Qual é a equação reduzida da cônica dada por 4x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0? A) Círculo B) Elipse C) Hipérbole D) Parabola

Para determinar a cônica dada pela equação \(4x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0\), precisamos reescrever a equação na forma padrão. 1. Reorganizar a equação: \[ 4x^2 - 4x + y^2 - 4y = 0 \] 2. Completar o quadrado para \(x\): \[ 4(x^2 - x) + y^2 - 4y = 0 \] Para \(x^2 - x\), adicionamos e subtraímos \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\): \[ 4\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + y^2 - 4y = 0 \] Isso se torna: \[ 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + y^2 - 4y = 0 \] 3. Completar o quadrado para \(y\): Para \(y^2 - 4y\), adicionamos e subtraímos \(\left(2\right)^2 = 4\): \[ 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + (y^2 - 4y + 4 - 4) = 0 \] Isso se torna: \[ 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 2)^2 - 5 = 0 \] 4. Isolar a equação: \[ 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 2)^2 = 5 \] Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse: \[ \frac{(x - \frac{1}{2})^2}{\frac{5}{4}} + \frac{(y - 2)^2}{5} = 1 \] Portanto, a cônica representada pela equação original é uma elipse. A resposta correta é: B) Elipse.