Vamos analisar cada afirmativa em relação à conversão de coordenadas esféricas para cartesianas: 1. Coordenadas Esféricas: As coordenadas esféricas são dadas por \((\rho, \theta, \phi)\), onde: - \(\rho\) é a distância do ponto à origem, - \(\theta\) é o ângulo azimutal (longitude), - \(\phi\) é o ângulo polar (latitude). 2. Conversão para Coordenadas Cartesianas: - As fórmulas de conversão são: - \(x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)\) - \(y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)\) - \(z = \rho \cos(\phi)\) Agora, vamos analisar as afirmativas: I. "ϕ (latitude) afeta x e y por seno e z por cosseno." - Correto. A afirmativa está correta, pois \(\phi\) afeta \(x\) e \(y\) através do seno e \(z\) através do cosseno. II. "θ (longitude) afeta x por cosseno e y por seno no plano xy." - Correto. A afirmativa está correta, pois \(\theta\) afeta \(x\) e \(y\) através do cosseno e seno, respectivamente. III. "As coordenadas cartesianas (x, y, z) são \(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}\)." - Vamos calcular as coordenadas cartesianas para \((\rho, \theta, \phi) = (2, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})\): - \(x = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) - \(z = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) - Portanto, a afirmativa está correta. Com base na análise, todas as afirmativas I, II e III estão corretas. Assim, a alternativa correta é: e. I, II e III.