Para provar que a aplicação \( A : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \) definida por \( Ax = \lim_{k \to \infty} A_k x \) é linear, precisamos mostrar que: 1. Adição: Para \( x, y \in \mathbb{R}^m \), \[ A(x + y) = \lim_{k \to \infty} A_k(x + y) = \lim_{k \to \infty} (A_k x + A_k y) = \lim_{k \to \infty} A_k x + \lim_{k \to \infty} A_k y = Ax + Ay. \] 2. Multiplicação por escalar: Para \( x \in \mathbb{R}^m \) e \( \alpha \in \mathbb{R} \), \[ A(\alpha x) = \lim_{k \to \infty} A_k(\alpha x) = \lim_{k \to \infty} (\alpha A_k x) = \alpha \lim_{k \to \infty} A_k x = \alpha Ax. \] Assim, \( A \) é linear. Agora, para mostrar que \( \lim_{k \to \infty} A_k = A \) em relação a qualquer norma em \( L(\mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n) \), consideramos a norma \( \| \cdot \| \) em \( L(\mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n) \). Para qualquer \( \epsilon > 0 \), existe \( N \) tal que, para \( k \geq N \) e para todo \( x \) em uma parte limitada de \( \mathbb{R}^m \), \[ \| A_k x - Ax \| < \epsilon. \] Isso implica que \( \| A_k - A \| < \epsilon \) para \( k \) suficientemente grande. Por fim, para a convergência uniforme em toda parte limitada de \( \mathbb{R}^m \), dado que \( A_k x \to Ax \) para cada \( x \), e usando a linearidade e a continuidade das aplicações lineares, podemos garantir que a convergência é uniforme em conjuntos limitados, pois a sequência \( A_k \) é uniformemente convergente em partes limitadas de \( \mathbb{R}^m \). Portanto, a aplicação \( A \) é linear, \( \lim_{k \to \infty} A_k = A \) em qualquer norma e a convergência \( A_k x \to Ax \) é uniforme em toda parte limitada de \( \mathbb{R}^m \).