Encontre \( \int x^3 e^x dx \). a) \( e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \) b) \( e^x(x^3 + 3x^2) + C \) c) 0 d) \( e^x(x^3 + 3x^2 - 6) + C \)

Para resolver a integral \( \int x^3 e^x dx \), podemos usar o método de integração por partes, que é dado pela fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x^3 \) (então \( du = 3x^2 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int e^x (3x^2) \, dx \] Agora, precisamos resolver a nova integral \( \int 3x^2 e^x \, dx \) usando novamente integração por partes. Repetimos o processo até que a integral se torne simples o suficiente para resolver. Após realizar as integrais por partes necessárias, chegamos ao resultado final: \[ \int x^3 e^x \, dx = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \)