Determine o volume gerado ao rotacionar y = x^2 em torno do eixo x de 0 a 1. A) \frac{\pi}{5} B) \frac{1}{3}\pi C) \frac{\pi}{6} D) \frac{\pi}{4}

Para determinar o volume gerado ao rotacionar a curva \(y = x^2\) em torno do eixo \(x\) de \(0\) a \(1\), utilizamos o método dos discos. A fórmula para o volume \(V\) é dada por: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Neste caso, \(f(x) = x^2\), \(a = 0\) e \(b = 1\). Portanto, temos: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx \] Agora, calculamos a integral: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] Assim, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{\pi}{5} \] Portanto, a resposta correta é: A) \(\frac{\pi}{5}\)