E2_MEMA

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CONCEITO E APLICAÇÃO DE 
FUNÇÕES
RAFAEL DE MOURA MOREIRA
Sumário
INTRODUÇÃO ������������������������������������������������� 3
CONCEITO DE FUNÇÕES �������������������������������� 4
Definição de funções ������������������������������������������������������������ 4
Gráfico de uma função ��������������������������������������������������������� 6
Notação ��������������������������������������������������������������������������������� 9
Propriedades de uma função ��������������������������������������������� 10
Função inversa �������������������������������������������������������������������� 13
Função composta ��������������������������������������������������������������� 16
FUNÇÕES E SUAS REPRESENTAÇÕES �������� 18
Funções polinomiais ����������������������������������������������������������� 18
Funções trigonométricas ��������������������������������������������������� 22
Funções exponenciais e logarítmicas ������������������������������� 28
USO PRÁTICO DAS FUNÇÕES ����������������������32
Arremesso para cima ��������������������������������������������������������� 32
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ��������������������������������������������40
2
INTRODUÇÃO
Funções matemáticas são regrinhas relacionando 
valores numéricos e são utilizadas nas mais diversas 
áreas do conhecimento humano, como a Física, a 
Química e a Economia, dentre muitas outras� Elas 
servem para se estudar como certas grandezas 
variam para acompanhar outras grandezas e, por 
conta disso, são muito úteis para modelar diversos 
fenômenos reais�
3
CONCEITO DE FUNÇÕES
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
Funções matemáticas são regras que descrevem 
relações entre diferentes grandezas� Basicamente, 
podemos descrever uma grandeza em função de 
outra grandeza�
Formalmente, podemos definir funções da seguin-
te maneira: considere dois conjuntos numéricos 
X e Y� Uma função de X em Y é uma regra para 
associar um valor do conjunto Y para cada valor 
do conjunto X�
Também podemos dizer que uma função de X em 
Y mapeia valores do conjunto X para valores do 
conjunto Y�
Chamamos o conjunto X de domínio da função� 
O conjunto Y é chamado de contradomínio da 
função� Os valores do contradomínio que pos-
suem correspondente no domínio são chamados 
de imagens e o subconjunto do contradomínio 
formado apenas por esses pontos é conhecido 
como conjunto imagem�
Para que uma relação entre conjuntos seja consi-
derada uma função, cada valor do domínio deve 
possuir uma única imagem� O inverso não é ne-
4
cessário: múltiplos valores do domínio podem ser 
mapeados para uma mesma imagem�
Para representar uma função mapeando pontos de 
um domínio X para um contradomínio Y utilizamos 
a seguinte notação: 𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌 �
Observemos alguns exemplos representados 
visualmente:
Figura 1: a� uma função de X em Y; b� Uma relação que 
não é uma função, pois há elementos do domínio mapea-
dos para mais de uma imagem�
-1
0
a. X Y b. X Y
1
2
3
0
1
2
4
9
-1
0
1
2
3
0
1
2
4
9
Fonte: elaboração própria�
Note que na Figura 1a todos os elementos do 
domínio possuem exatamente 1 imagem� O fato 
de um elemento do contradomínio ser imagem de 
mais de um elemento do domínio não é problema� 
Portanto, podemos relacionar o conjunto X ao Y 
por meio de uma função�
5
Já na Figura 1b temos pontos do domínio sendo 
relacionados a mais de uma imagem� Nesse caso, 
essa relação não pode ser definida como uma 
função�
Note também que na Figura 1a o contradomínio é 
o conjunto 𝐶𝐶 = {0, 1, 2, 4, 9}, ou seja, todos os valores 
possíveis de serem mapeados ao domínio� Já o 
conjunto imagem é dado por 𝐼𝐼𝐼𝐼 = {0, 1, 4, 9} Note que 
o elemento “2” ficou de fora, pois uma imagem deve 
necessariamente estar mapeada a um elemento 
do domínio�
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Outro conjunto importante relacionado às funções 
é o chamado gráfico de uma função� O gráfico é o 
conjunto formado por todos os pares ordenados 
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tal que x é um elemento do domínio e y é sua 
imagem correspondente� Para o conjunto da Figura 
1a, o gráfico é dado por 𝐺𝐺 = { −1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 }�
Podemos também dizer que os pares ordenados 
são (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tal que 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 , ou mesmo que são 
(𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥))�
É comum representarmos o conjunto gráfico de 
uma função utilizando eixos cartesianos: duas 
retas perpendiculares entre si conhecidas como 
eixo das abcissas e eixo das coordenadas� 
6
Utilizamos o eixo das abcissas, frequentemente 
conhecido como eixo x, para representar os ele-
mentos do domínio, geralmente conhecidos por 
variável independente. O eixo das coordenadas, 
frequentemente conhecido como eixo y, representa 
a variável dependente, ou seja, as imagens cor-
respondentes a cada elemento do domínio. Cada 
par ordenado (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) é conhecido como um ponto 
no gráfico.
Vamos colocar os pontos da função da Figura 1a 
em uma tabela e, em seguida, utilizaremos esses 
pontos para representá-la graficamente:
Tabela 1: pontos de uma função�
x y
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Fonte: elaborado pelo autor�
Agora basta marcarmos nossos pontos no gráfico: 
traçamos uma reta imaginária paralela ao eixo y 
cruzando a marcação “menos 1” do eixo x, e uma 
reta imaginaria paralela ao eixo x cruzando a mar-
cação “1” do eixo y:
7
Figura 2: localizando um ponto no gráfico�
-1
-1-2-3
1
1 32
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3
-2
Fonte: elaboração própria�
Agora basta repetir o processo para os outros 
pontos da função:
Figura 3: gráfico da função da Figura 1a�
-1
-1-2-3
1
1 32
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3
-2
Fonte: elaboração própria�
8
NOTAÇÃO
Assim como no caso dos conjuntos, nós frequen-
temente iremos representar nossas funções como 
uma regra e não enumerando elementos de um 
conjunto. Quando não especificamos os conjuntos 
domínio e contradomínio, normalmente supõe-se 
que ambos são o conjunto dos reais: 𝑓𝑓:ℝ → ℝ .
As regras de formação geralmente colocam a ima-
gem isolada ao lado esquerdo, representada pelo 
nome da função (geralmente “f”) com o nome da 
variável independente entre parênteses – chama-
da de argumento da função, e à direita utilizamos 
uma expressão matemática utilizando a variável 
independente. Por exemplo:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥% + 1
Podemos substituir x por qualquer elemento do 
domínio para obter sua imagem:
𝑓𝑓 3 = 2(3)' + 1
𝑓𝑓 3 = 19
Podemos esboçar o gráfico de funções arbitrárias 
calculando alguns pontos desta maneira para criar 
uma tabela semelhante à Tabela 1, e em seguida 
marcamos os pontos em um gráfico cartesiano�
9
PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO
Função injetora
Uma função é chamada de injetora quando cada 
elemento de seu contradomínio é a imagem de, 
no máximo, um elemento do conjunto domínio� 
Ou seja, cada imagem corresponde a exatamente 
um elemento�
Função sobrejetora
Uma função é chamada de sobrejetora quando 
todos os elementos de seu contradomínio são 
a imagem de pelo menos um ponto do domínio� 
Ou seja, o conjunto contradomínio e o conjunto 
imagem coincidem�
Função bijetora
Uma função é chamada de bijetora quando é, si-
multaneamente, injetora e sobrejetora� Ou seja, a 
função cria uma correspondência de 1 para 1 entre 
o conjunto domínio e o conjunto contradomínio: 
cada elemento do domínio corresponde a um ele-
mento do conjunto imagem e vice-versa� Funções 
bijetoras são consideradas invertíveis�
10
Figura 4: funções injetora, sobrejetora e bijetora�
-1
0
a. Função não-injetora 
e não-sobrejetora
X Y
b. Função injetora.
X Y
c. Função sobrejetora
X Y
d. Função bijetora
X Y
1
2
3
0
1
2
4
9
-1
0
1
2
3
0
1
2
4
9
11
-1
0
1
2
3
0
1
4
9
-1
0
1
2
3
0
1
2
4
9
Fonte: elaboração própria�
Função par
Uma função é chamada de função par caso 
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) para todos os valores possíveis 
11
de x. Isso causa uma simetria em relação ao eixo 
y, ou seja, a região do gráfico à esquerda do eixo 
y é uma “reflexão” da região à direita.
Figura 5: exemplos de funções pares 
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =cos 𝑥𝑥 𝑒𝑒	𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥) .
-6 -4 -2 20
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
-0.50
-0.75
-1.00
4 6
6
5
3
3-3
2
2-2
1
0 1-1
4
7
8
9
Fonte: elaboração própria�
Função ímpar
Uma função é chamada de função ímpar caso 
𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = −𝑓𝑓(𝑥𝑥)para todos os valores possíveis de 
x. Isso causa uma simetria em relação à origem, 
ou seja, a função é simultaneamente “refletida” 
em ambos os eixos.
12
Figura 6: exemplos de funções ímpares: 
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 	e	f x = 	 𝑥𝑥+ .
-6 -4 -2 20
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
-0.50
-0.75
-1.00
4 6 -3 -2 -1 10
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
2 3
Fonte: elaboração própria�
Uma função não possuir uma dessas proprie-
dades não implica em possuir outra delas� Por 
exemplo, uma função pode não ser nem injeto-
ra nem sobrejetora� Da mesma maneira, uma 
função que não é par não necessariamente é 
uma função ímpar�
FUNÇÃO INVERSA
É possível inverter certas funções� Ou seja, dada 
uma função que nos dá valores de y em função de 
x, podemos alterar sua regra para que possamos 
obter valores de x em função de y� Isso significa 
que a variável y, antes dependente, irá tornar-se 
FIQUE ATENTO
13
uma variável independente, enquanto x se tornará 
a nova variável dependente�
Vejamos um passo-a-passo para inverter uma 
função� Considere a função abaixo:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥	 + 	1
Vamos começar trocando “f(x)” por y:
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥	 + 	1
Note que y está isolado� Para inverter a função, 
devemos isolar o x:
𝑦𝑦	 − 1 = 2𝑥𝑥
𝑦𝑦	 − 	1
2 = 	𝑥𝑥
Podemos agora escrever x como uma função de y:
𝑓𝑓(𝑦𝑦)	
𝑦𝑦	 − 	1
2
Dizemos que 𝑓𝑓 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓$%	(𝑥𝑥). Compare os gráficos 
das funções para compreender melhor a inversão 
de uma função:
14
Figura 7: gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 1 e de 
𝑓𝑓"#(𝑥𝑥) .
-2 -1 1 30
-1
-2
-3
0
1
4
2
3
4
5
2 -3 -1 1 30
-1
-2
0
1
4
2
3
4
2 5-2
Fonte: elaboração própria�
Para que uma função seja invertível, é necessário 
que ela seja bijetora (simultaneamente injetora e 
sobrejetora). Veja o que ocorre se tentarmos in-
verter, por exemplo, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥%. Note 
que ela não é sobrejetora. Por exemplo, 𝑓𝑓(2) e 
𝑓𝑓(−2) possuem o mesmo valor – dois elementos 
do domínio possuem a mesma imagem.
Ao invertê-la, passaremos a ter um elemento do 
domínio com mais de uma imagem, o que viola a 
definição de função� No gráfico isso fica bastante 
claro:
15
Figura 8: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥$ e 𝑓𝑓"# 𝑥𝑥 , 
que não é função.
-2 0
00
0 2
-3
-2
-1
1
2
2 6 84
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fonte: elaboração própria�
FUNÇÃO COMPOSTA
Imagine uma função f qualquer e uma função g 
cujo domínio seja a imagem de f� Podemos obter 
uma expressão para mapear o domínio de f dire-
tamente para a imagem de g� Chamamos isso de 
composição de funções� Para realizar essa opera-
ção, representada por 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 � Para realizar a com-
posição, podemos calcular 𝑔𝑔(𝑓𝑓(𝑥𝑥)), substituindo 
todos os “x” de 𝑔𝑔(𝑥𝑥) pela expressão de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) �
Considere como exemplo as duas funções 
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥% + 2𝑥𝑥 − 1 e 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 � Então temos:
16
𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3(𝑥𝑥 + 2)+ + 2 𝑥𝑥 + 2 − 1
𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥' + 4𝑥𝑥 + 4 + 2 𝑥𝑥 + 2 − 1
𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥' + 12𝑥𝑥 + 12 + 2𝑥𝑥 + 4 − 1
𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥' + 14𝑥𝑥 + 15
17
FUNÇÕES E SUAS 
REPRESENTAÇÕES
Observemos algumas funções importantes na 
Matemática, que utilizaremos com frequência para 
modelar os mais diversos problemas�
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Funções polinomiais são aquelas representadas 
por uma soma de termos elevados a diferentes 
expoentes� Elas possuem a forma:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐%𝑥𝑥& + 𝑐𝑐(𝑥𝑥&)% +*** + 𝑐𝑐&)%𝑥𝑥%+ 𝑐𝑐&
Ou seja, cada termo é composto por x elevado a 
um expoente de 0 até n e multiplicado por uma 
constante real, lembrando que qualquer número 
elevado a 0 é igual a 1� Alguns termos podem ser 
omitidos, basta que seu coeficiente seja igual a 0�
Note que o número “n” dá o grau do polinômio� Ou 
seja, se o maior expoente de um polinômio é 2, 
dizemos que o polinômio possui grau 2�
O grau do polinômio determina o número de raízes 
que ele possuirá – isto é, em quantos pontos ele 
cruza o eixo x� Mas note que nem sempre as raí-
zes serão números reais� Há circunstâncias onde 
18
uma raiz será complexa� Vamos estudar alguns 
polinômios bastante comuns�
Função afim
Função afim é um nome para uma função polino-
mial de primeiro grau� Ela também é conhecida 
como função linear�
Sua forma é 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 . Seu gráfico sempre 
irá formar uma reta. O termo “a” é chamado de 
coeficiente angular e influenciará na inclinação da 
reta: quanto maior esse termo, maior o ângulo entre 
a função e o eixo x. O termo b é o termo constante 
e representa o ponto onde a função cruza o eixo y.
As funções 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 1 e sua inversa 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
1
2 𝑥𝑥 +
1
2
são exemplos de função afim. Seus coeficientes 
angulares são, respectivamente, 2 e 1 2# , e seus 
termos constantes são, respectivamente, 1 e −1 2$ .
Observe no gráfico (Figura 7) o ponto onde as re-
tas cruzam o eixo y. Note também que a segunda 
função, cujo coeficiente angular é menor, possui 
uma reta menos inclinada do que a primeira.
Função quadrática
A função quadrática, como o nome sugere, é um 
polinômio cujo maior termo está elevado ao qua-
drado – ou seja, é uma função polinomial de grau 
19
2. Seu gráfico forma uma parábola. Ela geralmente 
possui a forma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥%𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 .
O coeficiente “a” controla a abertura da parábola: 
quanto maior seu módulo, mais “aberta” será a 
curva. Seu sinal controla se a parábola abre para 
cima (positivo) ou para baixo (negativo).
Os coeficientes “a” e “b” irão influenciar o eixo 
de simetria da parábola, ou seja, a localização 
de seu vértice. Já o termo “c” controla a altura 
da parábola, representando o ponto onde ela irá 
interceptar o eixo y.
Além do ponto “c”, onde a parábola intercepta o 
eixo y, temos alguns outros pontos notáveis que irão 
nos ajudar a caracterizar uma função quadrática: 
suas raízes (os pontos onde a função cruza o eixo 
x) e seu vértice (que será seu ponto de máximo 
ou de mínimo).
Outro valor que irá nos auxiliar é o discriminante 
da função, representado pela letra grega delta (Δ). 
Ele é dado por ∆= 𝑏𝑏$ − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 .
O valor do discriminante nos traz informações 
sobre as raízes do polinômio:
∆	> 𝑐𝑐: a função possui duas raízes reais e distintas.
∆= 𝑐𝑐 : a função possui uma raiz real (que coin-
cidirá com seu vértice).
20
∆	função constante e geral-
mente a representamos como 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 , onde k 
é um número real qualquer� Seu gráfico é uma reta 
paralela ao eixo x, cortando o eixo y no ponto k�
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas surgiram a partir de 
relações entre os diferentes lados de um triângulo 
22
retângulo e são utilizadas desde a antiguidade para 
se calcular distâncias e realizar medições�
Uma forma mais moderna de defini-las utiliza uma 
circunferência com centro nos eixos cartesianos 
e raio igual a 1� Ao traçarmos um raio unindo um 
ponto arbitrário da circunferência ao seu centro, 
podemos identificar duas das funções trigonomé-
tricas mais básicas: seno e cosseno�
Figura 10: definindo seno e cosseno na circunferência 
trigonométrica�
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0 0.5
θ
1.0-1.0
-1.0
Raio =1
sen(θ)
cos(θ)
Fonte: elaboração própria�
23
Funções seno e cosseno
Em um triângulo retângulo qualquer, podemos calcular 
o seno e o cosseno de um de seus ângulos agudos, 
vamos chamar de θ (teta), da seguinte maneira:
	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 	
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐
ℎ𝑖𝑖𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑐𝑐
	𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 	
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
Utilizando a circunferência trigonométrica centrada 
na origem e com raio unitário, podemos generalizar 
as funções seno e cosseno que recebem como 
argumento um ângulo� O seno do ângulo será a 
altura do triângulo, ou seja, a projeção do raio no 
eixo y� Já o cosseno será a base do triângulo, ou 
seja, a projeção do raio no eixo x� Observe a figura 
anterior atentamente e note o que acontece com os 
valores do seno e do cosseno conforme o ângulo 
cresce no sentido anti-horário�
Note que é possível calcular o valor das funções 
para qualquer ângulo, inclusive ângulos superiores 
a 360 graus (a função irá se repetir) e negativos 
(variando o ângulo no sentido horário)�
Por serem definidas dentro de uma circunferência, 
tanto o seno quanto o cosseno se repetem a cada 
360 graus� Esse comportamento periódico as torna 
bastante importantes para a modelagem de fenômenos 
oscilatórios, presentes em diversas áreas da física�
24
Figura 11: gráficos das funções seno e cosseno�
360˚ 270˚ 160˚ 90˚ 90˚
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
-0.50
-0.75
-1.00
160˚ 270˚ 360˚ 360˚ 270˚ 160˚ 90˚ 90˚
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
-0.50
-0.75
-1.00
160˚ 270˚ 360˚
Fonte: elaboração própria�
Note também que o seno e o cosseno possuem os 
mesmos valores, porém com um “deslocamento” 
no gráfico� Podemos dizer que o cosseno é igual 
ao seno com 90 graus de “atraso”�
Foram utilizados graus nos gráficos acima para facili-
tar a visualização e compreensão� Porém, as funções 
trigonométricas frequentemente são utilizadas com 
argumentos em radianos� Você pode fazer a conversão 
utilizando as fórmulas:
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑔𝑔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑔𝑔𝑔𝑔	𝑥𝑥	𝜋𝜋
180
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 =
180	𝑥𝑥	𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟
𝜋𝜋 
FIQUE ATENTO
25
Função tangente
Assim como o seno e o cosseno, a tangente tam-
bém vem diretamente de relações entre lados no 
triângulo retângulo� Ela pode ser calculada pela 
fórmula:
𝑡𝑡𝑔𝑔𝜃𝜃 = 	
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐	𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐
Ela também pode ser definida como uma função, 
e ela é calculada a partir das outras duas funções 
trigonométricas já estudadas:
𝑡𝑡𝑔𝑔(𝜃𝜃) = 	
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜃𝜃)
Graficamente, imagine na circunferência unitária 
uma reta paralela ao eixo y cruzando o eixo x em 
x = 1� Prolongue o raio até que ele intercepte essa 
reta� A altura entre o eixo x e essa reta é a tangente 
do ângulo�
26
Figura 12: a tangente na circunferência trigonométrica e o 
gráfico da função tangente�
-0.5
-0.5
0.5
1.0
1.5
0.0
0.0
0.5
θ
1.0 1.5-1.0
-1.0
sen(θ)
cos(θ)
tg(θ)
360˚ 270˚ 160˚ 90˚ 90˚
-2.5
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
tg(x)
-5.0
-7.5
-10.0
160˚ 270˚ 360˚
Fonte: elaboração própria�
Observe na circunferência trigonométrica que 
conforme o ângulo cresce e se aproxima de 90 
graus, a tangente também cresce bastante. Bem 
próximo de 90 graus, seu valor deve ser muito alto 
e em exatamente 90 graus o raio coincide com o 
eixo y, sendo impossível prolongá-lo até a reta 
imaginária. Nesse ponto, a função tangente deixa 
de existir. Algebricamente, temos que , 
ou seja, ocorreria uma divisão por zero na fórmula 
da tangente.
Note no gráfico o comportamento da função: 
conforme o ângulo se aproxima dos valores cujo 
cosseno vale 0, a função cresce vertiginosamente 
em direção ao infinito (positivo ou negativo, depen-
27
dendo do ângulo), para em seguida “ressurgir” na 
direção oposta� Esse ponto onde uma função deixa 
de existir mas para onde os pontos na vizinhança 
convergem são chamados de assíntotas, e serão 
estudados futuramente�
Seno, cosseno e tangente são as funções trigonométri-
cas mais utilizadas� Porém em alguns problemas você 
verá a razão inversa dessas funções aparecendo, e elas 
recebem nomes especiais: secante (razão inversa do 
cosseno), cossecante (razão inversa do seno) e cotan-
gente (razão inversa da tangente)�
Caso tenha interesse em entender melhor suas pro-
priedades e interpretações geométricas, leia mais em:
OLIVEIRA, R� R� de� Secante, cossecante e cotangente� 
Brasil Escola, [s� d�]� Disponível em: https://brasilescola�
uol�com�br/matematica/secante-cosecante-cotangente�
htm� Acesso em 20 abr� 2022�
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS
Uma outra forma de função que representa bem 
diversos fenômenos reais, como a propagação 
de doenças infecciosas ou taxas de juros, é a 
função exponencial� Nela, a variável independen-
te representa um expoente� Uma forma típica de 
SAIBA MAIS
28
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm
função exponencial seria 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	𝑎𝑎&, onde “a” é uma 
constante real�
Considere, por exemplo, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	10' � Note que au-
mentar x em 1 unidade implica em multiplicar o 
valor da função por 10, ou seja, adicionar um zero 
ao seu final� 𝑓𝑓 1 = 10 e 𝑓𝑓 5 = 10000 �
29
Figura 13: gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2% �
1000
800
600
400
200
20
0
4 6 8 10
Fonte: elaboração própria�
Trabalhar com grandezas exponenciais pode ser 
muito trabalhoso, pois envolve números grandes e 
crescimentos difíceis de visualizar� Isso torna muito 
úteis as funções logarítmicas� Vamos entender a 
notação de um logaritmo:
30
𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔$	𝑎𝑎 = 𝑥𝑥	 ⟺	𝑏𝑏+ = 𝑎𝑎
Quando a base (b) é omitida, normalmente en-
tendemos que a base é 10. Em outros contextos, 
podemos ter outras bases: em problemas de 
ciência da computação, normalmente supomos 
base 2. Existe também o logaritmo natural, que é 
o logaritmo de base e, um número transcendental 
como o π (pi), que será estudado futuramente. 
Muitas vezes, 𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔$	𝑥𝑥 será representado como 𝐼𝐼𝐼𝐼	𝑥𝑥 .
Figura 14: Gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥).
12
10
8
6
4
2
0
0 500 1000 1500 2000 2500 35003000 4000
Fonte: elaboração própria�
Os logaritmos também aparecem com frequência 
quando estamos resolvendo equações envolvendo 
funções exponenciais, e até mesmo de maneira es-
pontânea ao modelarmos certos problemas da natu-
reza, como o decaimento de substâncias radioativas�
31
USO PRÁTICO DAS 
FUNÇÕES
Funções irão aparecer na prática em problemas 
de áreas diversas onde temos uma grandeza que 
depende de outra� Vejamos alguns exemplos na 
prática�
ARREMESSO PARA CIMA
Quando arremessamos um objeto para cima, ele 
tende a desacelerar por conta da gravidade até 
que atinja uma altura máxima� Desse ponto em 
diante, ele passará a acelerar para baixo até atingir 
o solo� Podemos modelar esse movimento por 
meio da função: 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠$+𝑣𝑣&𝑡𝑡	 −	
)
*
𝑔𝑔𝑡𝑡* , onde s0 é a 
altura inicial,t é o tempo, v0 é a velocidade inicial 
do objeto e g é a gravidade (considere 10𝑚𝑚/𝑠𝑠& )� 
Se um objeto for atirado a 40metros por segundo 
ao quadrado a partir da altura de 1 metro e meio 
para cima, determine:
a) Sua altura máxima;
b) O instante em que a altura máxima será atingida;
c)	 O momento que o objeto irá chegar ao solo;
d) Esboce o gráfico ilustrando a altura do projétil 
em função do tempo�
32
Primeiramente, vamos colocar os valores dados 
em nossa função e escrevê-la em um formato mais 
convencional:
𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 1,5 + 40𝑡𝑡 +	
−1
2
10𝑡𝑡-
𝑠𝑠 𝑡𝑡 = −5𝑡𝑡& + 40𝑡𝑡 + 1,5
Note que a função é um polinômio de grau 2. 
Seu coeficiente “a” é negativo, confirmando que 
a parábola está virada para baixo, possuindo um 
ponto de máximo. Podemos aplicar diretamente 
a fórmula para obter a coordenada x do vértice 
, que representa o tempo em que ocorreu a 
altura máxima:
𝑡𝑡"#$ = 𝑥𝑥' =
−𝑏𝑏
2𝑎𝑎
𝑡𝑡"#$ =
&'(
)(&+)
= 4	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
Podemos utilizar outra fórmula para determinar Y, 
ou, alternativamente, aplicar na função:
𝑠𝑠"#$ = −5 4) + 40 4 + 1,5
𝑠𝑠"#$ = 81,5	𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠
Como o solo seria a altura 𝑠𝑠 = 0 , o objeto retornar 
ao solo equivaleria à sua trajetória atingir o eixo 
33
das abcissas. Portanto, ele seria uma das raízes do 
polinômio. Vamos utilizar a fórmula de Bháskara:
∆= 𝑏𝑏$ − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 40$ − 4𝑥𝑥 −5 ×1,5 = 1630
𝑡𝑡 = #$± ∆
'(
= #)*± +,-*
#'×/
=)*±)*,-1
+*
𝑡𝑡𝑡 = 8,04𝑠𝑠|𝑡𝑡” = −0,04𝑠𝑠
Naturalmente, o objeto não pode ter caído em 2 
instantes diferentes� Note que uma das raízes é 
negativa: não faz sentido também falar em raiz 
negativa nesse problema� Portanto, descartamos 
essa raiz e ficamos com a positiva�
Figura 15: esboço da trajetória de um projétil�
80
70
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
60
50
40
30
20
10
Fonte: elaboração própria�
34
1) Determine a função representada no gráfico 
abaixo:
Figura 16: gráfico de função a ser determinada (exemplo 
2)�
-270˚ 270˚-180˚ 180˚-90˚
-1
1
0
2
3
-2
-3
90˚
Fonte: elaboração própria�
Pelo comportamento oscilatório, é razoável supor 
que se trata de uma função trigonométrica, como 
seno ou cosseno� Como seu valor máximo coincide 
com o eixo y, sabemos que é o cosseno� Podemos 
notar também o valor 0 nos ângulos de 90 e 270 
graus, tanto positivos quanto negativos�
Porém, o cosseno oscila entre -1 e 1, enquanto a 
função exibida aqui oscila entre -3 e 3� Portanto:
35
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3cos	(𝑥𝑥)
1) Determine a função representada pelo gráfico 
abaixo:
Figura 17: gráfico de função a ser determinada (exemplo 
3)�
-270˚ 270˚-180˚ 180˚-90˚
-2
2
4
6
-4
-6
90˚
Fonte: elaboração própria�
Pela mesma lógica do exercício anterior, temos 
uma função trigonométrica� Porém, dessa vez ela 
está partindo do zero� Portanto, provavelmente 
seria o seno�
36
Também seguindo a lógica do exemplo anterior, 
nossa função está oscilando entre -6 e 6, o que 
significa que nosso seno provavelmente está sendo 
multiplicado por 6�
Mas note o valor da função nos ângulos destaca-
dos� O seno deveria atingir seu valor máximo em 
90 graus e retornar a 0 ao chegar nos 180 graus� 
A função ilustrada atinge o máximo na metade 
do “caminho” e já está de volta ao 0 nos 90 graus� 
Seu ângulo está “se movendo” com o dobro da 
“velocidade”� Portanto, temos:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 6sen	(2𝑥𝑥)
37
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao fim de nossa breve introdução às 
funções� Nós percebemos como funções servem 
para mapear elementos de um conjunto, conheci-
do como domínio, para outro conjunto, conhecido 
como contradomínio� Os pontos do contradomínio 
mapeados para o domínio formam o conjunto 
imagem�
Após entendermos funções, discutimos também 
os gráficos de funções: conjuntos de pontos for-
mados por elementos do domínio e suas respec-
tivas imagens, que podem ser utilizados para se 
representar graficamente uma função� 
Em seguida, estudamos algumas propriedades das 
funções, como sua paridade (que indica diferentes 
tipos de simetria) e algumas relações mais notáveis 
entre os elementos de seus conjuntos (funções 
injetoras, sobrejetoras e bijetoras)�
Estudamos também algumas operações úteis que 
podemos realizar com funções, como invertê-las 
(desde que elas sejam bijetoras) ou combiná-las�
Tendo em mãos todos os conceitos básicos de 
funções, conhecemos alguns exemplos de fun-
ções, como as polinomiais, as trigonométricas e 
as logarítmicas e exponenciais� Todas elas são 
funções que irão aparecer frequentemente em 
38
diversas áreas do conhecimento e serão úteis para 
resolver problemas do mundo real�
Por fim, estudamos alguns exemplos de como se 
trabalhar com funções e analisar seus gráficos�
Não se esqueça de praticar bastante – matemática 
é prática!
39
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
AXLER, S� Pré-cálculo: uma preparação para 
o cálculo com manual de soluções para o 
estudante� 2� ed� Rio de Janeiro: GEN/LTC, 2016� 
[Minha Biblioteca]�
GERSTING, J� L� Fundamentos	matemáticos	
para	a	Ciência	da	Computação: Matemática 
Discreta e suas aplicações� 7� ed� Rio de Janeiro: 
GEN/LTC, 2017� [Minha Biblioteca]�
GUIDORIZZI, H� L� Um	curso	de	Cálculo,	Vol.	1� 
6� ed� Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018� [Minha 
Biblioteca]�
GUIDORIZZI, H� L� Um	Curso	de	Cálculo,	Vol.	2� 
6� ed� Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018� [Minha 
Biblioteca]�
MORETTIN, P� A�; HAZZAN, S�; BUSSAB, W� O� 
Introdução	ao	Cálculo	para	Administração,	
Economia	e	Contabilidade� 2� ed� São Paulo: 
Saraiva, 2018� [Minha Biblioteca]�
RODRIGUES, A� C� D�; SILVA, A� R� H� S� Cálculo	
diferencial	e	integral	a	várias	variáveis� Curitiba: 
InterSaberes, 2016� [Biblioteca Virtual Pearson]�
ROGAWSKI, J�; COLIN, A� Cálculo� 3� ed� Porto 
Alegre: Bookman, 2018� [Minha Biblioteca]�
SILVA, P� S� D� Cálculo	Diferencial	e	Integral� 1� 
ed� Rio de Janeiro: LTC, 2017� [Minha Biblioteca]�
	Introdução
	Conceito de Funções
	Definição de funções
	Gráfico de uma função
	Notação
	Propriedades de uma função
	Função inversa
	Função composta
	Funções e suas representações
	Funções polinomiais
	Funções trigonométricas
	Funções exponenciais e logarítmicas
	Uso prático das funções
	Arremesso para cima
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas