Prévia do material em texto

Cálculo 
Avançado
Cálculo Avançado
MARINA VARGAS
M
ARINA VARGAS
Código Logístico
59726
ISBN 978-85-387-6721-3
9 788538 767213
Cálculo Avançado
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2022
© 2022 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora 
e do detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: bimbimkha/ Freepik Danilo/ IESDE
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200
Batel – Curitiba – PR
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427c
Vargas, Marina
Cálculo avançado / Marina Vargas. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 
2022.
150 p. : il.
Inclui bibliografi a
ISBN 978-85-387-6721-3
1. Cálculo. 2. Equações diferenciais. I. Título.
22-75642 CDD: 515.35
CDU: 517.968.7
Marina Vargas Pós-doutora em Mecânica Computacional, doutora e 
mestra em Métodos Numéricos em Engenharia pela 
Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista 
em Educação Matemática e licenciada em Matemática 
pela Universidade Paranaense (Unipar). Professora no 
ensino superior nas modalidades presencial e a distância, 
ministrando as disciplinas: Cálculo de funções, de uma 
e mais variáveis; Álgebra linear; Geometria analítica; 
Métodos numéricos; Teoria dos números; Pesquisa 
operacional; Matemática aplicada; Estatística aplicada e 
Métodos quantitativos. Atua também como professora 
conteudista em diversas instituições e empresas. 
Atualmente, tem desenvolvido pesquisas nas áreas de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
SUMÁRIO
1 Sequências e séries infinitas 9
1.1 Sequências numéricas e limites 9
1.2 Séries numéricas 16
1.3 Critérios de convergência e divergência 18
1.4 Séries absolutamente convergentes 24
1.5 Critérios de Cauchy e de Dirichlet 26
2 Sequências e séries de funções 30
2.1 Sequências de funções 30
2.2 Convergência simples e uniforme 32
2.3 Propriedades da convergência uniforme 39
2.4 Derivabilidade e integrabilidade 40
2.5 Séries de funções 45
3 Série de potências 49
3.1 Funções como séries de potências 49
3.2 Derivação de séries de potências 55
3.3 Integração de séries de potências 60
3.4 Séries de Taylor e MacLaurin 61
4 Equações diferenciais de primeira ordem 69
4.1 Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 69
4.2 Separação de variáveis 75
4.3 Equações homogêneas com coeficientes constantes 77
4.4 Equação exata 82
4.5 Equações lineares de primeira ordem 84
4.6 Bernoulli e Ricatti 89
5 Equações diferenciais de segunda ordem 94
5.1 Equações homogêneas com coeficientes constantes 94
5.2 Problemas de valor inicial e de contorno 99
5.3 Independência e dependência linear 104
5.4 Método de redução de ordem 109
5.5 Equação de Clairaut 113
6 Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 117
6.1 Problema de valor inicial 117
6.2 Soluções de equações lineares homogêneas de ordem n 119
6.3 Soluções de Equações lineares não homogêneas 126
6.4 Resolução de equações diferenciais por meio de séries de potências 133
6.5 Método de Frobenius – ponto singular regular 137
 Resolução das atividades 142
APRESENTAÇÃOVídeo
Nesta obra,buscamos trazer os conceitos que vão além das tradicionais 
explicações sobre limites, derivadas e integrais. Na verdade, fazemos uso 
dessas ferramentas para compreender as funções quando reescritas 
no formato de séries. Além disso, usamos esses conceitos para falar de 
equações diferenciais – sendo que as últimas são estudadas por meio de 
técnicas que permitem a solução analítica. 
Dizer que estamos trabalhando com cálculo avançado é, na verdade, 
avançar no estudo das funções compostas por uma ou mais variáveis, 
podendo ser reescritas e combinadas.
Assim, destinamos o primeiro capítulo à apresentação de uma análise 
ampla sobre as sequências e séries numéricas, pois precisamos dessa 
perspectiva para seguirmos com o estudo das séries de funções. Temos, 
portanto, o estudo das sequências numéricas embasando o capítulo. Este é 
sucedido pelas séries numéricas, e com isso podemos trabalhar os critérios 
de convergência e divergência para séries. 
No segundo capítulo, discorremos sobre as funções escritas como séries 
e as séries de funções. A teoria por trás das sequências e séries de funções 
se assemelha à teoria para essas mesmas estruturas, que foram tratadas de 
maneira numérica e vistas no primeiro capítulo. Sendo assim, comparamos 
essas duas classes com o intuito de identificar as particularidades das 
funções escritas por meio de séries, e podendo, com isso, trabalhar o 
conceito de convergência das séries de funções. 
A proposta do terceiro capítulo é a explanação sobre as séries de 
potências, sendo estas uma particularidade das séries de funções vistas 
no segundo capítulo. Vamos entender a teoria matemática por trás 
desse conceito e avançar para o estudo das séries de Taylor e MacLaurin, 
importantes no contexto das séries de potências. Esse conceito será 
amplamente aplicado, ainda, no sexto capítulo com o trabalho sobre as 
equações diferenciais. 
Partindo desse princípio, entramos no quarto capítulo, que trata das 
equações diferenciais ordinárias (EDO) de primeira ordem. É nele que 
entenderemos o que é uma equação diferencial e como classificá-la. Após 
a etapa de introdução e apresentação, passamos para as técnicas de 
resolução das equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes 
e variáveis, que podem ser homogêneas e não homogêneas. 
O quinto capítulo apresenta a concepção de EDO de segunda ordem. 
Com isso, novas técnicas de resolução são apresentadas, como o método 
de redução da ordem e o método dos coeficientes variados, que também 
podem ser aplicados às equações diferenciais de maior ordem.
O sexto e último capítulo traz as equações diferenciais de enésima ordem 
e, portanto, toda e qualquer EDO de ordem maior do que dois. Algumas das 
8 Cálculo Avançado
técnicas conhecidas para a resolução das equações de ordem menor (menor ou igual a 
dois) aparecem nesse capítulo com um aprofundamento teórico que permite sua aplicação 
para EDO de maior ordem. Além disso, trabalhamos com a solução de EDO por meio das 
séries de potências, sendo essa mais uma técnica aplicada quando, por exemplo, temos 
coeficientes variados ou equações de alta ordem.
O foco, assim como a proposta da obra, é trazer o raciocínio lógico matemático por 
trás das funções e suas aplicações, trabalhando principalmente as sequências e séries de 
funções que posteriormente são aplicadas para a solução das equações diferenciais. Para 
que esses conceitos sejam construídos adequadamente, embasamos essa estrutura no 
estudo das séries numéricas e em outras técnicas de solução para as equações diferenciais 
ordinárias. 
Esperamos que esta obra auxilie no aprendizado para a formação de um melhor 
profissional na área escolhida.
Bons estudos!
Sequências e séries infinitas 9
1
Sequências e séries infinitas
Dentro do que chamamos de cálculo, a maioria dos conceitos são ou relacionam-se 
com funções. Deixamos uma margem de erro para os que possam significar algo ao 
contrário.
Porém, nem sempre a função que rege determinado problema está evidente ou 
pode ser resolvida analiticamente da maneira que está sendo apresentada.
Além disso, antes de discorrermos sobre funções, precisamos compreender em 
sua profundidade os números e, com isso, as sequências numéricas e as operações 
que envolvem esse conceito, entre elas as sucessivas somas de termos de uma se-
quência também chamadas de séries numéricas.
Você já ouviu falar em sequência de Fibonacci? E em número áureo? Já ouviu falar 
que ele rege boa parte do entendemos como estética e simetria na natureza?
Vamos entender a teoria matemática por trás desse conceito e avançar para oestudo das séries numéricas como foco principal do embasamento para as funções 
escritas por meio de conceito de série. 
1.1 Sequências numéricas e limites 
Vídeo
Afirmamos que há uma sucessão de números quando a lei de formação para 
essa sucessão é conhecida. Uma sucessão infinita de termos da forma a1, a2, a3, … 
tem como lei de formação an.
Assim, uma sucessão numérica dada por 2, 4, 6, ... pode ser escrita por 
meio da sua lei de formação como {an} = 2 · n, com n = 1, 2, …, ou na forma 
S� �
n
� � � � � � � �
n
� � � � � �
�
�
�
1
1 1 1
2
1
3
�
.
Esse exemplo em particular nos mostra uma sucessão ou sequência de núme-
ros pares. Uma sequência pode também ser definida de maneira recursiva. Isso 
significa que, conhecendo-se um ou mais termos antecedentes de uma sequência, 
é possível determinar os termos subsequentes por meio de uma regra de recursi-
vidade previamente determinada.
A famosa sequência de Fibonacci é definida recursivamente da seguinte forma:
f
f
f f f n n n
1
2
1 2
1
1
3
� �
� �
� � � � ,� � � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � n
Desse modo, os termos dessa sequência são:
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}
Desenvolver e interpretar 
o conceito de sequência 
numérica.
Objetivo de aprendizagem
10 Cálculo Avançado
Observe na Figura 1 que a sequência de Fibonacci aparece como a medida para 
os lados dos quadrados, que formam o desenho necessário à construção da espiral.
A relação a� �b
a
a
b
�
� , formada pela medida dos lados desses quadrados, fornece 
uma das relações mais importantes da área da matemática relacionada à estética 
e à simetria.
� �
�
� �
a b
a
a
b
1 618, F F Fn n n� �� �1 2
a
a b
34
21
13
2
3
5
8
du
cu
59
s/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Figura 1
Sequência de Fibonacci, espiral dourada
A sequência de Fibonacci é conhecida por seu padrão único, em que, assumindo
 • f1 = 1
 • f2 = 1
 • f3 = 2
 • f4 = 3
 • f5 = 5
 • f6 = 8
E assim por diante.
Teremos:
�� � � � � � � �� � � � �8 5
8
8
5
1 618,
O número ϕ é chamado de razão áurea e a ele é dado o importante papel de 
referência na simetria e na estética.
Sequências e séries infinitas 11
Figura 2
Razão áurea e sequência de Fibonacci
Af
ric
a 
St
ud
io
/S
hu
tte
rs
to
ck
Assim, as sequências numéricas podem ser definidas por meio do seu termo 
geral, an n� � �1
�
, ou por meio da recursividade.
Observe, a seguir, alguns exemplos de sequências numéricas obtidas por meio 
do termo geral ou apresentadas por relações de recursividade.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
 •
n� � � � �� �� �� ��
n
�� � � �� �
�
2 0 1 2 3
2
�
, , , ,
 • 2 1
2
3
2
5
4
7
61
n�� ��
n
� � �� ��
n
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
, , ,
 • an = a1 + (n – 1)r, em que n ≥ 2 e r ∈ ℝ.
É possível analisar se uma sequência converge ou diverge para determinado 
número. Observe o exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
Sejam as sequências 1
1
2
1
4
1
8
,�� ,�� ,�� ,���
�
�
�
� e {1, 2, 4, 8, …}.
Ambas têm como termo geral a expressão a � � a ��qn n
n
n
� � � � �� �0 1 0
� �· , em que n 
∈ ℕ e q é a razão da sequência. Como as duas sequências começam com o 
valor 1, podemos escrever simplesmente qn
n
� �
�0
� .
12 Cálculo Avançado
A pergunta que precisamos responder é:
Qual é o valor de q que nos permite escrever 1 1
2
1
4
1
8
, , , ,�� �� �� ���
�
�
�
�
 e qual é o valor de q que 
nos permite escrever {1, 2, 4, 8, …}?
Esse questionamento é respondido ao calcularmos an – an–1 = ... = a2 – a1 = a1 – a0 = q, 
considerando que:
I. para 1
1
2
1
4
1
8
, , , ,�� �� �� �����
�
�
�
�
, teremos q� �= 1
2
; e
II. para {1, 2, 4, 8, …}, teremos q = 2.
Nesse momento temos um segundo questionamento:
Como escrever uma regra para q de modo que a sequência seja convergente ou diver-
gente nesse intervalo?
Para responder esse questionamento, vamos observar as duas sequências a seguir.
Fonte: Elaborada pela autora.
0
–2
q = 2 > 1
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
– 4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Figura 4
Sequência {1, 2, 4, 8, …}, q = 2
Figura 3
Sequência 1 1
2
1
4
1
8
, , , ,�� �� �� �����
�
�
�
�
, q� �= 1
2
Fonte: Elaborada pela autora.
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
0 < < 1q = 12
Note que na Figura 3 a sequência converge para zero. Já na Figura 4 a sequência 
não converge para nenhum valor.
Com base nas convergências das Figuras 3 e 4, podemos formular uma expres-
são matemática que resume as convergências. Portanto, escrevemos:
lim
,�� � � � � �
,�� �� � �n
nq � �
 
 �
�
� �
� �
�
�
�
���
0 0 1
1
se q
se q
(1)
Dessa forma, afirmamos que se existe limn n
a � �L
�
�
� , então a sequência an n� � �1
�
 é 
convergente e converge para L. Caso contrário, a sequência é divergente.
Sequências e séries infinitas 13
Definição 1
De acordo com Stewart (2016, p. 643), “uma sequência {an} tem limite L, e escrevemos
lim
n
na � �L
�
�
�
 ou an → L quando n → ∞
se, para cada ϵ > 0, existe um inteiro N tal que n > N ⇒ |an – L| < ϵ”.
Para completar o Exemplo 2, escrevemos, utilizando a equação (1), que a se-
quência {qn} é convergente se –1 < r ≤ 1 e divergente para todos os outros valores 
de q.
lim
,��
,�� �n
nq � �
 �
�
� � �
�
�
�
�
���
0 1 1
1 1
se q
se q
(2)
O exemplo a seguir apresenta a sequência n
n� �5 1�
�
�
�
�
�
�
 e os cálculos para verificar a 
convergência baseada na definição.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Usando a Definição 1, prove que a sequência n
n� �5 1�
�
�
�
�
�
�
 converge para 1
5
.
Usando a definição, é necessário mostrar que ∀ ϵ > 0 existe um N > 0, tal que, 
se n > N, então 
n
n� �
� � � �
5 1
1
5�
� �  .
Mas isso ocorre se, e somente se, n > N. Então, 
�
�� � �
1
5 5 1n� �
� �
.
Portanto:
1
5 5 1n� �
� �
�� � � 
Logo:
n� � � �� � �5 1
25


Com isso, escrevemos:
N� � � � � � n
n� �
� � � �� � � �
�
� �
5 1
25 5 1
1
5



Por outro lado, podemos usar o conceito de limite, se esse existir, para ana-
lisar a convergência.
Assim, consideramos a � �
n
n� �n
�
�5 1
 e L� �= 1
5
. Se o limite lim
n n
a � �L
�
�
�
 se confir-
mar, então 
n
n� �
� � �
5 1
1
5�
� quando n → ∞.
Logo:
lim
n n n
n
n� �
� �lim
n
n � �
n
� �lim �
� �
n
� � ��
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �5 1
1
5 1
1
5 1
��
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
� �
lim
lim � �
n
� � ��n
n
�
�
1
5 1
1
5
Para saber mais sobre 
a verificação da conver-
gência ou divergência da 
sequência {qn}, sugerimos 
a obra Cálculo, de James 
Stewart, sexta edição, 2016, 
p. 646-647. No Exemplo 10 
você encontrará o passo a 
passo para o desenvolvi-
mento da equação (2).
Saiba mais
14 Cálculo Avançado
Portanto, a sequência de termos 
n
n� �5 1�
�
�
�
�
�
�
 converge para 
1
5
.
Desse resultado deriva uma importante observação que analisamos na sequên-
cia e que servirá de base para algumas propriedades e operações aplicadas às se-
quências e séries.
Observação
Conforme Guidorizzi (2019, p. 5) enuncia, “seja f(x) uma função a valores reais definida no 
intervalo [q, +∞], q natural, e consideremos a sequência de termo geral
an = f(n), n ≥ q
É de imediata verificação que
lim lim
n
n
x
a � � f x
�� ��
� � �
� �
Desde que o limite do segundo membro exista, finito ou infinito”.
Com essa observação, é possível relacionar uma sequência a uma função. Isso 
permite que muitas das operações e propriedades que conhecemos para limites 
de funções possam ser aplicadas para a verificação e análise de sequências e séries 
numéricas e de funções.
1.1.1 Sequências monótonas e limitadas
Algumas sequências recebem nomes especiais de acordo com características 
que apresentam.
Desse modo, uma sequência {an}, com an ≤ an+1 para todo n, ou seja, seus termos 
apenas crescem indefinidamente, é dita sequência crescente.
De maneira oposta, uma sequência {an},com an ≥ an+1 para todo n, e, portanto, 
seus termos apenas decrescem indefinidamente, é dita sequência decrescente.
Além disso, para {an}, uma sequência com n ∈ ℕ, teremos:
I. se an < an+1, estritamente crescente;
II. se an > an+1, estritamente decrescente.
Uma sequência que é crescente ou decrescente também é chamada de 
monótona.
Definimos, a seguir, mais um conceito importante sobre as sequências.
Definição 2
Uma sequência que tem limitantes (superior e inferior) é chamada de sequência limitada.
Os limitantes são valores S, s ∈ ℤ, tais que, seja uma sequência {an}, teremos um 
limitante superior S se an ≤ S. Uma estrutura similar é usada para definir o limitante 
inferior. Assim, se s ≤ an, então s é dito limitante inferior da sequência {an}.
Você sabia que existe uma 
biblioteca de sequências 
disponível na internet e 
de acesso livre chamada 
On-Line Encyclopedia of 
Integer Sequences (OEIS), 
onde você coloca os primei-
ros valores da sequência 
desejada e a biblioteca 
informa os próximos núme-
ros da possível sequência 
em que ela se enquadra?
A ferramenta de pesquisa 
da OEIS também permite 
que os valores de entrada 
sejam textos descriti-
vos, como Fibonacci ou 
Mersenne, para obter as 
respectivas sequências. 
Disponível em: http://oeis.org/. 
Acesso em: 27 ago. 2021.
Curiosidade
Sequências e séries infinitas 15
No próximo exemplo vemos como identificar os limitantes de uma sequência. 
Nele trabalharemos com a abordagem gráfica da sequência sen�m
m� � �0
� .
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Seja a sequência sen�m m� � �0
�
. Então, assumindo valores 0 ≤ m ≤ 2π, teremos 
como limite inferior o valor s = –1 e como limite superior o valor S = 1. Mes-
mo que m → ∞, os valores se comportarão de maneira cíclica, mantendo os 
limites superior e inferior para essa sequência.
Observe a figura a seguir, que relaciona o termo geral da sequência a uma 
função e pode ser analisado com base no gráfico dessa função.
Ke
yt
ot
im
e/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Figura 5
Gráfico da função sen x = f(x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
o
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
–0,5
–0,6
–0,7
–0,8
–0,9
–1
�2� �7
4
� �3
2
� �5
4
� �� �3
4
� ��
2
��
4
π
4
π
2
3
4
π 5
4
π 3
2
π 7
4
π 2π0
–1,1 π
De acordo com Guidorizzi (2019), se uma sequência é crescente ou decrescente, 
só haverá duas possibilidades: ou a sequência será convergente ou será divergente.
Se for crescente e ilimitada, divergirá para +∞. Se for decrescente ilimitada, di-
vergirá para –∞.
Se a sequência for crescente (ou decrescente) limitada superiormente (ou infe-
riormente), convergirá para L. Dessas informações conclui-se o seguinte teorema:
Teorema 1
Toda sequência {an} monótona e limitada converge para L e limn n
a � �L
�
�
� .
16 Cálculo Avançado
Com esses conceitos elencados, a seguir trataremos de algumas proprieda-
des importantes que relacionam as sequências e as propriedades dos limites de 
funções.
1.1.2 Propriedades
Com a Definição 1, notamos a possibilidade de utilização das propriedades dos 
limites para verificar a convergência de uma sequência. Assim, se {an} e {bn} forem 
sequências convergentes e c for uma constante, então
I. lim lim limn n n n n n n
a � �b � � a � � b
� � �
�� � � �
� � �
II. lim · · limn n n nc a � �c a � ��� �
III. lim · lim · limn n n n n n n
a ��b � � a �� b
� � �
�
� � �
IV. 
lim
lim
lim , limn
n
n n
n
n
n n
n
a
b
� �
a
b
��se� b�
�
� �
� ��
�
� �
V. lim lim ,
n n
p
n n
p
na � � a ��se�p �e�a� �
� �
��
�
��
� �
� �
0 0
VI. se an ≤ cn ≤ bn para n ≥ n0 e lim limn n n n
a � � b � �L
� �
� �
� � , então limn n
c � �L
�
�
�
.
Com as sequências definidas e suas propriedades, na próxima seção começare-
mos a tratar do tema séries numéricas.
1.2 Séries numéricas 
Vídeo
Quando os termos de uma sequência são somados, obtemos uma série:
a1 + a2 + a3 + …
Nesse caso, a soma de termos dessa série nos fornece uma expressão na forma:
S� � a � �a � �a � �a � �
i
n� � � � � �
�
�
1
1 2 3
�
(3)
Podemos pensar nesse conceito como uma soma parcial de termos. Assim, 
escrevemos:
S1 = a1
 S2 = a1 + a2
 S3 = a1 + a2 + a3
⋮
 Sn = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an–1 + an
Portanto:
S � a � �a � �a �a � � �an
i
n
n � � n�� � � � � � �
�
�
1
1 2 3
Compreender o conceito 
de séries numéricas com 
base no entendimento das 
sequências.
Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries infinitas 17
Quando existe 
S� � S
n n
�
�
lim
� (4)
Afirmamos que a série converge ou é convergente. Caso contrário, a série diverge 
(ou é divergente).
Uma sequência que converge pode não ter uma soma que converge. É fácil per-
ceber isso usando como exemplo a sequência {qn} para q = 1.
Nesse caso, a sequência converge para 1, como vimos na expressão (2). Contu-
do, a soma dos termos para essa sequência, ou seja:
1 1 1 1� � � � � � � � � S � �
n n
� � � � � �
�
lim
�
�
E, portanto, a soma diverge.
A seguir vamos analisar a convergência ou não da série formada pelo termo 
geral an = q
n, com n = 1, ..., ∞.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Sabendo que a sequência qn
n
� �
�1
�
converge para alguns valores de q e diverge 
para outros, queremos analisar para quais valores de q a série geométrica 1 
n
nq
�
�
1
�
 converge ou diverge.
Vamos usar como auxílio as sequências 
1
2
1
4
1
8
1
16
, , , ,�� �� �� �����
�
�
�
�
 e {2, 4, 8, 16, …}.
Note que na Figura 3 a sequência converge para zero, ou seja, intuitivamente 
temos valores cada vez menores sendo somados ao valor a � �1
1
2
= , o que nos 
leva a pensar que, mesmo que a série seja infinita, a soma de todos esses 
infinitos termos não passará de 1. Isso significa que o valor 1 será o limite 
superior para 
n
nq
�
�
1
�
 quando q� �= 1
2
.
Já na Figura 4, vemos de modo intuitivo os valores da sequência aumentando 
exponencialmente. Ou seja, se somarmos 1 + 4 + 8 + 16 +..., vamos encontrar 
um valor cada vez maior, tendendo ao infinito.
Resumindo esse processo intuitivo, podemos escrever que a série geométrica 
n
n
na q � �a q � �a q � �a q � �a q � �
�
� � � � � � �
0
0
0
1
1
2
2
3
3
�
 converge para 
a
q� �
1
1−
 quando |q| 
< 1, em que a1 é o primeiro termo da série. Caso contrário, a série geométrica 
diverge.
Na sequência, faremos um exemplo aplicando o resultado para a soma de sé-
ries geométricas, 
a
q� �
1
1−
, visto anteriormente.
Uma série geométrica é 
escrita de modo geral por 
n
n
na q
�
�
0
�
 ou 
n
n
na q
�
��
1
1
�
.
1
18 Cálculo Avançado
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Seja a série 
n
n
�
�
0
3
2
�
. Verifique se essa série converge. Se convergir, calcule o 
valor para o qual ela converge.
A série 
n
n
�
�
0
3
2
�
 pode ser escrita como 3
1
20n
n
�
�
�
.
Assim,
n
n
n
n
� �
� �
� ��
�
�
�
�
�
�
0 0
1
2
1
2
� �
é uma série geométrica de razão q� �= 1
2
 e a1 = 1. Portanto:
S � �
a
q
� � � � � �� � �
�
�
� �1
1
1
1 1
2
1
1
2
2
Logo, a série 3
1
20n
n
�
�
�
 converge para 3 · 2 = 6.
No contexto das séries, podemos elencar critérios, também chamados de testes, 
para averiguar se uma série converge ou diverge. Vamos analisar alguns desses 
critérios na sequência.
1.3 Critérios de convergência e divergência 
Vídeo Alguns critérios são avaliados quando precisamos analisar se uma série numéri-
ca converge ou diverge. Esses critérios, que foram sendo desenvolvidos em conjun-
to com o desenvolvimento da análise matemática, são também chamados de testes 
de convergência e divergência.
Os testes de convergência nos orientam na classificação e análise dos diferentes 
tipos de séries e suas aplicações. Vamos entender sua teoria e sua aplicação.
1.3.1 Teste da divergência
O primeiro critério que avaliaremos é chamado de teste da divergência, que, 
como o próprio nome sugere, avalia se uma série é convergente; caso contrário, 
será divergente.
Para esse teste, temos como base o seguinteteorema:
Teorema 2
Se a série
a � �a � � � �a � � � an�
n
n1 2
1
� � � � � � �
�
�
�
é convergente, então lim
n
na � �
�
�
�
0 .
(Continua)
O vídeo Infinite Series - 
Numberphile, do canal 
Numberphile, apresenta 
de maneira animada a 
explicação sobre o conceito 
geral de uma série infinita 
realizada por Charles 
Fefferman, professor da 
Universidade de Princeton 
e medalhista Field no ano 
de 1978 por sua obra. Ape-
sar do vídeo ser em língua 
estrangeira, há opções 
de legendas automáticas 
que colaboram para a 
compreensão. 
Disponível em https://www.youtube.
com/watch?v=Jwtn5_d2YCs. Acesso 
em: 30 set. 2021.
Vídeo
Analisar os critérios de con-
vergência e divergência de 
diferentes tipos de séries.
Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries infinitas 19
O teste da divergência costuma ser a primeira verificação realizada a respeito de uma série 
numérica. Sua demonstração permite compreender a dinâmica envolvida nos processos de 
análise da convergência das séries numéricas.
É por intermédio da demonstração desse teorema que podemos perceber as possibilidades 
em relação aos cálculos envolvidos no processo algébrico, como analisar o limite da série por 
meio de soma entre limites de séries e termos. Vejamos esse processo a seguir.
Demonstração
Seja a série a � �a � � � �a � � � � an
n
n1 2
1
� � � � � � �
�
�
�
. Como S� � a
n
n�
�
�
1
�
 é convergente, então 
Sn = Sn–1 + an é também convergente e existe 
lim
n
nS
�� .
Assim, pelas propriedades dos limites, escrevemos:
lim � lim lim
n
n
n
n
n
nS � S � � a
� �
�
�
� �
� � �
1
Considerando:
lim
n
nS � �S
�
�
�
Escrevemos:
S S a
n
n� �
�
lim
�
Portanto:
lim
n
na � �
�
�
�
0
Note que nada podemos afirmar sobre o contrário. Assim, podemos ter séries que têm limite
igual a zero e, no entanto, são divergentes.
Uma consequência imediata a esse teorema é o corolário a seguir:
Corolário 1
Se lim
n
n
n
na a �
�
�
� ���
�
0
1
 diverge.
No exemplo a seguir aplicamos os conceitos vistos anteriormente para analisar 
a convergência de uma série conhecida.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 7
Verifique se a série n
n
n � ��
� �1
2
23 1
�
 converge.
Para isso, vamos aplicar o Corolário 1 e, pelo Teorema 2, temos: 
lim lim lim
n n n
n
n
� � n
n
n
� �
n
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
2
2
2 2
3 1 3 1
1
3 1
�� �� 1
3
Portanto, como lim
n
n
n � �
� � � �
� �
� �
�
2
23 1
1
3
0 , então a série 
n
n
n � ��
� �1
2
23 1
�
 diverge.
20 Cálculo Avançado
Contudo, nem sempre é possível determinar se limn n
a
�
�
�
0 . Em outros casos, 
não temos conhecimento se a série é convergente. Para essas situações veremos 
outros testes na sequência.
1.3.2 Teste da integral
O próximo teste que estudaremos é chamado de teste da integral. Para ele, usa-
remos o seguinte teorema:
Teorema 3
Seja f uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [1, ∞[. Suponha f(n) = an.
Se 1 1
�
�� �� � � � ��f x dx f x dxtlim
t
 é convergente, então a série 
n
na
�
�
1
�
 é convergente; caso con-
trário, a série 
n
na
�
�
1
�
 é divergente.
Note que assumimos a comparação f(n) = an já apresentada na seção sobre 
sequências. Com isso, é possível trazer a referência de função e suas operações, 
como no teorema anterior, e na implementação da integral imprópria.
Vejamos um exemplo que aplica o teste da integral para a análise da convergên-
cia de uma série.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 8
Analise se a série 
n n�
�
1
2
1�
 converge o diverge usando o teste da integral.
Pelo teste da integral, podemos escrever:
1 2
1
2
1
1 1 1 1 1
�
� � �� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �x
dx� �
x
dx�
x
� �
t
t
t
t
t
lim lim lim
tt
� ��
�
�
�
�
� � 1
Portanto, como a integral 
1 2
1�
� x dx converge, podemos afirmar que a série 
n n�
�
1
2
1�
 converge.
Veremos, na sequência, mais alguns testes que possibilitam a análise da conver-
gência (ou divergência) de séries numéricas.
1.3.3 Teste da série-p
São chamadas harmônicas ou séries-p as séries que, de modo geral, podem ser 
escritas como:
n
pn�
�
1
1�
(5)
Para conhecer mais sobre 
o teste da integral e outros 
exemplos resolvidos, suge-
rimos os vídeos da platafor-
ma da Khan Academy:
• Teste da integral. Disponível 
em: https://pt.khanacademy.
org/math/ap-calculus-bc/
bc-series-new/bc-10-4/v/in-
tegral-test-intuition. Acesso 
em: 30 set. 2021.
• Exemplo resolvido: teste da 
integral. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.
org/math/ap-calculus-bc/
bc-series-new/bc-10-4/v/
integral-test-divergence. 
Acesso em: 30 set. 2021.
Vídeo
A demonstração completa 
para o teste da integral 
pode ser verificada na obra 
Cálculo, de James Stewart, 
sexta edição, 2016, páginas 
666-667, volume 2. Além da 
demonstração algébrica, o 
autor apresenta diversas 
representações geométri-
cas que auxiliam no enten-
dimento da demonstração.
Leitura
Indicamos o material Teste 
da integral na etapa “Prati-
car: Teste da integral” para 
exercitar o conteúdo. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/
bc-10-4/e/integral-test. Acesso em: 
30 set. 2021.
Na prática
Sequências e séries infinitas 21
A série-p terá sua ordem determinada pelo valor de p.
São exemplos de séries-p:
n n
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�
� � � � � � � � � � � �
1
2 2 2 2 2
1 1
1
1
2
1
3
1
4
1 1
4
1
9
1
16
�
��
n n
� � � � � � � �
�
� � � � � �
1
1 1 1
2
1
3
�
O exemplo a seguir apresenta a análise de uma série harmônica com p = 1.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 9
Quando p = 1, temos uma série harmônica
n
n
� � � � � � � � � �
�
� � � � � � �
1
1 1 1
2
1
3
1
4
�
que é divergente. Esse resultado pode ser verificado por meio do teste da 
integral, fazendo:
1
1
1 1
�
�
� � � � � �� � � � �
�
�
� �
x
dx� �ln x � � � �ln ln
E pode ser observado na figura a seguir.
Figura 6
Série harmônica com p = 1
Ji
m
.b
el
k/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
0 1
1
1
y
1/2
1/3
1/4 1/5
2 3 4 5 6 x
y
x
=
1
Nesse caso, podemos analisar para quais valores de p a série diverge ou 
converge. Assim, considerando a integral 
1
1
1
1
1
�
�
� �
� �
�
�
x
dx� �
x
pp
p
(Continua)
22 Cálculo Avançado
precisamos analisar dois intervalos para p:
x
p
� � p
 
 
p1
1
1
1
1
1
1
�� �
�
� �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
,�� �
,�� �
se p
se p
Dessa forma, a série-p diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1.
Esse resultado faz com que possamos classificar as séries em:
 • Convergente:
n n
� � � � � � � � � � � � � � �
�
� �
�
� � � � � � �� � � � � �
1
2 2 2 2 2
1 1
1
1
2
1
3
1
4
1 1
4
1
9
1
16
�
 • Divergente:
n n�
� � � � ��
1
1 1 1
2
1
3
�
Além dos testes diretamente aplicados as séries, podemos comparar duas ou 
mais séries, conhecendo a convergência (ou divergência) de uma delas. Estudare-
mos na sequência essa aplicação.
1.3.4 Teste da comparação e comparação no limite
O teste da comparação, como o próprio nome justifica, permite que comparare-
mos duas séries, 
n
na
�
�
1
�
 e 
n
nb
�
�
1
�
, de termos positivos, tais que 0 < an ≤ bn para todo n. 
Para aplicar o teste, comparamos:
I. se 
n
nb
�
�
1
�
 converge, então 
n
na
�
�
1
�
 converge;
II. se 
n
na
�
�
1
�
diverge, então 
n
nb
�
�
1
�
 diverge.
Nesse caso, saber que 
n
nb
�
�
1
�
 diverge ou que 
n
na
�
�
1
�
 converge não nos leva a ne-
nhuma conclusão e nos obriga a usar algum outro tipo de teste.
Por Guidorizzi (2019, p. 39), temos o critério de comparação de razões. O autor 
enuncia 2 : “sejam 
n
na
�
�
0
�
 e 
n
nb �
�
�
0
�
 duas séries de termos positivos. Suponhamos que 
exista um natural p tal que, para n ≥ p,
a
a
� �
b
b
n� �
n
n� �
n
� ��1 1
Nessas condições, tem-se:
a. Se 
n
nb
�
�
0
�
 é convergente, então 
n
na
�
�
0
�
 será convergente.
Com o vídeo Exemplo 
resolvido: série p, você acom-
panhará um exemplo de 
verificação de convergênciapara séries harmônicas, 
também chamadas de 
séries-p. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-series-new/bc-10-
5/v/p-series-convergence. Acesso em: 
30 set. 2021.
Vídeo
Guidorizzi (2019) utiliza a 
notação k, mas, para fins 
didáticos, usaremos a 
notação n.
2
Sequências e séries infinitas 23
b. Se 
n
na �
�
�
0
�
 é divergente, então 
n
nb
�
�
0
�
 será divergente”.
Já o teste da comparação no limite nos faz comparar o resultado entre duas sé-
ries, 
n
na
�
�
1
�
, 
n
nb
�
�
1
�
, de termos positivos, tais que 0 < an ≤ bn para todo n, de modo que 
analisaremos o limite do quociente entre an e bn. Assim:
I. se lim �n
n
n
a
b
� �L� �
�
� �
�
0 , então ambas as séries convergem ou ambas divergem;
II. se lim
n
n
n
a
b
� �
�
�
�
0 e se 
n
nb
�
�
1
�
 converge, então 
n
na
�
�
1
�
 converge;
III. se lim
n
n
n
a
b
� �
�
�
�
� e se 
n
nb
�
�
1
�
 diverge, então 
n
na
�
�
1
�
 diverge.
Note que os dois testes aplicados nessa seção deixam claro a aplicação em sé-
ries de termos positivos. Veremos a seguir um teste aplicado para séries alternadas.
1.3.5 Teste da série alternada
Temos uma série alternada quando os termos dessa série são, alternadamente, 
positivos e negativos.
A forma geral usada para uma série alternada é dada por:
S an n� � �� �1 (6)
em que os an são não negativos.
Uma série alternada, ou seja, formada por termos positivos e negativos sequen-
cialmente, será convergente se:
I. an+1 ≤ an, para todo n > N;
II. lim
n n
a � �
�
�
�
0 .
Caso essas duas condições não sejam satisfeitas, a série alternada é dita 
divergente.
Na obra Cálculo diferencial e integral, de Piskounov (1997), uma dos clássicos do 
cálculo moderno, o autor apresenta o teorema de Leibniz 3 , que enuncia:
Teorema 4 (teorema de Leibniz)
Se em uma série alternada 
a1 – a2 + a3 – a4 + … (an > 0) (7)
os termos vão decrescendo
a1 > a2 > a3 > a4 > … (8)
e se 
lim
n
na
�
�
�
0 (9)
a série (6) converge, a sua soma é positiva e não é superior ao primeiro termo.
Os vídeos que sugerimos a 
seguir apresentam exem-
plos resolvidos para o teste 
da comparação.
• Exemplo resolvido: teste 
da comparação direta. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-
-new/bc-10-6/v/compa-
rison-test-convergence. 
Acesso em: 30 set. 2021.
• Exemplo resolvido: teste 
da comparação no limite. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-
-new/bc-10-6/v/limit-com-
parison-test-example. 
Acesso em: 30 set. 2021.
Saiba mais
Para fins didáticos, a 
notação matemática de Pis-
kounov (1997) foi adaptada 
para esta obra.
3
Sugerimos a visualização 
geométrica da convergência 
de uma série alternada. 
Para isso, indicamos a 
leitura de duas obras que 
apresentam essa represen-
tação. A primeira é a obra 
Cálculo diferencial e integral, 
de Piskounov (1997, p. 282), 
décima primeira edição, 
volume 2. A outra é uma 
obra mais recente, com 
abordagem semelhante: 
Cálculo, de James Stewart 
(2016, p. 674), sexta edição. 
Ambas apresentam a 
demonstração algébrica 
e geométrica partindo 
das mesmas bases e 
chegando a figuras muito 
semelhantes.
Leitura
24 Cálculo Avançado
Com o levantamento dos testes estudados até o momento, podemos analisar a 
convergência de estruturas de diferentes séries, inclusive de séries compostas por 
termos não necessariamente exclusivamente positivos, como nas séries alternadas.
Veremos mais alguns critérios para avaliar a convergência de séries.
1.4 Séries absolutamente convergentes 
Vídeo
Temos uma série absolutamente convergente, escrita como
n
na
�
�
1
�
, se uma série 
de valores absolutos 
n
na
�
�
1
�
 é convergente.
Definir se uma série é absolutamente convergente possibilita analisar a con-
vergência simples de uma série numérica. O teorema a seguir apresenta esse 
resultado.
Teorema 5
Se 
n
na
�
�
1
�
 é absolutamente convergente, então a série é convergente. O contrário não pode 
ser afirmado.
Podemos resumir esse conceito por meio da definição a seguir:
Definição 3
Seja a série 
n
na
�
�
1
�
. Ela será:
• absolutamente convergente se 
n
na � �
�
� �
1
�
� ;
• condicionalmente convergente se 
n
na
�
�
1
�
 converge, mas 
n
na � �
�
� �
1
�
� .
É possível verificar se uma série é absolutamente convergente pelo teste da 
razão, que veremos a seguir.
1.4.1 Teste da razão (regra de d’Alembert)
Considere uma série dada por 
n
na
�
�
1
�
:
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1, então a série é absolutamente convergente;
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1 ou lim
a
a
� �
n
n� �
n�
� �
�
�1 , então a série é divergente;
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1, nada pode ser concluído.
O exemplo a seguir apresenta a análise da convergência de uma série baseada 
no teste da razão.
Verificar a existência de 
séries absolutamente 
convergentes.
Objetivo de aprendizagem
O vídeo Convergência 
absoluta e condicional 
trata do tema convergência 
absoluta e complementa a 
explicação. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/
bc-10-9/v/conditional-and-absolute-
convergence. Acesso em: 30 set. 2021.
Vídeo
(Continua)
Sequências e séries infinitas 25
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 10
Seja a série dada por 
1
2
2
3
3
4
� � � � � �� � � � Analise a convergência dessa série.
A primeira etapa para a verificação se essa série converge é escrever seu 
termo geral. 
Os elementos do numerador, nos termos dessa série, podem ser escritos 
por meio de uma sequência da forma n �
n� � �1
� . Já os elementos do denomina-
dor, nos termos dessa série, podem ser escritos por meio de uma sequência 
da forma n� �
n
�� � �1 1
� . Portanto:
1
2
2
3
3
4 1
� � � � � � � � n
n� �
� �� � � � �
�
� �
Assim:
1
2
2
3
3
4 1 1
1
� � � � � � � � n
n
� � � � n
n� �
n
� � � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Aplicando o teste da razão, teremos:
lim lim lim
n
n� �
n n n
a
a
� �
n� �
n� �
n
n� �
� �
n� �
n n�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �
� � �
1
21
2
1
1
�� �
� �
�� � �2 1
Portanto, nada podemos concluir por meio desse teste.
Porém, com esse resultado, podemos tentar usar o teste da divergência. 
Assim:
lim
n
n
n� �
� �
� �
�
� 1
1
Portanto, a série 
1
2
2
3
3
4 1
� � � � � � � � n
n� �
� �� � � � �
�
� � diverge.
No exemplo a seguir analisaremos a convergência de uma série aplicando o 
teste da razão.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 11
Seja a série infinita dada por 
n
nn �x 
�
�
1
�
· . Use o teste da razão e calcule o seu raio 
e o seu intervalo de convergência.
Considere uma série de termos positivos dada por 
n
na
�
�
1
�
. O teste da razão 
permite que analisemos a convergência, ou seja:
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1, então a série é absolutamente convergente;
No vídeo Teste da razão o 
professor Salman Khan 
apresenta o desenvol-
vimento desse critério, 
comentando cada uma 
das etapas. A sugestão 
desse vídeo complementa 
nossa abordagem. Caso 
tenha interesse em praticar 
usando a plataforma da 
Khan Academy, continue 
percorrendo o material 
sequencial ao vídeo. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-series-new/bc-10-
8/v/ratio-test-convergence. Acesso 
em: 30 set. 2021
Vídeo
(Continua)
26 Cálculo Avançado
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1 ou lim
a
a
� �
n
n� �
n�
� �
�
�1 , então a série é divergente;
 • se lim
a
a
� �L� �
n
n� �
n�
� � �
�
1 1, nada pode ser concluído.
Portanto, escrevendo an+1 = (n + 1)x
n+1, teremos:
lim
n� � x
nx
� �lim
n� � x x
nx
� �lim
n� 
n
n� �
n n
n
n n�
�
� �
�� �
�
�� �
�
�
� � �
1 11 · �� x
n
 1� � ·
 
Mas n� �
n
� �� �1 0 , portanto:
lim x �� n� �
nn�
��
�
�
�
�
�
�
· 1
Pelo teste da razão, temos:
L� �x n� �
n
� �x � �
n
�
�
� �
�
lim
�
1 1
Logo, o raio de convergência é r = 1 e o intervalo de convergênciaserá –1 < x < 1.
Com o teste da razão, temos mais uma ferramenta de verificação e análise para 
as séries numéricas.
1.5 Critérios de Cauchy e de Dirichlet 
Vídeo Os critérios de Cauchy e de Dirichlet são mais duas opções que podem ser apli-
cadas às séries para análise da convergência.
O critério de Cauchy, também chamado de regra de Cauchy, ou mais popular-
mente de teste da raiz, carrega esse nome pela possibilidade de aplicação de uma 
raiz enésima ao termo geral da sequência que define a série desejada.
Já o critério de Dirichlet analisa casos em que o termo geral apresenta uma mul-
tiplicação da forma an · bn com n = 0, 1, 2, …
Veremos esses dois critérios na sequência.
1.5.1 Teste da raiz (regra de Cauchy)
Considere uma série dada por 
n
na
�
�
1
�
:
 • se lim a � �L� �n n
n
�
� �
�
1, então a série é absolutamente convergente;
 • se lim a � �L� �
n n
n
�
� �
�
1 ou lim
a
a
� �
n
n� �
n�
� �
�
�1 , então a série é divergente;
 • se lim a � �L� �
n n
n
�
� �
�
1 , nada pode ser concluído.
Vamos analisar um exemplo que usa o critério de Cauchy.
Compreender os critérios 
de Cauchy e Dirichlet para 
série.
Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries infinitas 27
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 12
Seja a série dada por 
1
3
2
5
3
7
2 3
� � � � ���
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � ��
A primeira etapa para a verificação se essa série converge é escrever seu 
termo geral. 
Assim, observando que os elementos do numerador, em cada um dos ter-
mos da série, formam uma progressão aritmética de razão 1 e o primeiro 
termo é igual a 1; que os elementos no denominador formam uma progres-
são aritmética de razão igual a 2 e primeiro termo é igual a 3; ainda, que os 
expoentes dessas frações formam uma progressão igual à usada no nume-
rador, podemos escrever:
1
3
2
5
3
7 2 1
2 2
� � � � � � � � n
n� �
� �
n
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
� � �
Portanto:
n
nn
n� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
2 1
�
Desse modo, aplicando o teste da raiz, teremos:
lim �lim
n
n
n
n
n
n� �
� n
n� �
� � � �
� ��
�
�
�
�
�
� � �
� �
� �2 1 2 1
1
2
1
Logo, a série 1
3
2
5
3
7 2 1
2 2
� � � � � � � � n
n� �
� �
n
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
� � � converge.
Na sequência discorreremos sobre outro critério, chamado critério de Dirichlet, 
e apresentaremos um quadro resumo de estratégias para auxiliar na escolha do 
critério mais adequado para cada caso.
1.5.2 Critério de Dirichlet
Seja uma série da forma 
n
�
n na b
�
�
�
0
�
, em que {an} é uma sequência de termos de-
crescente, de modo que podemos escrever lim
n n
a
�
�
��
0 .
Suponha que exista um valor B > 0, tal que:
n
N
nb B
�
� �
0
Com todas essas condições satisfeitas, a série 
n
n na b
�
�
�
0
�
 é dita série convergente.
Nesse contexto podemos avaliar algumas séries alternadas. Percebe-se com 
isso e com outros exemplos apresentados ao longo do capítulo que não existe uma 
28 Cálculo Avançado
única forma, ou seja, um único critério (teste) para analisar a convergência de uma 
série. A prática e avaliação das informações dadas no problema permitirão que o 
teste mais adequado seja aplicado em cada caso.
1.5.3 Quadro resumo de estratégias
O quadro a seguir apresenta uma ideia (estratégias) de quais testes podem 
ser inicialmente aplicados quando desejamos analisar se uma série converge ou 
diverge.
Quadro 1
Estratégias de aplicação de testes de convergência
Tipo de série Convergência
1 Se 
n
pn�
�
1
1�
(série-p). Converge para p > 1 e diverge para p ≤ 1.
2 Se 
n
n
na q
�
�
1
�
 (série geométrica). Converge para |q| < 1 e diverge para |q| ≥ 1.
3
Qualquer série similar a uma série-p ou a 
uma série geométrica pode ser inicialmen-
te testada pelo teste da comparação.
Teste da comparação e convergência absolu-
ta.
4 Se limn n
a � �
�
�
�
0 . Teste da divergência.
5 Se 
n
n
na �
�
�
� �� �
1
11
�
 ou 
n
n
na
�
� �� �
0
1
�
. Teste da série alternada.
6
Se a série tem números fatoriais ou outros 
produtos, em geral, são testados usando o 
teste da razão.
Teste da razão.
7 Se o termo geral an pode ser escrito como (bn)n.
Teste da raiz.
8 Se an = f(n), com 
1
�
� � �f x dx calculável de 
maneira simples.
Teste da integral.
Fonte: Elaborado pela autora.
Essas são estratégias observadas em diferentes obras e referências bibliográ-
ficas e que podem ser adaptadas e até melhoradas em condições específicas de 
cada problema.
O melhor teste é aquele 
que se enquadra nos 
quesitos informados pelo 
problema e que sabemos 
usar com precisão e firme-
za a respeito do conceito 
envolvido.
Atenção
Sequências e séries infinitas 29
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Concluímos o capítulo sobre sequências e séries numéricas infinitas e percebemos 
uma grande relação entre conceitos como sequências, séries e funções, assim como 
a possibilidade de utilização de ferramentas já conhecidas como limites e integrais.
Construir essas relações permite que a visão geral que temos da matemática seja 
ampliada e que podemos relacionar, inclusive, subáreas como cálculo, análise, geome-
tria, entre outras.
Na verdade, todas essas subáreas expressam a mesma coisa, mas são descritas 
com notações e abordagens próprias da sua formulação. Relacionar esses conceitos 
nos ajuda na compreensão da matemática como um todo.
ATIVIDADES
Atividade 1
Utilizando a definição, mostre que a sequência numérica a � �n n� � �0
� , com a � �
1
nn
= , tem 
limite L = 0.
Atividade 2
Considerando os testes para séries numéricas, avalie a seguinte afirmação e justifique:
n
1
n n�+�1
�
� � �1
�
 é uma série convergente e converge para 1, porque podemos escrever:
n
n n n n
b � �b b b
�
� �� �� � � �
1
1 0
�
�
lim
Atividade 3
A série 
n
1
n
=1�+�1
2
�+�1
3
�+�...
�
�
�
1
�
 é chamada de série harmônica. Aplique o teste da 
divergência e discorra sobre o resultado encontrado a respeito da convergência ou 
divergência dessa série.
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019. (v. 4).
PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Porto: Livraria Lopes da Silva-Editora, 1997. (v. 2). Disponível 
em: https://docs.ufpr.br/~jcvb/online/Calculo%20Diferencial%20e%20Integral%20Vol%202%20-%20
N.%20Piskounov.pdf. Acesso em: 30 set. 2021.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1-2.
30 Cálculo Avançado
2
Sequências e séries 
de funções 
Alguns problemas da matemática aplicada, como os que podem ser modelados 
por meio de equações diferenciais, muitas vezes não podem ser resolvidos por técni-
cas de integração ou diferenciação aplicadas de maneira direta.
Nessas situações, uma técnica aplicável é a releitura da função que compõe o 
problema; em alguns casos, é necessário reescrever essas funções por intermédio 
de sequências ou séries de funções. Com essa transformação, a solução passa a ser 
aproximada, com erro tão pequeno quanto possível, sendo analisado por meio de 
limites tendendo a zero.
A teoria por trás das sequências e séries de funções se assemelha à teoria para es-
sas mesmas sequências e séries quando tratadas de maneira numérica. Desse modo, 
neste capítulo vamos comparar essas duas classes, com o intuito de identificar as par-
ticularidades das funções escritas por meio de sequências e séries.
2.1 Sequências de funções
Vídeo
Uma sequência numérica é identificada por intermédio de um termo geral, de 
modo que, conhecendo an n� � �0
� , podemos analisar características da sequência nu-
mérica, inclusive sua convergência.
De modo similar, uma sequência de funções é uma sequência de termos, po-
rém, nesse caso, os termos serão funções. Assim, considerando uma sequência de 
funções de uma variável real a valores reais, teremos a seguinte definição:
Definição 1
Seja f uma função, tal que f: ℝ → ℝ. Então, uma sequência de funções será uma sequência n ↦ f
n
, tal que 
cada f
n
 é uma função.
De acordo com Guidorizzi (2019, p.85), “seja fn uma sequência de funções de-
finida em A. Para cada x ∈ A, podemos considerar a sequência numérica de termo 
geral fn(x)”.
Note que a ideia principal dessa abordagem é obter uma sequência de funções 
f1, f2, ..., fn, ..., em que cada uma dessas funções é verificada para condições aplica-
das de maneira aproximada, mas com aproximações cada vez melhores.
Interpretar o conceito de 
sequência na visão das 
funções.
Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries de funções 31
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
Pela definição apresentada anteriormente, podemos expor alguns termos 
gerais para sequências de funções, como o termo fn(x) = nx representado na 
figura a seguir.
Figura 1
Diferentes valores de n em fn(x) = nx
Fonte: Elaborada pela autora.
Outro exemplo de termo geral é f x n
n� �x
�nn � � �
�
�
2
1, , o qual está represen-
tado na figura a seguir.
Figura 2
Diferentes valores de n em f x n
n� �x
�nn � � �
�
�2 1,
f x
x4 2
4
4
� � �
�
f x
x3 2
3
3
� � �
�
f x
x2 2
2
2
� � �
�
f x n
n x
�nn � � � � �² , 1
Fonte: Elaborada pela autora.
32 Cálculo Avançado
Cada x0 fixo definirá uma sequência numérica da forma fn(x0). Assim, procura-se 
um valor real, calculado por meio do limite dessas funções, caso o limite exista.
Esse valor real pode, então, ser considerado um valor de convergência para a se-
quência de funções ou mesmo um valor que permite concluir se a convergência existe.
Definiremos a seguir alguns conceitos importantes para o entendimento da 
convergência de funções. Apresentaremos as notações usadas e, ao longo do texto, 
remeteremos a essas nomenclaturas.
Na análise matemática, ficam evidentes as diferenças entre alguns conceitos, 
apesar de serem aparentemente similares. Como não é escopo desta obra, apenas 
apresentaremos as definições. 
Seja P um conjunto parcialmente ordenado pela relação “menor ou igual a” (≤) e 
S um subconjunto de P. Então:
I. o limite superior de S, também chamado de cota superior ou majorante será 
um elemento M ∈ P, se x ≤ M para todo x pertencente a S;
II. o limite inferior de S, também denominado cota inferior ou minorante, será 
um elemento m ∈ P, se x ≥ m para todo x pertencente a S;
III. um supremo de S quando existe s ∈ P que é o menor dos majorantes. A 
notação nesse caso será sup supS � x
x S
�
�
;
IV. o ínfimo de S será um elemento i ∈ P, tal que i precisa ser o maior dos 
minorantes; a notação nesse caso será inf infS � x
x S
�
�
;
V. um majorante M ∈ P será um máximo de S, se M pertence a S. Nesse caso, 
denotamos por max maxS x
x S
�
�
;
VI. um minorante m ∈ P será um mínimo de S desde que m pertença a S. Nesse 
caso, denotamos por min minS x
x S
�
�
;
VII. conjuntos que têm majorante são ditos limitados superiormente. Conjuntos 
que têm minorante são limitados inferiormente.
Com todos esses conceitos definidos, analisaremos a seguir alguns casos de 
convergência para sequências de funções.
2.2 Convergência simples e uniforme
De acordo com Lima (2019, p. 287), “ao contrário das sequências de números 
reais, para as quais existe uma única noção de limite, há várias maneiras diferentes 
de definir a convergência de uma sequência de funções”. Uma dessas maneiras é 
chamada de convergência simples.
Para definir esse conceito, consideramos a existência de uma correspondência 
que associa n ∈ N a uma função fn, definida em B, tal que fn: B → ℝ, em que fn é uma 
sequência de funções.
Assim, fn: B → ℝ converge simplesmente para f: B → ℝ se, para cada x ∈ B, a se-
quência de números (f1(x), …, fn(x), …) converge para f(x).
Vídeo
Analisar a convergência de 
sequências de funções.
Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries de funções 33
Conforme Guidorizzi (2019, p. 85), “seja B o conjunto de todos os x, x ∈ A, para os 
quais a sequência numérica fn(x) converge. Podemos, então, considerar a função f: 
B → ℝ dada por f x f x
n n
� � � � �
��
lim
�
. Diremos, então, que fn converge a f em B”.
Observe no exemplo a seguir a aplicação dessas definições.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
Seja a sequência de funções dada por f x x
nn
� � � , com x ∈ ℝ, n = 1, 2, ..., verifi-
que se essa sequência tem convergência simples.
Temos f x
x
nn
� � � , com x ∈ ℝ, n = 1, 2, ..., portanto lim lim
n n n
f x x
n�� �
� � � �
� �
0 .
Observe esse resultado na figura a seguir.
Figura 3
Convergência de f x x
nn
� � � , com x ∈ ℝ, n = 1, 2, ...
f x x
n
�n�n � � � �, 1
Fonte: Elaborada pela autora.
Logo, a sequência de funções apresentada é simplesmente convergente. 
Note que, para cada x ∈ ℝ, a sequência f x x
nn
� � � converge para zero.
Podemos observar que, enquanto o gráfico de fn(x) = nx para x fixo não converge 
quando n cresce, o gráfico de f x x
nn
� � � para x fixo converge simplesmente quando 
n cresce.
A convergência simples também pode ser chamada de convergência pontual ou, 
ainda, convergência ponto a ponto. Vejamos mais um exemplo.
34 Cálculo Avançado
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Seja a sequência de funções dada por fn(x) = x
n. Analise se existe convergên-
cia pontual nos intervalos a seguir.
a. x ∈ (–1, 1)
b. x = 1
c. x = –1
d. |x| > 1
ℝesolvendo os itens:
a. Assumindo fn(x) = xn com x ∈ (–1, 1), temos:
lim
n
nx
��
�
�
0
Portanto, nesse intervalo, a sequência converge pontualmente.
b. Assumindo fn(x) = xn com x = 1, temos:
lim
n
n
��
�
�
1 1
Assim, nesse intervalo, a sequência converge pontualmente.
c. Assumindo fn(x) = xn com x = –1, temos:
lim
n
n
��
�� �
�
1
Logo, nesse intervalo, a sequência não converge.
d. Assumindo fn(x) = xn com |x| > 1, temos que fn(x) não é limitada, portanto 
a sequência de funções nesse intervalo não converge.
Com isso, podemos concluir que existe convergência pontual no intervalo 
(–1, 1], visto que:
f x� � � �
� � �
�
�
�
��
1 1
0 1 1
,� �
,�
sex
se x
Observe a Figura 4 – ela representa o gráfico das funções fn = x
n para o intervalo 
[0, 1).
Sequências e séries de funções 35
Figura 4
Gráfico das funções fn = x
n
Fonte: Elaborada pela autora.
Lima (2019, p. 289) destaca esse gráfico e completa “qualquer reta vertical levan-
tada de um ponto x ∈ [0, 1) corta esses gráficos numa sequência de pontos cujas 
ordenadas convergem monotonicamente para zero. No ponto x = 1, temos fn(1) 
para todo n”.
Para entender essa citação, definimos o que é convergência monotônica. Des-
sa forma, afirmamos que uma sequência de funções fn: B → ℝ tem convergência 
monotônica, ou seja, converge monotonicamente para a função f: B → ℝ, quando, 
para cada x ∈ B, a sequência f xn n� �� � � é monótona e converge para f(x).
De maneira formal, podemos definir a convergência simples ou pontual, como 
a seguir.
Definição 2
Seja B ⊂ ℝ um intervalo conhecido. Assumindo uma sequência de funções nesse intervalo, da 
forma fn: B → ℝ, tal que f: B → ℝ, afirmamos que fn converge pontualmente (simplesmente) e 
denotamos fn → f se, para todo x ∈ B fixado e ε > 0, existe N ∈ N, tal que:
 |fn(x) – f(x)|< ε para todo n > N
Para saber mais sobre 
a convergência simples 
ou pontual, sugerimos o 
material de aula Sequên-
cias e séries de funções, do 
professor Carlos Pellicer, 
docente na Universidade 
Federal do Rio Grande do 
Norte (UFRN). Nele, o pro-
fessor apresenta teoria e 
exemplos resolvidos sobre 
o tema desta seção.
Disponível em: https://pessoal.ect.
ufrn.br/~carlos.pellicer/ED/c3-
series-de-funcoes.pdf. Acesso em: 3 
nov. 2021.
Saiba mais
36 Cálculo Avançado
Note que o valor de N definido pode não ser o mesmo para diferentes valores 
de x.
Uma consequência dessa definição é: seja fn n� � �1
� definida em B, afirmamos que 
fn n� � �1
� converge simplesmente em B se, e somente se, lim
x n
f x f x
�
� � � � �
�
. Dessa ma-
neira, N ∈ N depende do ε e da escolha de x, tal que podemos escrever N = N(ε, x).
A convergência uniforme é mais “exigente” do que a convergência pontual, pois, 
mediante ela, conseguimos demonstrar se uma sequência de funçõesconverge 
para um único valor para x ∈ B fixado para todo N.
Definimos a convergência uniforme da seguinte maneira:
Definição 3
Seja B ⊂ ℝ um intervalo conhecido. Assumindo uma sequência de funções nesse intervalo, da for-
ma fn: B → ℝ, tal que f: B → ℝ, afirmamos que fn converge uniformemente e denotamos por fn ⇉ f
1 , 
se, para todo ε > 0, existe N ∈ N, tal que, para todo x ∈ B fixado e para todo n > N, temos:
|fn(x) – f(x)| < ε
Adotaremos a notação “→” 
para a convergência abso-
luta; e a notação “⇉” para a 
convergência uniforme.
1
Note que a exigência está justamente na questão de que dependemos apenas 
de ε > 0, sendo que a convergência deve ocorrer para qualquer x, tal que N = N(ε).
Em outras palavras, os gráficos de todas as fn estarão próximos ao gráfico de f, 
com distância inferior a ε, com ε um número real positivo.
Figura 5
ℝegião de avaliação da convergência
ε
ε
ε
ε
Fonte: Elaborada pela autora.
Considere a função f x
x
nn
� � � , vista no Exemplo 2. Essa sequência tem conver-
gência pontual e lim lim
n n n
f x x
n�� �
� � � �
� �
0 .
A convergência de alguns métodos numéricos pode ser avaliada de acordo com 
a convergência de sequências de funções.
Observe o exemplo a seguir, que apresenta um resultado para o método de 
Newton para encontrar raízes de funções.
Sequências e séries de funções 37
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Seja o método de Newton aplicado para encontrar a raiz quadrada de um 
número positivo a. Esse método depende de uma condição de inicialização, 
tal que esse valor é denominado condição inicial. Adotaremos x0 > 0 como 
condição inicial.
Após essa etapa, devemos aplicar uma relação recursiva (função) escrita como:
x x a
xn n n
� � �
�
�
��
�
�
��1
1
2 .
Note que, assumindo a = 2 e x0 = 3, temos:
x
x
x
0
1
2
3
1
2
3 2
3
1 833
1
2
1 833 2
1 8333
1 4621
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � �
,
,
,
,
xx
x
3
7
1
2
1 4621 2
1 4621
1 4149
1 414243
� �
�
�
�
�
�
� � �
� �
,
,
,
,

Portanto, podemos escrever que x an → , à medida que n → ∞.
Esse processo que descrevemos nada mais é do que uma convergência unifor-
me para uma sequência de funções.
Podemos analisar a convergência uniforme de uma sequência de funções em 
relação ao supremo da diferença entre fn e f. Definimos essa relação da seguinte 
maneira:
Definição 4
Seja a sequência de funções fn: B → ℝ e a função f: B → ℝ. Afirmamos que fn ⇉ f, se e somente se:
d f x f xn
x B
n� � � � � � �
�
sup 0
A seguir, aplicaremos essa definição para a sequência fn: (0, 1] → ℝ, tal que fn(x) 
= nxe–nx. Essa sequência converge pontualmente, pois:
lim lim
n n n nx
f x nx
e� �
� � � �
� �
0
Esse resultado pode ser observado na Figura 6.
38 Cálculo Avançado
Figura 6
Gráfico de f x
nx
e
n nx� � �
Fonte: Elaborada pela autora.
Para analisar a convergência uniforme, veremos também a derivada de fn(x), 
pois precisamos entender onde estão os pontos críticos dessa sequência de fun-
ções. Portanto:
f x ne nxne
e
n nx
en
'
nx nx
nx nx� � �
�
�
�� �
2
1
Com isso, analisando os pontos críticos para f xn
' � � � 0 , encontramos x
n
=
1
. 
Logo, para x
n
>
1
, temos f xn
' � � � 0 ; e para x
n
<
1 , temos f xn
' � � � 0 .
Essa análise permite concluir que a sequência de funções tem ponto de máximo 
em x
n
=
1
. Agora, podemos aplicar a Definição 4. Logo:
d nxe nx
e
nx
en
nx
x nx nx x� �
n
� � � � �
� ��
�
�� �� �
sup max
, ,0 1 0 1 1
0 1
6
Em outras palavras, não converge para zero. A figura a seguir apresenta a se-
quência no intervalo x ∈ (0, 1].
Figura 7
Sequência de funções no intervalo 
x ∈ (0, 1]
f x nx
e
�n�n nx� � � �, 1
Fonte: Elaborada pela autora.
Sequências e séries de funções 39
Dessa forma, a sequência fn(x) = nxe
–nx não é uniformemente convergente.
A seguir, vamos abordar algumas propriedades da convergência uniforme.
2.3 Propriedades da convergência uniforme
Vídeo
Entender as propriedades da convergência uniforme para uma sequência de 
funções auxilia no processo de análise da sequência e validação das aplicações 
possíveis com ela.
Assim, vamos estudar algumas das propriedades que interferem diretamente 
nesses resultados.
Apresentamos como primeira propriedade o conceito de uma sequência de 
Cauchy, pois esse tipo de sequência de funções sempre será uniformemente con-
vergente. Portanto:
Definição 5
Uma sequência de funções fn: B → ℝ é uma sequência de Cauchy se ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, tal que, para 
qualquer x ∈ B, se tenha m > N e n > N, que implica |fn(x) – fm(x)| < ε.
Essa definição nos leva ao seguinte teorema:
Teorema 1
Temos uma sequência de Cauchy fn: B → ℝ se, e somente se, fn for uniformemente convergente.
O Teorema 1 é usado como critério de análise para a verificação da convergên-
cia uniforme. Por esse motivo, é comum encontrarmos na bibliografia esse teore-
ma nomeado de critério de Cauchy para convergência uniforme.
A continuidade das funções também pode ser avaliada para se caracterizar a 
convergência. Essa situação está definida no teorema a seguir.
Teorema 2
Se uma sequência de funções fn: B → ℝ converge uniformemente para f: B → ℝ, ou seja, fn ⇉ 
f e cada fn é contínua em um ponto a ∈ B, então f é contínua em a.
Para Lima (2019), esse teorema é óbvio para um a isolado de B. Contudo, se a 
for um ponto de acumulação em B, temos:
lim lim lim lim lim
x �a x �a x n x x �a n
f x f x f x
� � � � �
� � � � ��
��
�
��
� � ��
��� �
��
��
� � � � � �
�
lim
x n
f a f a
�
ℝelembramos aqui o exemplo dado com a sequência de funções fn(x) = x
n, que 
converge pontualmente para uma função descontínua. Também vimos a sequência 
de funções f x x
nn
� � � , que converge pontualmente para zero, mas não tem conver-
gência uniforme.
Compreender as proprie-
dades da convergência 
uniforme.
Objetivo de aprendizagem
40 Cálculo Avançado
Ávila (2006, p. 222) explica que “se o limite de uma sequência de funções contí-
nuas num domínio B não é uma função contínua nesse domínio, então a conver-
gência certamente não é uniforme”.
Mais uma consequência da convergência uniforme está apresentada no teore-
ma a seguir.
Teorema 3
Seja a um ponto de acumulação de B. Se fn ⇉ f e, para cada n ∈ N, � � �
L (x)fn
x a
nlim , então:
� �
��
L L
n
nlim e L f x
x a
� � �
�
lim .
Podemos fazer uma releitura desse teorema do seguinte modo: temos que 
lim lim lim lim
x x a n x a x n
f x f x
� � � �
� ��
��
�
��
� ��
��
�
��
�
� �
I II
� �� �� � ���� ���
 se os limites em I e II existirem e II for uniforme.
De maneira resumida, podemos afirmar que a convergência uniforme preserva 
a continuidade, e os teoremas apresentados nesta seção embasam essa teoria.
Na sequência, trataremos de outros dois conceitos muito presentes no cálcu-
lo, a derivabilidade e a integrabilidade de uma função. Queremos entender como 
essas “ferramentas” são aplicadas às sequências de funções e quais resultados con-
seguimos extrair desse uso.
2.4 Derivabilidade e integrabilidade
Vídeo
De acordo com Guidorizzi (2019), analisar a derivabilidade e a integrabilidade 
das sequências de funções é pensar a permutação entre os símbolos d
dx
 com lim
n
�
��
, 
e 
a
b
�∫ com lim
n
�
��
, respectivamente.
Essa permutação pode ser vista como uma propriedade da convergência de 
uma sequência de funções e serve para auxiliar essa análise. Assim, vamos enun-
ciar e explicar alguns teoremas e mostrar exemplos que representam essa teoria.
O primeiro teorema que trataremos é a derivabilidade.
Teorema 4
Seja fn: I → ℝ uma sequência de funções deriváveis de classe C1
2 , com I um intervalo [a, b]. 
Suponha que:
I. existe x0 ∈ I, tal que a sequência numérica {fn(x0)}n é convergente;
II. fn’ ⇉ g.
Então, fn converge uniformemente para uma função f que é derivável, com f’ = g.
Se fn: I → R é uma função 
real, então fn é de classe 
C¹ em I, se f’(x) existe para 
todo x ϵ I, e se f e f’ são 
contínuas em I.
2
Compreender a derivabili-
dade e a integrabilidade de 
sequências de funções.Objetivo de aprendizagem
Sequências e séries de funções 41
De maneira simplificada, precisamos verificar se as fn são deriváveis, se fn ⇉ f e 
se fn’ ⇉ g. Se essas três condições ocorrem, afirmamos que f é derivável e f’ = g.
Não é escopo desta obra demonstrar os teoremas, porém a demonstração do 
Teorema 4 auxilia no entendimento de seu uso como ferramenta de análise para 
verificar a convergência de sequências de funções.
O mesmo ocorre com o teorema da integrabilidade, que discutiremos mais à 
frente. Portanto, esses dois teoremas serão demonstrados.
Teorema 4: demonstração
Seja x0 pertencente a um intervalo I, sendo x0 fixo. Temos:
x
x
n
x
x
ng t dt f t dt
0 0
� �� � � � ��lim ´�
Para x ∈ I, pois temos, por hipótese, que fn’ ⇉ g no intervalo (x0, x).
Pelo teorema fundamental do cálculo (TFC) para integrais, escrevemos:
x
x
n n nf t dt f x f x
0
0� � � � � � � � �´
Portanto:
x
x
n
n ng t dt f x f x f x f x
0
0 0� � � � � � � � ��� �� � � � � � ��lim�
Desse modo, isolando f(x), obtemos:
f x f x g t dt �x I
x
x
� � � � � � � � ��0
0
,
Sabendo que g é contínua em I, novamente pelo TFC, escrevemos:
f’(x) = g(x), x ∈ I
■
Note que, ao contrário da continuidade, a diferenciabilidade de uma sequência 
de funções nem sempre é preservada. Com isso, podemos ter uma sequência de 
funções deriváveis que convergem uniformemente para uma função contínua, sen-
do que essa função não é diferenciável em nenhum ponto.
Esse tipo de situação é denominado patologia matemática e ocorre quando aqui-
lo que é esperado não acontece. As patologias matemáticas são ótimas opções 
quando precisamos de contraexemplos e para mostrar porque é tão necessário 
que as afirmações matemáticas sejam muito detalhadas.
Para relembrar o que defi-
ne o teorema fundamental 
do cálculo para integrais, 
sugerimos o material de 
aula do professor Marcos 
Valle, docente da Universi-
dade Estadual de Campinas 
(Unicamp).
Disponível em: https://www.ime.
unicamp.br/~valle/Teaching/MA111/
Aula19.pdf. Acesso em: 4 nov. 2021.
Saiba mais
42 Cálculo Avançado
Alguns exemplos de patologias matemáticas são:
 • a função de Dirichlet, que não é contínua em lugar nenhum;
 • o conjunto de Cantor, reconhecido por ser um subconjunto de [0, 1], com 
medida zero, que é incontável;
 • a função de Weierstrass, que é uma função contínua em todos os pontos, 
mas não é diferenciável em nenhum ponto.
Vejamos um exemplo de sequência de funções que converge uniformemente, 
mas as sequências de suas derivadas não.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Seja a sequência de funções fn: [0, 1] → ℝ dada por f x
sen nx
nn
� � � . Essa é uma 
sequência uniformemente convergente, com convergência para zero.
Observe a Figura 8: ela representa esse resultado. Note a queda da função e 
a aproximação de zero quando aumentamos o valor de n.
Figura 8
Sequência �f x sen nx
nn
� � � convergente uniformemente para zero
f x Se � x� �
sen x
70 0 1
70
70
� � � � � � �
�
�
��
�
�
��,
Fonte: Elaborada pela autora.
No entanto, a sequência de funções derivadas f’n(x) = cos nx não é, sequer, sim-
plesmente convergente.
Sequências e séries de funções 43
É fácil percebermos esse resultado analisando o gráfico com as sequências de 
derivadas.
Figura 9
Sequência de derivadas de {fn}
f' x Se� � x� x70 0 1 70� � � � � � �� �,cos
Fonte: Elaborada pela autora.
Desse modo, a sequência de funções fn’(x) não converge para zero. Nesse caso, 
a sequência de funções fn’(x) = cos nx assume os valores 1 e –1 infinitas vezes, de 
modo crescente em relação à n ∈ N.
Além da derivabilidade para análise da convergência, há o conceito de integra-
bilidade, enunciado a seguir.
Teorema 5
Se a sequência de funções integráveis fn: [a, b] → ℝ converge uniformemente para f: [a, b] → 
ℝ, então f é integrável e:
a
b
n
a
b
nf x dx f x dx� �� � � � ��lim�
Assim, se a convergência é uniforme, temos 
a
b
n
n
n
a
b
nf f� ��lim lim . 3
Demonstração
Temos que demonstrar que dado ε > 0, ∃ N, de modo que:
n N f x dx f x dx
a
b
n
a
b
� � � � � � � �� � �
Resultado válido tanto 
para a integral de Riemann 
quanto para a integral de 
Lebesgue.
3
(Continua)
44 Cálculo Avançado
Usando a hipótese e o Teorema 2, temos que f é contínua em I. Portanto, é integrável em [a, b].
Logo:
a
b
n
a
b
a
b
nf x dx f x dx f x f x dx� � �� � � � � � � � � � �
Como fn ⇉ f em [a, b], dado ε > 0, ∃ N ∈ N, tal que, para todo x ∈ [a, b]:
n N f x f x
b an
� � � � � � � �
�
�
■
Assim como na diferenciabilidade, a convergência nem sempre é preservada na 
integrabilidade. Nesses casos, temos 
a
b
n
a
b
nf x dx f x dx� �� � � � ��lim� . Em geral, isso ocorre 
na análise de convergências pontuais.
Observe o exemplo a seguir, que representa essa situação.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Seja a sequência de funções dada por fn(x) = nx
n · (1 – xn), com n ∈ N e fn defi-
nida para I = [0, 1] e, portanto, fn: [0, 1] → ℝ. Nesse caso, fn(1) = 0 e 0 ≤ fn (x) < 
nxn , com x ∈ [0, 1).
Para x ∈ [0,1), temos:
lim
n
nnx
�
�
�
0
Logo, {fn} converge pontualmente em [0, 1] para a função identicamente 
nula. Contudo, ao calcularmos 
0
1
� � �f x dxn , obtemos:
0
1 2
1 2 1� � � � �� � �� �f x dx
n
n nn
Assim:
lim
n
n
n n� �� � �� � ��
2
1 2 1
1
2
Entretanto:
0
1
0� �� � �limn nf dx�
Logo:
a
b
n
a
b
n f x dx f x dx� �� � � � ��lim�
Para saber um pouco mais 
sobre as propriedades das 
sequências de funções que 
englobam a continuidade, 
a derivabilidade e a integra-
bilidade, sugerimos o vídeo 
Limite de Sequências de Fun-
ções, publicado pelo canal 
do Mestrado Profissional 
em Matemática em Rede 
Nacional (Profmat). Nele, a 
professora Liana Mendes 
Feitosa Soares apresenta a 
teoria e resolve exemplos 
sobre o tema. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=wUkupKOhI7M. Acesso 
em: 4 nov. 2021.
Vídeo
Sequências e séries de funções 45
Com isso, concluímos a ideia de derivabilidade e integrabilidade para sequên-
cias de funções e podemos começar a discutir as séries de funções, que assim 
como as séries numéricas, serão compreendidas como um somatório de termos 
da sequência.
Todos os conceitos vistos até aqui serão aplicados nas séries de funções. A ideia 
principal da próxima seção é compreendermos o princípio de formação para esse 
tipo de série.
2.5 Séries de funções
Vídeo
As séries de funções são construídas de maneira similar às séries numéricas e, 
assim como nas séries numéricas, podemos avaliar a convergência dessa soma.
Portanto, afirmamos que uma série de funções é uma série em que o termo 
geral é uma função. Formalmente, temos:
Definição 6
Seja {fn} uma sequência de funções, em que fn: B → ℝ. Definimos, para cada x ∈ B, uma sequência 
numérica das somas parciais {Sn(x)}n dada por:
S x f x f x � � f x f xn n
k
n
k� � � � � � � � � � � � � � �
�
�1 2
1
...
Para todo x ∈ B.
De acordo com Piskounov (1997), para diferentes valores de x fixados, temos 
diferentes séries numéricas, que podem convergir ou não. As séries de funções são 
amplamente usadas nos métodos para solução de equações diferenciais. Exem-
plos importantes de séries de funções que aparecem nessa área: série de Taylor, 
série de Maclaurin, série de Fourier, entre outras.
Nesta seção, discutiremos a convergência das séries de funções de maneira 
geral.
Entender o comportamento das séries de funções em relação à convergência, 
permite-nos a manipulação delas em diversas áreas da matemática.
Assim, seja uma série geométrica, dada por Σfn com fn(x) = x
n. Com isso, temos:
S x x x x x
n
n n� � � � � ��� ��
�
�
0
2 31
�
Sabemos que essa série converge quando x ∈ (–1, 1), ou seja, para todo x, tal que 
|x| < 1. Nesse intervalo de x, a série de funções �
�� 0n nx é convergente e converge 
para 1
1� x−
, portanto podemos escrever:
S1(x) = 1
S2(x) = 1 + x
S3(x) = 1 + x + x
2
Interpretar o conceito de 
séries na visão das funções.
Objetivo de aprendizagem
Ficou curioso para saber 
quais sãoas séries de 
Fourier tão presentes nas 
equações diferenciais? Para 
ter um primeiro contato 
com esse tema, sugerimos 
o material Séries de Fourier, 
da autora Maria Cristina 
Varriale, disponível no 
GeoGebra on-line.
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/affcnem4. Acesso 
em: 4 nov. 2021.
Saiba mais
46 Cálculo Avançado
⋮
Sn(x) = 1 + x + x
2 + x3 + ... +xn
Todavia, como a série é convergente para |x| < 1, temos:
S x
x
� �x� �x � �x � � � �x � �n� � �
�
� � � � � � �
1
1
1 2 3 ... ...
Com essa notação, definimos Sn(x) como a soma dos n primeiros termos de uma 
série, então:
S f x f x � �f x � � � �f x � �n
n
n n� � � � � � � � � � � � � �
�
�
1
1 2
�
... ... (1)
Se a série em (1) for convergente, com S(x) sendo o resultado da soma dos infi-
nitos termos dessa série, então:
S(x) = Sn(x) + rn(x)
O termo rn(x) é o resto da série �
�� 0n nf x( ) , de modo que podemos escrevê-lo 
como:
rn(x) = fn+1(x) + fn+2(x) + ...
Quando a série em (1) for convergente para todo x, teremos lim
n n
S x S x
�
� � � � �
�
, 
logo:
lim lim
n n n n
r x S x S x
� �
� � � � � � � ��� �� �� � 0
Portanto, o resto de uma série convergente converge para zero.
No contexto de convergência para somas parciais, podemos ter convergên-
cias em intervalos definidos, também chamada de convergência simples, como no 
exemplo sobre a série geométrica, mas também podemos mencionar convergência 
uniforme.
Definimos esses dois tipos de convergência a seguir.
Definição 7
Uma série de funções Σfn tem convergência simples se a sequência de somas parciais, definida 
como Sn, converge simplesmente. Assim, temos convergência simples se, para todo x ∈ B, a série 
Σfn(x)
 converge.
Já a convergência uniforme para séries de funções tem a seguinte definição:
Definição 8
Uma série de funções Σfn tem convergência uniforme se a sequência de somas parciais, definida 
como Sn, converge uniformemente.
Para a análise de convergências uniformes, podemos aplicar o critério de 
Cauchy, definido a seguir.
Sequências e séries de funções 47
Definição 9
Seja uma série de funções dada por fii �
�� 1
�
 em B. Assumindo que essa série converge unifor-
memente para S: B → ℝ, se ε > 0, então existe N, tal que, para todo x ∈ B, temos:
n N f x S x
i
n
n� � � � � � � �
�
�
1
�
Guidorizzi (2019, p. 101) define o critério de Cauchy para convergência uni-
forme como “a série de funções f ii �
� �� 0 converge uniformemente, em B, à 
função S x f xii( ) ( )� �
� �� 0 se, e somente se, para todo ε > 0 dado, existir um na-
tural N, tal que, quaisquer que sejam os naturais p e q e para todo x ∈ B, 
p q N µ� � � ��
� �� �f x f xii
p
ii
q
0 0
( ) ( ) ”.
Além do critério de Cauchy para a análise da convergência uniforme de séries 
de funções, temos o denominado critério M de Weierstrass ou teste de Weierstrass.
Lima (2020, p. 156) enuncia o seguinte teorema: “teste de Weierstrass: dada a 
sequência de funções fn: B → ℝ, seja ∑an uma série convergente de números reais 
an > 0 tais que |fn (x)| ≤ an para todo n ∈ N e todo x ∈ B. Nestas condições, as séries 
Σ|fn| e Σfn são uniformemente convergentes”.
Piskounov (1997) não nomeia dessa maneira em sua obra, mas apresenta o tes-
te de Weierstrass pelos termos séries majoráveis. De acordo com esse autor, uma 
série de funções:
Σfn(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) + ...
será majorável em um domínio de variação para x, se existir uma série numérica 
∑an convergente de termos positivos, em que:
� � � ��� ��a a a an n1 2
Tal que, para todo x do domínio analisado, tenhamos
|f1(x)| ≤ a1, |f2(x)| ≤ a2, …, |fn(x)| ≤ an, …
Dessa forma, uma série é majorável, ou seja, respeita o teste de Weierstrass, se 
cada um dos termos da série de funções não for superior, em valor absoluto, ao 
respectivo termo de uma série numérica convergente de termos positivos ∑an .
Note que o teste de Weierstrass é uma consequência direta do critério de 
Cauchy para convergência uniforme de séries de funções.
Com os conceitos de sequência e séries de funções definidos, podemos avaliar 
a possibilidade de reescrever algumas funções – antes difíceis (ou até impossíveis) 
de serem integradas (ou derivadas) analiticamente – e, com isso, resolver diversos 
casos de aplicações, com aproximações da solução aceitáveis.
48 Cálculo Avançado
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Neste capítulo, apresentamos as sequências de funções, suas propriedades e a 
análise da convergência, seja pontual, seja uniforme.
O estudo das sequências de funções é imprescindível para a compreensão das sé-
ries de funções, que são amplamente usadas em problemas aplicados da matemática, 
como nas equações diferenciais.
Séries de funções, como as de Fourier ou de Taylor, dependem do embasamento 
teórico que valida a convergência, pois sem isso não conseguiríamos garantir que a so-
lução de um problema se aproxima, de maneira aceitável, da solução analítica (mesmo 
quando não conseguimos calcular a solução analítica).
Assim, a teoria abordada neste capítulo é base para muitas outras da matemática 
teórica e aplicada.
ATIVIDADES
Atividade 1
Se você fosse explicar a diferença entre convergência simples e uniforme para uma 
pessoa que não é da área de matemática, como faria? Descreva de maneira simples 
essa diferença.
Atividade 2
O critério de Cauchy para sequências de funções enuncia que “tem-se uma sequên-
cia de Cauchy fn: B → R se, e somente se, fn é uniformemente convergente”. Com esse 
teorema, podemos afirmar que toda sequência uniformemente convergente é de 
Cauchy? Justifique.
Atividade 3
Seja a série geométrica dada por ∑fn com fn(x) = x
n. Podemos afirmar que essa série 
é uniformemente convergente? Explique.
REFERÊNCIAS
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006.
GUIDOℝIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. ℝio de Janeiro: LTC, 2019. 
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 13. ed. ℝio de Janeiro: IMPA, 2020. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 15. ed. ℝio de Janeiro: IMPA, 2019. 
PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 11. ed. Porto: Livraria Lopes da Silva-Editora, 1997. 
Série de potências 49
3
Série de potências
As séries são muito usadas para definir funções. Suas aplicações podem ser en-
contradas nos mais diferentes contextos, como para resolver problemas escritos por 
meio de uma equação diferencial ou integro-diferencial, encontrar aproximações para 
valores irracionais ou mesmo resolver integrais que não podem ser calculadas de ma-
neira analítica.
Podemos usar séries infinitas para definir funções. Ao escrever uma função 
como uma série, ganhamos todo o ferramental de análise de sequências e séries já 
conhecido.
As séries de potências permitem que escrevamos séries que dependem da variável 
x. Assim, entram nesse contexto para enriquecer e auxiliar a resolução e a análise de 
modelos matemáticos, tendo auxílio de conceitos como derivadas e integrais.
Vamos entender a teoria matemática por trás desse conceito e avançar para o estu-
do das séries de Taylor e MacLaurin, importantes no contexto das séries de potências.
3.1 Funções como séries de potências 
Vídeo
Podemos trabalhar com séries infinitas de termos constantes, do mesmo modo 
que podemos trabalhar com séries de termos variáveis, ou seja, quando x é uma 
variável e aparece como multiplicador das constantes cn, exemplo que pode ser 
observado na expressão a seguir:
n
n
nc x
�
�
0
�
Dentro dessa categoria de séries de termos variáveis, algumas das séries 
mais estudadas são as séries de potências, entre elas as séries de Taylor e de 
MacLaurin.
Uma série de potências é escrita na forma:
n
n
nc x a c c x a c x a
�
� �� � � � �� � � �� � ��
0
0 1 2
2
�
(1)
em que os cn são constantes quaisquer, a é fixo e x é uma variável. A série de potên-
cias em (1) é dita centrada em a.
Observe a série geométrica apresentada pela equação (2) a seguir:
n
np x p x p x p x p px px
�
� � � � � � � � ��� � � ��
0
0 1 2 2
�
(2)
Compreender a represen-
tação de funções como 
série depotências.
Objetivo de aprendizagem
50 Cálculo Avançado
Comparando as equações em (1) e (2) notamos que a série geométrica é tam-
bém uma série de potências.
Em (2) temos as constantes fixas, ou seja, para todo n, cn = p. Além disso, a série 
geométrica em (2) está centrada em zero, pois a = 0.
Com esse tipo de análise, percebemos que as séries de termos variáveis seguem 
o mesmo padrão conhecido em relação à convergência quando comparadas às 
séries infinitas de termos constantes.
Se desejamos escrever uma série de potências para definir uma função, fazemos:
f x c x a
n
n
n� � � �� �
�
�
0
�
(3)
que tem como domínio o conjunto de todos os pontos de convergência da série, 
inclusive o próprio x = a, ou seja, a série define uma função em que o domínio é o 
intervalo de convergência.
Tais intervalos de convergência podem sem abertos, fechados, semiabertos, 
reduzidos ao ponto zero ou mesmo iguais a uma reta inteira, como veremos nos 
exemplos mais à frente.
Note que o caso geral apresentado pela equação (3) pode ser simplificado por 
uma mudança de variável da forma y = x – a. Todos os resultados obtidos para 
n
n
nc x
�
� � �
0
�
 são facilmente adaptados para 
n
n
nc x a
�
� �� �
0
�
.
Uma das avaliações necessárias para uma série de potências é a verificação do 
seu intervalo de convergência e consequentemente do raio de convergência. Va-
mos nos ater à série geométrica para entender esses conceitos.
Seja a equação em (2) uma série de potências com a = 0, como visto anterior-
mente. Sabemos que uma série geométrica infinita converge quando o módulo da 
sua razão é menor do que 1 (um). Ou seja, como
n
n
n
np x p x
� �
� �� � � �� �
0 0
0
� �
para essa série geométrica convergir, precisamos garantir que |x| < 1. Dessa for-
ma, –1 < x < 1.
Esse intervalo em que a série converge tem um valor limitante, que é chamado 
de raio de convergência, e no caso da série geométrica, temos que o raio r de con-
vergência vale r = 1.
De modo geral, acompanhamos o teorema a seguir:
Teorema 1
Seja uma série de potências 
n
n
nc x a
�
� �� �
0
�
. Então, uma das três consequências será 
contemplada:
I. Seja r o raio de convergência. Então, existe r > 0 de modo que a série converge para |x – a| 
< r e diverge para |x – a| > r.
II. A série converge apenas quando x = a e, nesse caso, r = 0.
III. A série converge ∀ x ∈ ℝ e, nesse caso, r = ∞.
Série de potências 51
Portanto, dentro do raio de convergência existe um conjunto de pontos para 
os quais a série converge. Esse conjunto de pontos é chamado de intervalo de 
convergência.
Lima (2020) relaciona o comportamento de uma série de potências ao compor-
tamento da sequência relacionada. De acordo com o autor, se a série for escrita 
como 
n
n
nc x
�
�
0
�
, compreender a localização dos pontos x para os quais essa série 
será convergente depende do uso do teste de Cauchy, descrito a seguir.
Teste de Cauchy
“Quando existe um número real c tal que cnn ≤ c < 1 para todo n ∈ ℕ suficientemente grande 
(em particular, quando limn n
n c
�� < 1), a série 
n
nc
�
�
0
�
 é absolutamente convergente” (LIMA, 2020, p. 42).
Dessa forma, fica representada a relação sugerida por Lima (2020) entre a série 
de potências 
n
n
nc x
�
�
0
�
 e a sequência c xn
nn . Com o embasamento do teste de Cau-
chy, o autor define a seguinte regra:
 • Se | |cnn é ilimitada ⇒ 
n
n
nc x x
�
� � �
0
0
�
1 .
 • Para x ≠ 0, tem-se c x x cn
nn
n
n= ilimitada. Portanto, o termo geral de 
n
n
nc x � x
�
� �
0
0
�
 .
 • Se | |cnn é limitada ⇒ existe um intervalo I (conjunto não vazio), tal que 
R � c �nn� � �{ ; | |� �
0 1 , ∀ n ∈ ℕ suficientemente grande}
2 .
 • Caso ρ ∈ R e 0 < x < ρ, então x ∈ R. Assim, R será um intervalo do tipo (0, r), 
(0, r] ou (0, + ∞), com r = sup R.
Com essa notação adotada, se o conjunto R for ilimitado, denotaremos r = +∞.
De acordo com Stewart (2016), quando escrevemos a série de potências na for-
ma 
n
n
nc x a
�
� �� �
0
�
, temos em n = 0 que (x – a)0 = 1.
Assim, a série de potências escrita nesse formato sempre converge quando 
 n = 0, mesmo que para n ≥ 1 essa seja uma série divergente. Ainda, quando x = a 
e n ≥ 1, temos todos os termos iguais a zero. Portanto, afirmamos que a série de 
potências sempre converge quando x = a.
Para compreender melhor esses conceitos, vamos resolver o exemplo a seguir, 
em que usaremos o teste da razão:
Teste da razão (regra de d’Alembert)
Seja uma série dada por 
n
na
�
�
1
�
.
• Se lim
a
a
L
n
n
n�
� � �
�
1 1 , então a série é absolutamente convergente.
• Se lim
a
a
L
n
n
n�
� � �
�
1 1 ou lim
a
an
n
n�
� �
�
�1 , então a série é divergente.
• Se lim
a
a
L
n
n
n�
� � �
�
1 1 , nada pode ser concluído.
O símbolo → significa 
“converge”. Já o sím-
bolo  significa “não 
converge”.
1
Na obra Curso de análise, 
v. 1., Lima (2019) define 
1
�
� lim�sup cnn .
2
52 Cálculo Avançado
Agora que apresentamos a regra de d’Alembert, podemos resolver o exemplo 
a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
Seja a série de potências 
n
nn x
�
� �
0
�
! . Queremos encontrar os valores de x para 
os quais essa série é convergente. Usando o teste da razão, fazemos:
 • an = n! · x
n
 • an + 1 = (n + 1)! · x
n + 1
Dessa forma:
L
a
a
n x
n x
n x
n
n
n n
n
n n
� �
�� � �
�
� �� � � �
�
�
�
�
�
lim lim
!
!
lim
� � �
1
11
1 ��
Com isso, pelo teste da razão, percebemos que a série diverge para x ≠ 0.
Porém, vimos que uma série de potências sempre converge quando x = a, 
portanto a série 
n
nn x 
�
� �
0
�
! converge para x = 0.
Diante dessas conclusões, como calcular o raio de convergência e o intervalo 
de convergência? Para ajudar a responder a essa pergunta, vamos resolver um 
exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
Seja a série de potências 
n
n
n
nx
�
�
0 2
�
. Encontre o intervalo de convergência e o 
raio de convergência para essa série.
Aplicando novamente o teste da razão, teremos:
L
a
a
n x
nx
n x
nn
n
n n
n
n
n
n
n
� �
�� �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
lim lim lim lim
� � �
1
1
1
1
2
2
1
2 nn
x n
n�
��
�
�
�
�
�
� 2
1
Pelo teste da razão, para verificar a convergência da série, precisamos que L 
< 1. Dessa forma, escrevemos:
L x n
n
x
n
�
�
� �
�2
1
2
1lim
�
Logo:
|x| < 2
Série de potências 53
Portanto, o raio de convergência da série de potências 
n
n
n
nx
�
�
0 2
�
 é igual a r = 2, 
e o intervalo de convergência é –2 < x < 2. 
Ainda precisamos verificar se a série converge para |x| = 2, ou seja, exata-
mente sobre x = –2 ou x = 2. O teste da razão, nesse caso, é inconclusivo, mas 
podemos analisar pontualmente as séries 
n
n
n
n
�
�
� �
0
2
2
�
 e 
n
n
n
n
�
�
�� �
0
2
2
�
.
Usaremos para essas análises o teste da divergência 3 . Assim:
 • Para 
n
n
n
n
n
n
� �
� �
� �
�
0 0
2
2
� �
 e usando o teste da divergência
lim
n
n
�
� �
�
�
teremos que a série diverge.
 • Para 
n
n
n
n
nn n
� �
� �
�� �
� �� �
0 0
2
2
1
� �
, temos que essa série também diverge, pois
lim
n
n n
�
�� � � �
�
�1
Concluímos, com isso, que a série 
n
n
n
nx �
�
�
0 2
�
converge em um intervalo aberto.
O exemplo a seguir apresenta a verificação da convergência, do raio de convergên-
cia e do intervalo de convergência de uma série de potências. Vamos acompanhar.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Seja a série 
n
nx� �
n
�
�
�� �
0
3�
. Verifique se essa série converge e, nesse caso, calcu-
le o raio de convergência e o intervalo de convergência.
Solução
Usando o teste da razão, teremos:
lim lim .
n
n
n n
n
n
x
n
x
n
x x
n
n
x
x
�
�
�
�� �
�
�� �
�
�� � �� �
� �� �
� �
� �
3
1
3
3 3
1 3
3
1
Sabemos que, para o teste da razão convergir, limn
n
n
a
a�
� �
�
1 1 , portanto:
|x – 3| < 1 ⇒ 2 < x < 4
Temos com isso o intervalo de convergência em 2 < x < 4, que nos permite 
concluir que o raio de convergência vale r= 1.
(Continua)
Teste da divergência: se 
a série a1 + a2 + ... + an + 
... = 
n
na
�
�
1
�
 é convergente, 
então limn n
a
�
�
�
0 .
3
54 Cálculo Avançado
Analisando a teoria apresentada e os exemplos resolvidos, conseguimos resu-
mir a convergência para séries de potência escritas como c xn
n
n�
�
0
�
 por intermédio 
do seguinte teorema:
Teorema 2
Há duas possibilidades para uma série de potências da forma n
n
nc x
�
�
0
�
:
I. converge para x = 0;
II. existe r ∈ (0, + ∞) tal que a série converge absolutamente no intervalo em que |r| < 0 e 
diverge fora dele, ou seja, |r| > 0.
Nos pontos extremos, –r e r, a série n
n
nc x
�
�
0
�
 pode convergir ou divergir.
Se existir L a
n
nn�
�
lim
�
, então r
L
�= 1 e 0 < ρ < r se, e somente se, ann �
1
�
, ∀ n ∈ ℕ 
suficientemente grande.
A figura a seguir permite a visualização do Teorema 2.
Figura 1
Intervalo de convergência
Fonte: Elaborada pela autora.
diverge diverge 
r–r
converge 
Além da convergência absoluta, podemos enunciar o teorema para a conver-
gência uniforme. Mas antes de enunciá-lo, é necessário definir conceitos como es-
paço topológico e conjunto compacto.
 • Um espaço topológico, de maneira bastante simplista, são estruturas que 
permitem a construção de noções de separação, ordem, sucessão, fecha-
mento, conexidade, convergência e continuidade. Todos esses conceitos são 
fundamentais na viabilização de noções projetivas e euclidianas, entre outras 
áreas.
Para definir um conjunto compacto, dependemos da existência de um espaço 
topológico.
 • Com isso, escrevemos que X é um espaço compacto, se X é um espaço topo-
lógico, em que x ∈ X é um ponto de acumulação 4 total de um subconjunto A 
⊆ X. Nesse caso, teremos que dado qualquer U ⊆ X, então |A∩U| = |A|.
Assim, enunciamos:
Teorema 3
Uma série de potências da forma 
n
n
nc x
�
�
0
�
 é convergente em todo intervalo compacto definido 
por |ρ| ≤ 0, com 0 < ρ < r.
Percebemos, com isso, que a teoria aplicada às séries de termos constantes 
pode ser usada para as séries de termos variáveis. Assim, conseguimos escrever 
funções por meio do conceito de séries.
Para complementar 
nosso estudo, sugerimos 
o vídeo Introdução à série 
de potências, disponível 
na plataforma da Khan 
Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/
bc-10-13/v/power-series-radius-
interval-convergence. Acesso em: 
19 nov. 2021.
Vídeo
Dado um subconjunto A de 
um espaço topológico X, 
seja x ∈ X, afirmamos que x 
é ponto de acumulação 
de A se toda vizinha de x 
intercepta o conjunto A em 
um ponto diferente de x.
4
O conjunto dos números 
reais, , não é um conjunto 
compacto, mas cada inter-
valo fechado e limitado de 
 é compacto.
Curiosidade
Série de potências 55
3.2 Derivação de séries de potências 
Vídeo
Como vimos no Teorema 3, uma série de potências escrita na forma 
n
n
nc x
�
�
0
�
 
com raio r de convergência converge uniformemente em um intervalo compacto 
[–ρ, ρ], com 0 < ρ < r.
De acordo com Guidorizzi (2019), isso ocorre devido a ρ ∈ ] –r, r[, então a série 
converge absolutamente para x = ρ. Por outro lado, quando x ∈ [–ρ, ρ] para todo n 
∈ , temos:
|cn · x
n| ≤ |cn · ρ
n|
Aplicando o teste de Weierstrass que enuncia “seja 
n
nf
�
�
�
0
�
 uma série de funções 
e suponhamos que exista uma série numérica 
n
nM
�
�
�
0
�
 tal que, para todo x ∈ B e 
para todo natural n, f x Mn n� � � . Nestas condições, se a série 
n
nM
�
�
�
0
�
 for convergen-
te, então a série 
n
nf
�
�
�
0
�
 convergirá uniformemente, em B, à função S x f x
n
n� � � � �
�
�
�
0
�
” 
(GUIDORIZZI, 2019, p. 102), podemos afirmar que a série converge uniformemente 
em [–ρ, ρ].
Partindo desse princípio, enunciamos o teorema da continuidade para funções 
escritas como séries de potências, ou seja, f x c x
n
n
n� � �
�
�
�
0
�
Teorema 4: Teorema da continuidade
Se uma função pode ser escrita na forma
f x c x
n
n
n� � �
�
�
�
0
�
em que a série de potências 
n
n
nc x
�
�
�
0
�
tem raio r de convergência, com r > 0 ou r = +∞, então f(x) 
é contínua no intervalo aberto entre –r e r.
Ao analisar a continuidade de uma função escrita por meio de uma série de po-
tências, podemos também tratar das derivadas e integrais dessa função.
Esse tipo de abordagem permitirá que resolvamos equações diferenciais do tipo 
x2y´´ + axy´ + by = 0 adotando séries de potências para esse fim.
Vamos entender esse conceito definindo os processos de derivação e integra-
ção para uma série de potências.
Uma série de potências, suas derivadas e suas integrais terão sempre o mesmo 
intervalo de convergência.
Observe o exemplo a seguir para entender esse processo.
• Analisar a continuidade 
de funções escritas 
como série de potências.
• Calcular a derivabilida-
de de funções escritas 
como série de potências.
Objetivos de aprendizagem
56 Cálculo Avançado
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Seja a série de potências dada por f x
x
nn
n
� � �
�
�
�
1
1
3
�
.
Vamos analisar o raio e o intervalo de convergência de f e de sua derivada.
Podemos usar o teste da razão para verificar o raio e o intervalo de conver-
gência. Portanto, se lim
a
a
L
n
n
n�
� � �
�
1 1, então a série é absolutamente conver-
gente. Dessa forma, escrevemos:
L � �
�� �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
lim lim
lim
n
n
n n
n
n
n
n
a
a
x
n
x
n
x x
n
n
x
� �
�
1
2
3
1
3
2
3
3
1
1 nn
n
n n
x
x n
n n n
x
n n n
�
�
� � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
lim
lim lim
�
� �
3
3 2
2 3
3 3 1
1
1 3 3 1
�� x
Com isso, se |x| < 1, a série será absolutamente convergente e podemos es-
crever que (–1, 1) é o intervalo de convergência e r = 1 é o raio de convergência.
Agora, faremos o mesmo para f´. Como ainda não abordamos o processo de 
derivação para as séries de potências, assumiremos que f x
n� � x
nn
n
�́ � � �� �
�
�
1
3
1�
.
Assim, pelo teste da razão, fazemos:
L
n x
n x
n x
n
� �
�� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
lim lim
lim
( )
( )
( )
n
n
n n
n
n
a
a
n
n
� �
�
1
1
3
3
2
1
2
1
nn
n
x
n
n
n x
n
n
n
n n n
�
� � �
�
� � � �
�
� �
�
( ) ( )
( )
( ) ( )
lim
lim
1 1
2
1 3 3 1
3
3
3
3 2n
x
�
nn
x
 
�
� �
�
� � � ��
( )
( ) ( )
n
n
n
n n n
2
1 3 3 1
3
3 2
 1 lim|x| = |x|�
��n
Logo, segue a mesma condição para a convergência absoluta e, portanto, 
tem raio de convergência r = 1 e intervalo de convergência |x| < 1.
Série de potências 57
Isso nos permite escrever:
Teorema 5
Seja uma série de potências escrita como 
n
n
nc x a
�
� �� �
0
�
, com intervalo de convergência aberto 
(a – r, a + r) e raio de convergência r > 0, então:
• Existe
�� � � �� � � � �� � � �� � ��
�
��f x nc x a c c x a c x a
n
n
n
1
1
1 2 3
22 3
�
• Existe
f n
n i
c x ai
n
n
n i� �
�
��
�� �
�� ��
0
�
!
!
Note que as derivadas são resolvidas termo a termo. Além disso, o Teorema 5 
possibilita afirmar que o raio de convergência e o intervalo de convergência de f e 
de sua derivada são iguais, mas nada podemos concluir sobre as duas séries terem 
a mesma convergência para os extremos do intervalo de convergência.
Com isso, percebemos a necessidade de analisar os extremos do intervalo de 
convergência de uma função e de sua derivada quando escritas por meio de séries 
de potências. É o que faremos no próximo exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Avalie a convergência da função f x
x
nn
n
� � �
�
�
�
0
1
3
�
 e de sua derivada nos extre-
mos do intervalo de convergência dado por |x| < 1.
Solução
A função f x x
nn
n
� � �
�
�
�
1
1
3
�
 e sua derivada começaram a ser analisadas no Exemplo 
4. Agora, completaremos essa análise. Como temos que o intervalo de con-
vergência é dado por –1 < x < 1, analisaremos os extremos pontualmente, 
partindo de f(x).
 • Para x = 1, temos:
n n�
� � � � ��
1
3
1 1 1
8
1
27
�
Essa éuma série harmônica com p = 3, portanto podemos afirmar que essa 
série é convergente.
 • Para x = –1, temos:
n
n
n�
�
�
�� �
� � � ��
1
1
3
1
1 1
8
1
27
�
Pelo teste das séries alternadas, escrevemos:
lim
n n�
�
�
1 0
3
que mostra que f(x) também é convergente para x = –1. 
(Continua)
58 Cálculo Avançado
Portanto, a série 
n
nx
n�
�
�
1
1
3
�
 converge nos extremos do intervalo de convergên-
cia. Isso nos permite afirmar que o domínio de f x
x
nn
n
� � �
�
�
�
1
1
3
�
 é o intervalo fe-
chado [–1, 1].
O mesmo processo precisa ser feito para f x
n x
n
x x x
n
n
�́ � � �� � � � � ��
�
�
1
3
2 31
2 3
8
4
27
�
Vimos que f´(x) converge no intervalo (–1, 1). Com isso, precisamos avaliar os 
extremos desse intervalo.
 • Para x = 1, temos:
n
n
n�
�
�
� � � ��
1
3
1 2 3
8
4
27
�
Isso nos permite escrever:
n n n n
n
n n n n n� � � �
� � � �
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
1
3
1
2 3
1
2
1
3
1 1 1 1 1� � � �
Ambas são séries harmônicas, com p = 2 e p = 3, respectivamente. Logo, são 
convergentes.
 • Para x = –1, temos:
n
n n
n�
�
�� � �
� � � � ��
1
3
1 1
2 3
8
4
27
�
Pelo teste das séries alternadas e segundo o mesmo princípio adotado nas 
outras análises desse exemplo, a série converge em x = –1.
Dessa forma, a série 
n
nn x
n�
�
�� �
1
3
1�
 converge nos extremos do intervalo de 
convergência. Isso nos permite afirmar que o domínio de f x
n x
nn
n
�́ � � �� �
�
�
1
3
1�
é o intervalo fechado [–1, 1].
Note que, nesse caso, f(x) e a sua derivada convergem nos extremos do 
intervalo de convergência, mas, como explicado na observação, isso pre-
cisa ser avaliado caso a caso e não é uma regra para todas as séries de 
potências.
O próximo exemplo permite a aplicação do teorema sobre a derivada de uma 
função escrita como série de potências.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Calcule a derivada de primeira ordem no ponto x = 0 para f x x
n
n
n n� � � �� � � ��
�
�
0
2 1
1
2
�
!
.
Solução 
(Continua)
Série de potências 59
Queremos encontrar o valor para f´(0). Assim, fazemos, em primeiro lugar, 
o cálculo da derivada termo a termo dessa série e, na sequência, analisamos o va-
lor dessa derivada para x = 0.
f x x
n
x x x
n
n n� � � �� � � � � � � ���
�
�
0
2 1 3 5
1
2 2 4
�
! ! !
Assim:
f x x x´
! !
� � � � � ��1 3
2
5
4
2 4
Portanto:
f´(0) = 1
A segunda derivada também pode avaliada, como no exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 7
Escreva qual série de potências define corretamente a segunda derivada para 
f x x
n
n
n n� � � �� �
�� ��
�
�
0
2 3
1
2 1
�
!
.
Solução
Calcularemos a primeira derivada e, na sequência, a segunda derivada. Assim:
f x
n x
n
n
n
n
´
!
� � � �� � �� �
�� ��
�
�
0
2 2
1
2 3
2 1
�
Agora, calculando f’’, ou seja, a segunda derivada:
�� � � � �� � �� � �� �
�� ��
�
�f x
n n x
n
n
n
n
0
2 1
1
2 3 2 2
2 1
�
!
Essa função também pode ser escrita como:
�� � � � � � ��f x x x x3 5
3
7
5
2
4 6
! !
Com esses resultados, começamos a ter ferramentas que vão muito além do 
simples fato de derivar uma série de potências.
Com base nessas derivações, conseguimos resolver problemas como o apre-
sentado pela equação diferencial descrita no começo da seção, dada por x2y´´ + 
axy´ + by = 0, por métodos que dependem da reescrita de y por meio de uma série 
de potências. Nesse caso específico, o método aplicado é chamado de método de 
Frobenius.
Assumindo que y c x
n
n
n r�
�
��
0
�
, conseguimos encontrar as derivadas y´ e y´´, 
substituir esses resultados na equação original e resolver a equação diferencial 
ordinária x2y’’ + axy´ + by = 0. A resolução dessa equação foge ao escopo deste capí-
tulo, mas fornece uma ideia das possibilidades de uso para as séries de potências.
Para saber um pouco mais 
sobre o processo de deriva-
ção de séries de potências, 
sugerimos o vídeo Cálculo 
da derivada de uma série de 
potências, disponível na pla-
taforma da Khan Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-series-new/bc-10-
15/v/differentiating-power-series. 
Acesso em: 19 nov. 2021.
Vídeo
60 Cálculo Avançado
3.3 Integração de séries de potências 
Vídeo Assim como derivamos uma função escrita como série de potências, também 
podemos integrar essa série. Vejamos na sequência esse conceito.
Teorema 6
Seja uma série de potências escrita como
n
n
nc x a
�
� �� �
0
�
, com intervalo de convergência aber-
to (a – r, a + r) e raio de convergência r > 0. Então, existe:
� � � � � �� �
�� �
� � �� � � �� � ��
�
�
�f x dx C c x an C c x a c
x a
n
n
n
0
1
0 1
2
1 2
�
Para compreender melhor esse teorema, acompanhe o próximo exemplo, em 
que é aplicada essa afirmação.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 8
Sabendo que a função f x x x
x x x x� � � �� � � � � � � ��ln 1
2 3 4 5
2 3 4 5
, calcule a in-
tegral de f(x) aplicando o Teorema 6.
Solução
O Teorema 6 nos permite integrar termo a termo da série, que nesse caso 
é mais fácil do que procurar o valor para a integral imprópria ∫ ln(1 + x)dx. 
Assim, escrevemos:
� � � � � �� � � � � � � � � � � � ���f x dx x dx x�dx x dx x dx x dx x dxln 1
2 3 4 5
2 3 4 5
� � � � � � � � � ��f x dx C x x x x x
2 3 4 5 6
2 6 12 20 30
Para esse exemplo, ainda poderíamos escrever que f x
x
n
n
n n� � � �� �
�
�
�
�
0
1
1
1
�
, 
f x
n x
n
n
n
n
�́ � � �� � �� �
�� ���0
1
1
1
�
e F x f x dx x
n n
n
n n� � � � � � � �� �
�� � �� ��
�
�
0
2
1
2 1
�
Como percebemos com o Exemplo 8, a integração de funções escritas como 
séries de potências auxilia em processos em que a integral da função original não 
é simples de ser calculada analiticamente.
Vamos trabalhar com mais um exemplo visando ao entendimento da integrabi-
lidade de uma função escrita como série de potências.
Calcular a integrabilidade 
de funções escritas como 
série de potências.
Objetivo de aprendizagem
Para saber mais sobre o 
processo para o cálculo 
de integrais para séries 
de potências, sugerimos 
o vídeo Cálculo da integral 
de uma série de potências, 
disponível na plataforma da 
Khan Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-
10-15/v/integrating-power-series. 
Acesso em: 19 nov. 2021.
Vídeo
Série de potências 61
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 9
Seja a série de potências dada por f x
x
n
�
n
n
� � �
�
�
1
2
�
. Calcule sua derivada e sua 
integral.
Solução
Considerando a função:
f x x
nn
n
� �
�
�
1
2
�
Então:
f x nx
n
x
n
n
n
n
n
�́ � � �
�
�
�
�
� �
1
1
2
1
1� �
Já a integral de f x
x
nn
n
� �
�
�
1
2
�
 será:
F x
n
x
n
C x
n n
C
n
n
n
n
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�� �
�
�
� �
1
2
1
1
1
3 2
1
1
� �
Portanto, temos:
f x x
n
n
n
�́ � �
�
�
�
1
1�
e F x
x
n n
C
n
n
� � �
�
�
�
�
�
1
1
3 2
�
Na próxima seção trabalharemos com duas importantes séries de potências. 
Ambas são aplicadas nas mais diversas áreas da modelagem matemática e muito 
usadas no desenvolvimento de métodos numéricos, que dependem da discretiza-
ção de funções e do domínio delas.
O material Séries de potên-
cias, aplicado ao curso de 
bacharelado em Enge-
nharia Elétrica da Unesp, 
apresenta um texto bem 
conciso entre as páginas 
4 e 9 que trata especifica-
mente das derivadas e in-
tegrais de funções escritas 
como séries de potências. 
Além disso, o material tem 
vários exemplos resolvidos 
sobre o tema.
Disponível em: https://www.feis.
unesp.br/Home/departamentos/
engenhariaeletrica/mcap02.pdf. 
Acesso em 19 nov. 2021.
Saiba mais
3.4 Séries de Taylor e MacLaurin 
Vídeo Veremos nesta seção as séries de Taylor e de MacLaurin. Ambas são séries de 
potências, mas cada uma delas tem especificidades que serão trabalhadas, com 
o intuito de facilitar a escolha desse tipo de série e sua possível aplicação em 
situações-problema.
Com o assunto iniciado, partiremos para o desenvolvimentoda série de potên-
cias chamada de série de MacLaurin. Vamos entender.
3.4.1 Série de MacLaurin
Vamos assumir que f(x) é uma função definida pela série de potências dada por:
f x c x c c x c x c x c x
n
n
n
n
n� � � � � � � ��� ��
�
�
0
0 1 2
2
3
3
�
, com r > 0. (4)
Analisar e aplicar as séries 
de Taylor e MacLaurin.
Objetivo de aprendizagem
62 Cálculo Avançado
Portanto, ao derivar (4), vamos encontrar:
f´(x) = c1 + 2c2x + 3c3x
2 + ... + cnnx
n – 1 + ... (5)
f´´(x) = 2c2 + (2)(3)c3x + (3)(4)c4x
2 + ... + n(n – 1)cnx
n – 2 + ... (6)
f´´´(x) = (2)(3)c3 + (2)(3)(4)c4x + ... + n(n – 1)(n – 2)x
n – 3 + ... (7)
⋮ (8)
Adotando x = 0 em (5), (6) e (7), conseguimos perceber um padrão para cn pos-
sível de ser generalizado:
c
f
nn
n
�
� �� � 0
!
(9)
Isso nos permite escrever (4) como:
f x
f
n
x f f x
f
x
f
x
n
n
n� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� ���
�
� �
�
0
2 30 0 0
0
2
0
3
�
! ! !
�� ��
� �f
n
x
n
n
!
(10)
A equação (10) é chamada de série de potências de MacLaurin.
Note que se a equação (10) é indefinidamente derivável na vizinhança do ponto 
x = 0, então podemos escolher um n qualquer, tal que: 
f x
f
n
x f f x
f
x
f
x
n
n
n� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� ���
�
� �
�
0
2 30 0 0
0
2
0
3
�
! ! !
�� � � �
� �f
n
x R x
n
n
n!
, com |x| < r.
 
(11)
Portanto:
f(x) = Pn(x) + Rn(x), com |x| < r (12)
em que Pn(x) é um polinômio de grau n e Rn é o resto.
Assim, para que a aproximação da função pela série de potências admita o me-
nor resto (erro) possível, precisamos assumir um n arbitrariamente grande, tal que:
R x x
n
f �com� xn
n
n
n n� � � �� � � � � � �
�
�� �1 1
1
0
!
, ,� � (13)
em que:
lim
n n
R x
�
� � �
�
0
Algumas séries de MacLaurin são bastante conhecidas e podem ser observadas 
na tabela a seguir.
Tabela 1
Séries de MacLaurin
Função Série de MacLaurin
ex
n
nx
n
x x x
�
� � � � � ��
0
2 3
1
2 3
�
! ! !
sen x
n
n nx
n
x x x
�
�
�
�� �
�� � � � � ��0
2 1 3 51
2 1 3 5
�
! ! !
cos x
n
n nx
n
x x
�
�
�� �
� � � � � ��0
2 2 41
2
1
2 4
�
! ! !
Fonte: Elaborada pela autora.
Para entender melhor a 
teoria por trás dessas duas 
séries, sugerimos os vídeos 
indicados a seguir sobre 
os polinômios de Taylor 
e MacLaurin, disponíveis 
na plataforma da Khan 
Academy.
• Introdução aos polinômios de 
Taylor e MacLaurin (parte 1)
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-
10-11/v/maclaurin-and-taylor-series-
intuition. Acesso em: 19 nov. 2021.
• Introdução aos polinômios de 
Taylor e MacLaurin (parte 2)
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/
bc-10-11/v/generalized-taylor-
series-approximation. Acesso em: 19 
nov. 2021.
Vídeo
Sugerimos dois vídeos 
da plataforma da Khan 
Academy sobre as séries de 
MacLaurin. Ambos apresen-
tam exemplos de funções 
escritas por meio de séries 
e auxiliam no entendimento 
do conteúdo desta seção.
• Série de MacLaurin de cos(x)
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-
10-14/v/cosine-taylor-series-at-0-
maclaurin. Acesso em: 19 nov. 2021.
• Série de MacLaurin de ex
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
ap-calculus-bc/bc-series-new/
bc-10-14/v/taylor-series-at-0-
maclaurin-for-e-to-the-x. Acesso em: 
19 nov. 2021.
Vídeo
Série de potências 63
Podemos analisar essas séries em relação à convergência. Observe o exemplo a 
seguir para a série e
x
n
x
n
n
�
�
�
0
�
! .
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 10
De acordo com a Tabela 1, temos que f x e x x x x
n
R xx
n
n� � � � � � � ��� � � �1 2 3
2 3
! ! !
.
Essa série de MacLaurin, que é uma série de potências, tem intervalo de con-
vergência –∞ < x < ∞ e raio de convergência r = ∞, portanto converge para 
todo x real.
Com isso, temos que:
lim
n n
R x
�
� � �
�
0
Observe os resultados a respeito das somas parciais para 
f x x x x x
n
n
� � � � � � ��� ��1
2 3
2 3
! ! ! e compare-os com f(x) = e
x, para x = 1, que vale 
f(1) = 2,718281828459…
Fazendo:
 • f x e s x x xx� � � � � � � � �3
2
1
2
. Então, se x = 1, teremos s3 1
5
2
2 5� � � � , .
 • f x e s x x x xx� � � � � � � � � �4
2 3
1
2 6
. Então, se x = 1, teremos s4 1
8
3
2 666� � � � �,
 • f x e s x x x x xx� � � � � � � � � � �5
2 3 4
1
2 6 24
. Então, se x = 1, teremos s5 1
65
24
2 708333� � � � �,
Prosseguindo com essa ideia, podemos montar a tabela a seguir.
Tabela 2
Comparação entre somas parciais da série e o valor da função
f(x) = ex s6(x) s13(x) s20(x)
x = 1 2,718281828459… 2,71666… 2,718281828262 2,718281828459…
x = –6 0,0024787521767 –33,8 1,4612987012987 0,002815420051
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que quanto maior o número de parcelas das somas parciais para a série 
de potências, mais próximos os resultados estarão, para valores específicos de x, 
comparados à função f(x) = ex para os mesmos valores de x.
O gráfico a seguir representa a função f(x) = ex e algumas das somas parciais 
analisadas na Tabela 2.
 Nota para o autor 
Caso tenha curiosidade de 
calcular esses resultados, 
sugerimos usar o teste da 
razão.
Desafio
64 Cálculo Avançado
Figura 2
 Gráficos para 
n
nx
n
x x x
�
� � � � � ��
0
2 3
1
2 3
�
! ! !
 e f(x) = ex
Fonte: Elaborada pela autora.
Com a série de MacLaurin definida, podemos ampliar nossa análise trabalhando 
com uma outra série de potências muito expressiva, chamada de série de Taylor. 
Vamos entender a diferença entre essas duas séries no tópico a seguir.
3.4.2 Série de Taylor
No tópico anterior definimos a série de MacLaurin por meio da expressão:
f x
f
n
x f f x
f
x
f
x
n
n
n� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� ���
�
� �
�
0
2 30 0 0
0
2
0
3
�
! ! !
�� ��
� �f
n
x
n
n
!
, com |x| < r. 
Assim, afirmamos que a série de MacLaurin ocorre por uma expansão em série 
de potências em torno de zero. Podemos generalizar esse cálculo para x = a, sendo 
que nesse caso teremos:
f x
f a
n
x a
n
n
n� � � � � �� �
�
� �
�
0
�
!
, para |x – a| < r (14)
A equação (14) é conhecida como série de potências de Taylor.
Stewart (2016) afirma que se f tiver uma “expansão” em série de potências 
em torno de a, então essa série pode ser representada por uma série de Taylor. 
Portanto, podemos afirmar que a série de Taylor é uma generalização da série de 
MacLaurin, em que esta tem como restrição x = 0.
Série de potências 65
A integração de uma função escrita como uma série de potências auxilia na 
resolução de casos em que essa função não tem primitiva conhecida. Nesse sen-
tido, como a série de Taylor é uma série de potências, também tira proveito desse 
princípio.
Um exemplo clássico dessa utilização está na necessidade de integrar a função 
f x e x� � � � 2 no intervalo para x entre 0 e 1. A expressão
�
��
�
�
e dxx
2
é chamada de integral gaussiana ou integral de Euler-Poisson.
Ela carrega esse nome porque remete a uma simplificação da integral da função 
gaussiana dada por:
�
�
�� �
�
�
�
�
�
� �
1
2
1
2
2
2e dx
x
que pode ser resolvida por intermédio de uma mudança de variável (para coorde-
nadas polares) idealizada pelo matemático Siméon Denis Poisson (1781-1840).
A figura a seguir mostra o comportamento da função gaussiana, dependente 
dos valores assumidos para μ e σ.
Figura 3
Função densidade de probabilidade gaussiana
In
du
ct
ive
lo
ad
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Assim, integrar a função f x e
x� � � � 2 não é muito simples, mas podemos escrevê-
-la por uma série de Taylor da forma:
e x
n
x
x x
x
n
n
�
�
� � � �� � �
�� �
�
�� �
���
2
0
2
2 2 2 3
1
2 3
�
! !
66 Cálculo Avançado
Logo:
e x
n
x x xx
n
n
�
�
�
�
� � � � ���
2
0
2
2
4 6
1
2 3
� ( )
! !
que pode ser reescrita como:
e x
n
x
n
n n�
�
� �� ��
2
0
2
1
�
!
Portanto, queremos resolver:
0
1
2
0
1 21
� �� �
�� �
e dx
�x
n
�dxx
n n
!
sendo que n
n nx
n
�
� �� �
0
2
1
�
! é uma série de Taylor com a = 0 e, portanto, tambémé uma 
série de MacLaurin. Com isso, fazemos:
0
1 2
0 0
1
2
0
1 1 1
� � � �
�� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�� �
� �
n n
n
n
n
n
n�x
n
�dx
n
x dx
n! !
� �
!!
x
n
n2 1
0
1
2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � � � � � � � ��
�
�
n
n n
n
0
1
1
2 1 1
1
3
1
1
5
2
1
7
3
1
9
4
�
! ! ! ! !
Aplicando o teste da série alternada, verificamos que essa série é conver-
gente. Assim, compreender para qual valor ela converge também nos permite sa-
ber que a solução para 
0
1
2
0
1 21
� �� �
�� �
e dx
�x
n
�dxx
n n
! será:
n
n n
n
�
� �� � � � � � � � ���
0
1
1
2 1 1
1
3
1
1
5
2
1
7
3
1
9
4
0 74748
�
! ! ! ! !
,
Logo:
0
1
2
0 7468� � �e dxx ,
A seguir, vamos trabalhar com mais um exemplo sobre a série de Taylor.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 11
Aplique a fórmula de Taylor e encontre a série de Taylor que representa a 
função f(x) = x3 + 1, centrada em 1.
Solução
Sabendo que 
f x
f a
n
x a f a
f' a
x a
f'' a
x a
n
n
n� � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �� �
�
� �
�
0
2
1 2
�
! ! !
��
� �
�� �f''' a x a
3
3
!
, para 
|x – a| < R, então: 
Para complementar esse 
tema, sugerimos o vídeo 
do canal 3Blue1Brown Série 
de Taylor | Capítulo 10, da 
série de vídeos Essência do 
Cálculo, o qual apresenta 
o conceito geométrico por 
trás da estrutura algébrica 
trabalhada nas séries de 
Taylor. O vídeo nos ajuda 
a entender, de maneira 
bastante visual, o uso das 
derivadas nos termos dessa 
série e sua interpretação.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=3d6DsjIBzJ4. Acesso 
em: 19 nov. 2021.
Vídeo
(Continua)
Série de potências 67
f x
d
dx
x
x
d
dx
x
x
d
dx
x
� � � �
�� �� �
�� � �
�� �� �
�� � �
�
2
1 1
1
1
1 1
2
1
3
2
2
3
2
3
3
3
! !
11 1
3
1
1 1
4
13
4
4
3
4� �� �
�� � �
�� �� �
�� � ��
! !
x
d
dx
x
x
Portanto:
f x x x x x� � � � �� � � �� � � �� � � �� � ��2 3
1
1 6
2
1 6
3
1 0
4
12 3 4
! ! ! !
Logo:
f(x) = 2 + 3(x – 1) + 3(x – 1)2 + (x – 1)3
O conhecimento das séries de potências para denotar funções e, particular-
mente, das séries de MacLaurin e Taylor, que fazem uso das derivadas e permitem 
que analisemos uma expansão em torno de um ponto pré-determinado, possibi-
litam que façamos uma análise profunda do comportamento delas, usando, para 
isso, ferramentas simples e que completam nosso entendimento sobre as funções 
avaliadas.
Ganhamos, assim, mais um arsenal de possibilidades para a análise desse obje-
to fundamental no cálculo, as funções.
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Temos, com os conceitos aprendidos neste capítulo, a possibilidade de reescrever 
muitas das funções que conhecemos.
Reescrever uma função como uma série de potências, além de permitir uma análise 
aprofundada de conceitos como convergência, também possibilita que outras áreas da 
matemática possam ser desbravadas, como a área de métodos numéricos, que depen-
de de discretizações, tanto de funções quanto do domínio dessas funções.
Quanto mais compreendemos os conceitos das mais diversas subáreas da mate-
mática, mais percebemos que tudo está conectado e que a única diferença em cada 
uma dessas subáreas é o olhar que se faz sobre tais ferramentas.
ATIVIDADES
Atividade 1
Usando a teoria desenvolvida para avaliação de continuidade, convergência e raio 
de convergência de funções escritas como séries de potências, analise a função 
f x
� x
nn
n n
n� � �
�� � �� �
�
�
0
1 3
2
�
 e sua derivada e calcule o domínio para ambas.
Atividade 2
Sabendo que a equação diferencial ordinária x2u´´ + xu´ – u = 0 pode ser resolvida 
reescrevendo u e suas derivadas como séries de potências, identifique u´ e u´´ a 
partir da função u x c x �
n
n
n r� � �
�
��
0
�
.
68 Cálculo Avançado
Atividade 3
Analise a tabela a seguir.
Discuta o porquê da existência de grande diferença entre o valor da função 
f(x) = ex para x = –6 e o valor das somas das 7 e 13 primeiras parcelas da série 
n
nx
n
x x x
�
� � � � � ��
0
2 3
1
2 3
�
! ! ! , apresentadas nessa tabela.
f(x) = ex s6(x) s13(x) s20(x)
x = 1 2,718281828459… 2,71666… 2,718281828262 2,718281828459…
x = –6 0,0024787521767 –33,8 1,4612987012987 0,002815420051
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019. v. 4.
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 13. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2020. v. 1.
LIMA, E. L. Curso de análise. 15. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2019. v. 1.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Equações diferenciais de primeira ordem 69
4 
Equações diferenciais 
de primeira ordem
Muitas são as situações do nosso dia a dia e ao nosso redor que podem ser mode-
ladas matematicamente. Resolver um modelo matemático permite que obtenhamos 
respostas numéricas e quantificadas para essas situações.
Quando analisamos questões do mundo, como “de que maneira os engenheiros 
aeroespaciais calculam a trajetória de um foguete?”, “como os etólogos encontram va-
lores para o crescimento populacional de animais?” e “de que modo os farmacêuticos 
calculam a quantidade de medicamento que deve ser ministrada para cada paciente?”, 
essas e outras questões podem ser organizadas por meio de modelos matemáticos e 
resolvidas de maneira diretamente relacionada à escolha desses modelos. Além disso, 
nossos três questionamentos podem ser – e já foram em algum momento – descritos 
utilizando modelos matemáticos estruturados por equações diferenciais.
Portanto, compreender como se resolve uma equação diferencial ou um conjunto 
de equações diferenciais permite que também encontremos respostas para o mundo 
à nossa volta. Esse é o assunto deste capítulo, que permitirá que adentremos em uma 
extensa área da matemática, compreendida como equações diferenciais.
Vamos entendê-la.
4.1 Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
Vídeo As equações diferenciais são amplamente aplicadas na modelagem e si-
mulação de fenômenos que descrevem a natureza. Mas o que de fato é uma 
equação diferencial?
Analise a seguinte situação: um automóvel se desloca de um ponto A até um 
ponto B, com uma velocidade calculada em quilômetros por hora. A distância total 
percorrida por esse automóvel é fixa, contudo a sua velocidade pode mudar ao 
longo do caminho. Essa variação da velocidade influencia diretamente o tempo ne-
cessário para completar o percurso.
Sabemos que a velocidade instantânea de um objeto relaciona espaço e tempo 
e é descrita por:
v
x t t x t
tt
�
�� � � � �
�
lim
0
�
�
que é a variação da distância em relação à variação do tempo.
Outro conceito da física útil para entendermos o modelo descrito é a aceleração, 
que é a variação da velocidade no tempo, conforme ilustra a figura a seguir.
Compreender o conceito 
de equações diferenciais 
de primeira ordem.
Objetivo de aprendizagem
70 Cálculo Avançado
Figura 1
Aceleração
Na
sk
y/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Aceleração
Velocidade
Tempo
Resolveremos o seguinte problema aplicando esses conceitos.
Assumindo que a aceleração desse automóvel é de 60km/h2, escreva a função 
da posição em relação ao tempo, que expressa a posição (entre A e B) em que o 
automóvel estará localizado, conhecendo o tempo de deslocamento entre esses 
dois pontos.
Note que esse problema pode ser rapidamente modelado usando o conceito 
de derivada. Como queremos a função da posição, mas foi informado o valor da 
aceleração, partimos do princípio de que devemos calcular primeiro a velocidade 
em relação ao tempo. Assim, teremos:
 
dv
dt
= 60 (1)
Dessa forma, fazemos:
dv
dt
= 60
� � �dv dt60
v(t) + C1 = 60t + C2
v(t) = 60t + C3
Agora, queremos encontrar a função da posição em relação ao tempo; portanto, 
procuramos o valor para x(t).
Dessa forma, fazemos:
 
dx
dt
t C� �60 3 (2)
� � � �� �dx t C dt60 3
x(t) + C1 = 30t
2 + C3t + C4
x(t) = 30t2 + C3t + C5
As equações (1) e (2) são equações diferenciais, pois são compostas com a deri-
vada de uma função. Podemos, também, escrevera equação (2) da seguinte forma: 
 x’(t) = 60t + C3 (3)
Equações diferenciais de primeira ordem 71
E o que encontramos ao resolver a equação (2)?
Encontramos a função da posição em relação ao tempo, para o carro que se 
locomove do ponto A ao ponto B. Desse modo, conhecendo a velocidade média 
do carro e o tempo, podemos determinar em que ponto entre A e B se encontra 
esse automóvel.
Vamos, a seguir, analisar o gráfico dessas funções.
Figura 2
Gráfico das funções de aceleração, velocidade e posição.
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que usamos os conceitos de derivadas e integrais de funções de uma variá-
vel. Além disso, resolver dx
dt
t C� �60 3 significa encontrar a função de x, tal que a de-
rivada dessa função em relação ao tempo t é igual a 60 vezes t mais uma constante.
A solução de uma equação diferencial será sempre uma função ou uma família 
de funções. Os autores Zill e Cullen (2001) são referência na área de equações dife-
renciais. Esses autores enunciam a seguinte definição: “uma equação que contém 
as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação 
a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial” (ZILL; 
CULLEN, 2001, p. 2, grifos nossos). Ela pode ser representada na forma:
 F(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, y(n)(x)) = 0 (4)
São exemplos de equações diferenciais:
 • y’ = sen x
 • 2y’’+ y’ + 4x = 0
 • exy’’ = (x2 + 2) · y2
Note que, em todas as equações, temos uma ou mais derivadas. Veremos mais 
adiante como resolver alguns desses exemplos.
Como citado no começo desta seção, as equações diferenciais são muito apli-
cadas para responder a questões do mundo físico e dos fenômenos da natureza.
Para recapitular conceitos 
que envolvem a relação 
entre distância, velocidade 
e aceleração, sugerimos 
o vídeo da plataforma da 
Khan Academy, intitulado 
Distância total percorrida 
com derivadas.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
differential-calculus/dc-context-app/
dc-linear-motion/v/total-distance-
traveled-by-a-particle. Acesso em: 24 
nov. 2021.
Vídeo
72 Cálculo Avançado
Entre essas questões, podemos trazer uma aplicação que aparece muito nos 
textos de cálculo e que, possivelmente, você deve ter estudado nos materiais sobre 
equações diferenciais.
Aplicação 1: velocidade x distância
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta. Sua velocidade é inversa-
mente proporcional ao quadrado da distância que ela viajou.
A equação que descreve essa relação é dada por:
dS
dt
k
S
=
2
Em que:
 • t é o tempo (variável independente);
 • S é a variável que representa a distância (variável dependente);
 • dS
dt
 é a taxa de variação da distância instantânea em relação ao tempo 
(velocidade instantânea);
 • k é uma constante de proporcionalidade.
Essa é uma típica equação diferencial. Vejamos mais uma aplicação.
Aplicação 2: crescimento populacional (Verhulst)
Existem alguns modelos populacionais construídos 
ao longo da história. Um desses modelos é chamado 
de malthusiano, em que o número de indivíduos em 
uma população vegetal ou animal depende apenas do 
tempo (BASSANEZI, 2011).
Mas talvez o mais popular e aplicado de todos 
seja o modelo populacional logístico ou modelo de 
Verhulst-Pearl. Esse modelo foi idealizado pelo mate-
mático Pierre-François Verhulst (1804-1849) (Figura 3) 
e redescoberto pelos matemáticos Raymond Pearl 
(1879-1940) e Lowell Reed (1886-1966), da Universi-
dade Johns Hopkins, em 1920.
Como pode ser observado na equação a seguir, o modelo de Verhulst-Pearl é 
representado por meio de uma equação diferencial ordinária:
dP
dt
kP P
k
 � ��
�
�
�
�
�1
Em que:
 • t é o tempo (variável independente);
 • P é o número de indivíduos da população (variável dependente);
 • k é uma constante de proporcionalidade;
 • dP
dt
é a taxa de variação da população em relação ao tempo t.
Bl
ue
m
oo
se
~c
om
m
on
sw
ik
i/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Figura 3
Matemático belga 
Pierre-François Verhulst
Equações diferenciais de primeira ordem 73
Essa e outras situações podem ser modeladas com base em equações dife-
renciais. Portanto, aprender a resolvê-las é de extrema importância para solucionar 
esses problemas.
Para enriquecer seus conhecimentos sobre os modelos matemáticos construídos com base 
em equações diferenciais, sugerimos o artigo Verhulst and the logistic equation for population 
dynamics (Verhulst e a equação logística na dinâmica populacional), publicado na Revista 
European Communications in Mathematical and Theoretical Biology. Para compreender 
melhor, indicamos o material traduzido para o português.
Acesso em: 24 nov. 2021.
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01562340v2/file/Verhulst_pt.pdf
Artigo
Modelar um problema físico usando equações diferenciais é o primeiro passo 
para a obtenção da solução. Mas, para encontrá-la, precisamos identificar as técni-
cas que permitem a resolução das diferentes equações diferenciais que podem 
ser construídas.
Dessa forma, antes de abordarmos técnicas de resolução, apresentaremos a 
classificação das equações diferenciais, pois cada técnica está diretamente relaciona-
da à quantidade de variáveis, à ordem, às funções incógnitas e à estrutura da equação.
Para classificar uma equação diferencial (ED), é necessário avaliar algumas ca-
racterísticas. São elas:
1. analisar se a função incógnita tem uma ou mais variáveis independentes;
2. verificar o número de funções incógnitas;
3. analisar a estrutura da equação;
4. procurar a derivada de maior ordem para classificar a equação quanto a sua 
ordem.
Assim, podemos ter equações diferenciais ordinárias ou parciais, que serão de-
terminadas justamente pela quantidade de variáveis independentes da função incógni-
ta. Quando essa função incógnita é uma função com uma variável independente, essa 
equação diferencial tem a classificação de ordinária (EDO). Se isso não for verificado, 
então temos uma equação diferencial parcial (EDP). O escopo desta obra é as EDOs.
São exemplos de equações diferenciais, de acordo com o número de variáveis 
independentes da função incógnita:
 • y ‘ = 2x ⇒ EDO;
 • �
�
�
�
�
� � � �u
x
u
x
f x y EDP.,
Quanto ao número de incógnitas, podemos ter problemas que envolvam apenas 
uma função incógnita (nesse caso, podemos trabalhar com EDOs ou EDPs) ou ter 
um problema que envolva mais de uma função incógnita – nessa última situação, 
teremos os chamados sistemas de equações diferenciais.
Todos os exemplos que trouxemos até o momento são problemas que envolvem 
apenas uma função incógnita. O seguinte exemplo apresenta duas funções incógnitas:
x t y t
y t x t
´
´
� � � � �
� � � � �
�
�
�
��
Para saber mais sobre a 
classificação das equações 
diferenciais, sugerimos a 
leitura da obra Equações 
diferenciais.
YARTEY, J. N. A.; RIBEIRO, S. S. 
Salvador: UFBA, 2017. Disponível 
em: https://educapes.capes.
gov.br/retrieve/166324/eBook_
Equacoes_Diferenciais-Licenciatura_
Matematica_UFBA.pdf. Acesso em: 
24 nov. 2021.
Livro
74 Cálculo Avançado
Quanto à ordem, temos que a de uma equação diferencial é determinada pela 
derivada de mais alta ordem. Assim, são exemplos de equações classificadas de 
acordo com a ordem:
 • y’ = 2x ⇒ ordem 1.
 • y’’ + 2xy = 0 ⇒ ordem 2.
Por fim, vamos classificar em relação à estrutura. As equações diferenciais se-
guem a seguinte classificação:
 • lineares: quando a incógnita e as suas derivadas aparecem de modo linear 
na equação.
 • não lineares: quando ocorre o caso contrário.
Vejamos um exemplo de cada uma dessas situações.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
Uma equação diferencial linear de ordem n pode ser escrita na forma:
a0(t)y + a1(t)y’ + a2(t)y’’ …+ an(t)y
n = f(t)
Já a equação a seguir é classificada como não linear:
y’’’ + 2et y’’ + yy’ = 0
Essa última não é linear pois apresenta o produto de y por y’’.
Classificamos uma equação diferencial como de primeira ordem quando essa 
apresenta apenas a primeiraderivada.
É comum encontrarmos as equações diferenciais de primeira ordem escritas 
em função da variável x e, portanto, na forma y dy
dx
=́ , isto é, uma equação do tipo:
 F(x, y, y’) = 0 ou y’ = f(x, y) (5)
A ideia principal a ser considerada, ao resolvermos uma equação diferencial de 
primeira ordem, é a de que precisamos determinar as curvas cujas retas tangentes 
no ponto (x0, y0) têm inclinação m
dy
dx
f x y� � � �0 0, . Para compreender melhor esse 
conceito, vamos exemplificar.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
A EDO dy
dx
y x� � �2 12 forma um campo de direções em ℝ2. Cada curva 
y� x x c
e x
� � � �
2
22 2
1
4
, sendo c uma constante arbitrária, tem uma reta tangente 
no ponto (x, y), com inclinação m = –2y + x2 – 1.
A figura a seguir mostra o campo de direções (campo de vetores) e a solução 
para a EDO dy
dx
y x� � �2 12 , com c = 0. 
(Continua)
Equações diferenciais de primeira ordem 75
Figura 4
Campo de direções e solução para dy
dx
y x� � �2 12
Fonte: Elaborada pela autora.
Compreender esse comportamento nos auxilia na resolução das EDOs.
A seguir, vamos apresentar alguns métodos de solução para equações dife-
renciais ordinárias de primeira ordem.
Quer construir campos 
de direções e analisar 
a solução de uma EDO 
graficamente? Sugerimos, 
como ferramenta para essa 
construção, o software 
GeoGebra on-line.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/. Acesso em: 24nov. 2021.
Para acessar um exemplo 
de projeto no GeoGebra, 
que contém a repre-
sentação de gráficos com 
campos de direções e solu-
ções de EDOs, recomenda-
mos o endereço eletrônico 
a seguir.
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/vdskw9ht. Acesso 
em: 24 nov. 2021.
Dica
4.2 Separação de variáveis 
Vídeo
Precisamos estudar alguns métodos que nos ajudarão a resolver as EDOs de 
primeira ordem, e o primeiro que veremos é o chamado método da separação 
de variáveis.
Definição 1
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma:
dy
dx
M x N y� � � � � � (6)
é chamada de equação separável.
Essa nomenclatura é dada pois, como podemos observar na equação a seguir, a 
expressão do lado direito pode ser organizada como um produto de duas funções, 
sendo M(x) dependente apenas da variável x, e a outra, N(y), dependente somente 
da variável y.
Compreender o método 
chamado de variáveis 
separáveis e resolver EDO 
por esse método.
Objetivo de aprendizagem
76 Cálculo Avançado
Assim, para aplicarmos o método da separação de variáveis, inicialmente pode-
mos identificar se a EDO pode ser escrita como em (6) e, na sequência, precisamos 
escrevê-la na forma a seguir:
M(x) dx + N(y) dy = 0 ou M(x) dx = –N(y) dy (7)
Conhecendo a equação (7), é fácil visualizar que basta integrar os dois lados da 
igualdade para obter a solução geral para a EDO desejada. Assim: 
� � � � � � � � �M x dx N y dy C (8)
Observe o exemplo a seguir, em que resolveremos uma EDO pelo método da 
separação de variáveis.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Determine a solução geral da equação diferencial y’ = e–y (2x + 3).
Solução
Queremos resolver essa equação pelo método das variáveis separáveis, 
portanto precisamos manipular essa equação algebricamente até que te-
nhamos M(x) dx e N(y) dy. Assim, fazendo y’ = e-y(2x + 3), podemos escrever:
dy
dx
e xy� �� � �� 2 3 0
Portanto:
dy
dx
e x-y� �� �2 3
dy
e
x dx
-y
� �� � �2 3 0
Com base nessa equação, conseguimos identificar as funções M(x) = –(2x + 3) 
 e N y
e-y
� � � 1 .
Utilizando a equação (8), integrando M(x) e N(y), temos:
� � � � �� �1 2 3
e
dy x dx�
-y
Que é igual a:
y = ln(x2 + 3x + c)
Logo, a solução para a equação diferencial y’ = e-y(2x + 3) é:
y = ln(x2 + 3x + c)
Ao analisarmos o gráfico da solução em relação aos campos de direções, 
encontramos:
Equações diferenciais de primeira ordem 77
Figura 5
Campo de direções e solução para y’ = e-y(2x + 3), com c = 5.
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, temos o primeiro método para resolver uma EDO linear de primeiro 
grau. Mas e quando não conseguimos separar as variáveis?
Veremos, a seguir, mais alguns métodos.
4.3 Equações homogêneas com coeficientes constantes 
Vídeo
Como vimos anteriormente, usar o método das variáveis separáveis permite 
que resolvamos rapidamente uma equação diferencial.
Seja a EDO dada por 2 9 2 02 2 2xy x y x
dy
dx
�� � �� � � . Note que essa EDO não pode 
ser separada em relação às variáveis x e y, então não conseguimos aplicar de modo 
imediato o método das variáveis separáveis.
Assim, vamos tentar classificá-la de outra maneira. Para isso, usaremos a defini-
ção de função homogênea a seguir:
Definição 2
Quando podemos escrever:
f(tx, ty) = tn · f(x, y)
afirmamos que f(x, y) é homogênea com grau de homogeneidade n.
• Compreender o conceito 
de equação homogênea.
• Encontrar a solução de 
EDOs homogêneas.
Objetivos de aprendizagem
78 Cálculo Avançado
Para compreender melhor essa definição, acompanhe o exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Verifique que a função f(x, y) = 2xy – 9x2 é homogênea.
Solução
f(tx, ty) = 2(tx)(ty) – 9(tx)2 = 2t2xy – 9t2x2 = t2(2xy – 9x2) = t2 f(x, y)
Portanto, f(x, y) = 2xy – 9x2 é uma função homogênea.
Com essa definição e exemplificação, conseguimos apresentar o conceito de 
equação diferencial homogênea. Assim, temos:
Definição 3
Afirmamos que uma equação:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (9)
é homogênea quando M(x, y) e N(x, y) são funções homogêneas.
Usando a definição de função homogênea, garantimos que M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 
é homogênea quando M(tx, ty) = tn · M(x, y) e N(tx, ty) = tn · N(x, y).
Vamos verificar, no exemplo a seguir, se a equação que não era separável, apre-
sentada no início desta seção, é homogênea.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Seja 2 9 2 02 2 2xy x y x
dy
dx
� � �� � � , podemos escrever:
dx(2xy – 9x2) + (2y2 + x2)dy = 0
Logo, temos que M(x, y) = (2xy – 9x2) e N(x, y) = (2y2 + x2).
Vimos no Exemplo 4 que M(x, y) é homogênea, então basta verificarmos se 
N(x, y) também é; para N(x, y) = (2y2 + x2), fazemos:
g(tx, ty) = 2t2y2 + t2x2 = t2(2y2 + x2) = t2g(x, y)
Portanto, g(x, y) = (2y2 + x2) é uma função homogênea.
Assim, temos que a equação diferencial ordinária de grau 1, dada por 
2 9 2 02 2 2xy x y x dy
dx
� � �� � � , é homogênea.
Com isso, podemos estruturar um método de resolução, que veremos logo 
a seguir.
Equações diferenciais de primeira ordem 79
4.3.1 Método para resolução de EDOs homogêneas
Para resolver uma equação diferencial do tipo (9), precisamos utilizar a substi-
tuição algébrica. Inicialmente, faz-se uma mudança de variável da seguinte ma-
neira: x = uy ou y = tx. Então, se y = tx, temos que:
 dy = t dx + x dt (10)
Substituindo a equação (10) em (9), tem-se:
M(x, tx) dx + N(x, tx)[t dx + x dt] = 0
Se a função homogênea for de grau n, pode-se escrever:
xn M(1, t) dx + xn N(1, t)[t dx + x dt] = 0
[M(1, t) + tN(1, t)] dx + xN(1, t) dt = 0
Portanto:
dx
x
N t dt
M t tN t
�
� �
� � � � � �
1
1 1
0
,
, ,
Assim, por meio de manipulações algébricas, conseguimos transformar uma 
equação diferencial homogênea em uma equação diferencial separável. Com essa 
manipulação, recaímos na utilização do método da separação de variáveis, traba-
lhado anteriormente.
O exemplo a seguir complementa a análise da EDO 2 9 2 02 2 2xy x y x
dy
dx
� � �� � � .
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Resolva a equação diferencial 2 9 2 02 2 2xy x y x
dy
dx
� � �� � � .
Solução
O primeiro passo é verificar se estamos trabalhando com funções ho-
mogêneas. Fizemos essa análise nos Exemplos 4 e 5. Assim, temos 
que 2 9 2 02 2 2xy x y x dy
dx
� � �� � � é homogênea e M(x, y) = (2xy – 9x2) e 
N(x, y) = (2y2 + x2).
O segundo passo é realizar a substituição de variáveis da forma: 
y = tx ⇒ dy = t dx + x dt. Logo:
(2xy – 9x2) dx + (2y2 + x2) dy = 0
y = tx ⇒ dy = t dx + x dt
(2x tx – 9x2) dx + (2t2x2 +x2)(t dx + x dt) = 0
(2x2t – 9x2) dx + (2t2x2 + x2)t dx + (2t2x2 + x2)x dt = 0
(2t – 9) dx + (2t2 + 1)t dx + (2t2 + 1)x dt = 0
dx(3t – 9 + 2t3) + (2t2 + 1)x dt = 0 
O terceiro passo é realizar a separação de variáveis: (Continua)
80 Cálculo Avançado
dx(3t – 9 + 2t3) = –(2t2 + 1)x dt
dx
x
t
t t
dt� �
�� �
� �� �
2 1
3 9 2
2
3
Resolvendo a equação pelo método da separação de variáveis e inte-
grando, obtemos:
1 2 1
3 9 2
2
3x
dx
t
t t
dt K� �
�� �
� �� �
��
Resolveremos 
2 1
3 9 2
2
3
t
t � t
dt
�� �
� �� ��
 por substituição de variáveis. Considerare-
mos u = (3t – 9 + 2t3). Com isso, teremos:
du = 3 + 6t2 dt
du = 3(1 + 2t2)dt
1
3 1 2 2�� �
�
t
du dt
Substituindo na integral, temos:
�
�� �
�� �
� � �
2 1 1
3 1 2
1
3
1
2
2
t
u t
du
u
du
1
3
1
3
3 9 2 3ln u ln t t� � �
Voltando à equação de variáveis separáveis � � �
�� �
� �� �
�
1 2 1
3 9 2
2
3x
dx
t
t t
dt K 
e resolvendo-a:
� � �
�� �
� �� �
�
1 2 1
3 9 2
2
3x
dx
t
t t
dt K
ln x ln t t K� � �� � �13 3 9 2
3
3ln|x| + ln|(3t – 9 + 2t3)| = lnC
ln|x|3 + ln|(3t – 9 + 2t3)| = lnC
ln(|x|3 ⋅ |(3t – 9 + 2t3)|) = lnC
|x|3 ⋅ |3t – 9 + 2t3| = C
|x3(3t – 9 + 2t3)| = C
x3(3t – 9 + 2t3) = ± C
x3(3t – 9 + 2t3) = C1 
Porém, sabemos que y = tx, ou seja, t y
x
= , logo: (Continua)
Equações diferenciais de primeira ordem 81
x3(3t – 9 + 2t3) = C1
x y
x
� y
x
C3
3
13 9 2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x y
x
y
x
C3
3
3 1
3 9 2� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3x2y – 9x3 + 2y3 = C1
As raízes da equação 3x2y – 9x3 + 2y3 = C1 são a solução da EDO homogênea 
2 9 2 02 2 2xy x y x dy
dx
� � �� � � .
Observe o resultado do Exemplo 6 na figura a seguir.
Figura 6
Campo de direções e solução da EDO 2 9 2 02 2 2xy x y x dy
dx
� � �� � �
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que as soluções vão se ajustando aos campos de direções para qualquer 
c informado.
Mas e se a EDO não puder ser resolvida pelo método das variáveis separáveis e 
não for homogênea? Como devemos proceder?
Veremos, a seguir, mais um método, que auxiliará na resolução das EDOs ditas 
exatas. Vamos entender.
Para saber mais sobre as 
EDOs homogêneas e traba-
lhar com outros exercícios 
resolvidos, sugerimos o 
vídeo Equações homogêneas 
de primeira ordem, na plata-
forma da Khan Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
differential-equations/first-
order-differential-equations/
homogeneous-equations/v/first-
order-homegenous-equations. Acesso 
em: 24 nov. 2021.
Vídeo
82 Cálculo Avançado
4.4 Equação exata 
Vídeo Antes de definirmos o que é uma equação diferencial exata, vamos deixar a 
seguinte afirmação, porém explicaremos esse contexto ao longo da seção: “toda 
EDO homogênea é exata, mas nem toda EDO exata é homogênea”. Com essa 
afirmação, definimos:
Definição 4
Temos uma equação diferencial exata quando, ao assumir M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, o seu primeiro 
membro é a diferencial total de alguma função U. Isso nos mostra que existe uma função U(x, y), tal que 
dU = M dx + N dy.
Observe que, se dU = M dx + N dy, temos que:
�
�
� � �U
x
M x y, (11)
�
�
� � �U
y
N x y, (12)
Além disso, dU = M dx + N dy = 0, assim U = C.
Mas, então, como identificar uma equação exata? O teorema a seguir mostra 
esse procedimento.
Teorema 1 (critério para diferencial exata)
De acordo com Zill (2016, p. 61), “sejam M(x, y) e N (x, y) contínuas e com derivadas parciais 
de primeira ordem contínuas em uma região R, definida por a < x < b e c < y < d. Então, 
uma condição necessária e suficiente para que M(x, y) dx + N(x, y) dy seja uma diferencial 
exata é”:
� M
y
N
x
�
�
�
�
� (13)
No exemplo a seguir, verificaremos se a EDO apresentada é exata, usando a 
teoria abordada anteriormente.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 7
Seja a equação diferencial 2 9 2 1 02 2xy x y x
dy
dx
�� � � �� � � . Verifique se essa se 
trata de uma equação diferencial exata.
Solução
Primeiramente, organizaremos essa EDO no formato M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. 
Logo:
(2xy – 9x2) dx + (2y + x2 + 1) dy = 0 
• Compreender o conceito 
de equação diferencial 
exata.
• Encontrar a solução de 
EDOs exatas.
Objetivos de aprendizagem
(Continua)
Equações diferenciais de primeira ordem 83
M(x, y) = 2xy – 9x2 e N(x, y) = 2y + x2 + 1
Precisamos mostrar que �
�
�
�
�
M
y
N
x
.
 
�
�
� � �M
y�
x y � x, 2 e �
�
�
N
x
x2
De fato, temos que 
�
�
�
�
�
�
M
y
N
x
x.2 Assim, a equação diferencial (2xy – 9x2) dx 
+ (2y + x2 + 1) dy = 0 é exata.
Perceba que (2xy – 9x2) dx + (2y + x2 + 1) dy = 0 não é homogênea, pois:
N(tx, ty) = (2ty + t2x2 + 1) ≠ t2 · N(x, y)
Portanto, N(x, y) não é uma função homogênea.
Com a verificação de que a EDO é exata, precisamos pensar em como resolvê-la. 
Veremos como fazer isso a seguir.
4.4.1 Método para resolução de EDOs exatas
Como vimos, inicialmente mostramos que a equação é exata e, na sequência, 
supomos que �
�
� � �U
x
M x y, e 
�
�
� � �U
y
N x y, .
Vamos idealizar o método por intermédio de uma sequência de passos descrita 
a seguir.
I. Integrar uma dessas equações.
II. Considerar a outra variável como constante.
III. Comparar com a outra equação.
Agora, colocaremos em prática esses passos no próximo exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 8
Resolva a equação diferencial (2xy – 9x2) dx + (2y + x2 + 1) dy = 0.
Solução
O primeiro passo é verificar se a EDO é uma equação exata. Vimos ante-
riormente que essa EDO é sim uma equação exata, pois �
�
�
�
�
�
M
y
N
x
x.2
O segundo passo é utilizar a diferencial total:
dU = M dx + N dy
 
�
�
� �� �Ux xy x �2 9
2 (14)
 
�
�
� � �� �Uy y x2 1
2 (15) 
(Continua)
84 Cálculo Avançado
Integrando a equação (14) em relação a x, podemos considerar y como uma 
constante. Assim:
 U = x2y – 3x3 + C1(y) (16)
Então, temos que comparar a derivada de (16) em relação a y com (15). Dessa 
forma, derivando U = x2y – 3x3 + C1(y) em relação a y, encontramos:
�
�
� � � �U
y
x � �C y2 1́
Comparando com (15), temos que:
C’1(y) = 2y + 1
Logo:
C y y �dy1 2 1� � � � �� �
C1(y) = y
2 + y + C2
Substituindo em (16), temos:
U = x2y – 3x3 + y2 + y + C2
Mas sabemos que U = constante, portanto:
C3 = x
2y – 3x3 + y2 + y + C2
x2y – 3x3 + y2 + y = C3 – C2
x2y – 3x3 + y2 + y = C
Diante da classificação de uma EDO, percebemos que existem diferentes méto-
dos de resolução. A seguir, mostraremos o chamado fator integrante, que possibilita 
que escrevamos uma EDO de primeira ordem linear em uma equação exata. Veja-
mos esse processo.
4.5 Equações lineares de primeira ordem 
Podemos obter uma equação exata multiplicando uma equação não exata por 
uma função nas variáveis x e y, que chamamos de fator de integração. A equação 
obtida ficará escrita como:
(x, y) · M(x, y) dx + (x, y) · N(x, y) dy = 0
Essa pode ser diferente (ou não equivalente) da original quando tratamos de 
suas soluções. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções. 
Sempre que tivermos uma EDO linear, será possível encontrar um fator integrante 
que a transforme em uma equação exata.
O teorema a seguir mostra como calcular o fator integrante.
Existem algumas calculado-
ras on-line que auxiliam na 
verificação dos resultados 
encontrados neste capítulo. 
Caso tenha curiosidade 
em manipular essas 
ferramentas, sugerimos 
o site Symbolab, que 
contempla diversas calcu-
ladoras de cálculo e outras 
áreas das exatas.
Disponível em: https://pt.symbolab.
com/solver. Acesso em: 24 nov. 2021.
Site
Nesse ponto, ainda po-
demos isolar y para obter 
uma equação reduzida 
para a solução da EDO 
(2xy – 9x2) dx + (2y + x2 + 1) dy = 0. 
Mas deixamos essa desco-
berta como um desafio 
para você.
Desafio
• Compreender o conceito 
de equação diferencial 
ordinária linear e o mé-
todo do fator integrante.
• Encontrar a solução de 
EDOs lineares pelo mé-
todo do fator integrante.
Objetivos de aprendizagem
Vídeo
Equaçõesdiferenciais de primeira ordem 85
Teorema 2 – fatores integrantes
Seja a EDO dada por:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Se 1
N x y y
M x y
x
N x y h x
,
, ,
� �
�
�
� � � �
�
� ��
�
�
�
�
� � � � é uma função só de x, então e∫h(x)dx é um 
fator integrante.
Se 1
M x y x
N x y
y
M x y k y
,
, ,
� �
�
�
� � � �
�
� ��
�
�
�
�
� � � � é uma função só de y, então e∫k(y)dy é um fator integrante.
É comum trabalharmos com fatores integrantes na variável x. Nesse caso, ado-
tamos a notação μ(x) = e∫h(x)dx.
O próximo exemplo permitirá o entendimento do cálculo do fator integrante, 
assim como a obtenção da solução de um problema dito problema de valor inicial.
Em um problema de valor inicial (PVI), além de conhecermos a EDO que modela o problema, temos a condição 
inicial para esse modelo. Um PVI ou problema de Cauchy é um do tipo:
du
dt
t u t
t u
� � �� �
� � �
�
�
�
��
f
u
,
0 0
(17)
Com:
• u: ℝ → ℝ;
• f: ℝ × ℝ;
• t > t0;
• t0, u0 constantes reais.
Em geral, quando resolvemos uma equação diferencial, encontramos uma família de curvas. Para 
limitar a solução a uma curva, precisamos impor condições iniciais para o problema.
Assim, a junção de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem a uma condição inicial é 
chamada de problema de valor inicial (PVI) ou problema de Cauchy.
A seguir, resolveremos um exemplo de PVI.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 9
Resolva o PVI dado por 
dy
dx x
x�
�
� �
1
1
12 , para y(0) = 0.
Solução
Faz-se a verificação inicial da equação diferencial para analisar se ela é exata. 
Assim, teremos:
(x3 + x2 – x) dx – (x + 1) dy = 0
M x y x x x � M
y
�,� � � � �� � � �� �
3 2 0
N x y x � N
x
�,� � � �� � � �
�
�1 1
 (Continua)
86 Cálculo Avançado
Logo, a solução não é exata, pois, �
�
�
�
�
M
y
N
x
.
Nesse caso, é necessário encontrar um fator integrante. Assim:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
M
y
N
x
�0 1 1
Portanto, como 1
N x y y
M x y
x
N x y h x
,
, , ,� �
�
�
� � � �
�
� ��
�
�
�
�
� � � � escrevemos:
h x
x
� � � �
�
1
1
Dessa forma, temos que a equação admite fator integrante:
� �x e e x xx
dx x� � � � � � � � �� �
� �
�
�
�
�
�
�
� � �� � �
1
1 1 11ln
Precisamos multiplicar o valor encontrado do fator integrante pela equação 
diferencial, conforme a seguir:
1
1
1 03 2
x
x x x dx x dy � �
�
� �� � � �� � ���� ���
Agora, temos uma equação exata. Vamos montar a equação geral F(x, y) = c, 
em que �
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
��
F
x
M x x x
x
3 2
1
 e 
�
�
� �
F
y
N 1.
Integrando �
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
��
F
x
x x x
x
3 2
1
 em relação a x, obtemos:
F x y x x x
x
h y x x x h y �, ln� � � � � �
�
�
�
��
�
�
�� � � � � � � �� � � � �
3 2 3
1 3
1
De 
�
�
�
F
y
N, temos que 0 + h’(y) = 1 ⇒ h(y) = y.
Logo, a solução geral será F x y
x x x y x, ln .� � � � � �� � � � �
3
3
1
Como x x x y x c,
3
3
1� � �� � � � � �ln para a condição inicial adotada, temos que:
C = 0
Assim, o PVI tem solução particular igual a �x x x y x
3
3
1 0� � �� � � � � �ln .
Equações diferenciais de primeira ordem 87
Observe, a seguir, o gráfico com o campo de direções e a solução para o PVI.
Figura 7
Campo de direções e solução da EDO dy
dx x
x�
�
� �
1
1
12
Fonte: Elaborada pela autora.
Com a técnica do fator integrante, ampliamos nossas ferramentas de resolu-
ção de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Um fator integrante 
sempre pode ser calculado para uma equação diferencial linear.
De acordo com Zill e Cullen (2001, p. 68), uma EDO linear pode ser definida da 
seguinte maneira:
Definição 5
“A forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n é dada por”:
a x d y
dx
a x d y
dx
a x dy
dx
a x y g xn
n
n n
n
n� � � � � ��� � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 (18)
Portanto, a linearidade depende da verificação de todos os coeficientes an(x), 
que precisam ser funções somente de x. Nesse caso, y e todas as suas derivadas 
são elevados à primeira potência (ZILL; CULLEN, 2001).
Para caracterizar uma equação de primeira ordem, teremos n = 1. Dessa forma, 
podemos escrever:
a x dy
dx
a x y g x1 0� � � � � � � �
88 Cálculo Avançado
Fazendo a divisão dessa equação por a1(x), obtemos:
 
dy
dx
p x y q x� � � � � � (19)
Procuramos uma solução para a equação (19) em um intervalo no qual as 
funções p(x) e q(x) são contínuas. Desse modo, podemos reescrever da seguinte 
forma (ZILL; CULLEN, 2001):
[p(x) – q(x)]dx + dy = 0
Vimos, por meio do fator integrante, que, para equações lineares, sempre é 
possível encontrar μ(x). Sendo assim, escrevermos:
μ(x) · [p(x) – q(x)] dx + μ(x) dy = 0
Essa é uma equação diferencial exata. Logo:
�
�
� � � � � � ��� �� �
�
�
� �
y
x p x y q x dx
x
x dy� �
d
dx
x x p x� �� � � � � � �
d x
x
p x dx �ln x p x dx� 
�
�
�
� �
� � � � � � � � � � � �
μ(x) = e∫ p(x)dx
Esse cálculo nos leva a concluir que (x) é um fator de integração para a equação 
linear. Assim, segue o teorema:
Teorema 3 
A equação diferencial linear de primeira ordem:
y´ + p(x)y = q(x)
admite um fator integrante μ(x) = e∫ p(x)dx e a solução geral é:
y e q x e dx cp x dx p x dx� � � � ��
��
�
��
� � � � � � �
Resumindo:
I. calcule o fator integrante;
II. multiplique a equação pelo fator integrante;
III. integre para achar a solução.
Vamos resolver mais um exemplo que expressa a aplicação do fator integrante 
para resolver uma EDO linear de primeira ordem.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 10
Encontre a solução geral de x
dy
dx
y x ex� �2 6 .
Solução
dy
dx x
y x ex� �2 5 
(Continua)
Equações diferenciais de primeira ordem 89
p x
x
�e�q x x ex� � � � � � �2 5
y q x e dx C ep x dx - p x dx� � � � �� �� � � � � �
p x dx
x
dx ln�x e x ��e�e xln�x � ln�x �� � � � � � � �� � �
� � � �2 2 2 2 2 2
y xe dx C x xe e C xx x x� � �� � � � �� �2 2
Portanto, com o fator integrante, temos as técnicas necessárias para resolver 
equações diferenciais lineares. Contudo, nem todos os modelos matemáticos re-
caem em equações lineares. Por isso, precisamos também pensar em técnicas de 
resolução para equações diferenciais de primeira ordem não lineares.
Veremos algumas dessas técnicas na seção a seguir.
4.6 Bernoulli e Ricatti 
Vídeo Dentro do campo das equações diferenciais de primeira ordem, existem alguns 
casos clássicos de equações não lineares que podem ser referenciados, pois po-
dem ser transformados (reduzidos) para equações diferenciais lineares. São eles: 
equação de Bernoulli e equação de Ricatti.
Na sequência, veremos como essas equações diferenciais não lineares são 
estruturadas e como resolvê-las.
4.6.1 Equação de Bernoulli
A equação diferencial escrita na forma:
 
d
dx
y x p x y x q x y xn� � � � � � � � � � � � (20)
em que n é um número real qualquer, é uma equação não linear chamada de 
equação de Bernoulli (ZILL; CULLEN, 2001).
A ideia principal que trabalharemos nesta seção está em como realizar uma mu-
dança de variável que permita transformar a equação não linear em uma equação 
diferencial ordinária linear.
Dividindo ambos os membros de (20) por yn (x), obtemos:
y dy
dx
p x y q xn n� ��
�
�
�
�
� � � � � � �1
Seja, agora, w = y1–n, então 
dw
dx
n y dy
dx
n� �� � �
�
�
�
�
�
�1 .
Multiplicando essa equação por (1 – n), temos:
dw
dx
n p x w n q x� �� � � � � �� � � �1 1 (21)
Identificar e resolver 
equações diferenciais or-
dinárias não lineares que 
podem ser linearizadas.
Objetivo de aprendizagem
90 Cálculo Avançado
A equação (21) é uma equação diferencial ordinária linear (supondo p(x) e q(x) 
contínuas), que pode ser resolvida, por exemplo, por fatores integrantes. Após 
substituir w por y1–n, obtemos a solução geral para essa EDO, sendo:
y x n q x e dx C en n p x dx n p x dx1 1 11� �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� �
Vamos resolver um exemplo de equação de Bernoulli, a seguir, para entender-
mos melhor esse processo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 11
Resolva 
dydx x
y xy� �1 2.
Solução
Comparando dy
dx x
y xy� �1 2 com dy
dx
p x y q x yn� � � � � � , verificamos que p x x� � �
1 , 
 q(x) = x e n = 2. Assim:
y x n q x e dx C en n p x dx n p x dx1 1 11� �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� �
Temos que � � � � � �p x dx dx
x
ln�x�. Portanto:
y x xe dx C eln�x� ln�x�� �� � � � � �� �1
y x dx C x x x C� � � � � � �� � � � �� �1
y x
x C
� � � �
�
1
2
Com isso, temos que as equações de Bernoulli que são não lineares podem ser 
linearizadas e resolvidas pelas técnicas já conhecidas, tendo como principal técnica 
o uso de fatores integrantes que transformam a EDO linear em uma equação exata.
Além de Bernoulli, outra equação importante dentre as EDO são as equações de 
Ricatti. Vamos entendê-las na sequência.
4.6.2 Equação de Ricatti
Considere a equação diferencial de primeira ordem como a seguir:
dy
dx
f x y �� � �,
Se nos aproximarmos de f(x, y) enquanto x é mantido constante, ou seja, escre-
vermos f(x, y) por uma série de funções, obteremos:
f(x, y) = p(x) + q(x)y + r(x)y2 + ...
Equações diferenciais de primeira ordem 91
Ao truncarmos essa série em y, obtemos a equação diferencial de primeira 
ordem de Ricatti; ou seja, é escrita como:
 
dy
dx
p x q x y r x y� � � � � � � � � 2 (22)
Em que p(x), q(x) e r(x) são todas funções de x. Temos aqui uma EDO não linear, 
que depende de algumas manipulações algébricas antes de ser resolvida.
Se r(x) = 0, a equação (22) se torna linear e pode ser resolvida pelo método das 
variáveis separáveis.
Se p(x) = 0, a equação (22) é uma equação de Bernoulli, que, como sabemos, 
pode ser linearizada.
Caso essas duas suposições sejam inexistentes para a equação 
dy
dx
p x q x y r x y� � � � � � � � � 2 , dependemos da existência de uma solução particular.
Dessa forma, consideraremos y0(x) uma solução particular de:
dy
dx
p x q x y r x y� � � � � � � � � 2
Com isso, podemos escrever uma nova função z, definida por y0(x), na forma:
z
y y x
�
� � �
1
0
O que nos leva a:
 
dz
dx
q x y x r x z r x� � � � � � � � �� � � � �2 0 (23)
que é uma equação linear com relação à nova função z.
Após resolver a equação (23), retornamos para y por meio da correspondência:
y y x
z
� � � �0
1
Essa última será a solução da equação de Ricatti.
Note que o método de Ricatti parte de uma aproximação da função f(x, y); 
portanto, devemos considerar a existência de um erro de truncamento para esse 
tipo de abordagem. No exemplo a seguir será possível aplicar o método e identifi-
car suas particularidades.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 12
Resolva a equação dy
dx
y y �� � � �2 2, sabendo que y1 = 2 é uma solução particular.
Solução
Primeiro, precisamos verificar se y1 é de fato uma solução. Assim, temos: 
z
y
�
�
1
2
(Continua)
92 Cálculo Avançado
Logo:
y
z
� �2 1
Que implica:
�
�
� �y z
z2
Assim, da equação definida em y, tem-se:
� � � � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�z
z z z2
2
2 2 1 2 1
Por intermédio de manipulações algébricas, obtemos:
� � �
�z
z z z2 2
3 1
Portanto:
z’ = –3z – 1
Essa é uma equação linear e sua solução geral é dada por:
z
e C
e
Ce
x
x
x�
� �
� � � �
1
3 1
3
3
3
3
Assim, temos:
y
Ce x
� �
� � �
2 1
1
3
3
Com isso, trabalhamos com mais um dos possíveis métodos de resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem.
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Ao longo do capítulo, apresentamos o conceito e alguns métodos para encontrarmos 
a solução de equações diferenciais de primeira ordem.
O campo da matemática que abrange as equações diferenciais é amplo e riquíssi-
mo, não só em suas teorias, mas nas possibilidades de aplicações.
Além de ferramentas para solução de equações analíticas, como vimos no decorrer 
do capítulo, o campo das equações diferenciais se estende para métodos numéricos 
demasiadamente possíveis de resolução computacional.
É uma área realmente fascinante, e esperamos que você tenha gostado.
Equações diferenciais de primeira ordem 93
ATIVIDADES
Atividade 1
Seja a equação diferencial ordinária dada por 
dy
dx
x� �y
x� �y
�
�
�
. Avalie se essa é uma 
equação homogênea e justifique sua resposta.
Atividade 2
Considerando uma equação diferencial ordinária linear, podemos verificar se ela 
pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Caso não possa, anali-
samos se a EDO é homogênea ou exata. Se as respostas forem negativas para essa 
última, adotamos o método do fator integrante. Poderíamos, então, adotar direta-
mente o método do fator integrante para diminuir o número de etapas realizadas? 
Justifique sua resposta.
Atividade 3
Uma equação diferencial de primeira ordem não linear de Bernoulli é escri-
ta na forma 
d
dx
y x p x y x q x y xn� � � � � � � � � � � �. Assumindo n = 0 e n = 1, a equação 
d
dx
y x p x y x q x y xn� � � � � � � � � � � � continua sendo não linear? Justifique sua resposta.
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, R. C. Equações diferenciais ordinárias: um curso introdutório. Santo André: UFABC Textos 
Didáticos, 2011. (Coleção BC&T). Disponível em: https://www.researchgate.net/publication/256325903_
Equacoes_Diferenciais_Ordinarias:_Um_curso_introdutorio. Acesso em: 24 nov. 2021.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. 
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
94 Cálculo Avançado
5
Equações diferenciais 
de segunda ordem
Um dos clássicos problemas da física é o chamado sistema (ou problema) massa-
-mola. Esse tipo de sistema é frequentemente usado como modelo para a análise de 
oscilações entre partículas. Quando falamos em partículas no contexto, por exemplo, 
da mecânica clássica, estamos tratando de estruturas que, por diversos fatores, são 
consideradas com dimensão desprezível e, portanto, suas dimensões não afetam a 
análise do fenômeno avaliado.
Independentemente das diversas composições e construções de um sistema 
massa-mola, este deve apresentar as duas estruturas que lhe dão nome: uma massa m 
(objeto) presa a extremidade de uma mola. Dentro desse contexto, é possível montar 
sistemas massa-mola com um número n de molas, conectadas a um ou mais objetos. 
A complexidade do sistema dependerá da aplicação física (problema) a ser resolvida.
Ao esticarmos (ou comprimirmos) essa mola, ela exercerá uma força proporcional 
ao deslocamento x desse objeto. Essa relação, conhecida como lei de Hooke, é escrita 
como:
força elástica kx�� � �� �
O símbolo k representa a constante positiva da mola, e o deslocamento x é calcula-
do em função do tempo. De maneira bastante simplificada, ignorando fatores como a 
resistência do ar e o atrito, a lei de Hooke é formulada como se segue:
m d x
dt
�=� kx
2
2
−
O resultado que vemos é uma equação diferencial de segunda ordem, e resolvê-
-la permite que também possamos responder aos questionamentos sobre o modelo 
massa-mola apresentado. Neste capítulo veremos como resolver esse tipo de equa-
ção diferencial ordinária, dita de segunda ordem.
5.1 Equações homogêneas com coeficientes constantes
Vídeo Nesta seção apresentaremos a forma e os métodos para resolver equações di-
ferenciais lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes. 
Mas, para isso, precisamos compreender quem são as equações diferenciais de 
segunda ordem e como classificá-las a fim de podermos definir os métodos de 
resolução.
Equações diferenciais de segunda ordem 95
Uma equação diferencial de segunda ordem é aquela que apresenta uma de-
rivada de segunda ordem como a sua maior derivada. Sendo assim, a forma geral 
para uma EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem é dada por:
d y
dx
f x y dy
dx
2
2
� � � �
�
�
�
�
�, ,
A letra f representa uma função conhecida, mas, se f for linear em y e y’, essa 
equação é chamada de linear; caso contrário, ela será denotada como não linear. 
Uma equação diferencial linear de segunda ordem tema seguinte forma:
P x d y
dx
Q x dy
dx
R x y G x� � � � � � � � � � �
2
2
 � � (1)
Nessa equação, P, Q, R e G são funções da variável independente x e P(x) ≠ 0. 
Para resolver esse tipo de equação diferencial, vamos nos restringir a intervalos em 
que essas funções (P, Q, R, G) sejam contínuas.
A equação diferencial (1) é chamada de homogênea se a função G(x) for igual a 
zero; caso contrário, ela é chamada de não homogênea. Nesta seção estudaremos 
métodos para solucionar essa equação, onde as funções P, Q e R são constantes e 
G(x) = 0. Ou seja, equações com a, b e c constantes dadas:
ay by cy'' ' �� � � � �� � � 0 (2)
Com isso, temos que a equação do modelo massa-mola apresentada por meio 
de (3) pode ser diretamente comparada com a equação (2). 
m d x
dt
kx
2
2
� �� � (3)
Note que a equação do modelo massa-mola, equação (3), apresentada é uma 
equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes, 
que pode ser reescrita como mx" + kx = 0, com m e k sendo constantes já conheci-
das e x = x(t).
Vamos entender nas próximas seções como resolvê-la.
5.1.1 Soluções de equações homogêneas 
com coeficientes constantes
Dada a equação diferencial homogênea de segunda ordem com a, b, c ∈ ℝ:
ay by cy''� � '� � � �� � � � � ��� � � 0 (4)
A função da forma y(x) = erx, em que r é uma constante, é uma solução para a 
equação (4). Ou seja, substituindo y(x) = erx, y’(x) = rerx, y’’(x) = r2 erx na equação (4), 
obtemos:
ar e bre ce ar br c erx rx rx rx2 20 0 ��� ��� � �� � � � � �� � �
Como a função erx ≠ 0, temos que y x erx� � � é solução se, e somente se, r for 
solução da equação:
• Compreender o conceito 
de equações diferenciais 
de segunda ordem.
• Interpretar e aplicar 
diferentes métodos de 
solução para as equações 
diferenciais de segunda 
ordem.
Objetivos de aprendizagem
96 Cálculo Avançado
ar br c2 0� � � � � �� � � � � �� � � (5)
A equação (5) é chamada de equação característica e pode ser obtida associando 
a ordem da derivada da função y com o grau da constante r, ou seja:
�� �y r2 � � �y r r1� � y r� �0 1� �, ,
Como a equação característica é uma equação de segundo grau, podemos ob-
ter três situações distintas com relação à solução da equação diferencial. Vamos 
explorá-las.
5.1.1.1 Equação característica com duas raízes reais e distintas
A primeira situação que trabalharemos é o caso em que a equação do segundo 
grau possui duas soluções reais e distintas.
Sejam r1 e r2 raízes reais da equação característica (5), mas se r1 ≠ r2, a solução 
para a equação homogênea (4) será dada por:
y x c e c er x r x� � � �� � �1 1 2 2 (6)
Vamos resolver, a seguir, um exemplo que apresenta a resolução utilizando 
essa técnica.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial homogênea dada por 2 6 8 0y y y''� � '� � � �� � � � � �� � � . 
Associando y’’ → r2, y’ → r, y → 1, escrevemos a equação característica como:
2 6 8 02r r� � � � � �� � �� � � � �
Dessa forma, a solução é: r1 = –4 e r2 = 1.
Como a equação característica fornece duas raízes reais e distintas, a solução 
da equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (6), portanto: 
y x c e c ex x� � � ��� � �1 4 2 .
Vejamos mais um exemplo nesse contexto.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
Resolva a equação diferencial homogênea dada por 3 6 0y y''� � '� �� � � �� � . 
Associando y’’ → r2, y’ → r, y → 1, escrevemos a equação característica como:
3 6 02r r� � � �� � � �� �
Dessa forma, a solução é: r1 = 0 e r2 = 2.
Equações diferenciais de segunda ordem 97
Como a equação característica fornece duas raízes reais e distintas, a solu-
ção da equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (6), logo: 
y x c c e x� � � �1 2 2� � .
Portanto, conseguimos resolver EDOs de segunda ordem homogêneas com 
coeficientes constantes, que recaem em equações características com duas raízes 
reais e distintas. Veremos, na sequência, os casos em que as raízes são reais e 
iguais ou complexas.
5.1.1.2 Equação característica com duas raízes reais e iguais
A situação que vamos abordar neste tópico se refere à equação do segundo 
grau que possui duas soluções reais e iguais.
Sejam r1 e r2 raízes reais da equação característica (5), mas se r1 = r2, a solução 
para a equação homogênea (4) será dada da seguinte forma:
y x c e c xer x r x� � � �1 1 2 1� � (7)
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Resolva a equação diferencial homogênea dada por y y y''� � ' � � � �� � � � � �� � �10 25 0 . 
Associando y’’ → r2, y’ → r, y → 1, escrevemos a equação característica como:
r r2 10 25 0� � � � � �� � � � � �� � �
Dessa forma, a solução é r1 = r2 = 5.
Como a equação característica fornece duas raízes reais e iguais, a solução 
da equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (7). Portanto, 
y x c e c xex x� � � �1 5 2 5� � .
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Resolva a equação diferencial homogênea dada por 2 12 18 0y y y''�� �� '�� �� �� ��� � � . 
Associando y r y r y" � ,� ' � ,� � �→ → →� � �2 1, escrevemos a equação característica 
como:
2 12 18 02r r�� � � � � �� � �� � � � �
Dessa forma, a solução é r1 = r2 = –3.
Como a equação característica fornece duas raízes reais e iguais, a solu-
ção da equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (7). Assim, 
y x c e c xex x� � � �� �1 3 2 3� .
98 Cálculo Avançado
Além de soluções reais, uma equação do segundo grau pode apresentar solu-
ções complexas e conjugadas. Veremos esse caso a seguir.
5.1.1.3 Equação característica com duas raízes complexas
A situação com a qual vamos lidar neste tópico se refere à equação do segundo 
grau que possui duas soluções complexas conjugadas.
Sejam r1 e r2 raízes complexas da equação característica (5). Se r1 = α + iβ e 
r2 = α – iβ, a solução para a equação homogênea (4) será dada por:
y x c e c ei x i x� � � ��� � �� �1 2� � � �� � (8)
Para não trabalharmos com exponenciais complexas, como apresentado na 
equação (8), para contornar a situação, vamos usar a fórmula de Euler, em que θ é 
qualquer número real: 
e cos iseni� � �� � � � �� � � � � �� � � (9)
Assim, considerando a paridade das funções seno e cosseno, temos:
e cos x i sen xi x� � �� � � � � �� � �
e cos x i sen x cos x i sen xi x� � �� � � �� � � � � � � �� � � � �� � � � � �
(10)
Trocando as expressões obtidas em (10) na equação presente em (8), obtemos 
outra estrutura, em que C c c C ic ic1 1 2 2 1 2� � � �� � � �e� � � � .
y x c e cos x i sen x c e cos x i senx x� � � � � � � ��� �� � � � �� � � � � � � � � �1 2� �� � � ��x� ��� ��
y x e c cos x ic sen x c cos x ic sen xx� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �1 1 2 2 ���� ��
y x e c c cos x ic ic sen xx� � � � � � � �� � � ��� ��� � � � � � � � �� � �( )1 2 1 2
(11)
Assim, a equação (8) pode ser escrita da seguinte maneira:
y x e C cos x C sen xx� � � � � � � ��� ��� � � �� � �� 1 2 (12)
Os exemplos a seguir mostram a aplicação dessa metodologia para encon-
trarmos a solução de uma EDO de segunda ordem homogênea com coeficientes 
constantes.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Resolva a equação diferencial homogênea dada por y y y'' � � '� � � �� � � � � �� � �4 5 0 . As-
sociando y’’ → r2, y’ → r, y → 1, escrevemos a equação característica como:
r r2 4 5 0� � � � � �� � � � � �� � �
Dessa forma, a solução é r1 = 2 + i e r2 = 2 – i.
Equações diferenciais de segunda ordem 99
Como a equação característica fornece duas raízes complexas, a solução da 
equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (12). Portanto, to-
mando � �� � � � � � , .� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� ��2 1 2 1 2e y x e C cos x C sen xx
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Resolva a equação diferencial homogênea dada por y y''� � � �� � � �� �9 0 . 
Associando 
y’’ → r2, y’ → r, y → 1, escrevemos a equação característica como:
r2 9 0� � � �� � � �� �
Desse modo, a solução é r1 = 3i e r2 = –3i.
Como a equaçãocaracterística fornece duas raízes complexas, a solução da 
equação homogênea pode ser escrita por meio da expressão (12). Portanto, to-
mando � �� � � � � � � � � � �� � � � � � ,� � � � � � � .� � � � � � � � � �0 3 3 31 2e y x C cos x C sen x
Estudamos nesta seção as equações diferenciais homogêneas de segunda or-
dem com coeficientes constantes. Podemos perceber que resolver equações dessa 
forma se resume a resolver uma equação do segundo grau, sendo sua solução 
dada de acordo com as raízes dessa equação quadrática.
5.2 Problemas de valor inicial e de contorno
Vídeo Nos tópicos a seguir, vamos diferenciar um problema de valor inicial e um pro-
blema de valor de contorno. Porém, antes de falarmos das diferenças, traremos 
a semelhança entre um problema de valor inicial (PVI) e um problema de valor de 
contorno (PVC).
Ambos têm em comum a existência de informações adicionais, isto é, informa-
ções que vão além do conhecimento da equação diferencial. Com isso, é possível ir 
além da solução geral, pois tanto a condição inicial quanto a condição de contorno 
permitirão a obtenção de mais detalhes sobre o problema que está sendo resolvi-
do a partir de uma equação diferencial ordinária.
Mas o que são essas informações a mais e o que faz com que alguns problemas 
tenham condição inicial e outros tenham condição de contorno? A seguir, vamos 
entender esse contexto.
5.2.1 Problema de valor inicial
Sejam y0 e y1 constantes arbitrárias, considere uma equação diferencial de se-
gunda ordem sujeita a determinadas condições: 
Compreender a estrutura 
de problemas de valor 
inicial de contorno no 
contexto das equações 
diferenciais ordinárias de 
segunda ordem.
Objetivos de aprendizagem
100 Cálculo Avançado
�
,�� '
a x d y
dx
a x dy
dx
a x y g x
y x y y x
2
2
2 1 0
0 0 0
� � � � � � � � � � �
� � � �
� � � � � �
� � �� �
�
�
�
�
� � �y1
ou seja,
Resolver: a x d y
dx
a x dy
dx
a x y g x2
2
2 1 0� � � � � � � � � � �� � � � � �
Sujeito a: y x y y x y0 0 0 1� � � � � �� � ,� ' � � .� � � � �
(13)
O problema apresentado em (13) é chamado de PVI. Assim, para que ele seja 
um problema de valor inicial, precisamos conhecer as condições iniciais ou valores 
específicos para y(x0) = y0 e y’(x0) = y1.
O gráfico de uma solução (13) será uma função que satisfaça a essa equação e 
passe por (x0, y0) com inclinação inicial igual a y0. Nos exemplos a seguir, resolvere-
mos EDOs de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes, conhecen-
do as condições iniciais dessas equações.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 7
A função y c e c ex x� � � �� �� �1
2
2
3 é solução para a equação diferencial homogê-
nea y y y''� � ' � � � �� � � � � �� � �5 6 0 . Se considerarmos as condições y(0) = 2 e y’(0) = 3, 
iremos obter a solução para o PVI:
y y y y y'' � � ' � � � � ,�� � � ,� ' � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �5 6 0 0 2 0 3
Como y c e c ex x� � � �� �� �1
2
2
3 é a solução da equação diferencial, sua derivada é 
y c e c ex x' � � �� � �� �2 31
2
2
3 . Logo, a partir das condições iniciais, temos:
y
y
c c
c c
c c
0 2
0 3
2
2 3 3
91 2
1 2
1 2
� � �
� � �
�
� �
� � �
� � � �
� �
� �
� � � �
� � � �
� � � �
'
;� 77
�
�
�
��
�
�
�
��
Portanto, a solução do PVI é a função y e ex x� � � �� �� �9 72 3 .
Mais um exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 8
Resolva o problema de valor inicial a seguir:
y y y y y''� � '� � � � ,�� � � ,�� ' � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �4 13 0 0 1 0 2
Resolvendo a equação homogênea, temos os seguintes resultados:
Equação característica: r r2 4 13 0� � � � � �� � � � � �� � � ; raízes: r i r1 22 3 2� � � � ,� � � �� � � � � �� � � � 3i; solu-
ção geral: y e C cos x C sen xx� � � �� � � � � ��� ��2 1 23 3 .
Equações diferenciais de segunda ordem 101
A derivada primeira da solução geral é da seguinte forma:
y e C cos x C sen x e C sen x C cox x'� � � � � � � �� � � � � ��� �� � � � � �2 3 3 3 32 1 2 2 1 2 ss x3� ��� ��
Assim, aplicando as condições iniciais, temos;
y
y
C
C C
0 1
0 2
1
2 3 2
1
1 2
� � � �
� � �
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
� �
� �
� � � �'
em que segue que C1 = –1 e C2
4
3
� �= . Portanto, a solução do PVI dado é 
y e cos x sen xx� � � �� � � � � � ��
�
�
�
�
�
2 3 4
3
3 .
O próximo exemplo retoma o problema de um sistema massa-mola; veremos 
como este pode ser resolvido e como aplicar a condição inicial para encontramos a 
solução específica para o modelo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 9
Considere uma mola com uma massa de 5 kg e com 0,6 metro de compri-
mento natural. Para esticá-la até um comprimento de 1 metro, é necessária 
uma força de 26 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 
1 metro e, em seguida, liberada com velocidade inicial nula. A força exercida 
na mola esticada obedece à lei de Hooke (F = –kx), já o movimento realizado 
obedece à equação diferencial: mx kx''� � � �� � � �� � 0 , em que x é uma função do 
tempo t, que indica a posição da massa m, e k é a constante elástica. Deter-
mine a posição da massa em qualquer momento t (Adaptado de STEWART, 
2016, p. 1041). 
Figura 1
Visualização para a lei de Hooke
Fmola = –kx
Ve
ct
or
M
in
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Vamos analisar alguns dos pontos dados no enunciado do problema:
 • no tempo t = 0, a mola está esticada em 1 metro. Como seu comprimen-
to natural é de 0,6 metro, a mola está deformada em 0,4 metro, ou seja, 
x(0) = 0,4;
No vídeo EDO Linear de 
2ª ordem – Teorema de 
Existência e Unicidade, o 
professor Renan Lima, do 
canal Matemática Universi-
tária, explica o teorema da 
existência e unicidade de 
solução para as equações 
diferenciais ordinárias de 
segunda ordem.
Disponível em: https://www.youtube. 
com/watch?v=TY4CXLji7U0&list 
=PL7PW7YXa8HO0bB0f2MJg7DFi 
Orh1R5Zub&index=2. Acesso em: 21 
jan. 2022.
Vídeo
(Continua)
102 Cálculo Avançado
 • a função velocidade é a derivada primeira da função posição, e como a velo-
cidade inicial da mola é nula, temos que x’(0) = 0. 
Portanto, nosso problema se resume a resolver o problema de valor inicial (PVI):
mx kx x x''� � � � ,�� � � , ��������� ' � �� � � � � � � �� � � � � � � �0 0 0 4 0 0
Pela lei de Hooke, temos o valor da constante elástica, que é:
F kx k k� � �� � � � � � , �� �� � �� � � � � � � �� � � � � �26 0 4 65
Tomando m = 5 e k = 65 na equação mx kx''� � � �� � � �� � 0 , obtemos 
5 65 0x x''� � � �� � � �� � . Resolvendo a equação, temos os seguintes resultados: equa-
ção característica: 5 2 65 0r � � � �� � � �� � ; raízes: r i r i1 213 13� � �, � � ; solução geral: 
x C cos t C sen t� � � �� � � � � �1 213 13 .
A derivada primeira da solução geral é a seguinte:
x C sen t C cos t' � � �� � � � � � �13 13 13 131 2
Assim, aplicando as condições iniciais, temos que:
x
x
C
C
0 0 4
0 0
0 4
5 0
1
2
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
,
'
,
em que segue que C1 = 0,4 e C2 = 0.
Logo, a solução do PVI dado é x t cos t� � � � �0 4 13, � .
Como percebemos, conhecer a condição inicial – e, portanto, ter um problema 
de valor inicial – permite que encontremos a solução da equação diferencial ordiná-
ria e suas respectivas constantes para modelos com suas próprias particularidades.
5.2.2 Problema de valor de contorno
Um problema de valor de contorno (PVC) também busca a solução de uma 
equação diferencial, dadas algumas condições. A diferença entre as condições de 
um PVI e um PVC é que, no primeiro, a função e suas derivadas são avaliadas em 
um mesmo ponto, enquanto em um PVC a função e suas derivadas são avaliadas 
em pontos distintos (SILVA, 2005), por exemplo:
�
,��
a x d y
dx
a x dy
dx
a x y g x
y a y y ba
2
2
2 1 0� � � � � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � ��yb
�
�
�
�
�
ou seja,
Resolver: a x
d y
dx
a x dy
dx
a x y g x2
2
2 1 0� � � � � � � � � � �� � � � � �
Sujeito a: y(a) ya, y(b) = yb
(14)
Para uma equação diferencial de segunda ordem, podemos exibir outros pares 
de condiçõesde contorno, assim, dadas as constantes arbitrárias ya e yb, temos:
Para entender melhor 
como modelar um sistema 
massa-mola (Exemplo 9) e 
conhecer outras aplicações 
que utilizam equações dife-
renciais de segunda ordem, 
deixamos como sugestão 
de leitura do material Equa-
ções diferenciais de segunda 
ordem.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016. v. 2. 
Disponível em: http://www.
im.ufrj.br/flavia/mac128/aulas/
mac128_2019_08_28.pdf. Acesso 
em: 21 dez. 2021.
Leitura
Equações diferenciais de segunda ordem 103
y a ya y b yb� � � � � �� � ,��� ' � �� � � �
y a ya y b yb' � � ,��� � �� � � � � �� � � �
y a ya y b yb'' � � ,��� '' � �� � � � � �� � � �
(15)
Esses três pares de condições são casos particulares de condições de contorno 
gerais:
� � �
� � �
1 1 1
2 2 2
y a y a
y b y b
� � � � � �
� � � � � �
�
�
�
��
'
'
(16)
Com relação à quantidade de soluções de um problema de valor de contorno, 
temos que este pode apresentar várias soluções, uma única ou nenhuma. Vamos 
observar o exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 10
Sejam c1 e c2 constantes. A função y c cos x c sen x� � � �� � � � � �1 22 2 é a solução ge-
ral da equação diferencial y y''� � � �� � � �� �4 0 . Vamos obter a solução dos seguintes 
PVC:
a y y y y� � � � � � � � � �� '' � � � � ,�� � � ,�� � �� � � � � � � �4 0 0 0 0�
b y y y y� � � � � � � �
�
�
�
�
� �� ''� � � � ,�� � � ,�� � �� � � � � � � �4 0 0 0 4
0�
c y y y y� � � � � � � � � �� ''� � � � ,�� � � ,�� � �� � � � � � � �4 0 0 0 1�
Solução
a. Por meio da solução geral, temos:
y
y
c c
c c
0 0
0
0 0 0
2 2
1 2
2 2
� � �
� � �
�
� � � � � �
� � �
� �
� �
� � � �
� �� �
cos sin
cos sin ��� � �
�
�
�
��
�
�
�
�� � �0
Do sistema de equações anterior, concluímos que c1 = 0 e que c2 pode ser 
qualquer valor, pois sen(2π) = 0, logo o PVC dado admite infinitas soluções 
da forma y = c2 sen(2x).
b. Por meio da solução geral, temos:
y
y
c c
c
0 0
4
0
0 0 0
2
1 2
1
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� � � �
� �
cos sin
cos �� � � �� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� c2 2
0sin �
Do sistema de equações anterior, concluímos que c1 = c2 = 0, logo o PVC dado 
admite uma única solução, que é y = 0.
c. Por meio da solução geral, temos:
y
y
c
c c
0 0
1
0
2 2 1
1
1 2
� � �
� � �
�
� �
� � � � � �
�
�
�
��
�
�
� � �
� � � � � �� � �
cos
cos sin��� 
104 Cálculo Avançado
Do sistema de equações anterior, concluímos que c1 = 0. Porém, não é pos-
sível especificar o valor de c2, pois na expressão c2 sen(2π) = 1 temos que 
sen(2π) = 0. Portanto, o PVC dado não possui solução.
Note que, para cada contorno, obtivemos soluções diferentes. Vamos ver mais 
um exemplo resolvido de um problema de valor de contorno construído por uma 
equação diferencial ordinária de segunda ordem.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 11
Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
y y y a''� � � � � � � � � �� � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �4 0 4
0
6
1, ,� �
Resolvendo a equação homogênea, temos: 
 • equação característica: r2 4 0� � � �� � � �� � ; 
 • raízes: r i r i1 22 2� � ,�� � �� � � �� � � ; 
 • solução geral: y x C cos x C sen x� � � � � � � �� � � � � �� � � �1 22 2 .
Aplicando as condições iniciais, temos uma equação em que C1 = 2 e C2 = 0.
y
y
C
C C
�
�
4
0
6
1
0
2
3
2
1
2
1 2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
� � � �
�
��
�
Portanto, a solução do PVC é y(x) = 2 cos(2x).
Nesta seção vimos os problemas de valor inicial e de contorno. Estudamos que 
ambos os problemas objetivam resolver uma equação diferencial mediante algu-
mas condições, mas eles se diferenciam quanto às condições fornecidas e às so-
luções obtidas. Enquanto um PVI fornece condições sobre um mesmo ponto e dá 
uma única solução, um PVC fornece condições sobre pontos distintos podendo, 
assim, fornecer nenhuma, uma ou várias soluções.
5.3 Independência e dependência linear
Vídeo Os conceitos de dependência e independência linear costumam ser adquiridos 
no contexto da álgebra linear, mas se encontram em outras áreas da matemática, 
pois, pensando nas reentrâncias dessa construção, as subáreas da matemática es-
tão todas conectadas.
No cálculo, analisar a dependência ou independência linear de funções permite 
uma análise mais profunda, por exemplo, das soluções obtidas para as equações 
diferenciais.
Equações diferenciais de segunda ordem 105
Definimos os conceitos de independência e dependência linear para um conjun-
to de funções como se segue:
Definição 1
Considere o conjunto de funções {f
1
(x), f
2
(x), ..., f
n
(x)} em um intervalo I. O conjunto é dito linearmente 
dependente (LD) se existirem constantes c
1
, c
2
, ..., c
n
 não todas nulas tal que para todo x ∈ I temos:
c f x + c f x +... + c f x = 01 1 2 2 n n� � � � � � (17)
Por outro lado, se o conjunto {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} não for linearmente dependen-
te, ele será chamado de linearmente independente (LI), ou seja, o conjunto de fun-
ções é LI se as constantes c1, c2, ..., cn que satisfazem à equação (17) são todas nulas.
O exemplo a seguir representa a análise da linearidade entre funções e, portan-
to, no espaço vetorial das funções.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 12
Verifique se as funções f1(x) = x, f2(x) = x
2 e f3(x) = 4x – 3x
2 são linearmente 
dependentes no intervalo (–∞, ∞). Para verificar essa afirmação, basta resol-
vermos a equação (17).
Assim, teremos:
c f x c f x c f x1 1 2 2 3 3 0� � � � � � � � �� � � � � �
� ��� � � � � � � � �� � � �� � �c x c x c x x1 2 2 3 24 3 0
� ��� � � � � � � � �� � � � �( ) ( )c c x c c x1 3 2 3
24 3 0
� ��� � � � � � � � � � �� � � � � �( ) ( )c c x c c x x x1 3 2 3
2 24 3 0 0 0x2. ---
O zero no lado direito da igualdade (17) representa a função nula, que no 
nosso caso pode ser escrita, convenientemente, por 0 = 0x + 0x2. Fazendo a 
comparação dos polinômios, temos o seguinte sistema de equações:
c c
c c
1 3
2 3
4 0
3 0
� � � �
� � � �
� �
� �
�
�
�
��
A solução do sistema anterior é dada por c1 = –4c3 e c2 = 3c3, ou seja, o siste-
ma possui infinitas soluções, o que nos leva à conclusão de que as funções 
dadas são linearmente dependentes.
Nem sempre precisaremos recorrer à equação (17) para verificar a dependência 
ou não de funções. Podemos utilizar outra ferramenta matemática para isso: o con-
ceito de determinante wronskiano.
Compreender e calcular a 
existência de independên-
cia ou dependência entre 
as soluções de uma equa-
ção diferencial ordinária de 
segunda ordem.
Objetivos de aprendizagem
106 Cálculo Avançado
Teorema 1: Determinante Wronskiano
Sejam as funções f1(x), f2(x), ..., fn(x), definidas em um intervalo I, funções diferenciáveis 
pelo menos n – 1 vezes. Considere o determinante a seguir: 
W
f f f
f f f
f f f
n
n
n n
n
n
�
�� � �� � �� �
1 2
1 2
1
1
2
1 1
�
�
� � � �
�
' ' '
� (18)
Se ele for diferente de zero, em pelo menos um ponto do intervalo I, as funções f1(x), 
f2(x), ..., fn(x) serão linearmente independentes no intervalo.
W
f f f
f f f
f f f
n
n
n n
n
n
�
�� � �� � �� �
1 2
1 2
1
1
2
1 1
�
�
� � � �
�
' ' '
�
O determinante (18) é chamado de determinante wronskiano e podemos deno-
tá-lo por W(f1, f2, ..., fn).
Os próximos exemplos trabalham com a aplicação desse determinante em si-
tuações diversas.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 13
Aplique o conceito de determinante wronskiano para mostrar que as fun-
ções dadas no Exemplo 12 são linearmente dependentes no intervalo (–∞, ∞). 
Vamos fazer uso do determinante (18) para mostrar a dependência das fun-
ções f1(x) = x, f2(x) = x
2 e f3(x) = 4x – 3x
2. Derivando as funções f1, f2 e f3 até a 
segunda ordem, temos:
W f f f
x x x x
x x1 2 3
2 24 3
1 2 4 6
0 2 6
0, ,� � �
�
�
�
�� �
� �
� � � �
Como W(f1, f2, f3) = 0, fica provado que as funções são linearmente dependen-tes no intervalo considerado.
Outro exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 14
Verifique se as funções f1(x) = cos(x) sen(x) e f2(x) = sen(2x) são linearmente inde-
pendentes no intervalo de (–∞,∞). 
(Continua)
Equações diferenciais de segunda ordem 107
Vamos fazer uso do determinante (18). Derivando as funções f1 e f2 até a primei-
ra ordem e usando as identidades trigonométricas cos(2x) = cos2(x) – sen2 (x) 
e sen(2x) = 2 cos(x) sen(x), temos:
W f f
x x x
x x1 2
2
2 2 2
0,
cos sin sin
cos cos
� � � �
Como o wronskiano é nulo, concluímos que as funções f1 e f2 são linearmente 
dependentes no intervalo considerado.
Vejamos mais um exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 15
Verifique se as funções f1(x) = x, f2(x) = x
2 e f3(x) = e
2x são linearmente inde-
pendentes no intervalo de (–∞, ∞). Vamos fazer uso do determinante (18). 
Derivando as funções f1, f2 e f3 até a segunda ordem, temos:
W f f f
x x e
x e
e
e x x
x
x
x
x
1 2 3
2 2
2
2
2 21 2 2
0 2 4
2 2 2 1, ,� � � � � �� �� � � � � � � �
Como e2x ≠ 0 para todo x, concluímos que W(f1, f2, f3) ≠ 0 e, portanto, as fun-
ções f1, f2 e f3 são linearmente independentes.
Ao estudarmos sistemas lineares, temos uma propriedade que nos diz que a 
resposta obtida por dois estímulos pode ser escrita por meio de uma resultante, 
que nada mais é do que a soma das respostas desses estímulos, sendo que essa 
resultante também é solução para o sistema.
No contexo da álgebra linear, essa resultate é chamada de combinação linear 
e essa soma está descrita por um teorema chamado princípio da superposição. A 
seguir, enunciamos esse teorema.
Teorema 2: Princípio de superposição
Sejam y1, ..., yn soluções de uma mesma equação diferencial homogênea em um intervalo 
I. Observe a seguir:
y c y c yn n� � � � � �� � �1 1 ... (19)
A combinação linear anterior, em que c1, ..., cn são constantes arbitrárias, é também uma 
solução para a equação diferencial no intervalo I.
Do Teorema 2 temos que, se y1(x) é solução de uma equação diferencial ho-
mogênea, qualquer múltiplo de y1(x) também será solução da equação, ou seja, 
qualquer função da forma y(x) = c1y1(x). Além disso, a função y(x) = 0 sempre é 
admitida como solução de uma equação diferencial homogênea, sendo conhecida 
como solução trivial.
108 Cálculo Avançado
A seguir, trazemos alguns exemplos que demonstram o princípio da superposição.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 16
As funções y1 = sen(2x) e y2 = cos(2x) são soluções para a equação diferencial 
homogênea de ordem dois y y''� � � �� � � �� �4 0, no intervalo (–∞, ∞). Pelo princípio da 
superposição, temos que a combinação linear y = c1 sen(2x) + c2 cos(2x) tam-
bém é uma solução para a equação no intervalo.
Outro exemplo.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 17
A função y1(x) = e
–2x é solução para a equação diferencial homogênea 
2 2 4 0�� � � �y y y� � � � � �'� � � � , no intervalo (–∞, ∞). Pelo princípio da superposição, temos 
que qualquer função que seja múltipla da função y1(x) será solução para a 
equação considerada. Portanto, toda função y(x) = ce–2x é solução da equação 
homogênea 2 2 4 0y y y''� � ' � � � �� � � � � �� � � .
 Zill (2016, p. 195) traz em sua obra algumas particularidades a respeito do prin-
cípio da superposição.
Há várias diferenças significativas entre as equações diferenciais lineares e 
não lineares. Vimos que uma equação linear homogênea de segunda ordem 
ou superior tem a propriedade de a combinação linear de soluções ser tam-
bém uma solução. Equações não lineares não têm essa propriedade de su-
perposição. [...] Mesmo quando podemos resolver uma equação diferencial 
não linear de primeira ordem na forma de uma família a um parâmetro, em 
geral essa família não representa uma solução geral. Dito de outra forma, EDs 
não lineares de primeira ordem podem ter soluções singulares, ao contrário 
das lineares. (ZILL, 2016, p.195)
Podemos usar o conceito de funções linearmente independentes e o princípio 
da superposição para obter a solução geral de uma equação diferencial homogê-
nea. Assim, se as funções y1(x), y2(x), ..., yn(x) são soluções linearmente independen-
tes de uma mesma equação diferencial homogênea em um intervalo, então toda 
solução y(x) para a equação diferencial homogênea será a combinação linear das n 
soluções independentes y1(x), y2(x), ..., yn(x). Dito de outro modo, existem constan-
tes c1(x), c2(x), ..., cn(x), e a solução geral é expressa por:
y x c y x c y x c y xn n� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �1 1 2 2 ...
As funções y1(x), y2(x), ..., yn(x) constituem um conjunto denominado conjunto 
fundamental de soluções, que veremos no exemplo a seguir.
Equações diferenciais de segunda ordem 109
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 18
As funções y1(x) = x
2 e y2(x) = 
1
x
 são soluções da equação diferencial 
homogênea x y y2 2 0''� � � �� � � �� � . Verifique se o conjunto {y1, y2} é um conjunto 
fundamental de soluções.
Para {y1, y2} ser um conjunto fundamental de soluções, precisamos 
verificar se as funções desse conjunto são linearmente independentes, isto 
é, W(y1, y2) ≠ 0. Derivando as funções y1 e y2 até a primeira ordem e calculan-
do o wronskiano, temos:
W y y
x
x
x
x
1 2
2
2
1
2 1
3,� � �
�
� �� � � �
Logo, as funções y1 e y2 são linearmente independentes. Assim, a combina-
ção linear de y1 e y2 fornece a solução geral para a equação diferencial dada:
y x c y c y c x c
x
� � � � � �� � � � � � � �1 1 2 2 1 2 2
1
A análise da dependência ou independência não só permite a construção de 
uma solução geral para um modelo matemático idealizado com base em uma 
equação diferencial como também nos dá ferramentas de análise algébrica para 
esses resultados, visto que, para fazer essa verificação, recaímos em outras áreas 
da matemática, como a álgebra linear e a geometria analítica.
5.4 Método de redução de ordem
Vídeo
Dado um intervalo I, suponha que, nesse intervalo, a função y1(x) é uma solução 
não trivial da equação diferencial homogênea de segunda ordem:
y p x y q x y'' � � '� � � �� � � � � �� � � � � � � 0 (20)
Vamos procurar uma segunda solução y2(x), de modo que y1 e y2 sejam linearmente 
independentes no intervalo I. Para isso, vamos escrever y x u x y x2 1� � � � � � �� � . Dado que 
y1 é solução da equação (20) e que y x u y uy2 1 1
' ''� � � �� � � � e y x u y u y uy2 1 1 12'' ' '''' '� � � � �� � � � � � , 
substituindo y2, y’2 e y’’2 na equação (20), temos:
u y u y uy p x u y uy q x uy'' ' ' '' '' '1 1 1 1 1 12 0� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �
y u y p x y u u y p x y q x y1 1 1 1 1 12 0' ' ' ' ' ''� � � +� � � � � � � � �� � �� � � � � � � � �� � �
y u y p x y u1 1 12 0'' ' '� � � �� � � �� � �
(21)
Aplicar o método da 
redução de ordem para 
encontrar a segunda 
solução de equações 
diferenciais ordinárias de 
segunda ordem.
Objetivos de aprendizagem
110 Cálculo Avançado
Tomando w = u’, podemos escrever a equação (21) da seguinte forma:
y w y p x y w1 1 12 0'
'� � � � � �� � � �� � � (22)
Repare que a equação (22) é uma equação separável. Integrando-a com relação 
à variável x e usando propriedades de logaritmo ln(ab) = b ln(a) e ln(ab) = ln(a) + 
ln(b), obtemos:
w
w
y p x y
y
' '� �
� �
� ��
� � �
�
2
01 1
1
� � � � � ���� '
'w
w
y
y
p x� � � � � �
2
01
1
� � � � � � � � ���� '
'w
w
dx
y
y
dx p x dx� � � � � �
2
01
1
� � � � � � ���� �ln w ln y p x dx� � � �2 1
� � � � � ���� �ln wy p x dx12 � �
� � � � � ��� � �wy e p x dx12 � � � �
� �
� � � �
��w e
y
p x dx
� �
1
2
(23)
Como w = u’, integrando com relação à variável x a expressão (23), obtemos a 
função u desejada:
u wdx e
y
dx
p x dx
� �� �
� � � �
1
2 (24)
Portanto, a solução y2 procurada é escrita da seguinte forma:
y x uy y e
y
dx
p x dx
2 1 1
1
2� � � �
� � � �
�� � � � (25)
Esse método é conhecido como redução de ordem, pois, para encontrarmos a 
função u, partimos da equação de segunda ordem (21) e resolvemosa equação 
diferencial de primeira ordem (22). De fato, o método de redução de ordem fornece 
uma segunda solução em que as funções y1 e y2 são linearmente independentes, 
observe:
W y y
y y e
y
dx
y e
y
y
p x dx
p x dx1 2
1 1
1
2
1
1
,
( )'
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
� � � �
�
� �
� � 11
1
2
0
'
�
e
y
dx
e
p x dx
p x dx
� � � �
� � � �
�
� �� � � �
Vamos resolver alguns exemplos para fixar o uso desse método.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 19
Encontre uma segunda solução para a equação diferencial y y'' � � � �� � � �� � 0 saben-
do que y1(x) = e
x é uma solução da equação no intervalo (0, ∞).
Vamos encontrar uma segunda solução na forma y2(x) = u(x)y1(x). Aplicando o 
método de redução de ordem, vamos determinar a função u(x). Temos o se-
guinte: derivada primeira: y u y uy u e uex x2 1 1
' '' '� � � � � � � �� � � � ; derivada segunda: 
y u y u y uy u u u ex2 1 1 12 2
'' ' '''' ' '' '� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � . 
Substituindo y2 e y’’2 na equação diferencial e levando em consideração que 
ex ≠ 0, temos:
y y''� � � �� � � �� � 0
� � �� � � ���� ''� � '� � � � � �u u u e uex x2 0
� �� � ���� ''� � ' � �u u ex2 0
� � ���� ''� � '� �u u2 0
Tomando a substituição w = u’, podemos escrever:
u u w w''� � '� � ��� ��� '� � � �� � � � � � � �� � � � �2 0 2 0
A equação anterior é uma equação separável, então:
w w'� � � �� � � �� �2 0
� � ���� ' � � � �w
w
2 0
� � �� ����
' � � � �w
w
dx dx dx2 0
� � ��� � � � � �ln w x c� � � �2
� � � ��� � � � � �ln w x c� � � �2
� � ��� � �w c e x1
2
Como w = u’, temos que f w dx = u. Dessa forma:
u wdx c e dx u
c e
cx
x
� � � � � � � �� � � � � �� � �
�
� ��� �� �1
2 1
2
22
Portanto, a segunda solução procurada é:
y x uy y x
c e
c e
x
x
2 1 2
1
22
� � � � � � � � �
�
� � � � � ���� ��� �
A seguir, apresentamos mais um exemplo sobre o método da redução de ordem.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 20
Encontre uma segunda solução para a equação diferencial 
x y xy y2 7 16 0''� � '� � � �� � � � � �� � � sabendo que y1(x) = x
4 é uma solução da equação no 
intervalo (0, ∞).
Repare que a equação diferencial dada possui coeficiente a2(x) = x
2. Para 
aplicar o método de redução de ordem, precisamos que a2(x) = 1, como na 
expressão (20). Então, dividindo toda a equação por x2, temos a equação 
diferencial :
y y
x
y
x
'' '� � � � � �� � �7 16 0
2(Continua)
(Continua)
Equações diferenciais de segunda ordem 111
Vamos encontrar uma segunda solução na forma y2(x) = u(x)y1(x). Aplicando o 
método de redução de ordem, vamos determinar a função u(x). Temos o se-
guinte: derivada primeira: y u y uy u e uex x2 1 1
' '' '� � � � � � � �� � � � ; derivada segunda: 
y u y u y uy u u u ex2 1 1 12 2
'' ' '''' ' '' '� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � . 
Substituindo y2 e y’’2 na equação diferencial e levando em consideração que 
ex ≠ 0, temos:
y y''� � � �� � � �� � 0
� � �� � � ���� ''� � '� � � � � �u u u e uex x2 0
� �� � ���� ''� � ' � �u u ex2 0
� � ���� ''� � '� �u u2 0
Tomando a substituição w = u’, podemos escrever:
u u w w''� � '� � ��� ��� '� � � �� � � � � � � �� � � � �2 0 2 0
A equação anterior é uma equação separável, então:
w w'� � � �� � � �� �2 0
� � ���� ' � � � �w
w
2 0
� � �� ����
' � � � �w
w
dx dx dx2 0
� � ��� � � � � �ln w x c� � � �2
� � � ��� � � � � �ln w x c� � � �2
� � ��� � �w c e x1
2
Como w = u’, temos que f w dx = u. Dessa forma:
u wdx c e dx u
c e
cx
x
� � � � � � � �� � � � � �� � �
�
� ��� �� �1
2 1
2
22
Portanto, a segunda solução procurada é:
y x uy y x
c e
c e
x
x
2 1 2
1
22
� � � � � � � � �
�
� � � � � ���� ��� �
A seguir, apresentamos mais um exemplo sobre o método da redução de ordem.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 20
Encontre uma segunda solução para a equação diferencial 
x y xy y2 7 16 0''� � '� � � �� � � � � �� � � sabendo que y1(x) = x
4 é uma solução da equação no 
intervalo (0, ∞).
Repare que a equação diferencial dada possui coeficiente a2(x) = x
2. Para 
aplicar o método de redução de ordem, precisamos que a2(x) = 1, como na 
expressão (20). Então, dividindo toda a equação por x2, temos a equação 
diferencial :
y y
x
y
x
'' '� � � � � �� � �7 16 0
2(Continua)
(Continua)
112 Cálculo Avançado
Iremos trabalhar com essa equação anterior para resolver o problema 
solicitado e, então, vamos encontrar uma segunda solução na forma 
y2(x) = u(x)y1(x). Aplicando o método de redução de ordem, vamos determi-
nar a função u(x): derivada primeira: y u y uy u x u x2 1 1
34' '' '� � � � � � � �� � � �� � ; deriva-
da segunda: y u y u y uy u x u x ux2 1 1 1
4 3 22 8 12'' ' '''' ' '' '� � � � � � � � � � � �� � � � � � .
Substituindo y2, y’2 e y’’2 na equação diferencial, temos o seguinte:
y y
x
y
x
''� � ' � � � �� � �7 16 0
2
� � � �
�� �
� ���� '' � � ' � � � �
' � �
� � � �u x u x ux
u x u x
x
ux
x
4 3 2
3 4
2
8 12
7 4 16 0
� � � � � � ���� '' � � ' � � � � ' � � � � � �u x u x ux u x ux ux4 3 2 3 2 28 12 7 28 16 0
� � ���� '' � � ' � �u x u x4 3 0
Tomando a substituição w = u’, podemos escrever:
u x u w x w'' � � '� � ��� ��� ' � � � �� � � � � � � �� � � � �0 0
A equação anterior é uma equação separável, então:
w x w' � � � �� � � �� � 0
� � ���� ' � � � �w
w x
1 0
� � � � � ��� ' � � � �w
w
dx
x
dx dx1 0
� � ��� � � � � � �ln w ln x c� � � �
� ��� � � �ln wx c� �
� ��� � �wx ec� �
� ��� � �w e
x
c
Como w = u’, temos que f w dx = u. Assim, tomando c1 = e
c, temos o seguinte:
u w dx
c
x
dx u c ln x c� � � � � ��� �� � � � �� � � � �� � 1 1 2
Portanto, a segunda solução procurada é a seguinte:
y x uy y x c x ln x c x2 1 2 1
4
2
4� � � � � � � �� � ��� ��� � � � �
Com isso, encontramos a segunda solução para a equação 
x y xy y2 7 16 0''� � '� � �� � � � � �� � � , tendo conhecimento da primeira solução.
Note que trouxemos, até aqui, métodos que se adequam a casos diferentes de 
equações diferenciais, que é um dos motivos do extenso trabalho nesse campo. 
Como os modelos matemáticos podem ser construídos adotando diferentes EDs 
– que são classificadas quanto à ordem, linearidade, número de variáveis indepen-
dentes e número de funções incógnita –, também existe uma gama enorme de 
métodos que resolvem com mais “rapidez” e precisão cada um desses modelos. 
Ainda, todos os métodos abordados nos levam a soluções exatas. Além desse ramo 
da matemática, podemos citar também os métodos numéricos, que expandem as 
formas de resolução de equações diferenciais.
Equações diferenciais de segunda ordem 113
5.5 Equação de Clairaut
Vídeo
A equação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange 1 e pode ser 
analisada por meio da equação (26) apresentada na forma:
y x x dy
dx
f dy
dx
� � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� � � � (26)
onde a função f é continuamente diferenciável.
Note que temos uma equação de primeira ordem, porém, ao resolvê-la pelo mé-
todo que veremos na sequência, recairemos em derivadas de segunda ordem. Por 
esse motivo, o método aplicado para a solução da equação de Clairaut se encaixa 
no conjunto de métodos estudados neste capítulo.
Para resolver a equação de Clairaut, calculam-se as derivadas em relação à va-
riável x de tal forma que:
dy
dx
dy
dx
x d y
dx
f dy
dx
d y
dx
� � � � � � �� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
2
2
2
2
' ��
Simplificando essa expressão, teremos:
x f dy
dx
d y
dx
� � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �´
2
2
0
Logo:
d y
dx
ou x f dy
dx
2
2
0 0� � ��������� ���������� � � � �� � �
�
�
�
�
� �'
Em d y
dx
2
2
0� �= , temos que C
dy
dx
� �= para alguma constante C. Fazendo a substituição 
na equação de Clairaut, obtém-se uma família de funções dadas por y(x) = Cx + f(C), 
chamada solução geral da equação de Clairaut; já para x f dy
dx
� � � �� �
�
�
�
�
� �' 0 , obtém-se 
apenas uma solução, chamada solução singular.
Note que usamos conceitos de EDOs de primeira e segunda ordem para ana-
lisare resolver uma equação dita de Clairaut (caso particular de uma equação de 
Laplace). Vejamos um exemplo de resolução de uma EDO com essas características.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 21
Resolva a equação diferencial:
y xy y
y
� � � �
� � '
�
� �
�� �
�
�
1 2
1
2 
Resolver a equação de 
Clairaut usando métodos 
conhecidos para encontrar 
a solução de equações 
diferenciais ordinárias.
Objetivos de aprendizagem
Uma equação diferencial 
ordinária é de Lagrange 
se estiver escrita como 
y = xg dy
dx
+ f dy
dx
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� . 
Quando g(z) = z, temos uma 
equação de Clairaut.
1
114 Cálculo Avançado
Essa equação pode ser resolvida da seguinte forma:
Tomando y’ = p, a questão escreve-se da seguinte forma:
y xp p
y
� � � �
� � '
�
� �
�� �1 2
1
2
Derivando em x, obtém-se:
0
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
� � � �
� � � �
� �
�
� �
�
�
� �
�� � �
�� �
�� �
x dp
dx
dp
dx
p p p
p
dp
dx
p
O que conduz a:
dp
dx
se x
p
� � ���������� ���������� � � �
� �
� �
�
� � �
�� �
�0 1
1
0
2
3
2
Por integração, obtém-se:
p = C
E, portanto, a solução geral é:
y Cx C
C
� � � �
� � �
� �
�� �
1
1 2
1
2
Para se obter a solução singular, elimina-se p das duas seguintes equações:
y xp p
p
e x
p
� � � �
� � �
���������� ���������� � �
� � �
� �
�� �
�
�� �1
1
12 2
1
2
3
2
A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma:
x
p
2 3
2
1
1
/ � �
� �
�
�
E, substituindo-se na primeira, temos o seguinte:
y p
p
p
p
p
p
� �
� � � � � �
� �
� � �
�
�� �
�
�� �
�
�
�� �1 1 12 2
3
2
3
2
1
2
3
2
Finalmente, das duas últimas equações, o resultado é:
x y
2
3
2
3 1� � � �       � �
A equação solução pode ser analisada na figura a seguir: 
Figura 2
Gráfico de 
x y
2
3
2
3 1� � � �� �� �
 
1
0,8
0,6
0,4
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,8 –1,6 –1,4 –1,2 –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,80
X
Y
eq1 : x � �y � �
2
3
2
3 1� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Assim, encontramos a solução de uma equação diferencial ordinária dita de Clai-
raut, que está na forma implícita. Para encontrar essa solução explícita, é necessá-
rio isolar y(x), mas essa manipulação não altera o resultado encontrado.
(Continua)
Equações diferenciais de segunda ordem 115
A equação solução pode ser analisada na figura a seguir: 
Figura 2
Gráfico de 
x y
2
3
2
3 1� � � �� �� �
 
1
0,8
0,6
0,4
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,8 –1,6 –1,4 –1,2 –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,80
X
Y
eq1 : x � �y � �
2
3
2
3 1� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Assim, encontramos a solução de uma equação diferencial ordinária dita de Clai-
raut, que está na forma implícita. Para encontrar essa solução explícita, é necessá-
rio isolar y(x), mas essa manipulação não altera o resultado encontrado.
(Continua)
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Temos neste capítulo diversos métodos que se complementam e que nos permi-
tem resolver equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Nesse contexto, es-
tão incluídas equações homogêneas, problemas de valor inicial e problemas de valor 
de contorno.
Uma importante análise realizada com o aumento da ordem das equações diferen-
ciais é a independência linear entre as soluções e, com isso, a possibilidade de obtenção 
de soluções gerais para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. O uso do 
determinante wronskiano para a análise da independência linear entre soluções agiliza 
esse processo e pode ser aplicado de maneira computacional com certa facilidade.
Além disso, foi apresentada a equação de Clairaut, sendo essa uma particularidade 
da equação de Laplace, mas que lança uma importante metodologia de resolução de 
equações diferenciais através da simplificação por meio de mudanças de variáveis. Esse 
tipo de manobra é útil em muitas áreas da matemática e – no contexto das equações di-
ferenciais – pode ser aplicado especialmente quando tivermos EDOs de primeira ordem 
não separáveis, exatas, lineares, homogêneas, de Bernoulli, de Ricatti ou de Clairaut, 
como vimos neste capítulo. Caso tenhamos equações diferenciais da forma 
dy
dx
�=� x,y�f � � , 
com x e y apresentadas como polinomiais, adotamos o método de redução da ordem 
para conseguirmos trabalhar com as formas de EDs já conhecidas.
116 Cálculo Avançado
ATIVIDADES
Atividade 1
Descreva quais são as possibilidades para as raízes de uma equação do segundo 
grau e quais ferramentas matemáticas podem ser utilizadas para essa verificação.
Atividade 2
Descreva quais são as condições necessárias para que um PVC seja dito homogêneo.
Atividade 3
Pela análise do determinante Wronskiano, temos que:
“Se W(f1, f2)(x0) ≠ 0 para algum x0 em um intervalo aberto I, então f1 e f2 são linear-
mente independentes em I.”
Podemos escrever esse mesmo teorema como: sejam p e q funções contínuas em 
um intervalo I e f1 e f2 soluções de uma dada equação diferencial escrita da forma:
y''��+��p x y'��+��q x y��=��0� � � �
Então o determinante wronskiano, W(f1, f2)(x), será escrito como:
W f ,f x � =� c�e 1 2
- p x dx� �� � � � �
Essa formulação é conhecida como teorema de Abel. Demonstre esse resultado.
REFERÊNCIAS
SILVA, P. N. Equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeiro: UFRJ, 2005. Disponível em: https://
ravuthleang12.files.wordpress.com/2013/08/calculo_diferencial_e_integral_iii_-_equacoes_diferenciais_
ordinarias_-_mauricio_a1_vilches_e_maria_l_correa.pdf. Acesso em 20 dez. 2021.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 117
6
Equações diferenciais de ordem 
n com coeficientes constantes
Quando existe um problema físico a ser resolvido, como o rompimento de uma 
barragem de uma usina hidrelétrica ou mesmo o deslizamento de terra em uma região 
com grande densidade populacional, muitos modelos matemáticos podem ser aplica-
dos para entender o que ocorreu, para evitar mais acidentes ou, ainda, para antecipar 
como devem ser as futuras construções. Esses exemplos práticos de situações reais 
do nosso mundo físico podem ser modelados matematicamente com o uso de equa-
ções diferenciais. 
Essas equações, que dependerão diretamente das variáveis envolvidas no modelo, 
podem ser lineares, não lineares, ordinárias, parciais, homogêneas ou não. Todos es-
ses fatores dependerão apenas do que se espera e das ferramentas disponíveis para 
resolvê-los. É comum trabalharmos com simplificações do modelo matemático para 
que uma equação mais simples possa “responder”, com uma margem de erro aceitá-
vel, aos questionamentos envolvidos em cada uma dessas situações.
Em todos esses casos, o que precisamos compreender é: qual é o problema a ser 
resolvido? Como se modela esse problemapor meio de uma ou mais equações dife-
renciais? E como se resolvem essas equações? 
Neste capítulo vamos estudar os processos de solução para as equações diferen-
ciais ordinárias de enésima ordem.
6.1 Problema de valor inicial 
Vídeo Dentro das classificações possíveis para as equações diferenciais ordinárias 
(EDO), temos a classificação realizada de acordo com a ordem. Identificar a ordem 
de uma EDO permite que façamos escolhas mais assertivas com relação ao método 
de resolução para essas equações.
As equações de ordem n podem ser representadas da seguinte maneira:
a x d y
dx
a x d y
dx
a x dy
dx
a x yn
n
n n
n
n� � � � � � � � � � � � ��
�
�
� � � � � � � � ��1
1
1 1 0
�� � ��g x (1)
Trabalhamos com casos particulares da equação (1) quando n = 1 ou n = 2, ca-
sos em que temos, respectivamente, uma equação de primeira ordem e uma de 
segunda ordem. 
Neste capítulo vamos expandir esses conceitos para n > 2, ou seja, trabalha-
remos com problemas que envolvem equações diferenciais de ordem superior a 
dois, tendo, assim, uma generalizaçãodos métodos. Portanto, discutiremos méto-
Compreender o conceito 
de equações diferenciais e 
problema de valor inicial de 
ordem n. 
Objetivo de aprendizagem
118 Cálculo Avançado
dos que, além de resolverem problemas de ordem um ou dois, também resolverão 
problemas de ordem maior do que dois, chamados problemas de ordem n.
A equação (1) pode ser classificada de acordo com algumas situações que a 
envolvem, como:
 • EDO superior de coeficientes constantes: quando a0, a1, ... an–1, an são todos 
constantes;
 • EDO homogênea: quando g x� � �� �� �0 ;
 • EDO não homogênea: quando g x� � �� �� �0 ;
Temos, também, uma EDO da forma padrão quando podemos dividir (1) por 
an(x), transformando-a em:
d y
dx
p x d y
dx
a x dy
dx
a x y g x
n
n n
n
n
� � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 �� (2)
Sempre que resolvemos uma equação diferencial, precisamos garantir a 
existência e unicidade de solução para tal. Para esse fim, temos o teorema de exis-
tência e unicidade de solução de Picard-Lindelöf, o qual garante que a equação 
diferencial linear de ordem superior com n condições adicionais, apresentado na 
forma
a x d y
dx
a x d y
dx
a x dy
dx
a x yn
n
n n
n
n� � � � � � � � � � � � ��
�
�
� � � � � � � � ��1
1
1 1 0
�� � ��g x
y x y
dy
dx
x y
d y
dx
x y
n
n
n
0 0
0 0
1
1 0 0
1
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
'

(3)
possua uma única solução somente se as funções an(x), ..., a0(x), g(x) forem contínuas 
e a = an(x) for não identicamente nula em um intervalo real contendo o ponto x0.
A seguir, apresentamos o teorema da existência e unicidade de Picard-Lindelöf 
descritos na obra de Sotomayor (1979), Sodré (2003), entre tantos outros autores.
Teorema 1: Existência e unicidade de Picard-Lindelöf 
Sejam an(x), an-1(x), ..., a1(x), a0(x) e g(x) e g(x) contínuas em um intervalo I com an(x) 0 para 
todo x nesse intervalo. Se x = x0 é algum ponto desse intervalo, então existe uma única 
solução y(x) para o problema de valor inicial PVI neste intervalo.
Vejamos um exemplo de um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem 
sendo avaliado de acordo com o teorema da existência e unicidade.
Com a intenção de trazer 
mais uma visão sobre essa 
teoria de Picard-Lindelöf, 
sugerimos a leitura do ma-
terial Equações diferenciais 
ordinárias. Nessa obra, 
o professor Sotomayor 
deixa um capítulo inteiro 
para o tema “existência e 
unicidade de soluções”, 
trazendo não só o teorema 
de Picard-Lindelöf como 
outros teoremas da área. 
Disponível em: https://pt.scribd.com/
document/319272778/Equacoes-
diferenciais-ordinarias-J-Sotomayor-
pdf. Acesso em: 19 jan. 2022.
Leitura
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 119
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 1
Encontre o maior intervalo no qual a solução do PVI a seguir existe e é única:
t t y ty t y
y
y
2 3 3 0
1 2
1 1
�� � � � �� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
'' '
'
� � � � � � � �
� �
� �
Solução 
Primeiramente, escrevemos a equação na forma:
y t
t t
y t
t t
y'' '� �
� �
� � � �
� �
� ��
�� � �
�
�� � �3
3
3
0
Simplificando essa equação, temos:
y y
t
t
t t
y'' '� �
� �
� �
� �
� ��
�
�
�
�� � �3
3
3
0
Assim, o resultado é:
p t
t
q t t
t t
e g t� � �
�
� � � � �
�� � � � �� � � � ,� � �
� �
� �
�� �� � �1
3
3
3
0
Os pontos de descontinuidade são t = 0 e t = 3. Logo, em um intervalo p, q e g 
são I, onde p, q e g são todas contínuas e contêm o ponto t0 = 1. Esse intervalo 
pode ser escrito como I = (0,3).
Com a análise da existência e unicidade de solução de PVI de ordem n, podemos 
começar a falar de métodos de solução para esses problemas. Na próxima seção 
trabalharemos com EDO de ordem n com coeficientes constantes.
Para quem tiver interesse 
em mais referências nesta 
área, sugerimos o vídeo O 
teorema de Picard-Lindelöf, 
do canal IEEEAcademicPor-
tugal. Nele o professor João 
Pedro Boavida explica com 
detalhes e desenvolve uma 
prova do teorema.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=v0zfT6pN3OE. Acesso 
em: 11 dez. 2022.
Vídeo
6.2 Soluções de equações lineares 
homogêneas de ordem n Vídeo
Nesta seção trabalharemos para solucionar EDOs de ordem superior a dois, ou 
seja, equações da forma; 
y p x y p x y p x yn n
n� �
�
�� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �1 1 1 0 0' (4)
com n > 2.
Para isso, enunciamos a seguir o teorema da superposição, que nos auxiliará 
para encontrarmos todas as soluções de uma EDO de ordem n.
Interpretar e aplicar dife-
rentes métodos de solução 
para as equações dife-
renciais de ordem n com 
coeficientes constantes. 
Objetivo de aprendizagem
120 Cálculo Avançado
Teorema 2: Princípio de superposição
Sejam y1 ..., yn soluções da EDO linear homogênea de ordem n dada por
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n
� � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0
0 (5)
no intervalo aberto I, então a combinação linear k1y1(x) + ... + knyn(x) também é solução de 
(5) para quaisquer que sejam k1, ..., kn ∈  .
O Teorema 2 nos leva a uma análise muito interessante sobre o problema com 
equações diferenciais de ordem superior, pois, com a sua utilização, podemos tra-
balhar com ferramentas da álgebra linear e, assim, teremos mais opções dentro de 
uma gama possível de métodos de solução. Dessa forma, é possível tirar algumas 
conclusões sobre o Teorema 2: o conjunto formado por todas as soluções da EDO 
de ordem n linear homogênea apresentada em (5) é um espaço vetorial, chamado 
espaço solução.
A segunda conclusão é que, mostrando que a dimensão do espaço solução de 
(5) é igual a n, obtemos todas as soluções da EDO (5). Portanto, precisamos conhe-
cer as soluções que formam uma base para este espaço vetorial. Por fim, podendo 
mostrar que a dimensão do espaço solução é n, podemos estabelecer um critério 
para decidir se as n soluções y1, ..., yn formam uma base para esse espaço.
Para que possamos relembrar esses conceitos da álgebra linear focados na EDO 
de ordem superior, definiremos um conjunto de funções linearmente independen-
tes, como se segue.
Definição 1
Um conjunto de funções � � �1 2, , ,� � ��� �n é dito linearmente independente (LI) no intervalo I = (a, b) 
se não existem constantes 𝜆1, 𝜆2, ..., 𝜆n tais que:
� � � � � �1 1 2 2 0x x x x In n� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ������� � �, (6)
exceto para 𝜆1 = 𝜆2 = ... 𝜆n = 0.
Usamos o determinante Wronskiano para verificar se um conjunto de funções é 
LI. Para isso, trazemos o Teorema 3, que nos remete a esse conceito.
Teorema 3: Wronskiano
Um conjunto de funções deriváveis {𝜙1, ..., 𝜙n} é linearmente independente no intervalo I se, 
somente se, o Wronskiano do conjunto é diferente de zero, ou seja:
0 1
1 2 3
1 2
� � � �� �� �� � �
� � � � � � � �
� � � �
W x
x x x x
x x
n
n
� �
� � � �
� � �
,� , det
' '
�
33
1 2 3
1
1
2
' '
'' '' '' ''
x x
x x x x
x
n
n
n n
� � � �
� � � � � � � �
� ��
�
�
� � � � �
�
� � � �
� � �� � �� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��1
3
1 1x x xn n
n� ��
(7)
em I.
A obra de Zill e Cullen, 
intitulada Equações diferen-
ciais, traz a demonstração 
de muitos dos teoremas 
que descreveremos neste 
material. Um deles é o 
teorema Wronskiano – com 
explicações mais detalha-
das e exemplificações com-
pletas sobre essa parte tão 
importante das equações 
diferenciais. 
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2001. v. 1.
Leitura
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 121
O exemplo a seguir relembra como usar o determinante Wronskiano para a 
verificação da independência linear entre um conjunto de funções.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 2
Sejam as funções 𝜙(x) = x, 𝜙(x) = x ln x e 𝜙(x) = x2. Nesse caso, temos:
W x
x x x x
x x
x
x x x x� � �1 2 3
2
1 1 2
0 1 2
2 2, ,
ln
ln ln� � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � �� �� � � �� � � � � � �2 2 0x x x xlnPortanto, o conjunto de funções {𝜙1, 𝜙2, 𝜙3} é linearmente independente.
O próximo teorema que estudaremos completa o conceito de determinante 
Wronskiano aplicado à análise da independência linear de funções.
Teorema 4 
Suponha que as funções pn-1(x), pn-2(x), ..., p1(x) e g(x) são contínuas e deriváveis no intervalo 
aberto I = (a, b), e as funções y1(x), y2(x), ..., yn(x) são soluções da equação homogênea:
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 0 (8)
Então, se W (y1, y2, ..., yn) (x) ≠ 0 em pelo menos um ponto a < x < b, a solução geral de (8) 
é dada por:
y k y x k y xh n n� � � � � �� � � � � � � �1 1
para k1, k2, ..., k arbitrárias.
Com isso, podemos definir um conjunto de soluções que dará o problema ana-
lisado da seguinte maneira:
Definição 2
Temos um conjunto fundamental de soluções para o problema analisado quando é possível en-
contrar soluções linearmente independentes da equação homogênea (5) da forma y1, ..., yn. Essas 
soluções formam um conjunto de soluções.
Vejamos como aplicar essa teoria no exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 3
Verifique se as funções 𝜙(x) = x, 𝜙(x) = xln x e 𝜙(x) = x2 dadas no exemplo an-
terior são soluções da EDO seguinte e, logo após isso, determine a solução 
geral para o mesmo problema:
x y x y xy y x3 2 2 2 0 0''' '' ' ,� � � � � � � � ���� � �� � � � � 
(Continua)
122 Cálculo Avançado
Podemos solucionar partindo do que foi apresentado no Exemplo 2, em que 
calculamos o Wronskiano das funções 𝜙1, 𝜙2 e 𝜙3 e vimos que esse é diferente 
de zero. Portanto, o conjunto de funções 𝜙 é solução para a EDO enunciada.
Temos que a solução desse problema é escrita da seguinte forma:
c x c x c ln x x y xh1
2
2 3� � � � � � �� �� � � � � � �
E de modo genérico escrevemos:
y x k y x k y xh n n� � � � � � � � � �� � � � � �1 1
em que k1, ..., kn ∈  é solução geral da equação homogênea apresentada no 
exemplo.
Com isso, obtemos uma solução geral para a equação homogênea que será 
posteriormente considerada para a obtenção de uma solução geral para EDO não 
homogêneas.
6.2.1 Equações com coeficientes constantes
Vamos considerar uma equação diferencial ordinária linear homogênea de 
ordem superior (n ≥ 2) com coeficientes constantes:
 a x d y
dx
a x d y
dx
a x dy
dx
a x yn
n
n n
n
n� � � � � � � � � � � � ��
�
�
� � � � � � � � ��1
1
1 1 0
�� �0 (9)
A primeira suposição que faremos é a de que;
 y x erx� � �� � (10)
é uma solução não trivial para a equação (9).
Observe que a k-ésima derivada de y satisfaz:
 y x r e r y xk k rx k� � � � � � � �� � � � (11)
Substituindo (11) em (9), encontramos:
 a r a r a r an
n
n
n� � � � � � � � � �� � � � � ��
�
1
1
1 0 0 (12)
A equação (12) é chamada de equação característica para a EDO e possui n raízes 
reais e/ou complexas. A seguir, analisaremos cada um dos três possíveis casos para 
a equação característica.
6.2.1.1 Raízes distintas da equação característica
Temos que, se r é uma solução da equação característica e se a equação (12) 
possui n raízes reais distintas, então y x erx� � �� � é uma solução da EDO.
Definição 3
Seja a r a r a r an n n n� � � � � � � � � �� � � � � �� �1 1 1 0 0 uma equação com n soluções do tipo r1, ..., rn, então ex-
pressamos a solução geral da EDO como:
y x k e k e k eh
r x r x
n
r n x� � � � � � �� � � � � � � �1 1 2 2
desde que r ri j� �≠ para todo i j� �� �≠ , ou seja, quando não houver raízes repetidas.
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 123
Vejamos um exemplo desse conceito.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 4
Encontre uma solução para a EDO: 
y y y y� � � � � � � � �3 27 7 15 0� � � �� � � �'
Solução 
Temos que a equação característica para essa EDO é:
r r r r r r3 27 7 15 3 5 1 0� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � �� � �
Portanto, a solução da EDO enunciada é dada por:
y x c e c e c eh
x x x� � � � � �� � � � � �1 3 2 5 3
O caso anterior tratava de raízes distintas para a equação característica. Na 
próximo tópico trabalharemos com a obtenção de raízes iguais para a equação 
característica.
6.2.1.2 Raízes iguais da equação característica
Considerando a equação característica apresentada em (12), queremos calcular 
se alguma das suas raízes possui multiplicidade m ≤ n. Se isso se comprovar, pode-
mos escrever:
y x e k k x k x k x k eh
rmx
m
rm
m
rm x� � � � � � � �� � � �� � �� � � � � � � � � � � � �1 2 3 2 1 1 1 �� �� �k en rnx
Vamos entender esse caso por meio do exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 5
Encontre a solução geral de:
y y y yiv iii� � � � � � � �� � � �3 3 0'
Solução
A EDO pode ser escrita em termos da sua equação característica como:
r r r r r4 3 2 23 3 1 1 0� � � � � � � � � � � �� � � � �� � �
Assim:
r1 0� �=
r r r2 3 4 1� � � � � �= = =
Desse modo, a solução da EDO é dada por:
y x k k e k xe k x eh
x x x� � � � � �� � � � � � � �1 2 3 4 2
124 Cálculo Avançado
Como a equação característica é uma polinomial, ainda podemos recair no caso 
em que, entre as raízes possíveis, teremos raízes complexas conjugadas. Veremos 
no próximo tópico essa situação.
6.2.1.3 Raízes Complexas distintas
Se r1 e r2 forem raízes complexas conjugadas, então:
r a bi1� � � � �� � e r a bi2 � � � �� �
Para usar a fórmula de Euler, faz-se:
e cos isini� � �� � � � � � �� �
e podemos escrever a combinação linear: 
k e k er x r x1 1 2 2� �+
da forma:
y x k e cos bx k e sin bxh
ax ax� � � � � � � �� � � � � � ��1 2 (13)
No exemplo a seguir recairemos nessa situação. Vamos avaliar.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 6
Determine a solução geral para a EDO:
y y y''� � ' � � � �� � � � � �� � � 0
Solução
A equação característica da EDO é dada por:
r r2 1 0� � � � � �� � �
Assim:
r i� � � �� � �1 3
2
Portanto, a solução da EDO é dada por:
y x k e cos x k e sin xh
x x
� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
� �
� � � � � � � �1 2 2 2
3
2
3
2
Pensando em reforçar esse conceito, trazemos mais um exemplo sobre raízes 
complexas conjugadas.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 7
Baseando-se na EDO a seguir, calcule a sua solução geral: 
y 3 8 0� � � �� � y� � 
(Continua)
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 125
Solução 
A equação característica da EDO é dada por:
r3 + 8 = 0
Assim:
r r r r3 28 2 2 4� � � � � � � � � �� � �� � � �� �
r i� � � �� � �2 1 3,�
Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
y x e k e cos x k e sin xh
x� � � � � � � � ��� �k � � � � � � � �x x1 2 2 33 3
Com isso, trabalhamos os casos em que, por meio da equação característica, pu-
demos encontrar a solução para a EDO homogênea de ordem n com coeficientes 
constantes.
6.2.2 Equação de Euler-Cauchy homogênea
Algumas equações diferenciais ordinárias lineares podem ser resolvidas de ma-
neira bastante simples e de modo similar às aplicadas para EDO lineares com coe-
ficientes constantes, vistas nas seções anteriores. Um desses casos é a chamada 
equação diferencial de Euler-Cauchy.
A equação dada por:
 a x y a x y a xy a yn
n n
n
n n� �
�
� �� �� � � � � �� � � � � � � �1
1 1
1 0 0' (14)
em que a ≠ 0, a0, ..., an ∈ ℝ é chamada de equação diferencial de Euler-Cauchy de 
ordem n, ou ainda de equação equidimensional de Euler-Cauchy, pois o expoente de 
cada coeficiente é igual à ordem da derivada.
Assim, o que precisamos fazer para resolver uma EDO de Euler-Cauchy é achar 
soluções da forma y(x) = xr, para x > 0. 
Se substituirmos y(x) em (14), percebemos que r é uma raiz para essa equação. 
Portanto, com base nessa observação, desenvolve-se o método.
Vamos associar a equação (14) a uma EDO de coeficientes constantes na variá-
vel t dada por:
 A d y
dt
A dy
dt
An
n
n
� � � � � � � �� � � � �1 0 0 (15)
com os coeficientes Ai dados por r
i da equação (15). Com esse arranjo, temos que a 
equação (14) é a equação característicada EDO (15).
Agora escrevemos y(t) como a solução geral para (15) e mostramos que uma 
solução geral da equação de Euler-Cauchy (14) pode ser obtida a partir de y(t) por 
meio da mudança de variável:
x = et
Para aprimorar o entendi-
mento sobre a equação de 
Euler-Cauchy, sugerimos 
a obra de Dennis G. 
Zill intitulada Equações 
diferenciais com aplicações 
em modelagem. Com ela 
será possível não somente 
acompanhar a parte teó-
rica, mas também analisar 
muitos exemplos resolvidos 
e aplicações. 
ZILL, D. G. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016.
Livro
126 Cálculo Avançado
Dessa forma, podemos usar os conceitos descritos na seção sobre EDO com 
coeficientes constantes para resolver a EDO (14). 
Portanto, temos como solução geral da EDO (14), para x > 0, a equação:
y x k y ln x k y ln xn n� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �1 1
em que y1(t), ..., yn(t) formam um conjunto fundamental para a EDO (15) e k1, ..., kn 
são constantes reais arbitrárias.
Vimos métodos que nos permitem encontrar soluções para EDO homogêneas, 
mas nem sempre uma EDO tem essa classificação. Veremos na próxima seção 
alguns métodos para EDO não homogêneas. 
6.3 Soluções de equações lineares não homogêneas 
Vídeo
Vamos supor que y1(x) e y2(x) são soluções da equação não homogênea: 
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y g x
n
n n
n
n
� � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 �� �
Definindo y = y1 – y2 e substituindo na equação anterior, encontramos:
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n
� �
��
� � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0
�� �0
Assim, observamos que a diferença entre as duas soluções da equação resulta 
na solução da equação homogênea associada. 
Por esse motivo, podemos escrever o seguinte teorema:
Teorema 5: Solução geral para equações não homogêneas 
Seja a equação diferencial linear de ordem n não homogênea dada por:
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n
�
�
�
�
� � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 �� � ��g x (16)
e suponha que y1(x), ..., yn(x) é um conjunto de n soluções linearmente independentes (LI) da 
equação homogênea associada:
d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n
� �
� �
� � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0 �� �0
 (17)
Se yp(x) é uma solução particular de (18), então a solução geral de (18) será da forma:
y x k y x k y x k y x y x y x yn n p c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �1 1 2 2 pp x� � (18)
em que yc é a solução para a EDO homogênea associada representada pela equação (17). 
Essa equação também é chamada de equação complementar ou função complementar.
Portanto, se desejamos encontrar a solução de uma EDO não homogênea:
I. é preciso obter uma solução geral y para a equação homogênea relacionada;
II. é necessário obter uma solução particular yp; 
III. a solução geral da equação não homogênea será y(x) = yc(x) + yp(x).
Veremos, a seguir, a apresentação desse teorema sob o olhar de Zill e Cullen 
(2001, p. 161):
Interpretar e aplicar 
diferentes métodos de 
solução para as equações 
diferenciais de ordem n 
não homogêneas. 
Objetivo de aprendizagem
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 127
Teorema 6: Princípio da superposição para equações não homogêneas 
Sejam yp1 ,yp2 ,...,ypk, k soluções particulares da equação diferencial linear não homogênea de ordem 
n (18) em um intervalo I correspondendo, por sua vez, a k funções distintas g1, g2, ..., gk. Isto é, 
suponha-se que ypi é uma solução particular da equação diferencial correspondente:
a x y a x y a x y a x y g xn
n
n
n
i� � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �� � � � � � � � � �1 1 1 0' (19)
em que i k� � � �� �1, , . Então:
y y x y x y xp p p pk� � � � � � � �� � � � � � � � � � �1 2 (20)
É uma solução particular de:
a x y a x y a x y a x y g xn
n
n
n� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �� � � � � � � � � � �1 1 1 0 1' �� � �� � � �g xk (21)
Com base nessas definições, podemos trabalhar alguns métodos que permiti-
rão encontrarmos a solução para EDOs não homogêneas. Vejamos nas seções a 
seguir.
6.3.1 Método dos coeficientes a determinar
A ideia do método dos coeficientes a determinar – também chamado de método 
dos coeficientes indeterminados – é encontrar uma solução particular para uma 
equação não homogênea. Dessa forma, com base na função g e na solução da 
equação homogênea, yc, veremos como encontrar uma solução yp dependente dos 
coeficientes não especificados.
Assim, dizemos que o método dos coeficientes a determinar está limitado às 
equações lineares não homogêneas:
I. que têm coeficientes constantes;
II. em que g(x) é uma constante k, uma função polinomial, uma função exponencial 
ae𝛽x, 𝜔x, 𝜔x ou somas e produtos dessas funções.
Desse modo, definiremos caso a caso e resolveremos alguns exemplos para que 
os casos citados possam ser visualizados com maior clareza.
Definição 4: Polinômio
Se g(x) é um polinômio de grau m, apresentado na forma:
y x A x A x A x Ap m
m
m
m� � � � � � � �� �� � � � � � � � � �1 1 1 0
Assim, conseguiremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea, par-
tindo do princípio de que encontraremos primeiro os coeficientes A0, A1, ..., Am. Note que g(x) = k 
enquadra-se neste caso.
Aplicaremos essa técnica no exemplo a seguir.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 8
Encontre a solução particular da equação não homogênea 
y y y x'' � � '� � � � � �� � � � � � � �� � � �2 3 5 6
A resolução dessa equação é a seguinte:
m m2 2 3 0� � � � � �� � � (Continua)
128 Cálculo Avançado
Logo, m1 = –3 e m2 = 1. Com isso, teremos como função complementar 
y c e c ec
x x� ��1
3
2 .
Agora, como a função é um polinômio do primeiro grau, temos como suposi-
ção que a solução particular também será uma função linear: 
y Ax Bp� � � �� �
Assim, precisamos determinar os coeficientes A e B dessa função. Para isso, 
usaremos as derivadas de yp dadas por y Ap
' � �= e yp
'' � �= 0 . Esse valor será 
substituído em y y y x'' '� � � � � � � �� � � �2 3 5 6 . Logo:
2 3 5 6A Ax B x� � � � � � � �� �� � � �
Portanto:
3 5
2 3 6
5
3
8
9
Ax x
A B
A e B
� �
� � � �
� � � �
�
� �
�
�
�
��
� � ���� �� ��� ��
que nos permite escrever da seguinte forma:
y x xp � � � �� � � �
5
3
8
9
O exemplo trabalhado trouxe a técnica aplicada a uma função linear. Definire-
mos a seguir o conceito para uma função exponencial. 
Definição 5: Exponencial 
Se g(x) é uma função exponencial da forma:
g x ae x� � �� � �
esta terá solução particular da forma: 
y x Aep
x� � �� � �
Vejamos um exemplo dessa aplicação. 
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 9
Encontre uma solução particular da equação:
y y y ex'' '� � � � � �� � �2 3 5
Solução 
Nesse caso, usamos processo similar ao aplicado para g(x) polinomial, ob-
tendo com isso:
y x ep
x� � � �
�
�
�
�
�� �
5
6
A definição a seguir apresenta a técnica usada quando a função é trigonométrica. 
Vejamos como proceder nesses casos.
Para acompanhar a reso-
lução de exemplos sobre 
esse caso, sugerimos o 
vídeo Coeficientes indeter-
minados – 1 | Matemática 
| Khan Academy, do canal 
Khan Academy Brasil.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=bD8t5VCe4C8. Acesso 
em: 19 jan. 2022.
Vídeo
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 129
Definição 6: Trigonométrica 
Se g(x) é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja:
g x x bsin x� � � �� � � � ��� �� �
admitimos uma solução particular da forma: 
y x Acos x Bsin xp � � � �� � � � � � ��� ��
Vejamos um exemplo de quando g(x) é uma função trigonométrica.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 10
Encontre uma solução particular da equação não homogênea:
y y y cos x'' '� � � � � � �� � �2 3 2
A resolução para essa equação é da seguinte forma:
y x cos x sin xp � � � �� � � � � � ��
1
2
1
2
 
Com isso, vimos a teoria e exemplos para o método conhecido como coeficien-
tes a determinar.No próximo tópico, trabalharemos com um método chamado de 
variação de parâmetros. Vamos entendê-lo.
6.3.2 Método da variação de parâmetros
Expandindo os conceitos já conhecidos sobre o uso do método da variação dos 
parâmetros para EDO de segunda ordem, poderemos trabalhar neste tópico com 
equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Desse modo, será possível uti-
lizar o método da variação dos parâmetros para calcular a solução geral (ou uma 
solução particular) para EDO lineares não homogêneas. 
Seja a nossa equação diferencial ordinária linear de ordem n não homogênea, 
dada por:
 d y
dx
p x d y
dx
p x dy
dx
p x y
n
n n
n
n
�
�
�
�
� �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0
�� � ��g x (22)
Vamos supor que já conhecemos uma solução geral para a equação homogê-
nea associada, dada por:
 y x k y x k y xc n n� � � � � � � � � �� � � � � �1 1 (23)
Sabemos que uma solução geral para (22) pode ser escrita como:
 y x y x y xp c� � � � � � � �� � � � (24)
em que yp é uma solução particular para a EDO (22) e yc é a solução geral para a 
EDO homogênea associada.
Nesse caso, temos um facilitador para encontrar a solução geral da EDO não 
homogênea, apresentada em (22), pois podemos usar o fato de já possuirmos a 
Acesse a plataforma da 
Khan Academy e acompa-
nhe outros exemplos sobre 
esse método de resolução 
de equações diferenciais 
lineares não homogêneas. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
differential-equations/second-
order-differential-equations/
undetermined-coefficients/v/
undetermined-coefficients-1. Acesso 
em: 19 jan. 2022.
Dica
Deixamos como mais 
uma sugestão de material 
complementar, trazendo 
um pouco mais sobre a 
teoria e também exemplos 
resolvidos, o vídeo do canal 
Matemática Universitária, 
do professor Renan Lima, 
EDO ordem 2 – Coeficientes a 
determinar. Lembrando que 
esse método também pode 
ser aplicado para equações 
diferenciais não homogê-
neas de maior ordem.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=Jig0PcZMPg8&list= 
PL7PW7YXa8HO0bB0f2 
MJg7DFiOrh1R5Zub&index=13. 
Acesso em: 19 jan. 2022.
Vídeo
130 Cálculo Avançado
solução geral para a EDO homogênea associada. Assim, resta apenas encontrar 
uma solução particular. 
Temos a solução particular na forma:
 y x u x y x u x y xp n n� � � � � � � � � � � � � �� � � � � �1 1 (25)
em que u k nk ',��� ,� ,� ,�� �1 2 são determinados pelas n equações
 u x y x u x y xn n1 1 0' '� � � � � � � � � � � �� � � � � � (26)
 u x y x u x y xn n1 1 0' ' ' '� � � � � � � � � � � �� � � � � �
 
 u x y x u x y x g xn n n
n
1 1
1 1' '� � � � � � � � � � � � � ��� � �� �� � � � � �
Temos em (26) que as n – 1 primeiras equações do sistema são tentativas de 
simplificar as n – 1 derivadas de yp. A última equação de (26) é o resultado da 
substituição da derivada de ordem n de yp e das derivadas de ordem menor. 
Para resolver esse sistema, é possível aplicar a regra de Cramer, de tal forma 
que:
 u
W
W
k nk
k' ,�� ,�� ,�� ,��� � � �� � �1 2 (27)
onde W é o Wronskiano de y yn1,� ,… e Wk é o determinante obtido substituindo a 
k-ésima coluna do Wronskiano pela coluna:
 
0
0
0

g x� �
 (28)
Vejamos, no exemplo a seguir, como aplicar o método da variação de parâme-
tros para EDO de ordem maior que dois.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 11
Calcule uma solução particular para:
x y x y xy y x para x3 23 2 2 27 0''' '' '� � � � � � � � �� � � �� � � � �
Solução
Temos que a solução para a equação homogênea relacionada é dada por:
y x k x k lnx k x xh � � � � �� � ��� � � � � � � �1 2 2 3 0� � ,��
Assim, agora precisamos calcular uma solução particular para a EDO do 
enunciado, na forma:
y x u x x u x lnx u x xp � � � � � � � � � � �� ��� � � � � �1 2 2 3� � �
Fazendo do seguinte modo:
u x x u x lnx u x x1
2
2 3 0' ' '� � ��� � � � � � � �� � �� � � � � � �
Para relembrar o conceito 
da regra de Cramer 
comumente aplicado na 
classificação e resolução 
de sistemas de equações 
lineares, sugerimos o mate-
rial Álgebra Linear, do pro-
fessor Jerônimo Pellegrini. 
A explicação detalhada 
sobre essa regra pode ser 
encontrada na página 196 
deste material:
Disponível em: https://www.ime.
unicamp.br/~deleo/MA327/ld4.pdf. 
Acesso em: 19 jan. 2022.
Leitura
(Continua)
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 131
e também da forma: 
� � � � � � �� � � � � ��2 2 1 01 3 2 3u x x u x lnx u x' ' '� �� � � � � � � �
Tem-se:
y x u x x u x lnx u x x u x xp ' ' ' ' '� �� � � � � � � � � � �� � � � �� �� � � � � � � � �1 2 2 3 1 32 �� � � �� � � � � �� � � � � �2 12 3u x lnx u x� �
� � � � � � � �� � � � ��� � � � � � �2 11 3 2 3u x x u x lnx u x� �
y x u x x u x lnx u x u xp '' ' ' � � '� � � � � � � � � �� � � � � ��� � � � � � � � � �2 2 1 61 3 2 3 1�� � � � � �� �x u x x4 2 1� � �
� � � � � �� �� � �6 1 4 2 1u x x u x x
y ''' x �=�6u x x �+�u x x � �24u x x � �u x x' 'p 1 2 1 2� � � � � � � � � � � �� � � �4 1 5 2
Estamos procurando um yp que seja solução da EDO enunciada, assim:
x y x y xy y u x x u x xp p p p
3 2
1
1
2
23 2 2 6''' '' ' ' '� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� 227x
Dividindo a última equação por x3, temos que as derivadas dos coeficientes 
de ui(x) devem satisfazer:
u x x u x x u x x
u x x u x
1
2
2 3
1
3
2
0
2 2
' ' '
' '
ln� � � � � � � �� � �
� � � � � �
�
�
� � � � � �
� � lln '
' '
x u x
u x x u x x x
� � � � � �
� � � �
�� � � � � �
� � � � � �
�
�
�
�
�
� � �
1 0
6 27
3
1
4
2
1 2��
�
Resolvendo esse sistema, obtemos:
u x x1
23'� � �� �
xu x2 9'� � �� �
u x x x nx x3
1 1 16 9 1 9' �� � � � �� � �� � � � � �
Portanto, encontrando u1, u2 e u3, escrevemos uma solução particular para a 
EDO enunciada:
y x x x lnx xlnx x lnx x xlnxp � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �9 3
9
2
32 2� � � � � � � �� � ��9
2
2x lnx� � �
Logo:
y x x x x x xp � � � � � � �� � � � � �3
9
2
2ln ln
Além desse método de resolução, podemos usar o método da redução de 
ordem. Nesse caso, precisamos conhecer alguma solução para a equação diferen-
cial e partimos desse ponto. Vamos entender esse método na seção a seguir
6.3.3 Redução de ordem
Sabemos que, para as equações diferenciais de segunda ordem, quando conhe-
cemos uma solução u(x) para um problema homogêneo, podemos, por meio dela, 
encontrar uma segunda solução, que será linearmente independente a u(x) por 
meio do método da variação de parâmetros. 
Para ver mais um exemplo 
do uso do método da 
variação de parâmetros, 
sugerimos o vídeo do canal 
Matemática Universitária, 
Variação de Parâmetros – 
Exemplo. Como o título do 
vídeo indica, essa sugestão 
traz um exemplo resolvido 
aplicando o método da va-
riação de parâmetros para 
uma equação diferencial 
não homogênea onde g(x) é 
uma função trigonométrica. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=4BoYrilOI9o&list= 
PL7PW7YXa8HO0bB0f2MJg7 
DFiOrh1R5Zub&index=15. 
Acesso em: 19 jan. 2022.
Vídeo
132 Cálculo Avançado
Assim, precisamos encontrar uma solução da forma: 
v x c x u x� � � � � � �� �
De maneira que v v x� �� � � satisfaça:
d v
dx
p x d v
dx
p x dv
dx
p x v
n
n n
n
n
�
�
�
�
� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0
u x d c
dx
q x d c
dx
q x dc
dx
n
n n
n
n� � � � � � � � � � ��
�
�
� �
� �
� � � � � � �1
1
1 1
 (29)
� � � � � � � � � � � �
�
�
�
�
� � � � � � � � �d u
dx
p x d u
dx
p x du
dx
p x u
n
n n
n
n
� �
�� 1
1
1 1 0
��
��
�
�
�� �c�
u x d c
dx
q x d c
dx
q dc
dx
n
n n
n
n� � � � � � � ��
�
�
� �
��
� � � � � �1
1
1 1
Como supomos que v seja solução, realizando uma mudança de variável da forma:
p dc
dx
� �=
obtemos:
 u x p q x p q x pn n
n� � � � � � � � � � �� � �� ��1 1 2 1 0� � � � � � � � (30)
Dessa forma, o método da redução de ordem nos encaminha para que possa-
mos resolver uma equação de ordem n – 1 em vez de resolvermos uma equação 
de ordem n. 
A seguir, resolvemos um exemplo aplicando ométodo da redução da ordem 
para uma EDO de ordem três.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 12
Encontre a solução de EDO y y y
x
y''' '' '� � � � � � � �� � � �4 4 0 , sabendo que y x x1� � � 
é uma solução para ela.
Solução 
Considerando que y x1� � é solução, vamos tentar encontrar uma segunda re-
solução da forma:
v x c x y x xc x� � � � � � � � � �� � � �1
Assim, temos:
v xc c e v xc c e v xc c' ' '' '' ' ''' ''' ''� � � � �� �� � � � � ��� �� � � � �� � � � � �2 3
e a equação seguinte:
v v v
x
v xc x c x c''' '' ' ''' '' '� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � �� �4 4 3 2 4 �� �� �� � �4 4 c
Fazendo da seguinte forma: 
p c� �= '
(Continua)
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 133
Temos o resultado a seguir:
xp x p x p'' '� � � � � � � � � �� �� � � �� � �3 4 2 0
Fica a cargo do leitor finalizar a resolução dessa EDO de segunda ordem.
Com isso, temos que o método da redução de ordem conhecido para a resolu-
ção de equações de ordem dois pode continuar sendo aplicado para EDO de maior 
ordem. Além de todos os métodos já conhecidos, podemos usar nosso conheci-
mento sobre séries de potências para resolver equações diferenciais. Veremos 
como aplicar essa técnica nas seções a seguir.
6.4 Resolução de equações diferenciais 
por meio de séries de potências 
Existe uma quantidade razoável de métodos que permitem a resolução de 
equações diferenciais com a obtenção de soluções analíticas. Nesta seção traze-
mos como metodologia de resolução a representação de funções por séries de 
potências. Para isso, é interessante que esse conceito seja revisado, visando que 
não se propaguem dúvidas no momento de aplicá-lo.
Nos próximos tópicos usaremos as séries de potências para resolvermos alguns 
casos de equações diferenciais.
6.4.1 Solução em série próximo de um 
ponto ordinário (não singular)
Uma função que pode ser desenvolvida por meio do uso de uma série de Taylor 
em torno do ponto é chamada de analítica nesse ponto em específico, desde que 
tenha raio de convergência positivo.
Definição 7
Seja uma EDO de segunda ordem dada por:
 y p x y q x y'' '� � � � � �� � � � � � � 0 (31)
Com base na equação (31), dizemos que um ponto x0 é ordinário se as funções p e q são analíti-
cas em x0 e podem ser escritas como:
p x p x x x x Rn
n
n
p� � � �� � � � �
�
�� � � � � � � �0
0
0,
�
e também da seguinte forma:
q x q x x x x Rn
n
n
q� � � �� � � � �
�
�� � � � � � � �0
0
0,
�
com Rp � �> 0 e Rq� � ��> 0. Caso contrário, dizemos que x0 é um ponto singular de (31).
Sugerimos o material do 
professor Marcos Eduardo 
Valle, Representação de 
Funções em Séries de Potên-
cia. Com ele, você poderá 
relembrar os conceitos 
necessários para a escrita 
de funções no padrão de 
séries de potências.
Disponível em: https://www.ime.
unicamp.br/~valle/Teaching/2016/
MA311/Aula20.pdf. Acesso em: 19 
jan. 2022.
Leitura
Vídeo
Compreender e resolver 
equações diferenciais ordi-
nárias por meio das séries 
de potências. 
Objetivo de aprendizagem
134 Cálculo Avançado
Definidas as funções p e q, temos que conceituar as soluções provenientes de 
(31), que precisam ser linearmente independentes. Assim, a Definição 8 traz esse 
conceito. 
Definição 8
Podemos encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de potências 
centrada em x0, quando x = x0 for um ponto ordinário da equação diferencial (31). Nesse caso, 
teremos: 
y x a x x x x Rn
n
n
� � � �� � � � �
�
�� � � � ��� � � � �0
0
0,
�
 (32)
em que 0� �� �R R Rp q, � .
O nosso objetivo é determinar os coeficientes an, n = 0, 1, ... que caracterizam uma solução da 
EDO em (31).
O exemplo a seguir nos auxilia no entendimento dessa teoria.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 13
Encontre uma solução usando a teoria anterior enunciada para a equação 
y y'' � � � � �� � 0 , com � � �� �� � � �x , em torno de x0 = 0.
Solução 
Vamos admitir que y x a xn
n
n
� � �
�
�� �
0
�
. Dessa forma, encontramos a relação de 
recorrência dada por:
n n a a nn n� � � � � � � � � � ��� � �� � � � � � ��2 1 0 0 12 , , ,
Equivalente para k = 0, 1, ..., temos:
a
k
ak
k
2 2
1
0
1
2 2�
�
�
�� �
�� �� � � � ! a k ak
k
2 1 1
1
2 1�
�
�� �
�� �� � � � !
Portanto:
y x a
n
x a
n
x
n
n
n
n
n
n
� � � �� �� � �
�� �
�� ��
�
�
� �� � � � � �0
2
1
0
2 1
0
1
2
1
2 1! !
� �
Como tentativa de generalização do método para um ponto ordinário, na próxi-
ma seção traremos a forma geral para esse caso.
6.4.1.1 Forma geral
Seja a EDO dada por:
y p x y q x y'' '� � � � � �� � � � � � � 0
Os coeficientes an� � de uma solução da EDO p x p x x
n
n
n� � � �� �
�
�
�� � � �
0
0 e 
q x q x x
n
n
n� � � �� �
�
�
�� � � �
0
0 satisfazem, para todo n = 0, 1, ..., a relação de recorrência:
a
n n
k p a q an k
n
n k n k n k k� � � � �
�
�� � �� � �� � �
�� ��2 0
1
2 1
1� �
� � � �
� � � �� � �� ��
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 135
Podemos encontrar duas soluções LI fazendo: 
a e a0 11 0� � �� �� � �= =
a e a0 10 1� � �� �� � �= =
Aplicaremos, a seguir, a forma geral para um exemplo de PVI formado por uma 
EDO de segunda ordem com coeficientes variados.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 14
Seja o PVI dado por:
xy x y y
y y
'' '
; '
� � � � � �
� � � � �
� � �
� � � � � �
�
�
�
��
2 2 0
1 1 1 2
Encontre a solução representada em forma de série de potências pelo PVI 
em torno do ponto ordinário x0 = 1.
Solução 
Se tivermos: 
y x a xn
n
n
� � � �� �
�
�� � � �1
0
�
então a y0 1� �= e a y1 1� �� � �' , de maneira que as condições iniciais do PVI nos 
dizem que a0 1� �= e a1 2� �� � . Substituindo na equação, temos:
x n n a x xn
n
n
� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� �� �� � �� � � �� � ��� ��
�
�
1 1 1 1 1 11
2
2
�
�� � ��� � � �� � ��
�
�
�
na x a xn
n
n
n
� � � � � � � �n n1 2 1 01
1
1
0
� �
Que podemos reescrever como:
n
n
n
n
n
n
n
n n a x
n n a x
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �� �
� �� � �� �
�
2
1
2
2
1
1 1
1 1
� � � �
� � � �
aa x
na x na x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
� �
� � � � � � ��
�� �
� �� � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
2 1 1 2
1
1 1
1
00
1 0
�
� �� � �a xn
n� � � �
Corrigindo os índices, obtemos:
n
n
n
n
n
n
n n a x
n n a x
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �� �
� �� � �� � �� �
�
1
1
0
2
1 1
2 1 1
� � � �
� � � � � �
nn
n
n
n
n
n
n
n a x na x
n
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�� � �� � � �� �
� �� �
2
1
1
0
1 1 2 1
1
� � � � � � � �
� � aa x a xn
n
n
n
n
�
�
�
�� � � �� � ��1
0
1 2 1 0� � � � � � � � 
(Continua)
136 Cálculo Avançado
Simplificando os termos semelhantes e ajustando os somatórios, obtemos:
� � �2 20 1 2a a a� � � �
[ n n a n a n an n n
n
� � � � � � � � � � � ��� � �� � � �� � � �� �� �
�
� 2 1 1 2 12 2 1
1
�
� �� � �� � ��� � � � � � �n a xn
n1 1 01]
Para que a igualdade seja verdadeira, é necessário que todos os coeficientes 
sejam iguais a zero. Dessa forma, temos:
a a1 22 0� � � �� �
e a fórmula de recorrência:
n n a n a n a n an n n n� � � � � � � � � � � � � � � ��� � �� � � �� � � �� � � �� �� �2 1 1 2 1 12
2
1 �� �1 0� �
para n = 1, 2, 3, ... .
Precisamos encontrar, com a fórmula de recorrência, os valores para a2, a3, e 
a4 , pois a1 e a2 já são conhecidos. Assim, teremos a a a2 3 42
4
3
1
3
� � � � � �� � � �; ; e
y x x x x x� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �1 2 2 4
3
1
3
2 3 4
Nesse exemplo, trabalhamos com uma solução em série na vizinhança de um 
ponto ordinário. Porém, nem sempre esse será o modelo encontrado. No tópico a 
seguir veremos como resolver a EDO quando a solução em série está na vizinhança 
de um ponto singular regular.
6.4.2 Solução em série na vizinhança de 
um ponto singular regular
Antes de trabalharmos com a resolução da EDO, vamos definir um ponto 
singular regular.
Definição 9
Um ponto singularx0 da equação y''�+�p x y'�+�q x y =�0� � � � é chamado de singular regular (ou singu-
laridade regular) se a função:
p x �=� x� �� � �� � � �x p x0
e a seguinte:
q x �=� x� �x q x0
2� � �� � � �
são ambas analíticas em x0, ou seja, podemos escrever:
p x x x p x p x x x x Rn
n
p
n
� � � �� � � � � �� � � � �
�
�� � � � � � � � ��� � � � �0 0 0
0
,
�
 (33)
e também da seguinte forma:
q x x x q x q x x x x Rn
n
n
p� � � �� � � � � �� � � � �
�
�� � � � � � � � ��� � � � �0 2 0
0
0
�
, (34)
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 137
Algumas propriedades diretas emergem dessa definição, como se segue:
 • Propriedade 1: se x0 é um ponto singular regular, então:
lim x x p x p
x x�
�� � � � �
0
0 0� � � � e lim x x q x qx x�
�� � � � �
0
0
2
0� � � �
em que p0 e q0 são os primeiros termos da expansão em série das funções p 
e q.
 • Propriedade 2: vamos supor que a EDO dada por (31), y p x y q x y'' '� � � � � �� � � � � � � 0 , 
possui ponto singular regular na variável x = x0. Dessa forma, multiplicando 
essa equação por x2, obtemos:
x y x xp x y x q x y2 2 0'' '� � � � � � �� � ��� �� � � ��� �� �
que, substituindo xp(x) e x2q(x) por p0 e q0 respectivamente, relembra a equação de 
Euler-Cauchy cuja solução é y x x xr� � � �� � �� � �, 0 . Com base nisso, podemos admitir 
que a solução pode ser escrita como:
y x x a x a xr n
n
n
n
r n
n
� � � �
�
�
�
� �� � � � �
0 0
� �
com a0 0� �≠ e � �x� �0 .
Veremos, a seguir, um caso particular para a obtenção de solução em série de po-
tências para equações diferenciais lineares em torno de um ponto singular regular.
6.5 Método de Frobenius: ponto singular regular 
O método de Frobenius é um procedimento analítico utilizado para se obter 
uma solução em série para uma EDO linear em torno de um ponto singular regular.
Vamos fazer a análise do método supondo que x0 = 0 é um ponto singular regu-
lar da EDO:
 x y x xp x y x q x y2 2 0'' '� � � � � �� � ��� �� � � ��� �� � (35)
 Sejam r1 e r2, com r1 ≥ r2, raízes da equação indicial;
 F r r r p r q� � � �� � � �� � � � � � � �1 0 0 (36)
em que: 
p xp x0 � �� � � e � � �q x q x0 2� � �
Assim, r é a constante que precisa ser determinada. Admitindo: 
y x a x x Rn
n r
n
� � � � ��
�
�� � ���� � � � �1
0
0
�
,
encontramos uma solução (primeira solução) da forma:
y x x a r x x Rr n
n
n
1
1
1
1
1 0� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�� � � � ���� � � � �
�
,
Vídeo
Compreender e resolver 
equações diferenciais ordi-
nárias por meio do método 
de Frobenius para séries 
em torno de um ponto 
singular regular.
Objetivo de aprendizagem
138 Cálculo Avançado
tendo a relação de recorrência satisfeita por meio dos coeficientes an:
F r n a a r k p q nn k n k n k
k
n
� � � � � � � � � � ���� � ��� � � �� � ��� �� � � �� �
�
�
� 0
0
1
, 11,
com a0 = 1 e r = r1.
6.5.1 Raízes distintas que não diferem por um inteiro
Se a diferença entre r1 e r2 é diferente de zero e de um inteiro positivo, então 
uma segunda solução linearmente independente é dada por:
y x x a r x x Rr n
n
n
2
2
2
1
1 0� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�� � � � ���� � � � �
�
,
tendo a relação de recorrência satisfeita por meio dos coeficientes an:
F r n a a r k p q nn k n k n k
k
n
�� � � �� � ��� �� � � �� �
�
�
�� � � � � � � � ���� � �0 1
0
1
, ,
com a0 = 1 e r = r2.
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 15
Resolva a EDO 2 0xy y y'' '� � � � � �� � � pelo método de Frobenius.
Solução
Sabendo que y a x
n
n
n r� ��
�
�
��
0
, então y n r a x
n
n
n r' � � � �� �� �
�
�
� ��
0
1 e 
y n r n r a x
n
n
n r'' � � � � � � ��� � �� � �� �
�
�
� ��
0
21 . Assim, teremos o seguinte:
2 1
0
2
0
1x n r n r a x n r a x
n
n
n r
n
n
n r
�
�
� �
�
�
� �� �� �� � �� � � �� � �� � � � � � � � � � � �� � �
n
n
n ra x
�
�
�� �
0
0
n
n
n r
n
n
n rn r n r a x n r a x
�
�
� �
�
�
� �� �� �� � �� � � �� � �
0
1
0
12 1� � � � � � � � � � � �
nn
n
n ra x
�
�
�
� �� �
1
1
1 0� �
2 1 2 10
1
1
r ra x n r n r n r ar
n
n� � � � � � � � � � � � � ��� � � � �� � �� � � �� ��� ���
�
�
� �� � � ��� � �� � �a xn n r1 1 0
Note que o termo dentro dos colchetes pode ser simplificado para 
2 2 1n r n r� � � � � �� �� � �� � , logo:
2 1 2 2 1
0
0
1
1
r r a x n r n r ar
n
n� � � � � � � � � � � ��� � � � �� � �� � ��
�
�
�
� ���� ����
aa xn
n r
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�1
1
0
0
� ����������� �����������
� �
Portanto, r r2 1 0� � � ��� � � �é a equação indicial, e teremos r� �= 0 ou r� �= 1
2
 (raízes 
indiciais). 
Já a equação 2 2 1 01n r n r a an n� � � � � � � � � �� �� � �� � � �� ) é a raiz de recorrência que 
depende da raiz indicial. 
Com isso, as relações de recorrência, de acordo com cada raiz indicial, serão:
r a
a
n n
r a
a
n n
n
n
n
n
n
� � � �
� �
� � �
� � �
� � �
�� �
� � �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2 1
1
2 2 1
1
1
11
Essas duas relações de recorrência dão origem a duas séries distintas com 
a0 arbitrário. 
Para r = 0, teremos:
a
a
a1
0
01 1
� �
���
� �= =
.
a
a a
2
1 0
2 3 6
� �
��
� �= =
.
a
a a
3
2 0
3 5 90
� �
� �
� ��
�
�
a
a a
4
3 0
4 7 2520
� �
� �
� ��
�
�

y x x a a x a x a x a x1
0
0 1 2
2
3
3
4
4� � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � �
y x x a a x
a
x
a
x
a
x1 0 0 0
0 2 0 3 0 4
6 90 2520
� � � � � � � � � ��
�
�
�
�
� � � � � � � � � � � � � � ��
y x a x x x x1 0
2 3 4
1
6 90 2520
� � � � � � � � �
�
�
��
�
�
��� � � � � � � � � � � �
Deixamos a cargo do leitor montar a série para r� �= 1
2
, obtendo, com isso, y x2 � �.
Para isso, basta seguir o mesmo procedimento adotado para r = 0, em que ob-
temos duas soluções em forma de série de potências, sendo que a combinação 
linear dessas duas soluções será a solução geral y x y x y x� � � � � � � �� � � �1 2 .
Outro caso que precisamos analisar será visto na seção a seguir.
6.5.2 Raízes repetidas ou diferindo por um inteiro positivo
Se r1 = r2, então uma segunda solução linearmente independente é obtida 
admitindo:
y x y x ln x x b x x Rr n
n
n
2 1
1
1
0� � � � � � � �
�
�� � � � � ���� � � � �
�
,
Se r1 – r2 = N é um inteiro positivo, então uma segunda solução linearmente in-
dependente é obtida admitindo:
y x c y x lnx x c x xr n
n
n
2 0 1
2
1
1 0� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � � � � � ������ � � �
�
, �� � �R
Nas expressões anteriores, os coeficientes bn e cn podem ser obtidos substituindo 
na EDO a expressão para y2.(Continua)
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 139
Com isso, as relações de recorrência, de acordo com cada raiz indicial, serão:
r a
a
n n
r a
a
n n
n
n
n
n
n
� � � �
� �
� � �
� � �
� � �
�� �
� � �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2 1
1
2 2 1
1
1
11
Essas duas relações de recorrência dão origem a duas séries distintas com 
a0 arbitrário. 
Para r = 0, teremos:
a
a
a1
0
01 1
� �
���
� �= =
.
a
a a
2
1 0
2 3 6
� �
��
� �= =
.
a
a a
3
2 0
3 5 90
� �
� �
� ��
�
�
a
a a
4
3 0
4 7 2520
� �
� �
� ��
�
�

y x x a a x a x a x a x1
0
0 1 2
2
3
3
4
4� � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � �
y x x a a x
a
x
a
x
a
x1 0 0 0
0 2 0 3 0 4
6 90 2520
� � � � � � � � � ��
�
�
�
�
� � � � � � � � � � � � � � ��
y x a x x x x1 0
2 3 4
1
6 90 2520
� � � � � � � � �
�
�
��
�
�
��� � � � � � � � � � � �
Deixamos a cargo do leitor montar a série para r� �= 1
2
, obtendo, com isso, y x2 � �.
Para isso, basta seguir o mesmo procedimento adotado para r = 0, em que ob-
temos duas soluções em forma de série de potências, sendo que a combinação 
linear dessas duas soluções será a solução geral y x y x y x� � � � � � � �� � � �1 2 .
Outro caso que precisamos analisar será visto na seção a seguir.
6.5.2 Raízes repetidas ou diferindo por um inteiro positivo
Se r1 = r2, então uma segunda solução linearmente independente é obtida 
admitindo:
y x y x ln x x b x x Rr n
n
n
2 1
1
1
0� � � � � � � �
�
�� � � � � ���� � � � ��
,
Se r1 – r2 = N é um inteiro positivo, então uma segunda solução linearmente in-
dependente é obtida admitindo:
y x c y x lnx x c x xr n
n
n
2 0 1
2
1
1 0� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � � � � � ������ � � �
�
, �� � �R
Nas expressões anteriores, os coeficientes bn e cn podem ser obtidos substituindo 
na EDO a expressão para y2.(Continua)
140 Cálculo Avançado
D i
gi
ta
l B
az
aa
r/S
hutters
tock
Exemplo 16
Determine as duas soluções linearmente independentes da equação de 
Bessel de ordem zero x y xy x y2 2 0'' '� � � � � �� � � à direita de x0 = 0. 
Solução – Primeiramente, precisamos escrever a equação na forma indicial. 
Assim, teremos:
F r r r r r� � � �� � � � �� � � � � � � � � �1 02 
Dessa forma, temos que r r1 2 0� � � �= = . Portanto, admitindo;
y x a x x
n
n
n
1
0
0� � � � �
�
�
�� � �� ,����
e, com ela, escrevemos uma relação de recorrência da forma:
a
n
a nn n� � � �� � � ��
1 2
2 2
� ,���� �
Assim, escrevemos:
a
m
am
m
m2 2 2 0
1
2
� ��
�� �
!
e da seguinte forma:
a mm2 1 0 1 2� � � � �� � � �,���� � , ,
Portanto, as soluções y1 e y2 podem ser escritas:
y x
n
x x
n
n n
1
1
2
2
1
1
2
0� � � � �� �
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�� � � � � �
!
,��� �
e desta forma também:
y x y x x
n n
x
n
n
2 1
1
2
1
1 1
2
1
2
� � � � � � �� �
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � � � � � � � � �ln
! ��
�
�
�
�
2n
Nesse caso, a solução geral também será a combinação linear de y1 e y2. 
O método de Frobenius, como vimos, permite que encontremos solução para 
EDO com coeficientes variados, desde que alguns parâmetros sejam avaliados.
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Métodos novos e outros já conhecidos foram apresentados para a obtenção da 
solução de uma equação diferencial de enésima ordem. Nesse contexto estão incluí-
das equações homogêneas e não homogêneas, problemas de valor inicial e métodos 
como dos coeficientes a determinar e o método da variação de parâmetros.
Além disso, a solução das equações diferenciais, por meio da transformação das 
funções em séries de potências, permite que toda teoria que envolve esse conceito 
seja utilizada como análise da solução dela. Por meio desse método, por exemplo, é 
Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes 141
possível resolver EDO com coeficientes variados desde que alguns parâmetros sejam 
respeitados, como a avaliação do raio de convergência da série.
Todos os métodos apresentados neste capítulo podem também ser aplicados para 
as EDO de primeira ou segunda ordens, sendo uma generalização de métodos ampla-
mente conhecidos nessa área.
Infelizmente não conseguimos resolver todas as equações diferenciais com os mé-
todos discutidos, pois o campo que envolve as equações diferenciais é extremamente 
extenso e necessitaríamos de muitos outros capítulos para falarmos das equações 
parciais, dos métodos numéricos e de outras abordagens. Contudo, com os conceitos 
levantados, podemos modelar e resolver muitos problemas práticos e temos a base 
necessária para entendermos esse extenso campo da matemática composto pelas 
equações diferenciais. 
ATIVIDADES
Atividade 1
Como podemos interpretar a existência de três raízes diferentes, sendo duas delas 
complexas conjugadas, como solução da equação característica r3 + 8 = 0? Explique 
com suas palavras.
Atividade 2
O método de redução da ordem pode ser aplicado para reduzir a ordem de uma 
EDO em uma unidade. Isso é bastante eficaz quando trabalhamos com EDO de 
ordem baixa. Esse método é eficiente para qualquer EDO linear?
Atividade 3
Dentro do contexto trabalhado no capítulo, qual é a grande vantagem da resolução 
de uma EDO com o uso de séries de potências?
REFERÊNCIAS
SODRÉ, U. Equações diferenciais ordinárias. Notas de aula. Londrina: UEL, 2003. Disponível em: https://
docplayer.com.br/12336467-Equacoes-diferenciais-ordinarias.html. Acesso em: 20 jan. 2022.
SOTOMAYOR, J. Lições de equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeiro: IMPA, 1979. Disponível em: 
https://kupdf.net/download/li-ccedil-otilde-es-de-equa-ccedil-otilde-es-diferenciais-ordin-aacute-rias-
sotomayor_59134bccdc0d607740959e81_pdf. Acesso em: 20 jan. 2022.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. v. 1.
142 Cálculo Avançado
Resolução das atividades 
1 Sequências e séries infinitas
1. Utilizando a definição, mostre que a sequência numérica an n� � �
�
0
��, com a � 1
nn
=� , 
tem limite L = 0.
Pela definição, temos que para todo ϵ > 0 existe um N > 0, tal que, se n ∈ ℤ e se 
n > N, então:
1
n
�-�0 � �< 
Isso ocorre se, e somente se, n > N. Portanto, 1
n
� �<  . Logo:
1
n
� � � �n� 1

⇒
Isso é verdadeiro se N� �
1� � 1
n
� �0 � �� � � �

 .
2. Considerando os testes para séries numéricas, avalie a seguinte afirmação e 
justifique:
n�
�
� � �1
1
n n�+�1 é uma série convergente e converge para 1, porque podemos 
escrever: 
n
n n n
b b
�
�
� ��� �� �� �
1
1 0b � �b � � � �limn .
Analisando por partes, temos que:
sn = (b0 – b1) + (b1 – b2) + ⋯ + (bn – bn + 1) = b0 – bn+1 para todo n ∈ ℕ. Como sn converge 
e 
n
n n nb b s
�
�� �� � �
1
1
�
, então 
n
n nb b
�
�� �� �
1
1
�
 converge.
Nesse caso, temos que:
lim lim lim
n n n n n n n
s b b b b b b b b b
� � � � �
� �� � � �� � ��� �� � � � �
� � �0 1 1 2 1 0 1 00
�
�
lim
n n
b
�
Com isso, temos que 
n
n n
�
� �� �1
1
1
�
 é uma série que pode ser escrita como 
n
n nb b
�
�� �
1
1
�
 
e, portanto, podemos escrever:
n
n n nn n� �
� �b b � �
n
� �
�
� �� �� � � � � � �1 0
1
1
1 1 1
�
� �
lim lim
Logo, 
n
1
n n�+�1
�
� � �1
�
 é convergente e converge para 1, assim como afirmado.
3. A série 
n=
1
n
�
1
1 1
2
1
3
��
� � � � ��� � � � � � � é chamada de série harmônica. Aplique o teste da 
divergência e discorra sobre o resultado encontrado a respeito da convergência 
ou divergência dessa série.
Resolução das atividades 143
Ao aplicarmos o teste da divergência na série harmônica S� �
1
n
�=�1�+�1
2
�+�1
3
�+�...
n
�
�
�
�
1
�
� , 
obtemos lim
1
n
�=�0
n���
.
Contudo, como vimos, o teste da divergência só tem garantias se: sabendo que a 
série é convergente, então lim
1
n
�=�0
n��� .
No caso da série harmônica, ao calcularmos as séries parciais, por exemplo:
S1 = 1
S �=�1�+�1
22
S � �1�+�1
2
�+�1
33
=
S � �1�+�1
2
�+� 1
3
�+�1
4
�>�1�+�14 �
�
�
�
�
�
�
⁞
S �=�1�+�1
2
�+� 1
3
�+�1
4
�+� 1
5
�+�1
6
�+�1
7
�+�1
8
�>�1�8
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ++�
3
2
⁞
S �=�1�+�1
2
�+� 1
3
�+�1
4
�+� 1
5
�+�...�+�1
8
�+� 1
9
�+�16
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ....�+�
1
16
�>�1�+�2�
�
�
�
�
�
Portanto, as somas parciais apresentam um crescimento que nos permite 
escrever:
S � �1�+�n
2n2
>
Logo, Sn é divergente, portanto a série harmônica S� � n
� � � � � � � �
n
� � � � � �
�
�
�
1
1 1 1
2
1
3
�
 é 
divergente.
2 Sequências e séries de funções
1. Se você fosse explicar a diferença entre convergência simples e uniforme 
para uma pessoa que não é da área de matemática, como faria? Descreva de 
maneira simples essa diferença.
A convergência simples ou pontual, como o próprio nome remete, converge para 
somente dentro de regiões específicas do domínio da sequência de funções, e 
não para todo o domínio. Já quando uma sequência de funções converge para 
um valor, independentemente do domínio de x analisado, temos a chamada 
convergência uniforme.
144 Cálculo Avançado
2. O critério de Cauchy para sequências de funções enuncia que “tem-se uma 
sequência de Cauchy fn: B → R se, e somente se, fn é uniformemente convergente”. 
Com esse teorema, podemos afirmar que toda sequência uniformemente 
convergente é de Cauchy? Justifique.
Sim, pois o teorema apresenta dupla implicação (↔). Portanto, se a sequência 
de funções é de Cauchy, então será uniformemente convergente; e se é 
uniformemente convergente, será de Cauchy.
3. Seja a série geométrica dada por ∑fn com fn(x) = xn. Podemos afirmar que essa 
série é uniformementeconvergente? Explique.
Sabemos que essa série converge quando x ∈ (–1, 1), ou seja, para todo x, tal que 
|x| < 1.
Nesse intervalo de x, a série de funções xn
n�� 0
� é convergente e converge para 
1
1� �x−
, contudo, para valores x < –1 ou x > 1, a série de funções ∑xn diverge. Com 
isso, podemos afirmar que essa série é simplesmente convergente, mas não 
uniformemente convergente.
3 Séries de potências
1. Usando a teoria desenvolvida para avaliação de continuidade, convergência e 
raio de convergência de funções escritas como séries de potências, analise a 
função f x
x
nn
n n
n� � �
�� � �� �
�
�
�
1
1 3
2
�
 e sua derivada e calcule o domínio para ambas.
Como não temos nenhum resultado sobre a série 
n
n n
n
� x
n�
�
�� � �� �
1
1 3
2
�
, precisamos 
calcular o raio e o intervalo de convergência.
Após esse processo, é necessário avaliar os extremos do intervalo de convergência. 
O mesmo deve ser feito para f x x
n
n
n
n�́ � � �� � �� �
�
�
�
1
11
2
3
�
. Nesse caso, não é necessário 
recalcular o intervalo de convergência, pois ele será o mesmo da função f. Apenas 
precisamos avaliar os extremos desse intervalo.
Pelo teste da razão aplicado a f x
� x
nn
n n
n� � �
�� � �� �
�
�
1
1 3
2
�
, encontramos:
lim lim
n
n n
n
n
n n n
x
n
n
x
�
�
� �
� �
�� � �� �
�� �
�
�� � �� �
�
�� �
� �
1 3
2 1
2
1 3
1
2
1 1
1
�� �� � �
�
�x n
n
�3
1
lim
n
x x
�
� �
�
� �
�
�
3
2
3
2
1
Portanto, o intervalo de convergência será 
� �
�
x� �3
2
1, então:
� �
� �
�1 3
2
1x
–2 < x – 3 < 2
–2 + 3 < x < 2 + 3
Resolução das atividades 145
Com isso, temos que o intervalo de convergência é dado por x ∈ (1, 5) e o raio de 
convergência é r = 2.
Agora podemos avaliar os extremos para f(x) e para f (́x). Assim, fazendo primeiro 
para f, teremos:
• para x = 1:
n
n n
n
n
n
n
n
�
n n n� � �
� � �
�� � �� �
�
� �
�
1 1 1
1 2
2
2
2
1� � �
que é uma série divergente.
• para x = 5:
n
n n
n
n
n�
n n� �
� �
�� � � �
�
�� �
1 1
1 2
2
1� �
que é uma série alternada convergente. Logo, o domínio para f(x) será x ∈ (1, 5].
Fazemos a mesma análise para f x x
n
n
n
n�́ � � �� � �� �
�
�
�
1
11
2
3
�
. Observe:
• para x = 1:
n
n n
n
n�
�
�
� �
�� � �� �
� �
1
1
1
1 2
2
1
2
� �
que é uma série divergente.
• para x = 5:
n
n n
n
n
n
�
�
�
� �
�� � � �
�
�� �
1
1
1
1 2
2
1
2
� �
que é uma série divergente.
Logo, o domínio para f (́x) também será x ∈ (1, 5).
2. Sabendo que a equação diferencial ordinária x2u´́ + xu´ – u = 0 pode ser 
resolvida reescrevendo u e suas derivadas como séries de potências, identifique 
u´ e u’’ a partir da função u x c x
n
n
n r� � �
�
�
��
0
�.
Com base no teorema que garante que as derivadas de uma função escrita por 
uma série de potências têm o mesmo raio e intervalo de convergência da função 
original, escrevemos:
u x c x
n
n
n r� � �
�
��
0
�
u x n r c x
n
n
n r�́ � � �� �
�
� ��
0
1
�
u x n r n r c x
n
n
n r´́� � � �� � � �� �
�
� ��
0
21
�
146 Cálculo Avançado
3. Analise a tabela a seguir.
f(x) = ex s6(x) s13(x) s20(x)
x = 1 2,718281828459… 2,71666… 2,718281828262 2,718281828459…
x = –6 0,0024787521767 –33,8 1,4612987012987 0,002815420051
Discuta o porquê da existência de grande diferença entre o valor da função 
f(x) = ex para x = –6 e o valor das somas das 7 e 13 primeiras parcelas da série 
n
nx
n!
x x x
�
�
� � � � � ��
0
2 3
1
2 3! !
, apresentadas nessa tabela.
Vamos analisar a tabela a seguir.
f(x) = ex s6(x) s13(x) s20(x)
x = 1 2,718281828459… 2,71666… 2,718281828262 2,718281828459…
x = –6 0,0024787521767 –33,8 1,4612987012987 0,002815420051
Assim, as 7 primeiras parcelas da série 
n
nx
n
x x
2!
x
3!
�
� � � � � ��
0
2 3
1
�
! aplicadas para x 
= –6 resultam em s6(–6) = –33,8.
Já as 14 primeiras parcelas da série
n
nx
n
x x
2!
x
3!
�
� � � � � ��
0
2 3
1
�
!
aplicadas para x = –6 
resultam em s13(x) = 1,4612987012987.
Contudo, a solução analítica para f(x) = ex, em x = –6 tem valor igual a f(–6) = 
0,0024787521767.
Esse erro ocorre pelo truncamento realizado na série de potências.
Ao observar o gráfico para a função f(x) e para as duas séries sugeridas, s6(x) e 
s13(x), notamos a diferença de comportamento da função em x = –6.
Pelo gráfico também é possível perceber que quando aumentamos o número de 
parcelas somadas para sn(x), minimizamos o erro entre o valor da soma dessas 
parcelas e o valor da função.
Isso pode ser observado para s20(–6), que se aproxima de f(–6). Nesse caso, temos 
s20(–6) = 0,002815420051 e f(–6) = 0,0024787521767.
Portanto, a diferença nesses resultados está claramente vinculada a um erro de 
truncamento da série e à convergência dela.
Resolução das atividades 147
4 Equações diferenciais de primeira ordem
1. Seja a equação diferencial ordinária dada por dy
dx
= x�+�y
x� �y−
. Avalie se essa é uma 
equação homogênea e justifique sua resposta.
Temos dy
dx
x� �y
x� �y
�
�
�
, portanto, (x + y) dx – (x – y) dy = 0. Logo,
M(tx, ty) = tx + ty = t(x + y) e N(tx, ty) = tx – ty = t(x – y)
Portanto, temos que dy
dx
x� �y
x� �y
�
�
�
 é uma equação diferencial linear de primeira 
ordem homogênea de grau um.
2. Considerando uma equação diferencial ordinária linear, podemos verificar se 
ela pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Caso não possa, 
analisamos se a EDO é homogênea ou exata. Se as respostas forem negativas 
para esta última, adotamos o método do fator integrante. Poderíamos, então, 
adotar diretamente o método do fator integrante para diminuir o número de 
etapas realizadas? Justifique sua resposta.
Sim, poderíamos usar diretamente o método do fator integrante, pois ele pode ser 
usado para qualquer EDO linear de primeira ordem. Outros métodos, como o das 
variáveis separáveis, nos auxiliam na resolução rápida, mas isso ocorre quando 
percebemos rapidamente essa aplicação. Ainda, por ser um método simples, é 
interessante testá-lo.
3. Uma equação diferencial de primeira ordem não linear de Bernoulli é escrita 
na forma 
d
dx
y x +p x y x =q x y xn� � � � � � � � � �. Assumindo n = 0 e n = 1, a equação 
d
dx
y x +p x y x =q x y xn� � � � � � � � � � continua sendo não linear? Justifique sua 
resposta.
Fazendo n = 0 em 
d
dx
y x p x y x q x y xn� � � � � � � � � � � � , a equação ficará escrita como 
d
dx
y x p x y x q x� � � � � � � � � � , que é linear e pode ser resolvida pelo método do fator 
integrante. Fazendo n = 1 em d
dx
y x p x y x q x y xn� � � � � � � � � � � � , a equação ficará 
escrita como d
dx
y x p x y x q x y x� � � � � � � � � � � � que, além de ser linear, é homogênea.
5 Equações diferenciais de segunda ordem
1. Descreva quais são as possibilidades para as raízes de uma equação do 
segundo grau e quais ferramentas matemáticas podem ser utilizadas para 
essa verificação.
Toda equação do segundo grau possui duas raízes, que podem ser reais ou 
complexas. Caso sejam reais, podem ser iguais ou distintas; se complexas, serão 
conjugadas.
Seja uma equação do segundo grau dada por ax �+�bx�+�c�=�02 , esta terá 
discriminante dado por Δ = b2 – 4ac. Compreender as possíveis respostas para 
o discriminante possibilita que saibamos como serão as raízes da equação do 
segundo grau. Assim, para Δ > 0 teremos duas raízes reais e distintas; para Δ = 0 
148 Cálculo Avançado
teremos duas raízes reais e iguais; e, quando Δ > 0, teremos duas raízes complexas 
conjugadas.
Esses conceitos comumente aprendidos no Ensino Fundamental e Médio são úteis 
para encontramos a solução de equações diferenciais homogêneas de segunda 
ordem com coeficientes constantes
2. Descreva quais são as condições necessárias para que um PVC seja dito 
homogêneo.
Assumindo uma EDO de segunda ordem da forma y''� +� p x y'� +� q x y� =� g x � � � � � � , 
se conhecemos a condição inicial, teremos um PVI. Já se temos as condições de 
contorno para essa EDO, teremos um PVC. Para que o PVI seja homogêneo, 
precisamosapenas que g(x) = 0.
No caso do PVC, por sua vez, além de ter g(x) = 0, para que esse PVC seja homogêneo, 
precisamos ter as condições de contorno também iguais a zero. Nos dois casos, se 
tivermos problemas homogêneos, uma possível solução para ambos é y = 0. No 
caso do PVC, essa solução é chamada de solução trivial do PVC homogêneo.
3. Pela análise do determinante wronskiano, temos que:
 “Se W(f1, f2)(x0) ≠ 0 para algum x0 em um intervalo aberto I, então f1 e f2 são 
linearmente independentes em I.”
 Podemos escrever esse mesmo teorema como: sejam p e q funções contínuas 
em um intervalo I e f1 e f2 soluções de uma dada equação diferencial escrita da 
forma:
d f
dx
x + p x df
dx
x + q x f x = 0 
2
2 � � � � � � � � � �
 Então o determinante wronskiano, W(f1, f2)(x), será escrito como:
W f ,f x � =� c�e 1 2
- p x dx� �� � � � �
 Essa formulação é conhecida como teorema de Abel. Demonstre esse resultado.
Partindo do determinante wronskiano, temos:
W f f
f f
f f
f f f f1 2
1 2
1 2
1 2 1 2, ' '
' '� � � � � 
Dessa forma:
� � � �W = f f + f f f f f f = f f f f 1
'
2
'
1 2
''
1
''
2 1
'
2
'
1 2
''
1
''
2
Supondo que f1 e f2 são soluções de 
d f
dx
x + p x df
dx
x �+ q x f x = 0 
2
2 � � � � � � � � � � , então: 
f + p x f + q x f = 0 1
''
1
'
1� � � � e f + p x f + q x f = 0 2'' 2' 2� � � �
Logo:
f = p x f q x f 1
''
1
'
1� � � � � � e f = p x f q x f 2'' 2' 2� � � � � �
Tendo � �W = f f f f 1 2
''
1
''
2 , então � � � � � � �� � � � � � � � �� �W = f p x f q x f f p x f q x f 1 2' 2 2 1' 1 .
Resolução das atividades 149
Deixando em evidência as funções p e q, teremos:
� � � �� � � � �� �W = p x f f + f f + q x f f + f f 1 2' 2 1' 1 2 1 2
Portanto:
W'�=�p x W� �
Resolvendo essa equação diferencial ordinária linear para o wronskiano W, 
obtemos:
W x = c × e - p x dx� � � � �
Dessa forma, é possível demonstrar o teorema de Abel.
6 Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes
1. Como podemos interpretar a existência de três raízes diferentes, sendo duas 
delas complexas conjugadas, como solução da equação característica r3 + 8 = 0? 
Explique com suas palavras.
Todo polinômio do terceiro grau conterá três raízes, que poderão ser: reais 
distintas; reais iguais; duas raízes reais iguais e uma diferente; ou uma raiz real 
e duas raízes complexas (que serão conjugadas). No caso do polinômio r + 8 3 , 
percebemos facilmente uma dessas raízes fazendo r = 8 3 − , logo r1 2 � � . 
Contudo, existem outras duas raízes que quando elevadas a três fornecem 
o valor igual a – 8. Essas raízes serão r i2 1 3 � � e r = 1 3 3 − i . Note que 
1 3 8
3
 �� � � �i � , assim como 1 3i = 8 3�� � � . Logo, a equação característica 
r + 8 = 0 3 possui três raízes, sendo uma delas real, r = 2 1 − , e as duas outras são 
complexas e conjugadas, r = 1 + 3i 2 e r = 1 3i 3 − .
2. O método de redução da ordem pode ser aplicado para reduzir a ordem de 
uma EDO em uma unidade. Isso é bastante eficaz quando trabalhamos com 
EDO de ordem baixa. Esse método é eficiente para qualquer EDO linear?
Se n for muito grande, o método pode não ser muito eficiente, visto que a ordem 
da nova equação continuará alta. Contudo, para equações de ordem dois e até 
mesmo três, por exemplo, o método pode facilitar bastante o processo de solução 
da EDO.
3. Dentro do contexto trabalhado no capítulo, qual é a grande vantagem da 
resolução de uma EDO com o uso de séries de potências?
Com o uso de séries de potências para reescrever funções da EDO, 
é possível resolver problemas que envolvem coeficientes variados, 
como 1 + x y'' 4xy' + 6y = 0 2� � � , por exemplo. 
Cálculo 
Avançado
Cálculo Avançado
MARINA VARGAS
M
ARINA VARGAS
Código Logístico
59726
ISBN 978-85-387-6721-3
9 788538 767213