Para determinar a derivada \( f'(x) \) da função \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \), utilizamos a regra do quociente, que é dada por: \[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \] onde \( g(x) = x^2 + 1 \) e \( h(x) = x - 1 \). Calculando as derivadas: - \( g'(x) = 2x \) - \( h'(x) = 1 \) Substituindo na fórmula da regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \) - Esta opção está correta, pois corresponde exatamente à derivada que encontramos. b) \( \frac{2(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)} \) - Esta opção não está correta, pois não segue a regra do quociente corretamente. c) \( \frac{1}{x - 1} \) - Esta opção não é a derivada correta. d) \( \frac{(x^2)(2x) - (1)(x - 1)^2}{(1)(x^2)} \) - Esta opção também não está correta. Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \).