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MSA – Análise de Sistemas de Medição – 4ª Edição
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Marcelo Pizzinatto
Composição do Material do Curso
O material do profissional atendente a este curso é composto da apostila e caderno de atividades.
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Propósito do treinamento
O treinamento de MSA – Análise de Sistemas de Medição (Measurement System Analysis) 4ª Edição
do AIAG, tem por objetivo a aplicação da análise dos sistemas de medição por Variável e por Atributo,
com a finalidade de determinar se os sistemas de medição utilizados nos controles são adequados
(tanto para o produto como para o processo), se são confiáveis e se asseguram a melhor decisão
para uma medição.
Índice
Assunto Pg.
Sistema de Medição 4
Sistema de Medição por Variáveis 11
Estabilidade 13
Tendência 18
Linearidade 27
R&R – Método da Amplitude 41
R&R – Método da Média e Amplitude 43
R&R – Método da Análise de Variância - ANOVA 59
Sistema de Medição por Atributos 66
Método da Tabulação Cruzada 68
Aproximação de Detecção de Sinal 79
Apêndice – R&R Não Replicável 82
Anexo 1 – Tabela de d*2 95
Anexo 2 – Distribuição t de Student 96
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Sistema de Medição
Dispositivo de Medição
É qualquer aparato utilizado para obter medições; este termo é frequentemente utilizado para
descrever especificamente os aparatos usados no local onde se situa o processo de produção; inclui
os aparatos tipo passa não passa.
Sistema de Calibração
O sistema de calibração é um conjunto de operações que estabelecem, sob condições controladas, a
relação entre um dispositivo de medição e um padrão rastreável com valor de referência e incertezas
conhecidas. A calibração pode também incluir as etapas para detectar, correlacionar, reportar ou
eliminar através de ajuste qualquer discrepância na exatidão do dispositivo de medição que está
sendo comparado.
O sistema de calibração determina a rastreabilidade do sistema de medição através do uso de
métodos e padrões de calibração. Rastreabilidade é a cadeia de eventos de calibração originária de
padrões de calibração com apropriadas capabilidade metrológica ou incerteza de medição. Cada
evento de calibração inclui todos os elementos necessários incluindo padrões, equipamentos de
medição e testes a serem verificados, métodos e procedimentos de calibração, registros e pessoal
qualificado.
Uma organização pode ter um laboratório interno de calibração que controla e mantém os elementos
dos eventos de calibração. Estes laboratórios internos devem manter um escopo do laboratório com
a lista das calibrações específicas que eles são capazes de realizar bem como o equipamento e o
método / procedimento usados para realizar a calibração. O sistema de calibração é parte do sistema
de gestão da qualidade da organização e por este motivo deve ser incluído nas auditorias internas.
Quando os eventos de calibração são realizados por um fornecedor de serviço de calibração externo,
comercial, ou independente, o fornecedor do serviço de calibração deve ser acreditado na ISO/IEC
17025, ou aceito pelo cliente. Quando um laboratório qualificado não estiver disponível para um dado
equipamento, os serviços de calibração podem ser realizados pelo fabricante do equipamento.
Sistema de Medição
É a coleção de instrumentos ou dispositivos de medição, padrões, operações, métodos, dispositivos
de fixação, software, pessoal, ambiente e premissas usadas para quantificar a unidade de medição
ou corrigir a avaliação da característica sendo medida; o processo completo utilizado para obter
medições.
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Qualidade dos Dados da Medição
A qualidade dos dados de medição é definida pelas propriedades estatísticas das múltiplas medições
obtidas a partir de um sistema de medição operado sob condições estáveis.
 
Se as medições de uma característica estão todas "próximas" ao valor de referência, então a 
qualidade dos dados é dita "alta". 
 
Da mesma forma, se algumas ou todas as medições estiverem “distantes” do valor de referência,
então a qualidade dos dados é dita "baixa". 
 
 
◆ Valor de Referência - Um valor acordado como referência para comparação. O valor de referência
é importante para entender a veracidade de nossas medições. Um valor de referência para uma
característica de uma peça ou produto pode ser determinado sob condições de laboratório ou
usando um instrumento mais preciso para estabelecer uma medida verdadeira. Outros termos
para valor de referência:
⚫ valor de referência aceito ⚫ valor aceito 
⚫ valor convencional ⚫ valor real convencional 
⚫ valor designado ⚫ melhor valor estimado 
⚫ valor padrão mestre ⚫ medida padrão 
 
 
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O Processo de Medição
Elementos do processo de medição
⚫ Necessidades do cliente
⚫ Dono do processo
⚫ Equipamento
⚫ Análise
⚫ Interpretação de resultados
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Há certas propriedades fundamentais
que definem um “bom” sistema de
medição
 
• Discriminação/resolução e sensibilidade adequadas.
Discriminação ou resolução é a menor unidade de leitura do dispositivo de medição.
Sensibilidade é o menor sinal de entrada no dispositivo de medição que resulta em uma saída
detectável.
Para o propósito de medição, os incrementos de medição devem ser pequenos relativamente à
variação do processo ou aos limites da especificação. A conhecida Regra dos Dez, ou Regra do 10
a 1, expressa que a discriminação do instrumento deve dividir a tolerância (ou variação do
processo) em dez ou mais partes. Esta regra prática foi proposta como um ponto de partida mínima
para a seleção de um dispositivo de medição.
• O sistema de medição deve estar em controle estatístico.
Isto significa que, sob condições repetitivas, a variação do sistema de medição é devida somente
a causas comuns e não devida a causas especiais. Esta situação também pode ser descrita como
estabilidade estatística e é mais bem avaliada por meio de métodos gráficos.
• Para controle do produto, a variação do sistema de medição deve ser pequena
quando comparada aos limites de especificação.
Avalia-se o sistema de medição contra a tolerância da característica do produto.
• Para controle do processo, a variação do sistema de medição deve demonstrar
resolução efetiva e ser pequena quando comparada com a variação dos processos de
manufatura.
Avalia-se o sistema de medição contra a variação 6-sigma do processo e/ou contra a variação total
do estudo de análise do sistema de medição (MSA).
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Fontes de Variação
 
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Efeitos dos Erros nas Decisões sobre o
Produto
 
LIE : Limite Inferior de Especificação
LSE: Limite Superior de Especificação
Objetivo: Valor Nominal ou Alvo
 
 
Onde:
 
I Peças ruins sempre serão chamadas de ruins 
 
 
II Decisões erradas possivelmente possam ser tomadas 
 
 
III Peças boas sempre serão chamadas de boas 
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Tipos de Variações Peculiares a um
Sistema de Medição
Geralmente supõe-se que as medições sãoexatas, e frequentemente a análise e conclusões são
baseadas nesta premissa. Uma pessoa pode errar ao imaginar não haver variação no sistema de
medição que afeta cada uma das medições, e subsequentemente, que afeta também as decisões
baseadas nos dados resultantes. O erro do sistema de medição pode ser classificado em cinco
categorias: Tendência, repetitividade, reprodutibilidade, estabilidade e linearidade.
Um dos objetivos da análise do sistema de medição é obter informações relativas aos tipos de
variações (e suas respectivas quantificações) existentes nas medições provenientes de um sistema
de medição, enquanto este interage com o ambiente.
Devemos considerar que a análise dos sistemas de medição inclui sistemas de medição por
variáveis e sistemas de medição por atributos e os métodos aplicados para estes estudos podem se
diferenciar quando tratamos de Sistemas de Medições Replicáveis e Sistemas de Medições Não
Replicáveis.
 
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Sistema de Medições por Variáveis
Variação do Processo de Medição
Para a maioria dos processos de medição a variação total é usualmente descrita como uma
distribuição normal. A probabilidade normal é uma premissa dos métodos padrão utilizados na
análise dos sistemas de medição.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os tipos de variação do sistema de medição podem ser descritos como:
• Variação da Localização
• Variação da Dispersão
Além destas variações, devemos garantir a estabilidade do sistema de medição.
Location
Width
Localização
Dispersão
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Variação do Processo de Medição
Repetitividade
T
en
d
ên
ci
a
Aceitável Não Aceitável
N
ão
A
ce
it
áv
el
A
ce
it
áv
el
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Estabilidade
Estabilidade (ou Deslocamento Lento e Gradual) é a variação total nas medições obtidas com um
sistema de medição aplicado sobre o mesmo padrão mestre ou peças quando medindo uma única
característica no decorrer de um período de tempo prolongado. Isto é, estabilidade é a variação
da tendência em função do tempo.
Possíveis causas para instabilidade são:
• O instrumento necessita de calibração, reduzir o intervalo de tempo entre as calibrações;
• Desgaste do instrumento, equipamento ou dispositivos elétricos;
• Envelhecimento normal ou obsolescência;
• Manutenção precária – ar, energia, hidráulica, filtros, corrosão, ferrugem, limpeza;
• Padrão mestre desgastado ou danificado, erro do padrão;
• Calibração inapropriada ou uso inapropriado do padrão;
• Instrumento de baixa qualidade – projeto ou conformidade;
• Falta de robustez do projeto do instrumento ou do método;
• Métodos diferentes de medição – configuração, carregamento, aperto/fixação, técnica de
operação;
• Deformação/Distorção (da peça ou do dispositivo de medição);
• Mudança ambiental lenta e gradual – temperatura, umidade, vibração, limpeza;
• Violação de alguma premissa - erro na aplicação de uma constante;
• Aplicação – tamanho da peça, posição, habilidade do operador, fadiga, erro de observação
(legibilidade, paralaxe).
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Conduzindo o Estudo
1. Obter um padrão e estabelecer seu valor de referência contra um padrão rastreável. Caso não
haja disponibilidade de um padrão, selecionar uma peça da produção que se situe no meio do
intervalo das medições feitas na produção, denominando-a de peça-padrão para efeito de análise
de estabilidade. O valor de referência conhecido não é necessário para acompanhar a estabilidade
do sistema de medição.
Pode ser desejável ter peças-padrão para os limites inferior, para a zona intermediária e para o
limite superior das medições esperadas na produção. Para cada peça-padrão, são recomendadas
medições e cartas de controle independentes.
2. Medir a peça-padrão periodicamente (diariamente, semanalmente) de três a cinco vezes. O
tamanho e frequência da amostra devem ser baseados no conhecimento do sistema de medição.
Alguns fatores são: quão frequente é necessária a recalibração, quão frequente é necessário o
reparo, quão frequente o sistema de medição é utilizado e quão estressante são as condições
operacionais. As leituras devem ser feitas em horas diferentes para representar os momentos
em que o sistema de medição está sendo utilizado na prática. Isto irá considerar preparação/início
de corrida, o ambiente ou outros fatores que podem variar durante o dia.
3. Coloque os dados numa carta de controle X & R ou X & s mantendo a sequência em função
do tempo.
Análise de Resultados – Gráfica
Estabelecer limites de controle e avaliar condições fora de controle ou de processo instável por meio
de uma análise convencional de uma carta de controle.
Análise de Resultados – Numérica
Além da análise normal de gráficos de controle, não há análise numérica específica para a
instabilidade. Não há indicador para a estabilidade.
Se o processo de medição for estável, os dados podem ser usados para determinar a tendência do
sistema de medição. Além disso, o desvio padrão das medições pode ser usado como uma
aproximação para a repetitividade do sistema de medição.
* Deve-se tomar cautela onde e quando a peça-padrão da produção possa sofrer um desgaste excessivo
devido ao uso contínuo, material e manuseio. Isto pode requerer modificação dessa peça-padrão de produção
para aumentar a sua vida (exemplo: recobrimento eletrolítico com material duro e resistente à abrasão).
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Cálculo dos Limites de Controle
1. Calcular a Amplitude Média ( R ) e a Média das Médias ( X )
Sabendo que:
2. Calcular os Limites de Controle da Média
3. Calcular os Limites de Controle da Amplitude
X1 + X2 + ..... Xn
n
X =
R1 + R2 + ..... Rn
n
R =
RAXLIC 2−=RAXLSC 2+=
RDLSC 4R = RDLIC 3R =
Tamanho do
subgrupo
Número de
subgrupos
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Exemplo – Estabilidade
Para determinar se a estabilidade de um novo instrumento de medição é aceitável, a equipe envolvida
com o processo de produção selecionou uma peça próxima do meio do intervalo de resultados do
processo de produção. Essa peça foi enviada para o laboratório metrológico para determinar o seu
valor de referência, que é 6.01. A equipe mediu essa peça 5 vezes em cada turno de trabalho, durante
quatro semanas (20 subgrupos). Após todos os dados terem sido coletados, foram elaboradas as
cartas X & R.
Carta X /R para Análise da Estabilidade
Figura 9: Análise de carta de controle quanto à Estabilidade
A análise dos gráficos de controle indica que o processo de medição é estável uma vez que não há
causas especiais visíveis.
Uma estimativa para o desvio padrão para estabilidade é 2/ dR do gráfico de controle.
 
M
éd
ia
da
s
M
ed
iç
õe
s
da
Pe
ça
Am
pl
itu
de
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s
M
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Pe
ça
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Estabilidade – Análise dos Resultados
Os resultados devem ser avaliados para determinar se o aparato de medição é aceitável para sua
pretendida aplicação. Um sistema de medição deve estar estável antes de qualquer análise adicional
ser considerada válida.
Erro de Montagem do Dispositivo ou Erro de Fixação
Um projeto de fixação inapropriado ou uma montagem do dispositivo com problemas irá aumentar o
erro de medição. Isso é normalmente encontrado no sistema de medição quando o processo é instável
ou fora de controle. Isto pode ocorrer por uma excessiva variação do dispositivo ou pobre
repetitividade e pobre R&R.
Em geral, a primeira coisa a se fazer quando um sistema de medição aparenta problemas, é analisar
a montagem e a instrução de setup para ter certeza de que o dispositivo está propriamente montado.
Também para medidores automáticos, verificar os programas.
Se problemas foremencontrados nestas áreas, reparar o dispositivo e então retornar aos estudos.
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Tendência (Bias)
Tendência é conhecida como "exatidão". Entretanto, como “exatidão” tem diversos significados na
literatura, seu uso como alternativa para “tendência” não é recomendado.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendência é a diferença entre o valor real (valor de referência) e a média das medições observadas
para uma característica, medições estas, feitas sobre uma mesma peça.
Tendência é a medida do erro sistemático do sistema de medição. É uma parcela do erro total
composta dos efeitos combinados de todas as fontes de variação, conhecidas ou não, cujas
contribuições para o erro total tendem a deslocar, consistente e previsivelmente, todos os resultados
de repetidas aplicações do mesmo processo de medição na ocasião da realização das medições.
Possíveis causas para tendências excessivas são:
• O instrumento necessita de calibração;
• Desgaste do instrumento, equipamento ou dispositivo de fixação;
• Padrão mestre desgastado ou danificado, erro no padrão;
• Calibração inapropriada ou uso inapropriado do padrão;
• Instrumento de baixa qualidade – projeto ou conformidade;
• Erro de linearidade;
• Dispositivo de Medição errado para aquela aplicação;
• Métodos diferentes de medição – ajuste, carga, aperto/fixação, técnica de operação;
• Medição da característica errada;
• Deformação/Distorção (da peça ou do dispositivo de medição);
• Ambiente – temperatura, umidade, vibração, limpeza;
• Violação de alguma premissa, erro na aplicação de uma constante (valor constante);
• Aplicação – tamanho da peça, posição, habilidade do operador, fadiga, erro de observação
(legibilidade, paralaxe).
 
Tendência
Valor de ReferênciaMédia do Sistema de
Medição
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Determinação da Tendência - Método da
Amostra Independente
Condução do Estudo:
O método da amostra independente para determinar se a tendência é aceitável usa o Teste de
Hipóteses:
H0 Tendência = 0
H1 Tendência ≠ 0
A tendência média calculada é avaliada para determinar se a tendência poderia ser devido à
variação aleatória (amostragem).
Em geral o erro de tendência ou linearidade do sistema de medição é aceitável se ele não é
estatisticamente diferente de zero quando comparado com a repetitividade. Consequentemente, a
repetitividade deve ser aceitável quando comparada com a variação do processo, para que esta
análise seja útil.
1. Obtenha uma amostra e estabeleça seu valor de referência contra um padrão rastreável. Se uma
não estiver disponível, selecione uma peça da produção que se situe no meio da amplitude das
medições feitas na produção e a denomine como peça-padrão para a análise de tendência. Meça
a peça n 10 vezes na sala de medições e calcule a média das n leituras. Use esta média como o
"valor de referência".
Pode ser desejável ter peças-padrão para os limites inferior, superior e para a zona intermediária
do intervalo das medições esperadas. Se isso for feito, analise os dados usando um estudo de
linearidade.
2. Com um único avaliador, medir a amostra n 10 vezes de maneira convencional.
Análise de Resultados – Gráfica
Determine a tendência de cada leitura:
Tendência = xi – valor de referência
Plote os dados de tendência como um histograma em relação ao valor de referência. Analise o
histograma utilizando o conhecimento sobre os tópicos desse assunto, para determinar se estão
presentes quaisquer causas especiais ou anomalias. Em caso negativo, continuar com a análise.
Cautela especial deve ser tomada em qualquer interpretação ou análise quando n < 30.
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Análise de Resultados – Numérica
• Calcular a tendência média das n leituras.
• Calcular o desvio padrão de repetitividade:
= =
Se um estudo de Repetitividade e Reprodutibilidade (R&R) estiver disponível (e válido), o cálculo
do desvio padrão da repetitividade deve ser baseado nos resultados desse estudo.
• Determinar se a repetitividade é aceitável pelo cálculo de
%VE = 100 [ VE / VT ] =
Onde a variação total (VT) é baseada na variação esperada do processo (preferencial) ou pela
tolerância da especificação dividida por 6.
Se a %VE é grande, então a variação do sistema de medição pode ser inaceitável. Uma vez que a
análise de tendência assume que a repetitividade é aceitável continuar a análise com um sistema
de medição com uma grande % VE levará a resultados enganosos e confusos..
• Determinar o t estatístico para a tendência:
100 [ / VT ]
repetitividade
repetitividade
n
tendência
médiatendência
n
i
i
== 1
n
r
b
 =
b
tendênciaoestatístic
tendênciasdasmédia
tt

==

r
( )
1
1
2
i
−
−
=
n
XX
n
i
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• Tendência é aceitável ao nível  se:
• O valor p associado com t tendência é menor do que o .
ou
• O zero se situar dentro dos limites de confiança de 1 - , baseado no valor da
tendência:
onde  = n – 1 e,
é encontrado usando a tabela padrão de t-student.
O nível  que é usado depende do nível de sensibilidade necessária para avaliar/controlar
o processo e está associado com a função perda (curva de sensibilidade) do
produto/processo. Deve haver um acordo com o cliente se for usado um nível  que não
seja o valor padrão de 0.05 (95% de confiança).



 



+


 




2–1,2–1,
–   vbvb tTendênciazerotTendência
2–1,
v
t
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Tendência - Exemplo
Um engenheiro de produção estava avaliando um novo sistema de medição para monitorar um
processo que seria utilizado para a medição de uma única característica da peça. Assim o engenheiro
teve somente a tendência do sistema de medição avaliada. Uma única peça foi escolhida com a
amplitude de operação do sistema de medição baseada em variações documentadas do processo. A
peça foi medida em um laboratório para determinar seu valor de referência. A peça foi então medida
dez vezes pelo operador principal.
Foi identificado que a variação do processo (desvio padrão) é de 2,5.
Valor de Referência = 6,00
M
ed
iç
õ
es
Medições Valores Encontrados Tendência
1 5,8 -0,2
2 5,9 -0,1
3 5,9 -0,1
4 5,9 -0,1
5 6,0 0,0
6 6,1 0,1
7 6,2 0,2
8 6,1 0,1
9 6,4 0,4
10 6,3 0,3
média 6,06 0,06
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Calcular o desvio padrão da repetitividade
= 0,1955
Determinar se a repetitividade é aceitável
%VE = 100 [ VE / VT ] =
% VE = 7,8%, que é aceitável portanto, a análise de tendência pode continuar.
Determinar o t estatístico para a tendência
= 0,06182
= 0,9705
Determinar se a tendência é aceitável ao nível de 95% de confiança,  = 0,05.
Se o zero se situar dentro dos limites de confiança de 1 - , em torno do valor da
tendência:
onde v = n – 1 e
é encontrado usando a tabela padrão de t-student.
v = n-1 = 9
t-student = 2,26 para  = 0,05.
Calculando o intervalo de confiança:
0,06 – (0,06182 x 2,26) ≤ zero ≤ 0,06 + (0,06182 x 2,26)
- 0,08 ≤ zero ≤ 0,20
Dado que o valor zero se situa dentro do intervalo de confiança da tendência podemos
assumir que a tendência é aceitável.
.

repetitividade
100 [ / VT ]
repetitividade
n
r
b
 =
b
tendênciaoestatístic
tendênciasdasmédia
tt

==



 



+


 




2–1,2–1,
–   vbvb tTendênciazerotTendência
2–1,
v
t
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Método do Gráfico de Controle
Conduzindo o Estudo
Se um gráfico de X e R é usado para medir estabilidade, os dados também podem ser usados para
avaliar tendência. A análise do gráfico de controle deve indicar que o sistema de medição é estável
antes da tendência ser avaliada.
Obtenha uma amostrae estabeleça seu valor de referência contra um padrão rastreável. Caso não
haja disponibilidade de um padrão, selecionar uma peça da produção que se situa no intervalo das
medições feitas na produção denominando-a de peça-padrão para efeito de análise de tendência.
Meça a peça n 10 vezes na metrologia e calcule a média das n leituras. Use esta média como o
"valor de referência".
Conduza o estudo de estabilidade com g (subgrupos) ≥ 20 subgrupos de tamanho m.
Análise de Resultados – Gráfica
Se a carta de controle indica que o processo é estável e m = 1, usar a análise descrita no método da
amostra independente (ver acima).
Sem ≥ 2, coloque os dados em um histograma relativo ao valor de referência. Analisar o histograma
utilizando o conhecimento sobre os tópicos desse assunto, para determinar se estão presentes
quaisquer causas especiais ou anomalias. Em caso negativo, continuar com a análise.
Análise de Resultados – Numérica
• Obter o X a partir da carta de controle
• Calcular a tendência subtraindo o valor de referência de X .
Tendência = X – valor de referência
• Calcular o desvio padrão de repetitividade usando a Média da Amplitude
onde d*2 é baseado no tamanho do subgrupo (m) e no número de subgrupos da
carta (g). (ver tabela anexa de d*2).
*
2d
R
daderepetitivi =
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• Determinar se a repetitividade é aceitável pelo cálculo de
%VE = 100 [ VE / VT ] =
Onde a variação total (VT) é baseada na variação esperada do processo (preferencial) ou pela
tolerância da especificação dividida por 6.
Se a %VE é grande, então a variação do sistema de medição pode ser inaceitável. Uma vez que a
análise de tendência assume que a repetitividade é aceitável continuar a análise com um sistema
de medição com uma grande % VE pode gerar mal entendido e resultados confusos.
• Determine o valor do t estatístico para a tendência:
• Tendência é aceitável (estatisticamente zero) ao nível  se o zero cair dentro do intervalo de
confiança 1- em torno do valor da tendência:
onde v é encontrado na tabela de d2*
e é encontrado usando tabelas padrão de t-student.
O nível  que é usado depende do nível de sensibilidade necessário para avaliar/controlar o processo
e está associado com a função perda (curva de sensibilidade) do produto/processo. Deve haver um
acordo com o cliente se for usado um nível  que não seja o valor padrão de 0.05 (95% de
segurança).
gm
r
b
 =
2–1,
v
t
100 [ / VT ]
repetitividade
b
tendênciaoestatístic
tendência
tt

==



 



+


 




2–1,2–1,
–   vbvb tTendênciazerotTendência
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Análises dos Estudos de Tendência
Se a tendência é estatisticamente não-zero, procure essas possíveis causas:
• Erro no padrão ou no valor de referência;
• Erro de medição do operador;
• Instrumento desgastado. Isto pode ser visível na análise de estabilidade e sugere um
programa de manutenção ou reconstrução;
• Instrumento construído para dimensão errada;
• Instrumento medindo a característica errada (não era aquela a ser medida);
• Instrumento calibrado inadequadamente. Reveja o processo de calibração;
• Instrumento usado pelo avaliador inadequadamente. Reveja instruções de medição;
• Instrumento com algoritmo de correção incorreto.
Se o sistema de medição tem tendência não nula, quando e sempre que for possível, ele deve ser
ajustado e recalibrado quando necessário, para alcançar tendência zero através da modificação do
“hardware”, do “software” ou de ambos. Se a tendência não pode ser ajustada para zero, ele ainda
pode ser usado, mediante uma modificação no procedimento (por exemplo, corrigindo-se cada leitura
com a tendência usada como fator de correção). Como esse artifício causa um alto risco de erro do
avaliador, deve ser usado unicamente com a aprovação explícita do cliente.
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Linearidade
A diferença de tendência ao longo do intervalo de operação esperado (medição) no equipamento
é chamada linearidade. Linearidade pode ser imaginada como a variação de tendência em relação ao
tamanho (medido).
Um valor não aceitável para a linearidade pode ser consequência de várias peculiaridades do sistema.
Não assuma uma tendência constante.
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Linearidade
Possíveis causas dos erros de linearidade são:
• O instrumento necessita de calibração, reduza o intervalo de tempo entre calibrações;
• Desgaste do instrumento, equipamento ou dispositivos de fixação;
• Envelhecimento normal ou obsolescência;
• Manutenção precária – ar, energia, hidráulica, filtros, corrosão, ferrugem, limpeza;
• Padrão desgastado ou danificado, erro no padrão, mínimo/máximo;
• Calibração inapropriada ou uso inapropriado do padrão;
• Instrumento de baixa qualidade – quanto ao projeto ou quanto à conformidade de
manufatura;
• Falta de robustez do projeto do instrumento ou do método;
• Dispositivo de medição errado para aquela aplicação;
• Métodos diferentes de medição – configuração, carregamento, aperto/fixação, técnica de
operação;
• Deformação/Distorção (da peça ou do dispositivo de medição);
• Mudança ambiental – temperatura, umidade, vibração, limpeza;
• Violação de alguma premissa - erro na aplicação de uma constante;
• Aplicação – tamanha da peça, posição, habilidade do operador, fadiga, erro de observação
(legibilidade, paralaxe).
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Determinação da Linearidade
Conduzindo o estudo
A linearidade pode ser avaliada por meio das seguintes diretrizes:
• Selecionar g  5 peças cujas medidas, devido a variação do processo cobrem o intervalo de
variação do dispositivo de medição.
• Ter cada peça medida por uma inspeção dimensional para determinar seus valores de referência
e para confirmar se o intervalo de operação do dispositivo de medição em pauta foi completamente
coberto.
• Ter cada peça medida m 10 vezes no dispositivo em questão, por um dos operadores que
normalmente usam tal dispositivo de medição.
Selecionar as peças aleatoriamente para minimizar a possibilidade de que o avaliador “relembre” a
tendência durante a realização das medições.
Analise Gráfica dos Resultados
• Calcular a tendência de cada peça para cada medição, e as médias das tendências para cada peça
ijiji erênciavalorderefxTendência )(,, −=
m
tendência
tendência
m
j
ji
i

== 1
,
• Plotar em um gráfico as tendências individuais e as médias das tendências em relação aos valores
de referência
• Calcular e desenhar a linha de melhor ajuste e a faixa de confiança da linha usando a seguinte
equação.
Para a melhor linha usar: i iy a x b= +
onde
ix = valor de referência
iy = média das tendências
e
( )22
1
1
xy x y
gm
a slope
x x
gm
 
−  
 = =
−
  
 
b y ax intercept= − =
Inclinação da reta
Intersecção da reta com o eixo vertical
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Para um dado x0, a faixa de confiança  é:
onde
2
2
i i i iy b y a x ys
gm
− −
=
−
  
inferior:
( )
( )
2
0
2
1
2
0 2,1 2
1
i
gm
x x
x x
b a x t s
gm− −
−
−
    + − +     

superior:
( )
( )
2
0
2
1
2
0 2,1 2
1
i
gm
x x
x x
b a x t s
gm− −
−
−
    + + +     

• O desvio padrão da variabilidade da repetitividade.
Repetitividade = S
Determinar se a repetitividade é aceitável pelo cálculo de:
%VE = 100 [VE/VT] ->
= 100 [Repetitividade / VT]
Onde a variação total (VT) é baseada na variação esperada do processo (preferencial) ou na
faixa de tolerância da especificação dividida por 6.
• Plotar a linha de “tendência = 0” e analisar o gráfico, verificando indicações de causas
especiais e a aceitação da linearidade.
Para a linearidade do sistema de mediçãoser aceitável, a linha de “tendência = 0” deve estar
inteiramente contida entre as linhas da faixa de confiança.
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✓ Análise Numérica dos Resultados
Se a análise gráfica que a linearidade do sistema de medição é aceitável, então a seguinte hipótese
deveria ser verdadeira:
H0: a = 0 inclinação da reta = 0
Não rejeitar se
( )
2, 1 2
2
 
gm
j
a
t t
s
x x
− −=  
 
 
−  
Se a hipótese anterior apresentada for verdadeira, então o sistema de medição tem a mesma
tendência para todos os valores de referência. Para a linearidade ser aceitável, estas tendências
devem ser zero.
Ho: b = 0 intersecção da linha com o eixo vertical (tendência) = 0
Não rejeitar se
( )
2, 1 22
2
 
1
gm
i
b
t t
x
s
gm x x
− −= 
 
 +
 − 
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Exemplo – Linearidade
Um supervisor da fábrica estava implementando um novo sistema de medição no seu processo de
medição. Como parte do PPAP, a linearidade do sistema de medição precisava ser avaliada.
Cinco peças foram escolhidas, de modo a cobrirem o intervalo de operação do sistema de medição;
esta escolha teve por base a variação do processo anteriormente documentada.
Cada uma das peças foi medida por uma inspeção dimensional, para determinar seus valores de
referência. Então, cada uma das peças foi repetidamente medida doze vezes pelo operador líder.
As peças foram selecionadas aleatoriamente durante o estudo.
Dados para um Estudo de Linearidade
Peça 1 2 3 4 5
Valor de
Referência 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
1 2.70 5.10 5.80 7.60 9.10
2 2.50 3.90 5.70 7.70 9.30
3 2.40 4.20 5.90 7.80 9.50
4 2.50 5.00 5.90 7.70 9.30
5 2.70 3.80 6.00 7.80 9.40
6 2.30 3.90 6.10 7.80 9.50
7 2.50 3.90 6.00 7.80 9.50
8 2.50 3.90 6.10 7.70 9.50
9 2.40 3.90 6.40 7.80 9.60
10 2.40 4.00 6.30 7.50 9.20
11 2.60 4.10 6.00 7.60 9.30
12 2.40 3.80 6.10 7.70 9.40
Õ
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Usando uma planilha de dados e um software estatístico, o supervisor gerou o gráfico de
linearidade.
Peça 1 2 3 4 5
Valor de
Referência 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
1 0.7 1.1 -0.2 -0.4 -0.9
2 0.5 -0.1 -0.3 -0.3 -0.7
3 0.4 0.2 -0.1 -0.2 -0.5
4 0.5 1 -0.1 -0.3 -0.7
5 0.7 -0.2 0.0 -0.2 -0.6
6 0.3 -0.1 0.1 -0.2 -0.5
7 0.5 -0.1 0.0 -0.2 -0.5
8 0.5 -0.1 0.1 -0.3 -0.5
9 0.4 -0.1 0.4 -0.2 -0.4
10 0.4 0.0 0.3 -0.5 -0.8
11 0.6 0.1 0.0 -0.4 -0.7
12 0.4 -0.2 0.1 -0.3 -0.6
Tendência
Média 0.491667 0.125 0.025 -0.29167 -0.61667
Estudo de Linearidade – Resultados Intermediários
TE
N
D
ÊN
CI
A
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Estudo de Linearidade – Análise Gráfica
A análise gráfica indica que causas especiais podem estar influenciando o sistema de medição. Os
dados relativos ao valor de referência 4 parecem ser bimodais.
Mesmo que os dados relativos ao valor de referência 4 fossem desconsiderados, a análise gráfica
mostra claramente que este sistema de medição tem um problema de linearidade. O valor de R2
indica que o modelo linear pode não ser um modelo apropriado para estes dados. Mesmo que o
modelo linear fosse aceito, a linha de “Tendência = 0” intercepta os limites da faixa de confiança em
vez de estar contida entre eles.
Neste momento, o supervisor deve iniciar o processo de análise e a resolução do problema que o
sistema de medição apresenta, uma vez que a análise numérica não fornece nenhum conhecimento
adicional.
Contudo, desejando se assegurar que nenhum relato escrito seja deixado incompleto o supervisor
deve calcular os valores de t estatístico (ta e tb) como descrito anteriormente nos cálculos numéricos
e compará-los com o valor t da tabela de student, adotando α = 0,05.
Neste exemplo veremos que os cálculos numéricos confirmam a falta de linearidade.
Tendência Média
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Análise dos Resultados
Erro de Localização (tendência e linearidade)
Critério de Aceitação:
O erro de localização é normalmente definido pela análise da tendência e linearidade.
Em geral, o erro de tendência ou linearidade de um sistema de medição é inaceitável se for
significativamente diferente de zero ou se excederem o erro máximo permissível estabelecido pelo
procedimento de calibração do dispositivo de medição. Nesses casos, o sistema de medição deve ser
ajustado e recalibrado quando necessário, ou uma correção compensatória deve ser aplicada para
minimizar esse erro.
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Repetitividade
Tradicionalmente conhecida como a variabilidade "de um único avaliador". A repetitividade é a
variação das medições obtidas com um instrumento de medição, usado diversas vezes por um
avaliador, ao medir a mesma característica na mesma peça.
Ela é a variação inerente ao equipamento, ou é a capabilidade do próprio equipamento. A
repetitividade é comumente denominada como sendo a variação do equipamento (VE), embora isto
seja uma idéia errada. De fato, a repetitividade é uma variação de causa comum (erro aleatório)
decorrente de sucessivas medições feitas sob condições definidas.
O melhor termo para designar a repetitividade é variação dentro do sistema, pois as condições de
medição são fixas e definidas – são entidades mantidas fixas: peça, instrumento, padrão, método,
operador, ambiente, e certas premissas.
As causas possíveis para a repetitividade precária são:
• Variação dentro da peça (amostra): forma, posição, acabamento superficial, conicidade,
consistência da amostra;
• Variação dentro do instrumento: reparo; desgaste, falha do equipamento ou do dispositivo de
fixação, baixa qualidade ou manutenção precária.
• Variação dentro do padrão: qualidade, classe, desgaste;
• Variação dentro do método: variação no ajuste, técnica operacional, zerar o equipamento,
fixação da peça, aperto do dispositivo, densidade de pontos (a densidade de pontos é a
frequência de pontos de medição numa dada área);
• Variação dentro do avaliador: técnica, posição, falta da experiência, habilidade de
manipulação, treinamento de manuseio, sentimento/sensibilidade pessoal, fadiga;
• Variação dentro do ambiente: pequenas flutuações cíclicas na temperatura, umidade,
vibração, luminosidade e limpeza;
• Violação de alguma premissa – estabilidade, operação apropriada;
• Projeto do instrumento ou do método carente de robustez, uniformidade precária;
• Dispositivo de medição errado para aquela aplicação;
• Deformação/Distorção (instrumento ou peça) falta de rigidez;
• Aplicação – tamanho, posição, erro de observação (legibilidade, paralaxe) da peça.
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Reprodutibilidade
Tradicionalmente conhecida como a variabilidade "entre avaliadores". A Reprodutibilidade é
tipicamente definida como a variação das médias das medições feitas por diferentes avaliadores
usando o mesmo instrumento de medição ao medir uma mesma característica de uma
mesma peça.
Isto é muito real para instrumentos manuais influenciados pela habilidade do operador. Contudo, não
é real para processos de medição em que o operador não se constitui na maior fonte de variação
(por exemplo, sistemas automáticos). Por esta razão, a reprodutibilidade é denominada como a
variação média entre sistemas ou entre condições de medição.
A definição da ASTM vai, além disto, potencialmente ela inclui não somente os diferentes avaliadores,
mas também os diferentes dispositivos de medição, laboratórios e ambiente (temperatura, umidade),
bem como inclui a repetitividade no cálculo da reprodutibilidade.
As causas possíveis para o erro de reprodutibilidade são:
• Variação entre peças (amostras): diferença de médias quando medindo diferentes tipos de
peças A, B, C, etc, usando o mesmo instrumento, operadores, e o mesmo método;
•Variação entre instrumentos: diferença de médias usando instrumentos A, B, C, etc., para as
mesmas peças, mesmos operadores e mesmo ambiente. Nota: neste estudo, o erro de
reprodutibilidade é frequentemente confundido com o erro do método e/ou do operador.
• Variação entre padrões: influência média de diferentes conjuntos de padrões no processo de
medição;
• Variação entre métodos: diferença de médias causada pelo variar da densidade de pontos,
sistemas manuais vs. sistemas automáticos, métodos para zerar o equipamento, fixação da
peça, aperto/fixação, etc;
• Variação entre avaliadores (operadores): diferença de médias entre os avaliadores A, B, C,
etc., causada por treinamento, técnica operacional, habilidade e experiência. Este é o estudo
recomendado para a qualificação do produto e do processo, bem como para a qualificação do
instrumento de medição manual;
• Variação entre ambientes: diferença de médias em medições feitas nos tempos 1, 2, 3, etc,
causada por ciclos ambientais; este é o estudo mais comum para sistemas altamente
automatizados em qualificações de produto e processo;
• Violação de alguma premissa no estudo;
• Projeto do instrumento ou método não robusto;
• Eficácia do treinamento do operador;
• Aplicação – tamanho, posição, erro de observação (legibilidade, paralaxe).
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Como mencionado nas duas últimas definições acima, há diferenças nas definições usadas pela ASTM
e aquelas apresentadas no manual do MSA. A literatura da ASTM focaliza em avaliações inter-
laboratoriais com interesse em diferenças laboratório-a-laboratório, incluindo a possibilidade de
diferentes operadores, dispositivos de medição e ambientes, bem como a repetitividade interna do
laboratório.
Portanto as definições deles englobam essas diferenças. Pelos padrões da ASTM, a repetitividade é a
melhor situação que o equipamento poderá ter sob as condições atuais (um operador, um dispositivo
de medição, um curto período de tempo) e a reprodutibilidade representa as condições operacionais
mais comuns, onde há variação de múltiplas fontes.
 
Reprodutibilidade
Avaliador A C B 
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R&R do Dispositivo de Medição
O R&R ou GRR do dispositivo de medição é uma estimativa da variação combinada da repetitividade
e da reprodutibilidade. Dito em outra forma, o R&R é a variância resultante da soma das variâncias
dentro do sistema e entre sistemas.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
222
& daderepetitiviilidadereprodutibRR  +=
Valor de Referência
R&R
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Determinação da Repetitividade e
Reprodutibilidade
 
O estudo dos Dispositivos de Medição por variáveis pode ser realizado com diferentes técnicas. Três
métodos aceitáveis são:
• Método da Amplitude
• Método da Média e da Amplitude (incluindo o método da Carta de Controle)
• Método ANOVA
Exceto para o método da amplitude, a coleta de dados é muito similar para os estudos. O método
ANOVA é preferido porque ele mede o erro do dispositivo na interação operador - peça, onde os
outros dois métodos não incluem esta variação.
Quando assumimos que a variação da interação operador – peça não existe, os métodos ANOVA e
da Média e Amplitude são equivalentes.
Neste caso podemos realizar qualquer um dos dois estudos, e o método da Média e Amplitude se
torna mais apropriado em função da simplicidade de contas. O método ANOVA necessita do suporte
de software para seus cálculos.
Embora a reprodutibilidade seja usualmente interpretada como a variação entre avaliadores, há
situações em que a variação seja devida a outras fontes. Por exemplo, em alguns sistemas de medição
situados no processo de produção não há a presença de avaliadores humanos.
Se todas as peças forem manuseadas, colocadas em dispositivos de medição e medidas pelo mesmo
equipamento, então a reprodutibilidade é zero; isto é, faz-se necessário somente um estudo da
repetitividade. Mas, se, no entanto, múltiplos dispositivos de fixação forem usados, a reprodutibilidade
acaba sendo a variação entre dispositivos de fixação.
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Método da Amplitude
O método da Amplitude é um estudo modificado do dispositivo de medição por variáveis, que fornece
de forma rápida a variabilidade aproximada das medições. Este método fornece somente uma visão
geral do sistema de medição. Ele não decompõe a variabilidade em repetitividade e reprodutibilidade.
Ele é geralmente usado como uma verificação rápida de possível mudança do GRR.
Esta maneira de abordar a repetitividade e reprodutibilidade tem o potencial de detectar um sistema
de medição inaceitável, em 80% das vezes em que é utilizado com um tamanho de amostra igual a
5, e em 90% das vezes em que é utilizado com um tamanho de amostra igual a 10.
O método da Amplitude geralmente envolve dois avaliadores e cinco peças em cada estudo. Neste
estudo, ambos avaliadores medem uma única vez cada peça. A amplitude para cada peça é o valor
absoluto da diferença entre a medição obtida pelo avaliador A e a medição obtida pelo avaliador B.
A soma das amplitudes é encontrada e a amplitude média ( )R é calculada.
A variabilidade total da medição é encontrada multiplicando-se a amplitude
média por
 
 
Onde d*2 é encontrado no anexo, com m = 2 e g = número de peças.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
d*2
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Exemplo
 
 Peças Avaliador A Avaliador B Amplitude (A, B) 
 1 0.85 0.80 0.05 
 2 0.75 0.70 0.05 
 3 1.00 0.95 0.05 
 4 0.45 0.55 0.10 
 5 0.50 0.60 0.10 
 
 
 
(Desvio Padrão do Processo = 0.0777 de estudo prévio)
%R&R = 100* = 75,7%
 
 
Agora que a %R&R do sistema de medição é conhecida, uma interpretação dos resultados deve ser 
feita. A %R&R é de 75.7% e a conclusão é que o sistema de medição não é adequado. 
 
 
R&R
Desvio Padrão do Processo
( ) 07.0
5
35.0
5
===  iRRe
0.0588
1.19
0.07
1.19
R
d
R
R&R
*
2
=




=





=





=
Amplitude Média
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Método da Média e da Amplitude
O método da Média e da Amplitude ( )R,X é uma abordagem que fornece uma estimativa da
repetitividade e da reprodutibilidade para um sistema da medição. Diferentemente do método da
Amplitude, esta abordagem permite a decomposição da variância do sistema de medição em dois
componentes distintos, repetitividade e reprodutibilidade, mas não fornecerá sua interação de um
sobre o outro*.
Conduzindo o Estudo
Embora o número de avaliadores, de medições repetidas e de peças possa variar a discussão a seguir
representa as condições ótimas para conduzir o estudo. Consulte a folha de coleta de dados para o
GRR. O procedimento detalhado é como segue:
Obtenha uma amostra de n ≥ 10 peças** que represente o intervalo real ou esperado da variação
do processo.
Identifique cada avaliador com uma letra A, B, C, etc. e numere as peças de 1 a n de maneira que
os números não sejam visíveis aos avaliadores.
Faça a calibração do dispositivo de medição, caso isso faça parte dos procedimentos usuais do sistema
de medição. Obtenha do avaliador A as medidas das n peças em ordem aleatória e registre os
resultados na linha 1.
Obtenha dos avaliadores B e C as medidas das n peças, feitas de maneira que um avaliador não
conheça a leitura dos demais; registre os resultados nas linhas 6 e 11, respectivamente.
Repita o ciclo de medições utilizando uma ordem aleatória de medição diferente. Registre os
resultados nas linhas 2,7 e 12. Registrar os dados nas colunas apropriadas. Por exemplo, se a
primeira peça medida for a de número 7, então registre o resultado na coluna identificada como 7.
Se três medições forem necessárias, repita o ciclo e registre os dados nas linhas 3, 8 e 13.
Quando forem peças de tamanho grande ou quando for impossível dispor de todas as peças
simultaneamente, os passos 4 e 5 podem ser substituídos por
• Deixe o avaliador A medir a primeira peça e registre a leitura na linha 1. Deixe o avaliador B
medir a primeira peça e registre a leitura na linha 6. Deixe o avaliador C medir a primeira peça
e registre a leitura na linha 11.
• Deixe o avaliador A repetir a leitura na primeira peça e registre a leitura na linha 2, registre a
leitura repetida do avaliador B na linha 7, e registre a leitura repetida do avaliador C na linha
12. Repita este ciclo e coloque os resultados nas linhas 3, 8 e 13, se três medições repetidas
forem feitas.
Um método alternativo pode ser usado se os avaliadores trabalharem em diferentes turnos. Deixe o
avaliador A medir todas as 10 peças e coloque a leitura na linha 1. Então faça o avaliador A repetir a
leitura em uma ordem diferente e coloque os resultados nas linhas 2 e 3. Faça o mesmo com os
avaliadores B e C.
* O método ANOVA pode ser usado para determinar a interação entre dispositivo de medição e avaliadores,
se existir. **O número total de “amplitudes” gerado deve ser > 15 para um nível mínimo de confiança nos
resultados. Embora o formulário seja projetado com um máximo de 10 peças, esta aproximação não é limitada
a esse número. Como toda técnica estatística, quanto maior o tamanho da amostra, menos variância da
amostragem e risco resultante estarão presentes.
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=X
=CR
Formulário de Coleta de Dados para a Repetitividade e Reprodutibilidade
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Cálculos Numéricos
Os cálculos da Repetitividade e Reprodutibilidade do Dispositivo de Medição são mostrados nas figuras
1 e 2 a seguir. A Figura 1 mostra a folha de coleta de dados em que todos os resultados do estudo
são registrados. A Figura 2 é uma folha de relatório em que toda a informação de identificação deve
ser registrada e todos os cálculos feitos de acordo com a fórmula prescrita.
Os itens seguintes se referem à Figura 1:
1) Subtraia a menor leitura da maior leitura registrada nas linhas 1, 2 e 3; registre o resultado na
linha 5. Faça o mesmo para as linhas 6, 7, e 8; e também para as linhas 11, 12, e 13 registrando
os resultados nas linhas 10 e 15, respectivamente.
2) Os registros feitos nas linhas 5, 10 e 15 são amplitudes e, consequentemente, são sempre valores
positivos.
3) Some a linha 5 e divida o total pelo número de peças amostradas para obter a amplitude média
das medições repetidas feitas pelo primeiro dos avaliadores aR . Faça o mesmo para as linhas 10
e 15 para obter bR e cR .
4) Transfira as médias das linhas 5, 10, e 15 ( aR , bR , cR ) para a linha 17. Some-as e divida pelo
número de avaliadores; registre esse resultado como R (média de todas as amplitudes).
5) Registrar o valor R (valor médio) na linha 19 e multiplique por D4** para obter o limite superior
de controle. Note que D4 é 3.27 se forem adotadas “duas medições repetidas”. O valor do Limite
Superior de Controle (LSCR ) das amplitudes individuais é então registrado na linha 19. O valor
do Limite Inferior de Controle (LICR) para menos do que sete medições repetidas é igual a zero.
6) Com o mesmo avaliador e utilizando a mesma peça, repita todas as leituras que geraram uma
amplitude maior do que o limite calculado LSCR ou descartar tais valores. Recalcule a amplitude
média e recalcular o valor do limite de controle LSCR com base no tamanho da amostra
modificado. Corrija a causa especial que produziu a condição fora do controle. Se os dados foram
plotados e analisados por meio de uma carta de controle, tal como anteriormente mostrado, esta
condição já teria sido corrigida e, portanto não ocorreria aqui.
7) Some os valores das linhas 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, e 13. Divida a soma em cada linha pelo
número de peças que constituem a amostra e registre esses valores na coluna mais à direita
chamada “Média”.
8) Some as médias nas linhas 1, 2 e 3, divida o total pelo número de medições repetidas e registrar
o valor na linha 4 no campo de aX . Repita isso para as linhas 6, 7 e 8; e 11, 12 e 13, e coloque
os resultados nos campos de bX e cX nas linhas 9 e 14, respectivamente.
9) Registre as médias máximas e mínimas nas linhas 4, 9 e 14 nos espaços apropriados existentes
na linha 18 e calcule a diferença. Registre esta diferença no espaço chamado DIFFX na linha 18.
10) Some as medições repetidas feitas por cada avaliador sobre cada uma das peças e dividir esse
total pelo número de medições realizadas (quantidade de medidas repetidas multiplicado pela
quantidade de avaliadores). Registre os resultados na linha 16 nos campos intitulados “média
por peça”.
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11) Subtraia a menor média por peça da maior média por peça e coloque o resultado no campo
intitulado pR na linha 16. pR é a amplitude das médias por peças.
(Os itens seguintes se referem à Figura 2)
12) Transfira os valores calculados de R , DIFFX e pR para os campos a eles destinados no cabeçalho
do formulário.
13) Realize os cálculos indicados na coluna intitulada “Análise na Unidade de Medição” situada no
lado esquerdo do formulário.
14) Faça os cálculos indicados na coluna intitulada “% sobre a Variação Total” situada no lado direito
do formulário.
15) Verifique os resultados para ter certeza de que nenhum erro foi cometido.
** Ver Manual de Referência de Controle de Processo Estatístico (SPC), ou outra fonte de referência estatística para uma
tabela de fatores.
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Formulário para a Repetitividade e Reprodutibilidade
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Gage Repeatability and Reproducibility Report 
Part No. & Name: 
Characteristics: 
Specifications: 
 
From data sheet: R = 0.3417 
Gage Name: 
Gage No: 
Gage Type: 
 
DIFFX = 0.4446 
Date: 
Performed by: 
 
 
pR = 3.511 
Measurement Unit Analysis % Total Variation (TV) 
Repeatability – Equipment Variation (EV) 
 EV = R  KR1 %EV = 100 [EV/TV] 
 = 0.3417  0.5908 Trials KR1 = 100 [0.20188/1.14610] 
 = 0.20188 2 0.8862 = 17.62% 
 3 0.5908 
Reproducibility – Appraiser Variation (AV) 
 AV = ( )2 22 ( ( ) )-DIFFX K EV nr %AV = 100 [AV/TV] 
 = ( ) 2 20.4446 0.5231 ( 0.20188 (10 3) )- = 100 [0.22963/1.14610] 
 = 0.22963 Appraisers 2 3 = 20.04% 
n = parts r = trials KR2 0.7071 0.5231 
Repeatability & Reproducibility (GRR) 
 GRR = 2 2 +EV AV 
 
 %GRR = 100 [GRR/TV] 
 = ( )+2 20.20188 0.22963 Parts KR3 = 100 [= 0.30575/1.14610] 
 = 0.30575 2 0.7071 = 26.68% 
 3 0.5231 
Part Variation (PV) 4 0.4467 % PV = 100 [PV/TV] 
 PV = pR  KR3 5 0.4030 = 100 [1.10456/1.14610] 
 = 1.10456 6 0.3742 = 96.38% 
Total Variation (TV) 7 0.3534 
 TV = 2 2 +GRR PV 8 0.3375 
 
 = ( )+2 20.30575 1.10456 9 0.3249 ndc = ( )1.41 PV GRR 
 = 1.14610 10 0.3146 
 = 1.41(1.10456/0.30575) 
 = 5.094 ~ 5 
 
For information on the theory and constants used in the form see MSA Reference Manual, Fourth edition. 
 
Formulário para Cálculo da Repetitividade e Reprodutibilidade
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Análise Numérica dos Resultados
Os formulários das páginas anteriores, a Folha de Coleta de Dados para a Repetitividade e a
Reprodutibilidade do Dispositivo de Medição e o Relatório de Repetitividade e Reprodutibilidade do
Dispositivo de Medição estabelecem um método para a análise numéricados dados de estudo**. A
análise estimará a “variação” e a “porcentagem relativa à variação do processo” para a variação total
do sistema de medição e seus componentes: a repetitividade, a reprodutibilidade e a variação da
peça. Essas informações devem ser comparadas com resultados da análise gráfica e assim
complementá-la.
No lado esquerdo do Relatório de R&R, na coluna intitulada Análise de Unidade de Medição, o desvio
padrão é calculado para cada componente da variação total.
A repetitividade ou variação do equipamento (VE ou E) é determinada multiplicando a amplitude
média ( )R por uma constante (K1). K1 depende do número de medições repetidas usadas no estudo
do dispositivo de medição e é igual ao inverso de d*2 , que é obtido na tabela do anexo.
d*2 depende do número de medições repetidas (m) e do número de peças multiplicado pelo número
de avaliadores (g) (Supostamente maior do que 15 para o cálculo de K1)
A reprodutibilidade ou variação do avaliador (VA ou A) é determinada multiplicando a máxima
diferença entre as médias dos avaliadores ( DIFFX ) por uma constante (K2 ). K2 depende do número
de avaliadores envolvidos no estudo do dispositivo de medição e é o inverso de d*2 , que é obtido na
tabela do anexo.
d*2 depende do número de avaliadores (m) e g = 1, uma vez que há somente um cálculo de
amplitude. Como a variação entre avaliadores está contaminada pela variação do equipamento, ela
deve ser corrigida pela subtração de uma fração correspondente à variação do equipamento. Por
isso, a variação entre avaliadores (VA) é calculada por:
Onde n = número de peças e r = número de medições repetidas
Se um valor negativo aparecer dentro da raiz quadrada, a variação do avaliador (VA) padrão é zero.
**Os resultados numéricos no exemplo foram desenvolvidos como se fossem computados manualmente, isto é, os resultados foram
carregados e arredondados a um dígito decimal adicional. A análise por programas de computador deve manter os valores intermediários
à precisão máxima da linguagem do computador/programação. Os resultados de um programa de computador válido podem diferir dos
resultados do exemplo na segunda ou mais casa decimal, mas a análise final ficará a mesma.
( ) ( )
nr
VE
KXVA DIFF
2
2
2 –=
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Análise de Resultados
 
A variação do sistema de medição avaliada pela repetitividade e reprodutibilidade (R&R ou M ) é
calculada pela soma dos quadrados da variação do equipamento e da variação entre avaliadores,
tirando, em seguida, a raiz quadrada como segue:
Existem geralmente quatro diferentes abordagens para determinar a variação do processo que será
usada para analisar a aceitabilidade da variação da medição:
1) Sendo a variação do processo
• a variação do processo é calculada em função das peças, dentro do próprio estudo de
R&R,
• usar quando a amostra selecionada representa a variação do processo esperado
(opção preferencial)
A variação da peça (VP ou p ) é determinada multiplicando a amplitude das médias das peças
(Rp ) por uma constante (K3). K3 depende do número de peças utilizadas no estudo do dispositivo
de medição e é igual ao inverso de d*2 , que é obtido na tabela do Apêndice. d*2 depende do
número de peças (m) e (g). Nessa situação, g = 1 uma vez que há somente um cálculo de
amplitude.
A variação total (VT ou T) do estudo é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados
das variações de repetitividade e reprodutibilidade e a variação da peça (VP), como segue:
2) Estimar a variação do processo
• Usar quando não existe amostra suficiente representativa da variação do processo,
mas a variação de um processo existente com uma variação similar esta disponível
Usando informações históricas da variação do processo
Para usar esta abordagem, a informação deve vir de um processo que esta sob controle
estatístico. Se a variação do processo de produção é conhecida e seu valor está baseado em
6σ, então ela pode ser usada no lugar da variação total do estudo (VT) calculada a partir dos
dados do estudo do dispositivo de medição. Isso é feito através de dois cálculos:
( ) ( )22& VAVERR +=
( ) ( )22& VPRRVT +=
1) VT = variação do processo
6.00
( ) ( )22 &–)2 RRVTVP =
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3) Valor objetivo de Pp (ou Ppk)
• Usar quando não estão disponíveis amostras suficientes que representam o
processo e também não existe um processo com uma variação de processos similar
ou é esperado que o novo processo tenha uma variação inferior ao existente
Usando o valor objetivo de Pp ou Ppk
Usando a opção do Pp, use a seguinte VT na análise do R&R:
4) Tolerância de especificação
• Quando o sistema de medição será usado para selecionar peças em um processo
com PP < 1,0.
Usando a tolerância
Quando comparamos o erro do sistema de medição do estudo de R&R com a tolerância, é o
mesmo de compará-lo com a variação do processo com Pp de 1,0. Clientes OEM raramente
esperam Pp abaixo de 1,0 nem aceitam um processo que tenha um baixo nível de
performance. Faz mais sentido comparar a variação da medição com o nível de objetivo de
performance do processo que atenderá o requisito do cliente.
Para usar esta alternativa, use o seguinte VT na análise de R&R:
 
 
VT
LIELSE
s
LIELSELIELSE
Pp
66 6
−
=
−
=
−
=
p
 6Pp
LIELSE
VT
−
=
 6
LIELSE
VT
−
=
( ) ( )22 &– RRVTVP =
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Análise de Resultados
 
Critério de Aceitação– Erro de Dispersão
 
Quando se inicia a avaliação dos sistemas de medição da organização, pode ser útil definir prioridades
para o foco inicial. Desde que a variação total é baseada na combinação da variação do processo e
da variação do sistema de medição, quando o CEP esta sendo aplicado para o controle do processo
e a carta de controle indica que o processo é estável e a variação total é aceitável, o sistema
de medição pode ser considerado aceitável para esse uso e não requer uma reavaliação separada.
Se uma condição de fora de controle ou uma situação de não conformidade for encontrada, a primeira
coisa que deveria ser feita é a avaliação do sistema de medição.
Os critérios para verificar se a variabilidade do sistema de medição é satisfatória dependem da
porcentagem em relação à variabilidade do processo de produção ou ainda, dependem da
porcentagem da tolerância da peça que é consumida pela variação do sistema de medição. Os
critérios de aceitação final para sistemas específicos de medição dependem do ambiente onde vai
operar o sistema de medição e do seu propósito. Os critérios de aceitação final devem ser aprovados
pelo cliente.
Para sistemas de medição cujo propósito seja analisar um processo de produção, uma regra prática
geral para a sua aceitação vai a seguir:
• Erro abaixo de 10% – geralmente considerado um sistema de medição aceitável.
• Erro entre 10% e 30% – pode ser considerado um sistema de medição aceitável com base na
importância de sua aplicação, no custo do dispositivo de medição, no custo de reparo, etc. Deveria
ser aprovado pelo cliente.
• Acima de 30% – considerado não-aceitável, sendo que todo o esforço deve ser feito para
melhorar o sistema de medição.
Além disso, quanto ao número de categorias distintas (ndc), o processo pode ser dividido pelo sistema
de medição em certa quantidade de partes que deve ser maior ou igual a 5.
A aceitação final de um sistema de medição não é consequência de um simples conjunto de índices.
O desempenho do sistema de medição em longo prazo também deverá ser analisado por meio de
análises gráficas feitas no decorrer do tempo.
Cuidado: O uso das diretrizes do R&R como um critério isolado NÃO é uma prática
aceitável para determinar a aceitabilidade do sistema de medição.
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Número de Categorias Distintas
A fase final na análise numérica é a determinação do número de categoriasdistintas (ndc) de
resultados que podem ser confiavelmente distinguidas pelo sistema de medição. Esse é o número de
resultados não-superpostos (intervalo de confiança de 97% que segmentará a esperada variação de
produto.
Dado que a análise gráfica não indicou nenhuma causa especial de variação, a regra prática para a
análise dos resultados da repetitividade e reprodutibilidade do dispositivo de medição (%R&R)
estará a seguir.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )RRVPndc &41.1=
 Quando usamos a abordagem do Pp para o VT, o cálculo do ndc é o seguinte:
VT2 = VP2 + R&R2
logo VP2 = VT2 – R&R2
então ndc = 1,41 VP / R&R
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Análise dos estudos de R&R
Tanto o método da média e amplitude como o método ANOVA fornecem informações relativas às
causas de variação do sistema de medição ou do dispositivo de medição.
Por exemplo, se a repetitividade for maior do que a reprodutibilidade, as causas podem ser:
• O instrumento necessita manutenção,
• O dispositivo de medição pode necessitar de uma revisão de projeto que o torne mais rígido
• O aperto ou a localização da peça no dispositivo de medição requerem aperfeiçoamento,
• Há excessiva variação na mesma peça.
Ainda se a reprodutibilidade for maior do que a repetitividade, então as possíveis causas podem ser:
• O avaliador necessita melhor treinamento tanto no uso como na leitura do dispositivo de
medição.
• As calibrações feitas no “mostrador de leituras” do dispositivo de medição não são claras.
Um dispositivo de fixação (de algum tipo) pode ser necessário para auxiliar o avaliador na utilização
mais consistente do dispositivo de medição.
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Análise Gráfica dos Resultados
A utilização de ferramentas gráficas é muito importante. A escolha de gráficos específicos para uso
depende do projeto experimental empregado para coletar os dados. A verificação sistemática dos
dados para visualização das variações, decorrentes de causas especiais e feita por meio de
instrumentos gráficos, deve preceder qualquer outra análise estatística.
A seguir vão algumas destas técnicas que se mostraram comprovadamente úteis. Os dados
provenientes da análise do sistema de medição podem ser mostrados graficamente por meio de
cartas de controle.
Carta de Médias
As médias das múltiplas leituras feitas por cada um dos avaliadores, sobre cada uma das peças são
plotadas pelo avaliador, que marca no eixo das abscissas o número de identificação da peça. Isto
pode ajudar a determinação da consistência entre avaliadores.
A média das médias e os limites de controle (determinados usando a amplitude média) são traçados
também. A Carta de Médias resultante nos esclarece e informa sobre a “possibilidade de uso” do
sistema da medição.
A área dentro dos limites de controle representa a sensibilidade da medição (“ruído”). Uma vez que
o grupo das peças usadas no estudo representa a variação do processo, aproximadamente metade
ou mais das médias devem cair fora dos limites de controle.
Se os dados mostrarem esta configuração gráfica, então o sistema de medição estará adequado para
detectar a variação peça-a-peça e o sistema da medição poderá gerar informações úteis para analisar
e controlar o processo de produção.
Se menos que metade dessas médias caírem fora dos limites de controle, então o sistema de medição
não dispõe de resolução efetiva ou a amostra não representa a variação esperada do processo.
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Carta de Médias – “superpostas”
Carta das Médias – “Não superpostas”
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Cartas de Amplitude
A carta de controle de amplitudes é usada para determinar se o processo está sob controle. Não
importa quão grande o erro de medição possa ser, os limites de controle incluem esse erro. É por
isso que as causas especiais precisam ser identificadas e removidas antes de qualificar um estudo de
medição como relevante.
As amplitudes das múltiplas leituras feitas por cada avaliador em cada peça são plotadas em uma
carta de amplitude convencional, incluindo-se as marcações da amplitude média e do(s) limite(s) de
controle. A partir da análise dos dados projetados na carta, algumas interpretações úteis podem ser
feitas. Se todas as amplitudes projetadas estiverem sob controle, todos os avaliadores estarão
trabalhando de forma igual, estarão fazendo o mesmo trabalho.
Se um dos avaliadores estiver fora do controle, então o método por ele utilizado difere do método
utilizado pelos demais.
Se todos os avaliadores tiverem alguma amplitude fora do controle, o sistema de medição mostra-se
sensível à técnica utilizada pelos avaliadores e necessita de melhoria para obter dados úteis.
Tampouco a carta deve apresentar configurações gráficas, resultantes dos dados relativos aos
avaliadores ou peças, que denotem instabilidade.
As amplitudes não são dados ordenados na sequência do tempo. A análise de tendência de uma carta
de controle convencional não deve ser utilizada, mesmo que os pontos traçados estejam conectados
entre si por linhas.
A estabilidade é determinada por um ponto ou por alguns pontos situados além do limite de controle;
essas configurações gráficas envolvem variações de um mesmo avaliador, ou variações numa mesma
peça. A análise de estabilidade deve ter significado prático e estatístico.
A carta de amplitude auxilia na verificação:
• Do controle estatístico com respeito à repetitividade
• Da consistência do processo de medição entre avaliadores para cada peça.
 
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Gráfico de Dispersão (Scatter Plot)
As leituras individuais são plotadas por peça e seus avaliadores (veja a figura) para conhecer sobre:
• Consistência entre avaliadores
• Indicação de possíveis leituras discrepantes (pontos fora)
• Interações peça x avaliador
A análise da figura abaixo, nos indica uma dispersão do avaliador B e que o avaliador C pode ter
leituras mais baixas que os outros avaliadores.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método da Análise da Variância - ANOVA
A análise da variância (ANOVA) é uma técnica estatística padrão que pode ser utilizada para analisar
o erro de medição e outras fontes de variabilidade dos dados pertinentes a um estudo do sistema de
medição. Na análise de variância, esta pode ser decomposta em quatro categorias: peças,
avaliadores, interação entre peças e avaliadores, e o erro de replicação devido ao dispositivo de
medição.
Vantagens:
• Capazes de tratar qualquer estrutura de um experimento
• Podem estimar as variâncias mais precisamente
• Extraem mais informações dos dados experimentais (tal como o efeito da interação entre peças
e avaliadores)
Desvantagens:
• Cálculos numéricos mais complexos
• Para interpretar os resultados, exige dos usuários, um certo grau de conhecimento estatístico.
• É aconselhável o uso de computador
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Coleta de Dados
A maneira de coleta de dados é muito importante no método ANOVA. Se os dados não forem
coletados de forma aleatória, poderá ocorrer o surgimento de uma fonte de valores tendenciosa. A
aleatorização é uma maneira simples de garantir um projeto balanceado para (n) peças, (k)
avaliadores, e (r) medições repetidas. Um enfoque comum para obter a aleatorização é identificar o
código A1 numa tira de papel para denotar a medição feita pelo primeiro avaliador na primeira peça.
Fazer isto até A(n) para denotar a medição feita pelo primeiro avaliador na n-ésima peça. Prosseguir
com o mesmo procedimento para o avaliador seguinte, até o k-ésimo avaliador.
Notação similar deve ser usada, onde B1 e C1 denotarão as mediçõesfeitas pelo segundo e terceiro
avaliadores na primeira peça. Uma vez que todas as nk combinações estão identificadas, colocar as
tiras de papel em um recipiente para serem retiradas uma por vez.
A ordem de medição deve ser igual a ordem de retirada dos papéis do recipiente. Após todas as nk
combinações terem sido retiradas do recipiente e as medições realizadas, todos os papéis voltam
para o recipiente para que seja repetido o ensaio. Isto deve ser realizado r vezes.
 
A1, A2,................................................An
B1, B2,................................................Bn
C1, C2,................................................Cn
. . .
. . .
. . .
. . .
K1, K2,................................................Kn
A1, A2,................................................An
B1, B2,................................................Bn
C1, C2,................................................Cn
. . .
. . .
. . .
. . .
K1, K2,................................................Kn
A1, A2,................................................An
B1, B2,................................................Bn
C1, C2,................................................Cn
. . .
. . .
. . .
. . .
K1, K2,................................................Kn
A1, A2,................................................An
B1, B2,................................................Bn
C1, C2,...............................................Cn
. . .
. . .
. . .
. . .
K1, K2,................................................Kn
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Realização do Estudo
Os dados podem ser coletados de maneira aleatória usando um formulário similar ao mostrado a
seguir. Em nosso exemplo existem 10 peças e 3 avaliadores, o experimento foi realizado em sequência
aleatória e o procedimento repetido 3 vezes para cada combinação de peça avaliador.
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Análise Gráfica
As análises gráficas vistas anteriormente em outros estudos podem ser usadas para análise gráfica
dos dados coletados como parte de um estudo ANOVA. Este gráfico pode nos ajudar a confirmar os
resultados sobre a significância da interação (a interação é significativa ou não).
No gráfico a seguir, as médias das medições feitas por cada avaliador em cada peça, são plotadas
para cada peça. A maneira de interpretar o gráfico é se as linhas de cada avaliador forem paralelas,
não existe interação. Ações apropriadas devem ser executadas para eliminar as causas das interações.
No nosso exemplo, as linhas são aproximadamente paralelas, indicando não haver interação
significativa.
Gráfico de Interação
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Cálculos Numéricos
Embora os valores possam ser calculados manualmente, é fortemente recomendável a utilização de
um programa para gerar a tabela normalmente conhecida como Análise de Variância – ANOVA.
A tabela ANOVA é composta de cinco colunas (ver abaixo).
• Coluna Fonte mostra a causa da variação
• Coluna GL, mostra os graus de liberdade associados com a fonte
• Coluna SQ, ou soma dos quadrados, mostra o desvio em torno da média da fonte
• Coluna QM, ou quadrado médio, mostra a soma dos quadrados dividida pelos graus de
liberdade.
• Coluna do quociente F mostra o resultado do cálculo feito para determinar a significância
estatística do valor da fonte.
A tabela ANOVA é usada para decompor a variação total em quatro componentes: peça, avaliadores,
interação entre avaliadores/peças e repetitividade devida ao instrumento.
Para efeito de análise, os componentes com variância negativa, têm este seu valor zerado.
As informações geradas pela tabela ANOVA são utilizadas para determinar as características do
sistema de medição, da mesma maneira como ocorre no método da média e amplitude.
Fonte
GL
(graus de liberdade)
SQ
(soma quadrática)
QM
( SQ/ GL)
F calculado
(QMAP / QME)
Avaliador 2 (a-1) 3,1673 1,58363 ---
Peças 9 (p-1) 88,3619 9,81799 ---
Avaliador por
peça 18 (p-1)x(a-1) 0,3590 0,01994 0,434
Equipamento 60 (p x a x (r-1)) 2,7589 0,04598 ---
Total 89 ((p x a x r)-1) 94,6471 --- ---
Para o nível de significância α = 0,05  F crítico=1,78 (dado da tabela de F de Snedecor)
(Para o calculo do GL temos que a – avaliador, p- peças – r – repetição das medições)
A interação avaliador x peça é significativa se F calculado >F crítico.
Neste caso a interação não é significativa, pois F calculado é menor que o F crítico.
Veja na próxima página que a % Variação Total devido a Interação é 0.
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Análise ANOVA – Porcentagem de Variação e Contribuição 
(A estimativa da variância está baseada num modelo sem interação)- 
Estimativa 
da Variância 
Desvio 
Padrão () 
% da 
Variação Total 
2 = 0,039973 
(Repetitividade) VE = 0,199933 18,4 
2 = 0,051455 
(Avaliador) VA = 0,226838 20,9 
2 = 0 
(Interação) INT = 0 0 
Sistema = 0,09143 
(2 + 2 + 2 ) R&R = 0,302373 27,9 
2 = 1,086446 
(Peça)
Variação Total
VP = 1,042327 96,0 
VT = 1,085 100,0 
 
 
( ) 44,8610,302371,04233 1,41ndc == 
 
22&)( VPRRVTtalVariaçãoTo += 
 








=
(total)
es)(Component
σ
σ
100Total Variação da % 








=
2
(total)
2
es)(Component
σ
σ
100 Total) Variância à relação (em ãoContribuiç da % 
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Comparação do cálculo do RR pelos Métodos
ANOVA e da Média e Amplitude
Método
Limite Inferior
Int. Conf.
90%
Desvio Padrão
Limite Superior
Int. Conf. 90%
% da Variação
Total
R&R- (Média e 
Amplitude)* 
 
VE 0,175 0,202 0,240 17,6 
VA 0,133 0,230 1,016 20,1 
INTERAÇÃO - na - na 
R&R 0,266 0,306 0,363 26,7 
VP 1,104 96,4 
R&R- (ANOVA) 
VE 0,177 0,200 0,231 18,4 
VA 0,129 0,227 1,001 20,9 
INTERAÇÃO - 0 - 0 
R&R 0,237 0,302 1,033 27,9 
VP 1,042 96,0 
*No método da média e amplitude, o componente denominado interação não pode ser estimado.
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Sistemas de Medição por Atributos
Os sistemas de medição por atributos constituem a classe de sistemas de medição em que o valor de
medição é único, de um número finito de categorias.
Isso contrasta com o sistema de medição por variáveis, que podem gerar valores numa escala
contínua. O mais comum desses sistemas por atributos é o calibrador passa/não passa que apresenta
unicamente dois resultados possíveis. Outros sistemas para atributos, por exemplo: padrões visuais,
podem gerar de cinco a sete categorias distintas, como: muito bom, bom, suficiente, pobre, muito
pobre. As análises descritas anteriormente não podem ser usadas para avaliar tais sistemas.
Cenário
O processo de produção está sob controle estatístico e tem índices de desempenho Pp = Ppk = 0.5,
o que é inaceitável. Devido ao processo estar produzindo produtos não-conformes, uma ação de
contenção é necessária para excluir as peças inaceitáveis da linha de produção.
 
 
Exemplo de Processo com Pp = Ppk = 0,50
LSE = 0,45 LIE = 0,55
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Como atividade de contenção, a equipe do processo escolheu um dispositivo para atributo que
compara cada peça com os limites; aceita a peça se os limites são satisfeitos, caso contrário, rejeita
a peça (passa – não passa). Muitos dos dispositivos deste tipo são ajustados para aceitar ou rejeitar
com base num conjunto de peças padrão. Ao contrário de um dispositivo para variável, o dispositivo
para atributo não indica quão boa ou quão ruim é uma determinada peça, ele somente indica se a
peça será aceita ou não (isto é 2 categorias).
 
 
 
 
 
 
 
“Áreas Cinzentas” Associadas ao Sistema de Medição
 
Todo calibrador passa/não passa terá as áreas cinzentas mostradas no gráfico acima. A interpretação
é igual às dosgráficos Tipos I, II, III ilustrados anteriormente. Avaliadores podem discordar nas áreas
cinzentas (II).
Uma vez que a situação não foi analisada por uma equipe, eles necessitam estudar o sistema de
medição. Entretanto para endereçar as áreas de risco ao redor dos limites de especificação, a equipe
escolheu aproximadamente 25% das peças próximo ao limite inferior de especificação e 25% próximo
ao superior. Em ambos os casos, quando a equipe identificar que é difícil encontrar esta quantidade
de peças próximas aos limites, ela pode decidir reduzir este número, sabendo que isto pode causar
um aumento na variabilidade dos resultados.
Se não é possível fabricar peças próximas aos limites, a equipe deveria reconsiderar o uso de um
método de controle por atributos. Como apropriado para cada característica, as peças deveriam ser
medidas independentemente com um dispositivo por variáveis com uma variação aceitável. (exemplo
uma tridimensional). Quando a medição verdadeira do atributo não puder ser medida por um
dispositivo por variável use outra maneira com um especialista para pré-determinar quais amostras
são boas ou não.
Três avaliadores são usados, com cada avaliador tomando três decisões na mesma peça. O número
(1) é associado a uma decisão de aprovação da peça e o (0) a de rejeição.
LSE = 0,45 LIE = 0,55
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Análise de Testes de Hipóteses Método da
Tabulação Cruzada
Uma vez que a equipe desconhece a decisão de referência para as peças, eles desenvolveram um 
método da tabulação cruzada para comparação entre os avaliadores. 
O processo da tabulação cruzada analisa a distribuição dos dados para duas ou mais categorias. 
 
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Peça A-1 A-2 A-3 B-1 B-2 B-3 C-1 C-2 C-3 Referência Valor de
Referência
Código
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,476901 +
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,509015 +
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,576459 -
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,566152 -
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,570360 -
6 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0,544951 X
7 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0,465454 X
8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,502295 +
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,437817 -
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,515573 +
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,488905 +
12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,559918 x
13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,542704 +
14 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0,454518 x
15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,517377 +
16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,531939 +
17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,519694 +
18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,484167 +
19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,520496 +
20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,477236 +
21 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0,452310 x
22 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0,545604 x
23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,529065 +
24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,514192 +
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,599581 -
26 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0,547204 x
27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,502436 +
28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,521642 +
29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,523754 +
30 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,561457 x
31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,503091 +
32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,505850 +
33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,487613 +
34 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0,449696 x
35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,498698 +
36 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0,543077 x
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,409238 -
38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,488184 +
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,427687 -
40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,501132 +
41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,513779 +
42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,566575 -
43 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0,462410 x
44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,470832 +
45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,412453 -
46 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,493441 +
47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,486379 +
48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,587893 -
49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,483803 +
50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,446697 -
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O primeiro passo é a sumarização dos dados observados. Analisando a tabela anterior, a equipe
examinou por pares de observadores, contando onde eles concordam e onde eles não concordam
para cada avaliação.
Foram encontradas nas avaliações:
34 vezes onde A-1 = 1 e B-1 = 1
32 vezes onde A-2 = 1 e B-2 = 1
31 vezes onde A-3 = 1 e B-3 = 1
Totalizando 97 acordos.
A tabela abaixo foi criada para sumarizar a distribuição de dados para o par de observadores A*B.
Tabelas similares foram preparadas para B*C e A*C.
 B 
Total 0 1 
A 0 44 6 50 
 (acordos) (desacordos) 
 1 3 97 100 
 (desacordos) (acordos) 
Total 47 103 150 
 
Cálculo da Contagem Esperada:
O segundo passo é estimar a expectativa de distribuição dos dados. Qual a probabilidade que um par
de observadores irão concordar ou discordar em uma observação pura por chance? Em 150
observações o observador A rejeitou a peça 50 vezes e o observador B rejeitou a peça 47 vezes:
PB0 = 47/150 = 0.313
PA0 = 50/150 = 0.333
Uma vez que os dois observadores são independentes, a probabilidade de eles concordarem que a
peça é ruim é dada por:
p(A0 ∩ B0) = pA0 x pB0 = 0.104
O número de vezes que é esperado que o observador A e o observador B concordem que a peça é
ruim é estimada pela multiplicação da probabilidade combinada pelo número de observações:
150 x (pA0 x pB0) = 150 x (47/150) x (50/150) = 15.7
Portanto a contagem esperada de pA0 x pB0 = 0,104 x 150 = 15,7
A equipe fez uma estimativa similar para cada par de categorias de cada par de observadores e
completou a seguintes tabelas:
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Resultados do Estudo de Tabulação Cruzada
 
Tabulação Cruzada A*B 
 B 
Total 0 1 
A 0 Contagem observada 44 6 50 
 Contagem esperada 15,7 34,3 50,0 
 1 Contagem observada 3 97 100 
 Contagem esperada 31,3 68,7 100,0 
Total Contagem observada 47 103 150 
 Contagem esperada 47,0 103,0 150,0 
 
Tabulação Cruzada B*C 
 C 
Total 0 1 
B 0 Contagem observada 42 5 47 
 Contagem esperada 16,0 31,0 47,0 
 1 Contagem observada 9 94 103 
 Contagem esperada 35,0 68,0 103,0 
Total Contagem observada 51 99 150 
 Contagem esperada 51,0 99,0 150,0 
 
Tabulação Cruzada A*C 
 C 
Total 0 1 
A 0 Contagem observada 43 7 50 
 Contagem esperada 17,0 33,0 50,0 
 1 Contagem observada 8 92 100 
 Contagem esperada 34,0 66,0 100,0 
Total Contagem observada 51 99 150 
 Contagem esperada 51,0 99,0 150,0 
 
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Para determinar o nível destes acordos, a equipe usa o kappa (de Cohen) que mede o acordo entre
as avaliações. O valor 1 indica perfeito acordo. O valor 0 indica que não existe acordo.
O kappa é a medida da concordância cruzada dos avaliadores que testa se as contagens nas células
em diagonal (as peças que receberam a mesma classificação) diferem daquelas esperadas somente
por acaso.
Sejam, po = a soma das proporções observadas nas células em diagonal.
pe = a soma das proporções esperadas nas células em diagonal
então,
1
o e
e
p p
kappa
p
−
=
−
Na tabulação cruzada dos Avaliadores A*B do exercício acima temos que:
Cálculo das proporções observadas e esperadas:
O cálculo da proporção observada (po) é efetuado pela divisão das quantidades observadas na
diagonal da tabela em relação à quantidade total, logo:
po = (44+97) / 150= 0,94
O cálculo da proporção esperada (pe) é efetuado pela divisão das quantidades esperadas na
diagonal da tabela em relação à quantidade total, logo:
pe = (15,7+68,7)/ 150 = 0,563
Cálculo do kappa
O cálculo do kappa é dado pela seguinte fórmula:
1
o e
e
p p
kappa
p
−
=
−
Logo o cálculo do Kappa do avaliador A em relação ao avaliador B é:
kappa A*B= (0,94 - 0,563) / ( 1 – 0,563) = 0,86
Esta mesma lógica de cálculo é utilizada para calcular o valor do kappa entre os avaliadores (A*B;
A*C; B*C) e a de cada avaliador em relação a referência (A* referência; B*referência; C* referência).
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Regra de Avaliação do Kappa
Uma regra geral prática é que os valores de kappa maiores do que 0,75, indicam concordância de
boa para excelente (com máximo de kappa = 1); valoresmenores do que 0,4 indicam concordância
precária.
Após calcular as medidas de kappa para os avaliadores, temos:
Kappa A B C
A – .86 .78
B .86 – .79
C .78 .79 –
Esta análise indica que todos os avaliadores mostram uma boa concordância entre si.
Esta análise é necessária para determinar se existem diferenças entre os avaliadores, porém ela nada
diz a respeito de quão bem o sistema de medição separa as peças boas de ruins. Para esta análise a
equipe avaliou as peças utilizando um sistema de medição por variáveis, e ainda utilizou os resultados
aí gerados para estabelecer a decisão de referência.
De posse dessas novas informações, foi desenvolvido outro conjunto de tabulações cruzadas para
comparar a decisão de cada avaliador contra a decisão da referência, sendo portanto calculada a
Tabulação Cruzada de A x Referência, B x Referência e C x Referência, e calculando também a
medida Kappa para determinar a concordância de cada avaliador contra a decisão de referência.
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Para uma análise adicional também são efetuados os seguintes cálculos, que dá diretrizes aos
resultados de cada um dos avaliadores:
• Eficácia
• Porcentagem de falhas
• Porcentagem de alarme falso
Estes cálculos serão feitos para cada avaliador conforme descrito a seguir.
Considerando a tabela anterior de dados, temos que:
0 – representa o laudo reprovado
1 – representa o laudo aprovado
Existem quatro situações que devemos considerar:
• a = produtos que foram considerados aprovados pelo avaliador quando deviam ser realmente
aprovados. Avaliador deu laudo aprovado (1) e referência era aprovado (1).
• b= produtos que foram considerados reprovados pelo avaliador quando deviam ser
aprovados. Avaliador deu laudo reprovado (0) e referência era aprovado (1). É a nossa
amostra de Alarmes Falsos na produção.
• c = produtos que foram considerados aprovados pelo avaliador quando deviam ser
reprovados. Avaliador deu laudo aprovado (1) e referência era reprovado (0). É a nossa
amostra de Falhas na produção.
• d = produtos que foram considerados reprovados pelo avaliador quando deviam ser realmente
reprovados. Avaliador deu laudo reprovado (0) e referência era reprovado (0).
Com os dados acima podemos calcular a Probabilidade de Falha, Alarme Falso e Eficácia de cada
avaliador ou do sistema de medição como um todo.
Probabilidade de Alarme Falso
Alarme Falso ocorre quando o avaliador considera um produto reprovado quando o mesmo está
conforme.
Para isso, devemos ver na tabela apenas as linhas que possuem como referência correspondente o
valor 1 (peça conforme) e contamos quantas decisões erradas foram tomadas por cada um dos
avaliadores, ou seja, quantos 0 (zeros) aparecem quando deveriam ter aparecido valor 1. Por fim,
dividimos esse valor encontrado pelo total de vezes que produtos conformes foram medidos, que na
nossa tabela basta contar quantas linhas possuem 1 como referência e multiplicar pelo número de
análises feitas pelo avaliador (neste caso, 3).
Número total de análises em produtos conformes:
= Qtde de produtos conformes x nº de análises por produto
Probabilidade de Alarme Falso
= Qtde de reprovações de produtos conformes / nº total de análises em produtos conformes = b /
(a+b)
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Probabilidade de Falha
Para o cálculo da probabilidade de Falha, segue-se o mesmo procedimento do Alarme falso, só que
agora usamos as linhas com referência 0 (reprovado) e contamos quantos desses produtos receberam
laudo aprovado (1), já que desejamos verificar a porcentagem de produtos não-conformes aprovados.
Número total de análises em produtos não conformes:
= Qtde de produtos não conformes x nº análises por produto
Probabilidade de Falha
= Qtde de aprovações de produtos não conformes / nº total de análises em produtos não conformes
= c / (c+d)
Probabilidade de Eficácia
O cálculo da Eficácia é bem parecido. Precisamos considerar todos os acertos, logo, precisamos contar
quantas vezes produtos conformes foram considerados aprovados pelo avaliador e quantas vezes
produtos não-conformes foram considerados reprovados pelo avaliador. É importante ressaltar que
as medições duvidosas não podem ser consideradas como acertos, então devemos somar todas as
células em que apareceu 1 na referência 1 com as células que possuíam 0 na referência 0 e não
esquecer de subtrair as decisões certas que ocorreram em um produto duvidoso. Por exemplo, no
avaliador C obtivemos 93 produtos conformes aprovados e 42 produtos não-conformes reprovados,
ou seja, 135 acertos no total. Olhando na tabela, 10 produtos foram considerados duvidosos, pois
em alguma das análises feita no produto houve decisão errada. Multiplicando 10 x 3, obtemos o
número de análises duvidosas. E, assim, subtraindo a quantidade de erros efetivos ocorridos nesses
produtos, sejam eles, falhas ou alarmes falsos, que no nosso caso foram 15, obtemos os acertos
duvidosos. Concluindo temos 30 - 15 = 15 “acertos” duvidosos e 93 + 42 – 15 = 120 acertos efetivos.
A probabilidade é encontrada dividindo pelo número total de medições, ou seja 150, o que nos dá
120/150 = 80%.
Número total de análises:
= Qtde de produtos x nº análises por produto
Qtde. acertos duvidosos:
= (Qtde produtos duvidosos x nº análises por produto) – Qtde de erros
Probabilidade de Eficácia:
= (Qtde aprovações de produtos conformes + Qtde reprovações de produtos não-conformes –
acertos duvidosos) / número total de análises
= (a + d – acertos duvidosos) / (a + b + c + d)
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Cálculos:
Classificação pelo avaliador A
Conforme
(aprovado pelo
Avaliador)
Não-conforme
(reprovado pelo
avaliador)
Total
Classificação real
pelo coordenador
Produto
conforme a = 102 - 5 = 97 b = 5 34 *3 = 102
Produto
não-
conforme
c = 3 d = 48 - 3 = 45 16 * 3 = 48
P(Eficácia) Acertos duvidosos: 8 * 3 - 8 = 16(97 + 45 - 16) /150 = 0,84 ou 84%
P(Falha) 3 / 48 = 0,0625 ou 6,25%
P(Alarme Falso) 5 / 102 = 0,049 ou 4,9%
Classificação pelo avaliador B
Conforme
(aprovado pelo
Avaliador)
Não-conforme
(reprovado pelo
avaliador)
Total
Classificação real
pelo coordenador
Produto
conforme
a = 102 - 2 = 100 b = 2 34 *3 =
102
Produto
não-
conforme
c =3 d = 48-3 = 45
16 * 3 =
48
P(Eficácia) Acertos duvidosos: 5 * 3 - 5 = 10
(100 + 45 - 10) /150 = 0,9 ou 90%
P(Falha) 3 / 48 = 0,0625 ou 6,25%
P(Alarme Falso) 2 / 102 = 0,0196 ou 1,96%
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Classificação pelo avaliador C
Conforme
(aprovado pelo
Avaliador)
Não-conforme
(reprovado pelo
avaliador)
Total
Classificação real
pelo coordenador
Produto
conforme
a = 102 - 9 = 93 b = 9 102
Produto
não-
conforme
c = 6 d = 48 - 6 = 42 48
P(Eficácia)
Acertos duvidosos = 10 * 3 - 15 = 15
(93 + 42 - 15) /150 = 0,80 ou 80%
P(Falha) 6 / 48 = 0,125 ou 12,5%
P(Alarme Falso) 9 / 102 = 0,0882 ou 8,82%
A seguir mostramos uma tabela que nos dá as diretrizes aos resultados de cada um dos avaliadores:
Decisão
Sistema de Medição Eficácia
Porcentagem
de Falhas
Porcentagem
de Alarme
Falso
Aceitável quanto ao
avaliador  90 %  2 %  5 %
Marginalmente aceitável
quanto ao avaliador -
pode necessitar
aperfeiçoamento
 80 %  5 %  10 %
Inaceitável quanto ao
avaliador - necessita
aperfeiçoamento
< 80 % > 5 % > 10 %
 
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Tamanho da amostra
A questão que sempre surge: Quantas peças deveriam ser usadas no estudo?
Para o desânimo da maior parte das pessoas, a resposta é “suficiente”. O propósito de qualquer
estudo de sistema de medição (variáveis ou atributo) é entender as propriedades do sistema de
medição. Um número suficiente de amostras deveriam ser selecionadas para cobrir a faixa de
operação. Com um sistema de medição por atributos, as áreas de interesse são áreas do tipo II. Se
a capabilidadeinerente do processo é boa (alto Cp, Cpk ou PP, Ppk) então em uma pequena
amostragem aleatória pode não ter peças na área II. Isso quer dizer se a capabilidade do processo
melhora a amostragem aleatória requerida para o estudo de atributo deveria ser maior.
No exemplo acima os índices Pp e Ppk = 0,5 (o que representa 13% de peças não conformes), a
amostra selecionada foi 50.
Uma abordagem alternativa é uma amostragem maior “dirigida” onde peças são selecionadas
especificamente das áreas tipo II.
Preocupações
1) Não há critério (embasados na teoria) de decisão sobre o risco aceitável. As diretrizes
apresentadas até aqui são heurísticas, e desenvolvidas baseadas na opinião individual sobre
aquilo que será admitido como “aceitável”. Os critérios para decisão final devem ser baseados
no impacto para o processo e o cliente final.
2) A análise anteriormente apresentada é dependente dos dados. Por exemplo se os índices do
processo forem Pp = Ppk = 1,33, então todas as decisões seriam corretas desde que nenhuma
peça caísse na região II do sistema de medição.
Exemplo de Processo com Pp = Ppk = 1,33
Com esta nova situação seria concluído que todos os avaliadores são aceitáveis pois não
haveria erro de decisão.
 
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Aproximação de Detecção de Sinal
Como abordagem alternativa pode-se usar a teoria da Detecção do Sinal para determinar
aproximadamente a amplitude da região II (Áreas Cinzentas), e a partir daí, determinar a
Repetitividade e Reprodutibilidade do Dispositivo de medição (R&R). Uma aproximação da largura de
duas zonas Cinzas (II) pode ser obtida se houver valores de referência para as peças estudadas. Uma
tabela é construída e é ordenada por valores de referência. A coluna Código tem três indicadores:
+ Todos avaliadores concordam e aceitam a peça como Boa.
- Todos avaliadores concordam e rejeitam a peça como Ruim.
x Há desacordo entre avaliadores.
 
Valor Ref. Código Valor Ref. Código
0.599581 - 0.503091 +
0.587893 - 0.502436 +
0.576459 - 0.502295 +
0.570360 - 0.501132 +
0.566575 - 0.498698 +
0.566152 - 0.493441 +
0.561457 x 0.488905 +
0.559918 x 0.488184 +
0.547204 x 0.487613 +
0.545604 x 0.486379 +
0.544951 x 0.484167 +
0.543077 x 0.483803 +
0.542704 + 0.477236 +
0.531939 + 0.476901 +
0.529065 + 0.470832 +
0.523754 + 0.465454 x
0.521642 + 0.462410 x
0.520496 + 0.454518 x
0.519694 + 0.452310 x
0.517377 + 0.449696 x
0.515573 + 0.446697 -
0.514192 + 0.437817 -
0.513779 + 0.427687 -
0.509015 + 0.412453 -
0.505850 + 0.409238 -
 
Observando a tabela, Nota-se que as Áreas
Cinzentas (II) são indicadas pelos códigos x.
A tabela foi construída com três avaliadores
e 50 peças checadas três vezes por cada
avaliador. O Ppk de 0.5 (inaceitável) do
cenário ainda se aplica.
 
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Passos:
1. Determine a tolerância (faixa de especificação):
LSE = 0,55
LIE = 0,45
Então a tolerância = LSE-LIE = 0,10. Este valor será usado para o cálculo do R&R.
Diretriz:
• Se Ppk > 1, compare o sistema de medição com o processo,
• Se Ppk < 1, compare o sistema de medição com a tolerância.
Esta regra nos leva a comparar o sistema de medição com o que for mais restritivo, o processo ou a
tolerância.
No exemplo, o Ppk = 0,5, então a variação do processo é maior do que a tolerância e este sistema
de medição deveria ser comparado com a tolerância.
2. Ordene os dados do maior para o menor nos valores de referência individual.
3. Identifique os pontos de início e de fim das duas áreas II’s. Mostrada na coluna código da
tabela.
A largura destas zonas é o que estamos tentando determinar, e a largura das médias destas
zonas será usada para compararmos o sistema de medição com a tolerância especificada ou a
variação de 6 sigmas do processo (dependendo da situação).
4.
dLIE = 0.470832 – 0.446697 = 0.024135
dLSE = 0.566152 – 0.542704 = 0.023448
dRUSLdRLSL
dLIE dLSE
LIE LSE
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Média das duas zonas é d = 0.0237915,
Isto é uma estimativa da largura das áreas da região II e então a estimativa de RR = 6*R&R.
Isso permite a estimação de %R&R.
%R&R = 100* (d / Tolerância)
%R&R = 100 *(0.02379 / 0.10)
%R&R = 0.238, ou 23.8%.
Um julgamento para a capacidade do sistema de medição de atributos pode então ser feito.
Comentários
O consentimento do cliente deve ser obtido antes de usar o Método da Tabulação Cruzada ou a
Aproximação de Detecção de Sinal. A variabilidade do sistema de medição não é quantificada usando
esses métodos.
Com o aumento da capacidade do processo (Ppk, Cpk) – removendo causas especiais, sistema
estável, melhorias aplicadas – os calibradores passa/ não passa tenderão a aceitar uma proporção
mais elevada das peças. Isso ocorre pois mais e mais peças estão na Zona III. Mas o(s) dispositivo(s)
de medição não está melhor; somente as peças estão. No evento de um deslocamento da média do
processo ou de um aumento na variação, o(s) dispositivo(s) de medição ainda mostrará casos na
Zona II.
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Apêndice
R&R Não Replicável
Pré-Requisitos
Executando um R&R padrão 10-2-3 (10 peças, 2 avaliadores, 3 medições/ peça) um pressuposto feito
é que entre as medições do mesmo avaliador e entre avaliadores nenhuma mudança física ocorreu
na peça. Todos os avaliadores no mesmo estudo têm a oportunidade de avaliar as mesmas peças.
As medições podem ser replicadas entre avaliadores e entre medições. Na maioria das situações este
é um pressuposto confiável e seguro. Na figura 1, existem 10 peças a serem medidas, numeradas de
1 a 10. Como pode ser visto a mesma peça é medida por cada avaliador em cada tentativa. No
exemplo abaixo a aleatorização não é vista para facilitar o entendimento.
AVALIADOR 1 AVALIADOR 2
PEÇA 1a
medição
2a
medição
3a
medição
1a
medição
2a
medição
3a
medição
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10 10
Figura 1: Exemplo de R&R padrão (Layout 10-2-3)
Entretanto, em certas circunstâncias as medições não podem ser replicadas entre tentativas e
avaliadores. A peça é destruída ou de alguma forma modificada fisicamente quando é medida - a
característica não pode ser medida novamente 1. Esse tipo de característica é denominada não-
replicável.
1 Nem todo estudo de MSA não-replicável envolve destruição de peças. Por exemplo, quando testes são feitos em processos químicos, 
a amostra (peça) utilizada durante o ensaio pode ser alterada pelo teste e estar em constante movimento, portanto não pode ser 
precisamente re-testada 
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Um exemplo pode ser um teste destrutivo de arrancamento de solda, onde a força de pico durante o
arrancamento entre as duas partes soldadas é medida; a solda é destruída durante o processo, e não
pode ser feita novamente.
Então como uma análise do sistema de medição será conduzida se a peça é destruída durante a
medição?
Abordagem do Estudo
A primeira coisa que deve ser feita antes de conduzir um estudo de R&R não replicável é assegurar
que todas as condições em torno da atmosfera de medição são definidas, padronizadas e controladas
– avaliadores deveriam ser treinados e qualificados de modo similar, iluminação deve ser adequada
e consistentemente controlada, instruções de trabalho deveriam ser detalhadas e definidas
operacionalmente, condições ambientais deveriam ser controladas num grau adequado,
equipamentos deveriam ser mantidos e calibrados apropriadamente, modos de falha entendidos, etc.
Segundo, existe um grande consenso de um pré-requisito de trabalho que deve ser realizado antes
de conduzir um estudo de MSA não replicável. O processo de produção deve ser estável e a natureza
de sua variação entendida de forma que unidades possamser apropriadamente amostradas para um
estudo não replicável – onde o processo é homogêneo e onde o processo é heterogêneo?
Outra consideração: se o processo em geral parece estável e capaz, e todas as condições em torno
da atmosfera de medição são atendidas, pode não ter sentido investir na realização de um estudo
não replicável - se a variação total do produto e sua localização estão OK, o sistema de medição pode
ser considerado aceitável.
Procedimentos e métodos analíticos de R&R padrão devem ser alterados e certamente outros
pressupostos devem ser feitos antes de conduzir uma análise de sistema de medição não replicável.
O plano de amostragem de peças a serem utilizadas num estudo não replicável necessita de alguma
estrutura. Desde que a peça original não pode ser medida novamente devido a sua destruição, outra
peça similar (homogênea) deve ser escolhida para o estudo (para as outras tentativas e outros
avaliadores) e o pressuposto de que as peças são duplicadas ou idênticas deve ser feito. Em outras
palavras, como as peças "duplicadas" são medidas novamente através de outras tentativas e por
outros avaliadores, nós vamos considerar que a mesma peça está sendo medida.
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Tomemos o exemplo da Figura 2. A "peça 1" é agora a peça 1-A, 1-B, 1-C, 1-D, 1-E, 1-F, para este
estudo de layout 10-2-3. Seis peças muito similares, assumidas como idênticas, são utilizadas para
representar a Peça 1, e assim em diante para as demais 10 peças. O pressuposto deve ser de que
todas as 10 peças são amostradas consecutivamente (dentro de uma batelada ou lote) são idênticas
o bastante para serem tratadas como a mesma. Se o processo de interesse não satisfaz este
pressuposto, este método não funcionará.
AVALIADOR 1 AVALIADOR 2
PEÇA 1a
medição
2a
medição
3a
medição
1a
medição
2a
medição
3a
medição
1A - 1F 1 1 1 1 1 1
2A - 2F 2 2 2 2 2 2
3A - 3F 3 3 3 3 3 3
4A - 4F 4 4 4 4 4 4
5A - 5F 5 5 5 5 5 5
6A - 6F 6 6 6 6 6 6
7A - 7F 7 7 7 7 7 7
8A - 8F 8 8 8 8 8 8
9A - 9F 9 9 9 9 9 9
10A - 10F 10 10 10 10 10 10
Figura 2: R&R não replicável (formato 10-2-3) 2
Muito cuidado na escolha das peças "duplicadas". Tipicamente para as peças que representam a Peça
1, cada duplicata é selecionada de modo a ser o mais similar possível da peça original. De igual modo
para a peça 2, 3, 4, 5, etc. Estas peças deveriam ser produzidas sob as condições mais similares
possíveis. Considerem os 6M’s e mantenha-os inalterados. Geralmente, se as peças forem retiradas
da produção de maneira consecutiva, este requisito é atendido.
Entretanto, as peça escolhidas para representar a Peça 2, devem ser escolhidas de forma a serem
diferentes da Peça 1, 3, 4, etc. Portanto, entre as peças de número diferente os 6M's 3 devem ser
alterados. Estas diferenças devem ser forçadas entre as peças de número diferente. O número total
de peças "duplicadas" para cada linha deve ser igual ao número de avaliadores vezes o número de
tentativas 4. Na figura 2, grupos de peças na mesma linha são supostos idênticos, porém grupos de
peças entre as linhas são supostos diferentes.
2 A aleatorização do estudo não é apresentada para facilitar o entendimento 
3 6 M's: Mão-de-obra, Material, Método, Medição, Máquina, Meio Ambiente 
4 Quando a fonte de variação é devida exclusivamente ao equipamento, a utilização de diferentes avaliadores pode não ser requerida 
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A variação das peças pode ser expressa por peça-a-peça, turno-a-turno, dia-a-dia, lote-a-lote,
batelada-a-batelada, semana-a-semana, etc. Com peças a variação mínima ocorre peça-a-peça – isto
representa a quantidade mínima possível de tempo entre cada peça. Quando as peças não são
amostradas consecutivamente, existe maior oportunidade da variação ocorrer – diferentes
operadores de produção, diferentes matérias-primas, diferentes componentes, mudanças ambientais,
etc.
Portanto, dentro da mesma linha é desejável minimizar a variação tomando peças consecutivas,
portanto representando a variação peça-a-peça. Entre as linhas é desejável maximizar a variação
tomando peças de lotes e bateladas diferentes, etc. Podem existir restrições econômicas, de tempo
ou outras envolvidas que imporão limites na duração que esperaremos para tomar amostras de dados
entre linhas – o processo deve produzir, o PPAP deve ser submetido, etc. Quando as restrições
atingirem a ponto de interferirem na maneira certa de conduzir o estudo, os resultados podem gerar
interpretações equivocadas.
Um outro pressuposto estatístico que deve ser feito para este tipo de estudo é que o erro de medição
apresenta Distribuição Normal. Isto é um pré-requisito para a análise de variância (ANOVA). ANOVA
é melhor ferramenta analítica para uma análise de sistema de medição não replicável do que o método
da média e amplitude. ANOVA tem a possibilidade de examinar as interações que o método da média
e amplitude não considera.
Como uma nota de precaução, os resultados deste tipo de estudo irão conter
certa variação do processo porque as peças "idênticas" não são de fato idênticas. Isto deve ser levado
em consideração durante interpretação dos resultados em termos de percentagem de erro
relacionada a variação do processo ou tolerância. Quanto melhor a metodologia para entender o
processo produtivo e seu correspondente sistema de medição, mais significativo será este estudo de
medição não replicável.
É crítico num estudo de R&R não replicável que as peças sejam claramente identificadas e mantidas
após o teste. Se qualquer dúvida ocorre após a análise padrão, estas peças podem ser necessárias
para investigação futura – por exemplo, análise microscópica.
Um estudo de caso poderá servir melhor para ilustrar esta metodologia.
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Estudo de Caso
Uma peça estampada passa por uma operação crítica de solda que é testada destrutivamente numa
frequência regular e contínua. O processo possui um estampo progressivo que produz as peças
estampadas. É seguido por um robô de solda MIG (acoplando um pino metálico comprado para
estampagem) numa das 6 estações diferentes de solda que possuem 4 dispositivos de solda em
paralelo (apenas um dos quais será usado na montagem). Cada dispositivo de solda é identificado
com uma letra de A a X. Este processo está em produção há bastante tempo sendo estudado e
analisado quanto a sua estabilidade e capabilidade. Cada uma das 24 estações de solda está
produzindo de forma estável e capaz, entretanto umas são melhores que outras. Num esforço de
melhorar o processo como um todo, o sistema de medição deve ser analisado utilizando uma
metodologia de MSA não replicável que foi recentemente introduzida no fornecedor.
Formato do Caso
Neste estudo será usado o formato 10-2-3 – 10 peças, 2 avaliadores, 3 tentativas – que requer então
60 peças para o estudo. Dada a complexidade do processo, foi identificado que o formato 10-2-3
seria mais gerenciável do que o 10-3-3. Embora existam 24 dispositivos de solda, apenas 10 deles
serão utilizados neste estudo, escolhidos através dos dados obtidos previamente para representar a
faixa de variação total do processo. Existe confiança no sistema de medição realizar este julgamento.
A similaridade (homogeneidade) dentro de cada linha foi criada tomando 6 peças consecutivamente
estampadas (6 são escolhidas para atender 2 avaliadores e 3 tentativas), então soldando estas 6
peças no mesmo dispositivo de solda. A não similaridade (heterogeneidade) entre linhas foi criada
tomando grupos de 6 peças estampadas consecutivamente provenientes de diferentes rolos de aço
de cada vez separados por algumas horas, e então produzindo consecutivamente através de um
dispositivo de solda diferente num horário diferente.
O pino que é soldado na peça estampada é recebido em bruto e foi determinado de forma a não
desempenhar um papel importante na variação do testede tração ou arrancamento. Portanto, neste
estudo, não há esforço em manter similaridade ou não no pino metálico. Estudos prévios utilizando
ferramentas de solução de problemas demonstraram que o posicionamento manual ou com
abraçadeira utilizado na máquina de teste é influenciado pelo avaliador, portanto um novo e melhor
método com abraçadeiras hidráulicas foi instalado. As peças são inseridas nos localizadores e
abraçadeiras da máquina. Um gancho na máquina de teste fixa a peça e puxa mecanicamente o pino
até o seu arrancamento. Um display digital na máquina registra o pico de força de arrancamento. A
partir desta leitura, os dados são registrados e os modos de falha anotados (a solda não deve romper
e sim remover metal da peça estampada). Apesar da influência do avaliador ser assumida como
resolvida, este estudo ainda utiliza dois avaliadores para verificar este pressuposto. Um total de 60
peças foi requerido para este estudo. Existiram 10 grupos de peças similares, 2 avaliadores e 3
tentativas cada um; 10 x 2 x 3 = 60. As peças foram selecionadas primeiramente da operação de
estampagem, cuidadosamente numeradas e segregadas até que as 60 medições fossem coletadas.
Estes 10 grupos de peças foram selecionados num intervalo de 3 horas, ao longo de 3 dias de
produção, de forma a forçar algumas diferenças entre os grupos de peças. Então, cada grupo de
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peça estampada similar foi soldado num dispositivo de solda diferente. As peças foram introduzidas
em cada dispositivo de medição aleatoriamente dentro de cada grupo de 6.
AVALIADOR 1 AVALIADOR 2
PEÇA 1a
medição
2a
medição
3a
medição
1a
medição
2a
medição
3a
medição
1-1R...1-
6R
1- 6R 53 1- 5R 25 1- 3R 7 1- 4R 40 1- 1R 34 1- 2R 32
2-1P...2-
6P
2- 2P 27 2- 6P 35 2- 5P 57 2- 4P 12 2- 3P 43 2- 1P 17
3-1H...3-
6H
3 - 1H 21 3 - 2H 36 3 - 6H 1 3 - 5H 56 3 - 4H 10 3 - 3H 26
4-1G...4-
6G
4 - 4G 46 4 - 6G 42 4 - 3G 8 4 - 2G 28 4 - 1G 55 4 - 5G 30
5-1E...5-
6E
5 - 4E 5 5 - 3E 20 5 - 1E 13 5 - 6E 54 5 - 2E 39 5 - 5E 50
6-1F...6-
6F
6 - 1F 52 6 - 3F 3 6 - 4F 37 6 - 5F 29 6 - 2F 51 6 - 6F 45
7-1M...7-
6M
7 - 6M 16 7 - 4M 11 7 - 1M 23 7 - 2M 6 7 - 3M 15 7 - 5M 14
8-1O...8-
6O
8 - 6O 49 8 - 3O 60 8 - 1O 33 8 - 5O 41 8 - 2O 44 8 - 4O 19
9-1Q...9-
6Q
9 - 5Q 31 9 - 6Q 59 9 - 3Q 24 9 - 2Q 4 9 - 4Q 9 9 - 1Q 2
10-
1T...10-6T
10 - 2T
22
10 - 5T 18 10 - 3T 47 10 - 4T 58 10 - 1T 48 10 - 6T 38
Figura 3: Formato utilizado no estudo de caso do R&R não replicável
Tomemos por exemplo a Figura 3. Cada linha apresenta as peças "similares". A peça 1-1R é a primeira
peça estampada do primeiro grupo de 6 peças estampadas, a qual foi soldada no dispositivo de solda
R. A peça 1-2R é a segunda peça estampada do primeiro grupo de peças estampadas, a qual foi
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soldada no dispositivo de solda R. A peça 10-1T é a primeira peça estampada do décimo grupo de
peças estampadas, a qual foi soldada no dispositivo de solda T 5.
As peças foram numeradas com a identificação mostrada na figura 3. As peças em cada linha são
apresentadas em ordem aleatória tanto da operação de solda quanto a do teste de solda, cada uma
numa ordem diferente. A ordem demonstrada acima é para operação de teste de solda; a ordem da
operação de solda em cada linha foi diferente desta e não está mostrada aqui. Esta aleatorização
reduz a possibilidade de qualquer tendência na ordem de manufatura ou teste. Uma vez que todas
as soldagens foram completadas, as peças foram apresentadas aos avaliadores para o teste de
arrancamento e os dados foram anotados. As peças foram mantidas, preservando sua numeração
original, para qualquer análise posterior que se faça necessária.
Resultados
Os dados foram inseridos no Minitab ® na função "Gage R&R (nested)” a qual gerou uma análise
de variância agrupada (nested ANOVA). Uma análise de variância agrupada é requerida para este
tipo de estudo porque as peças não são testadas por todos os avaliadores em todas as tentativas –
isto não pode ser feito porque elas são destruídas após o teste. Cada avaliador não pode cruzar com
cada peça (o que seria uma análise de variância cruzada ou "cross ANOVA"). Outros gráficos também
foram gerados pelo Minitab. O primeiro a ser analisado é o gráfico "Gage Run Chart" (um gráfico
sequencial dos valores encontrados).
5 Para clareza na apresentação, a ordem de aleatoriedade dos avaliadores na máquina de teste é mostrada na Figura 3.
 
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Figura 4: "Gage Run Chart" - Teste de Arrancamento da Solda
O Gage Run Chart na figura 4 mostra pontos que representam as medições individuais realizadas em
cada "peça" por cada avaliador em cada tentativa. Os dados estão agrupados por avaliador e
apresentados na ordem das tentativas. A linha tracejada na horizontal representa a média de todas
as leituras individuais dispostas no gráfico. A abscissa contém cada peça (um grupo de 6 peças neste
caso). Este tipo de gráfico indica pistas visuais sobre a existência de qualquer padrão nos dados. É
desejável não existir qualquer tipo de padrão dentro do grupo de 6 peças. “parts.” Se padrões
indesejáveis existem, então investigação mais sofisticada pode ser requerida. É também desejável
que existam diferenças entre as peças. Se estas diferenças não ocorrerem então o sistema de medição
não pode distinguir entre as peças usadas no estudo. Desde que não existem limites de controle ou
outras diretrizes estatísticas no gráfico, um pouco de conhecimento e análise prática (não apenas
estatística) pode ser requerida para analisá-lo. Neste estudo não existem padrões dentro dos grupos
de 6 peças e existem algumas diferenças entre peças. Vamos analisar a seguir os outros gráficos de
R&R.
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Figura 5: Sumário dos gráficos de R&R – Estudo de Caso Teste de Arrancamento
Um sumário gráfico, gerado pelo Minitab, deste estudo é apresentado na Figura 5. Cinco gráficos são
demonstrados e numerados de 1 a 5. A apresentação e análise destes gráficos estão em linha com o
R&R normal.
Gráfico n. 1 Mostra os componentes da variação. Quatro fontes de variação são apresentadas:
•Gage R&R – é a variação devida ao sistema de medição.
•Repeatability – é a variação devido ao equipamento de medição.
•Reproducibility – é variação devido a diferença entre avaliadores.
•Part-to-Part – é a variação decorrente a medição de peças diferentes
Duas barras são demonstradas para cada fonte de variação 6:
•% Contribution – é 100 vezes o componente da fonte de variância dividido pela variância total (σ2)
•% Study Variation – é 100 vezes variação da fonte do estudo dividido pela variação total do estudo
(σ)
6 Também é possível apresentar “% Tolerance” and “% Process” mas estas opções não foram escolhidas.
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Gráfico n. 2 É o gráfico da amplitude que demonstra a amplitude das leituras de cada avaliador em
cada "peça". Note que existe um limite de controle superior (UCL) e inferior (LCL) e que para que o
gráfico seja aceitável todos os pontos devem estar dentro dos limites de controle. Condições de
instabilidade (fora de controle) significam que algum tipo de inconsistência está ocorrendo e deveria
ser investigada antes de prosseguir. Os dados neste estudo de caso estão dentro dos limites de
controle, sendo considerados aceitáveis para o Gráfico R (amplitudes).
Gráfico n. 3 É o gráfico Xbar ( X ) que demonstra a média de cada avaliador para cada uma das 3
leituras em cada "peça". Note que existe um limite de controle superior (UCL) e inferior (LCL) e que
para o gráfico ser aceitável, aproximadamente 50% dos pontos deveriam estar fora dos limites de
controle. A distância entre os limites de controle representa a faixa de variação do sistema de
medição.Se todos os pontos estivessem dentro dos limites de controle isto significaria que nenhuma
distinção significativa pode ser feita entre as peças utilizadas no estudo. Nos dados deste estudo, 11
dos 20 pontos (55%) estão fora dos limites de controle e portanto o Gráfico Xbar é considerado
aceitável.
Gráfico n. 4 É o gráfico que representa a variação peça-a-peça do estudo. Para este estudo em
particular, o Gráfico 4 não agrega muito valor.
Gráfico n. 5 É o gráfico que representa a média geral de cada avaliador bem como as leituras
individuais. A linha horizontal entre estes pontos indica uma referência visual das diferenças entre a
média geral dos avaliadores – o quanto menos inclinada é esta linha menor é a diferença entre estas
médias gerais. Nos dados deste estudo de caso, a linha de referência está quase horizontal, indicando
que existe pouca diferença entre as médias gerais dos avaliadores.
Os gráficos 4 e 5 podem ser utilizados como pistas para futuras análises. Também, outros gráficos,
como histogramas, podem ser utilizados para uma análise mais detalhada. Durante a análise dos
gráficos, é uma boa ideia ao mesmo analisar o sumário numérico da análise de variância (ANOVA)
para os dados do R&R. Novamente, este sumário é o mesmo de uma tabela de ANOVA normal gerada
por um estudo padrão de R&R.
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Tabela de análise de variância agrupada (ANOVA)
Fonte de
Variação
(source)
Graus de
Liberdade
(DF)
Soma dos
Quadrados
(SS)
Quadrado
Médio
(MS)
F P
Avaliador (a) 1 15636 15636
Avaliador x
Peça (ap)
18 13965615 775868 16,7447 0
Repetibilidade
(e)
40 1853410 46335
Total 59 15834661
R&R
Fonte de
Variação
(source)
VARCOMP %Contribuição (do
VARCOMP)
R&R Total 46335 16
Repetibilidade 46335 16
Reprodutibilidade 0 0
Peça-a-peça 243177 84
Variação 289513 100
R&R
Fonte de
Variação
(source)
Desvio Padrão
(SD)
Variação do
Estudo (6*SD)
%Variação do
estudo
R&R Total 215,256 1291,54 40,01
Repetibilidade 215,256 1291,54 40,01
Reprodutibilidade 0 0 0
Peça-a-peça 493,130 2958,78 91,65
Variação 538,064 3228,38 100
CONCLUSÕES
Precisamos tomar algumas decisões para este sistema de medição – é aceitável, é adequado, é
necessário mais estudo, algum operador precisa ser melhor treinado, é requerida a aprovação do
cliente para uso, etc? Para aceitação, geralmente o R&R é analisado quanto a adequação 7.
Neste caso em específico o % R&R Total - 40,01% o que não permite chegar a uma interpretação
clara e objetiva. Será aceitável, sabendo que tradicionalmente o critério de aceitação para % R&R
normal é de 30% no máximo?
7 O ndc (número de categorias distintas) também é aplicado para analisar resultados.
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Considere o seguinte:
1. O processo geral no qual o R&R é comparado está realmente representado apenas por peças
(e dispositivos de solda) escolhidos para este estudo. Apenas 10 dos 24 dispositivos de solda
foram inclusos neste estudo. Nem todo o processo foi representado aqui. Se a variação do
processo devido aos dispositivos de solda é muito maior do que as 10 categorias de peças
escolhidas para este estudo, então o sistema de medição pode ser considerado aceitável
baseado nas diretrizes do MSA.
2. Os dados em qualquer estudo não replicável como este necessariamente irão incluir alguma
variação do processo. Portanto uma parte dos 40,01% de R&R é realmente devido a variação
do processo. É impossível separar todas as variações do sistema de medição neste esquema.
A máquina usada para o arrancamento da solda é relativamente sofisticada e uma parte cara do
equipamento. Quanto mais puder ser melhorada será mais eficiente? Estas são questões de um
possível estudo de custo.
Questões de Aceitação
Determinando a aceitabilidade dos resultados de um estudo não replicável envolve muitas outras
atividades que vão além do objetivo desta publicação.
• Estabilidade do processo de produção: De forma a analisar e interpretar um estudo do sistema de
medição não replicável, o processo de produção deve estar estatisticamente estável. Desde que a
estabilidade do sistema de medição é mantida, se os dados em geral demonstram estabilidade, então
o sistema de medição é teoricamente estável. A frequência e tamanho da amostra deve ser
balanceada entre a média seqüencial de instabilidade (ARL - é o número médio de amostras
(subgrupos) tomados antes que um sinal ativo de instabilidade ocorra) e os custos de inspeção.
• Capabilidade do processo de produção: Se o processo de produção é capaz, não existe grande
confusão entre os limites naturais do processo e a área cinzenta do MSA (zona II). Limites de
aceitação para dados do processo devem ser usados quando a análise do sistema de medição mostra-
se questionável. Estes limites de aceitabilidade seriam calculados usando um fator de 3 ou 4 sigmas
(σ) do R&R, então adicionando o valor do limite inferior de especificação e subtraindo-o do limite
superior. Entretanto, para que isto funcione com certo grau de confiança, deve haver uma distância
adequada entre o processo de produção e estes limites. No nosso exemplo, onde há apenas o limite
inferior de especificação, o valor resultante seria adicionado apenas ao limite inferior.
• Estabilidade de longo prazo no sistema de medição: Um esforço deve ser considerado para estudar
a estabilidade do sistema de medição a longo prazo; usando técnicas similares do que foi descrita
acima. Estas técnicas podem ser reduzidas a "mini" estudos e usadas numa base regular.
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• Ironicamente, quanto melhor o Cp, mais difícil será estabelecer uma análise do sistema de medição
aceitável usando este método. Lembre-se que o maior pré-requisito para este método funcionar é
produzir peças similares "duplicadas" no mesmo grupo (homogêneas) e distintas em grupos
diferentes (heterogêneas). Se o processo de produção tem um Cp bastante elevado, pode não ser
possível atender este requisito. Entretanto, se o processo demonstrar estabilidade a alto CpK, então
o sistema de medição é provavelmente aceitável (porque os dados que geraram este alto CpK incluem
a variação do sistema de medição).
• Tendência e linearidade não são avaliadas por este método. Como em qualquer estudo de R&R,
foram consideradas apenas a repetitividade e reprodutibilidade. A calibração do sistema de medição
torna-se crítica para a aceitação de estudos não replicáveis.
Sumário
Como pode ser visto, um estudo de medição não replicável pode criar tantas questões quanto as que
resolvem. Devido a relativa sofisticação e custo do equipamento de medição usado neste processo
de medição não replicável, e devido aos fatores mencionados acima, foi decidido que este processo
de medição é adequado para acompanhar a melhoria contínua do processo de manufatura. Ao mesmo
tempo, oportunidades de melhoria no sistema de medição devem também ser avaliadas no futuro.
Este estudo de caso é um evento simples. A grande foto de qualquer sistema de medição é o longo
prazo. O estudo aqui apresentado pode ser utilizado para uma análise inicial, porém mais trabalho é
requerido para controlar este sistema de medição ao longo do tempo para assegurar sua estabilidade
e adequação ao uso em realizar controles de processo, decisões sobre a capabilidade e melhoria
contínua. Para controlar este processo de medição ao longo do tempo, um gráfico de controle poderia
ser usado para registrar os resultados de amostras consecutivas tomadas periodicamente e estes
resultados utilizados para determinar a estabilidade.
Finalmente, a metodologia acima foi escolhida para esta situação em particular. Existem outros
métodos que ajudam a determinar o erro em sistemas de medição não replicáveis e os mesmos
devem ser selecionados cuidadosamente. Os métodos mostrados são uma simples abordagem para
uma situação simples e que ajudarão os leitores a desenvolver uma abordagem para seuspróprios
processos de medição não replicáveis.
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Anexo 1 – Tabela de d*2
 
 
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Índice 
Introdução............................................................................................................ 7 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 2 -Distribuição t de Student