Problema 66: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \), podemos usar a propriedade do limite que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Primeiro, vamos fazer uma substituição. Se \( u = 2x \), então quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/2} = \lim_{u \to 0} \frac{2\sin(u)}{u} \] Agora, aplicando a propriedade do limite: \[ \lim_{u \to 0} \frac{2\sin(u)}{u} = 2 \cdot 1 = 2 \] Portanto, o limite é 2. A alternativa correta é: C) 2