A questão envolve o cálculo do volume de um sólido limitado pelo plano \( z = 0 \) e pelo paraboloide \( f(x,y) = 1 - x^2 - y^2 \). Para resolver isso usando coordenadas polares, fazemos a substituição \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). O paraboloide se torna \( z = 1 - r^2 \) em coordenadas polares. O volume pode ser encontrado integrando a função \( z \) sobre a região do plano \( z = 0 \) até o paraboloide. A integral dupla em coordenadas polares é dada por: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr \, d\theta \] Aqui, \( r \) é o fator de Jacobiano que aparece na mudança de coordenadas. A integral em \( r \) vai de 0 a 1, pois o paraboloide intercepta o plano \( z = 0 \) quando \( 1 - r^2 = 0 \) (ou seja, \( r = 1 \)). Calculando a integral: 1. A integral em \( r \): \[ \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr = \int_0^1 (r - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] 2. A integral em \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Portanto, o volume total é: \[ V = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} \] Agora, analisando as alternativas dadas, parece que não estão claras, mas se a alternativa correta for uma que represente o volume calculado, a resposta correta deve ser a que se aproxima de \( \frac{\pi}{2} \). Se precisar de mais detalhes sobre as alternativas, por favor, forneça-as de forma mais clara.