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MATEMÁTICA I 
 
AULA 2: FUNÇÕES 
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari 
amanda@fcav.unesp.br 
Conteúdo 
• Função 
• Variáveis 
• Traçando Gráficos 
• Domínio e Imagem 
• Família de Funções 
• Funções Polinomiais 
• Funções 
Exponenciais e 
Logarítmicas 
• Funções 
Trigonométricas 
Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem 
como uma quantidade depende de outra. 
• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o 
termo função para indicar a dependência de uma quantidade em 
relação a uma outra, conforme a definição a seguir. 
 
DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x 
de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor 
de y, então dizemos que y é uma função de x. 
 
• Três maneiras usuais de representar funções são: 
• Numericamente com tabelas 
• Geometricamente com gráficos 
• Algebricamente com fórmulas 
FUNÇÕES 
Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a 
ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse 
modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos 
ou tabelas. 
• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que 
estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com 
a matéria seca 
 
Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 
 (adição de nitrogênio no solo) 
 
• Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para a planta que 
atua no processo do substrato 
 
DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única 
saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é 
denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”). 
FUNÇÕES 
• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada 
valor de 𝑓 em x, ou imagem de x por 𝑓. 
 
• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra, 
digamos y, e escrevemos 
𝒚 = 𝒇(𝒙) 
 
 A variável x é denominada variável independente ou 
argumento de 𝑓 
 A variável y é denominada variável dependente de 𝑓. 
o Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre 
para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o 
valor correspondente de y está determinado. 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
Se 𝑓 for uma função de uma variável real a valores reais, então o 
gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da 
equação y = ƒ(x). 
 
• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da 
equação y = x 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre 
uma função. 
• Por exemplo, como o gráfico de uma função 𝑓 no plano 𝑥𝑦 é 
o gráfico da equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), os pontos do gráfico são da 
forma 𝑥, 𝑓 𝑥 
• ou seja, a coordenada 𝑦 de um ponto do gráfico de 𝑓 é o 
valor de 𝑓 na coordenada 𝑥 correspondente 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as coordenadas 
𝑥 dos pontos nos quais o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝒙. 
 
 
 
 
 
• Esses valores são denominados 
• zeros de 𝑓 
• raízes de 𝑓(𝑥) = 0 
• pontos de corte de 𝑦 = 𝑓(𝑥) com o eixo 𝒙. 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
FUNÇÕES - VARIÁVEIS 
 
 
 
 
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS 
 
 
 
 
O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo, 
assim como na Álgebra e na Trigonometria. 
 
• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são 
definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo 
𝑥 e o eixo 𝑦. 
 
 
 
 
𝒙 
𝒚 
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS 
 
 
 
 
A um par (𝑎, 𝑏) de números associamos o ponto 𝑃 localizado na 
interseção da reta perpendicular ao eixo 𝑥 em 𝑎 e a reta 
perpendicular ao eixo 𝑦 em 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 
• Os números 𝑎 e 𝑏 são as coordenadas 𝑥 e 𝑦 de 𝑃. 
• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0). 
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS 
 
 
 
 
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados 
de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (𝑥, 𝑦) tais 
que 𝑥 < 0 e 𝑦 < 0. 
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS 
 
 
 
 
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM 
Se 𝑥 e 𝑦 estão relacionados pela equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), então: 
• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de 𝑥) 
é denominado domínio de 𝑓. 
• o conjunto de todas as saídas (os valores de 𝑦) que 
resultam quando 𝑥 varia sobre o domínio é denominado 
imagem de 𝑓. 
 
Exemplo 1. Se 𝑓 é a função definida pela tabela ao abaixo, 
 
 
então: 
• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3} 
• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}. 
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM 
Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições 
sobre as entradas permissíveis de uma função. 
 
Exemplo 2. Se 𝑦 denota a área de um quadrado de lado 𝑥, então 
essas variáveis estão relacionadas pela equação 𝑦 = 𝑥2. 
 
 
 
 
 Embora essa equação produza um único valor de 𝑦 para 
cada número real 𝑥, o fato de que os comprimentos devem 
ser números não-negativos impõe a exigência que 𝑥 ≥ 0. 
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0 
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM 
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, 
a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas 
permissíveis. 
 
Exemplo 3. 
 se 𝑦 =
1
𝑥
, então 𝑥 = 0 não é uma entrada válida, pois 
divisão por zero não está definida. 
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0 
 se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de 𝑥 não são entradas 
válidas, pois produzem valores imaginários de 𝑦. 
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0 
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM 
O domínio e a imagem de uma função f podem ser 
identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos 
coordenados 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM 
FAMÍLIA DE FUNÇÕES 
As funções são, frequentemente, agrupadas em 
famílias de acordo com a forma das fórmulas que 
as definem ou outras características comuns. 
 O gráfico de uma função constante 
𝑓(𝑥) = 𝑐 
 é o gráfico da equação y = c, que é a 
reta horizontal. 
 
 
 Se variarmos c, obteremos um 
conjunto ou uma família de retas 
horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS 
 Uma função linear é uma função do tipo 
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais 
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como 
𝑓 0 = 𝑏, o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑏). 
 
 
 
 
 
 
 
Usamos os símbolos Δ𝑥 e 
Δ𝑦 para denotar a 
variação (ou incremento) 
em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥 ao longo 
do intervalo 𝑥1, 𝑥2 . 
FUNÇÃO LINEAR 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LINEAR 
Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento 
constantes. Assim, qualquer mudança na variável independente causa uma mudança 
proporcional na variável dependente. 
Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 
• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a 
direita, ou seja, será uma função crescente; 
 
• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a 
esquerda, ou seja, será uma função 
decrescente; 
 
• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou 
seja, será uma função constante; 
 
 
𝑓 𝑥 
𝑥 
𝑦 
𝑓 𝑥 
𝑓 𝑥 
𝑦 
𝑥 
𝑦 
𝑥 
FUNÇÃO LINEAR 
Observações 
• Se mantivermos 𝑏 fixo e tratarmos 𝑚 
como um parâmetro, obteremos uma 
família de retas cujos membros têm, 
todos, o mesmo corte em 𝑏 com o eixo 𝑦. 
• Se mantivermos 𝑚 fixo e tratarmos 𝑏 
como um parâmetro, obteremos uma 
família de retas paralelas cujos 
membros têm, todos, a mesma 
declividade 𝑚. 
FUNÇÃO LINEAR 
OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS 
FUNÇÕES LINEARES 
 Não confunda 𝒎 com 𝜽: 
 Considere o gráfico abaixo: 
 
 
 
𝜃 
𝑃 
O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑟 e 
pelo ponto 𝑃. 
• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da 
reta tangente e é o valor do seu 
coeficiente angular. Assim, 
𝑚 = tg 𝜃 
• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o 
coeficiente angular da retaé: 
𝑚 = tg 60° = 3 
𝑄 
𝑟 
𝑥 
𝑦 
FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 Uma função quadrática é uma função definida por um 
polinômio quadrático 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0. 
 
 O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola 
 
 
 
 
 
 A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante 
𝑎 for positivo 𝑎 > 0 . 
 A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 . 
 
 O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula 
quadrática ou de Bhaskara. 
 
 
 
 
 O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0 
−𝑏 ± Δ 
2𝑎
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode 
ser fatorado como 
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2 
 
 Exemplo 4. Escreva a função abaixo na forma fatorada. 
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 
 
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = tem 𝑎 = 2, 𝑏 = −3 e 𝑐 = 1, seu 
discriminante é: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 32 − 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 − 8 = 1 > 0 
pela fórmula quadrática, suas raízes são 
raízes de 𝑓 𝑥 =
−𝑏 ± Δ
2𝑎
=
− −3 ± 1
2 2
=
3 ± 1
4
 
assim, 𝑟1 =
3+1
4
=
4
4
= 1 e 𝒓𝟐 =
3−1
4
=
2
4
=
𝟏
𝟐
 
Portanto 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 2 𝑥 − 1 𝑥 −
𝟏
𝟐
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 Para todo número real 𝑛, a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 
 é denominada função potência de expoente 𝑛. 
 
 Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de 
expoentes naturais. 
 
 
 Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 
 
Gráfico da função 
𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 
OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio, pois inclui uma 
função potência 𝑥−1 de expoente negativo. 
 O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito 
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
 e é denominado função polinomial de grau 𝑛. 
 
 Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados 
coeficientes. 
 O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0). 
 O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante. 
 O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ. 
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 Note que: 
 A função 
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 é uma função polinomial de grau 1, sendo: 
 𝑎1= 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes. 
 
 A função 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
é uma função polinomial de grau 2, sendo: 
 𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes. 
 
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 A função 
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 
onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏. 
 Alguns exemplos são 
 
 
 A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se 
𝑏 < 1. 
 
 1 1 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
FUNÇÕES LOGARITMICAS 
 Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base 
𝑎 é: 
 denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥 
 a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥 
 Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base 
𝑎 > 1 são: 
 
 
 
 Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de 
todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 . 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então: 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5. Calcule log2 80 − log2 5 
 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os 
logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒. 
 O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo 
natural e tem uma notação especial: 
𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 
 Propriedades 
1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥 
2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ 
3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0 
4) ln 𝑒 = 1 
5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois 
sistemas de medição de ângulos: radianos e graus. 
 Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre 
ângulos e rotação. 
 Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar 
ângulos e rotação. 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
• Cada ângulo tem uma medida em 
radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
• Com essa escolha, o ângulo 
𝜃 subentende um arco de comprimento 
𝜃 ∙ 𝑟 num círculo de raio r. 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
• Para converter: 
• Radianos em graus: multiplique por 
180
𝜋
 
• Graus em radianos: multiplique por 
𝜋
180
 
 
• Exemplo 6. Converta: 
(a) 55𝑜 em radianos. 
 Solução: 55o ×
𝜋
180
≅ 0,9599 rad 
(b) 0,5 rad em graus. 
Solução: 0,5 rad ×
180
𝜋
≅ 28,648o 
Radianos Graus 
0 0o 
𝜋
6
 30
o 
𝜋
4
 45
o 
𝜋
3
 60
o 
𝜋
2
 90
o 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em 
termos de triângulos retângulos. 
 Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e 
denotemos os lados 
 
 
 
 
então 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao 
ângulo 𝜃 
 
 
 
 
 
então 
 cos 𝜃 = coordenada x de P 
 sen 𝜃 = coordenada y de P 
 
 Note que: 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e 
sen 𝜃. 
 
 
 
 
 
 
 Tabulando esses dados, temos que: 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃 
 O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é gerado quando o ponto percorre o 
círculo unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é a conhecida “onda senoidal” 
 ou, simplesmente, “senóide” 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃 
 O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da 
seno, mas é transladado 
𝜋
2
 unidades para a esquerda. 
 Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto 
P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 ) 
 do círculo unitário muda de quadrante 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Função Periódica 
 Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se 
 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 (para cada 𝑥) 
e 𝑇 é o menor número positivo com essa propriedade. 
 As funções seno e cosseno são periódicas com período 
𝑇 = 2𝜋 
Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 
2𝜋𝑘 correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Identidades Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
2ª. LISTA DE EXERCÍCIOS