Determine a solução de \( y' + y = 4 \). a) \( y = 2(1 - e^{-x}) \) b) \( y = 4e^{-x} + C \) c) \( y = -2e^{-x}+ C \) d) \( y = 4e^{-x} - 2 \)

Para resolver a equação diferencial \( y' + y = 4 \), podemos usar o método do fator integrante. A equação é linear e pode ser reescrita como: 1. Identificamos que \( P(x) = 1 \) e \( Q(x) = 4 \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x} \). Multiplicamos toda a equação por \( e^{x} \): \[ e^{x}y' + e^{x}y = 4e^{x} \] A parte esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{x}y) = 4e^{x} \] Integrando ambos os lados: \[ e^{x}y = \int 4e^{x} \, dx = 4e^{x} + C \] Dividindo por \( e^{x} \): \[ y = 4 + Ce^{-x} \] Agora, para encontrar a forma que se encaixa nas alternativas, podemos rearranjar: \[ y = 4 - 2 + Ce^{-x} = 2(1 - e^{-x}) \quad \text{(onde \( C = 2 \))} \] Assim, a solução geral é: \[ y = 2(1 - e^{-x}) + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( y = 2(1 - e^{-x}) \)