Para provar que o conjunto \( S \) das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão \( \frac{n(n+1)}{2} \) em \( L(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n) \), precisamos seguir alguns passos: 1. Verificar se \( S \) é um subespaço vetorial: - Fechamento sob adição: Se \( A, B \in S \), então \( A = A^* \) e \( B = B^* \). Precisamos mostrar que \( A + B \in S \): \[ (A + B)^* = A^* + B^* = A + B. \] Portanto, \( A + B \in S \). - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se \( A \in S \) e \( c \in \mathbb{R} \), então: \[ (cA)^* = cA^* = cA. \] Assim, \( cA \in S \). - Contém o vetor nulo: A aplicação nula \( 0 \) é simétrica, pois \( 0 = 0^* \). 2. Dimensão do espaço: - Uma matriz simétrica \( A \) em \( \mathbb{R}^{n \times n} \) tem a propriedade de que \( a_{ij} = a_{ji} \). Portanto, os elementos da diagonal podem ser escolhidos livremente, e os elementos acima da diagonal determinam os elementos abaixo da diagonal. - Existem \( n \) elementos na diagonal e \( \frac{n(n-1)}{2} \) elementos acima da diagonal. Assim, o número total de parâmetros livres é: \[ n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}. \] Portanto, o conjunto \( S \) das aplicações lineares simétricas é um subespaço vetorial de dimensão \( \frac{n(n+1)}{2} \) em \( L(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n) \).