Cálculo III

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CÁLCULO III
CÁLCULO III
Agosto | 2020
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Gestão EaD
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APRESENTANDO A DISCIPLINA 
Seja bem-vindo à disciplina Cálculo III
Nesta disciplina, vamos dar continuidade ao estudo do Cálculo, que é uma 
ferramenta muito importante para resolução de problemas nas Ciências Exatas. 
Vamos agora aprofundar seus conhecimentos a respeito de séries, equações 
diferenciais, cálculo vetorial e suas aplicações, sempre buscando relacionar os 
conceitos matemáticos com a resolução de problemas aplicados. Seu material 
está organizado em quatro unidades.
Na primeira unidade, vamos identificar os conceitos de sequências, séries e 
convergência. Ao final dos estudos, você será capaz de reconhecer a convergência 
de uma série, desenvolver uma série de potência para uma série geométrica e 
funções próximas a ela, bem como construir e identificar uma série de Taylor 
de uma função.
Na segunda unidade, vamos aprender a reconhecer uma equação diferencial e 
descobrir os métodos adequados para solucioná-la. Ao final dos estudos, você 
será capaz de diferenciar os tipos de equações, definir problemas de valor inicial 
e de contorno e aplicar equações diferenciais na solução de problemas.
Na terceira unidade, vamos iniciar nossos estudos sobre cálculo vetorial por meio 
de suas funções, limites e derivadas. Já na quarta e última unidade, vamos dar 
continuidade ao estudo do cálculo vetorial, resolvendo problemas relacionados. 
Você será capaz de reconhecer a importância dos Teoremas de Green, de Stokes 
e da Divergência na análise vetorial. 
Não deixe de acompanhar seu material de estudo, realizar as atividades e 
aprofundar o conhecimento por meio do seu ambiente virtual de aprendizagem.
Bons estudos! 
Sumário
UNIDADE 1
Séries .. ................................................................................................................................................. 9
Objetivo Geral ...................................................................................................................................... 9
Objetivos Específicos .......................................................................................................................... 9
Parte 1: Séries Infinitas: Sequências ....................................................................................................11
Parte 2: Soma de uma Série Infinita .....................................................................................................21
Parte 3: Convergência de Séries de Termos Positivos .........................................................................31
Parte 4: Teste da Razão e da Raiz .........................................................................................................41
Parte 5: Séries de Potências .................................................................................................................47
Parte 6: Séries de Taylor........................................................................................................................59
UNIDADE 2
Equações Diferenciais ........................................................................................................................ 71
Objetivo Geral .................................................................................................................................... 71
Objetivos Específicos ........................................................................................................................ 71
Parte 1: Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva)..........................73
Parte 2: Equações Diferenciais de Primeira ordem .............................................................................85
Parte 3: Equações Diferenciais de Segunda ordem ...........................................................................103
Parte 4: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior ............................................................121
Parte 5: Equações Diferenciais Não Lineares .....................................................................................139
UNIDADE 3
Cálculo Vetorial ................................................................................................................................. 153
Objetivo Geral .................................................................................................................................. 153
Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 153
Parte 1: Funções Vetoriais ..................................................................................................................155
Parte 2: Campos Vetoriais ...................................................................................................................173
Parte 3: Rotacional ..............................................................................................................................185
Parte 4: Integrais de Linha ..................................................................................................................199
Parte 5: Campos Vetoriais Conservativos ...........................................................................................213
UNIDADE 4
Aplicações do Cálculo Vetorial ......................................................................................................... 225
Objetivo Geral .................................................................................................................................. 225
Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 225
Parte 1: Integrais de Superfície de Campos Vetoriais........................................................................227
Parte 2: Teorema de Green ..................................................................................................................241
Parte 3: Teorema de Stokes ................................................................................................................251
Parte 4: Teorema da Divergência ........................................................................................................263
Prezado estudante,
A equipe de gestão da EaD LaSalle sente-se honrada em entregar a 
você este material didático. Ele foi produzido com muito cuidadopara 
que cada Unidade de estudos possa contribuir com seu aprendizado 
da maneira mais adequada possível à modalidade que você escolheu 
estudar: a modalidade a distância. Temos certeza de que o conteúdo 
apresentado será uma excelente base para o seu conhecimento e para 
a sua formação. Por isso, indicamos que, conforme as orientações de 
seus professores e tutores, você reserve tempo semanalmente para 
realizar a leitura detalhada dos textos deste livro, buscando sempre 
realizar as atividades com esmero a fim de alcançar o melhor resultado 
possível em seus estudos. Destacamos também a importância de 
questionar, de participar de todas as atividades propostas no ambiente 
virtual e de buscar, para além de todo o conteúdo aqui disponibilizado, 
o conhecimento relacionado a esta disciplina que está disponível por 
meio de outras bibliografias e por meio da navegação online.
Desejamos a você um excelente módulo e um produtivo ano letivo. 
Bons estudos!
Gestão de EaD LaSalle
APRESENTAÇÃO
unidade 
1
Séries
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Identificar os conceitos de sequência, série, convergência e demais relacionados.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Reconhecer a convergência de uma série.
• Desenvolver a série de potência para a série geométrica e funções próximas a ela.
• Construir e identificar as séries de Taylor de uma função.
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Séries Infinitas: Sequências
CÁLCULO III 12
SÉRIES INFINITAS
A teoria das séries infi nitas é um terceiro ramo do Cálculo, além do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. As sé-
ries infi nitas nos fornecem uma nova perspectiva das funções e 
de muitos números interessantes. Dois exemplos são a série de 
Gregory-Leibniz
e a série infi nita da função exponencial
A primeira revela que está relacionado com os recíprocos dos 
inteiros ímpares de uma maneira inesperada, enquanto que a 
segunda mostra que pode ser expressa como um “polinômio 
infi nito”. Séries desse tipo são muito utilizadas em aplicações, 
tanto na parte computacional quanto na análise de funções. Para 
entender as séries infi nitas, precisamos defi nir precisamente o 
que signifi ca somar uma infi nidade de parcelas. Assim como no Cálculo Diferencial e 
Integral, também aqui os limites desempenham um papel fundamental.
11.1 Seqüências
As seqüências de números aparecem em situações diversas. Se dividirmos um bolo pela me-
tade e, então a metade de novo pela metade, e continuarmos dividindo indefi nidamente pela 
metade (Figura 1), então a fração de bolo deixada em cada estágio forma a seqüência
Isso é a seqüência de valores de , para n = 0, 1, 2, ... .
Formalmente, uma seqüência é uma função f (n) cujo domínio é um subconjunto dos 
inteiros. Os valores são denominados termos da seqüência e n é o índice. Ge-
ralmente pensamos numa seqüência informalmente, como uma coleção de valores 
ou uma lista de termos:
Quando for dado por uma fórmula, costumamos dizer que é o termo geral.
1 1
2
1
8
1
4
FIGURA 1
Nosso conhecimento do que são feitas as 
estrelas é baseado no estudo dos espectros 
de absorção, que são seqüências de 
comprimentos de onda absorvidos por gases 
na atmosfera da estrela.
11
A seqüência , conhecida 
como “série de Balmer” na Física 
e Química, desempenha um papel 
na espectroscopia. Os termos dessa 
seqüência são os comprimentos 
de onda de absorção do átomo de 
hidrogênio em nanômetros.
13 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
536 CÁLCULO
No exemplo seguinte, consideramos uma seqüência cujos termos são defi nidos re-
cursivamente. O primeiro termo é dado, e o enésimo termo é calculado usando o termo 
precedente .
■ EXEMPLO 1 Seqüência defi nida recursivamente Calcule para a seqüência de-
fi nida recursivamente por
Solução
 
■
Nosso próximo objetivo é estudar a convergência de seqüências. Uma seqüência 
converge a um limite L se os termos se aproximam cada vez mais de L quando 
DEFINIÇÃO Limite de uma seqüência Uma seqüência converge a um limite L, e 
escrevemos
se, para cada , existir um número M tal que , para todo n > M. Se 
não existir um limite, dizemos que diverge.
■ EXEMPLO 2 Demonstrando a convergência de uma seqüência Seja . Prove, 
formalmente, que .
Solução A defi nição exige que encontremos, para cada , um número M tal que
 
Temos
Portanto, se
Segue que (1) é válido com . Por exemplo, se , então podemos tomar 
. Assim, para n = 300, 301, 302, ... ■
Podemos visualizar a seqüência traçando seu “gráfi co”, ou seja, esboçando os pontos 
 (Figura 2). A seqüência converge a um limite L se, para cada 
, os pontos esboçados acabam sempre fi cando dentro da faixa de largura para cada 
A seqüência do Exemplo 1 pode ter 
sido reconhecida como a seqüência 
de aproximações de 
produzida pelo método de Newton com 
valor inicial . Quando n tende ao 
infi nito, tende a .
1 2 3 4 5 6 7
−
+
L
y
n
FIGURA 2 Gráfi co de uma seqüência 
com limite L. Para cada , os pontos 
sempre acabam fi cando a menos de 
 de L.
CÁLCULO III 14
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 537
lado da reta horizontal y = L (Figura 2). A Figura 3 mostra o gráfi co de uma seqüência 
convergente a L = 1. Entretanto, pode ser mostrado que a seqüência , que apa-
rece na Figura 4, não tem limite.
FIGURA 3 A seqüência .
y
n
1410 122 4 6 8
1,5
1
0,5
FIGURA 4 A seqüência n 
não tem limite.
y
n
1410 122 4 6
8
1
−1
Observamos o seguinte:
O limite não muda se modifi carmos ou ignorarmos um número fi nito de termos da •
seqüência.
Se • C for uma constante e para todo n sufi cientemente grande, então 
.
Suponha que f (x) seja uma função e que f (x) tenda a um limite L quando . 
Nesse caso, a seqüência tende ao mesmo limite L (Figura 5). De fato, nesse caso, 
para todo , podemos encontrar M tal que para todo x > M. Segue, 
automaticamente, que para todos inteiros n > M.
TEOREMA 1 Seqüência defi nida por uma função Seja f (x) uma função defi nida em 
para alguma constante c. Se existir , então a seqüência , defi nida 
para , converge e
■ EXEMPLO 3 Encontre o limite da seqüência 
Solução Essa é a seqüência de termo geral
Seja . Então e, pelo Teorema 1,
 
■
■ EXEMPLO 4 Calcule , onde .
Solução O limite da seqüência é igual ao limite da função , que calcula-
mos com a regra de L’Hôpital:
 
■
O limite dos comprimentos de onda de Balmer defi nidos à margem esquerda na 
página 535 é importante em Física e Química por determinar a energia de ionização do 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L
y
x
a1 = f (1)
a2 = f (2) y = f (x)
a3 = f (3)
FIGURA 5 Se f (x) convergir a L, 
então a seqüência também 
converge a L.
15 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
538 CÁLCULO
átomo de hidrogênio. A Tabela 1 sugere que tende a 364,5 quando . A Figura 6 
mostra o gráfi co de e, na Figura 7, os comprimentos de onda são mostrados “se empi-
lhando” no valor do limite.
■ EXEMPLO 5 Limite dos comprimentos de onda de Balmer Calcule o limite dos compri-
mentos de onda de Balmer , onde .
Solução Observe que , onde . Calculamos o limite dividindo 
o numerador e o denominador por :
 
■
FIGURA 6 A seqüência e a função tendem 
ao mesmo limite.
y = f (x)b3
b4
b5
3
364,5
200
400
600
800
4 5 6 7
y
x
FIGURA 7
700 600 500 400
Limit L =364,5
300
Comprimento de onda (nanômetros)
UltravioletaV
er
m
el
ho
A
m
ar
el
o
V
er
de
A
zu
l
V
io
le
ta
Uma seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são 
constantes não-nulas. Por exemplo, se c = 2 e r = 3, obtemos a seqüência geométrica
O número r é denominado razão comum aos termos. Cada termo é r vezes o termo 
precedente , ou seja, .
Dizemos que diverge, ou tende, a , e escrevemos , se os termos 
crescem sem cota, ou seja, se, para cada N > 0, temos para todo n sufi cientemente 
grande (Figura 8).
■ EXEMPLO 6 Limite de uma seqüência geométrica Prove que:
Solução Aplicamos o Teorema 1 à função exponencial . Se 0 < r < 1, então 
(Figura 9)
Analogamente, se r > 1, então f (x) tende a quando , de modo que também 
diverge a (Figura 8). Se r = 1, então para todo n e o limite é 1. ■
TABELA 1 Os comprimentos 
de onda da série de Balmer 
tendem ao limite L = 364,5
A seqüência geométrica é 
a seqüência defi nida pela função 
exponencial cuja base r é a 
razão comum aos termos.
FIGURA 8 Se , a seqüência 
geométrica diverge a .
1 2 3 4 5 6
25
50
y
x
f (x) = rx (r > 1)
FIGURA 9 Se , a seqüência 
geométrica tende a 0.
1 2 3 4 5 6 7
1
y
x
f (x) = rx (0 < r < 1)
CÁLCULO III 16
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 539
A maioria das leis de limites de funções também é válida para seqüências. As de-
monstrações são análogas e serão omitidas.
TEOREMA 2 Leis de limites de seqüências Suponha que { } e { } sejam seqüências 
convergentes com
Então
 (i) 
 (ii) 
 (iii) 
 (iv) para qualquer constante c.
TEOREMA 3 Teorema do confronto para seqüências Sejam seqüências 
tais que, para algum número M,
Então .
■ EXEMPLO 7 Mostre que, se , então .
Solução Temos
Como tende a zero, também tende a zero e do Teorema do Confronto decorre 
. ■
Como mais uma aplicação do Teorema do Confronto, considere a seqüência
Tanto o numerador quanto o denominador tendem a infi nito, portanto não é de todo claro 
se converge. A Figura 10 e a Tabela 2 sugerem que inicialmente cresce, mas depois 
tende a zero. No próximo exemplo provamos que, dado qualquer R, realmente ten-
de a zero. Esse fato será utilizado na discussão de séries de Taylor, na Seção 11.7.
■ EXEMPLO 8 Prove que , para todo R.
Solução Pelo resultado do Exemplo 7, podemos supor, sem perda de generalidade, que 
R > 0. Então existe um único inteiro tal que
 LEMBRETE O fatorial de , denotado 
, é o número
Por exemplo, .
5 10 15
10
20
y
n
FIGURA 10 O gráfi co da seqüência 
.
17 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
540 CÁLCULO
Para n > M, escrevemos como um produto de n fatores:
Os primeiros M fatores são e os últimos n − M fatores são < 1. Se agruparmos os pri-
meiros M fatores e denotarmos esse produto por C e se omitirmos todos os demais fatores 
exceto o último fator , obteremos
Como , o Teorema do Confronto garante que . ■
Podemos aplicar uma função f (x) a uma seqüência para obter uma nova seqüên-
cia . É útil saber que se f (x) for contínua e se , então . 
Enunciamos esse resultado no teorema seguinte. Ver Apêndice D para uma prova.
TEOREMA 4 Se f (x) for contínua e existir o limite , então
■ EXEMPLO 9 Calcule .
Solução Temos , onde e . Além disso,
Pelo Teorema 4, , ou seja,
 
■
Agora introduzimos dois conceitos que são importantes para o entendimento de con-
vergência: os conceitos de seqüência limitada e o de seqüência monótona.
DEFINIÇÃO Seqüências limitadas Uma seqüência é:
Limitada superiormente • se existir um número M tal que para todo n. 
O número M é denominado cota superior.
Limitada inferiormente • se existir um número m tal que para todo n. O 
número m é denominado cota inferior.
Se for limitada superior e inferiormente, dizemos que é limitada. Se não 
for limitada, dizemos que é uma seqüência ilimitada.
Cotas inferiores e superiores não são únicas. Se M for uma cota superior, então 
qualquer número maior do que M também é uma cota superior (Figura 11). Analoga-
mente, se m for uma cota inferior, então qualquer número menor do que m também é 
uma cota inferior.
TABELA 2
1 2 3 4 5 6 7
L
MCota
superior
Uma
outra cota
superior
mCota
inferior
y
n
FIGURA 11 Uma seqüência convergente 
é limitada.
CÁLCULO III 18
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 541
Parece razoável que uma seqüência convergente deva ser limitada, porque 
seus termos se aproximam cada vez mais do limite (Figura 11). Isso nos leva ao 
teorema seguinte.
TEOREMA 5 Seqüências convergentes são limitadas Se converge, então é li-
mitada.
Demonstração Seja . Então existe N > 0 tal que , para todo n > 
N. Em outras palavras,
Se M for qualquer número maior do que L + 1 e também maior do que os números 
, então para todo n. Assim, M é uma cota superior. Analogamente, 
qualquer número m menor do que L − 1 e é uma cota inferior. ■
Há duas maneiras pelas quais uma seqüência pode ser divergente. A primeira é 
se for ilimitada, porque então certamente diverge, pelo Teorema 5. Por exemplo, a 
seqüência seguinte diverge:
Por outro lado, uma seqüência pode divergir mesmo se for limitada, bastando que seus 
termos fi quem pulando de qualquer jeito sem nunca se aproximar de um limite. Por exem-
plo, a seqüência é limitada mas não converge:
Quando podemos ter certeza que uma seqüência converge? Uma situação ocorre quan-
do for tanto limitada quanto monótona crescente ou decrescente. Intuitivamente, 
a razão para isso é que se for crescente e limitada superiormente por M, então seus 
termos devem acabar por tender a um limite L que não pode ser maior do que M (Fi-
gura 12). Enunciamos isso formalmente no teorema seguinte, cuja prova é fornecida 
no Apêndice B.
TEOREMA 6 Seqüências monótonas limitadas convergem
Se • for não-decrescente e para todo n, então converge e .
Se • for não-crescente e para todo n, então converge e .
■ EXEMPLO 10 Verifi que que é decrescente e limitada inferior-
mente. Existe ?
Solução A função é decrescente porque tem derivada negativa:
Segue que também é decrescente (Tabela 3). A seqüência é limitada inferior-
mente por m = 0 porque , para todo n. O Teorema 6 garante que existe o limite 
 e (pode ser mostrado que L = 0). ■
Uma seqüência é monótona
não-decrescente se • para 
todo j;
não-crescente se • para 
todo j;
crescente se • para todo j;
decrescente se • para todo j.
FIGURA 12 Uma seqüência crescente 
com cota superior M tende a um limite L.
x
0
a1 a2 a3 a4 a5
L M
O limite
Uma cota
superior
TABELA 3 A seqüência 
 é 
decrescente
19 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1
542 CÁLCULO
■ EXEMPLO 11 Mostre que a seqüência seguinte é limitada e crescente:
Prove que existe e calcule seu valor.
Solução Essa seqüência está defi nida recursivamente por
Não seria difícil encontrar o limite L se já soubéssemos que ele existe. Poderíamos, 
então, proceder da seguinte maneira. A seqüência (a mesma seqüência ,
mas começando em ) convergiria para o mesmo limite L e, pelo Teorema 4, estabe-
leceríamos que
Assim, e, portanto,
Segue que L = −1 ou L = 2 e, como , concluímos que L = 2 (Tabela 4). Para justi-
fi car essa conclusão, devemos provar que o limite L existe. Pelo Teorema 6, basta provar 
que é limitada superiormente e crescente.
Passo 1. Mostrar que é limitada superiormente por M = 2.
Inicialmente, observe que
 
Agora podemos provar que , para todo n. Como , (2) implica que 
. Mas, então, por (2), implica e implica , etc, 
para todo n (formalmente, isso é uma prova por indução).
Passo 2. Mostrar que é crescente.
Como é positiva e ,
Assim, para todo N e é crescente. ■
11.1 RESUMO
Uma • seqüência é uma funçãof (n) cujo domínio é um subconjunto dos inteiros. Escre-
vemos para o enésimo termo e denotamos a própria seqüência por ou, 
simplesmente, .
Dizemos que uma seqüência • converge a um limite L, e escrevemos ou 
 se, para cada , existir um número M tal que
Se não existir um limite, dizemos que diverge.
Seja • f (x) uma função em , para algum número c e seja para . Se 
, então .
TABELA 4 Os termos da 
seqüência recursiva 
CÁLCULO III 20
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 543
Uma • seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são não-
nulas.
As leis básicas dos limites e o Teorema do Confronto são aplicáveis a seqüências. •
Se • f (x) for contínua e , então .
Dizemos que • é limitada superiormente por M se para todo n e limitada in-
feriormente por m se para todo n. Se for limitada superior e inferiormente, 
dizemos que é limitada.
Uma seqüência • é monótona se for não-decrescente ( ) ou não-crescente 
 para todo j.
O Teorema 6 afi rma que é convergente qualquer seqüência não-decrescente que for limi- •
tada superiormente e qualquer seqüência não-crescente que for limitada inferiormente.
11.1 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
 1. Quem é para a seqüência 
 2. Qual das seqüências seguintes converge a zero?
 (a) (b) (c) 
 3. Seja a enésima aproximação decimal de . Ou seja, , 
, etc. Qual é o ?
 4. Qual dessas seqüências está defi nida recursivamente?
 (a) (b) 
 5. O Teorema 5 afi rma que toda seqüência convergente é limitada. 
Quais das afi rmações seguintes decorrem do Teorema 5 e quais 
são falsas? Se for falsa dê um contra-exemplo.
 (a) Se é limitada, então é convergente.
 (b) Se não é limitada, então é divergente.
 (c) Se é divergente, então não é limitada.
Exercícios
 1. Combine a seqüência com o termo geral:
 2. Seja para n = 1, 2, 3, ... . Escreva os primeiros três 
termos das seqüências seguintes:
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Nos Exercícios 3-10, calcule os primeiros quatro termos das seqüên-
cias seguintes, começando com n = 1.
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 
 8. 
 9. 
 10. = enésima aproximação decimal de .
 11. Encontre uma fórmula para o enésimo termo da seqüência se-
guinte:
 (a) (b) 
 12. Suponha que e . Determine:
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Nos Exercícios 13-26, use o Teorema 1 para determinar o limite da 
seqüência ou decida que a seqüência diverge.
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
 21. 22. 
unidade 
1
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Parte 2
Soma de uma Série Infinita
CÁLCULO II 22
546 CÁLCULO
11.2 Soma de uma série infi nita
Muitas vezes não podemos calcular exatamente as quantidades que aparecem nas aplica-
ções. Não sabemos escrever a representação decimal exata de ou dos valores da função 
seno, como, por exemplo, sen 1. Às vezes, essas quantidades podem ser representadas 
como somas infi nitas. Por exemplo,
 
Somas infi nitas desse tipo são denominadas séries infi nitas ou séries, simplesmente.
O que signifi ca, exatamente, a Equação (1)? Embora seja impossível somar uma infi -
nidade de números, podemos calcular as somas parciais , defi nidas como as somas dos 
N primeiros termos da série. Comparemos as primeiras somas parciais com sen 1:
As somas parciais aparentam convergir para sen 1 e, de fato, na Seção 11.7, vamos provar 
que . É esse o signifi cado preciso da Equação (1).
Em geral, uma série infi nita é uma expressão da forma
em que é uma seqüência qualquer. Por exemplo,
Seqüência Termo geral Série infinita
A N-ésima soma parcial é a soma dos N primeiros termos da série:
A soma da série infi nita é defi nida como o limite das somas parciais , se esse li-
mite existir.
As séries infi nitas podem começar com 
qualquer índice. Por exemplo,
Quando não for necessário especifi car 
o termo inicial, simplesmente 
escrevemos . Qualquer letra 
pode ser usada para o índice. Assim, 
podemos escrever , etc.
23 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 547
DEFINIÇÃO 1 Convergência de uma série infi nita Uma série infi nita converge a S se 
. O limite S é denominado soma da série e escrevemos . Se o 
limite não existir, dizemos que a série diverge.
É fácil dar exemplos de séries divergentes. Por exemplo, diverge porque as so-
mas parciais divergem a :
Analogamente, diverge porque as somas parciais fi cam pulando de 1 para 0 
e vice-versa:
As séries podem ser investigadas numericamente calculando várias somas parciais. 
Se as somas parciais mostrarem uma tendência de convergência a algum número S, então 
temos evidência (mas não uma prova) de que a série convirja a S. O exemplo seguinte 
trata de uma série telescópica convergente, em que as somas parciais são particularmente 
fáceis de calcular.
■ EXEMPLO 1 Série telescópica Investigue numericamente a série seguinte:
Em seguida, calcule a soma S usando a identidade:
Solução A Tabela 1 exibe algumas somas parciais calculadas com um sistema algébrico 
computacional. Esses dados sugerem convergência a S = 1. Para calcular esse limite pre-
cisamente, usamos a identidade fornecida para reescrever os termos da série. Verifi camos 
que, por cancelamento, cada soma parcial colapsa para apenas dois termos:
Em geral,
Embora exista uma fórmula fácil para 
as somas parciais no Exemplo 1, isso 
constitui a exceção, e não a regra. 
Além das séries telescópicas e das 
geométricas introduzidas a seguir, 
geralmente não existe uma fórmula 
para e, para estudar séries infi nitas, 
precisamos desenvolver técnicas que 
não dependam de fórmulas.
TABELA 1 Somas 
parciais de
CÁLCULO II 24
548 CÁLCULO
Agora podemos calcular a soma S como o limite das somas parciais:
 
■
É importante lembrar da diferença entre uma seqüência e uma série , que é 
a soma dos termos da seqüência.
■ EXEMPLO 2 Diferença entre uma seqüência e uma série Discuta a diferença entre e 
, no caso .
Solução A seqüência converge a zero:
A série infi nita defi nida por essa seqüência é uma soma infi nita:
O valor dessa soma é não-nulo. De fato, a soma parcial dá uma aproximação dessa soma:
 ■
Um dos tipos mais importantes de séries é o da série geométrica, defi nida como a 
soma dos termos , em que c e r são números fi xados diferentes de zero:
O número r é denominado razão comum ou, simplesmente, razão da série.
Para , podemos visualizar a soma da série geométrica (Figura 1):
A soma é 1 porque somar termos na série corresponde a avançar passo a passo de 0 a 
1, cada passo correspondendo a um movimento para a direita por metade da distância 
que falta.
Existe uma maneira simples de calcular as somas parciais de uma série geométrica:
Se , podemos dividir por (1 − r) para obter
 
10
1
2
+
1
2
3
4
7
8
1
4
+ 1
8
+ 1
16 15
16
10
1
2
+
1
2
3
4
7
8
1
4
+ 1
8
10
1
2
+
1
2
3
4
1
4
10
1
2 1
2
FIGURA 1 As somas parciais de .
As séries geométricas são importantes 
porque elas
seguidamente surgem em aplicações; •
podem ser calculadas explicitamente; •
são usadas para estudar outras séries •
não-geométricas (por comparação).
25 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 549
TEOREMA 1 Soma de uma série geométrica Uma série geométrica de razão r converge se 
 e diverge se . Além disso,
 
 
Demonstração Se , então, pela Equação (2),
Se , então e, pela Equação (3), obtemos:
Se diverge e, portanto, a série geométrica diverge. Ela também diver-
ge nos casos extremos , como vimos na discussão antes do Exemplo 1. Se a série 
geométrica começar com o termo em vez de , então■
■ EXEMPLO 3 Calcule .
Solução Isso é uma série geométrica com c = 7 e . O termo geral é 
e a soma começa em n = 3. Pela Equação (4), a soma é
 
■
Um dos nossos principais objetivos neste capítulo é o desenvolvimento de técnicas 
que determinem se uma dada série converge ou diverge. Às vezes, é óbvio que uma série 
divirja. Por exemplo, diverge porque sua N-ésima soma parcial é . É bem 
menos evidente se a série seguinte converge ou diverge:
No Exemplo 4, usando o próximo teorema, mostraremos que essa série diverge.
CÁLCULO II 26
550 CÁLCULO
TEOREMA 2 Teste da divergência Se não converge a zero, então diverge.
Demonstração Usamos a relação
para escrever . Se for convergente com soma S, então
Assim, se não converge a zero, então deve divergir. ■
■ EXEMPLO 4 Usando o teste da divergência Será que a série
converge?
Solução O termo geral não tende a zero. De fato, tende a 1, 
portanto os termos pares tendem a 1 e os ímpares a −1. Portanto, a série diverge pelo 
Teorema 2. ■
O teste da divergência só conta uma parte da história. Se não tende a zero, então 
 certamente diverge. Mas o que acontece se convergir a zero? Nesse caso, a 
série pode convergir, ou não. Aqui temos um exemplo de uma série que diverge embora 
seus termos tendam a zero.
■ EXEMPLO 5 Uma série divergente cujos termos tendem a zero Mostre que
é divergente.
Solução Cada termo da N-ésima soma parcial é maior do que ou igual a :
Portanto,
Como , temos que e a série diverge. ■
Nosso próximo teorema mostra que as séries podem ser somadas ou subtraídas como 
somas comuns, desde que as séries sejam convergentes.
27 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 551
TEOREMA 3 Linearidade de séries infi nitas Se e são, ambas, convergentes, 
então e são convergentes (uma constante c qualquer) e
Demonstração Essas regras seguem das correspondentes regras de linearidade de limites. 
Para a primeira regra, temos
As demais afi rmações são demonstradas analogamente. ■
■ EXEMPLO 6 Calcule .
Solução Escrevemos a série como a soma de duas séries geométricas. Isso é permitido 
pelo Teorema 3 porque ambas séries geométricas são convergentes:
ENTENDIMENTO CONCEITUAL Às vezes, o seguinte argumento incorreto é dado para a 
soma de uma série geométrica:
Assim, 2S = 1 + S, ou S = 1. A resposta está certa; então, por que o argumento está 
errado? Está errado porque não sabemos de antemão que a série geométrica converge. 
Observe o que ocorre quando esse argumento é aplicado a uma série divergente:
Isso daria que −S = −1 + S, ou , o que claramente está errado, porque S diverge. 
Os matemáticos desenvolveram a defi nição formal de soma de uma série infi nita como 
o limite das somas parciais com o objetivo de evitar conclusões incorretas desse tipo.
CÁLCULO II 28
552 CÁLCULO
11.2 RESUMO
Uma • série infi nita é uma expressão
Dizemos que é o termo geral da série.
As séries infi nitas têm sido uma parte do Cálcu-
lo desde o início do assunto e, desde então, têm 
permanecido uma ferramenta indispensável da 
análise matemática. As séries geométricas já fo-
ram usadas por Arquimedes no Século III a.C., 
num argumento brilhante para determinar a área S 
de um setor parabólico (a região destacada na Fi-
gura 2). O resultado de Arquimedes é equivalente 
à nossa fórmula para a integral de , 
mas ele a descobriu 2.000 anos antes da invenção 
do Cálculo. Arquimedes expressou seu resultado 
geometricamente em vez de fazê-lo em termos de 
funções (que ainda não haviam sido inventadas). 
Dados quaisquer dois pontos A e C numa parábola, 
podemos escolher B entre A e C de tal modo que a 
tangente a B seja paralela a . Seja T a área do 
triângulo . Arquimedes provou que se D for 
escolhido de maneira similar em relação a e E 
em relação a , então
 
Essa construção de triângulos pode ser continuada. 
O próximo passo seria construir os quatro triângu-
los dos segmentos de área 
total , etc. Dessa maneira, obtemos uma 
infi nidade de triângulos que acabam preenchendo 
completamente o setor parabólico. Pela Equação 
(5) e a fórmula de uma série geométrica,
Por essa e muitas outras realizações, 
Arquimedes ocupa a posição de um dos 
maiores cientistas de todos tempos, no 
mesmo time de Gauss e Newton.
O estudo moderno de séries in-
fi nitas começou no Século XVII com 
Newton, Leibniz e seus contemporâneos. A di-
vergência de (denominada série harmô-
nica) era conhecida do erudito medieval Nicole 
d’Oresme (1323-1382), mas sua prova foi perdida 
por séculos e o resultado foi redescoberto mais 
de uma vez. Também era sabido que a soma dos 
quadrados recíprocos convergia e, em tor-
no de 1640, o italiano Pietro Mengoli lançou o 
desafi o de descobrir sua soma. Apesar do esforço 
dos melhores matemáticos da época, inclusive 
Leibniz e os irmãos Jakob e Johann Bernoulli, o 
problema resistiu sem solução por mais de um sé-
culo. Em 1735, o grande mestre Leonhard Euler 
surpreendeu seus contemporâneos provando que
Essa fórmula é usada de muitas maneiras em 
Teoria de Números. Por exemplo, a probabi-
lidade p de dois números inteiros aleatoria-
mente escolhidos não terem fator comum é 
 (o recíproco do resultado de 
Euler). Essa aplicação e outras como ela fi cam 
no cerne da Matemática “pura” e, por centenas 
de anos, parecia que o resultado de Euler não 
possuía aplicações no mundo real. Surpreenden-
temente, agora existe evidência que suas genera-
lizações podem desempenhar um papel na área 
de Física avançada denominada teoria do campo 
quântico. A história parece mostrar que mesmo 
o mais “puro” dos ramos da Matemática está co-
nectado com o mundo real.
B
C
A
B
C
A
E
D
Área S Área T
FIGURA 2 Arquimedes mostrou que a 
área S do setor parabólico é , onde T 
é a área do .
Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), que 
descobriu a lei da alavanca, disse “Dai-me 
um ponto de apoio e eu poderei mover a 
Terra” (citado por Pappus de Alexandria, 
cerca de 340 d.C.).
PERSPECTIVA 
HISTÓRICA
29 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 553
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
Nos Exercícios 3-6, calcule as somas parciais e .
 3. 4. 
A • N-ésima soma parcial é a soma fi nita
Se existir o limite , dizemos que a série infi nita é convergente ou converge 
à soma S. Se o limite não existir, dizemos que a série infi nita é divergente.
Teste da Divergência: • se não tende a zero, então diverge. Contudo, uma série 
pode divergir, mesmo se seu termo geral tender a zero.
Uma • série geométrica de razão r satisfazendo |r| < 1 é convergente e
A série geométrica diverge se . Existe uma fórmula para a soma parcial:
11.2 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
 1. Qual é o papel das somas parciais na defi nição de soma de uma 
série infi nita?
 2. Qual é a soma da série infi nita seguinte?
 3. O que acontece se aplicarmos a fórmula da soma de uma série 
geométrica à série seguinte? A fórmula é válida?
 4. André afi rma que porque tende a zero. Esse é um 
raciocínio válido?
 5. Fabiana afi rma que converge porque . 
Esse é um raciocínio válido?
 6. Encontre N tal que para a série .
 7. Existe algum N tal que para a série ? Explique.
 8. Dê um exemplo de uma série infi nita divergente cujo termo geral 
tenda a zero.
Exercícios
 1. Encontre uma fórmula para o termo geral (não da soma par-
cial) da série infi nita.
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
 2. Escreva em notação de somatório:
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 3
Convergência de Sériesde Termos Positivos
CÁLCULO II 32
556 CÁLCULO
 50. Pierre de Fermat utilizou séries geométricas para calcular a área 
sob o gráfi co de , acima de [0, A]. Para 0 < r < 1, seja 
F(r) a soma das áreas da infi nidade de retângulos pela direita de 
extremidades , como na Figura 5. Quando r tende a 1, os re-
tângulos fi cam mais estreitos e F(r) tende à área sob o gráfi co.
 (a) Mostre que .
 (b) use a Equação (7) para calcular .
FIGURA 5
y
f (x) = xN
r3A r2A rA A
x
 51. A mesa invisível de Cantor (segundo Larry Knop, do Hamilton 
College) Tomemos uma mesa de comprimento L (Figura 6). No es-
tágio 1, removemos a seção de largura centrada no ponto mé-
dio, com o que restam duas seções, cada uma de largura inferior a 
. No estágio 2, removemos seções de largura de cada uma 
dessas duas seções, com o que removemos da mesa. Agora res-
tam quatro seções, cada uma de largura inferior a . No estágio 
3, removemos as quatro seções centrais de largura , etc.
 (a) Mostre que no estágio N, cada seção que permanece tem largura 
inferior a e que a quantidade total removida da mesa é
 (b) Mostre que, no limite quando N → ∞, sobra exatamente uma 
metade da mesa.
 Esse resultado é, no mínimo, curioso, porque não resta intervalo 
de largura positiva algum da mesa (em cada estágio, as seções re-
manescentes têm largura inferior a ). Assim, a mesa “desa-
pareceu”. No entanto, qualquer objeto de largura superior a 
pode ser colocado sobre a mesa sem que caia ao chão, pois não 
conseguirá passar por nenhuma das seções removidas.
FIGURA 6
L/16 L/16L/4
 52. O fl oco de neve de Koch (descrito em 1904 pelo matemático 
sueco Helge von Koch) é uma curva “fractal” infi nitamente ás-
pera obtida como um limite de curvas poligonais (é contínua, 
mas não tem reta tangente em ponto algum). Começamos com 
um triângulo eqüilátero (estágio 0) e obtemos o estágio 1 substi-
tuindo cada aresta por quatro arestas, cada uma com um terço do 
comprimento, arranjados como na Figura 7. Continuamos o pro-
cesso e, no enésimo estágio, substituímos cada aresta por quatro 
arestas, cada uma com um terço do comprimento.
 (a) Mostre que o perímetro do polígono no enésimo estágio satis-
faz . Prove que . O fl oco de neve tem 
comprimento infi nito.
 (b) Seja a área do triângulo eqüilátero original. Mostre que no 
enésimo estágio são acrescentados novos triângulos, 
cada um com área igual a (para ). Mostre que a área 
total do fl oco de neve é .
Estágio 3Estágio 1 Estágio 2
FIGURA 7
11.3 Convergência de séries de termos positivos
Nas três próximas seções, enfocamos o problema de determinar se uma série infi nita con-
verge ou diverge. Isso é mais fácil do que encontrar a soma de uma série infi nita, o que só 
é possível em casos especiais.
Nesta seção, consideramos séries positivas , isto é, séries tais que 
para todo n (ou seja, os termos dessas séries são não-negativos). Os termos de uma 
série positiva podem ser visualizados como retângulos de largura 1 e altura (Figura 
1). A soma parcial
é igual à área dos N primeiros retângulos.
Existem métodos numéricos poderosos 
para encontrar aproximações de séries 
infi nitas. Quando implementados num 
computador, esses métodos podem ser 
usados para calcular somas com milhões 
de casas decimais (Exercícios 75-77).
33 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 557
Uma propriedade crucial das séries positivas é que suas somas parciais formam uma 
seqüência não-decrescente. Cada soma parcial é obtida da precedente pela adição de um 
número não-negativo:
e, portanto, . Recorde que uma seqüência não-decrescente converge se for 
limitada superiormente e, caso contrário, diverge (Teorema 6, Seção 11.1). Segue que 
só existem dois comportamentos possíveis para uma série positiva (nos referimos a 
isso como uma “dicotomia”).
TEOREMA 1 Teorema da dicotomia de séries positivas Se é uma série positiva, 
então existem duas possibilidades:
 (i) As somas parciais são limitadas superiormente. Nesse caso, S converge.
 (ii) As somas parciais não são limitadas superiormente. Nesse caso, S diverge.
Hipóteses importam Essa dicotomia não é válida em geral, para séries não-positivas. As so-
mas parciais da série não-positiva
são limitadas, já que ou 0, mas S diverge.
Uma das mais importantes aplicações do Teorema 1 é o teste da integral seguinte, que 
é útil porque, muitas vezes, é mais fácil calcular uma integral do que uma série.
TEOREMA 2 Teste da integral Seja , onde f (x) é positiva, não-crescente e 
contínua em x ≥ 1.
 (i) Se converge, então converge.
 (ii) Se diverge, então diverge.
O teste da integral é válido para 
quaisquer séries , desde que 
f (x) seja positiva, não-crescente e 
contínua em , para algum M. A 
convergência da série é determinada 
pela convergência de
Demonstração Comparamos com a área sob o gráfi co de f (x), acima do intervalo [1, N]. 
Como f (x) é não-crescente (Figura 2),
Se a integral imprópria da direita convergir, então as somas permanecem 
limitadas. Nesse caso, também permanece limitada e a série infi nita converge pelo 
teorema da dicotomia (Teorema 1). Isso para (i).
Por outro lado (Figura 3),
 
FIGURA 1 A soma parcial é a soma 
das áreas dos N retângulos destacados.
a1 a2 a3 aN x
y
3
2
1
1 2 3 N
FIGURA 2
a1 a3a2 a4 aN
x
y
N
y = f (x)
1 2 3 4
CÁLCULO II 34
558 CÁLCULO
Se diverge, então tende a ∞ e (1) mostra que também 
tende a ∞. Isso prova (ii). ■
■ EXEMPLO 1 Divergência da série harmônica Mostre que diverge.
Solução A função é positiva, decrescente e contínua em , portanto pode-
mos usar o teste da integral:
A integral diverge e, portanto, a soma também diverge. ■
■ EXEMPLO 2 Determine se converge.
Solução A função é positiva e contínua em e é decrescente, pois 
 é negativa:
Portanto, podemos aplicar o teste da integral. Usamos a substituição , du = 
2x dx para calcular a integral imprópria:
A integral converge e, portanto, também converge. ■
O teste da integral é aplicável à soma dos recíprocos das potências, denominada 
série p.
TEOREMA 3 Convergência de séries p A série converge se p > 1 e, caso contrá-
rio, diverge.
Demonstração Se , temos
Como tende a zero se p > 1 e a ∞ se p < 1, a integral imprópria converge se p > 1 
e diverge se p < 1. O mesmo vale para a série p, pelo teste da integral. Para p = 1, a série 
diverge, como vimos no Exemplo 1. ■
A série infi nita
é denominada “série harmônica”.
FIGURA 3
a2a1 a3 aN−1
x
y
N
y = f (x)
1 2 3 4
35 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 559
Dois exemplos de séries p são:
Um outro método poderoso para determinar a convergência de séries positivas é o 
da comparação. Suponha que . A Figura 4 sugere que se a soma maior 
convergir, então a soma menor também converge e, analogamente, se a soma menor 
divergir, então a soma maior também diverge.
TEOREMA 4 Teste da comparação
Suponha que exista M > 0 tal que para n ≥ M:
 (i) Se converge, então também converge.
 (ii) Se diverge, então também diverge.
Demonstração Suponha, sem perda de generalidade, que M = 1. Se conver-
ge, então
 
Assim, as somas parciais de são limitadas superiormente por S e converge 
pelo teorema da dicotomia (Teorema 1). Por outro lado, se diverge, então suas so-
mas parciais crescem sem cota e (2) mostra que também diverge. ■
■ EXEMPLO 3 Mostre que converge.
Solução Aplicamos o teste da comparação com e . Isso é permitido 
porque e, assim, para . A série geométrica converge:
Portanto, a série menor converge. ■
■ EXEMPLO 4 Mostre que converge.
A convergência de uma série infi nita 
não depende de onde a sériecomeça. 
Portanto, o teste da comparação 
permanece válido mesmo se a série 
não começa com n = 1.
Em palavras, o teste da comparação 
afi rma que, para séries positivas:
a convergência de séries maiores força •
a convergência de séries menores.
a divergência de séries menores força •
a divergência de séries maiores.
FIGURA 4 A série é dominada 
pela série .
b1 b2 b3 bN
a1 a2 a3 aN
x
y
1 2 3 N
CÁLCULO II 36
560 CÁLCULO
Solução Comparamos com a série geométrica . Para ,
A série geométrica converge, portanto também converge. ■
■ EXEMPLO 5 Determine se converge.
Solução Comparamos com a série harmônica mostrando que, para ,
Basta mostrar que f (x) = x − ln x é positiva em . Contudo, f (1) = 1 e é cres-
cente, pois para x > 1. Portanto, f (x) > 1 para x > 1, como queríamos 
mostrar. Como a série harmônica diverge, a série maior também diverge. ■
■ EXEMPLO 6 Usando corretamente o teste da comparação Estude a convergência de
Solução Poderíamos pensar em comparar com a série harmônica usan-
do a desigualdade (válida para )
Contudo, diverge, de modo que essa desigualdade não dá informação alguma sobre 
a série menor . Felizmente, nesse caso podemos usar o teste da integral. A 
substituição u = ln x dá
O teste da integral mostra que converge. ■
Suponha que queiramos estudar a convergência de
 
No Exemplo 5, a série começa com
n = 2 porque 1/ln n não está defi nido 
para n = 1.
37 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 561
Para n grande, o termo geral está muito próximo de :
portanto poderíamos comparar S com a série convergente . Contudo, não podemos 
usar o teste da comparação diretamente porque a desigualdade exata é no sentido errado:
Nesse caso, podemos aplicar a variação seguinte do teste da comparação.
TEOREMA 5 Teste da comparação no limite Sejam e seqüências positivas. Su-
ponha que exista o limite seguinte:
 (i) Se L > 0, então converge se, e somente se, converge.
 (ii) Se L = 0 e converge, então converge.
ADVERTÊNCIA O teorema da comparação 
no limite não pode ser aplicado quando 
a série não for positiva. Ver Exercício 38 
na Seção 11.4.
Demonstração Inicialmente, mostramos que se converge e L > 0 ou L = 0, então 
converge. Escolha um número positivo R > L. Como as seqüências são positivas e ten-
de a L, temos e, assim, , para todo n sufi cientemente grande. Como 
 também converge, a série converge pelo teste da comparação.
Agora suponha que L > 0 e que convirja. Podemos escolher r tal que 0 < r < 
L. Como tende a L, temos e, assim, , para todo n sufi ciente-
mente grande. Desse modo, converge pelo teste da comparação e, portanto, a 
série converge. ■
■ EXEMPLO 7 Mostre que converge.
Solução Seja . Observamos acima que para n grande, portanto faz 
sentido aplicar o teste da comparação no limite com :
Como existe L e converge, também converge. ■
CÁLCULO II 38
562 CÁLCULO
■ EXEMPLO 8 Determine se converge.
Solução Sejam e . Então
Como diverge e L > 0, a série também diverge. ■
11.3 RESUMO
As somas parciais • de uma série positiva formam uma seqüência não-
decrescente.
Teorema da dicotomia: • Uma série positiva S converge se suas somas parciais permane-
cem limitadas. Caso contrário, diverge.
Teste da integral: • Se f for positiva, não-crescente e contínua, então con-
verge (ou diverge) se, para algum M > 0, converge (ou diverge).
Série p: • A série converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Teste da comparação: • Suponha que exista um M > 0 tal que para . 
Se converge, então converge; se diverge, então diverge.
Teste da comparação no limite: • Sejam e seqüências positivas e suponha que 
exista o limite seguinte:
Se – L > 0, então converge se, e somente se, converge.
Se – L = 0 e converge, então converge.
 1. Seja . Se as somas parciais forem crescentes, en-
tão (escolha a conclusão correta)
 (a) é uma seqüência crescente;
 (b) é uma seqüência positiva.
 2. Quais são as hipóteses do teste da integral?
 3. Qual teste deveríamos usar para determinar se converge?
 4. Qual teste deveríamos usar para determinar se 
converge?
 5. Rafael acha que é possível investigar a convergência de 
comparando-a com . Rafael está no caminho certo?
11.3 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
39 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3
ANOTAÇÕES
CÁLCULO II 40
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
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Parte 4
Teste da Razão e da Raiz
CÁLCULO II 42
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 571
 28. O teste de Leibniz não pode ser aplicado a
 Por que não? Mostre que essa série converge, usando outro método.
 29. Determine se a série seguinte converge condicionalmente:
 30. Prove que se converge absolutamente, então tam-
bém converge. Em seguida, forneça um contra-exemplo para 
mostrar que não precisa convergir se for apenas 
condicionalmente convergente.
 31. Prove a variante seguinte do teste de Leibniz: se a seqüência 
for positiva não-crescente com , então a série
 converge. Sugestão: mostre que é não-decrescente e limitada 
por e prossiga como na prova do teste de Leibniz.
 32. Use o Exercício 31 para mostrar que a série seguinte converge:
 33. Prove a convergência condicional de
 34. Mostre que a série seguinte diverge:
 Sugestão: use o resultado do Exercício 33 para escrever S como 
a soma de uma série convergente e uma divergente.
 35. Hipóteses importam Exiba um contra-exemplo para 
mostrar que o teste de Leibniz não permanece verdadeiro se 
tender a zero mas deixarmos de exigir que a seqüência seja 
não-crescente. Sugestão: considere
 36. Prove que, dado qualquer expoente a, a série 
converge. Sugestão: mostre que é decrescente se 
x for sufi cientemente grande.
 37. Dizemos que é um rearranjo de se tiver os mesmos 
termos do que , só que em ordem diferente. Mostre que se 
 for um rearranjo de e se convergir abso-
lutamente, então também converge absolutamente. 
(Esse resultado não é válido se S for somente condicionalmente 
convergente.) Sugestão: prove que as somas parciais são 
limitadas. Pode ser mostrado, também, que S = T.
 38. Hipóteses importam Em 1829, Lejeune Dirichlet indicou que 
o grande matemático francês Augustin Louis Cauchy havia co-
metido um erro num artigo publicado supondo que o teste da 
comparação no limite fosse válido para séries não-positivas. Eis 
as duas séries de Dirichlet:
 Explique como elas fornecem um contra-exemplo do teste da com-
paração no limite quando as séries não são tomadas positivas.
Compreensão adicional e desafi os
11.5 Testes da razão e da raiz
Como veremos na Seção 11.7, o número e tem uma expressão bem conhecida como uma 
série infi nita:
Contudo, os testes de convergência desenvolvidos até aqui não podem ser facilmente apli-
cados a essa série. Isso indica a necessidade do teste seguinte, que também é de funda-
mental importância no estudo de séries de potências (Seção 11.6).
43 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4
572 CÁLCULO
TEOREMA 1 Teste da razão Seja uma seqüência e suponha que exista o limite 
seguinte:
 (i) Se , então converge absolutamente.
 (ii) Se , então diverge.
 (iii) Se , o teste da razão é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
O símbolo , pronunciado “ro”, é a 
décima sétima letra do alfabeto grego.
Demonstração Se , podemos escolher um número rtal que . Como 
converge a , existe um número M tal que para . Portanto,
Em geral, e, portanto,
A série geométrica à direita converge, pois , de modo que converge 
pelo teste da comparação. Assim, converge absolutamente.
Se , escolha um número r tal que . Como converge a , existe 
um número M tal que para . Argumentando como antes, mas com as 
desigualdades invertidas, obtemos que . Como tende a ∞, vemos que 
os termos não tendem a zero e, conseqüentemente, diverge. Finalmente, o 
Exemplo 4 a seguir mostra que ambas convergência e divergência são possíveis quando 
, de modo que o teste é inconclusivo. ■
■ EXEMPLO 1 Prove que converge.
Solução Calculamos o limite . Seja . Então
Como , S converge, pelo teste da razão. ■
CÁLCULO II 44
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 573
■ EXEMPLO 2 Use o teste da razão para determinar se converge.
Solução Seja . Temos
Como , a série converge, pelo teste da razão. ■
■ EXEMPLO 3 Determine se converge.
Solução Seja . Então
Vemos que a razão dos coefi cientes tende ao infi nito:
Como diverge, pelo teste da razão. ■
■ EXEMPLO 4 Teste da razão inconclusivo Mostre que , tanto para quanto 
. Conclua que o teste da razão é inconclusivo quando .
Solução Para , temos
Por outro lado, para , temos
Assim, em ambos casos, , mas diverge e converge (uma série p 
com p = 2). Isso mostra que no caso são possíveis tanto a convergência quanto 
a divergência. ■
Para algumas séries, é mais conveniente usar o teste da raiz seguinte, que utiliza as 
raízes enésimas em vez das razões . A prova do teste da raiz, do mesmo 
modo como o do teste da razão, baseia-se numa comparação com séries geométricas 
(Exercício 53).
45 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4
574 CÁLCULO
TEOREMA 2 Teste da raiz Seja uma seqüência e suponha que exista o limite se-
guinte:
 (i) Se L < 1, então converge absolutamente.
 (ii) Se L > 1, então diverge.
 (iii) Se L = 1, o teste da raiz é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir.
■ EXEMPLO 5 Determine se converge.
Solução Seja . Então
Como , a série converge. ■
11.5 RESUMO
Teste da razão: • suponha que exista o limite seguinte:
Então converge absolutamente se e diverge se . O teste é inconclusivo 
se .
Teste da raiz: • suponha que exista o limite seguinte: . Então con-
verge se e diverge se . O teste é inconclusivo se .
 1. No teste da razão, é igual a ou a ?
 2. O teste da razão é conclusivo para ? É conclusivo para 
 3. Pode o teste da razão ser usado para mostrar a convergência de 
uma série que somente é condicionalmente convergente?
11.5 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
Nos Exercícios 1-18, aplique o teste da razão para determinar convergên-
cia ou divergência, ou então diga que o teste da razão é inconclusivo.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
Exercícios
CÁLCULO II 46
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
1
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 5
Séries de Potências
CÁLCULO III 48
576 CÁLCULO
 55. Seja , onde c é uma constante.
 (a) Prove que S converge absolutamente se |c| < e e diverge se
|c| > e.
 (b) É sabido que . Verifi que isso numerica-
mente.
 (c) Use o teste da comparação no limite para provar que S diverge se 
c = e.
11.6 Séries de potências
Na introdução deste capítulo, mencionamos que pode ser visto como um “polinômio 
infi nito” denominado série de potências:
Nesta seção, desenvolvemos as propriedades básicas das séries de potências, especial-
mente o conceito fundamental de raio de convergência.
Uma série de potências centrada no ponto x = c é uma série infi nita da forma
Para poder usar uma série de potências, precisamos determinar os valores de x nos quais a 
série converge. Ela certamente converge em seu centro x = c:
Em quais outros valores ela converge? O teorema seguinte afi rma que toda série de potên-
cias converge absolutamente num intervalo que é simétrico em torno do centro x = c (o 
intervalo podendo ser infi nito ou possivelmente reduzido ao único ponto c).
TEOREMA 1 Raio de convergência Seja . Existem três possi-
bilidades:
 (i) F(x) converge somente em x = c, ou
 (ii) F(x) converge em cada x, ou
 (iii) existe um número R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e 
diverge se |x − c| > R; nas extremidades |x − c| = R a série pode convergir, ou não.
No caso (i), tomamos R = 0 e no caso (ii) tomamos R = ∞. Dizemos que R é o raio 
de convergência de F(x).
Demonstração Vamos supor que c = 0 para simplifi car a notação. A observação funda-
mental é que se F(x) converge em algum valor não-nulo x = B, então ela converge abso-
lutamente em cada |x| < B. Para provar isso, observe que se converge, 
então o termo geral deve tender a zero. Em particular, existe algum M > 0 tal que 
, para todo n e, portanto,
A maioria das funções que 
aparecem em aplicações podem 
ser representadas por séries de 
potências. Isso inclui não só as 
funções trigonométricas, exponenciais, 
logarítmicas e raízes conhecidas, mas 
também as funções mais avançadas da 
Física e Engenharia, como as “funções 
especiais” de Bessel e as elípticas.
49 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 577
Se |x| < |B|, então |x/B| < 1 e a série à direita é uma série geométrica convergente. Pelo 
teste da comparação, a série à esquerda também converge e, portanto, F(x) converge ab-
solutamente se |x| < |B|.
Seja S o conjunto de números x nos quais F(x) converge. Então S contém 0. Se S 
= {0}, então F(x) converge somente em x = 0 e temos o caso (i). Caso contrário, S 
contém algum número . Então, pelo que vimos no parágrafo precedente, S con-
tém o intervalo aberto (−|B|, |B|). Se S for limitado, então S tem um supremo L > 0
(ver nota ao lado). Como existem números menores do que mas arbitrariamente 
próximos de L, S contém (−B, B), para todo 0 < B < L. Segue que S contém o intervalo 
aberto (−L, L). S não pode conter qualquer número x com |x| > L, mas S pode conter 
uma ou ambas extremidades . Esse é o caso (iii). Se S não for limitado, então 
S contém intervalos (−B, B), para B arbitrariamente grande. Assim, S = R e temos o 
caso (ii). ■
De acordo com o Teorema 1, se o raio de convergência R for não-nulo e fi nito, então 
F(x) converge absolutamente num intervalo centrado em c de raio R (Figura 1). Em alguns 
casos, o teste da razão pode ser usado para encontrar o raio de convergência.
Converge absolutamente DivergeDiverge
Convergência possível nas extremidades
c − cR + Rc
x
■ EXEMPLO 1 Usando o teste da razão Em quais valores de x converge ?
Solução Seja e calculemos a razão do teste da razão:
Pelo teste da razão, F(x) converge se , ou seja, se |x| < 2. Analogamente, 
F(x) diverge se , ou |x| > 2. Portanto, o raio de convergência é R = 2.
O que acontece nas extremidades? O teste da razão é inconclusivo em , por-
tanto devemos conferir esses casos diretamente. Ambas séries divergem:
Portanto, F(x) converge somente em |x| < 2 (Figura 2). ■
Propriedade do supremo: se S for um 
conjunto de números reais com uma 
cota superior M (ou seja, para 
todo ), então S tem um supremo. 
Ver Apêndice B.
FIGURA 1 O intervalo de convergência 
de uma série de potências.
FIGURA 2 O intervalo de convergência 
de 
x
2
DivergeDiverge
Diverge Diverge
Converge
absolutamente
−2 0
CÁLCULO III 50
578 CÁLCULO
O método do exemplo precedente pode ser aplicado, mais geralmente, a qualquer 
série de potências para a qual exista o limite seguinte:
Calculamos o limite do teste da razão aplicado a F(x):
Pelo teste da razão, F(x) converge se ediverge se . 
Assim, se r for fi nito e não-nulo, então F(x) converge se e o raio de con-
vergência é . Se r = 0, então F(x) converge em cada x e o raio de convergência é 
. Se , então F(x) diverge em cada e R = 0.
TEOREMA 2 Encontrando o raio de convergência Seja e suponha 
que exista o limite seguinte:
Então F(x) tem raio de convergência (onde tomamos se r = 0 e
R = 0 se ).
■ EXEMPLO 2 Determine o raio de convergência de .
Solução Seja . Então
O raio de convergência é . Portanto, a série de potências converge absolutamente 
se |x − 5| < 1 e diverge se |x − 5| > 1. Em outras palavras, F(x) converge absolutamente 
no intervalo aberto (4, 6). Nas extremidades, temos
Portanto, a série de potências converge no intervalo semi-aberto (4, 6]. ■
■ EXEMPLO 3 Raio de convergência infi nito Mostre que converge em cada x.
51 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 579
Solução Seja . Então
Assim, e a série converge em cada x, pelo Teorema 2. ■
A série geométrica fornece um exemplo importante de série de potências. Lembre 
que, se |r| < 1, então . Escrevendo x em vez de r, podemos ver essa fórmu-
la como uma expansão em série de potências:
 
Os dois próximos exemplos mostram que essa fórmula pode ser adaptada para obter a 
representação em série de potências de outras funções.
■ EXEMPLO 4 Usando a fórmula das séries geométricas Prove que , se 
.
Solução Substituindo x por 2x na Equação (1):
 
A expansão (1) é válida se |x| < 1 e, portanto, a expansão (2) é válida se |2x| < 1, ou 
. ■
■ EXEMPLO 5 Prove que . Para quais x é válida essa fórmula?
Solução Inicialmente reescrevemos no formato , para poder usar a Equação (1):
Podemos substituir x por na Equação (1), desde que tenhamos , para obter
Essa expansão é válida se , ou . ■
Nosso próximo teorema afi rma, essencialmente, que as séries de potências são 
funções bem comportadas, no seguinte sentido: uma série de potências F(x) é derivável 
dentro de seu intervalo de convergência e podemos derivar e integrar F(x) como se 
fosse um polinômio.
Quando uma função f (x) é 
representada por uma série de 
potências num intervalo I, dizemos que 
a série de potências é uma “expansão 
em série de potências” de f (x) em I. 
Na próxima seção, mostramos que uma 
função tem, no máximo, uma expansão 
em série de potências com um dado 
centro c num intervalo.
CÁLCULO III 52
580 CÁLCULO
TEOREMA 3 Derivação e integração termo a termo Suponha que
tenha um raio de convergência R > 0. Então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e sua 
derivada e antiderivada podem ser calculadas termo a termo. Mais precisamente, para 
cada , temos
Essas séries têm o mesmo raio de convergência R.
Ver o Exercício 58 para uma prova da continuidade de F(x). As provas das demais 
afi rmações são omitidas.
■ EXEMPLO 6 Derivando uma série de potências Prove que
se −1 < x < 1.
Solução Observando que
obtemos o resultado derivando a série geométrica termo a termo com |x| < 1:
 
A expansão (3) é válida em |x| < 1 porque a série geométrica tem raio de convergência 
R = 1. ■
■ EXEMPLO 7 A série de potências de f (x) = arc tg x por integração Prove que, para 
−1 < x < 1,
 
Solução Inicialmente, substituímos x por em (1) para obter:
Como a série geométrica tem raio de convergência R = 1, essa expansão é válida em 
, ou seja, . Agora aplicamos o Teorema 3 para integrar essa série termo a 
termo, lembrando que arc tg x é uma antiderivada de :
53 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 581
Para determinar a constante A, tomamos x = 0. Obtemos arc tg 0 = 0 = A e, portanto, A = 
0. Isso prova a Equação (4) para −1 < x < 1. ■
ENTENDIMENTO GRÁFICO Examinemos grafi camente a expansão do exemplo precedente. 
As somas parciais da série de potências para f (x) = arc tg x são
É de se esperar que forneça uma boa aproximação para f (x) = arc tg x no inter-
valo (−1, 1) em que é válida a expansão em série de potências. A Figura 3 confi rma 
isso: os gráfi cos das somas parciais e são praticamente indistinguíveis 
do gráfi co de arc tg x em (−1, 1). Assim, podemos usar as somas parciais para apro-
ximar os valores do arco tangente. Por exemplo, uma aproximação de arc tg (0,3) é 
dada por
Como a série de potências é alternada, o erro não é maior do que o primeiro termo 
omitido:
A situação muda drasticamente na região |x| > 1, na qual a série de potências diverge. 
As somas parciais desviam fortemente de arc tg x fora de (−1, 1).
21−2 −1
1
−1
x
y y = S50(x)
y = arc tg x
21−2 −1
1
−1
x
yy = S51(x)
y = arc tg x
)B()A(
Soluções em série de potências de equações diferenciais
Na próxima seção, utilizamos a teoria de séries de Taylor para provar que a função ex-
ponencial é representada por uma série de potências. Contudo, já podemos 
mostrar isso com as ferramentas à nossa disposição utilizando a equação diferencial 
satisfeita por . Recorde que, pelo Teorema 1 da Seção 7.4, é a úni-
ca função satisfazendo a equação diferencial , com condição inicial y(0) = 1.
Tentemos obter uma série de potências que também satisfaça 
 e P(0) = 1.
FIGURA 3 e são 
praticamente indistinguíveis de arc tg x 
em (−1, 1).
CÁLCULO III 54
582 CÁLCULO
Temos
Vemos que P(x) satisfaz se
Em geral, , ou
Dizemos que essa relação é recursiva. Com ela, podemos determinar, sucessivamente, 
todos coefi cientes a partir do primeiro coefi ciente , que pode ser escolhido arbitraria-
mente. Por exemplo, essa relação recursiva fornece
Para obter uma fórmula geral de , aplicamos a relação recursiva n vezes:
Concluímos que . Como mostramos no Exemplo 3, essa série de potências 
tem um raio de convergência infi nito e, portanto, P(x) é uma solução de , para todo x.
Agora observe que , portanto colocamos e obtemos uma solução 
satisfazendo a condição inicial y(0) = 1. Agora, como e P(x) ambas satis-
fazem a equação diferencial com condição inicial, elas coincidem. Assim, provamos 
que, para todo x,
 
O método que acabamos de usar é uma ferramenta poderosa no estudo de equações 
diferenciais. Já sabíamos, de antemão, que é uma solução de , mas diga-
mos que tenhamos uma equação diferencial cuja solução seja desconhecida. Podemos 
tentar encontrar uma solução na forma de uma série de potências . Em 
casos favoráveis, a equação diferencial leva a uma relação recursiva que nos permite 
determinar os coefi cientes .
■ EXEMPLO 8 Encontre uma solução em série de potências da equação diferencial
 
com condição inicial .
A solução da Equação (6) satisfazendo 
 é denominada “função de 
Bessel de ordem um”. A função de 
Bessel de ordem n é uma solução de
As funções de Bessel aparecem 
em muitas áreas da Física e da 
Engenharia.
55 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 583
Solução Suponha que a Equação (6) tenha uma solução em série de 
potências. Então
Agora substituímos as séries de e na equação diferencial (6) para determinar a 
relação recursiva satisfeita pelos coefi cientes :
Vemos que a equação está satisfeita se
 
Os primeiros termos de cada lado dessa equação são
Combinando os coefi cientes de , obtemos
 
Em geral, e, com isso, obtemos a relação recursiva
 
Observe que, por (8), temos . A relação recursiva implica que todos os coefi cientes 
 pares são nulos:
Quanto aos coefi cientes ímpares, observe que podemos escolher arbitrariamente . Con-
tudo, . Assim, tomamos , com o queP(x) satisfaz a condição inicial 
. Agora aplicamos a Equação (9):
CÁLCULO III 56
584 CÁLCULO
Isso mostra o padrão geral dos coefi cientes. Para escrever os coefi cientes numa forma 
compacta, seja n = 2k + 1. Então
e a relação recursiva pode ser escrita como
Aplicando essa relação recursiva k vezes, obtemos a fórmula fechada
Assim, obtivemos uma representação em série de potências de nossa solução:
Uma aplicação direta do teste da razão mostra que P(x) tem um raio de convergência infi -
nito. Portanto, P(x) é uma solução do problema de valor inicial para todo x. ■
11.6 RESUMO
Uma • série de potências é uma série infi nita da forma
Dizemos que a constante c é o centro da série.
Uma série de potências tem um de três comportamentos: •
 (i) F(x) converge somente em x = c, ou
 (ii) F(x) converge em cada x, ou
 (iii) existe R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e diverge se |x − c| > R.
Dizemos que R é o raio de convergência de F(x). A convergência nas extremidades 
 deve ser conferida separadamente. Tomamos R = 0 no caso (i) e R = ∞ no 
caso (ii).
Se existir • , então F(x) tem um raio de convergência (onde R = 
0 se r = ∞ e R = ∞ se r = 0).
57 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 585
Se • R > 0, então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e pode ser derivada e integrada termo 
a termo:
(A é uma constante qualquer). As séries de potências de e têm o mes-
mo raio de convergência R.
A expansão em série de potências • é válida em . Ela pode ser 
usada para deduzir expansões de outras funções relacionadas por meio de substituição, 
integração e derivação.
 1. Suponha que convirja em x = 5. Essa série também 
precisa convergir em x = 4? E em x = −3?
 2. Suponha que convirja em x = 10. Essa série tam-
bém precisa convergir em qual dos pontos em (a)-(d)?
 (a) x = 8 (b) x = 12 (c) x = 2 (d) x = 0
 3. Suponha que F(x) seja uma serie de potências com raio de con-
vergência R = 12. Qual é o raio de convergência de F(3x)?
 4. A série de potências tem um raio de convergên-
cia R = 1. Qual é a expansão em série de potências de e 
qual é seu raio de convergência?
 1. Use o teste da razão para determinar o raio de convergência de 
.
 2. Use o teste da razão para mostrar que tem um raio de 
convergência R = 2. Em seguida, determine se a série converge 
absoluta ou condicionalmente nas extremidades .
 3. Mostre que as três séries seguintes têm o mesmo raio de conver-
gência. Em seguida, mostre que (a) diverge em ambas extremi-
dades, (b) converge numa extremidade mas diverge na outra e (c) 
converge em ambas extremidades.
 (a) (b) (c) 
 4. Repita o Exercício 3 para as séries seguintes:
 (a) (b) (c) 
 5. Mostre que diverge em todo .
 6. (a) Encontre o raio de convergência de .
 (b) Determine se a série converge nas extremidades do intervalo de 
convergência.
Nos Exercícios 7-26, obtenha os valores de x nos quais a série de 
potências dada convirja.
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
 21. 22. 
11.6 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
Exercícios
CÁLCULO III 58
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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Parte 6
Séries de Taylor
CÁLCULO III 60
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 587
11.7 Séries de Taylor
Na seção precedente, vimos que funções como e f (x) = arc tg x podem ser 
representadas como séries de potências. Essas séries de potências fornecem uma com-
preensão bastante clara da função representada e nos permitem aproximar os valores de 
f (x) com qualquer grau de precisão desejado. Assim, é desejável desenvolver métodos 
gerais de obtenção de representações em séries de potências.
Suponha que f (x) tenha uma representação em série de potências centrada em x = c 
que seja válida para todo x do intervalo (c − R, c + R), com R > 0:
61 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
588 CÁLCULO
Então podemos derivar a série termo a termo (Teorema 3 da Seção 11.6) para obter
Tomando x = c em cada uma dessas séries, vemos que
Isso mostra que os coefi cientes são dados pela fórmula (provando o Teorema 1 a seguir):
 
Lembre que esses são os coefi cientes dos polinômios de Taylor. Resumindo,
A série de potências à direita é denominada série de Taylor de f (x) centrada em x = c. No 
caso especial em que c = 0, a série de Taylor também é denominada série de Maclaurin:
TEOREMA 1 Unicidade da expansão em série de potências Se f (x) for representada por 
uma série de potências F(x) centrada em c num intervalo (c − R, c + R), com R > 0, 
então F(x) é a série de Taylor de f (x) centrada em x = c.
■ EXEMPLO 1 Encontre a série de Maclaurin de .
Solução Para todo n, a derivada enésima é , de modo que
Portanto, os coefi cientes da série de Maclaurin são e a série de 
Maclaurin é
 
■
O Teorema 1 nos diz que se quisermos representar f (x) por uma série de potências 
centrada em c, o único candidato para esse trabalho é a série de Taylor:
CÁLCULO III 62
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 589
Contudo, não há garantia que T(x) convirja para f (x). Para estudar a convergência, consi-
deramos a k-ésima soma parcial, que é o polinômio de Taylor de grau k:
Lembre que o resto é defi nido por
Como T(x) é o limite das somas parciais , vemos que
A série de Taylor converge a f (x) se, e somente se, .
Embora não exista um método geral para determinar se converge a zero, muitas 
vezes podemos aplicar o teorema seguinte.
TEOREMA 2 Seja f (x) uma função infi nitamente derivável no intervalo aberto I = (c − R, 
c + R), com R > 0. Suponha que exista tal que, para todo , valha
Então f (x) é representada por sua série de Taylor em I:
 LEMBRETE Dizemos que f (x) é 
“infi nitamente derivável” se existir 
 para todo n.
Demonstração Aplicamos a estimativa do erro de polinômios de Taylor:
(Ver Teorema 1, Seção 9.4.) Se , então e
Conforme foi visto no Exemplo 8 da Seção 11.1, para qualquer número R, a quanti-
dade tende a zero quando . Concluímos que para todo 
 e decorre o Teorema 2. ■
■ EXEMPLO 2 Expansões de Maclaurin do seno e do cosseno Mostre que as expansões de 
Taylor seguintes são válidas para todo x:
As expansões de Taylor foram estudadas 
ao longo dos Séculos XVII e XVIII por 
Euler, Gregory, Leibniz, Maclaurin, 
Newton, Taylor, dentre outros. Esses 
desenvolvimentos na Europa e 
Inglaterra foram antecipados pelo 
grande matemático hindu Madhava 
(cerca de 1340-1425) que, séculos 
antes, descobriu as expansões do seno 
e cosseno e muitos outros resultados.
63 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
590 CÁLCULO
Solução Para f (x) = sen x, temos
Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de 
sen x são . Analogamente para f (x) = cos x,
Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de 
cos x são .
Em ambos casos, , para todo x e n. Assim, podemos aplicar o Teorema 
2 com M = 1 e qualquer R para concluir que as séries de Taylor convergem para f (x) com 
|x| < R. Como R é arbitrário, as expansões de Taylor são válidas para todo x. ■
■ EXEMPLO 3 Expansão de Taylor de em x = c Encontre a série de Taylor de 
 em x = c.
Solução Temos para todo x e, portanto,
Para provar a convergência, observamos que é crescente e, portanto, para qual-
quer R, vale para todo . Aplicando o Teorema 2 
com , concluímos que T(x) converge a f(x) para todo .
Como R é arbitrário, a expansão de Taylor vale para todo x. Para c = 0, obtemos a série 
de Taylor padrão
 
■
Atalhos para encontrar séries de Taylor
Como uma série de Taylor é uma série de potências, podemos derivar e integrar uma série 
de Taylor termo a termo dentro de seu intervalo de convergência, pelo Teorema 3 da Se-
ção 11.6. Também podemos multiplicar duas séries de Taylor ou substituir uma série de 
Taylor dentro de uma outra (omitimos as demonstrações desses fatos). Isso leva a atalhos 
para a geração de novas séries de Taylor a partir de outras conhecidas.
■ EXEMPLO 4 Encontre a série de Maclaurin de .
Solução A série de Maclaurin de f (x) é obtida multiplicando as séries de Maclaurin co-
nhecidas de e :
 
■
 LEMBRETE As derivadas de f (x) = 
sen x formam um padrão repetitivo de 
comprimento 4:
CÁLCULO III 64
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 591
Em alguns casos, não existe uma fórmula conveniente para os coefi cientes de 
Taylor de um produto, mas podemos calcular numericamente tantos coefi cientes quan-
tos quisermos.
■ EXEMPLO 5 Multiplicação de séries de Taylor Escreva os cinco primeiros termos da sé-
rie de Maclaurin de .
Solução Multiplicamos os polinômios de Taylor de ordem 5 de e cos x, abandonando 
os termos de grau superior a 5:
Distribuindo os termos à esquerda (e ignorando termos de grau maior do que 5), obtemos
Concluímos que os cinco primeiros termos da série de Taylor de são
 
■
■ EXEMPLO 6 Substituição Use substituição para determinar a série de Maclaurin de 
.
Solução A série de Maclaurin de é obtida substituindo x por na série de Maclau-
rin de :
 
Como a expansão de Taylor de é válida para todo x, essa expansão também é válida 
para todo x. ■
■ EXEMPLO 7 Integração de série de Taylor Encontre a série de Maclaurin de f (x) = 
ln(1 + x).
Solução No nosso estudo de polinômios de Taylor, calculamos diretamente os polinômios 
de Maclaurin de ln(1 + x). Agora obtemos o mesmo resultado integrando a série geomé-
trica de razão −x:
 
 
Além disso, (3) vale com |x| < 1, de modo que a expansão de ln(1 + x) também é válida 
com |x| < 1. Essa expansão também vale em x = 1 (Exercício 83). ■
Em princípio, poderíamos precisar de 
uma constante de integração no lado 
direito da Equação (4). Contudo, a 
constante de integração é zero porque 
ambos ln(1 + x) e a série de potências 
têm o valor 0 em x = 0.
65 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
592 CÁLCULO
As séries de Taylor podem ser usadas para expressar integrais defi nidas como séries 
infi nitas. Isso é útil quando o integrando não tem uma antiderivada explícita e o TFC não 
puder ser usado. Para justifi car esse uso das séries de Taylor, apelamos para o Teorema 3 
da Seção 11.6, que implica o seguinte: se uma série de potências P(x) centrada em c tem 
raio de convergência R, então a integral defi nida num intervalo [a, b] contido 
em (c − R, c + R) pode ser calculada termo a termo.
■ EXEMPLO 8 Seja .
 (a) Expresse J como uma série infi nita.
 (b) Determine J com erro menor do que .
Solução
 (a) A série de Maclaurin de sen x é válida em todo x, portanto
Obtemos a série para J por integração:
 
 (b) A série de J é uma série alternada de termos decrescentes, de modo que a precisão da 
soma dos N primeiros termos tem um erro não maior do que o (N + 1)-ésimo termo. Em 
outras palavras,
Para N = 3, obtemos
com erro
Vimos que três termos dessa série são sufi cientes para calcular a integral com erro menor 
do que . ■
Série binomial
As séries de Taylor fornecem uma generalização do Teorema do Binômio, que foi des-
coberto por Isaac Newton em torno de 1665. Para qualquer número a (inteiro, ou não) e 
qualquer inteiro , defi nimos o coefi ciente binomial:
CÁLCULO III 66
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 593
Por exemplo,
O Teorema do Binômio da Álgebra (Apêndice C) afi rma que, para todo número natural a,
Tomando r = 1 e s = x, obtemos uma expansão de :
Para deduzir a generalização de Newton, calculamos as séries de Taylor de 
sem supor que a seja um número natural. Observe que as derivadas seguem
um padrão:
Em geral, e
Desse modo, a série de Taylor de é a série binomial
O teste da razão mostra que essa série tem raio de convergência R = 1 (Exercício 83). 
Além disso, se |x| < 1, a série binomial converge para (Exercício 84):
TEOREMA 3 Série binomial Para qualquer expoente a, a expansão seguinte é válida 
com |x| < 1:
 
■ EXEMPLO 9 Encontre os cinco primeiros termos da série de Maclaurin de
Quando a é um número natural, é 
zero para n > a e, nesse caso, a série 
binomial acaba com grau n. A série 
binomial é infi nita quando a não é um 
número natural.
67 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
594 CÁLCULO
Solução Os coefi cientes binomiais para são
Portanto, . ■
■ EXEMPLO 10 Encontre a série de Maclaurin de .
Solução Inicialmente, calculamos os coefi cientes da série binomial de . 
Os coefi cientes com n= 0, 1, 2 e 3 são
O padrão geral é
Assim, a expansão seguinte é válida com :
Se , então e podemos substituir por x. Obtemos, com ,
 
 ■
As séries de Taylor são usadas para estudar as funções transcendentes que ocorrem 
na Física e na Engenharia, tais como as funções de Bessel e as funções hipergeométricas. 
Embora sejam menos familiares do que as funções trigonométricas e exponenciais, essas 
assim chamadas funções especiais aparecem numa grande variedade de aplicações. Um 
exemplo é a função elíptica de primeira espécie seguinte, defi nida com :
Na Física, mostra-se que o período T de um pêndulo de comprimento L largado num ân-
gulo é igual a , onde (Figura 1). Para pequeno, temos 
a “aproximação de ângulo pequeno” , mas essa aproximação não funciona 
para ângulos maiores (como vemos na Figura 2).
■ EXEMPLO 11 Funções elípticas Encontre a série de Maclaurin de E(k) e dê uma esti-
mativa para .
FIGURA 1 O pêndulo largado num 
ângulo .
θ
FIGURA 2 O período T de um pêndulo 
de 1 m é uma função do ângulo do 
qual for largado.
π
Período T
Ângulo θ
8
6
4
2
π
2
Aproximação
de ângulo
pequeno
CÁLCULO III 68
CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 595
Solução Suponha que e substitua x = k sen t na expansão de Taylor (7):
Essa expansão é válida porque . Assim, E(k) é igual a
De acordo com o Exercício 75 da Seção 8.3,
Isso dá
Aproximamos E(k) para usando os cinco primeiros termos:
O valor dado por um sistema algébrico computacional com sete casas decimais é 
 ■
11.7 RESUMO
A • série de Taylor de f (x) centrada em x = c é
A soma parcial de T(x) é o k-ésimo polinômio de Taylor.
Se • f (x) for representada como uma série de potências num intervalo (c − R, 
c + R) com R > 0, então essa série de potências é a série de Taylor centrada em x = c.
Quando • c = 0, T(x) é denominada série de Maclaurin de f (x).
A igualdade • f (x) = T(x) vale se, e somente se, o resto, defi nido por ,
tende a zero quando .
Suponha que • f (x) seja infi nitamente derivável num intervalo I = (c − R, c + R) com 
R > 0 e suponha que exista K > 0 tal que para todo . Então f (x) é 
representada por sua série de Taylor em I, ou seja, f (x) = T(x), para .
69 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6
596 CÁLCULO
TABELA 1
Função f (x) Série de Maclaurin Converge para f (x) com
Uma boa maneira de obter a série de Taylor de uma função é começar com uma expan- •
são de Taylor conhecida e aplicar uma das operações seguintes: multiplicação, substitui-
ção, derivaçãoou integração.
 1. Determine f (0) e para uma função f (x) cuja série de Ma-
claurin seja
 2. Determine f (−2) e para uma função f (x) cuja série de 
Taylor seja
 3. Qual é a maneira mais fácil de encontrar a série de Maclaurin da 
função ?
 4. Qual é a série de Taylor de f (x) centrada em c = 3 se f (3) = 4 e 
 tem uma expansão de Taylor
 5. Seja T(x) a série de Maclaurin de f (x). Qual das afi rmações se-
guintes garante que f (2) = T(2)?
 (a) T(x) converge com x = 2.
 (b) O resto tende a um limite quando .
 (c) O resto tende a zero quando .
11.7 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
 1. Escreva os quatro primeiros termos da série de Maclaurin de
f (x) se
 2. Escreva os quatro primeiros termos da série de Taylor de f (x) 
centrada em c = 3 se
Exercícios
CÁLCULO III 70
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
2
Equações Diferenciais 
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Reconhecer uma equação diferencial e o método adequado para solucioná-la.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Diferenciar equações homogêneas e não homogêneas, ordinárias e parciais, lineares 
e não lineares.
• Definir problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais.
• Aplicar equações diferenciais em situações problemas.
unidade 
2
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 1
Equações Diferenciais de
Resolução Imediata
(Via Integração Sucessiva)
CÁLCULO III 74
Equações diferenciais de 
resolução imediata (via 
integração sucessiva)
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir equações diferenciais de resolução imediata.
 � Identificar as condições iniciais e de contorno.
 � Resolver problemas aplicados.
Introdução
As equações diferenciais de resolução imediata são as primeiras equações 
diferenciais que são estudadas em problemas que envolvem definições 
infinitesimais. Devido à sua simplicidade diante de outras, é possível a 
resolução dessas equações utilizando o método de integração sucessiva 
e a solução de problemas de valor inicial e de contorno. 
Equações diferenciais de resolução imediata
Em problemas matemáticos mais complexos, as formulações expressas podem 
conter funções de derivação, em que a sua solução não obedece a caminhos 
mais simples. Um exemplo disso é a formulação das equações de movimento 
em problemas de vibrações mecânicas. Um sistema massa-mola-amortecedor 
de massa m, rigidez k e amortecimento c, forçado por uma excitação harmônica 
F(t) (Figura 1), pode ser descrito pela Equação (1):
(1)
75 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva) PARTE 1
Figura 1. Sistema massa-mola-amorte-
cedor forçado.
A Equação (1) possui derivadas de segunda e primeira ordens, além da 
própria função temporal de deslocamento. Uma equação que contenha o 
operador de derivada ou diferencial de uma variável dependente em relação a 
uma independente é chamada de equação diferencial (ZILL; CULLEN, 2001). 
Uma equação diferencial pode ser classificada de diversas formas, como:
 � tipo;
 � linearidade;
 � ordem.
Uma equação do tipo ordinária (EDO) contém somente derivadas e di-
ferenciais ordinárias em sua construção. E uma equação diferencial parcial 
(EDP) possui derivadas parciais, podendo ter derivadas ordinárias, como:
Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)2
CÁLCULO III 76
Quanto à linearidade, uma equação é chamada de linear quando seus 
coeficientes são dependentes apenas das variáveis dependentes, e, por sua vez, 
as variáveis e suas derivadas são de primeiro grau. Quando isso não acontece, 
temos uma equação diferencial não linear. Veja os seguintes exemplos:
Por fim, a ordem é definida pelo grau do operador de derivada envolvido – 
quanto maior o grau, maior será a ordem. Veja equações de diferentes ordens, 
a seguir:
Equações de solução imediata são as equações diferenciais mais simples 
de serem resolvidas, pois apenas há uma derivada e uma igualdade com uma 
constante ou variável independente. A sua solução pode ser obtida por meio 
de integrações sucessivas, sempre se lembrando de indicar as constantes das 
integrais indefinidas que vão aparecendo. Veja um exemplo a seguir.
3Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)
77 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva) PARTE 1
Qual é a solução da seguinte equação diferencial?
Como se trata de uma equação diferencial de solução imediata, vamos realizando 
integrais sucessivas de ambos os lados até obter a variável dependente isolada e em 
função da independente.
As constantes c1 e c2 são desconhecidas.
No momento da solução das integrais sucessivas, a cada nova integral indefinida 
realizada, é gerada uma constante de valor desconhecido. A não apresentação dessa 
constante implica em um resultado errôneo da solução da equação diferencial. E, 
quando analisada com suas condições iniciais e de contorno, a definição final não 
estará exata.
Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)4
CÁLCULO III 78
Condições iniciais e de contorno
Após a solução de equações diferenciais, algumas constantes obtidas por 
meio do método de integrações sucessivas ficam na dependência de mais 
informações para sua definição. Problema de valor inicial (PVI) é definido 
como o valor que é informado quando está no estado inicial. A partir dessa 
condição, é possível determinar as constantes restantes.
Dado que a solução de uma equação diferencial é y = 12x+c1, e a solução inicial y(0) = 2, 
obtenha a solução definitiva por meio do PVI.
Com a solução inicial, y(0) = 2, substituímos, na solução obtida, o valor de x por zero 
e, assim, obtemos c1: 
2 = 12 ∙ 0 + c1
2 = c1
Logo, o PVI será:
y = 12x + 2
Se um fenômeno descrito por uma equação diferencial deve satisfazer 
condições estabelecidas para dois ou mais valores da variável independente, 
temos, então, um problema de valor de contorno (PVC) ou problema de valor 
de fronteira (PVF). Veja o seguinte exemplo de PVC. 
5Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)
79 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva) PARTE 1
Uma solução geral de uma equação diferencial é dada a seguir. Sabendo que a condição 
inicial y(0) = 1 e uma condição de contorno y(1) = 4, quais são os valores das constantes 
que completam a solução e qual a forma definitiva?
y = x2 + c1x + c2
A partir de PVI, substituímos x por zero e y por 1: 
1 = 02 + c1.0 + c2
1 = c2
Em seguida, com PVC, x será 1, e y igual a 4:
4 = 12 + c1.1 + 1
4 – 1 – 1 = c1
2 = c1
A solução definitiva será:
y = x2 + 2x + 1
Dependendo das condições iniciais ou de contorno fornecidas, é possível 
que uma equação diferencial possa ter mais de uma solução. Para se determinar 
isso, é necessário obedecer ao teorema de Picard:
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d, 
que contém o ponto P(x,y) em seu interior. Se f(x,y) e a derivada entre f e y são 
contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x e uma única função 
y(x) definida que satisfaça o PVI (ZILL; CULLEN, 2001, p. 40).
A apresentação de slides disponívelno link a seguir, feita pela professora Lucia Catabriga, 
da UFES, mostra a solução de problemas de valor de contorno por meio de um método 
chamado diferenças finitas. 
https://qrgo.page.link/hGuhb
Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)6
CÁLCULO III 80
Problemas aplicados
Depois que foram apresentadas as classificações e a solução de equações 
diferenciais simples por meio de integrações sucessivas, bem como a solução 
de problemas de valor inicial e de contorno, trataremos da solução delas em 
problemas práticos.
Problema massa-mola
Um sistema massa-mola (Figura 2) pode ser descrito por uma equação di-
ferencial de segunda ordem. Quando é induzida vibração livre, ou seja, não 
existe excitação externa, o corpo vibra harmonicamente segundo funções 
trigonométricas. Veja, a seguir, a solução de uma equação de movimento de 
um sistema massa-mola livre de rigidez k e massa m. As condições iniciais 
são x(0) = xi e v(0) = vi. 
Figura 2. Sistema massa-mola livre.
Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
7Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)
81 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva) PARTE 1
A equação diferencial do sistema massa-mola é:
As condições iniciais são:
onde as soluções desse sistema livre são dadas por:
Substituindo x(t) e a(t) na equação diferencial, onde a(t) é a aceleração definida pela 
derivada de segunda ordem:
e ωn é a frequência natural do sistema.
Continuando a solução, com as condições iniciais:
Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)8
CÁLCULO III 82
Solução:
Problema crescimento de bactérias
A cultura inicial de bactérias é de população P0. Em 1 hora, o número de 
bactérias passa a ser 50% maior. Se a taxa de crescimento for proporcional 
ao número de bactérias P(t) presente em t, qual é o tempo necessário para um 
aumento de 300% dessas bactérias?
Qual é a solução do problema de crescimento de bactérias, sabendo-se que a função 
P(t) vale:
Quando no estado inicial (PVI), P(0) vale P0. Portanto:
Quando t é igual a 1, P0 cresceu 50%. Ou seja 3/2 de P0:
9Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)
83 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva) PARTE 1
A população será triplicada, ou seja, com crescimento de 3P0 quando:
A população será triplicada quando t for igual a 2,71 h.
Dessa forma, concluímos a introdução sobre equações diferenciais. Vimos 
o tratamento de soluções de equações diferenciais de resolução imediata por 
meio do método de integrações sucessivas, assim como a definição de coe-
ficientes indeterminados por meio de problemas de valor inicial e problemas 
de valor de contorno.
Veja a aula com exercícios disponível no link a seguir, disponibilizada por Marco Eduardo 
Valle, da UNICAMP.
https://qrgo.page.link/D53EN
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 496 p.
Referência
Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)10
CÁLCULO III 84
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Leituras recomendadas
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 680 p. 
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 1154 p.
11Equações diferenciais de resolução imediata (via integração sucessiva)
unidade 
2
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 2
Equações Diferenciais
de Primeira Ordem
CÁLCULO III86
Equações diferenciais 
de 1ª ordem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a forma de uma equação diferencial de 1ª ordem.
 � Resolver equações diferenciais de 1ª ordem e problemas de valor inicial.
 � Aplicar equações diferenciais em situações-problema.
Introdução
Equações diferenciais são uma parte da matemática com aplicações 
em diversos ramos da ciência. Encontramos problemas associados em 
física, química, biologia, economia, etc. Com o intuito de contribuir com 
o entendimento dos conceitos estudados na disciplina de Cálculo III, 
além de apresentar alguns teoremas e definições, você será direcionado 
a diversos problemas relacionados ao conteúdo.
Neste texto, você vai aprender os conceitos iniciais de equações dife-
renciais. É importante que você entenda a classificação dessas equações 
quanto a tipo, ordem e linearidade, para reconhecer uma equação dife-
rencial de 1ª ordem a partir da sua definição. Além disso, você aprenderá 
a resolver essas equações e problemas de valor inicial. A proposta é que 
você possa, além de aprender as definições, aplicar equações diferenciais 
em situações-problema.
Equações diferenciais
Antes de abordarmos as equações diferenciais de 1ª ordem, vamos compre-
ender alguns conceitos iniciais a respeito de equações diferenciais e das suas 
aplicações. 
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que muitos princípios e leis que regem 
o comportamento do mundo físico são proposições ou relações que envolvem 
87 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
uma taxa segundo a qual as coisas ocorrem. Matematicamente falando, essas 
relações são equações e as taxas são as derivadas. Nesse contexto, equações 
envolvendo derivadas são equações diferenciais. 
No que diz respeito à aplicação desse tipo de equação, cabe destacar que são 
utilizadas para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento 
de fluídos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em 
objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, o aumento ou 
diminuição de populações, etc.
Zill (2013, p. 2) define equação diferencial da seguinte forma: “Uma equação que contém 
as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). Elas 
podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade”.
Classificação por tipo
As equações diferenciais podem ser classificadas em ordinária ou parcial. 
Quando a equação contém apenas derivadas ordinárias de uma ou mais 
variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, é 
chamada de equação diferencial ordinária (EDO) (ZILL, 2013). Vejamos 
exemplos:
Note que no terceiro exemplo a equação diferencial contém mais de uma 
variável dependente.
Quando uma equação envolve as derivadas parciais de uma ou mais va-
riáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de 
equação diferencial parcial (EDP). (ZILL, 2013). Vejamos exemplos:
Equações diferenciais de 1ª ordem2
CÁLCULO III88
Note que existem notações diferentes para expressar as derivadas ordinárias. 
Podemos utilizar a notação de Leibniz ou com a notação 
linha . Em geral, a n-ésima derivada é escrita como y(n). 
Derivadas parciais também são denotadas por uma notação em subscrito 
indicando as variáveis independentes. Por exemplo: uxx = utt – 2ut.
Classificação por ordem
Zill (2013) explica que a ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é 
a ordem da maior derivada na equação. Veja:
Esse é um exemplo de EDO de 2ª ordem. 
Classificação por linearidade
Uma EDO de ordem n é linear se F for linear em . Isso 
significa que uma EDO de n-ésima ordem é linear quando:
Vejamos a equação diferencial linear de 1ª e 2ª ordens a seguir:
Observamos duas propriedades:
 � A variável dependente y e todas as duas derivadassão de 
1º grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
3Equações diferenciais de 1ª ordem
89 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
 � Os coeficientes a0, a1, ..., an de dependem quando muito da 
variável independente x.
As equações (y − x)dx + 4xdy = 0, e 
são, respectivamente, equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª, 2ª e 3ª 
ordem.
Uma EDO não linear é simplesmente uma que não é linear. Por exemplo:
Esses são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de 2ª 
e 4ª ordem, respectivamente.
Equações diferenciais de 1ª ordem
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que, se uma função, como 
, depender linearmente da variável y, a equação será dita uma equação li-
near de 1ª ordem. A equação linear de primeira ordem tem a seguinte forma 
, em que p e g são funções dadas da variável independente 
t. Também podemos escrever a equação na forma
em que P, Q e G são dadas.
De acordo com os autores, em alguns casos, é possível resolver uma equa-
ção linear de 1ª ordem imediatamente por integração. Vejamos um exemplo.
Equações diferenciais de 1ª ordem4
CÁLCULO III90
Resolva a equação diferencial . A expressão à esquerda do sinal 
de igualdade é uma combinação linear de e y, uma combinação que também 
aparece em cálculo na regra para a derivada de um produto. De fato,
A equação pode ser escrita como: 
Assim, embora y seja desconhecida, poderíamos integrar a equação em relação a t 
obtendo:
Em que c é uma constante de integração arbitrária. Resolvendo para y, encontramos que:
Essa é a solução geral.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 26).
EDO de 1ª ordem e problemas de valor inicial
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma classe simples de equações di-
ferenciais de 1ª ordem que pode ser resolvida utilizando a integração é a de 
equações separáveis. São equações que podem ser reescritas 
de maneira a isolar as variáveis x e y em lados opostos da equação, como em 
.
Informalmente, equações separáveis são resolvidas por meio da separação 
e, depois, da integração de cada lado (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
5Equações diferenciais de 1ª ordem
91 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
Método para solução de equações separáveis.
Para resolver a equação multiplique por dx e por h(y) para obter h(y)
dy = g(x)dx. Depois integre os dois lados:
em que mesclamos as duas constantes de integração em um único símbolo C. A 
última equação dá uma solução implícita para a equação diferencial.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012).
Vejamos agora um exemplo de resolução de uma equação separável.
Resolva a equação não linear .
Resolução
Seguindo a técnica simplificada, separamos as variáveis e reescrevemos a equação 
na forma:
Então, integrando, temos:
E, solucionando para y, temos:
Como C é uma constante de integração que pode ser qualquer número real, 3C 
também pode ser qualquer número real. Portanto, substituiremos 3C por K:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 29-30).
Equações diferenciais de 1ª ordem6
CÁLCULO III92
Equações lineares
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma equação linear de 1ª ordem é uma 
equação que pode ser escrita da seguinte forma:
em que a1(x), a0(x) e b(x) dependem apenas da variável independente x, 
não de y.
Nagle, Saff e Snider (2012) explica duas maneiras de resolver uma equação 
diferencial linear. A primeira é quando o coeficiente a0(x) for identicamente 
zero, então teremos , que é equivalente a 
desde que a1(x) ≠ 0. E a segunda maneira é esta: se a0(x) for igual à derivada de 
a1(x), então os dois termos no lado esquerdo da equação 
compreendem a derivada do produto a1(x)y:
que resulta em . E a solução se torna:
A forma pode ser alcançada a partir da multiplicação da 
equação original, , por uma função escolhida µ(x). A 
função µ(x) é chamada de fator integrante. Vamos dividir a equação original 
por a1(x) e colocá-la na forma padrão (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012):
em que e . Agora, para determinar µ(x):
7Equações diferenciais de 1ª ordem
93 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
Isso exige que µ satisfaça . Para encontrar essa função, ve-
rificamos que ela é uma equação diferencial separável, e podemos escre-
ver como . Integrando os dois lados, . Assim, 
, que tem a solução . 
Vejamos um exemplo.
Encontre a solução geral da equação diferencial .
Resolução
A equação é da forma com a = −2; logo, o fator 
integrante é . Multiplicando a equação diferencial por 
µ(t), obtemos:
ou
Então, integrando a última equação, temos
Em que usamos integração por partes no último termo da equação
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 29).
Vejamos um exemplo de resolução de uma equação não linear.
Equações diferenciais de 1ª ordem8
CÁLCULO III94
Considere a equação não linear . Para resolver a equação de 
Bernoulli, fazemos uma mudança de variáveis, ou seja, y1−n = z. Agora, ao fazermos a 
mudança de variáveis, temos uma EDO linear de primeira ordem.
Resolução
Fazendo a mudança de variáveis:
Solução para y = 0: 
Temos uma EDO linear de 1ª ordem:
9Equações diferenciais de 1ª ordem
95 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
Equações homogêneas e não homogêneas
Se o lado direito da equação puder ser expresso como uma 
função da razão y/x somente, então dizemos que a equação é homogênea. 
Caso contrário, ela não é homogênea (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
A solução geral é:
Fonte: Toda a Matemática (2017).
Equações diferenciais de 1ª ordem10
CÁLCULO III96
A equação (x – y) dx + x dy = 0 pode ser escrita da forma . Como ex-
pressamos como uma função da razão , ou seja, , onde , 
então a equação (x – y) dx + x dy = 0 é homogênea.
Já a equação (x – 2y + 1)dx + (x – y)dy = 0 pode ser escrita como 
. Aqui, o lado direito não pode ser expresso como uma 
função de apenas, por causa do termo no numerador. Logo, a equação (x – 2y + 
1)dx + (x – y)dy = 0 não é homogênea.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 53-54).
Vejamos um exemplo de resolução de um problema de valor inicial.
Resolva o problema de valor inicial 
Resolução.
Separamos as variáveis e integramos:
Nesse ponto, podemos tanto solucionar para y explicitamente (retendo a constante C) 
quanto usar a condição inicial para determinar C e depois resolver explicitamente para y.
Aplicando a função exponencial na equação, temos:
onde . Agora, dependendo dos valores de y, temos ; e, 
de modo semelhante, . Assim,
 ou 
11Equações diferenciais de 1ª ordem
97 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
Da aplicação de equações diferenciais
Agora que conhecemos a definição de equações diferenciais e a sua classi-
ficação, e vimos exemplos a partir da resolução de exercícios envolvendo 
equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e problemas de valor inicial, 
vamos mostrar a aplicação desses conteúdos em situações-problema nas di-
ferentes áreas da ciência.
Crescimento de bactérias
Uma cultura tem inicialmente bactérias. Em t = 1h, o número medido 
de bactérias é de . Se a taxa de crescimento for proporcional ao número 
de bactérias P(t) presente no instante t, determine o tempo necessário para 
triplicaro número de bactérias.
Resolução: em primeiro lugar, resolvemos a equação diferencial substituindo 
o símbolo x por P. Tomando , a condição inicial é . Usamos, 
então, a observação empírica de que para determinar a constante de 
proporcionalidade k. Note que a equação diferencial é ao mesmo tempo 
separável e linear. Colocando-a na forma padrão de uma ED linear de primeira 
ordem, temos:
onde a escolha de sinal depende dos valores de x e y. Como é uma constante 
positiva, podemos substituir por K, onde K agora representa uma constante 
arbitrária diferente de zero. Temos, portanto:
Por fim, determinamos K de modo que a condição inicial y (–1) = 0 seja satisfeita. 
Colocando x = –1 e y = 0 na equação, temos: 
E, portanto, . Assim, a solução para o problema de valor inicial é:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 30-31).
Equações diferenciais de 1ª ordem12
CÁLCULO III98
Podemos ver, por inspeção, que o fator integrante é . Multiplicando 
ambos os lados da equação por esse termo e integrando, obtemos:
 e 
Portanto . Em t = 0, segue que , então . Em 
t = 1 temos . Da última equação, obtemos 
e, portanto . Para encontrar o instante no qual o número de 
bactérias triplicou, resolvemos: para t. Segue que 
ou .
Veja a Figura 1, que ilustra essa situação.
Figura 1. Tempo em que uma população triplica.
Fonte: Zill (2013, p. 86).
13Equações diferenciais de 1ª ordem
99 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
A meia-vida do plutônio
Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo 
plutônico 239. Depois de 15 anos, determinou-se que 0,043% da quantidade 
inicial de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a 
taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.
Resolução: seja A(t) a quantidade de plutônio remanescente no instante t. A so-
lução do problema de valor inicial é . Se 0,043% 
dos átomos de tiverem se desintegrado, restarão 99,957% de substância. 
Para encontrar a constante de decaimento k, usamos , isto é, 
. Resolvendo para k, temos . 
Logo, . Agora, a meia-vida corresponde ao valor do 
tempo no qual . Resolvendo para t, obtemos 
ou . A última equação fornece:
. 
Fonte: Zill (2013, p. 87).
Idade de um fóssil
Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade 
original de C-14. Estime a idade do fóssil.
Resolução: o ponto de partida é . Para determinar o valor da cons-
tante de decaimento k, usamos o fato de que ou . 
De , obtemos . Logo, 
. De , temos ; logo, 
. Assim, a idade do fóssil é aproximadamente:
.
Fonte: Zill (2013, p. 88).
Lançamento de objeto
Um objeto com massa de 3 kg é lançado do repouso 500 m acima do solo 
e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força 
gravitacional seja constante, com g= 9,81 m/s², e a força devido à resistência do 
Equações diferenciais de 1ª ordem14
CÁLCULO III100
ar seja proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade 
b = 3 N – s/m. Determine quando o objeto atingirá o solo.
Resolução: usamos o modelo com . A equação 
do movimento neste caso é:
Como o objeto é lançado 500 m acima do solo, podemos determinar quando 
ele atinge o solo pondo x (t) = 500 e resolvendo para t. Assim, colocamos:
ou
onde arredondamos os cálculos para duas casas decimais. Essa equação 
não pode ser resolvida de modo explícito para t. Poderíamos tentar aproximar 
t usando o método de aproximação de Newton, mas aqui não é necessário. 
Como será muito pequeno para t próximo de , basta 
ignorar o termo , e obtemos como nossa aproximação t = 51,97 s.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 84-85).
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R.K; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
TODA A MATEMÁTICA. Equação de Bernoulli. YouTube, 2017. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=IiKuXsFFHag>. Acesso em: 22 nov. 2017.
ZILL, D.G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013.
Leitura recomendada
FIGUEIREDO, D.G.; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
15Equações diferenciais de 1ª ordem
101 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem PARTE 2
ANOTAÇÕES
CÁLCULO III102
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
2
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Parte 3
Equações Diferenciais
de Segunda Ordem
CÁLCULO III104
Equações diferenciais 
de 2ª ordem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir problemas de valor inicial e de contorno para equações dife-
renciais de 2ª ordem.
 � Diferenciar equações homogêneas e não homogêneas.
 � Solucionar problemas envolvendo equações diferenciais de 2ª ordem.
Introdução
Sabemos que a matemática tem aplicações nas mais variadas áreas de 
estudo. O objetivo deste capítulo é ampliar os seus conhecimentos no 
que diz respeito ao estudo das equações diferenciais de 2ª ordem, parte 
integrante da disciplina de Cálculo III.
Neste texto, você será convidado a pensar em soluções gerais de 
equações diferenciais lineares de ordem superior. Trataremos de pro-
blemas de valor inicial e de contorno, e você conhecerá as definições e 
poderá analisar exemplos resolvidos de maneira detalhada. Esperamos 
que você compreenda as exigências e condições de alguns teoremas na 
resolução de uma equação diferencial linear de 2ª ordem. Além disso, você 
identificará a diferença entre equações homogêneas e não homogêneas.
Equações diferenciais de 2ª ordem 
As equações diferenciais de segunda ordem são muito utilizadas em inves-
tigações nas áreas da física e da matemática, como nos estudos de mecânica 
de fluidos, condução de calor, movimento ondulatório ou fenômenos eletro-
magnéticos, por exemplo. Vamos, então, conhecer uma equação diferencial 
de 2ª ordem, as suas formas e resoluções.
105 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Boyce e DiPrima (2015) explicam que uma equação diferencial de 2ª 
ordem tem a forma:
Em que f é uma função dada. Chamaremos a variável independente de 
t, já que o tempo é, com frequência, a variável independente em fenômenos 
físicos, mas algumas vezes utilizaremos x no seu lugar. Utilizaremos y ou outra 
letra para representar a variável dependente. A equação é dita 
linear se a função f tem a forma — g, p e q são 
funções especificadas da variável independente t, mas não dependem de y. 
Portanto, será linear se f é linear em y e em (BOYCE; DIPRIMA, 2015).
Podemos reescrever a equação diferencial de 2ª ordem como y’’ + p (t) 
y’ + q (t) y = g (t). Ou, ainda, P (t) y’’ + Q (t) y’ + R (t) y = G (t). Se P (t) ≠ 0, 
podemos dividir a equação por P (t), obtendo:
, , 
Boyce e DiPrima (2015) enfatizam que a equação característica, ar² + br 
+ c = 0, é uma equação de segundo grau com coeficientes reais, portanto ela 
tem duas raízes que podem ser reais e distintas, reais e iguais, ou complexas 
conjugadas. Vejamos cada um desses casos nos exemplos a seguir. 
Raízes reais e distintas
Supondo que as raízes da equação característica ar² + br + c = 0 são reais e 
distintas, vamos denotá-las por e , em que . Então 
e são duas soluções da equaçãoay’’ + by’ + cy = 0. Segue que:
também é solução da equação ay’’ + by’ + cy = 0. Para verificar, podemos 
diferenciar a expressão na equação . 
Portanto,
 e 
Equações diferenciais de 2ª ordem2
CÁLCULO III106
Substituindo y, y’ e y’’ na equação ay’’ + by’ + cy = 0 por essas expressões 
e organizando os termos:
As quantidades entre parênteses à direita do sinal de igualdade são nulas, 
pois e são raízes da equação ar² + br + c = 0. Logo y, dado pela equação 
 é, de fato, solução da equação ay’’ 
+ by’ + cy = 0.
Raízes complexas e conjugadas
Vamos continuar a discussão agora com as raízes complexas da equação 
característica. Seguiremos com a equação ay’’ + by’ + cy = 0, em que a, b e 
c são números reais dados. Já vimos que, se procurarmos soluções da forma 
, então r tem que ser raiz da equação característica ar² + br + c = 0. 
Vimos que, se as raízes e forem reais e distintas, o que ocorre sempre 
que o discriminante b² − 4ac for positivo, então a solução geral da equação 
ay’’ + by’ + cy = 0 será . Suponha agora que, b² − 4ac é 
negativo. Então as raízes da equação ar² + br + c = 0 são números complexos 
conjugados, e vamos denotá-los por:
em que λ e μ são reais. As expressões correspondentes para y são:
, 
Vamos explorar o significado dessas expressões, o que envolve o cálculo de 
uma função exponencial com expoente complexo. Por exemplo, se λ = −1, μ = 2 
e t = 3, então, da equação , , 
. Vejamos agora a fórmula de Euler que explica o que significa 
elevar o número e a uma potência complexa.
Usando a fórmula de Euler é possível mostrar que .
Raízes reais e iguais
Vimos até aqui como resolver a equação ay’’ + by’ + cy = 0 quando as raízes 
da equação característica ar² + br + c = 0 são reais e distintas ou complexas 
conjugadas. 
3Equações diferenciais de 2ª ordem
107 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Vamos considerar agora a terceira possibilidade, quando as duas raízes 
e são iguais. Esse caso faz a transição entre os outros dois e ocorre quando 
o discriminante b² − 4ac é zero. Segue da fórmula para a equação do 2º grau 
que . A dificuldade é imediatamente aparente: ambas as raízes 
geram a mesma solução da equação diferencial ay’’ + by’ + cy = 
0, e não é nada óbvio como encontrar uma segunda solução.
A equação é a solução geral da equação ay’’ + by’ + cy 
= 0 quando as raízes da equação característica são iguais. Em outras palavras, 
nesse caso existe uma solução exponencial correspondente à raiz repetida, 
enquanto uma segunda solução é obtida multiplicando a solução exponencial 
por t (BOYCE; DIPRIMA, 2015, p. 118–140).
Vejamos alguns exemplos de resolução de equações diferenciais de segunda 
ordem.
Exemplo 1.
Encontre a solução geral de y’’ + 5y’ + 6y = 0.
Resolução.
Supondo que , segue que r tem que ser raiz da equação característica r² 
+ 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0.
Assim, os valores possíveis de r são e ; a solução geral da equação 
y’’ + 5y’ + 6y = 0 é . 
Exemplo 2.
Encontre a solução do problema de valor inicial y’’ + 5y’ + 6y = 0 y (0) = 2, y’ (0) = 3.
Resolução.
A solução geral da equação diferencial é dada pela equação ; 
assim, e têm que satisfazer . Para usar a segunda condição inicial, 
primeiro precisamos diferenciar a equação . Isso nos dá 
. Fazendo agora, t = 0 e y’ = 3, obtemos . 
Resolvendo, vemos que e . Usando esses valores em 
, obtemos a solução do problema de 
valor inicial y’’ + 5y’ + 6y = 0, y (0) = 2, y’ (0) = 3.
Veja a Figura 1, que mostra o gráfico da solução.
Equações diferenciais de 2ª ordem4
CÁLCULO III108
Figura 1. Gráfico que mostra a solução do problema.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015).
Exemplo 3.
Ache uma solução para o problema de valor inicial y’’ + 4y’ + 4y = 0 y (0) = 1, y’ (0) = 3.
Resolução.
A equação auxiliar é r² + 4r + 4 = (r + 2)² = 0.
Como r = –2 é uma dupla raiz, a regra diz que y’’ + 4y’ + 4y = 0 y (0) = 1, y’ (0) = 3 
tem soluções e . Vamos confirmar que é uma solução:
Observe, ainda, que e são linearmente independentes, pois nenhuma 
delas é um múltiplo constante da outra em . Por fim, inserimos a solução 
geral nas condições iniciais,
 
e resolvemos para encontrar , . Assim, é a 
solução desejada.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 119-120).
5Equações diferenciais de 2ª ordem
109 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Equações diferenciais homogêneas versus 
Equações diferenciais não homogêneas
Nagle, Saff e Snider (2012, p. 115) aborda o estudo da equação diferencial 
linear de 2ª ordem com coeficientes constantes ay’’ + by’ + cy = f(t) (a ≠ 0) 
como o caso especial onde a função f(t) é zero: ay’’ + by’ + cy = 0. A equação 
ay’’ + by’ + cy = 0 é chamada de forma homogênea da equação ay’’ + by’ + 
cy; f(t) é a não homogeneidade em ay’’ + by’ + cy. A equação ay’’ + by’ + cy 
= 0 diz que uma solução deve ter a propriedade de que sua segunda derivada 
é exprimível como uma combinação linear de suas primeiras e zerésima de-
rivadas (a zerésima derivada de uma função é a própria função). Isso sugere 
que tentemos encontrar uma solução na forma pois as derivadas de 
 são apenas constantes vezes . Se substituirmos em ay’’ + by’ 
+ cy = 0, teremos . Como 
 nunca é zero, podemos dividir por ele para obter ar² + br + c = 0. Por 
consequência, é uma solução para ay’’ + by’ + cy = 0 se, e somente se, 
r satisfizer a equação ar² + br + c = 0. Essa é chamada de equação auxiliar, 
também conhecida como equação característica.
Zill (2013, p. 126-127) define equações homogêneas da seguinte forma:
Uma equação diferencial linear de ordem n da forma
 é chamada de homogênea, 
enquanto uma equação , 
com g(x) não identicamente zero, é chamada de não homogênea. Por exem-
plo, 2y’’ + 3y’ – 5y = 0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem 
homogênea, enquanto é uma equação diferencial 
linear de terceira ordem não homogênea. A palavra homogênea nesse contexto 
não se refere a coeficientes que sejam funções homogêneas.
Vejamos alguns teoremas e definições importantes no estudo das equações 
diferenciais lineares homogêneas com base em Zill (2013, p. 127-130).
Teorema: princípio da superposição — 
equações homogêneas
Esse teorema afirma que a soma ou superposição de duas ou mais soluções de 
uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. 
Sejam soluções da equação diferencial homogênea de ordem n 
em um intervalo I. Então, a combinação linear , 
Equações diferenciais de 2ª ordem6
CÁLCULO III110
onde são constantes arbitrárias, é também uma solução 
no intervalo.
Definição: dependência/independência linear
Um conjunto de funções será chamado de linearmente 
dependente em um intervalo I se houver constantes , não todas 
nulas, de forma que para todo x no inter-
valo. Se o conjunto de funções não for linearmente dependente no intervalo, 
será chamado de linearmente independente.
Definição: wronskiano
Nosso interesse está em soluções linearmente independentes de uma equação 
diferencial linear. A questão de se o conjunto de n soluções de 
uma equação diferencial linear homogênea de ordem n é linearmente inde-
pendente pode ser resolvida de uma forma mais ou menos mecânica usando 
um determinante.
Suponha que cada uma das funções tenha pelo menos 
n – 1 derivadas. O determinante:
onde as linhas denotam derivadas, é chamado de wronskiano das funções.
Teorema: critério para independência linear
Sejam soluções da equação diferencial linear homogênea de 
ordem n em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções será linearmente in-
dependente em I se, e somente se, para todo x no intervalo.
Definição: conjunto fundamental de soluções
Qualquer conjuntosoluções linearmente independentes 
da equação diferencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I é 
chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.
7Equações diferenciais de 2ª ordem
111 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Teorema: existência de um conjunto fundamental
Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear 
homogênea de ordem n em um intervalo I.
Assim como todo vetor no espaço tridimensional pode ser expresso como 
uma combinação linear dos vetores linearmente independentes, i, j, k, toda 
solução de uma equação linear homogênea de ordem n em um intervalo I 
pode ser expressa como uma combinação linear de n soluções linearmente 
independentes em I. 
Teorema: solução geral — equações homogêneas
Seja um conjunto fundamental de soluções da equação dife-
rencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I. Então, a solução 
geral da equação no intervalo é , onde 
 são constantes arbitrárias.
No que diz respeito às equações não homogêneas, Zill (2013, p. 131) diz que:
Toda função , livre de parâmetros arbitrários, que satisfaz 
 é chamada de solução 
particular ou integral particular da equação. Por exemplo, é uma tarefa 
simples mostrar que a função constante é uma solução particular da 
equação não homogênea . Se forem soluções de 
 em um intervalo I e se for 
uma solução particular de 
em I, então a combinação linear é tam-
bém uma solução da equação não homogênea.
Vejamos agora alguns teoremas e definições das equações diferenciais 
lineares não homogêneas com base em Zill (2013, p. 131-132).
Teorema: solução geral — equações não homogêneas
Seja uma solução particular qualquer da equação diferencial linear não 
homogênea de ordem n em um intervalo I e seja um conjunto 
fundamental de soluções da equação diferencial homogênea associada a 
 em I. Então a solução 
geral da equação no intervalo é , 
onde , i = 1,2,3,..., n são constantes arbitrárias.
Equações diferenciais de 2ª ordem8
CÁLCULO III112
Teorema: princípio da superposição — 
equações não homogêneas
Sejam soluções particulares da equação diferencial li-
near não homogênea de ordem n em um intervalo I, correspondendo, 
por sua vez, a k funções distintas . Isto é, suponha que 
denote uma solução particular da equação diferencial correspondente 
, onde i = 1,2, ..., k. Então:
é uma solução particular de: 
Equações diferenciais de ordem superior
Vamos estudar as soluções gerais de equações diferenciais lineares de ordem 
superior. Para tanto, abordaremos os problemas de valor inicial e problemas 
de contorno. Zill (2013) define um problema de valor inicial de ordem n para 
uma equação diferencial linear como:
Sujeito a:
Para um problema desse tipo, procuramos uma função definida em algum 
intervalo I, contendo , que satisfaça a equação diferencial e as n condições 
iniciais especificadas em . No 
caso de um problema de valor inicial de segunda ordem, uma curva integral 
deve passar pelo ponto e ter inclinação nesse ponto (ZILL, 2013).
Veja o teorema que dá condições para a existência de uma única solução ao 
problema mencionado pelo autor: “Sejam 
contínuas em um intervalo I e seja para todo x nesse intervalo. 
9Equações diferenciais de 2ª ordem
113 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Se for um ponto qualquer nesse intervalo, então existe uma única 
solução y(x) do problema de valor inicial nesse intervalo” (ZILL, 2013, p. 124).
Vejamos um exemplo de solução única de um problema de valor inicial.
Considere o problema de valor inicial:
3y’’’ + 5y’’ − y’ + 7y = 0; y(1) = 0, y’(1) = 0, y’’(1) = 0
Esse problema possui a solução trivial y = 0. Uma vez que a equação de terceira 
ordem é linear com coeficientes constantes, segue que todas as condições do teorema 
da existência de uma solução única estão satisfeitas. Portanto, y = 0 é a única solução 
em qualquer intervalo contendo x = 1.
Fonte: Zill (2013, p. 124).
Vejamos um exemplo de resolução de equação diferencial de ordem superior.
Ache uma solução geral para y’’’ + 3y’’ – y’ – 3y = 0. 
Resolução.
Se tentarmos encontrar soluções na forma , então, como nas equações de 
segunda ordem, somos levados a encontrar raízes da equação auxiliar r³ + 3r² – r – 3 = 0. 
Observamos que r = 1 é uma raiz da equação e, dividindo o polinômio do lado 
esquerdo por r – 1, obtemos a fatoração:
(r – 1)(r² + 4r + 3) = (r – 1)(r + 1)(r + 3) = 0
Daí as raízes da equação auxiliar são 1, –1 e –3, e por isso três soluções de y’’’ + 
3y’’ – y’ – 3y = 0 são .
Uma solução geral então é:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 119-120).
Equações diferenciais de 2ª ordem10
CÁLCULO III114
As exigências do teorema da existência de solução única são importantes. 
Cabe ressaltar que, se para algum x no intervalo, então a solução 
de um problema de valor inicial linear pode não ser única ou não existir. 
Zill (2013) apresenta um exemplo. Observe que a função y = cx² + x +3 é 
uma solução do problema de valor inicial x²y’’ – 2xy’ + 2y = 6, y(0) = 3, y’(0) 
= 1 no intervalo para qualquer escolha do valor do parâmetro c. Ou 
seja, não há uma única solução do problema. Ainda que a maior parte das 
condições do teorema seja satisfeita, temos que é zero em x = 0 
e que as condições iniciais também são todas dadas em x = 0.
Outro problema mencionado por Zill (2013) é resolver uma equação dife-
rencial linear de segunda ordem em que a variável dependente y ou as suas 
derivadas são especificadas em pontos diferentes. Para exemplificar, veja o 
problema detalhado por Zill (2013, p. 125):
Sujeita a:
É chamado de problema de valor de contorno, sendo que e 
 são chamados de condições de contorno. Uma solução para esse 
problema pode ser visualizada no gráfico da Figura 2, em que uma função 
deve satisfazer a equação diferencial em algum intervalo I, contendo a e b, e 
que passe pelos dois pontos e .
11Equações diferenciais de 2ª ordem
115 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Figura 2. Soluções do problema de valor de contorno pas-
sando por dois pontos.
Fonte: Zill (2013).
Outros possíveis pares de condições de contorno para uma equação dife-
rencial de segunda ordem poderiam ser:
onde e são constantes arbitrárias. 
Vejamos um exemplo em que, mesmo nos casos em que as condições do 
teorema da existência de uma solução única forem satisfeitas, um problema de 
contorno apresenta várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.
Equações diferenciais de 2ª ordem12
CÁLCULO III116
Da aplicação de equações diferenciais de 2ª 
ordem
Conhecemos, ao longo deste estudo, as definições e os teoremas das equações 
diferenciais de 2ª ordem. Agora a proposta é verificar um problema (com base 
em BOYCE; DIPRIMA, 2015, p. 166) aplicado considerando os conteúdos 
aprendidos.
Suponha que uma massa pesando estica uma mola 
de . Se a massa for deslocada 2 in a mais e depois colocada 
em movimento com uma velocidade inicial apontando para cima de 1 ft/s 
, determine a posição da massa em qualquer instante posterior. 
Determine, também, o período, a amplitude e a fase do movimento.
Como 1 ft = 12 in, a constante da mola é k = 10 Ib/2 in = 60 Ib/ft, e a massa 
é . Logo, a equação de movimento se reduz a 
s’’ + 192 s = 0, e a solução geral é . A solução 
que satisfaz as condições iniciais , e é:
A frequência natural é , de modo que o pe-
ríodo é . A amplitude R e a fase são dadas pela equação 
. Temos:
. 
Um problema de valor de contornopode ter muitas, uma ou nenhuma solução. 
Vejamos:
A família de soluções a dois parâmetros da equação diferencial x’’ + 16x = 0 é 
. 
Suponha que desejamos determinar a solução da equação que adicionalmente 
satisfaz também as condições de contorno . Observe que a primeira 
condição implica ; logo, . Mas, quando 
 é satisfeita para toda escolha de , pois . Logo, 
o problema de valor de contorno:
Tem um número infinito de soluções. Veja a Figura 3, que mostra os gráficos de 
alguns membros da família a um parâmetro que passam pelos 
dois pontos (0,0) e .
Figura 3. Gráfico com algumas soluções
Fonte: Zill (2013)
13Equações diferenciais de 2ª ordem
117 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
Assim .
A segunda das equações, , nos dá . 
Existem duas soluções dessa equação, uma no segundo quadrante e outra no 
quarto quadrante. No problema atual, e ; logo, está 
no quarto quadrante e temos:
O gráfico a seguir ilustra a solução .
Se o problema de valor de contorno em 
for modificado para então x(0) = 0 vai 
continuar requerendo na solução da equação . 
Mas, aplicando , requer-se que . 
Logo, x = 0 é uma solução desse novo problema de valor de contorno. De fato, pode 
ser aprovado que x = 0 é a única solução da equação .
Finalmente, se modificarmos o problema para:
encontraremos novamente de x(0) = 0 que , mas, aplicando 
, obtemos a contradição . 
Logo, o problema de valor de contorno não tem solução.
Fonte: Zill (2013, p. 125-126)
Equações diferenciais de 2ª ordem14
CÁLCULO III118
Figura 4. Uma vibração livre não amortecida.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015).
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R.K; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
ZILL, D.G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 2, ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013.
Leitura recomendada
FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
15Equações diferenciais de 2ª ordem
119 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem PARTE 3
ANOTAÇÕES
CÁLCULO III120
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
2
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Parte 4
Equações Diferenciais
Lineares de Ordem Superior
CÁLCULO III 122
Equações diferenciais 
de ordem superior 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver equações diferenciais lineares de ordem superior.
 � Diferenciar o método de resolução de equações lineares homogênea 
e não homogênea.
 � Identificar as equações diferenciais em problemas aplicados.
Introdução
Equações diferenciais de ordem superior são muito empregadas para 
modelar diversos problemas físicos, com muitas aplicações práticas em 
engenharia, física, medicina, biologia e outras diversas áreas. Ao solucionar 
uma equação diferencial de ordem superior, é possível, por exemplo, 
encontrar equações para o projeto de sistemas de máquinas, circuitos 
elétricos, pontes, etc.
Neste capítulo, abordaremos como são classificadas e os métodos 
de resolução de equações lineares homogêneas e não homogêneas. Ao 
final, você aprenderá a resolver equações diferenciais de ordem superior 
por meio da exposição de problemas aplicados.
Equações diferenciais lineares de 
ordem superior
Uma equação diferencial de ordem superior tem a forma:
123 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
As funções Cn, Cn-1, …, C1, C0 e F(x) são contínuas em um intervalo I e, 
também, reais. A esse tipo de equação é dado o nome de problema de valor 
inicial (ZILL; CULLEN, 2001).
Para resolver essa equação, são necessárias n iterações que resultaram 
em um número n de constantes. Logo, para obter uma única solução, faz-se 
necessário conhecer alguns valores específicos:
aos quais se dá o nome de condições iniciais.
Um exemplo de equação diferencial de ordem dois é mostrado a seguir:
com condições iniciais:
y(x0) = y0, y(x0) = 0
em um intervalo I, em que a equação é contínua.
Teorema da existência de única solução
Sendo Cn(x), Cn-1 (x), ..., C1(x), C0(x) e F(x) contínuos no intervalo I, dado que 
Cn(x) ≠ 0 em qualquer valor de x no intervalo, existirá somente uma única 
solução y(x) que satisfaça as condições iniciais no intervalo I.
Verificar que g(a) = 3e2a + e–2a – 3a é uma solução para:
com:
Equações diferenciais de ordem superior2
CÁLCULO III 124
Solução:
A princípio, numa equação diferencial, seus coeficientes e F(a) =12a são contínuos, 
e C2 = 1 ≠ 0 em qualquer intervalo que contenha a = 0. Tendo essas informações, 
pode-se confirmar a existência de única solução, como diz o teorema.
Substituindo os valores de a para as condições iniciais:
Derivando-se g:
A função g(a) = 3e2a – 2e–2a – 3a é a única solução para a equação diferencial de 
ordem dois, pois atende às condições do teorema e iniciais.
Dependência e independência linear 
Dado um conjunto de funções num intervalo I, existindo constantes k1, k2, ..., kn 
não nulas:
Afirma-se que as funções são linearmente dependentes e, caso contrário, 
as são linearmente independentes (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Existindo duas funções linearmente dependentes:
Reescrevendo a equação, isolando-se f1(x):
Assim, para todo valor de x, funções linearmente dependentes são múltiplas 
umas das outras. Ao contrário, são linearmente independentes.
3Equações diferenciais de ordem superior
125 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
Prove que as funções f1(x) = sen(2x) e f2(x) = sen(x) ∙ cos(x) são linearmente dependentes.
Primeiramente, deve-se utilizar a relação trigonométrica para sen(2x) = 2sen(x) ∙ cos(x).
Assim:
Critério para independência linear de funções
Chama-se Wronskiano o valor do determinante das funções de uma equação 
diferencial, supondo-se que cada função seja diferenciável n – 1 vezes.
Caso o determinante seja igual a zero em algum ponto do intervalo I, 
as funções são linearmente independentes no intervalo. O Wronskiano das 
funções é denotado por:
Equações diferenciais de ordem superior4
CÁLCULO III 126
Calcular o Wronskiano das funções a seguir e verificar se são linearmente dependentes 
ou independentes.
Como W ≠ 0, as funções são linearmente independentes.
Equações diferenciais homogêneas e não 
homogêneas
Uma equação diferencial de ordem n na forma demonstrada a seguir é clas-
sificada como homogênea.
Já, caso tenha a seguinte forma, é classificada como não homogênea (ZILL; 
CULLEN, 2001).
Equações diferenciais homogêneas 
Equações de ordem superior tendem a ter soluções exponenciais y = k1 ⋅ e–ax, 
como as de primeira ordem. Toma-se como exemplo a equação de segunda 
ordem a seguir:
5Equações diferenciais de ordem superior
127 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
A solução desse problema tem a forma y = epx, logo y' = pepx, y'' = p2epx. 
Então, a equação se torna:
Uma função exponencial nunca se anula, independentementedo valor de 
x. Portanto, é necessário que os coeficientes se anulem. Com isso, tem-se uma 
nova equação chamada equação auxiliar (ZILL; CULLEN, 2001).
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se o valor de p. Como, nesse caso, 
a equação diferencial é de ordem dois, a equação auxiliar é uma equação de 
segundo grau, para as quais existem três situações para suas raízes: duas 
raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais, raízes complexas conjugadas.
Raízes reais distintas 
A equação auxiliar tem duas raízes p1 e p2:
As duas funções encontradas são linearmente independentes, visto que 
uma não pode ser escrita como múltipla da outra. Assim, ambas formam um 
conjunto de fundamental solução. Para equações homogêneas, existe o teorema 
do princípio da superposição: para uma equação diferencial homogênea de 
ordem n, a superposição, a soma, das soluções é também uma solução dela. 
Sendo assim, pode-se escrever a função y como:
onde p1 e p2 são raízes da equação auxiliar, e k1 e k2 são constantes da função y.
Equações diferenciais de ordem superior6
CÁLCULO III 128
Raízes reais iguais 
Quando p1 = p2, encontra-se, a princípio, apenas uma solução exponencial 
y1 = e
(p1x) para a equação. Porém, é possível chegar a uma nova solução a partir 
da primeira, por meio da redução de ordem. Ou seja, a equação de ordem 
dois é reescrita como uma equação de ordem um, ao fazer y′ = w, podendo 
ser novamente resolvida por método integrativo. 
Pela resolução, encontra-se que:
Raízes complexas conjugadas 
Sendo p1 e p2 complexas conjugadas, pode-se escrever:
onde k1 e k2 são constantes da função y.
Essa solução, formalmente, não tem distinção em relação ao caso de duas 
raízes reais. Entretanto, utiliza-se a fórmula de Euler para que não se trabalhe 
com funções exponenciais complexas.
cos sen
Pode-se escrever a solução da equação diferencial como:
cos sen
7Equações diferenciais de ordem superior
129 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
Resolva o problema de valor inicial f'' – 4f' + 13f = 0, sujeito a f(0) = –1 e f'(0) = 2.
A equação diferencial linear de ordem dois tem como equação auxiliar:
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se duas raízes complexas: m1 = 2 + i3 e 
m2 = 2 – i3.
Sendo assim, pode-se escrever f como:
cos sen
Para a condição f(0) = –1, tem-se:
cos sen
Logo, k1 = –1.
Derivando a função solução, tem-se:
sen cos cos sen
Para f'(0) = 2, encontra-se , portanto:
cos sen
Para equações de ordem n, deve-se encontrar a equação auxiliar, que é 
polinomial de grau n:
Para o caso de todas as raízes serem reais e distintas, a solução geral tem 
a forma:
Devido ao maior grau do polinômio, existem as mais diversas combinações 
de raízes.
Equações diferenciais de ordem superior8
CÁLCULO III 130
Encontre a solução geral para y(4) – y = 0, satisfazendo as condições iniciais:
A função y tem forma eax, com equação auxiliar:
As raízes da equação são:
Dadas as raízes, a solução geral é:
sen
Aplicando as condições iniciais, encontra-se o sistema:
Resolvendo o sistemas, tem-se:
Logo, a solução geral será:
sen
9Equações diferenciais de ordem superior
131 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
Equações diferenciais não homogêneas
Para resolver equações lineares não homogêneas, é necessário seguir dois 
passos:
 � encontrar a função complementar, que é a solução da equação diferencial 
homogênea associada;
 � encontrar qualquer solução particular para a equação não homogênea.
Como visto anteriormente, uma equação não homogênea de segunda ordem 
tem a forma:
O método utilizado é o dos coeficientes a serem determinados utilizando-se 
o teorema da superposição. Esse método se limita a equações não homogêneas 
de coeficientes constantes, e a função pode ser: polinomial, exponencial, seno, 
cosseno ou soma e produto dessas (ZILL; CULLEN, 2001).
Encontrar a solução particular da equação y'' + 2y' – 3y = x2 – 3x – 10.
Resolvendo a parte homogênea associada, encontra-se a solução complementar:
Agora, deve-se chegar à solução particular, supondo que ela tenha a mesma forma 
da função f(x).
Derivando a solução particular duas vezes, conforme a equação homogênea 
associada:
Equações diferenciais de ordem superior10
CÁLCULO III 132
Assim:
Agrupando por coeficientes do polinômio, chega-se em:
Com isso, encontra-se a equação particular:
A solução geral é a superposição da equação complementar e particular:
Determine a solução particular para: y'' + 3y' – 4y = 2 ∙ sen2x.
A solução particular tem a forma: A ∙ cos 2x + B ∙ sen 2x.
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
–A ∙ cos x – B ∙ sen x + 3 ∙ (–A ∙ sen x + B ∙ cos x) – 4 ∙ (A ∙ sen x + B ∙ cos x) = 2 ∙ sen x
e reagrupando os termos:
Logo: 
11Equações diferenciais de ordem superior
133 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
Determine a solução particular para:
A solução particular tem forma:
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
e reagrupando os termos:
Logo:
No momento da resolução para encontrar a solução particular, não se escolhe a função 
de forma aleatória. A função da solução particular, normalmente, tem forma parecida 
com a função f(x). Veja, no Quadro 1, a relação entre f(x) e yp.
Quadro 1. Relação f(x) e yp.
f(x) Forma de yp
1 (constante) A
ax + b Ax + b
Equações diferenciais de ordem superior12
CÁLCULO III 134
f(x) Forma de yp
ax2 + b + c Ax2 + b + c
Ax3 + bx2 + cx + d Ax3 + Bx2 + Cx + D
sen (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
cos (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
eax A ∙ eaxt
(ax – b) ∙ ecx (Ax – B) ∙ ecx
x2 ∙ eax (Ax2 + Bx + C) ∙ eax
eax ∙ sen(bx) A ∙ eax ∙ cos(bx) + B ∙ eax ∙ sen(bx)
ax2 ∙ sen(bx) (Ax2 + Bx + C) ∙ cos(bx) + (Dx2 + Ex + F) ∙ sen(bx)
Problemas aplicados
Muitos sistemas físicos são modelados por meio de equações diferenciais 
lineares, como a equação de movimento em sistema massa-mola ou a corrente 
elétrica em um circuito RLC série, mostrado na Figura 1.
Figura 1. Circuito RLC série.
13Equações diferenciais de ordem superior
135 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
Aplicando-se a lei de Kirchhoff, a soma das tensões deve ser igual a zero 
em uma malha.
Como corrente é a variação temporal da carga elétrica, reescreve-se a 
equação como:
Para o circuito da Figura 1, encontrar a carga q(t) no capacitor, sendo q(0) = q0 e 
i(0) = 0, e(t) = 0.
Escrevendo a equação diferencial:
,
e reescrevendo-a:
encontra-se uma equação diferencial linear homogênea de ordem dois. Portanto, 
deve-se encontrar e resolver a equação auxiliar:
que tem como raízes: t1 = –20 + 60i e t2 = –20 – 60i.
A equação diferencial do circuito tem como solução geral:
Equações diferenciais de ordem superior14
CÁLCULO III 136
Aplicando-se as condições iniciais:
a equação para a carga no circuito é:
No link a seguir, você poderá entender melhor a lei de Kirchhoff para tensão, aprenderá 
o que é uma malha ou um nó e a convenção de sinais para o cálculo das malhas.
https://qrgo.page.link/u2Hwd
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 607 p. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 473 p.
Leitura recomendada
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 8. ed. SãoPaulo: Cengage Learning, 2017. 672 p. 
15Equações diferenciais de ordem superior
137 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior PARTE 4
ANOTAÇÕES
CÁLCULO III 138
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Parte 5
Equações Diferenciais
Não Lineares
CÁLCULO III 140
Equações diferenciais 
não lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer as equações diferenciais não lineares.
 � Resolver equações separáveis de Bernoulli e de Riccati.
 � Identificar equações diferenciais não lineares em problemas aplicados.
Introdução
Normalmente, as equações não lineares são de difícil solução ou, até 
mesmo, não apresentam solução analítica. Entretanto, existem alguns 
casos particulares em que é possível solucionar a equação não linear de 
forma rápida e simples. Para isso, são usados os métodos de Bernoulli e 
de Riccati, a separação de variáveis e a integração direta. Isso não quer 
dizer que as equações não lineares que não se enquadrem nesses casos 
particulares não tenham solução. Com o uso de cálculo numérico, é 
possível obter soluções aproximadas muito precisas.
Essas equações descrevem alguns fenômenos físicos, como o mo-
vimento de um pêndulo, o escoamento de fluidos, os fenômenos de 
transferência de calor, etc. Neste capítulo, você reconhecerá as equações 
diferenciais não lineares, resolverá equações por meio dos métodos de 
Bernoulli e de Riccati, assim como verá problemas aplicados.
Definição
As equações diferenciais não lineares, diferentemente das equações lineares 
nas quais os coeficientes dependem apenas da variável independente x, também 
têm coeficientes dependendo da variável dependente y (ZILL; CULLEN, 2001):
141 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Na equação anterior, o termo y é um coeficiente que depende da variável 
dependente. Este exemplo também serve para ilustrar outra equação não linear:
Essa equação é não linear, pois existe um termo y com expoente diferente 
de 1.
Independentemente de ser linear ou não linear, qualquer função em um 
intervalo definido, quando substituída na equação diferencial, reduz-se a 
uma identidade, é chamada de solução no intervalo (ZILL; CULLEN, 2001).
Por exemplo, para verificar que é solução para a equação 
 
num intervalo I (–∞,∞), primeiramente, escreve-se a equação diferencial como:
Agora, deve-se substituir na equação e verificar se o resultado 
 
obtido é zero em todo o intervalo I.
Inicialmente, deriva-se a função y:
A equação fica:
Portanto, para todo valor real, a função é solução para .
Equações diferenciais não lineares2
CÁLCULO III 142
Uma equação diferencial normalmente apresenta um número infinito de 
soluções devido à constante de integração. Para encontrar uma solução especí-
fica, é necessário ter um ponto em que a solução e/ou suas derivadas passam. 
Para resolver problemas simples, é preciso relembrar as equações separáveis e 
o fator de integração. A seguinte equação é um exemplo de equação separável:
Resolva o problema de valor inicial
Deve-se salientar que esse problema não é contínuo quando y = 0. Assim, será 
considerado intervalo I, onde y ≠ 0.
Essa é uma equação separável, podendo ser reescrita da seguinte forma:
Deve-se integrar os dois lados da equação:
Da integração, obtém-se:
Isolando-se y, encontra-se a solução:
3Equações diferenciais não lineares
143 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Aplicando-se a condição inicial y(0) = 0:
Para satisfazer a condição inicial, é necessário que c = 0, e a solução para o problema é:
As equações diferenciais não lineares, de primeira ordem, podem ser re-
solvidas por meio da separação de variáveis e integração direta. É necessário 
dominar bem esses assuntos para solucionar tais equações. Entretanto, em 
muitas situações, esses métodos não serão possíveis, e a equação deverá ser 
solucionada por outros métodos, como analítico ou numérico.
Métodos de Bernoulli e de Riccati
Equação de Bernoulli
Algumas vezes, a solução de equação diferencial não linear é possível ao se 
fazer uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação 
linear (BOYCE; DIPRIMA, 2010). A equação de Bernoulli é um exemplo:
Para y ≠ 0, a equação pode ser escrita como:
Equações diferenciais não lineares4
CÁLCULO III 144
Se for feita a substituição:
e derivando implicitamente w em relação a x, tem-se:
Agora, multiplica-se a equação diferencial por (1 – n):
Assim, faz-se a substituição para w:
Resolvendo a equação em w, basta substituir w = y1–n e se obtém a solução 
para a equação inicial.
Resolver a equação diferencial .
Primeiramente, é necessário identificar os termos da equação de Bernoulli:
e, em seguida, fazer a mudança de variável w = y–1 
5Equações diferenciais não lineares
145 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Se for feita a substituição:
e derivando implicitamente w em relação a x, tem-se:
Agora, multiplica-se a equação diferencial por (1 – n):
Assim, faz-se a substituição para w:
Resolvendo a equação em w, basta substituir w = y1–n e se obtém a solução 
para a equação inicial.
Resolver a equação diferencial .
Primeiramente, é necessário identificar os termos da equação de Bernoulli:
e, em seguida, fazer a mudança de variável w = y–1 
5Equações diferenciais não lineares
Sendo assim, a equação fica:
A equação tem fator de integração:
Assim:
Integrando os dois lados da equação:
encontra-se:
Sendo w = y–1, então:
Equações diferenciais não lineares6
CÁLCULO III 146
Equação de Riccati
A equação de Riccati tem a seguinte forma:
Inicialmente, deve-se considerar que existe uma solução y1 para a equação. 
Assim, é possível substituir y1 da seguinte maneira:
Substituindo na equação de Riccati, em v, encontra-se:
Como y1 é solução da equação, então:
Sendo assim, podemos substituir novamente e chegamos a:
Pode-se notar que a equação de Riccati é um caso particular da equação 
de Bernoulli com n = 2. 
7Equações diferenciais não lineares
147 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Resolver a equação de Riccati , sabendo que y1 = x.
Para a equação anterior, temos os termos:
Sendo assim, a equação de Riccati toma a forma:
Substituindo os coeficientes da equação, temos:
Trata-se de uma equação separável, podendo ser escrita como:
Integrando os dois lados:
Como solução geral, temos:
e substituindo as funções:
Equações diferenciais não lineares8
CÁLCULO III 148
As equações de Bernoulli e de Riccati são uteis na solução de equações 
diferenciais não lineares, pois, com o uso desses métodos, é possível transfor-
mar equações, que a princípio eram complexas e sem solução, em equações 
mais simples e possíveis de serem resolvidas aplicando separação de variáveis 
e integração direta.
Problemas aplicados
Existem diversos problemas em que as equações diferenciais não lineares estão 
presentes. Por exemplo: na taxa de crescimento ou decaimento de populações, 
em biologia;com o decaimento radioativo de certa substância, na física; para 
se determinar a quantidade de uma substância em uma reação, na química; 
na mecânica de sólidos, como a velocidade de escape de um corpo para se 
livrar da gravidade de um planeta.
Comportamento de populações
Uma população P pode ser descrita como:
Analisando-se essa equação, é possível notar que o crescimento da popu-
lação se torna ilimitado, o que não pode ser verdade. O matemático e biólogo 
P. F. Verhulst estudou a equação:
que ficou conhecida como equação logística (ZILL; CULLEN, 2001), sendo 
a e b constantes positivas.
9Equações diferenciais não lineares
149 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Resolver a equação logística mostrada anteriormente, encontrando a função p.
Aplicaremos o método das frações parciais visto no cálculo diferencial e integral.
Somando-se as duas frações parciais, temos a função anterior. Logo:
Multiplicando toda a igualdade por p ∙ (a – bp), temos: 
Podemos ver que essa igualdade é um polinômio de primeiro grau. Encontraremos 
seus coeficientes por meio da separação dos termos de ambos os lados.
Integrando a equação:
Agora, eleva-se e pela equação anterior e chega-se a:
Equações diferenciais não lineares10
CÁLCULO III 150
A função logística é um modelo preciso de previsão de populações de bacté-
rias, protozoários, propagação de epidemias, quando trazida por um indivíduo 
infectado a uma população, possibilitando estimar quantas pessoas estarão 
infectadas em um determinado tempo. Atualmente, o modelo populacional 
é usado para estudar o impacto de anúncios publicitários em certos grupos.
No link a seguir, estão alguns exemplos para aprofundar mais os conhecimentos sobre 
a equação de Bernoulli e suas aplicações.
https://qrgo.page.link/H353M
Muitas aplicações de engenharia são modeladas por meio de equações 
não lineares, o que faz necessário saber reconhecê-las e conhecer bem os 
métodos para solucioná-las. Equações não lineares, a princípio, parecem não 
ter resolução analítica. Entretanto, muitos casos permitem esse tipo de solução, 
os quais, por sua vez, não são muito complexos, sendo necessário ter bom 
domínio de cálculo de integrais e derivadas.
Isolando p, temos:
Dividindo a fração por eat no numerador e denominador, encontramos:
Se a condição p(0) é conhecida e p(0) = p0 ≠ a/b, pode-se definir a constante c1 como:
11Equações diferenciais não lineares
151 Equações Diferenciais UNIDADE 2 Equações Diferenciais Não Lineares PARTE 5
Acessando o link a seguir, é possível visualizar uma aula com exercícios, disponibilizada 
pelo Prof. Marcos Eduardo Valle, da UNICAMP.
https://qrgo.page.link/D53EN
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 607 p. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 496 p.
Leitura recomendada
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 672 p.
Equações diferenciais não lineares12
CÁLCULO III 152
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
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Cálculo Vetorial
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo completo 
e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e tire suas 
dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos propostos 
para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Introduzir o cálculo vetorial com suas funções, limites e derivadas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Calcular limites, derivadas e integrais de funções vetoriais.
• Utilizar a noção de campos vetoriais conservativos na resolução de problemas.
• Reconhecer a diferença entre a integral de uma função escalar e a de um campo 
vetorial.
unidade 
3
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Parte 1
Funções Vetoriais
CÁLCULO III 156
Funções vetoriais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever curvas e suas projeções em planos coordenados.
 � Calcular limites, derivadas e integrais de funções vetoriais.
 � Manipular as regras do produto para funções vetoriais.
Introdução
Funções vetoriais são funções cujos valores são vetores. Esse tipo de 
função fornece uma maneira unificada de estudar curvas paramétricas 
nos espaços bi e tridimensional. Além disso, são uma ferramenta básica 
para a análise do movimento de partículas ao longo da trajetória de 
uma curva. A notação vetorial também pode ser usada para expressar 
equações paramétricas. Esse estudo permite fazer relações com aplicações 
importantes na física e na engenharia.
Neste capítulo, você conhecerá as funções vetoriais e verificará como 
se descrevem as curvas, assim como as suas projeções em planos co-
ordenados. Além disso, verá como diferenciar e integrar tais funções e 
conhecerá algumas propriedades básicas dessas operações. Ao longo 
do texto, você encontrará exemplos detalhados e representações por 
meio de figuras para facilitar a compreensão e a análise do conteúdo.
As funções vetoriais
Suponha que uma partícula esteja em movimento no R3 e que as suas coor-
denadas no instante t sejam (x(t), y(t), z(t)). A partir disso, representamos a 
trajetória da partícula pela função vetorial r(t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉 = x(t)i + y(t)
j + z(t)k. O vetor r(t) aponta da origem à posição da partícula no instante t 
(ROGAWSKI, 2009), como você pode observar na Figura 1.
157 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
Figura 1. Vetor r(t).
Fonte: Rogawski (2009, p. 720).
Uma função vetorial é qualquer função r(t) da forma r(t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉 
= x(t)i + y(t)j + z(t)k cujo domínio D é um conjunto de números reais e cuja 
imagem é um conjunto de vetores posição. A variável t é denominada parâ-
metro e as funções x(t), y(t), z(t) são chamadas de funções componentes ou 
coordenadas (ROGAWSKI, 2009).
O domínio de funções vetoriais é simplesmente o conjunto de todos os valores de t 
para os quais r(t) está definida, ou seja, todos os valores de t que pertencem ao domínio 
das três funções coordenadas x(t), y(t), z(t). Veja alguns exemplos:
Se os componentes de r(t) forem funções contínuas, então, à medida que t variar, o 
ponto final de r(t) traça um caminho em R3. Dizemos que r(t) é uma parametrização 
vetorial desse caminho; já o conjunto de todos os pontos (x(t), y(t), z(t)), com t no 
domínio de r, é uma curva espacial C.
Fonte: Rogawski (2009, p. 721).
Funções vetoriais2
CÁLCULO III 158
Rogawski (2009) destaca um caso especial de funções vetoriais que são as 
parametrizações vetoriais de retas. A reta por P0 = (x0, y0, z0) de vetor diretor 
v = 〈a, b, c〉 tem a parametrização vetorial
r(t) = 〈x0, y0, z0〉 + tv = 〈x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc〉
Algumas vezes, é útil considerar as projeções sobre os planos coordenados. 
A projeção de r(t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉 sobre o plano xy é o caminho p(t) = 〈x(t), y(t), 
0〉. De forma análoga, as projeções sobre os planos yz e xz são os caminhos 〈0, 
y(t), z(t)〉 e 〈x(t), 0, z(t)〉, respectivamente (ROGAWSKI, 2009). Veja a seguir 
o exemplo de uma hélice.
Exemplo 1
A curva traçada por r(t) = 〈–sen t, cos t, t〉 é uma hélice. Descreva essa curva 
e a sua projeção sobre os planos coordenados.
Solução:
A projeção sobreo plano xy é o caminho p(t) = 〈–sen t, cos t, 0〉, que descreve 
um ponto em movimento anti-horário em torno do círculo unitário. A própria 
função r(t) descreve um ponto cuja projeção percorre o círculo, enquanto a 
altura z = t cresce linearmente com o tempo, resultando na hélice da Figura 2.
3Funções vetoriais
159 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
Figura 2. As projeções da hélice r(t).
Fonte: Rogawski (2009, p. 721).
A projeção sobre o plano xz é o caminho 〈–sen t, 0, t〉, que é uma onda em 
movimento ao longo do sentido z positivo. Analogamente, a projeção sobre o 
plano yz é a onda 〈0, cos t, t〉.
Funções vetoriais4
CÁLCULO III 160
Rogawski (2009) destaca que é importante distinguir entre o caminho r(t) e a curva 
espacial subjacente. O caminho é uma maneira particular de percorrer a curva: pode 
percorrê-la várias vezes, trocar de sentido de percurso, ir para a frente e para trás, etc. 
Por exemplo, à medida que t varia de –∞ a ∞, o caminho r(t) = 〈cos t, sen t, 1〉 percorre 
infinitas vezes o círculo unitário à altura z = 1, como mostra a Figura 3.
Figura 3. O caminho r(t) = 〈cos t, sen t, 1〉.
Fonte: Rogawski (2009, p. 722).
Em geral, as curvas espaciais podem ser bem mais complicadas e difíceis de esboçar 
à mão. Entretanto, os computadores fornecem bons gráficos de perspectivas diferentes, 
como mostra a Figura 4.
Figura 4. A curva r(t) = 〈t sen t cos t, t sen2 t, t cos t〉, com π ≤ t ≤ 4π.
Fonte: Rogawski (2009, p. 722).
5Funções vetoriais
161 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
É conveniente traçar uma curva “engordada” para auxiliar a visualização, como 
nas Figuras 4 e 5. No entanto, é importante destacar que as curvas espaciais são 
unidimensionais e não têm espessura.
Figura 5. A interseção das superfícies x2 – y2 = z – 1 e x2 + y2 = 4.
Fonte: Rogawski (2009, p. 722). 
Rogawski (2009) alerta que qualquer curva pode ser parametrizada de 
infinitas maneiras. Acompanhe um exemplo de parametrização de interseção 
de superfícies. 
Exemplo 2
Parametrize a interseção das superfícies x2 – y2 = z – 1 e x2 + y2 = 4 represen-
tadas na Figura 5.
Nosso objetivo é expressar as coordenadas de um ponto da curva como 
funções de um parâmetro t. Assim, resolvemos esse problema de duas maneiras. 
Inicialmente, resolvemos y e z em termos de x. As duas equações podem ser 
reescritas como y2 = 4 – x2 e z = x2 – y2 + 1. Assim,
Tomando t = x como parâmetro, obtemos . Os 
dois sinais da raiz quadrada correspondem às duas metades da curva, em que 
y > 0 e y < 0, como mostra a Figura 6.
Funções vetoriais6
CÁLCULO III 162
Figura 6. Duas metades da curva de interseção da superfície.
Fonte: Rogawski (2009, p. 723).
Portanto, precisamos de duas funções vetoriais para parametrizar toda a 
curva:
Obtemos uma segunda parametrização, que possivelmente é melhor, ob-
servando que a equação x2 + y2 = 4 tem uma parametrização trigonométrica: 
x = 2 cos t, y = sen t. A segunda equação fornece
z = x2 – y2 + 1 = 4 cos2t – 4 sen2t + 1 = 4 cos 2t + 1
Assim, podemos parametrizar toda a curva por meio de uma única função 
vetorial:
r(t) = 〈2 cos t, 2 sen t, 4 cos 2t + 1〉 com 0 ≤ t ≤ 2π
7Funções vetoriais
163 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
Exemplo 3
Weir, Hass e Giordano (2009) apresentam um exemplo de representação 
gráfica de uma função vetorial. Represente graficamente a função vetorial 
r(t) = (cos t) i + (sen t) j + tk.
Solução:
A função vetorial r(t) = (cos t) i + (sen t) j + tk é definida para todos os valores 
reais de t. A curva traçada por r é uma hélice que enrola ao redor do cilindro 
circular x2 + y2 = 1, como mostra a Figura 7.
Figura 7. A metade superior da hélice r(t) = (cos t)i + 
(sen t)j + tk.
Fonte: Weir, Hass e Giordano (2009, p. 229).
z
2
t =
t = 2
t =
2
(1, 0, 0) t = 0 x2 + y2 = 1
0 r
y
x
t
P
Funções vetoriais8
CÁLCULO III 164
A curva está localizada sobre o cilindro porque os componentes i e j de 
r, sendo as coordenadas x e y da extremidade de r, satisfazem a equação do 
cilindro: x2 + y2 = (cos t)2 + (sen t)2 = 1.
A curva sobe à medida que o componente em k, que é z = t, aumenta. 
Cada vez que t aumenta 2π, a curva completa uma volta ao redor do cilindro. 
As equações x = cos t, y = sen t, z = t parametrizam a hélice, com o intervalo 
–∞ < t < ∞.
Calculando limites, derivadas e integrais
Nesta seção, você verá a derivação e integração de funções vetoriais, obser-
vando a interpretação geométrica da derivada como vetor tangente. Vamos 
iniciar o estudo pela definição de limite de uma função vetorial, conforme 
Rogawski (2009).
Podemos definir o limite de uma função vetorial da seguinte forma: 
“uma função vetorial r(t) tende ao limite u (um vetor) quando t tende a 
t0 se . Nesse caso, escrevemos ”. Você 
pode visualizar o limite de uma função vetorial como um vetor r(t) em mo-
vimento em direção ao limite u, como mostra a Figura 8.
Figura 8. Função vetorial r(t) tende a u quando t → t0.
Fonte: Rogawski (2009, p. 728).
9Funções vetoriais
165 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
Outro ponto importante destacado por Rogawski (2009) é que os limites 
vetoriais podem ser calculados componente a componente. Observe o teorema 
a seguir.
Uma função vetorial r(t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉 tende a um limite quando 
t → t0 se, e somente se, cada componente tende a um limite e, nesse caso, 
 . Veja o exemplo a seguir (ROGAWSKI, 
2009).
Exemplo 4
Calcule .
Quanto à continuidade e à derivação de funções vetoriais, Rogawski (2009) 
as define da seguinte maneira: uma função vetorial r(t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉 é 
contínua em t0 se .
Cabe destacar que r(t) é contínua em t0 se, e somente se, os componentes 
x(t), y(t) e z(t) são contínuos em t0. A derivada de r(t) é o limite das razões 
incrementais: 
Rogawski (2009) destaca que r(t) é derivável em t se o limite existir. Na 
notação de Leibniz, a derivada é denotada por . As derivadas de ordens 
superiores são definidas por derivação repetida:
Os componentes da razão incremental são razões incrementais:
Funções vetoriais10
CÁLCULO III 166
Assim, Rogawski (2009) explica que r(t) é derivável se, e somente se, 
os componentes são deriváveis. Nessas condições, r'(t) é igual ao vetor das 
derivadas 〈x'(t), y'(t), z'(t)〉. Observe algumas derivadas vetoriais calculadas 
por componentes:
Como a derivação vetorial é processada por componente, as regras de 
derivação de uma variável são as mesmas no contexto vetorial.
Regras de derivação
Suponha que r(t), r1(t) e r2(t) sejam deriváveis. Então: 
 � Regra da soma: (r1(t) + r2(t))' = r'1(t) + r'2(t)
 � Regra do múltiplo constante: para qualquer constante c, (c r(t))' = c r'(t)
 � Regra do produto: para qualquer função escalar derivável f(t),
 � Regra da cadeia: para qualquer função escalar derivável g(t),
Consulte a obra de Weir, Hass e Giordano (2009) para aprofundar os seus estudos 
sobre as regras de derivação para funções vetoriais.
A integração vetorial é abordada por Rogawski (2009) como somas de 
Riemann. O autor as define usando integração de componentes:
11Funções vetoriais
167 Cálculo Vetorial UNIDADE 3Funções Vetoriais PARTE 1
Cabe destacar que a integral existe se cada um dos componentes x(t), y(t), z(t) 
for integrável, e as integrais vetoriais obedecem as regras de linearidade como 
funções a uma variável. Veja alguns exemplos a seguir (ROGAWSKI, 2009).
Exemplo 5
Cada um dos componentes x(t), y(t), z(t) é integrável.
Encontrando a antiderivada da função:
Regras do produto para funções vetoriais
Veja a seguir a prova das regras dos produtos e a regra da cadeia, conforme 
Weir, Hass e Giordano (2009).
Prova da regra do produto escalar
Imagine que u = u1(t)i + u2(t)j + u3(t)k e v = v1(t)i + v2(t)j + v3(t)k. Então: 
Funções vetoriais12
CÁLCULO III 168
Prova da regra do produto vetorial
Modelamos a prova conforme a prova da regra do produto para funções 
escalares:
Para mudar essa fração para uma equivalente que contenha as razões 
incrementais para as derivadas de u e v, subtraímos e adicionamos u(t) × 
v(t + h) no numerador. Então:
A última das desigualdades é verdadeira porque o limite do produto ve-
torial de duas funções vetoriais é o produto vetorial dos seus limites, se estes 
existirem. À medida que h se aproxima de zero, v(t + h) se aproxima de v(t), 
porque v, sendo derivável em t, é contínua em t. Portanto,
13Funções vetoriais
169 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
Prova da regra da cadeia
Suponha que u(s) = a(s)i + b(s)j + c(s)k seja uma função vetorial derivável de s 
e que s = f(t) seja uma função escalar derivável de t. Então, a, b e c são funções 
deriváveis de t, e a regra da cadeia para funções reais deriváveis resulta em:
Por conveniência algébrica, às vezes escrevemos o produto de um escalar 
c e um vetor v como vc, em vez de cv. Isso nos permite, por exemplo, escrever 
a regra da cadeia com (WEIR; HASS; GIORDANO, 2009).
onde s = f(t).
Veja dois exemplos detalhados a seguir (ROGAWSKI, 2009).
Exemplo 6
Sejam r(t) = 〈t2, 5t, 1〉 e f(t) = et. Calcule:
a) 
b) 
Funções vetoriais14
CÁLCULO III 170
Solução:
Temos r'(t) = 〈2t, 5,0〉 e f'(t) = et.
a) Pela regra do produto,
b) Pela regra da cadeia,
Neste capítulo, você retomou conhecimentos sobre derivada e integral 
e constatou que as regras de derivação de uma variável são as mesmas no 
contexto vetorial. Além disso, conheceu, a partir da representação gráfica, 
teoremas e aplicações das funções vetoriais. Você estudou o domínio das 
funções vetoriais e viu que qualquer curva pode ser parametrizada de infinitas 
maneiras. Em seguida, viu como calcular limites, derivadas e integrais de 
funções vetoriais, atentando às regras.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 2.
WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. v. 2.
Leitura recomendada
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
15Funções vetoriais
171 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Funções Vetoriais PARTE 1
ANOTAÇÕES
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
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Parte 2
Campos Vetoriais
CÁLCULO III 174
Campos vetoriais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir campos vetoriais a fim de reconhecer a sua representação 
gráfica.
 � Produzir um campo vetorial a partir do gradiente de uma função 
diferenciável.
 � Utilizar a noção de campos vetoriais na resolução de problemas.
Introdução
Campos vetoriais são associações entre vetores e pontos no espaço. 
Assim, eles têm módulo, direção e sentido. Esses campos são utilizados 
para modelar e analisar o comportamento de fluidos em correntes aéreas 
e marítimas, fazendo previsões, por exemplo, sobre o deslocamento 
de furacões. É possível também produzir modelos vetoriais de campos 
eletromagnéticos.
Há alguns anos, os campos vetoriais precisavam ser desenhados à mão 
nos cursos de cálculo. Porém, com o desenvolvimento das ferramentas 
digitais, hoje existem aplicativos que produzem representações gráficas 
desses campos a partir da inserção de dados de funções. 
Neste capítulo, você vai aprender a definição de um campo vetorial, 
bem como a calcular o respectivo gradiente, o rotacional e o divergente. 
Além disso, você será capaz de determinar as taxas de variação dos ve-
tores que compõem esses campos, e de utilizar esses aprendizados na 
resolução de problemas.
175 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais PARTE 2
Campos vetoriais e suas representações
Em vários processos, há grandezas que variam de acordo com a sua posição 
e com o tempo, e que podem ser representadas por uma função f(x, y, z), que 
é denominada campo. Um exemplo de campo é a pressão atmosférica, que 
depende de localização, altitude e tempo. Os campos podem ser de vários tipos:
 � Campo estacionário: não depende do tempo.
 � Campo variável: depende do tempo.
 � Campo escalar: a grandeza é escalar, representada por um número real 
com a unidade adequada (comprimento, massa, volume, densidade). 
Um exemplo desse campo é a temperatura do ar.
 � Campo vetorial: a grandeza é vetorial, isto é, para caracterizá-la, pre-
cisamos conhecer módulo, direção e sentido. Um exemplo é o campo 
magnético terrestre.
Neste capítulo, o campo que nos interessa é o último: o vetorial. Um campo 
vetorial, de acordo com Anton (2000), é uma função que associa um ponto no 
espaço a um vetor. As suas componentes variam de ponto para ponto, de modo 
contínuo e diferenciável. Isso quer dizer que é possível calcular as derivadas 
parciais dessas componentes, produzindo novas funções contínuas. Podemos 
definir isso matematicamente como: 
F(x, y, z) = f(x, y, z) i + g(x, y, z)j + h(x, y, z) k
O conjunto de vetores unitários i, j, k, em três dimensões, é usado para designar as 
direções dos eixos x, y, z, respectivamente.
Campos vetoriais2
CÁLCULO III 176
As representações matemáticas de fluxos, como da eletricidade ou de flui-
dos, é feita utilizando campos vetoriais. Observe na Figura 1 a representação 
de um campo vetorial.
Figura 1. Representação de campo vetorial: F(x, y) = xi + yj.
O aplicativo utilizado para produzir as imagens deste capítulo está disponível para 
uso gratuito no link a seguir.
https://qrgo.page.link/734jU
3Campos vetoriais
177 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais PARTE 2
Observe a Figura 1 e perceba que, mesmo em duas dimensões, temos a im-
pressão de movimento, de representação de fluxo. Isso nos dá uma visão geral 
e panorâmica do comportamento do sistema. Veja outro exemplo na Figura 2.
Figura 2. Representação de campo vetorial: .
Gradiente de um campo escalar
Considere f (x, y, z) como um campo escalar definido em certo domínio. Se 
houver derivadas parciais de primeira ordem nesse domínio, elas formam os 
componentes do vetor gradiente “def”. Matematicamente, expressamos o vetor 
da função escalar f(x, y, z) por:
Comumente denota-se grad f como ∇f no qual ∇ (Nabla ou del) representa 
o operador diferencial. Para saber como proceder para calcular isso, observe 
o exemplo a seguir.
Campos vetoriais4
CÁLCULO III 178
Para calcular o gradientede f(x, y, z) = 3 (x3 + y2) – z2, no ponto P (2, 1, 1), primeiramente 
reescreva a função usando a propriedade distributiva:
f (x, y, z) = 3x3 + 3y2 – z2
Agora calcule pela fórmula:
Substitua P(2, 1, 1):
∇f = 9 ∙ 22i + 6 ∙ 1j– 2 ∙ 1k
∇f = 36i + 6j – 2k
Veja a seguir mais um exemplo de cálculo do gradiente.
Obtenha o campo vetorial gradiente da função f(x, y) = ln (x + 2y).
Note que está presente nessa função o logaritmo natural, que tem uma regra de 
derivação específica (ROGAWSKI, 2009). Sendo u uma função derivável de x, então:
Obtenha o campo gradiente usando a fórmula:
5Campos vetoriais
179 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais PARTE 2
Inserindo a função, você terá:
Rotacional e divergente
Duas operações importantes do espaço 3D são o rotacional e o divergente, 
cujas denominações são originárias do estudo do fluxo fluído. A divergência se 
refere à maneira como o fluido flui de ou para um ponto; o rotacional refere-se 
às características da rotação do fluido num ponto qualquer. 
O divergente é um operador utilizado para medir a magnitude de fonte 
de um campo vetorial em um dado ponto. Em outras palavras, ele pode ser 
entendido como um valor que mede a densidade dos vetores do campo num 
determinado ponto.
Considere, por exemplo, o volume do ar sendo aquecido ou resfriado em 
um compartimento fechado. Nesse exemplo, o campo vetorial é a velocidade 
do ar que se move no recinto. Se o ar é aquecido em alguma região, ele vai 
se expandir em todas as direções. Então, teremos divergência positiva na 
região analisada: se tomarmos um pequeno volume dessa região, haverá 
mais ar saindo do que entrando. Se, por outro lado, a temperatura do ar cai, 
há divergência negativa: o ar converge para essa região e, portanto, haverá 
mais ar entrando do que saindo.
Definição:
Se F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, definimos a divergência 
de F, denotada como div F, por:
Campos vetoriais6
CÁLCULO III 180
Rotacional:
Se F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, definimos o rotacional 
de F, denotado como rot F, por:
Fórmula do rotacional:
Para calcular o rotacional, usa-se a fórmula do determinante:
Calcule o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Divergente:
2xy + 6y2z + 3
7Campos vetoriais
181 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais PARTE 2
Rotacional:
Acompanhe a seguir um exemplo do cálculo da divergência do campo 
vetorial quando este envolve funções trigonométricas.
Calcule o divergente da função F(x, y, z) = (–2xy, y sen z + y2 + z, cos z).
Aqui você precisará consultar uma tabela de derivadas, essencial para resolver 
questões nos cursos de cálculo. Consultando a tabela, você poderá verificar que: 
Assim:
Campos vetoriais8
CÁLCULO III 182
O vetor gradiente determina a maior taxa de variação em um ponto.
Aplicações de campos vetoriais
O cálculo diferencial e integral é uma seção da matemática para a qual você 
poderá encontrar diversas aplicações — e o estudo dos campos vetoriais 
confirma essa afirmação. Veja a seguir algumas delas.
Campos de forças
Isaac Newton, mestre da ciência, além de desenvolver o cálculo, definiu a lei da 
gravitação universal. Nessa lei, ele definiu uma fórmula que determina a atração 
dos corpos, a qual é resultante, como se viu posteriormente, da curvatura do 
espaço causada pelas massas desses corpos. A Figura 3 é uma representação 
gráfica da atração gravitacional que o nosso planeta exerce sobre a Lua.
Figura 3. Atração gravitacional entre a Terra e a Lua.
Fonte: canbedone/Shutterstock.com.
9Campos vetoriais
183 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais PARTE 2
Newton deduziu que a força de atração entre dois corpos é diretamente 
proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre eles. Essa relação pode ser expressa matematicamente por:
Onde: 
 � M e m são as massas dos corpos; 
 � r é a distância entre eles;
 � G é a constante gravitacional universal, que é igual a 6,67 × 10–11 Nm2/kg2.
Para analisar o campo gravitacional como um campo vetorial, imagine 
um objeto com massa M localizado na origem do espaço ℝ3. Agora pense em 
outro objeto, de massa m, com posição x = (x, y, z). Nesse caso, a distância r 
é igual a |x| e r2 = |x|2. Há uma força gravitacional que é exercida pelo objeto 
de massa m em direção à origem, e é possível definir o vetor unitário na sua 
direção como . Definimos uma função pelo cálculo:
, função que é denominada campo gravitacional.
Campo de velocidade
Se você pretende descrever um fluido, pode fazê-lo indicando a velocidade 
pela qual um elemento qualquer do fluido passa por um ponto dado no espaço. 
Se o fluxo for estacionário, você deve usar um campo vetorial de velocidade. 
Uma partícula desse fluido movendo-se em um campo tem a sua trajetória 
representada por uma linha de fluxo. Linhas de fluxo são expressões gráficas 
do movimento de fluidos, como correntes aquáticas, deslocamento do ar ao 
redor da asa de um avião, colunas de ar na atmosfera que são usadas por 
objetos que planam (como asas-delta). 
Como você pode notar, as funções vetoriais têm várias aplicações, podendo 
ser utilizadas para encontrar soluções para diferentes tipos de problema.
Campos vetoriais10
CÁLCULO III 184
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PREZADO ESTUDANTE
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 2.
11Campos vetoriais
unidade 
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Parte 3
Rotacional
CÁLCULO III 186
Rotacional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir rotacional de um campo vetorial.
 � Identificar a aplicação do Teorema de Green na forma circulação-rotacional.
 � Determinar o rotacional de funções vetoriais.
Introdução
A teoria resultante de integrais de linha e de superfície fornece uma 
importante ferramenta matemática para a ciência e a engenharia. É 
recorrente o uso desses conceitos e teoremas em situações aplicadas, 
embora, muitas vezes, tenhamos certa dificuldade em fazer a relação 
entre teoria e prática.
Neste texto, você vai estudar o rotacional. O rotacional de um campo 
vetorial é bastante utilizado em problemas envolvendo física, por exem-
plo. Serão apresentados conceitos e teoremas envolvendo o rotacional 
de um campo vetorial e, para facilitar a compreensão, você será dire-
cionado a problemas aplicados associados ao conteúdo. Você também 
conhecerá as propriedades do rotacional, a relação entre o Teorema de 
Green e o rotacional, além de acompanhar muitos exemplos práticos. A 
proposta é que você possa, além de reconhecer os teoremas, aplicá-los 
em diferentes situações.
Rotacional
Estudaremos o rotacional de um campo vetorial a partir da sua definição 
no intuito de interligar aos conhecimentos já aprendidos na disciplina de 
187 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
Cálculo III. Gonçalves e Flemming (2007, p. 218-219) definem o rotacional 
da seguinte forma:
Seja um campo veto-
rial definido em um domínio D, com derivadas de 1ª ordem contínuas em 
D. Definimos o rotacional de , denotadopor , como 
.
As autoras mencionam, ainda, que o rotacional de um campo vetorial 
é bastante utilizado em problemas envolvendo física, como na análise de 
campos de velocidade da mecânica de fluidos e na análise de campos de 
forças eletromagnéticas, e também pode ser interpretado como uma medida 
do movimento angular de um fluido (GONÇALVES; FLEMMING, 2007).
Outra notação bastante usual quando se trata do rotacional é a seguinte. 
Considere um campo que possui três componentes, a componente i, a j e a 
k. Para cada componente, temos uma função. O rotacional é uma espécie de 
derivada desse campo e pode ser expressa por:
Vejamos um exemplo.
Determinar , sendo . 
Temos .
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 219).
Rotacional2
CÁLCULO III 188
Das propriedades do rotacional
Gonçalves e Flemming (2007) abordam as propriedades do rotacional de 
um campo vetorial. Considere 
funções vetoriais definidas em um domínio D com derivadas parciais de 1ª 
ordem contínuas em D. Portanto:
 em que h = h(x,y,z) é uma função escalar 
diferenciável em D. Portanto, temos:
.
3Rotacional
189 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
Para saber mais sobre o rotacional de um campo vetorial, consulte o livro Cálculo 
B: funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície, de 
Gonçalves e Flemming (2007, p. 221). As autoras apresentam exemplos detalhados 
envolvendo o rotacional.
O Teorema de Green e o rotacional
Rogawski (2009) destaca que a quantidade que aparece na integral dupla do 
Teorema de Green é chamada de rotacional ou rotacional escalar, em que, para 
, escrevemos , em que o subscrito z indica que 
 é a componente z do vetor rotacional, que foi definido no início do 
capítulo. Explica, ainda, a relação entre o Teorema de Green e o rotacional 
partindo de um exemplo simples em que aplica o Teorema de Green a uma 
pequena região R com fronteira e uma curva fechada simples. Como 
R é pequena e F é contínuo, é praticamente constante em R e, em 
uma primeira aproximação, podemos substituir a função pelo valor 
constante , em que P é um ponto arbitrariamente escolhido em 
R. Veja a representação pela Figura 1.
Figura 1. A circulação de F ao longo de 
 é, aproximadamente, . 
Área (R).
Fonte: Rogawski (2009, p. 992).
Rotacional4
CÁLCULO III 190
Então, pelo Teorema de Green, obtemos a aproximação 
. Área (R). Portanto, pode 
ser interpretado como a circulação por unidade de área.
Vamos, agora, estudar o Teorema de Stokes, que é uma generalização 
do Teorema de Green a três dimensões. Vimos que o Teorema de Green 
relaciona uma integral de linha com uma integral dupla no plano, já o 
Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha em R³ com uma integral de 
superfície. No Teorema de Stokes, é necessário levar em consideração tanto 
a orientação da superfície S quanto a orientação da sua fronteira . Antes 
de definir o Teorema de Stokes, vejamos o que significa a fronteira de uma 
superfície (ROGAWSKI, 2009).
Figura 2. Superfícies e as suas fronteiras. Temos aqui várias possibilidades: uma 
fronteira que consiste em uma única curva fechada simples (a); uma fronteira que 
consiste em três curvas fechadas (b); e a situação em que a superfície não tem 
fronteira (c). Neste caso, trata-se de uma superfície fechada com fronteira vazia.
Fonte: Rogawski (2009, p. 1000).
Rogawski (2009) diz que, uma vez fixada uma orientação de S, podemos 
induzir uma orientação de fronteira em da seguinte forma. Imagine 
que sejamos o vetor normal caminhando ao longo da curva de fronteira. 
Nesse caso, a superfície ficará à nossa esquerda. A Figura 3 expressa essas 
duas orientações de uma superfície em que a fronteira consiste em duas 
curvas, a e a .
5Rotacional
191 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
Figura 3. Orientação da fronteira para cada uma 
das duas orientações possíveis da superfície S. Note 
que a orientação da fronteira depende da orientação 
da superfície.
Fonte: Rogawski (2009, p. 1000).
Rogawski (2009) reforça a definição que já estudamos no início deste 
capítulo. Note que rot (F) é um campo vetorial. O rotacional escalar é igual 
ao componente z do vetor rotacional. 
Agora, vamos conhecer o Teorema de Stokes conforme definição de Ro-
gawski (2009, p. 1002):
Suponha que S seja uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira 
seja uma curva fechada ou uma união de curvas fechadas. Seja fronteira 
de S com sua orientação de fronteira. Seja F um campo vetorial cujos com-
ponentes têm derivadas parciais contínuas. Então:
Se S for fechada (ou seja, se for vazia), então é nula a integral de super-
fície do lado direito.
Vejamos um exemplo da aplicação do Teorema de Stokes que, como vimos, 
é a generalização do Teorema de Green para três dimensões.
Rotacional6
CÁLCULO III 192
Seja F = rot (A), onde . Determine o fluxo de F através 
das superfícies e , cuja fronteira comum C é o círculo unitário do plano xz da 
Figura 4.
Figura 4.
Fonte: Rogawski (2009, p. 1006).
Resolução.
Quando percorremos o círculo C no sentido indicado pela seta, a superfície fica 
à esquerda. 
Portanto, C está orientada como a fronteira de e, pelo Teorema de Stokes:
A parametrização c(t) = (cost, 0, sent) traça C no sentido indicado pela seta porque 
começa em c(0) = (1,0,0) e se movimenta na direção de . Temos, então:
Concluímos que . Por outro lado, fica à direita quando percorremos 
C e, portanto, é –C que está orientada como fronteira de .Obtemos, assim:
Fonte: Rogawski (2009, p. 1006-1007)
7Rotacional
193 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
Rotacional de funções vetoriais
Para reafirmar os conceitos e teoremas que estudamos neste capítulo, vamos 
analisar alguns problemas resolvidos cuja finalidade é determinar o rotacional 
de funções vetoriais.
Encontre a circulação do campo F = (x² – y) i + 4zj + x²k ao redor da curva C na qual 
o plano z = 2 encontra o cone , em sentido anti-horário, conforme a 
Figura 5.
Figura 5. Curva C e cone S.
Fonte: Thomaz, Weir, e Hass (2012, p. 426).
Resolução.
O Teorema de Stokes possibilita encontrar a circulação pela integração sobre a 
superfície do cone. Por correr C na direção anti-horária visualizada de cima corresponde 
a tomar a normal interna n ao cone, a normal como uma coordenada k positiva. 
Parametrizamos o cone como:
Então, temos:
Rotacional8
CÁLCULO III 194
Assim:
E a circulação é:
Fonte: Thomaz, Weir, e Hass (2012, p. 426-427)
Um fluido de densidade constante gira ao redor do eixo z com velocidade F = w (–yi 
+ xj), onde w é uma constante positiva denominada velocidade angular da rotação. 
Encontre e o relacione à densidade de circulação. Observe a Figura 6.
Figura 6. Escoamento circular constante paralelo ao plano xy, com velocidade angular 
constante w em sentido positivo (anti-horário).
9Rotacional
195 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
Resolução.
Com F = –wyi + wxj, encontramos o rotacional:
Pelo Teorema de Stokes, a circulação de F ao redor de uma circunferência C de raio 
p delimitando um disco S em um plano normal a , ao plano xy, por exemplo, é:
Assim, resolvendo essa última equação para 2w, temos:
Fonte: Thomaz, Weir e Hass(2012, p. 426-427).
Utilize o teorema de Stokes para calcular , se 
e C for a borda da porção do plano 2x + y + z = 2 no primeiro octante, percorrida 
no sentido anti-horário quando vista de cima, como podemos observar na Figura 7.
Figura 7. Superfície plana
Fonte: Thomaz, Weir e Hass (2012, p. 428).
Resolução.
O plano é a superfície de nível f(x,y,z) = 2 da função f(x,y,z) = 2x + y + z. O vetor 
normal unitário:
Rotacional10
CÁLCULO III 196
GONÇALVES, M.B; FLEMMING, D.M. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais múl-
tiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
ROGAWSKI, J. Cálculo. São Paulo: Bookman, 2009. v. 2.
THOMAS, G.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2012. v. 2.
Leitura recomendada
SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. v. 2.
É consistente com o movimento anti-horário ao redor de C. Para aplicar o teorema 
de Stokes, encontramos:
No plano, z é igual a 2 – 2x – y, assim:
 = (x – 3(2 – 2x – y))j + yk = (7x + 3y – 6)j + yk
E:
O elemento de área da superfície é:
A circulação é:
Fonte: Thomaz, Weir e Hass (2012, p. 428-429)
11Rotacional
197 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Rotacional PARTE 3
ANOTAÇÕES
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
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Parte 4
Integrais de Linha
CÁLCULO III 200
Integrais de linha
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir integrais de linha.
 � Reconhecer a diferença entre a integral de uma função escalar e a 
de um campo vetorial.
 � Resolver problemas envolvendo integrais de linha.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as integrais de linha. Esse é um tópico do 
cálculo vetorial que utiliza as ferramentas desenvolvidas no estudo das 
integrais definidas, aplicando as substituições por u du e as substituições 
trigonométricas. Em alguns problemas, você também aplicará conceitos 
de integrais duplas e triplas. Por fim, verá como utilizar essa ferramenta 
nos campos vetoriais para calcular o trabalho desenvolvido por uma 
partícula em determinado trajeto, bem como para determinar a massa 
de objetos com densidade não homogênea.
Integrais de linha
O termo “integral” nos remete imediatamente a conceitos como a operação 
inversa da derivada e o elemento motivador do estudo dessa parte do cálculo: 
o dimensionamento de áreas e volumes. De acordo com Anton (2000), a 
integral de linha é um procedimento para determinar a área da superfície de 
uma “cortina” vertical estendida sobre um ponto (x,y), com altura f(x, y) que 
se move ao longo de uma curva suave C.
Para definir matematicamente a integral de linha, vale lembrar que os 
conceitos relacionados aos demais assuntos tratados pelo cálculo diferencial e 
integral são oriundos das definições de limites. Contudo, desenvolver respostas 
matemáticas e solucionar problemas utilizando limites nem sempre é um mé-
201 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
todo eficaz. Segundo Rogawski (2009), deve-se considerar a parametrização 
de uma curva suave e limitada, expressa pela função vetorial:
r(t) = (x(t), y(t)), com t ∈ [a, b]
Usando o formato de integral, temos:
Sabendo que:
Observa-se que:
Portanto:
e
com
e
Integrais de linha2
CÁLCULO III 202
Para entender como isso é aplicado, observe o Exemplo 1.
Exemplo 1
Calcule a integral de linha ∫c(xy + 3x)ds, sendo C o segmento que une o 
ponto A (1, 0) ao ponto B (2, 3). Veja um esboço do gráfico na Figura 1 para 
visualizar o segmento.
Figura 1. Representação gráfica do segmento AB.
O primeiro passo é parametrizar a curva C. Para isso, vamos escrever uma 
relação do tipo y = mx + n:
3Integrais de linha
203 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
Parametrizando:
Agora derivamos r(t):
Ajustando a equação:
xy + 3x = t(t + 1) + 3t = t2 + 4t
 
Para calcular a integral de linha da área de uma superfície formada pela 
interseção de dois objetos, você pode usar a relação:
Observe o Exemplo 2.
Integrais de linha4
CÁLCULO III 204
Exemplo 2
Calcule a área da superfície entre o círculo x2 + y2 = 1 no plano xy e o cilindro 
parabólico z = 1 – x2. Você pode expressar a área como a integral ∫C(1 – x
2)ds, 
onde C é o círculo x2 + y2 = 1.
Parametrizando o círculo:
Ajustando a equação:
Pela relação trigonométrica fundamental, temos:
5Integrais de linha
205 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
Teorema fundamental das integrais de linha
Esse teorema também é denominado teorema do gradiente, e afirma que 
a integral de linha de um campo vetorial é a operação oposta do gradiente 
(ROGAWSKI, 2009). Matematicamente, podemos escrever:
onde:
 � f é uma função escalar de várias variáveis;
 � ∇f é o gradiente da função f;
 � r→(t) é uma função vetorial que parametriza um caminho pelo espaço;
 � Os pontos r→(a) e r→(b) são os pontos extremos (inicial e final) do caminho;
 � r→´(t) é a derivada de r→(t).
Se C for uma curva paramétrica suave dos espaços 2D ou 3D, o seu comprimento de 
arco pode ser expresso por:
Integral de uma função escalar e 
integral de um campo vetorial
A integral de linha escalar é a integral de uma função f(x,y) ao longo de uma 
curva suave C, denominada caminho de integração. Essa integral é denotada 
por ∫C f (x, y)ds, na qual ds é uma quantidade mínima infinitesimal da curva C.
Já a integral de linha de um campo vetorial é denotada por , 
na qual e ds = dx i + dy j. Uma diferença muito 
importante entre a integral de linha escalar e a integral de linha vetorial é que, 
Integrais de linha6
CÁLCULO III 206
na segunda, você precisa escolher o sentido do percurso ao longo da linha 
C, pois as grandezas físicas são afetadas pelo sinal algébrico que define o 
sentido do percurso.
Integrais de linha em relação a x, y, z
Nem sempre as integrais de linha estão relacionadas a s: elas também podem 
se relacionar a x, y, z. Basicamente, segundo Anton (2000), o procedimento 
consiste em determinar equações paramétricas de C:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) (a ≤ t ≤ b) 
Em seguida, deve-se expressar a integral em termos de t:
Veja as fórmulas recorrentes:
Acompanhe o Exemplo 3.
7Integrais de linha
207 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
Exemplo 3
Calcule, ∫C 2xy dx + (x
2 + y2)dy, sendo C o arco circular dado por x = cos(t), 
y = sen(t), 0 ≤ t ≤ . Você deverá fazer a integração por partes:
Desse modo:
sen
sen
sen
sen
Integrais de linha8
CÁLCULO III 208
Assim:
Aplicações da integral de linha
As integrais de linha são utilizadas para calcular o trabalho realizado pelo 
campo vetorial na partícula ao percorrer determinado intervalo em uma curva 
suave, na direção do sentido do parâmetro:
em que dr pode ser interpretada como:
dr = dxi + dyj ou dr = dxi + dyj + dzk
Veja como realizar o cálculo no Exemplo 4.
Exemplo 4
Determineo trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = x3yi + (x – y)j, 
em uma partícula que se move ao longo da parábola de (–2, 4) para (1, 1). 
O problema pode ser resolvido utilizando-se a integral de linha. O primeiro 
passo é parametrizar:
x = t, y = t2, –2 ≤ t ≤ 1
9Integrais de linha
209 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
Usamos a fórmula:
Massa de um arame
É possível também calcular a massa de um arame não homogêneo, ou seja, 
quando há variação na concentração de massa. Considerando um arame com a 
forma de uma curva C, pertencendo ao espaço 2D ou 3D, a massa do conjunto 
é definida por:
M
M
O Exemplo 5, baseado em Anton (2000), mostra como utilizar a integral 
de linha para calcular a massa do arame.
Exemplo 5
Sabendo que a densidade de massa linear de determinado arame não é ho-
mogênea, defina, a partir do seu conhecimento de integrais de linha, um 
modo de expressar a massa de um arame na forma de semicírculo de raio a. 
Primeiramente, observe o gráfico mostrado na Figura 2.
Integrais de linha10
CÁLCULO III 210
Figura 2. Representação gráfica da massa do arame.
eixo y
P
eixo x
y
c
–a x a
A partir do gráfico, podemos parametrizar:
r(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, π]
e
r'(t) = (–a sen t, a cos t)
como
temos:
11Integrais de linha
211 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Integrais de Linha PARTE 4
Sabendo que (sen2 t + cos2 t) = 1, podemos substituir:
A distância de P (x, y) até o eixo x (que é a reta que passa por –a e a) é 
igual a y. Portanto, a densidade de massa linear é dada pela função δ(x, y) = ky, 
na qual k é o coeficiente de proporcionalidade. Assim:
Como você pode perceber, o estudo da integral de linha apresenta uma 
sequência do que você estudou sobre integrais, acrescentando novas aplicações 
no campo do cálculo vetorial. 
Integrais de linha12
CÁLCULO III 212
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1–2. 
13Integrais de linha
unidade 
3
O conteúdo deste livro é 
disponibilizado por SAGAH.
Parte 5
Campos Vetoriais
Conservativos
CÁLCULO III 214
Campos vetoriais 
conservativos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Apresentar campos vetoriais conservativos.
 � Reconhecer em que situações um campo vetorial é conservativo.
 � Utilizar a noção de campos vetoriais conservativos na solução de 
problemas.
Introdução
Campos vetoriais conservativos são gradientes de alguma função e têm 
algumas características próprias. Uma delas é a independência do cami-
nho, uma vez que objetos que se deslocam em caminhos definidos por 
campos vetoriais têm o seu trabalho definido pelos pontos extremos do 
percurso, e não pelo caminho em si.
Outra peculiaridade desses campos é que o valor do seu rotacional é 
sempre zero. Para definir se um campo vetorial é conservativo, há regras 
específicas, vinculadas às derivadas parciais dos componentes do campo. 
Neste capítulo, além de conhecer os campos vetoriais conservativos, 
você vai aprender a definir quando isso ocorre. Por fim, vai estudar a 
aplicação desses campos na solução de problemas.
Definição
De acordo com Anton (2000), um campo vetorial F
→
 é denominado conservativo 
em E se ele for o gradiente de uma função escalar qualquer, ou seja, existe uma 
função f tal que para todo ponto de E. Nesse caso, f é denominada 
função potencial de F
→
. Podemos definir que:
215 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais Conservativos PARTE 5
Os campos conservativos têm uma propriedade específica: o trabalho reali-
zado por uma partícula que se move ao longo de um caminho está diretamente 
ligado aos pontos extremos da curva, e não da curva em si. Essa propriedade 
é denominada independência do caminho. Observe o Exemplo 1.
Exemplo 1
Verifique se as integrais de trabalho do campo conservativo F(x, y) = yi + xj 
têm o mesmo valor em um intervalo ao longo de caminhos diferentes. Para 
isso, você deve testar o intervalo (0, 0) a (1, 1) nos seguintes caminhos:
a) y = x
b) y = x2
c) y = x3
Veja uma representação gráfica das curvas na Figura 1.
Figura 1. y = x em lilás; y = x2 em preto; y = x3 
em vermelho.
Campos vetoriais conservativos2
CÁLCULO III 216
Primeira integral:
Segunda integral:
Terceira integral:
Como você pode ver, os resultados encontrados são os mesmos. Isso indica 
que, qualquer que seja o caminho utilizado no percurso entre dois pontos de 
um campo vetorial conservativo, o resultado da integral é o mesmo.
Determinando se um campo vetorial é 
conservativo
Para verificar se um campo vetorial é conservativo, você pode utilizar as suas 
propriedades, que são as seguintes:
 � independência do caminho (já apresentada na seção anterior);
 � a função F(x, y, z) é o gradiente de ∅ (x, y, z), isto é, um campo con-
servativo é um gradiente de uma função potencial f : F
→
 = ∇f(x, y, z).
3Campos vetoriais conservativos
217 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais Conservativos PARTE 5
 � F é irrotacional, ou seja, sabendo que o rotacional calcula o quanto os 
vetores se afastam ou se aproximam, ou se afastam de um vetor normal 
a uma superfície, um vetor irrotacional não está imóvel em relação ao 
vetor normal.
Encontrando uma função potencial
De acordo com Rogawski e Adams (2009), sendo F = (F1, F2, F3) um campo 
vetorial num domínio conexo 𝒟𝒟, se as parciais mistas de F são:
Então F = ∇φ para alguma função φ.
, significa que as derivadas parciais são iguais.
Veja como encontrar uma função potencial no Exemplo 2.
Exemplo 2
Confira a igualdade das parciais mistas do campo vetorial F = (2xy + y3 + 2, 
x2 + 3xy2 + 2y) e encontre uma função potencial no domínio 𝒟𝒟 = R2.
Em primeiro lugar, devemos verificar se as derivadas parciais são iguais:
Agora sabemos que existe uma função potencial tal que .
Campos vetoriais conservativos4
CÁLCULO III 218
Primeiramente, consideramos F = (F1, F2) e usamos , ou seja, 
φ é uma antiderivada de F1(x, y). O significado operacional é que devemos 
considerar y como constante e integrar em relação à variável x.
Assim:
A constante de integração C pode depender de y, e podemos denotá-la 
por g(y). Logo:
Para determinar g(y), usamos :
Você pode perceber que 
Logo:
Substituindo em x2y + xy3 + 2x + g(y), temos:
que é a função potencial geral procurada.
5Campos vetoriais conservativos
219 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais Conservativos PARTE 5
Teorema fundamental de campo vetorial
Segundo Rogawski e Adams (2009), num domínio 𝒟𝒟, se F = ∇φ, então, para 
cada curva orientada C em D com ponto inicial P e ponto final Q, temos:
Se P = Q∫C F . ds = 0
Veja uma possibilidade de aplicação no Exemplo 3.
φ(x, y) = x2y + xy3 + 2x + y2 + C
Exemplo 3
Veja a função potencial φ(x, y) = x2y + xy3 + 2x + y2 + C. Podemos determinar 
o trabalho realizado no deslocamento de um objeto entre os pontos P(2, 1) e 
Q(3, 4). Vamos utilizar a relação:
Então:
Logo:
Campos vetoriais conservativos6CÁLCULO III 220
Rotacional nulo
Outra característica do campo conservativo é que o seu rotacional é nulo. 
Veja o Exemplo 4.
Exemplo 4
O campo vetorial F = (2xy–1, z + x2z–1, y – x2yz–1) é conservativo. Verifique se 
o rotacional desse campo é nulo.
Para calcular o rotacional, montamos a matriz:
e calculamos o determinante:
Todo campo vetorial conservativo tem rotacional nulo, mas nem todo campo com 
rotacional nulo é conservativo.
Aplicações dos estudos dos campos vetoriais
Existem dois campos vetoriais conservativos relevantes na física. Segundo 
Rogawski e Adams (2009), eles são o campo gravitacional e o campo eletros-
tático. A energia potencial (EP) de um objeto em 3D — ou seja, localizado 
com coordenadas (x, y, z) — pode ser definida com troca de sinal escrevendo 
7Campos vetoriais conservativos
221 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais Conservativos PARTE 5
F = –∇φ e definindo como EP = φ(x, y, z). A variação da energia potencial é 
igual ao trabalho necessário para mover um objeto do ponto P a um ponto Q. 
A definição matemática dessa variação é descrita por:
sendo φ(Q) – φ(P) a variação da energia potencial.
O nome “campo conservativo” provém da Lei da Conservação de Energia, 
a qual estabelece que a quantidade total de energia em um sistema isolado 
permanece constante. A aplicação desse teorema se dá no cálculo do trabalho 
exercido no deslocamento de um objeto ao longo de uma curva em um campo 
vetorial conservativo.
Os campos vetoriais conservativos, como você pôde acompanhar, têm 
características próprias. Essas características permitem, a partir da sua identi-
ficação, a utilização de procedimentos que simplificam os cálculos, oferecendo 
caminhos menos complexos para a resolução de problemas que envolvem 
equações com muitas etapas. Veja o Exemplo 5.
Exemplo 5
O campo F = (4xy – 3x2z2)i + (2x2)j – (2x3z)k é conservativo. Determine qual o 
trabalho realizado no deslocamento entre o ponto P(1, –2, 1) e o ponto Q(3, 1, 4).
Primeiramente, consideramos:
A função φ é uma antiderivada de F1:
Agora verificamos se a função φ depende de outras variáveis:
Campos vetoriais conservativos8
CÁLCULO III 222
Veja que ela não depende de y.
Vamos verificar a variável z:
Veja que ela também não depende de z.
Podemos definir a função potencial como
O trabalho realizado é dado por φ(Q) – φ(P):
Assim, W = – 409 unidades.
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1/2.
9Campos vetoriais conservativos
223 Cálculo Vetorial UNIDADE 3 Campos Vetoriais Conservativos PARTE 5
ANOTAÇÕES
CÁLCULO III 224
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
unidade 
4
Aplicações do Cálculo Vetorial
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
OBJETIVO GERAL 
Resolver problemas envolvendo o cálculo vetorial.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
• Definir superfície orientada e integral de superfície de campos vetoriais.
• Reconhecer a importância dos Teoremas de Green, de Stokes e da Divegência na 
análise vetorial.
• Resolver problemas aplicados envolvendo integrais de superfície de campos 
vetoriais.
unidade 
4
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Parte 1
Integrais de Superfície
de Campos Vetoriais
CÁLCULO III228
Integrais de superfície 
de campos vetoriais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir superfície orientada e integral de superfície de campos vetoriais.
 � Reconhecer a diferença entre a integral de superfície escalar e a de
campos vetoriais.
 � Resolver problemas envolvendo integrais de superfície de campos
vetoriais.
Introdução
Neste capítulo, você vai conhecer as integrais de superfície de campos 
vetoriais. Essa integral é semelhante à integral de superfície escalar, mas 
difere porque o sentido do vetor normal utilizado deve ser considerado 
nas soluções.
Uma das principais aplicações desse tipo de integral é na determi-
nação do fluxo de fluidos sobre superfícies orientadas, permitindo a 
construção de modelos matemáticos do comportamento do escoamento 
de líquidos, ou mesmo de campos eletromagnéticos.
Superfície orientada e integral de superfície
Uma integral de superfície de campos vetoriais representa, segundo Rogawski 
(2009), quantidades de fluxo que surgem em algumas situações na engenharia 
e na física. Com ela, é possível definir, por exemplo, a taxa pela qual uma 
partícula flui por uma superfície. 
229 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
Superfície orientada
Se um elemento flui por uma superfície, ele flui em alguma direção. Assim, 
podemos definir o percurso como uma passagem pelos diversos pontos dessa 
superfície, cada um com o seu vetor normal. Generalizando, podemos dizer 
que S é uma superfície orientada, caso seja possível escolher um vetor normal 
unitário en(P) em um ponto qualquer (x, y, z) de S de maneira que n varie 
continuamente sobre a superfície S. Veja a representação disso na Figura 1.
Figura 1. z = x2 + y2.
Para cada ponto sobre a superfície, temos um vetor unitário en(P), e po-
demos deduzir que há outro vetor unitário do outro lado da superfície, com 
outra orientação. Esse vetor é determinado pela orientação oposta e designado 
como –en(P).
Geralmente, o vetor unitário en(P) é denotado como en. Porém, você deve ter em 
mente que ele varia ponto a ponto.
Integrais de superfície de campos vetoriais2
CÁLCULO III230
Integral de superfície de um campo vetorial
A integral de superfície de F, também denominada fluxo de F através de S, 
é definida como:
Integral de superfície vetorial: ∬S (F ∙ en) dS
Sabemos que:
Supondo que en aponte numa direção normal estabelecida pela direção de 
S, e que Φ parametrize S, temos:
Veja que podemos simplificar os termos. Logo:
A integral de superfície troca de sinal se a orientação de S for trocada.
Acompanhe um exemplo de resolução de uma integral de superfície de 
campo vetorial.
3Integrais de superfície de campos vetoriais
231 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
Exemplo 1
Determine ∬S F ∙ dS em que F = (0, 0, x) e a superfície S é parametrizada por:
Procedimento 1
Determinamos os vetores tangente e normal:
Como temos o domínio 0 ≤ u, v ≤ 1, n aponta para cima.
Procedimento 2
Determinamos o produto escalar F ∙ n. Para isso, parametrizamos F: x = u2, 
y = v, z = u3 – v2.
Assim:
e
Integrais de superfície de campos vetoriais4
CÁLCULO III232
Procedimento 3
Agora podemos calcular a integral:
Integral de superfície em uma função 
Se a função da superfície é dada por z = g(x, y) (ou y = g(x, z), x = g(y, z)), e 
F = z – g(x, y), podemos calcular ∬S F d S, com d S = –∇F. Veja o seguinte 
exemplo prático.
Calcule ∬S F d S em que F = y j – z k e S é a superfície dada pelo para-
boloide y = x2 + z2, 0 ≤ y ≤ 1, e tem orientação positiva. A Figura 2mostra 
o paraboloide.
Note que o paraboloide está na forma y = g(x, z) e, portanto, podemos usar 
uma fórmula apropriada. Inicialmente, fazemos: 
5Integrais de superfície de campos vetoriais
233 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
Figura 2. Gráfico 3D de y = x2 + z2.
Passamos à organização da integral:
Integrais de superfície de campos vetoriais6
CÁLCULO III234
Por fim, parametrizamos:
Diferença entre a integral de superfície escalar 
e a de campos vetoriais
Observe a equação de uma integral de superfície escalar:
Acompanhe o exemplo a seguir.
7Integrais de superfície de campos vetoriais
235 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
Exemplo 2
Resolva a integral ∬S z + 3y – x2 dS em que S é o pedaço de z = 2 – 3y + x2 
que está sobre o triângulo localizado no plano xy com os vértices (0, 0), (2, 0) 
e (2, –4), conforme as Figuras 3, 4 e 5.
Figura 3. z = 2 – 3y + x2.
Figura 4. Triângulo no plano.
Integrais de superfície de campos vetoriais8
CÁLCULO III236
Figura 5. Gráfico y = –2x.
Vamos utilizar a fórmula:
e
9Integrais de superfície de campos vetoriais
237 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
Agora podemos estabelecer o intervalo. De acordo com o gráfico y = –2x, 
temos que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ –2x, definindo a integral como:
Essa integral não pode ser resolvida diretamente, então vamos utilizar a 
substituição u du.
Integrais de superfície de campos vetoriais10
CÁLCULO III238
Veja a equação da integral de campo vetorial:
Na integral de superfície escalar, a orientação não desempenha nenhum 
papel, pois a integral envolve o comprimento, mas não o sentido de n. Na 
próxima seção, você encontrará a resolução de uma integral de superfície de 
campos vetoriais.
Aplicando as integrais de superfície 
de campos vetoriais
A taxa de transferência de partículas, fluidos ou energia através de uma su-
perfície qualquer é denominada fluxo. Observe, na rede de pesca da Figura 6, 
que há água passando pelas malhas da rede, com maior ou menor intensidade, 
conforme a força do movimento das correntes marítimas. O fluxo é o índice 
em que a água passa pela rede por determinada unidade de tempo.
Figura 6. Fluxo de água por uma rede de pesca.
Fonte: Ivan Sarenas/Shutterstock.com.
11Integrais de superfície de campos vetoriais
239 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais PARTE 1
O fluxo é calculado por meio do campo vetorial v das velocidades. Imagine 
uma quantidade de pontos P na rede da Figura 6, cada um com o seu vetor, 
que informa a velocidade e a direção da partícula em determinado instante. 
A rede pode ser considerada uma superfície S, e a taxa pela qual a água flui 
por S é igual à integral de superfície de v em S (volume por unidade de tempo). 
Taxa de fluxo: A ‖v0‖ cos θ = v0 ∙ n
Taxa de fluxo através de S = ∬S v ∙ dS
Exemplo 3 
Sendo v = (x2 + y2, 0, z2) um campo de velocidade (cm/s) de um fluido em ℝ3. 
Determine a taxa de fluxo através do hemisfério superior S da esfera unitária.
Para resolver o problema, utilizamos coordenadas esféricas:
O hemisfério superior corresponde às variações:
O vetor normal é:
e:
Assim:
Integrais de superfície de campos vetoriais12
CÁLCULO III240
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PREZADO ESTUDANTE
Agora podemos definir o problema em termos de integral:
A resolução das questões que envolvem integrais de superfície deve ser 
feita com bastante atenção, pois um pequeno erro em algum momento, como 
troca de sinal ou utilização de uma identidade trigonométrica equivocada, pode 
levar a resultados bem distintos do correto, inutilizando o trabalho realizado.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1-2.
Referência
13Integrais de superfície de campos vetoriais
unidade 
4
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Parte 2
Teorema de Green
CÁLCULO III242
Teorema de Green
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar o teorema de Green.
 � Reconhecer a importância do teorema de Green na análise vetorial.
 � Utilizar o teorema de Green na resolução de problemas.
Introdução
O teorema de Green foi proposto pelo matemático e físico inglês George 
Green, a partir de estudos que fez sozinho, pois precisou abandonar a 
escola para ajudar o seu pai no trabalho (ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA, 
2019). Esse teorema propõe soluções eficazes e elegantes para a resolu-
ção de integrais de linha, tornando mais simples o cálculo de inúmeras 
dessas integrais.
Neste capítulo, você vai conhecer o teorema de Green, que, junto com 
o teorema de Stokes e o teorema da divergência, compõem o conjunto 
de teoremas da análise vetorial. Você aprenderá ainda sobre a relevância 
desse teorema, e verá como aplicá-lo para resolver problemas desse tipo.
Definição
O teorema de Green, assim como os outros teoremas da análise vetorial, é 
uma generalização vetorial do teorema fundamental do cálculo. Segundo 
Rogawski (2009a), o teorema de Green apresenta uma nova percepção das 
integrais de linha, expressando a circulação de um campo vetorial qualquer 
como uma integral dupla.
243 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Green PARTE 2
Matematicamente, podemos escrever o teorema de Green da seguinte 
forma: se um domínio D tem uma fronteira ∂D que é uma curva fechada com 
orientação de fronteira P(x, y) e Q(x, y) são diferenciáveis tendo derivadas de 
primeira ordem contínuas, então:
Como:
Também podemos denotar:
A integral de linha ∫∂D x dy – y dx é o dobro da área delimitada pela fronteira 
∂D. Assim, para calcular a área, usamos a expressão:
Segundo Rogawski (2009a), para sabermos o que representa rotz (F), po-
demos aplicar o teorema de Green a uma pequena região R, cuja fronteira seja 
uma curva C = ∂R, simples e fechada. Considerando R pequena e F contínuo, 
temos que rotz (F) pode ser considerado constante em R. Se fizermos uma 
aproximação, podemos substituir rotz (F) por um valor constante rotz (F), em 
que P é um ponto em R escolhido de maneira arbitrária. Usando o teorema 
de Green, temos a aproximação:
É possível interpretar rotz (F)(P) como a circulação por unidade de área 
(ROGAWSKI, 2009a). Veja alguns exemplos de curvas orientadas nas Figuras 
1 e 2. Na Figura 1, a fronteira de D é uma curva fechada simples C, que é 
Teorema de Green2
CÁLCULO III244
denotada por ∂D. A fronteira é orientada no sentido anti-horário. Na Figura 2, 
a curva de fronteira ∂D é a união dos gráficos de y = g(x) e y = f(x) orientada 
no sentido anti-horário.
Figura 1. Curva fechada simples. 
Fonte: Rogawski (2009b, p. 957).
Figura 2. Curva orientada no sentido anti-horário: 
união dos gráficos de y = g(x) e y = f(x). 
Fonte: Rogawski (2009b, p. 958).
3Teorema de Green
245 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de GreenPARTE 2
Importância do teorema de Green
O teorema de Green é uma generalização do teorema fundamental do cálculo, 
que transforma o cálculo de uma integral à variação da primitiva ao longo de 
um intervalo. Segundo Rogawski (2009a), a base das operações do cálculo 
— a integração e a diferenciação — é o teorema fundamental do cálculo, que 
em linhas gerais afirma que é possível integrar uma função contínua e depois 
derivá-la, retornando à função original.
O responsável pela demonstração desse teorema foi o matemático escocês James 
Gregory, que fez pesquisas nas áreas da matemática, da física e da astronomia (UNI-
VERSITY OF ST. ANDREWS, 2000).
Isso é feito calculando os valores da primitiva na fronteira do intervalo que 
é um domínio de dimensão zero (dois pontos), enquanto a integral da função é a 
sua variação ao longo de um domínio de dimensão 1 — um intervalo. O teorema 
de Green faz o mesmo: interpreta a integral de uma função sobre um domínio 
do plano (que tem dimensão 2) utilizando uma integral de linha (com dimensão 
1). Veja na Figura 3 a demonstração do teorema fundamental do cálculo.
Figura 3. Esboço do teorema fundamental do cálculo.
A(x)
y
x xa
f(x)A(x) = f(x)dxa
x
Teorema de Green4
CÁLCULO III246
Acompanhe um exemplo de solução de integral de linha, quando o caminho 
é uma circunferência.
Utilizando o teorema de Green, resolva a integral ∮C F ∙ d s em que F = (2x3 – y3, x3 + y3) 
e C é o círculo x2 + y2 ≤ 1.
Primeiramente, vamos aplicar o teorema de Green:
Usamos coordenadas polares, fazendo x2 + y2 = r2. Assim:
5Teorema de Green
247 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Green PARTE 2
Aplicações do teorema de Green
O teorema de Green pode ser utilizado para resolver integrais de linha e traz 
uma nova perspectiva para determinarmos a área de algumas figuras. Veja 
um exemplo de resolução de integral de linha.
Resolva, utilizando o teorema de Green, a integral ∮C sen x dx + x2 y3 dy em que C é o 
caminho triangular da figura a seguir.
Primeiramente, aplicamos o teorema de Green:
Teorema de Green6
CÁLCULO III248
O domínio delimitado pelo triângulo é dado por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x. Assim:
Agora temos uma integral dupla para resolver:
Outra situação em que o teorema de Green se torna útil acontece no cálculo de 
regiões D, delimitadas por curvas fechadas C. Se aplicarmos o teorema de Green ao 
campo F = (–y, x), teremos:
Assim:
de onde se deduz a fórmula:
Área delimitada por 
Observe um exemplo de aplicação da fórmula.
7Teorema de Green
249 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Green PARTE 2
Calcule a área da elipse:
Primeiramente, parametrizamos a fronteira da elipse:
Agora vamos usar a equação x dy – y dx:
Ajustando a integral:
Pode ser estabelecida uma relação entre o teorema de Green e o fluxo de 
campo de velocidade por meio de uma região plana. Outra relação relevante é 
entre o teorema abordado e o momento de inércia, que pode ser definido pelo 
cálculo de uma integral de linha. Denominamos momento de inércia a expressão 
do grau de dificuldade necessário para mudar o estado de movimento de um 
corpo que se encontre em rotação (GEORGE STATE UNIVERSITY, 2019).
ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA. George Green, british mathematician. 2019. Disponível 
em: https://www.britannica.com/biography/George-Green. Acesso em: 26 nov. 2019.
GEORGE STATE UNIVERSITY. [Momentofinertia]. 2019. Disponível em: http://hyperphysics.
phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html. Acesso em: 26 nov. 2019
Teorema de Green8
CÁLCULO III250
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PREZADO ESTUDANTE
Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009a. v. 1.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009b. v. 2.
UNIVERSITY OF ST. ANDREWS. James Gregory. 2000. Disponível em: http://mathshistory.
st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory.html. Acesso em: 26 nov. 2019.
Leituras recomendadas
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIES, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2005. v. 2.
9Teorema de Green
unidade 
4
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Parte 3
Teorema de Stokes
CÁLCULO III252
Teorema de Stokes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o teorema de Stokes.
 � Reconhecer a importância do teorema de Stokes na análise vetorial.
 � Utilizar o teorema de Stokes na resolução de problemas.
Introdução
O teorema de Stokes, enunciado pelo matemático irlandês de mesmo 
nome, pode ser considerado como um equivalente do teorema de Green 
para um espaço com três dimensões. Esse teorema ajuda na compreensão 
de fenômenos físicos como o eletromagnetismo. 
Neste capítulo, você vai estudar o teorema de Stokes e a sua impor-
tância para a análise vetorial. Além disso, verá que ele pode colaborar 
para encontrar soluções simples de integrais difíceis de serem resolvidas 
por métodos diretos.
Definição
Em linhas gerais, segundo Rogawski (2009a, 2009b), pode-se definir o teorema 
de Stokes como uma transposição do teorema de Green para o espaço com três 
dimensões. Enquanto o teorema de Green apresenta uma relação entre uma 
integral de linha e uma integral dupla situada no plano, o teorema de Stokes 
vincula uma integral de linha em ℝ3 com uma integral de superfície. Nesse 
sentido, três conceitos são essenciais para aplicar esse teorema:
Superfície orientada – é uma superfície que possui dois lados, e a seleção 
de um vetor normal especifica um ou outro lado.
253 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Stokes PARTE 3
Orientação de fronteira – se o vetor normal fizer um percurso ao longo da 
linha de fronteira, a superfície deve se situar à nossa esquerda, como mostra 
a Figura 1.
Figura 1. Fronteira orientada.
Fonte: Study.com (2019, documento on-line).
Rotacional – é definido por:
Veja um exemplo de cálculo do rotacional.
Teorema de Stokes2
CÁLCULO III254
Determine o rotacional de F(x, y, z) = ex z sen y i + ex z cos y j + x2 y2 z2 k.
Sabemos que o rotacional é dado pelo determinante de uma matriz quadrada 3 x 
3. Agora, vamos transportar os dados da função F(x, y, z) = ex z sen y i + ex z cos y j + 
x2 y2 z2 k para a matriz:
Em seguida, repetimos as duas primeiras colunas:
O próximo passo é multiplicar as diagonais principais para subtrair o produto das 
diagonais secundárias:
A seguir, calculamos as derivadas:
 � : derivada em relação a y. Derivamos y, e os outros termos são cons-
tantes = (2x2 yz2).
 � : derivada em relação a z. Derivamos z, e os outros termos são cons-
tantes = (ex sen y).
 � : derivada em relação a x. Derivamos x, e os outros termos são cons-
tantes = ex z cos y (lembrando que y = eu → y’ = eudu).
 � : derivada em relação a x. Derivamos x, e os outros termos são cons-
tantes = (2xy2 z2).
 � : derivada em função de z. Derivamos z, e os outros termos são 
constantes = (ex cos y).
 � : derivada em função de y. Derivamos y, e os outros termos são 
constantes = ex zcos y (lembrando que y = sen u → y’ = cos u du.
3Teorema de Stokes
255 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Stokes PARTE 3
Agora vamos reorganizar o procedimento do determinante:
Organizamos por componentes:
e
Logo:
que é o rotacional procurado.
Conhecendo essas definições, torna-se possível enunciar o teorema: sendo 
uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira seja formada por uma 
curva fechada ou por um conjunto de curvas fechadas, com fronteira orientada, 
pode-se definir que:
Alguns cálculos são simplificados com o uso da fórmula do teorema de 
Stokes:
Teorema de Stokes4
CÁLCULO III256
Importância do teorema de Stokes
Quando se estuda o rotacional de um campo vetorial, dificilmente se dá aten-
ção ao significado físico expresso pela relação matemática. Com o estudo 
do teorema de Stokes, podemos suprir essa lacuna, pois torna-se possível 
obter uma interpretação física do rotacional, dentro do contexto de fluxos 
fluidos. Para Anton, Bivens e Davies (2007), é possível relacionar o conceito 
de circulação e o rotacional, e “[...] em cada ponto de um fluxo fluido em 
estado estacionário, a densidade de circulação máxima ocorre na direção do 
rotacional [...]” (ANTON; BIVENS; DAVIES, 2007, p. 1179).
De maneira prática, algumas integrais de difícil solução por métodos diretos 
às vezes tornam-se mais simples de serem resolvidas com uso do teorema de 
Stokes. Esse teorema, em conjunto com os outros teoremas da análise veto-
rial, foi desenvolvido e utilizado para expressar matematicamente as leis da 
eletricidade e do magnetismo. Como exemplo de campo magnético, podemos 
citar o campo magnético da Terra, esquematizado na Figura 2.
Figura 2. Campo magnético da Terra.
Fonte: Adaptada de Siberian Art/Shutterstock.com.
Pólo Norte 
magnético Inclinação 
da Terra
Pólo Norte 
geográ	co Linhas de 
campo 
magnético
 Pólo Sul 
magnético
 Pólo Sul 
geográ	co
 Linhas de 
campo 
magnético
Equador
5Teorema de Stokes
257 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Stokes PARTE 3
O estudo do eletromagnetismo chegou ao ápice com a equações de Maxwell, 
fundamentando as hipóteses — depois confirmadas — da existência das ondas 
eletromagnéticas e do fato de que a luz é uma onda desse tipo. Partindo da ideia 
de que há dois campos vetoriais, um campo elétrico E e um campo magnético B, 
numa região do espaço vazia, as equações de Maxwell são:
Nessas equações, temos que μ0 e ϵ0 são constantes e que valem, num sistema 
MKS (metro–kg–segundo):
Nas equações de Maxwell, você pode perceber a presença de termos com 
os quais você lida no cálculo vetorial. A importância dessas equações é tal que 
Rogawski (2009a, 2009b) afirma que aquilo que conhecemos como “nosso 
mundo moderno” é fruto da existência e do nosso conhecimento sobre a radia-
ção eletromagnética. Nesse sentido, Isaacson (2008) afirma ainda que Einstein 
utilizou as equações de Maxwell para desenvolver a teoria da relatividade.
Aplicação do teorema de Stokes
Agora você vai acompanhar a resolução de uma integral utilizando o teorema 
de Stokes. Observe o exemplo a seguir.
Teorema de Stokes6
CÁLCULO III258
Resolva a integral ∮C F ∙ ds, onde F = (–y, 2x, x + z) e C é o hemisfério superior S(x, y, z) 
= x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0, orientado por vetores normais apontando para fora, como 
mostra a Figura 3.
Figura 3. Esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Primeiramente, vamos calcular o rotacional:
7Teorema de Stokes
259 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Stokes PARTE 3
Vamos usar coordenas esféricas para parametrizar o hemisfério:
O vetor normal usado na parametrização de coordenadas esféricas no ponto Φ(ϕ, 
θ), apontado para fora, é n = sen ϕ(cos θ sen ϕ, sen θ sen ϕ, cos ϕ). Assim:
O hemisfério S corresponde a , e o fluxo de rot (F) através de S é igual a:
O teorema de Stokes pode ser utilizado para calcular o trabalho realizado por uma 
partícula. A fórmula para esse cálculo é:
Teorema de Stokes8
CÁLCULO III260
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y, z) = x2 i + 4xy3 j + xy2 k numa 
partícula que percorre o retângulo C, no plano z = y, como mostrado na Figura 4.
Figura 4. Plano z = y.
Vamos expressar o trabalho como uma integral de superfície:
Calculamos (rot F):
9Teorema de Stokes
261 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema de Stokes PARTE 3
Agora que você conhece o teorema de Stokes, pode utilizá-lo para resolver 
problemas em que a integral é muito complexa. Além disso, se você precisar 
lidar com as equações de Maxwell sobre o eletromagnetismo, poderá utilizar 
algumas das operações que viu neste capítulo.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIES, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2005. v. 2.
ISAACSON, W. Einstein: sua vida, seu universo. São Paulo: Companhia das Letra, 2008.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009a. v. 1.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009b. v. 2.
STUDY.COM. Use Stokes' Theorem to evaluate. 2019. Disponível em: https://study.com/
academy/answer/use-stokes-theorem-to-evaluate-oint-c-left-langle-y-z-x-right-rangle-
-cdot-dr-where-c-is-the-curve-in-the-figure-below.html. Acesso em: 01 dez. 2019.
Leituras recomendadas
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 2.
WELLER, K. Carl Friedrich Gauss. [2000]. Disponível em: http://www.math.wichita.edu/
history/men/gauss.html. Acesso em: 01 dez. 2019.
Aplicamos o resultado na fórmula .
Teorema de Stokes10
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rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
11Teorema de Stokes
unidade 
4
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Parte 4
Teorema da Divergência
CÁLCULO III264
Teorema da divergência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Enunciar o teorema da divergência.
 � Reconhecer a importância do teorema da divergência na análise 
vetorial.
 � Utilizar o teorema da divergência na resolução de problemas.
Introdução
O cálculo do fluxo de campos vetoriais se faz bastante importante em 
áreas que envolvem fluidos e eletrostática. Uma maneira de se calcular 
esse fluxo é utilizando integrais duplas de superfície do campo vetorial 
multiplicado (multiplicação escalar) pela superfície em questão. Entretanto, 
em alguns casos, os cálculos se tornam complicados ou extensos. Uma 
forma de facilitar esse cálculo é utilizando o teorema da divergência.
Neste capítulo, você estudará sobre o teorema da divergência, bem 
como reconhecerá sua importância na análise vetorial. Além disso, verá 
exemplos de uso desse teorema.
Conceito
Para compreender o teorema da divergência, primeiro faz-se necessário estu-
dar o fluxo através de superfícies, especificamente as superfícies que sejam 
fronteiras de sólidos finitos, como um cilindro, por exemplo. Essas superfíciessão consideradas fechadas e podem ser lisas, ou lisas por partes. Lisas por 
partes são aquelas que são formadas por um número finito de superfícies lisas 
unidas pelas bordas, como um cubo. Nessas superfícies, algumas orienta-
ções podem ser associadas: orientação para dentro (para o interior do sólido) 
e orientação para fora (saindo do interior do sólido) (Figura 1).
265 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Figura 1. Exemplo de orientação de uma superfície 
fechada.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 1149).
Antes de enunciar o teorema da divergência, é preciso relembrar a diver-
gência de um campo vetorial. Assim, suponha o seguinte campo vetorial:
A divergência de F é dada por:
Pode-se dizer que o teorema da divergência, ou teorema de Gauss, afirma 
que o fluxo de saída de um campo vetorial através de uma superfície fechada é 
igual à integral tripla da divergência na região envolvida pela superfície. Assim, 
esse teorema pode ser utilizado para se estudar fluxos através de superfícies, 
tópico bastante importante na análise de campos vetoriais. A seguir, observe 
um exemplo de como usar esse teorema para cálculos de fluxos.
Teorema da divergência2
CÁLCULO III266
Seja G um sólido cuja superfície σ é orientada para fora. Se:
onde f, g e h têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto 
aberto contendo G, se n for o vetor normal unitário para fora de σ, então:
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 1149).
Existem algumas notações para se escrever um vetor. Neste capítulo, aparecem duas 
delas: negrito e com uma flecha acima. Veja o seguinte exemplo ao se escrever o vetor v:
O teorema da divergência na análise vetorial
O teorema da divergência é muito utilizado em análises de campos vetoriais 
para entender o fluxo desses campos através de superfícies. Muitas vezes, esse 
teorema facilita o cálculo do fluxo, visto que possibilita calcular a integral de 
fluxo diretamente. Observe um exemplo a seguir.
3Teorema da divergência
267 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo de saída de um campo vetorial 
F através da esfera x2 + y2 + z2 = a2. Para resolver essa questão, utilize: 
Considere a superfície da esfera σ orientada para fora e G como a região envolvida 
por ela. Pelo teorema da divergência, pode-se escrever que:
O divergente de F pode ser encontrado da seguinte forma:
Portanto, o fluxo será:
Se tivéssemos utilizado a integral de fluxo direto, ou seja, , o cálculo 
teria sido muito mais difícil (essa solução pode ser vista no exemplo 1 da seção 15.6 
de Anton, Bivens e Davis, 2014).
O teorema da divergência é geralmente escolhido para se encontrar o fluxo, 
pois, com ele, não é necessário calcular integrais separadas para cada seção 
de superfície. Observe outros exemplos a seguir.
Teorema da divergência4
CÁLCULO III268
Por meio do teorema da divergência, calcule o fluxo de saída através de um cubo 
unitário mostrado abaixo do campo vetorial:
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 1152).
Suponha, então, que a superfície σ é orientada para fora e G, a região envolvida por 
ela. Segundo o teorema da divergência, tem-se que:
Primeiramente, calcule o divergente de F. Assim:
5Teorema da divergência
269 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Então, o fluxo através de σ será:
Portanto, Φ = 6.
A partir do teorema da divergência, encontre o fluxo de saída do campo vetorial através 
da superfície da região mostrada na figura a seguir.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 1153).
Teorema da divergência6
CÁLCULO III270
A superfície da região mostrada é limitada pelo hemisfério e 
pelo plano z = 0. Segundo o teorema da divergência, tem-se que:
Primeiramente, calcule o divergente de F. Assim:
Então, o fluxo através de σ será:
Utilizando coordenadas esféricas, tem-se que:
Portanto, o fluxo através da superfície σ é .
7Teorema da divergência
271 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Veja, a seguir, como se pode interpretar a divergência de um campo vetorial. 
Observe que o cálculo do fluxo possui muitas aplicações na área de fluidos. 
Na seção seguinte, são apresentadas mais aplicações e problemas envolvendo 
o teorema da divergência.
Suponha que F seja o campo de velocidades de um fluido. Então o fluxo de F através de 
uma superfície S é a taxa de fluxo (volume do fluido que passa através de S por unidade 
de tempo) (Figura 2). Se S delimita a região W, então, pelo teorema da divergência:
Suponha, agora, que S seja uma superfície pequena contendo um ponto P. como 
div(F) é contínua (por ser uma soma de derivadas de componentes de F), seu valor 
não varia muito em W se S for suficientemente pequena. Segue que, em uma primeira 
aproximação, pode-se trocar div(F) pelo valor constante div(F)(P). Dessa forma, obtém-
-se a aproximação:
Em outras palavras, a taxa de fluxo através de uma superfície fechada pequena que 
contém P é aproximadamente igual à divergência em P vezes o volume englobado. 
Assim, div(F)(P) tem uma interpretação de “taxa de fluxo (ou fluxo) por unidade de 
volume”:
 � Se div(F)(P) > 0, ocorre um fluxo líquido para fora de qualquer superfície fechada 
pequena contendo P, ou, em outras palavras, uma “criação” líquida de fluido perto 
de P. Nesse caso, diz-se que P é uma fonte. Por esse motivo, às vezes se diz que 
div(F) é a densidade de fonte do campo.
 � Se div(F)(P) < 0, ocorre um fluxo líquido para dentro de qualquer superfície fechada 
pequena contendo P, ou, em outras palavras, uma “destruição” líquida de fluido 
perto de P. Nesse caso, diz-se que P é um poço.
 � Se div(F)(P) = 0, então, em uma aproximação de primeira ordem, é nulo o fluxo 
líquido através de qualquer superfície fechada pequena contendo P.
Teorema da divergência8
CÁLCULO III272
Figura 2. O fluxo de um campo de velocidades através de uma superfície é a taxa de 
escoamento (em volume por unidade de tempo) do fluido através da superfície.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 985).
O teorema da divergência na resolução de 
problemas
O teorema da divergência possui aplicações na área de fluidos, principalmente 
no cálculo de fluxos. A Figura 3, a seguir, mostra um campo vetorial e uma 
superfície S. Calcule o fluxo através da fronteira de S, dado que o campo seja:
9Teorema da divergência
273 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Figura 3. Fluxo através da superfície S.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 985).
Primeiramente, calcule a divergência de F. Assim:
Embora o campo tivesse uma forma complicada, o seu divergente é nulo, 
de modo que o fluxo também será nulo:
onde W é a região englobada por S.
Teorema da divergência10
CÁLCULO III274
Embora o teorema da divergência possua muitas aplicações na área de 
fluidos, ele também possui aplicações em outras áreas, como a eletrostática. Na 
eletrostática, um cálculo muito realizado é o de fluxo de campos eletrostáticos.
O campo eletrostático de uma carga pontual é um campo vetorial de qua-
drado inverso, o qual possuicaracterísticas especiais. Suponha, então, que o 
campo vetorial definido para r ≠ 0 seja o seguinte:
onde er é o campo vetorial radial unitário. Lembre-se de que:
Uma característica fundamental desse campo é que ∇ ∙ FQI = 0. Para verificar 
esse resultado, pode-se escrever o campo como:
Agora, o divergente do campo é dado por:
Calcule cada termo da soma separadamente. Para isso, inicialmente, é 
preciso do :
11Teorema da divergência
275 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
Agora, encontre o termo :
As derivadas dos termos restantes são análogas à derivada encontrada. 
Assim, tem-se que:
Outra propriedade importante está mostrada no teorema enunciado a 
seguir. Assim, se a superfície não englobar a origem, o fluxo será zero, se 
englobar, o fluxo será 4π. 
O fluxo de através de superfícies fechadas tem a seguinte descrição notável:
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 987).
Teorema da divergência12
CÁLCULO III276
Dado o campo vetorial de quadrado inverso , encontre o seu fluxo através 
da superfície S esférica de raio R, como mostrado na figura a seguir.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 987).
O fluxo do campo pode ser encontrando da seguinte forma:
Substituindo o campo dado, tem-se que:
Usando o teorema do fluxo de campo de quadrado inverso, tem-se que:
13Teorema da divergência
277 Aplicações do Cálculo Vetorial UNIDADE 4 Teorema da Divergência PARTE 4
O Quadro 1, a seguir, apresenta um resumo dos teoremas mais importantes 
do cálculo.
Teorema 
fundamental 
do cálculo 
a b
Teorema 
fundamen-
tal para 
integrais 
de linha
 r(a)
r(b)
C
Teorema 
de Green
 
D
C
Teorema 
de Stokes
 
n
S
C
Teorema da 
divergência
 
E
S
n
n
Quadro 1. Principais teoremas do cálculo
Fonte: Adaptado de Stewart (2012).
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 2.
STEWART, J. Multivariable calculus. 7. ed. Belmont: Brooks/Cole, 2012.
Teorema da divergência14
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