Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

Para determinar se existe um produto interno em \(\mathbb{R}^3\) que satisfaça as condições dadas, precisamos verificar se as propriedades do produto interno são atendidas. As condições que você forneceu são: 1. \(\langle e_1, e_1 \rangle = 2\) 2. \(\langle e_2, e_2 \rangle = 3\) 3. \(\langle e_3, e_3 \rangle = 4\) 4. \(\langle e_1, e_2 \rangle = 0\) 5. \(\langle e_2, e_3 \rangle = 1\) 6. \(\langle e_1, e_3 \rangle = 1\) Para que um produto interno seja válido, ele deve satisfazer as seguintes propriedades: - Positividade: \(\langle x, x \rangle > 0\) para todo \(x \neq 0\). - Simetria: \(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\). - Linearidade: \(\langle ax + by, z \rangle = a\langle x, z \rangle + b\langle y, z \rangle\) para todos \(x, y, z\) em \(\mathbb{R}^3\) e \(a, b\) escalares. As condições de positividade são atendidas, pois todos os valores de \(\langle e_i, e_i \rangle\) são positivos. A simetria é garantida pelas condições dadas, já que \(\langle e_1, e_2 \rangle = 0\) implica que \(\langle e_2, e_1 \rangle = 0\), e assim por diante. Para verificar a linearidade, podemos tentar expressar um vetor genérico \(x = ae_1 + be_2 + ce_3\) e calcular \(\langle x, x \rangle\) usando as condições dadas. Se a linearidade se mantiver, então podemos concluir que existe um produto interno que satisfaz todas as condições. Portanto, sim, existe um produto interno em \(\mathbb{R}^3\) que satisfaz as condições dadas.