Para resolver a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) dx \), podemos usar a identidade que relaciona a tangente com a função logarítmica: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] A integral de \( \tan(x) \) é: \[ \int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Agora, vamos calcular a integral definida: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) dx = \left[-\ln|\cos(x)|\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \] 2. Para \( x = 0 \): \[ -\ln|\cos(0)| = -\ln(1) = 0 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) dx = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2) \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{\ln(2)}{2} \)