Funções iniciais.

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Funções e suas propriedades
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 7 - p. 61
Introdução: testando seus conhecimentos
Uma operadora de telefonia celular oferece aos seus clientes as duas opções de plano de
pagamento abaixo:.
Planos 3G
Min locais
inclusos
Mensalidade Minutos
adicionais
Plano A 45 min R$ 43, 99 / mês R$ 0, 97
Plano B 80 min R$ 62, 89 / mês R$ 0, 78
1. Qual seria o plano mais econômico para uma utilização de 45 minutos por mês?
2. Determine o custo de 60 minutos de ligações por mês em cada plano oferecido pela operadora.
Compare os valores encontrados.
3. Qual seria o plano mais econômico para utilizar 80 minutos de ligações por mês?
4. Pensando nas respostas anteriores, podemos afirmar que o custo de cada plano depende do tempo
utilizado? Justifique sua resposta.
5. Que fatores devem ser considerados para a escolha do plano com o melhor custo-benefício?
Nesse exemplo, o problema de escolher o plano de pagamento foi reduzido, simplesmente, ao
problema de associar ao número de minutos utilizados um único valor de pagamento, de acordo
com uma regra conhecida. A correspondência ou regra, estabelecida acima, define uma função
matemática.
Uma função matemática é, em essência, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre
elementos de dois conjuntos.
O conceito de função sempre irá surgir toda vez que procuramos estabelecer uma relação de
dependência entre duas grandezas variáveis.
Exemplos:
1) o valor da conta telefônica depende ...
2) o tempo gasto por um carro que sai de Caxias do Sul e vai para Torres depende...
3) o comprimento da circunferência depende ...
Definição formal de função e notação
Uma função f é uma regra, uma lei de correspondência, y = fÝxÞ, que faz cada elemento x de um
conjunto A corresponder a um único elemento y de um conjunto B.
- O conjunto A de todos os valores permitidos a x chama-se domínio da função. Indicamos esse
conjunto por DÝfÞ.
- Ao conjunto B dá-se o nome contra-domínio da função.
- O conjunto de todos os valores correspondentes de y chama-se imagem da função. O conjunto
imagem, portanto, é um subconjunto de B. Indicamos esse conjunto por ImÝfÞ.
1
Usualmente, as funções são expressas por uma expressão algébrica (fórmula) que indica como os
valores x e fÝxÞ estão associados como, por exemplo, fÝxÞ = x2.
Igualmente, também os valores fÝxÞ são denotados por alguma variável, por exemplo, y ou outra letra
qualquer. Assim, fÝxÞ = x2 e y = x2 são formas diferentes, mas equivalentes, de se indicar/definir a
mesma função.
Exemplo 1: Determine o domínio das funções definidas a seguir:
a) fÝxÞ = x2 + 3x b) y = 1x c) fÝxÞ = 4 ? x d) y =
x
x + 2
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é a representação do conjunto de todos os pares ordenados Ýx, yÞ que tenham
x pertencente ao domínio da função f tais que y = fÝxÞ.
Os passos para a construção de um gráfico de função a partir de uma fórmula são:
1. Atribuir valores do domínio à variável x.
2. Usando a sentença matemática que define a função,
calcular os correspondentes valores da variável y.
3. Representar os pares ordenados Ýx, yÞ por pontos no
plano cartesiano. O valor de x é denominado
abcissa e o valor de y é a ordenada do ponto.
4. Unir os pontos (se for o caso)
Exemplo 2: Construa o gráfico da função fÝxÞ = x2 ? 1 considerando x pertencente aos seguintes
domínios:
a) DÝfÞ = á?2,?1, 0, 1, 2â b) DÝfÞ = x 5 R / ? 2 ² x ² 2 c) DÝfÞ = R
Teste da reta vertical
Nem sempre um conjunto de pares ordenados representa o gráfico de uma função. Para reconhecer se
uma curva representa, de fato, o gráfico de uma função, é preciso verificar se para cada elemento x do
domínio existe um único y correspondente na imagem. Geometricamente isso significa que nenhuma reta
vertical intercepta a curva mais de uma vez.
Exemplos 3: Quais das relações de R em R cujos gráficos aparecem a seguir são funções? Justique.
Pense no significado da palavra ”contínua”. Quais das funções são contínuas? E descontínuas?
2
Exemplo 4: Determine o domínio e o conjunto imagem das funções cujos gráficossão representados a
seguir:
a) b)
-1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y
c)
x
y
d)
Representação de uma função
Observe, do que vimos até agora, que uma mesma função foi representada de diferentes maneiras. Na
verdade, são quatro as maneiras para representar uma função: verbalmente (por palavras),
numericamente (por tabelas), algebricamente (por fórmulas) ou geometricamente (por gráficos). O
método de representação irá depender muito da natureza da função: algumas funções são descritas mais
naturalmente por um método do que por outro.
Exemplo 5: Considere a função definida verbalmente por "A é a área do círculo de raio r, com o raio
sendo um número natural. ". Represente-a algebricamente, numericamente e geometricamente.
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Análise de Gráficos
Os gráficos não são um mero recurso visual, eles nos permitem analisar os dados, propor relações
entre as variáveis e prever comportamentos de maneira muito dinâmica. Para isso é necessário que
estudemos algumas características das funções que nos permitirão compreendê-las melhor.
Zeros (ou raízes) de uma função
Os valores de x para os quais fÝxÞ = 0 chamam-se zeros da função.
Geometricamente, os zeros de uma função são as abscissas dos pontos
onde o gráfico corta o eixo x.
No gráfico abaixo, fÝ?1Þ = 0 e fÝ2Þ = 0,
então temos que ?1 e 2 são os
zeros da função.
No gráfico abaixo, fÝ____Þ = 0, fÝ____Þ = 0
e fÝ____Þ = 0, então x = ____, ____ e ____
são os zeros da função.
-2 -1 1 2 3
-2
2
4
x
y
-2 2 4
-20
-10
10
20
x
y
Função crescente e função decrescente
Função crescente:
Aumentando o valor de x,
o valor de y também aumenta.
Função decrescente:
Aumentando o valor de x,
o valor de y diminui.
De maneira geral:
y = fÝxÞ é crescente: para x1, x2 5 DÝfÞ, x2 > x1 ì fÝx2Þ > fÝx1Þ.
y = fÝxÞ é decrescente: para x1, x2 5 DÝfÞ, x2 > x1 ì fÝx2Þ < fÝx1Þ.
Exemplo 6: Considere os gráficos e, para cada função representada, responda:
a) Para que valores de x, fÝxÞ = 0?
b) Para que valores de x, fÝxÞ é crescente?
c) Para que valores de x, fÝxÞ é decrescente?
4
-3 -2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(i)
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(ii)
-2 2 4
-20
-10
10
20
x
y
(iii)
Sinal de uma função
Estudar/analisar o sinal de uma função significa determinar para quais valores de x pertencentes ao
domínio da função, o valor da imagem fÝxÞ é positivo, negativo ou nulo.
Geometricamente, o estudo do sinal é feito localizando-se os intervalos sobre o eixo das abcissas para
os quais o gráfico de função está localizado acima (y > 0), abaixo (y < 0) ou tocando (y = 0) o eixo
horizontal.
F No gráfico i) do Exemplo 6, a função é nula para x = 0, positiva para todo o número real x, com
x > 0 e, é negativa para todo o número real x, com x < 0.
F No gráfico ii) do Exemplo 6, a função é nula para x = ?1 ou x = 2, positiva para x < ?1 ou x > 2 e é
negativa para ?1 < x < 2.
F No gráfico iii) do Exemplo 6, a função é nula para ......................................, positiva para
......................................... e negativa para .....................................
Extremos de uma função(máximos e mínimos)
Existem funções que mudam de comportamento ao longo do seu domínio, funções cujo gráfico passa
de crescente para decrescente (ou vice-versa). Os valores da função (imagem) que marcam a mudança de
comportamento do gráfico de crescente para decrescente são denominados máximos locais e aqueles que
marcam a mudança de decrescente para crescente são ditos mínimos locais.
A função f : R í R,
dada pelo gráfico
abaixo:
A função g : R í R,
dada pelo gráfico
abaixo:
A função h : R í R,
dada pelo gráfico
abaixo:
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
x
y
-2 -1 1 2
-4
-2
2
x
y
tem mínimo local no
ponto Ý0,?4Þ e esse mínimo
é ?4.
tem mínimo local no
ponto Ý?1,?32Þ que vale
?32 e um máximo local
em Ý3, 0Þ que vale 0.
tem mínimo local no
ponto Ý0, 0Þ que vale 0
e máximo local em Ý?1, 1Þ
eÝ1, 1Þ que vale 1.
F Note que, na função f, fÝ0Þ = ?4 é o menor dentre todos os valores da imagem de f. Com essa
característica dizemos que ?4 é o mínimo absoluto da f.
F Note que, na função h, hÝ?1Þ = hÝ1Þ = 1 é o maior dentre todos os valores da imagem de h. Assim,
dizemos que Ý?1, 1Þ e Ý1, 1Þ são pontos de máximo absoluto da h e 1 é o máximo absoluto de h.
5
F A função g não tem máximo ou mínimos absolutos. Note que não é possível determinar a maior de
todas as imagens e nem a menor de todas as imagens.
Exemplo 7: Faça uma análise completa da função y = fÝxÞ cujo gráfico é apresentado abaixo:
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
Exercícios:
7 Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 80 a 83) resolva os exercícios de
números: 5 a 8; 9 a 14 (apenas algebricamente); 25 a 28; 55, 57, 59 e 61 (determine o domínio da função
e as raízes, quando existirem); 71; 76; 78; 79; 81; e 83.
7 Faça um estudo da função representada no gráfico abaixo identificando: domínio, imagem, zeros,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos extremos (de máximo ou mínimo) e valores extremos.
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-34
-32
-30
-28
-26
-24
-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
6