a seguir foi retirada de uma página da Internet GABARITO Meu aproveitamento relacionada ao estudo de conceitos de Física. Aprendizagem Acertei Errei 5 + 5 = 10 01. A 05. C 5 02. B 06. B 5 10 15 + = 03. E 07. C 04. E 08. D Pode-se associar a figura com o seguinte tema: A) Deslocamentos sucessivos Propostos Acertei Errei B) Intervalos de tempo 01. B C) Somatório de volumes D) Velocidade relativa de veículos 02. E) Somatório de massas A) 12 7 02. A utilização dos rios como via de transporte / navegação 10 sempre foi presente na história da humanidade. No Brasil, 8 o transporte fluvial é muito utilizado na região Norte devido ao elevado número de rios e devido à escassez B) 5 passos. de rodovias. Uma característica positiva desse meio de 03. B 09. E transporte é o baixo custo e o baixo impacto ambiental. 04. A 10. D Um dos principais problemas desse tipo de transporte está ligado à irregularidade da superfície (topografia), 05. D 11. C que deve ser plana, além de levar em conta aspectos 06. A 12. D de caráter natural, como os períodos de cheias e de 07. A 13. Soma = 76 vazantes dos rios, ambos relacionadas ao volume de água, que sofrem variações e que interferem na 08. A 14. C navegação. Assim como as estradas, os rios apresentam suas regras de tráfego para os barcos. Barcos que Seção Enem Acertei Errei descem o rio o fazem movimentando-se sempre no meio do rio, enquanto os barcos que sobem o rio o fazem trafegando sempre próximos às margens. A característica 02. B dos rios que melhor explica as regras do tráfego descritas é Total dos meus acertos: de % 38 Coleção 6VFRENTE MÓDULO FÍSICA A 04 Lancamento Horizontal e Lançamento Oblíquo Desde o momento em que nossos ancestrais primitivos A altura inicial das moedas é a mesma, e o momento em lançaram a primeira pedra contra algum animal que os que elas iniciam o movimento também é o mesmo, mas qual ameaçava, o ser humano se preocupou em compreender o moeda chegará primeiro ao solo? Pense um pouco antes de movimento dos objetos por ele lançados: pedras, flechas, realizar a atividade. lanças; posteriormente, balas de canhão e Filósofos o som emitido pelas moedas ao tocarem o chão poderá debateram sobre o assunto, e várias explicações surgiram lhe fornecer uma pista para o que acontece: se o barulho for para responder às perguntas: Por que os objetos caem? Como único, as duas moedas chegaram ao solo no mesmo instante, caem? o que determina o tempo de queda de um objeto? caso contrário, elas chegaram ao solo em momentos distintos. Como devo lançar um objeto para que ele possa o mais longe Essa experiência, apesar de simples, fornece para um possível? Neste módulo, no entanto, uma discussão histórica importante enunciado feito por Galileu Galilei, denominado sobre o lançamento de projéteis não será feita. Estudaremos o Princípio da Independência dos Movimentos, que afirma lançamento de projéteis do ponto de vista físico e matemático, que dois movimentos perpendiculares entre si ocorrem de o que será útil para a resolução de vários problemas. forma independente um do outro. Uma aplicação desse princípio já foi verificada quando observamos que o intervalo PRINCÍPIO DA de tempo gasto para um barco atravessar um rio não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da componente INDEPENDÊNCIA da velocidade do barco perpendicular à margem do rio. Esse fato pode ser explicado pelo princípio da independência Iniciaremos o módulo com uma atividade simples de dos movimentos, tendo em vista que a componente da ser realizada em casa ou na sala de aula. Nessa atividade, velocidade do barco perpendicular às margens é também utilizaremos duas moedas, uma apoiada sobre uma mesa perpendicular à velocidade da correnteza. Logo, o movimento horizontal e outra apoiada sobre uma régua, estando as duas do barco rio abaixo é independente do movimento na moedas, inicialmente, à mesma altura em relação ao solo. direção perpendicular à margem, que é o movimento que A partir da configuração inicial, mostrada na figura a seguir, determinará o tempo de travessia do barco. as moedas são colocadas em movimento em um mesmo o mesmo princípio pode ser aplicado a uma situação instante. Uma delas (moeda A) é simplesmente abandonada, análoga: a queda de duas esferas, uma solta na direção caindo verticalmente para baixo, em direção ao solo, e a outra vertical e outra lançada horizontalmente, semelhantemente (moeda B) é lançada horizontalmente, caindo a certa distância às moedas da atividade proposta no início deste módulo. do pé da mesa. A figura mostra como a situação deve ser A figura seguinte ilustra essa situação. Ela mostra a trajetória conduzida para que as duas moedas iniciem o movimento descrita pelas duas esferas, uma solta em queda livre e a no mesmo instante. Bata na régua, na direção indicada pela outra lançada horizontalmente. seta, próximo ao ponto onde se encontra a moeda A. A régua tende a girar, fazendo com que a moeda A caia, a partir do OBSERVAÇÃO repouso, em movimento vertical, e que a moeda B seja lançada No estudo que faremos, não consideraremos os efeitos horizontalmente, descrevendo uma trajetória parabólica. da resistência do ar. B Bernoulli Sistema de Ensino 3Frente A Módulo 04 A imagem anterior nos permite concluir que Se uma esfera é simplesmente solta, a partir de certa altura, seu movimento é um movimento de queda livre, 1. o intervalo de tempo de queda é o mesmo para as como mostrado na figura a seguir. Esse movimento é duas esferas; um movimento acelerado, o que indica que a distância 2. ambos os movimentos são acelerados, possuindo o mesmo percorrida, em intervalos de tempo iguais, aumenta cada vetor aceleração (mesmo módulo, direção e sentido); vez mais. 3. uma trajetória é ao passo que a outra é parabólica. Diante das observações anteriores, surgem os seguintes questionamentos: Por que o intervalo de tempo de queda é o mesmo? Como Galileu argumentou, o tempo de queda depende A trajetória parabólica descrita pela esfera, quando ela somente do movimento das esferas na direção vertical. é lançada horizontalmente, é resultado da combinação do As duas esferas apresentavam a mesma velocidade inicial movimento horizontal (uniforme) com o movimento vertical na direção vertical quando o movimento iniciou, = 0. Portanto, como as esferas iniciam o movimento à mesma (acelerado). Cada um dos movimentos é independente do outro, altura, no mesmo instante, no mesmo local (ou seja, e seus efeitos, combinados, produzem a trajetória parabólica da esfera. submetidas ao mesmo vetor aceleração) e com a mesma velocidade inicial na direção vertical, elas devem cair ao mesmo tempo. 8 Por que ambos os movimentos são acelerados? Ambas + as esferas estão sujeitas à gravidade e, ao desprezarmos a influência da resistência do ar, observamos que o valor da velocidade vertical das esferas aumenta continuamente, já que a distância vertical percorrida As equações e as características vetoriais para os em um mesmo intervalo de tempo é crescente. Além movimentos mencionados já foram estudadas em módulos disso, o espaço vertical percorrido por ambas as esferas anteriores, devendo ser, agora, aplicadas conjuntamente. é sempre o mesmo em qualquer intervalo de tempo. Na direção horizontal, como o movimento é uniforme, Consequentemente, os valores das suas velocidades o vetor velocidade permanece constante em módulo, são sempre iguais e, portanto, pode-se concluir que a direção e sentido. Na direção vertical, como movimento é aceleração é a mesma para as duas esferas. uniformemente acelerado, o vetor velocidade possui direção Por que uma trajetória é retilínea, e a outra, parabólica? vertical, sentido para baixo e módulo crescente de acordo com Para responder a essa questão, temos de decompor o as equações já estudadas. o quadro a seguir apresenta o vetor movimento da esfera que foi lançada horizontalmente. velocidade para cada um dos movimentos componentes do movimento da esfera e as características associadas a eles. Decomposição do movimento Direção horizontal Direção vertical Sabemos que, para alterar a velocidade de um objeto, é necessária a ação de uma aceleração. Esse é um dos fundamentos das Leis de Newton que estudaremos posteriormente. Portanto, somente a ação de uma força pode alterar o módulo ou a direção da velocidade de um objeto. Se não houvesse gravidade ou resistência do ar, uma esfera que rolasse sobre uma mesa e a abandonasse continuaria a se mover com velocidade constante, percorrendo distâncias Movimento Uniformemente iguais em intervalos de tempos iguais, apresentando um Movimento Uniforme Acelerado Movimento Retilíneo Uniforme. = constante 4 Coleção 6VLançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo É importante observar que o vetor velocidade de um corpo é sempre tangente à trajetória deste em qualquer posição. EXERCÍCIO RESOLVIDO o lançamento oblíquo nada mais é do que uma extensão 01. (PUC Minas) A figura a seguir mostra uma esfera lançada do lançamento horizontal estudado no tópico anterior. Nessa com velocidade horizontal de 5,0 m/s de uma plataforma nova situação, o lançamento é feito com velocidade vertical de altura h = 1,8 m. inicial diferente de zero. Dessa forma, devemos analisar o movimento vertical na subida e na descida, mas isso não representará grande dificuldade, já que a descrição física e matemática dos movimentos verticais de subida e descida é análoga. h Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância do pé da plataforma. A distância deve ser de, aproximadamente, A) 1,0 m. C) 2,5 m. E) 3,5 m. B) 2,0 m. D) 3,0 m. Resolução: o intervalo de tempo de queda da esfera, desde o instante em que ela abandona a plataforma até o instante em que ela cai dentro do pote, em uma trajetória parabólica, será igual ao intervalo de tempo que a esfera gastaria para chegar ao solo em um movimento vertical, em queda livre, de uma altura de 1,8 m. Utilizando a equação Imagine uma bala de canhão lançada obliquamente com da Cinemática d = + 1/2(at2), para essa situação, uma velocidade inicial inclinada de um ângulo 0 em encontraremos um intervalo de tempo de queda igual relação à horizontal. a 0,6 S. Como na direção horizontal o movimento da esfera é uniforme, a distância horizontal percorrida por ela, no intervalo de tempo adequado, é dada por: m Plano horizontal Lançamento oblíquo Em toda prova de arremesso, seja ela de dardo, de disco, de martelo ou de peso, os competidores sempre procuram arremessar os objetos quando eles formam um ângulo de 45° com a horizontal. É para esse valor de ângulo que um o vetor velocidade de um corpo em trajetória curvilínea corpo arremessado percorre a maior distância horizontal, é tangente à trajetória deste em qualquer instante, tendo o comparativamente a corpos arremessados com velocidades mesmo sentido do movimento. Observe que a velocidade no de mesmo módulo. ponto mais alto atingido pelo projétil é horizontal e não nula. Bernoulli Sistema de Ensino 5Frente A Módulo 04 Enquanto o projétil sobe, seu movimento é desacelerado e, o valor da componente horizontal da velocidade ao descer, acelerado. Neste módulo, iremos considerar que permanece constante e igual ao valor da componente os efeitos da resistência do an sobre o movimento do projétil horizontal da velocidade no momento do lançamento; sejam desprezíveis. A figura a seguir mostra as características o valor da aceleração devido à gravidade é de do vetor velocidade nas direções vertical e horizontal durante todo o movimento. É importante notar que o movimento V = + segundo o eixo Oy equivale a um lançamento vertical para analisando-se o movimento de descida, o valor cima, com velocidade inicial e aceleração de valor da velocidade vertical inicial é zero, e o valor Como já dito, enquanto o projétil sobe, seu movimento é da velocidade final possui o mesmo módulo da desacelerado e, ao descer, acelerado. componente vertical da velocidade de lançamento y = sen porém, com sinal negativo. 0 Ymax Tempo total de movimento Podemos determinar o tempo total de permanência do projétil ? no ar, realizando os cálculos do tempo de subida e de descida separadamente, ou, então, efetuar os cálculos considerando a velocidade inicial de subida e a velocidade final de descida. o tempo de subida pode ser determinado, utilizando-se a equação = + gt. No instante em que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória, = 0. 0 Logo: sen + = = o g g A Como o intervalo de tempo de subida é igual ao de descida, considerando que o ponto de lançamento esteja nivelado Vx com o solo, temos: Vamos apresentar separadamente as características de = g cada parte do movimento e suas respectivas equações, considerando como positivos os sentidos coincidentes com Desse modo, o intervalo de tempo total de permanência os sentidos dos eixos coordenados. do projétil no ar será dado por: Durante a subida, total = ( -2v, sen 0 a componente vertical da velocidade é positiva; g o módulo da componente vertical da velocidade OBSERVAÇÃO diminui (Movimento Uniformemente Desacelerado); o módulo da velocidade horizontal não se altera; Apesar do sinal negativo antes da expressão que determina o valor da aceleração devido à gravidade é de tempo total do movimento, este, obviamente, não é negativo, já que, por causa do eixo de referência usado, gt // h = + 1/2(gt2) // = v2 + 2gd; valor de g também é negativo. Essa observação vale para as equações posteriores que apresentarem o mesmo fenômeno. analisando-se o movimento total de subida, o valor da velocidade vertical inicial, é o valor da componente vertical da velocidade de lançamento Altura máxima (h = sen e a velocidade final é zero. o valor da altura máxima atingida pelo projétil, No ponto mais alto da trajetória, em relação ao solo, pode ser determinado, lembrando o valor da componente vertical da velocidade é nulo; que é o valor da altura vertical quando se anula. o intervalo de tempo gasto no movimento de subida Na direção vertical, durante a subida, o movimento é será igual ao intervalo de tempo gasto no movimento uniformemente desacelerado. de descida; Utilizando a equação de Torricelli: o valor da altura máxima atingida pelo projétil pode ser determinado a partir da análise do movimento = + = 2g uniformemente desacelerado na direção vertical; = o valor da distância horizontal percorrida pode ser 2g determinado a partir da análise do movimento uniforme, na direção horizontal, utilizando-se a velocidade Alcance horizontal horizontal inicial e o intervalo de tempo gasto na subida. o alcance horizontal (A) é a distância percorrida pelo Durante a descida, projétil, na horizontal, desde o instante do lançamento até a componente vertical da velocidade é negativa; o momento em que o projétil toca o solo. Seu valor é igual o módulo da velocidade vertical aumenta (movimento ao deslocamento horizontal do projétil durante o intervalo uniformemente acelerado); de tempo total do movimento. 6 Coleção 6VLançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo Como o movimento é uniforme, podemos escrever que: b2. Calculando intervalo de tempo total. Se considerarmos movimento na vertical durante g todo o movimento, temos que a componente vertical inicial da velocidade da bola de canhão é de Como 2sen 0 0 = sen +30 m/s, e a componente final será de -30 m/s. g Observe que a equação anterior nos permite determinar Logo, o intervalo de tempo total do movimento é qual deve ser o ângulo de lançamento para que alcance dado por: horizontal seja máximo. Devemos procurar um ângulo no = qual o valor de sen (20) seja o maior possível. (3 para a subida e 3 S para a descida). A imagem da função seno varia de -1 a +1, sendo que C) Para calcularmos o valor da altura máxima alcançada entre 0 e apenas sen 90° = +1. Desse modo, podemos pela bola, podemos trabalhar com a equação de concluir que o valor de 0 para que o alcance do projétil seja Torricelli: máximo deve ser igual a 45°. Por esse motivo, no início do módulo, dissemos que os atletas de arremesso de dardo (ou outro objeto qualquer) Substituindo as variáveis pelos valores conhecidos, procuram lançar os dardos com um ângulo igual a 45° em teremos: relação à direção horizontal. + 2(-10)h h m EXERCÍCIOS RESOLVIDOS D) Como o objeto se deslocou durante 6 com uma velocidade horizontal de m/s 02. Uma bala de canhão é lançada obliquamente com velocidade de módulo 50 m/s, sob um ângulo de lançamento 0, (sen = 0,6 e = 0,8) conforme a figura a seguir. 03. Um interessante brinquedo consiste em um carrinho que contém uma mola posicionada na direção Plano horizontal vertical, como mostra a figura a seguir. Uma esfera de metal é colocada sobre a mola, e esta a lança verticalmente para cima. A esfera retorna ao ponto de Calcular, considerando g = 10 e desprezando a lançamento após alguns instantes. influência do ar, A) o valor da velocidade no ponto mais alto da trajetória. B) intervalo de tempo total do movimento. C) valor da altura máxima. D) alcance horizontal. Resolução: A) o valor da velocidade no ponto mais alto da trajetória é igual ao valor da componente da velocidade na direção do eixo horizontal, já que a componente vertical o que acontece com a esfera de aço, caso ela seja lançada da velocidade é nula. o módulo da componente enquanto carrinho estiver em movimento e horizontal da velocidade, que permanece constante uniforme? A esfera cairá atrás, na frente ou sobre a mola? durante todo movimento, pode ser encontrado por meio da seguinte relação: Resolução: = = 50 0,8 40 m/s Se desprezarmos a resistência do ar, podemos considerar movimento da esfera, na direção horizontal, como retilíneo e B) Considerando que a distância vertical percorrida no movimento de subida seja igual à distância vertical uniforme, com a mesma velocidade do carrinho que a lançou. percorrida no movimento de descida, temos que o Portanto, em relação ao carrinho, a esfera encontra-se intervalo de tempo de subida é igual ao intervalo de em repouso na direção horizontal e executa um MRUV na tempo de descida. Podemos calcular o intervalo de direção vertical. Assim, ela retorna ao mesmo ponto do tempo por meio dos seguintes processos: carrinho em que foi lançada, ou seja, sobre a mola. b1. Calculando intervalo de tempo total do movimento de subida. Substituindo os valores, teremos: Sendo tempo de subida igual ao tempo de descida, temos que o tempo total de movimento é Bernoulli Sistema de Ensino 7Frente A Módulo 04 EXERCÍCIOS DE A) h h RESOLUÇÕES NO Bernoulli Play APRENDIZAGEM 01. (UECE-2020) Considere uma bola de futebol, que, após o chute, descreve uma trajetória parabólica em relação à B) h h superfíciel horizontal de lançamento. Desprezando todos os atritos e considerando a bola como um ponto material, é correto afirmar que a componente A) horizontal do seu vetor velocidade não muda ao longo da trajetória. C) h h B) vertical do seu vetor velocidade não muda ao longo da trajetória. C) horizontal do seu vetor aceleração muda ao longo da trajetória. D) vertical do seu vetor aceleração muda ao longo da D) h h trajetória. 02. (PUC Minas) Um arqueiro atira uma flecha, que percorre uma trajetória parabólica vertical até atingir o alvo. No ponto mais alto da trajetória da flecha, E) h h A) a velocidade e a aceleração são nulas. B) a aceleração é nula. C) vetor velocidade e o vetor aceleração são horizontais. D) a componente vertical da velocidade é nula. 04. (UFMG) Clarissa chuta, em sequência, três bolas YVOP 03. (UFRGS-RS) Dois objetos de massas e m, (= cujas trajetórias estão representadas nesta figura: encontram-se na borda de uma mesa de altura h Q em relação ao solo, conforme representa a figura a seguir. 2 1 P R h o objeto 1 é lentamente deslocado até começar a cair Sejam to e os tempos gastos, respectivamente, pelas verticalmente. No instante em que o objeto 1 começa a cair, bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo. o objeto 2 é lançado horizontalmente com velocidade Considerando-se essas informações, é correto afirmar A resistência do ar é Assinale a alternativa que: que melhor representa os gráficos de posição vertical dos objetos 1 e 2, em função do tempo. Nos gráficos, A) to representa o tempo de queda do objeto 1. Em cada B) alternativa, o gráfico da esquerda representa o objeto 1 C) e o da direita representa o objeto 2. 8 Coleção 6VLançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo 05. (UFMG) Um corpo P é lançado horizontalmente de uma Assinale a opção que, desconsiderando a resistência 4N4Y determinada altura. No mesmo instante, um outro corpo Q do ar, indica os gráficos que melhor representam, é solto em queda livre, a partir do repouso, dessa mesma respectivamente, o comportamento da componente altura, como mostra a figura. horizontal e o da componente vertical, da velocidade do P o projétil, em função do tempo. I II III Sejam e os módulos das velocidades dos corpos Pe Q, IV V respectivamente, imediatamente antes de tocarem o chão, e t, e to os tempos despendidos por cada corpo nesse percurso. Despreze os efeitos da resistência do ar. Nessas condições, pode-se afirmar que: A) D) B) II e V. E) V e II. 06. (UFV-MG) Um projétil é lançado horizontalmente de uma A4AN altura de 20 m, com uma velocidade inicial de módulo C) II e III. igual a 15 m/s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando o módulo da aceleração gravitacional como 10 é correto afirmar que o projétil atingirá o solo EXERCÍCIOS RESOLUÇÕES NO após ter percorrido uma distância horizontal igual a Bernoulli Play PROPOSTOS A) 11 m. C) E) 30 m. B) 15 m. D) 01. (Albert Einstein-2021) Em uma aula de tênis, um 07. (PUCPR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente Q6XY aprendiz, quando foi sacar, lançou a bola verticalmente a partir do solo, para o alto, em uma direção que forma 60° para cima e a golpeou com a raquete exatamente no com a horizontal, com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na Lua. Considerando a aceleração instante em que ela parou no ponto mais alto, a 2,45 m da gravidade da Terra da gravidade lunar, de altura em relação ao piso da quadra. Imediatamente e todos os atritos nos dois experimentos, após esse movimento, a bola partiu com uma velocidade analise as proposições a seguir. inicial horizontal e tocou o solo a 16,8 m de distância I. A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua da vertical que passava pelo ponto de partida. que na Terra. II. A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória, será a mesma na Lua e na Terra. III. o alcance horizontal máximo será maior na Lua. IV. A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra. 2,45 m correta(s) A) apenas III e IV. D) todas. B) apenas II. E) nenhuma delas. C) apenas III. 08. (UFRGS-RS) Em uma região onde a aceleração da gravidade X336 tem módulo constante, um projétil é disparado a partir do Disponível em: https://free3d.com (Adaptação). solo, em uma direção que faz um ângulo a com a direção horizontal conforme representado na figura a seguir. Adotando-se g = 10 desprezando-se a resistência do y ar e a rotação da bola ao longo de seu trajeto, o módulo de quando a bola perdeu contato com a raquete foi de A) 20 m/s. D) 28 m/s. B) 24 m/s. E) 26 m/s. C) 22 m/s. Bernoulli Sistema de Ensino 9Frente A Módulo 04 02. (PUC Rio) Uma bola é lançada horizontalmente com uma 05. (OBF) Uma bola é solta a partir do repouso, sempre da velocidade a partir de uma calha que se encontra a RP71 mesma posição, no plano inclinado mostrado na figura a uma altura do solo. A bola atinge o solo à distância seguir. A bola rola sobre plano e sobre a mesa, caindo a partir do ponto de lançamento. livremente, e um estudante, com uma cesta, a recolhe Se a altura da calha for quadruplicada, a nova distância sem deixá-la cair no chão. Em determinado instante, ele horizontal a partir do ponto de lançamento será: posiciona a cesta como indica desenho, e a bola cai A) C) E) exatamente em seu interior. D) d 03. (UFG-GO) Os quatro blocos, representados na figura com RIID suas respectivas massas, são abandonados em um plano y inclinado que não apresenta atrito e termina voltado para a direção horizontal. Os blocos, ao deixarem a plataforma, descrevem trajetórias parabólicas em queda livre e alcançam o solo, formando, da esquerda para a direita, a sequência Com esse resultado, ele garante que, se colocasse a cesta a uma distância horizontal 2d da mesa, seria necessário m 5 m que ela ficasse abaixo do tampo da mesa A) y/2. D) 4y. B) 2y. E) 5y. C) 3y. 06. (UFV-MG) Uma bola é lançada horizontalmente com NON9 velocidade inicial Ao percorrer horizontalmente 30 m, ela cai verticalmente 20 m, conforme mostrado no gráfico a seguir. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. A) m; 5 m; 2 m; D) 3 m; 5 m; m; 2 m. y (m) 20 B) m; 2 m; 3 m; 5 m. E) 5 m; 3 m; 2 m; m. C) m; 2 m; 5 m; m. 0 04. (CEFET-MG) Um malabarista lança uma de suas 0 30 (m) YIN4 bolinhas com velocidade inicial V = 3 m/s com ângulo a = 45° em relação à horizontal conforme representado É correto afirmar que o módulo da velocidade de a seguir. lançamento é A) 15 m/s. C) 7,5 m/s. B) 30 m/s. D) 60 m/s. h 07. (PUC Rio) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de em relação à horizontal, é correto afirmar que alcance atingido pelo atleta no salto é de Dado: g = 10 A) 2 m. D) 8 m. Desprezando a resistência do ar, é correto afirmar que a(o) B) 4 m. A) altura máxima h é 45 cm. E) 10 m. B) alcance horizontal máximo d é 90 cm. C) 6 m. C) energia cinética da bolinha, no ponto h, é máxima. 08. (Unicamp-SP) Uma bola de tênis rebatida em uma das D) tempo para atingir a altura máxima h é igual a 0,6 OJGY extremidades da quadra descreve a trajetória representada E) energia mecânica da bolinha, ao atingir a outra mão na figura a seguir, atingindo o chão na outra extremidade do malabarista, é nula. da quadra. o comprimento da quadra é de 24 m. 10 Coleção 6VLançamento Horizontal e Lançamento 125,0 12. (Unicamp-SP) o famoso salto duplo twist carpado de 42RY dos Santos foi analisado durante um dia de 62,5 Rede treinamento no Centro Olímpico em Curitiba por meio 0,0 de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a 0 4 8 12 16 20 24 trajetória do centro de gravidade de Dalane na direção Distância (m) vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto. De acordo com o gráfico a seguir, determine: A) Calcule o tempo de voo da bola antes de atingir 2 o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso. 1,8 B) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso 1,6 anterior? 1,4 1,2 09. (Unimontes-MG) Uma bola, lançada horizontalmente 1 XFRU da plataforma A, segue rumo à plataforma B. 0,8 As plataformas estão separadas por um fosso de largura D. 0,6 A está a uma altura H em relação a B (veja a figura). 0,4 No local, a aceleração da gravidade é g. o menor valor 0,2 do módulo da velocidade de lançamento da bola, para 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 que atinja a plataforma B, é dado pela expressão: Tempo (s) Plataforma A A) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Dalane. H Plataforma B B) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se g que a distância percorrida nessa direção é de 1,3 m. D C) A velocidade vertical de saída do solo. SEÇÃO ENEM 2D g 2g 01. (Enem-2020) Nos desenhos animados, com frequência se vê um personagem correndo na direção de um abismo, 10. (PUC-Campinas-SP) Observando a parábola do dardo mas, ao invés de cair, ele continua andando no vazio e ZOEL arremessado por um atleta, um matemático resolveu só quando percebe que não há nada sob seus pés é que obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, ele para de andar e cai verticalmente. No entanto, para em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos observar uma trajetória de queda num experimento real, t segundos do instante de seu lançamento pode-se lançar uma bolinha, com velocidade constante Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu sobre a superfície de uma mesa e verificar o seu solo 4 segundos após seu lançamento, então, movimento de queda até chão. Qual figura melhor representa a trajetória de queda da bolinha? desprezada a altura do atleta, a expressão que o matemático encontrou foi: A) Mesa D) Mesa A) + 20t 10t E) Solo Solo 11. (Mackenzie-SP) Um balão (aerostato) parte do solo LF74 B) Mesa E) plano com movimento vertical, subindo com velocidade Mesa constante de 14 m/s. Ao atingir a altura de 25 m, seu piloto lança uma pedra com velocidade de 10 m/s, em relação ao balão e formando um ângulo de em relação à horizontal. A distância entre a vertical que passa pelo Solo Solo balão e o ponto de impacto da pedra no solo é C) Mesa Dados: g = 10 37° = 0,8; sen 37° = 0,6. A) 30 m. D) 90 m. B) 40 m. E) 140 m. C) 70 m. Solo Bernoulli Sistema de Ensino 11Frente A Módulo 04 02. (Enem) Na Antiguidade, algumas pessoas acreditavam GABARITO Meu aproveitamento que, no lançamento de um objeto, a resultante das forças que atuavam sobre ele tinha o mesmo sentido Aprendizagem Acertei Errei da velocidade em todos os instantes do movimento. Isso não está de acordo com as interpretações 01. A atualmente utilizadas para explicar esse fenômeno. Desprezando a resistência do ar, qual é a direção e o 02. D sentido do vetor força resultante que atua sobre o objeto 03. A no ponto mais alto da trajetória? 04. A A) Indefinido, pois ele é nulo, assim como a velocidade vertical nesse ponto. 05. D B) Vertical para baixo, pois somente peso está presente 06. E durante o movimento. C) Horizontal no sentido do movimento, pois, devido à 07. D inércia, o objeto mantém seu movimento. 08. B D) Inclinado na direção do lançamento, pois a força inicial que atua sobre o objeto é constante. Propostos Acertei Errei E) Inclinado para baixo e no sentido do movimento, pois aponta para o ponto onde o objeto cairá. 01. B 03. o estudo do movimento dos corpos lançados obliquamente 02. B sofreu grande impulso com a invenção dos canhões, uma 03. C vez que era necessário determinar com precisão o local onde os projéteis cairiam. A figura a seguir representa 04. B com uma linha pontilhada a trajetória de uma bala 05. D de canhão, caso o campo gravitacional fosse nulo, e representa com uma linha cheia a trajetória e a posição 06. A dos projéteis, depois de 1 2 S e 3 de lançamento, 07. E caso não houvesse resistência do ar. As alturas h, e representadas na figura têm valores, respectivamente, 08. iguais a (Considere g = 10 m/s2.) B) 09. A 10. A 1 2 11. B 3 12. Observação: o desenho não se encontra em escala. A) A) 1 m, 2 m e 3 m. B) B) 5 m, 20 m e 45 m. C) 10 m, 20 m e 30 m. C) D) 15 m, 25 m e 40 m. Seção Enem Acertei Errei E) 15 m, 30 m e 45 m. 01. D SEÇÃO FUVEST/UNICAMP/UNESP 02. B 03. B Total dos meus acertos: de % 12 Coleção 6VFRENTE MÓDULO FÍSICA A 05 Movimento Circular Nos módulos anteriores, estudamos as propriedades o ponto mais externo percorrerá uma trajetória de comprimento fundamentais dos movimentos utilizando grandezas maior que o comprimento da trajetória do outro ponto apesar como distância percorrida, deslocamento, velocidade e de ambos descreverem o mesmo ângulo central no mesmo aceleração para Neste módulo, discutiremos intervalo de tempo. Isso nos mostra que necessitamos de algumas grandezas que nos auxiliam na descrição e na uma grandeza para descrever a velocidade de giro (velocidade angular) e de outra para descrever a velocidade com a qual a caracterização dos movimentos Esses movimentos trajetória (circular) é percorrida (velocidade linear). estão presentes em várias situações de nosso dia a dia e em muitos dispositivos: uma bola lançada os carros realizando uma curva em uma estrada e as engrenagens das máquinas são alguns exemplos de corpos que descrevem movimentos R R VELOCIDADE ANGULAR Um objeto pode girar mais rapidamente que outro. o ponteiro de segundos de um relógio gira mais rápido que o de minutos, e este, mais rápido que o de horas. Para estudarmos o movimento circular, é necessário definir uma grandeza que meça A figura anterior mostra uma em movimento essa "rapidez" de giro, que é a velocidade angular. Antes de circular, passando por uma posição em um instante defini-la, devemos relembrar o conceito de medidas de ângulo, e por uma posição em um instante t, Nesse intervalo tanto em graus quanto em Um grau é definido de tempo, At, o ângulo central variou de Definimos a como 1/360 do ângulo total de uma Um radiano velocidade angular como a razão entre AA e At: (rad) é a medida do ângulo central de uma circunferência que determina um arco de comprimento igual ao raio R da mesma At A figura a seguir mostra, na primeira imagem, um ângulo de 1 radiano. Na segunda imagem, temos um A razão entre o comprimento da trajetória percorrida pela ângulo genérico A relação entre esse ângulo, o comprimento para mover-se da posição P, até a posição do arco e o raio da circunferência também é apresentada. e o intervalo de tempo At determina o valor da velocidade linear = também denominada velocidade L escalar ou tangencial. Intuitivamente, sabemos que há uma relação entre as velocidades angular e linear de um corpo, 1 rad pois, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, R maior será o ângulo percorrido por ele em certo tempo e R maior será, também, o comprimento da trajetória percorrida por ele durante esse tempo. Na verdade, como esse comprimento é proporcional ao ângulo, temos que a velocidade linear de um corpo (e em radianos) R é diretamente proporcional à velocidade angular dele. A relação entre as velocidades angular e linear de um corpo, Se você amarrar um barbante a uma pedra e marcar dois em movimento circular, pode ser expressa por: pontos nesse barbante (o ponto A, mais externo, e o ponto B, mais ao colocar a pedra para girar, notará algo Bernoulli Sistema de 13Frente A Módulo 05 MOVIMENTO CIRCULAR Por exemplo, se você amarrar um barbante a uma pedra e girá-los, de modo que eles efetuem um MCU, obrigando UNIFORME a pedra a efetuar 50 voltas em 10 a frequência desse movimento será de 5 voltas/segundo ou 5 hertz (5 Hz). Se uma partícula executa um movimento cuja trajetória Por definição, 1 hertz representa uma volta ou revolução por é uma circunferência e cujo módulo da velocidade linear é segundo. o hertz é a unidade de frequência utilizada pelo constante, dizemos que essa executa um Movimento Sistema Internacional de Unidades. Circular Uniforme (MCU). Isso ocorre, por exemplo, com os ponteiros de um relógio ou com as engrenagens encontradas De acordo com as definições de período e de frequência em diversos dispositivos. apresentadas, no MCU, uma volta completada está para o movimento da Terra ao redor do Sol também pode ser um intervalo de tempo igual a T, assim como f voltas considerado, com boa aproximação, um movimento circular completadas estão para um intervalo de tempo unitário uniforme. Uma característica desse movimento é o fato de (1 1 min, 1 h, etc.). o vetor velocidade apresentar módulo constante, apesar de Portanto, podemos escrever a seguinte igualdade de sua direção variar continuamente, como mostra a figura razões e deduzir uma equação de recorrência entre T e f: seguinte. Também é constante o módulo da velocidade angular T 1 = f 1 Outra característica do movimento circular é o fato de ele Há, também, uma relação entre a velocidade angular ser ou seja, depois de um determinado intervalo de de um corpo em MCU e a frequência desse movimento. tempo, a volta a ocupar a mesma posição, sob as Ao efetuar uma volta completa, o corpo descreve um ângulo mesmas condições, e assim o movimento se repete. de radianos em um intervalo de tempo T do movimento). 2 Logo, utilizando a definição de velocidade angular e a relação entre o e a frequência, temos: T Naturalmente, há, também, uma relação entre a 3 velocidade linear e a frequência. Lembrando que, durante 1 um período T, uma em movimento circular uniforme de raio R percorre um perímetro igual a e, usando a R definição da velocidade linear, concluímos que o módulo dessa velocidade é dado por: = 4 T V4 Comparando essa equação com a equação da velocidade No MCU, os módulos das velocidades angular e linear são constantes. Já a direção do vetor velocidade linear é variável. angular, obtida anteriormente, obtemos a seguinte expressão de recorrência entre essas duas velocidades: Duas grandezas complementares são muito importantes para caracterizarmos o MCU; são elas: o período (T) e a frequência (f). Período é o intervalo de tempo necessário Há outra forma de deduzir essa relação, que consiste em para que um corpo, em MCU, efetue uma volta completa dividir os dois lados da equação OR, definida no início deste em torno de uma circunferência. Por exemplo, o período de revolução da Terra ao redor do Sol é de 1 ano, o período texto, pelo intervalo de tempo At. Lembrando que L/At e de um ponteiro de segundos é de 1 minuto, o período da que = e/At, obtemos a relação desejada. broca de uma furadeira elétrica é da ordem de 0,01 etc. Quando você realizar cálculos com a relação y = Já a frequência está associada ao número de voltas efetuadas lembre-se de que o ângulo usado na medida de deve estar pela partícula a cada unidade de tempo. em radianos. 14 Coleção 6VMovimento Circular EXERCÍCIO RESOLVIDO Veja a ilustração que se segue: 01. Uma roda de bicicleta de raio 0,30 m executa 20 voltas em 5,0 Determinar na extremidade da roda. AV Resolução: I. A frequência do movimento pode ser calculada dividindo-se o número de voltas efetuadas pelo intervalo de tempo gasto: Observe que o vetor a tem a mesma direção e o mesmo voltas/5,0 segundos sentido do vetor AV e pode ser decomposto em suas f = 4,0 voltas/segundo = 4,0 hertz = 4,0 Hz componentes ortogonais, aceleração tangencial e II. o valor do período pode ser calculado utilizando a aceleração Sabemos que: equação Dessa forma, temos: = o vetor aceleração total está associado ao vetor força resultante, conforme veremos em outro momento dos nossos III. A velocidade angular da roda pode ser calculada estudos. Por ora, vamos apenas associar o vetor a, à mudança utilizando a relação: no módulo do vetor velocidade, e o vetor a, à mudança de direção do vetor velocidade. rad/s = 440%/s Veja o quadro a seguir, que associa o tipo de movimento às acelerações que nele atuam. IV. A velocidade linear de um ponto da extremidade da roda pode ser determinada a partir da relação = Tipo de movimento a a, a, Dessa forma, temos: Retilineo Uniforme - = Circular Uniforme x x 2,4m m/s 7,5 m/s Uniformemente Variado x ACELERAÇÃO VETORIAL: Circular Uniformemente Variado TANGENCIAL E CENTRÍPETA 1. Características do vetor Módulo: (em que é a velocidade linear o vetor aceleração a apresenta valor não nulo sempre que a velocidade varia, pois, como foi discutido nos módulos e R é o raio de curvatura da trajetória); anteriores, o conceito de aceleração está associado à mudança de velocidade. Devemos agora ampliar o significado do Direção: perpendicular à velocidade; trecho em negrito para mudança no vetor velocidade, Sentido: para dentro da curva. pois sabe-se que a velocidade é uma grandeza vetorial, podendo sofrer mudanças de módulo, direção ou sentido. 2. Características do vetor Módulo: AV (em que AV é a variação do módulo da At velocidade linear e At é o intervalo de tempo em que ocorre essa variação); Direção: tangente à trajetória; A figura anterior representa o vetor velocidade de uma Sentido: no sentido do movimento, se a velocidade em dois instantes diferentes, nos quais tanto linear for crescente em módulo; e em sentido oposto o módulo quanto a direção do vetor velocidade sofrem ao movimento, se essa velocidade for decrescente alterações. Para determinarmos o vetor aceleração média, em entre os instantes t, devemos determinar o vetor variação da velocidade AV, que é obtido por meio da subtração entre Para visualizar as direções e os sentidos dos vetores os vetores e e, então, tomarmos a razão entre o vetor velocidade e aceleração, veja as figuras a seguir, que ilustram AV e o intervalo de tempo At. os casos listados na tabela anterior. Bernoulli Sistema de Ensino 15Frente A Módulo 05 1° caso: Movimento Uniforme (MRU). EXERCÍCIO RESOLVIDO - V3 02. Afigura a seguir mostra o trajeto do circuito de um autódromo. Nele, estão assinaladas seis posições, representadas pelos números de 1 a 6. Considere um carro de corrida movendo-se 2° caso: Movimento Acelerado (MRA). no sentido 1 2 6. As características do movimento do carro em cada uma das posições assinaladas no circuito são representadas no quadro seguinte: V1 V3 V4 Posição Trajetória Módulo da velocidade 1 Decrescente 2 Curvilinea Constante 3 Retilinea Crescente a, 4 Crescente 3° caso: Movimento Retilíneo Retardado (MRR). 5 Retilinea Crescente 6 Decrescente - V1 V2 V3 V4 3 4 1 2 6 caso: Movimento Circular Uniforme (MCU). 5 Para cada uma das posições assinaladas, representar os vetores velocidade aceleração tangencial a, e aceleração V2 a, do carro. Justificar as representações. Resolução: No quadro a seguir, representamos os vetores a, e a, em cada uma das posições do circuito e justificamos as respectivas representações. o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória e possui o mesmo sentido do movimento, como representado nas figuras a seguir: a Trecho Justificativa 5° caso: movimento circular com velocidade crescente em módulo, ou simplesmente Movimento Circular Acelerado (MCA). Não há aceleração centripeta atuando sobre o carro nessa posição, pois o trecho a, 1 é retilineo. Como o módulo da velocidade a, diminui, há uma aceleração tangencial V2 atuando sobre o carro em sentido oposto a, a, ao do vetor velocidade. a, a, V3 Não há aceleração tangencial atuando sobre o carro nessa posição, pois o módulo da velocidade permanece Como o carro está efetuando 6° caso: movimento circular com velocidade decrescente em uma curva, há uma aceleração centripeta módulo, ou simplesmente Movimento Circular Retardado (MCR). 2 atuando sobre ele, cuja direção é perpendicular ao vetor velocidade e cujo sentido é para dentro da curva. a, Nessa posição, não há aceleração centripeta atuando sobre o carro, pois a, 3 a, o trecho é retilineo. Como o módulo da a, velocidade aumenta, há uma aceleração V3 tangencial atuando sobre o carro no 3 mesmo sentido do vetor velocidade. 16 Coleção 6VMovimento Circular o módulo da velocidade do carro aumenta. A A A Logo, há uma aceleração tangencial atuando sobre ele no mesmo sentido do vetor a, Como o carro está efetuando + o o 4 uma curva, há, também, uma aceleração a, centripeta atuando sobre ele, cuja direção é perpendicular ao vetor velocidade e cujo B B sentido é para dentro da curva. Movimento dos Movimento dos Movimento Não há aceleração atuando pontos A e B pontos A e B resultante sobre o carro nessa posição, pois o trecho devido à rotação devido à translação 5 é Como o módulo da velocidade Como não existe deslizamento entre o pneu e o solo, a, aumenta, há uma aceleração tangencial a velocidade do ponto B em relação ao solo é nula, pois, atuando sobre o carro no mesmo nesse ponto, os vetores velocidade, devido aos movimentos sentido do vetor velocidade. de rotação e translação, anulam-se mutuamente. Para o o módulo da velocidade do carro diminui. ponto A, os efeitos dos vetores se somam e, por esse motivo, Logo, há uma aceleração tangencial atuando o módulo da velocidade relativa desse ponto é duas vezes 6 sobre o carro em sentido oposto ao do vetor maior que o módulo da velocidade de translação do carro. velocidade. Como o carro está efetuando Quando registramos esse movimento fotograficamente, uma curva, há, também, uma aceleração os pontos de menor velocidade (próximos ao ponto B) atuando sobre ele, cuja direção aparecem nítidos, e os pontos de maior velocidade (próximos é perpendicular ao vetor velocidade e cujo ao ponto A) aparecem borrados. sentido é para dentro da curva. Movimento de um corpo rígido MOVIMENTO DE CORPOS Em muitas situações, temos de analisar o movimento ROLANTES circular de um corpo rígido girando, como uma roda-gigante, ou um carrossel de um parque de diversões. Nesses casos, É um fato conhecido que quando um pneu rola sobre o todos os pontos do corpo, apesar de estarem a diferentes solo, sem deslizar sobre ele, os pontos do pneu que tocam o distâncias do centro, giram solidariamente, efetuando um solo estão em repouso em relação a este. Esse estranho fato giro completo no mesmo intervalo de tempo, ou seja, todos pode ser comprovado por meio de uma fotografia do pneu os pontos do corpo possuem a mesma velocidade angular. de um carro em movimento, na qual vemos nitidamente que Um bom exemplo dessa situação é a Terra. Considere a figura as letras que aparecem no pneu estão bem nítidas na parte a seguir, que mostra duas pessoas, A e B, sobre a superfície de baixo dele (próximo ao solo), indicando baixa velocidade da Terra, uma sobre a Linha do Equador e outra sobre a Linha dos pontos do pneu próximo ao solo, ao passo que a parte do Trópico de Capricórnio. Vejamos como se relacionam o de cima do pneu aparece com as letras "borradas", indicando período (T), a velocidade angular a velocidade linear (v), que a velocidade dos pontos dele na parte de cima é grande. a aceleração (a) e a aceleração tangencial que atuam sobre as pessoas A e B no movimento de rotação da Terra. A Suponhamos que o carro tenha uma velocidade em relação ao solo e marquemos dois pontos, A e B, na parte B superior e inferior do pneu, respectivamente. Podemos compreender o fato descrito utilizando o estudo da composição de movimentos realizado no módulo anterior. Período T: As duas pessoas encontram-se sobre a Os pontos A e B estão sujeitos a dois tipos de movimento, superfície da Terra, que completa uma volta em torno um movimento de rotação, devido à rotação do eixo da roda, de seu próprio eixo a cada 24 h. Consequentemente, e um movimento de translação, devido ao movimento de todas as pessoas que se encontram sobre a Terra translação do carro. o movimento resultante dos pontos completarão uma volta em torno do eixo dela nesse A e B é a composição desses dois movimentos, como mostra mesmo intervalo de tempo. Logo, as pessoas A e B a figura a seguir. possuem o mesmo período de movimento. Sistema de Ensino 17Frente A Módulo 05 Velocidade angular A velocidade angular é uma Dessa forma, temos: grandeza que mede a rapidez de giro de um objeto, definida matematicamente como o ritmo no qual o ângulo central da posição do objeto varia. Como as duas Considerando a figura anterior, temos que > Logo, pessoas descrevem o mesmo ângulo no mesmo intervaloMovimento Circular Os pontos 1, 2, 3 e 4 são pontos pertencentes às extremidades das polias. Sobre o valor da aceleração centripeta (a) desses pontos, é correto afirmar que Resolução: A R2 R, B Sendo assim, temos que: No acoplamento por correia, temos que V3 Observando a figura, podemos concluir que R, Como = e a aceleração Essa equação mostra que a velocidade escalar e o centripeta é inversamente proporcional ao raio da polia. raio R do disco são grandezas diretamente proporcionais. Logo, como > temos que Por exemplo, na figura anterior, veja que A é um ponto na 3 perifería de uma roda dentada maior e que B é um ponto 4 na periferia de uma roda dentada menor. Então, > Consequentemente, VA Podemos esse raciocínio para um ponto na perifería do pneu. Quanto maior for o raio do pneu em relação ao raio das rodas dentadas R2 centrais (catracas), maior será o aumento da velocidade. Na verdade, a velocidade escalar na do pneu No acoplamento por eixo, temos que = A partir representa a própria velocidade de translação da bicicleta. da figura, podemos concluir que R, > Sendo = Por isso, para proporcionar maiores velocidades, os diâmetros temos que a = = Como = temos dos pneus de bicicletas são, em geral, muito grandes. que a aceleração centripeta será diretamente proporcional ao das polias. Logo, sendo > temos que NO Dessa forma, a alternativa correta é a B. Bernoulli Play M50D Transmissão do movimento circular 04. Este explica como ocorre cada um dos três tipos de transmissão do Movimento Circular. Fique atento para perceber o que os diferencia e as grandezas que se conservam em cada um deles. Boa atividade! C EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 03. As figuras a seguir mostram duas polias de raios e R2 que apresentam movimento circular uniforme. A As polias são conectadas uma à outra por dois tipos de acoplamentos: por correia e por eixo. 1 A figura anterior mostra uma antiga bicicleta, na qual estão marcados os pontos A, B e o ponto A encontra-se R, na periferia da coroa, o ponto B, na periferia da catraca, e o ponto C encontra-se na periferia da roda traseira. 2 Sejam = 1 Hz a frequência do movimento descrito pelo 3 ponto A, e = 10 cm, = 2,5 cm e = 40 cm os raios 4 das circunferências descritas pelos respectivos pontos. A) Determinar qual dos três pontos, A, B ou C, está sujeito à maior aceleração centripeta. B) Determinar o módulo da velocidade de translação da Bernoulli Sistema de Ensino 19Frente A Módulo 05 Resolução: EXERCÍCIOS DE RESOLUÇÕES NO A) Inicialmente, vamos isolar a coroa e a catraca, onde Bernoulli Play se encontram os pontos A e B. APRENDIZAGEM A 01. (FMP-RJ-2021) o lançamento de martelo é uma modalidade de atletismo na qual o atleta gira uma esfera de metal presa por um cabo e a solta, visando B a que a esfera atinja a maior distância após o lançamento, conforme mostra a figura a seguir. A frequência do movimento descrito pelo ponto A é de 1 Hz, e o raio da circunferência descrita por ele é de 10 cm, isto é, 0,1 m. Logo, o módulo de sua velocidade linear m/s. Como a coroa e a catraca encontram-se interligadas por uma corrente e ela passa pela periferia das peças, podemos concluir que todos os pontos das periferias da coroa e da catraca possuem a mesma velocidade escalar, m/s. Suponha que, no momento do lançamento, a esfera realizava um movimento circular de raio 1,2 m, girando a valor de o mesmo para os pontos Ae B, podemos concluir que a frequência dos movimentos descritos uma velocidade angular de 25,0 rad/s. por esses pontos será inversamente proporcional A velocidade da esfera no momento do lançamento, em aos raios de suas trajetórias, isto é, m/s, é de, aproximadamente: Como o da catraca é 4 vezes menor que o A) 30,0 C) 36,0 E) 20,8 raio da coroa, a frequência do movimento descrito pelo ponto B será quatro vezes maior do que a do B) 26,2 D) 25,0 movimento descrito pelo ponto A. Logo, A catraca e a roda da bicicleta estão conectadas pelo 02. (UDESC) Observando o movimento de um carrossel no 1010 mesmo eixo, como mostra a figura a seguir. parque de diversões, conclui-se que seu movimento é do C tipo circular uniforme. B Assinale a alternativa correta em relação ao movimento. A) Não é acelerado, porque o módulo da velocidade permanece constante. B) É acelerado, porque o vetor velocidade muda de direção, embora mantenha o mesmo módulo. C) É acelerado, porque o módulo da velocidade varia. Isso significa que a frequência do movimento descrito pela roda C também será de 4 Hz. A relação D) Não é acelerado, porque a trajetória não é retilinea. nos mostra que, sendo a frequência constante, E) Não é acelerado, porque a direção da velocidade não Logo, como o ponto C está a uma distância 16 vezes varia. maior do eixo que o ponto B, sua velocidade linear será 16 vezes maior que a do ponto B, ou seja: 03. (UECE) Um disco, do tipo DVD, gira com movimento circular uniforme, realizando 30 rpm. A velocidade angular o módulo da aceleração centripeta a que estão dele, em rad/s, é submetidos os pontos A, B e C da coroa, da catraca A) C) e da roda da bicicleta, respectivamente, podem ser calculados por meio da relação: B) D) 04. (PUC Rio) Um menino passeia em um carrossel de raio R. Logo: Sua mãe, do lado de fora do carrossel, observa o garoto passar por ela a cada 20 Determine a velocidade angular do carrossel em rad/s. m/s2 A) C) E) Desse modo, o ponto C está sujeito à maior aceleração D) centripeta. 05. B) Como o ponto C está na periferia da roda traseira e esta (UPF-RS) Recentemente, foi instalada, em Passo Fundo, QKVV está em contato com o solo, podemos afirmar que o uma ciclovia para que a população possa andar de módulo da velocidade de translação da bicicleta é igual ao bicicleta. Imagine que, em um fim de semana, pai e filho módulo da velocidade do ponto Sendo assim, o módulo resolveram dar uma volta, cada um com sua respectiva da velocidade de translação da bicicleta é de m/s. bicicleta, andando lado a lado, com a mesma velocidade. 20 Coleção 6VMovimento Circular Admitindo-se que o diâmetro das rodas da bicicleta do Quando acionado o motor, a relação entre as velocidades pai é o dobro do diâmetro das rodas da bicicleta do filho, (v) verificadas nos pontos A, B e C e o número de rotações pode-se afirmar que as rodas da bicicleta do pai, em por minuto (RPM) de cada polia é: relação às da bicicleta do filho, giram com A) A) o dobro da frequência e da velocidade angular.Frente A Módulo 05 04. (UFMG) Um ventilador acaba de ser desligado e está parando Regulando-se o aparelho para girar com frequência de DER2 vagarosamente, girando no sentido A direção e o 0,25 Hz, pequenos roletes das pontas da estrela, distantes sentido da aceleração da pá do ventilador no ponto P são: 6 cm do centro desta, esmagam a mangueira contra um anteparo curto e fazendo com que o líquido seja obrigado a se em direção ao gotejador. Sob essas condições, a velocidade escalar média imposta ao líquido em uma volta completa da estrela é, em m/s, Dado: P A) 2,5 D) 6,6 B) 4,2 E) 9,3 C) 5,0 A) D) 07. P (FUVEST-SP) Um objeto de teste percorre o trajeto P K8QB SRQPNM conforme a figura a seguir. Nos trechos circulares, o objeto move-se com velocidade constante e nos trechos desloca-se em movimento uniformemente B) E) variado. Parte do repouso em S e atinge a velocidade P no ponto R; entre Q e P, acelera até atingir a velocidade P 2v em P; de N a M, desacelera, parando no ponto M. d N M C) P P Q 05. (UFMG) A figura mostra três engrenagens, E, e URHC fixas pelos seus centros e de raios R, e S R respectivamente. A relação entre os raios é = Na figura, as linhas tracejadas são equidistantes e A engrenagem da esquerda gira no sentido horário, distanciadas de d. A maior e a menor aceleração do com objeto, em valores absolutos, no trajeto descrito, ocorrerão, respectivamente, nos trechos A) SR e PN. C) PN e QP. B) RQ e NM. D) QP e NM. 08. (UEPB) A bicicleta move-se a partir do movimento E, dos pedais, os quais fazem girar uma roda dentada, Sendo T2 e os períodos de e respectivamente, chamada coroa, por meio de uma corrente. Essa coroa pode-se afirmar que as engrenagens vão girar de tal está acoplada a outra roda dentada, chamada de catraca, maneira que a qual movimenta a roda traseira da bicicleta. Um ciclista, com girando em sentido contrário a preparando sua bicicleta para um percebeu que B) =Movimento Circular 09. (UESB-BA) o hidrogênio é o mais abundante dos SEÇÃO ENEM RESOLUÇÕES NO Bernoulli Play elementos químicos, presente em, aproximadamente, 75% da massa elementar do universo. Apresenta-se, geralmente, na sua forma molecular, constituída por dois 01. (Enem-2020) No Autódromo de Interlagos, um carro de átomos de hidrogênio para formar o gás diatômico, Fórmula 1 realiza a curva S do Senna numa trajetória Admitindo-se que o elétron gira em torno do núcleo de curvilínea. Enquanto percorre esse trecho, o velocímetro um átomo de hidrogênio com frequência de Hz, do carro indica velocidade constante. Quais são a direção que a velocidade tangencial é de 2,0 m/s e que e o sentido da aceleração do carro? é igual a 3, o raio do de hidrogênio estimado, em A) Radial, apontada para fora da curva. milímetros, é da ordem de B) Radial, apontada para dentro da curva. A) C) E) C) Aceleração nula, portanto sem direção nem sentido. B) D) D) Tangencial, apontada no sentido da velocidade do 10. (UFV-MG) Um automóvel encontra-se em repouso no carro. T27Y interior de um estacionamento, a 20 m de um portão E) Tangencial, apontada no sentido contrário à velocidade eletrônico inicialmente fechado. o motorista aciona, então, do carro. o controle remoto do portão, que passa a girar em torno de seu eixo fixo à velocidade constante de 02. (Enem) Na madrugada de 11 de março de 1978, partes Simultaneamente, o veículo começa a mover-se de um foguete soviético reentraram na atmosfera acima retilineamente em direção ao portão, com aceleração da cidade do Rio de Janeiro e no Oceano A aceleração que o motorista deve imprimir Foi um belo espetáculo, os inúmeros fragmentos entrando ao veículo para que atinja a saída do estacionamento no em ignição devido ao atrito com a atmosfera brilharam exato instante em que o portão acaba de descrever um intensamente, enquanto "cortavam o Mas se a ângulo de rad, abrindo-se totalmente, tem módulo de reentrada tivesse acontecido alguns minutos depois, A) D) 0,80 teriamos uma tragédia, pois a queda seria na área urbana B) E) 0,08 do Rio de Janeiro e não no oceano. C) 1,00 Sentido de rotação 11. (FEI-SP) Um dispositivo mecânico apresenta três polias da Terra (1), (2) e (3) de raios R, = 6 cm, = cm e R, respectivamente, pelas quais passa uma fita que se movimenta, sem escorregamento, conforme indicado na figura. Se a polia (1) efetua 40 rpm, qual é, em segundos, o período do movimento da polia (3)? (3) (2) de (1) Fita LAS CASAS, R. Lixo espacial. Observatório Astronômico Frei Rosário, ICEx, Disponível em: A) 0,5 C) 2,0 E) 3,2 ufmg.br. Acesso em: 27 set. 2011 (Adaptação). B) 1,2 D) 2,5 De acordo com os fatos relatados, a velocidade angular do foguete em relação à Terra no ponto de reentrada era 12. (UFRRJ) Um disco gira sem atrito sobre uma mesa A) igual à da Terra e no mesmo sentido. N49R horizontal, preso por um fio de 50 cm, como mostra a B) superior à da Terra e no mesmo sentido. figura. Ele completa 300 voltas em 1 minuto. C) inferior à da Terra e no sentido oposto. D) igual à da Terra e no sentido oposto. 0,5 m E) superior à da Terra e no sentido oposto. A 1,4 m 03. (Enem) A invenção e o acoplamento entre engrenagens 3UAC revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeiro Usar g = 10 sempre que usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo A) Determine o módulo da velocidade do disco. com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta B) Qual o tempo em que ele permanece na mesa após as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A frequência o rompimento do fio no ponto A? do motor é de 18 rpm, e o número de dentes das Considere = 3. engrenagens está apresentado no quadro. Bernoulli Sistema de Ensino 23Frente A Módulo 05 Uma prancha de madeira é empurrada pelas polias, no Engrenagem Dentes sentido A B (como indicado no esquema), ao mesmo A 24 tempo em que um sistema é acionado para frear seu B 72 movimento, de modo que a velocidade da prancha seja C 36 inferior à da lixa. o equipamento anteriormente descrito D 108 funciona com os grupos de polias girando da seguinte forma: Ponteiro Engrenagem B 1 2 Engrenagem A A B Eixo do motor Engrenagem D Engrenagem C A frequência de giro do ponteiro, em rpm, é A) 1. C) 4. E) 162. 3 4 B) 2. D) 81. A) 1 e 2 no sentido horário; 3 e 4 no sentido anti-horário. 04. (Enem) Para serrar ossos e carnes congeladas, um B) 1 e 3 no sentido horário; 2 e 4 no sentido açougueiro utiliza uma serra de fita que possui três polias C) 1 e 2 no sentido anti-horário; 3 e 4 no sentido horário. e um motor. o equipamento pode ser montado de duas D) 1 e 4 no sentido horário; 2 e 3 no sentido anti-horário. formas diferentes, P e Q. Por questão de segurança, E) 1, 2, 3 e 4 no sentido é necessário que a serra possua menor velocidade Serra de fita Serra de fita Polia 3 Polia 3 SEÇÃO FUVEST / UNICAMP / UNESP Polia 2 Motor 2 Motor Polia Polia 1 Correia Correia Montagem P Montagem Q GABARITO Meu aproveitamento Por qual montagem o deve optar e qual a justificativa dessa opção? A) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares Aprendizagem Acertei Errei iguais em pontos periféricos e a que tiver maior raio 01. A 03. 05. B terá menor frequência. 02. B 04. C 06. 08. B B) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear Propostos Acertei Errei em um ponto periférico. C) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes 01. E 04. D 07. C 10. B e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear 02. B 05. D 08. C em um ponto periférico. 03. D 06. E 09. B D) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver menor 12. raio terá maior frequência. A) 15 m/s E) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que B) 0,047 tiver maior raio terá menor frequência. Seção Enem Acertei Errei 05. (Enem) Na preparação da madeira em uma indústria de 01. B 03. B 05. móveis, utiliza-se uma lixadeira constituída de quatro grupos de polias como ilustra o esquema a 02. B 04. A Em cada grupo, duas polias de tamanhos diferentes são interligadas por uma correia provida de lixa. Total dos meus acertos: de % 24 Coleção 6V