Seja a função espaço tempo S = s(t), em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (tᵢ) e tempo final (tf) é dada por s(tf)-s(to) Vmédia = tf-to A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade v = v(t) é a derivada da função espaço em relação ao tempo v= s'(t) ds (t) (t), enquanto que a aceleração a = a(t) é a derivada da função velocidade em relação ao tempoᵃ dt dt) Com essas informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por s(t) = 40t 16t². Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando t=2 e dura At = 0,1 S é igual a -25,6 m/s. II. A velocidade instantânea quando t=2 é igual a -30m/s. III. o instante em que a velocidade é nula é t = 1,25 S. IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. Está correto o que se afirma em:

Question

Seja a função espaço tempo S = s(t), em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (tᵢ) e tempo final (tf) é dad...

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa com base na função dada $ s(t) = 40t - 16t^2 $:

1. **Cálculo da Velocidade Média (I)**:
   A velocidade média é dada por:
   $$
   V_{\text{média}} = \frac{s(t_f) - s(t_i)}{t_f - t_i}
   $$
   Para $ t_i = 2 $ e $ \Delta t = 0,1 $, temos $ t_f = 2 + 0,1 = 2,1 $.
   Calculando $ s(2) $ e $ s(2,1) $:
   $$
   s(2) = 40(2) - 16(2^2) = 80 - 64 = 16 \text{ m}
   $$
   $$
   s(2,1) = 40(2,1) - 16(2,1^2) = 40(2,1) - 16(4,41) = 84 - 70,56 = 13,44 \text{ m}
   $$
   Agora, calculando a velocidade média:
   $$
   V_{\text{média}} = \frac{13,44 - 16}{2,1 - 2} = \frac{-2,56}{0,1} = -25,6 \text{ m/s}
   $$
   Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

2. **Cálculo da Velocidade Instantânea (II)**:
   A velocidade instantânea é a derivada da função $ s(t) $:
   $$
   v(t) = s'(t) = 40 - 32t
   $$
   Para $ t = 2 $:
   $$
   v(2) = 40 - 32(2) = 40 - 64 = -24 \text{ m/s}
   $$
   Portanto, a afirmativa II é falsa.

3. **Cálculo do Instante em que a Velocidade é Nula (III)**:
   Para encontrar quando a velocidade é nula, igualamos $ v(t) $ a zero:
   $$
   40 - 32t = 0 \Rightarrow 32t = 40 \Rightarrow t = \frac{40}{32} = 1,25 \text{ s}
   $$
   Portanto, a afirmativa III é verdadeira.

4. **Cálculo da Altura Máxima (IV)**:
   A altura máxima ocorre quando a velocidade é nula, que já sabemos que acontece em $ t = 1,25 $:
   $$
   s(1,25) = 40(1,25) - 16(1,25^2) = 50 - 16(1,5625) = 50 - 25 = 25 \text{ m}
   $$
   Portanto, a afirmativa IV é verdadeira.

Agora, resumindo:
- I: Verdadeira
- II: Falsa
- III: Verdadeira
- IV: Verdadeira

As afirmativas corretas são I, III e IV. Portanto, a alternativa correta é a que contém essas afirmativas. Se não houver uma opção que contenha apenas I, III e IV, você deve verificar as opções disponíveis.

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