Vamos analisar a integral \( \int \tan^{-1}(x) \, dx \) para encontrar a expressão correta para \( F(x) \). A integral de \( \tan^{-1}(x) \) pode ser resolvida por partes. Usando a fórmula de integração por partes, temos: 1. Seja \( u = \tan^{-1}(x) \) e \( dv = dx \). 2. Então, \( du = \frac{1}{1+x^2} \, dx \) e \( v = x \). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int \tan^{-1}(x) \, dx = x \tan^{-1}(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx \] A integral \( \int \frac{x}{1+x^2} \, dx \) pode ser resolvida por substituição, onde \( w = 1 + x^2 \) e \( dw = 2x \, dx \), resultando em: \[ \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \] Portanto, substituindo de volta, temos: \[ \int \tan^{-1}(x) \, dx = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) \( \frac{x}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) - FALSO b) \( x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \) - VERDADEIRO c) \( \tan^{-1}(x) \) - FALSO d) \( \frac{1}{2} \tan^{-2}(x) + C \) - FALSO Portanto, a alternativa correta é: b) \( x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \).