Para determinar os intervalos em que a função \( f(x) = 10(x^3 - 3x^2 - 9x) \) é crescente, precisamos calcular a derivada da função e encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 10(3x^2 - 6x - 9) = 30x^2 - 60x - 90 \] 2. Encontrar os pontos críticos: Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: \[ 30x^2 - 60x - 90 = 0 \] Dividindo toda a equação por 30: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Fatorando: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 3 \) e \( x = -1 \). 3. Analisar o sinal da derivada: Vamos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \) e \( (3, +\infty) \). - Para \( x < -1 \) (por exemplo, \( x = -2 \)): \[ f'(-2) = 30(-2)^2 - 60(-2) - 90 = 120 + 120 - 90 = 150 \quad (\text{positivo}) \] - Para \( -1 < x < 3 \) (por exemplo, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 30(0)^2 - 60(0) - 90 = -90 \quad (\text{negativo}) \] - Para \( x > 3 \) (por exemplo, \( x = 4 \)): \[ f'(4) = 30(4)^2 - 60(4) - 90 = 480 - 240 - 90 = 150 \quad (\text{positivo}) \] 4. Conclusão: A função \( f(x) \) é crescente nos intervalos \( (-\infty, -1) \) e \( (3, +\infty) \). Portanto, a alternativa correta é: d) (−∞, −1)∪(3, +∞).